最新线性代数第四章答案

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(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案

(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案

第四章 线性方程组1.线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为:其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0,所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组,简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式: 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β, (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块,其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α,………,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。

矩阵式 AX =β,(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵,则:① m 与方程的个数相同,即方程组AX =β有m 个方程; ② n 与方程组的未知数个数相同,方程组AX =β为n 元方程。

(完整版)线性代数练习册第四章习题及答案

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第四章 线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1.下列说法正确的是( C )A.n 元齐次线性方程组必有n 组解;B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解;C.n 元齐次线性方程组至少有一组解,即零解;D.n 元齐次线性方程组除了零解外,再也没有其他解. 2.下列说法错误的是( B )A 。

当0D ≠时,非齐次线性方程组只有唯一解;B 。

当0D ≠时,非齐次线性方程组有无穷多解;C 。

若非齐次线性方程组至少有两个不同的解,则0D =; D.若非齐次线性方程组有无解,则0D =. 二、填空题1.已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解,则λ= 1 ,μ= 0 。

2.由克拉默法则可知,如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠,则方程组有唯一解i x =iD D. 三、用克拉默法则求解下列方程组 1.832623x y x y +=⎧⎨+=⎩解:832062D ==-≠123532D ==-,2821263D ==-所以,125,62D Dx y D D====- 2.123123123222310x x x x x x x x x -+=-⎧⎪+-=⎨⎪-+-=⎩解:213112112122130355011101r r D r r ---=--=-≠+---11222100511321135011011D r r ---=-+-=---,212121505213221310101101D r r --=-+-=-----, 3121225002112211511110D r r --=+=---所以, 3121231,2,1D D Dx x x D D D ======3.21241832x z x y z x y z -=⎧⎪+-=⎨⎪-++=⎩解:132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=,2322112102112100123125D c c -=-+=--, 31320101241204120182582D c c =-=--所以, 3121,0,1D D Dx y z D D D ====== 4.12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩解:2131412131111111111214012322315053733121102181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---3214212325111511102221422518231523528110121101005110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----212314113231511151112140723222150123733021101518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----=--------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231200100215215552502714251152604c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以, 312412341,2,3,1D D D Dx x x x D D D D========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1.已知m n ⨯矩阵A 的秩为1n -,12,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解,k 为任意常数,则方程组0AX =的通解为( D )。

【最新试题库含答案】线性代数练习册第四章习题及答案

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线性代数练习册第四章习题及答案:篇一:线代第四章习题解答第四章空间与向量运算习题4.14-1-1、已知空间中三个点A,B,C坐标如下:A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C??2,2,1? (1)求向量,,的坐标,并在直角坐标系中作出它们的图形;(2)求点A与B之间的距离.解:(1) (1,3,0), (?5,0,0), (4,?3,0)(2)AB??4-1-2.利用坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征,指出下列各点的特殊位置: A?3,4,0?; B?0,4,3? ; C?3,0,0? ;D?0,?1,0? 解: A (3,4,0) 在xoy面上 B(0,4,3)点在yoz面上C(3,0,0)在x轴上 D(0,-1,0)在y轴上 4-1-6. 设u?a?b?2c,v??3b?c,试用a、b、c表示3u?3v.解:3u-2v=3(a-b+2c)-2(-3b-c)=3a+3b+8c4-1-7. 试用向量证明:如果平面上的一个四边形的对角线互为平分,那么这个四边形是平行四边形.解:设四边形ABCD中AC与DB交于O,由已知AO=OC,DO=OB 因为AB =AO+OB=OC+DO=DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 所以ABCD为平行四边形。

4-1-8. 已知向量a的模是4,它与轴u的夹角60,求向量a在轴u上的投影.?解:.prju?u)?4*cos60=4?r?rcos(r。

3=23 24-1-9. 已知一向量的终点在点B?2,?1,7?,它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7,求这向量起点A的坐标解:设起点A为(x,y,z)prjxAB?(2?x0)?4prjyAB?(?1?y)??4 prjzAB?(7?z0)?7解得:x??2y?3z0?04-1-12. 求下列向量的模与方向余弦,并求与这些向量同方向的单位。

线代第4章习题答案

线代第4章习题答案

第4章1.(1)是;(2)是;(3)是;(4)否.2. 证:(1)假设零向量不唯一,即存在两个零向量120,0,但1200≠,则由10αα+=和20αα+=推出1200=,这与假设矛盾. (2)类似(1)中证明. (3)0()0k k k k αααα=-=-=, (1)(01)01ααααα-=-=-=-, 0()0k k k k αααα=-=-=. 3.(1)是;(2)是;(3)否;(4)否. 4. 证:设11223344k A k A k A k A O +++=,则有12341234123412340,0,0,0,k k k k k k k k k k k k k k k k ++-=⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪---=⎩系数矩阵11111111111101011111001111110001A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,则()4r A =, 故12340k k k k ====,即1234,,,A A A A 线性无关.又对任意一个11122122a a A a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,若11223344k A k A k A k A A +++=, 则可得123411123412123421123422,,,,k k k k a k k k k a k k k k a k k k k a ++-=⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪---=⎩解得唯一一组解为:()()()()1111221222111221223111221224111221221,41,41,41,4k a a a a k a a a a k a a a a k a a a a ⎧=+++⎪⎪⎪=-+-⎪⎨⎪=+--⎪⎪⎪=-++-⎩即任意一个A 都可以由这组矩阵线性表出,且表达式唯一,则22dim()4R ⨯=,且1234,,,A A A A 构成22R ⨯的一组基.5. 解:令123110100,,000011A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,则由112233k A k A k A O ++=可解得1230k k k ===,即123,,A A A 线性无关. 又对任意一个A V ∈,a ab Ac c +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,若112233k A k A k A A ++=,可解得唯一一组解为: 123,,k a k b k c ===,即任意一个A 都可以由123,,A A A 线性表出,且表达式唯一,则dim()3V =,且123,,A A A 构成V 的一组基. 6. 解:2()65f x x x =-+,故在这组基下的坐标为[]6,5,1T-.7. 解:(1)根据过渡矩阵C 的3个列向量分别是21,1,(1)x x ++在基21,,x x 下的坐标,可得111012001C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (2)新的基为:21,1,2x x x -+-+. 8. 解:(1)显然对加法和数乘封闭.(2)令1100A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,2010A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,…,001n A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ . 若1122n n k A k A k A O ++= ,显然可推出120n k k k ==== ,即12,,,n A A A 线性无关.又对任意一矩阵12A n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,若 1122n n k A k A k A A ++= ,可解得唯一一组解为:121,2,,n k k k n === .即任意一个A W ∈都可以由12,,,n A A A 线性表出,且表达式唯一,则dim()W n =,且12,,,n A A A 构成W 的一组基. 9. 解:11211121211101111103001301170000A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则()3r A =,故由1234,,,αααα 生成的子空间维数是3,一组基为123,,ααα(或124,,ααα).11.解:过渡矩阵为:205133113C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦,若有一非零向量[],,T w x y z =,满足w Cw =,则可得方程组25,33,3,x x z y x y z z x y z =+⎧⎪=++⎨⎪=---⎩对系数矩阵经初等行变换后得阶梯形方程组50,0,x z y z +=⎧⎨-=⎩ 可解得一般解为: [5,,]w c c c =-,c 为任一非零常数.12. 证:已知()()()()112112212211,,313b a a b a a b a a b αβ-⎛⎫⎛⎫==-+-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, (1)()()()()112212,3,b a a b a a αββα=-+-+=;(2)()()()()()1112221122,33,,c a b a b c a b a b αβγαγβγ+=+--+--++=+; (3)()()()()112212,3,k kb a a kb a a k αβαβ=-+-+=;(4)()()()()22112212122,320a a a a a a a a a αα=-+-+=-+≥,若(),0αα=,当且仅当1220,0,a a a -=⎧⎨=⎩ 故120a a ==,即0α=.由于(),αβ满足定义4.6中的4个性质,故是2R 的内积.13. 解:(1)1||α=2||α=,3||α=.因为()2323,cos ||||10ααθαα==-,故arccos 10θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. (2)设与123,,ααα都正交的向量为()1234,,,b b b b β=,则可得12341234123420,230,220,b b b b b b b b b b b b +-+=⎧⎪++-=⎨⎪---+=⎩ 经过初等行变换可得阶梯形矩阵:123423420,330,b b b b b b b +-+=⎧⎨-+-=⎩ 解得一般解为()34343455,33,,Tb b b b b b β=-+-,其中34,b b 为自由变量,或者通解表达式为1255331001k k β-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.14. 解:()111,0,1,1Tβα==,)1111,0,1,1||Tβγβ==. ()22211121,,1,,333Tβααγγ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭,)2221,3,2,1||Tβγβ==--. ()()333113223112,,,,,5555Tβααγγαγγ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭,)3333,1,1,2||Tβγβ==--. 15. 解:()110,0,1Tβα==,()10,0,1Tγ=. ()()22211,0,1,0T βααγγ=-=,()20,1,0Tγ=.()()()33311322,,1,0,0T βααγγαγγ=--=,()31,0,0Tγ=. 16. 证:(1)()()T T T T T AB AB B A AB B EB B B E ====.(2)A 正交,则||1A =±,*1*||A A A A -==±,则**1111()()()T T T A A A A A A E E ----====. 17. 解:已知1T X X =,则(2)(2)(2)(2)T T T T T T Q Q E XX E XX E XX E XX =--=-- 44()44T T T T T E XX X X X X E XX XX E =-+=-+=, 即Q 为正交矩阵.若T X =,则122122123221T Q E XX --⎡⎤⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 18. 解:73217737326a Q b c -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,通过T Q Q E =得 214960,1421180,621120,a bc abc -+-=⎧⎪-+=⎨⎪---=⎩解得626,,777a b c =-==-.19. 证:因为T Q Q E =,故对任意n X R ∈,有()()()22||,||TT T T QX QX QX QX QX X Q QX X X X =====,则一定有 ||||QX X =.20.(1)否;(2)是;(3)是;(4)否. 21. 解:(1)A 112(1,1,0)T εεε==+,A 212(1,1,0)T εεε=-=-, A 33(0,0,1)T εε==,所求矩阵为:110110001D ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (2) A ()12110T,,ηη==,A()212002T,,ηη==,A ()31232012T,,ηηηη==-+,故所求的矩阵为022101001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.22. 解:(1)A 1123(2,3,5)235T εεεε==++,A 2ε=A 110⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ A 1123(1,3,5)35T εεεε=---=---,A 2ε=A 111⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ A 2ε-A 1123(1,1,1)T εεεε=--=-+-,故所求的矩阵为211331551A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.(2)已知1232αεεε=-+,则21124331110551114y AX --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.23. 解:010001000D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦24. 证:必要性:因为12,,,n εεε 是V 的标准正交基,则(,),1,i j ij i j n εεδ=≤≤. 因为A 是正交变换,则(A ()i ε,A ()j ε)ij δ=, 1,i j n ≤≤. 即A ()i ε,A ()j ε,…,A ()n ε是V 的标准正交基. P 40.3.(作业册)解:211111111111011312240000---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦,解得4343423x x x X x x -⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则解空间的解向量为[]10,1,1,0T α=,[]22,3,0,1Tα=-,通过Schmidt 标准正交化得]10,1,1,0T γ=,]24,3,3,2Tγ=--.。

线性代数 (清华大学出版)课后习题部分解答(第四章)

线性代数 (清华大学出版)课后习题部分解答(第四章)

第四章课后习题 及解答1. 证明:T )(1,1,1,11=α, T )(1,1,1,12--=α, T )(1,1,1,13--=α, T )(1,1,1,14--=α是4R 的一组基, 并求T )(1,1,2,1=β在这组基下的坐标.证明:0161111111111111111,,,4321≠-=------=)(αααα.R ,,,44321的一组基是αααα∴设β在这组基下的坐标为x ,则x )(4321,,,ααααβ=,从而 βαααα14321,,,-=)(x⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫--→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫------4141414510001000010000111211111111111111111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∴111541x 2. 已知3R 的两组基为.6,1,1,1,2,5,4,1,3,1,7,3,3,3,2,1,2,1T3T 2T 1T1T 2T 1)()()()()()(-======βββααα求:(1)向量T2,6,3)(=γ在基{}321,,ααα下的坐标; (2)基{}321,,ααα到基{}321,,βββ的过渡矩阵; (3)用公式(4.7)求γ在基{}321,,βββ下的坐标。

解:(1)设γ在基{}321,,ααα下的坐标为x ,则:x )(321,,αααγ=从而 γααα1321,,-=)(x⎪⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛→→ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫112100010001263131732321 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∴112x(2)设基{}321,,ααα到基{}321,,βββ的过渡矩阵为A ,则:A ,,,,321321)()(αααβββ=从而 )()(3211321,,,,A βββααα-= ⎪⎪⎪⎭⎫--- ⎝⎛→→ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫-8124920941712710010001614121153131732321 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=∴81249209417127A (3)设γ在基{}321,,βββ下的坐标为y ,则:x y 1A -= ⎪⎪⎪⎭⎫-⎝⎛→→ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫----4832534153100100111281249209417127⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴83106153414832534153y3. 已知4R 的两组基为.2,1,3,1,2,1,1,2,2,2,1,0,1,0,1,21,0,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,0,1,2,1T4T3T2T1T4T 3T 2T 1)()()()()()()()(=-===--=-=-=-=ββββαααα(1)求基{}4321,,,αααα到基{}4321,,,ββββ的过渡矩阵;若γ在基{}4321,,,αααα下的坐标为T 0,0,0,1)(,求γ在基{}4321,,,ββββ下的坐标.(2)求基{}4321,,,ββββ到基{}4321,,,αααα的过渡矩阵;若ξ在基{}4321,,,ββββ下的坐标为T 0,1,2,1)(-,求ξ在基{}4321,,,αααα下的坐标.(3)已知向量α在基{}4321,,,αααα下的坐标为T 0,1,2,1)(-,求它在基{}4321,,,ββββ下的坐标.解:(1)设基{}4321,,,αααα到基{}4321,,,ββββ的过渡矩阵为A ,则:A ,,,,,,43214321)()(ααααββββ=从而 )()(432114321,,,,,,A ββββαααα-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫------0111101011100110001000010000122211120311112021110011112121111 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴010111010111001A 设γ在基{}4321,,,ββββ下的坐标为y ,则:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0001A 1-y⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫101-01000100001000010001010111010111001 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴101-0y(2) 设基{}4321,,,ββββ到基{}4321,,,αααα的过渡矩阵为B ,则:B ,,,,,,43214321)()(ββββαααα= ),,,(),,,(432114321B ααααββββ-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫----⎝⎛→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫------11111000001111101000100001000011110111121211112221112031111202⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=∴1111100000111110B设ξ在基{}4321,,,αααα下的坐标为x ,则:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1131012101011101011100101-21A x(3)设α在基{}4321,,,ββββ下的坐标为z ,则:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20130121111110000011111001-21B z 4. 在4R 中找一个向量γ,它在自然基{}4321,,,εεεε和基T4T3T2T13,1,6,6,1,2,3,5,0,1,3,0,1,1,1,2)()()()(===-=ββββ下有相同的坐标.解:设所求坐标为x ,则它满足:x x )()(43214321,,,,,,ββββεεεε= 即:0211111163216501=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000110010101001211111163216501 ∴此齐次线性方程组的一般解为:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1111k x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==∴1111,,,4321k x )(可取εεεεγ 5. 已知)()()(2,2,1,1,1,1,3,2,1,1,2,1---=-=-=γβα。

线性代数第四章习题答案

线性代数第四章习题答案

0 a+1 1 −1
1 − a2 = (a + 1)2 (a − 2). a
a −1 a
0 a + 1 −1 − a
1 −1
所以, a = −1 或 a = 2 时向量组线性相关. 更常规的思路是: 向量组 a1 , a2 , a3 线性相关, 则存在不全为零的数 k1 , k2 , k3 使得
k1 a1 + k2 a2 + k3 a3 = 0.
50
第四章 向量组的线性相关性 解: (1) 因为
A= −1 2 3 1 1 0 1 −1 0 0 2 7 2 1 7 2 −1 0 0 2 1 0 1 1 , 0
r2 + 3r1 4 r3 + r1 1
可见 R(A) = 2, 所以该向量组是线性相关的. 或者: 由 −1 2 1 3 + 1 = 4 1 0 1 知线性相关. (2) 因为

1 a3 = −1 1
4
.
解: 由 3(a1 − a) + 2(a2 + a) = 5(a3 + a) 得 2 10 1 1 5 + 1 1 a = (3a1 + 2a2 − 5a3 ) = 6 2 1 3 5 3= 3 0 1
2
;

4 −2 1 , b3 = B : b1 = , b2 = 1 1 1 3 1 2
2


0


4
.
即线性方程组

线性代数第四章答案解析

线性代数第四章答案解析

线性代数第四章答案解析第四章向量组的线性相关性1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T=(1-0, 1-1, 0-1)T=(1, 0, -1)T .3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T .2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1,3)T ,a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T .解由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得)523(61321a a a a -+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61TT T --+==(1, 2, 3, 4)T .3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明由-=312123111012421301402230) ,(B A ????? ??-------971820751610402230421301~r ????? ?------531400251552000751610421301 ~r-----000000531400751610421301~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.由-????? ??---????? ??-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R(B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明由- ??- ??--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示;(2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1,a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示.(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为-???? ??-???? ??-=000110121220770121101413121~~r r A , 所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关? a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1,a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由aa aA 111111||--=如能使行列式等于0,则此时向量组线性相关.(具体看书后相应答案)8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1,a 2线性表示的表示式. 解因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0, 由此得2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=,设211λλλ+-=c , 则b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关?试举例说明之. (也可看书后答案)解不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有 a 1+b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10. 举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a 1, a 2, ? ? ?, a m 是线性相关的, 则a 1可由a 2, ? ? ?,a m 线性表示. 解设a 1=e 1=(1, 0, 0, ? ? ?, 0), a 2=a 3= ? ? ? =a m =0, 则a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关, 但a 1不能由a 2, ? ? ?, a m 线性表示.(2)若有不全为0的数λ1, λ2, ? ? ?, λm 使λ1a 1+ ? ? ? +λm a m +λ1b 1+ ? ? ? +λm b m =0成立, 则a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关, b 1, b 2, ? ? ?, b m 亦线性相关. 解有不全为零的数λ1, λ2, ? ? ?, λm 使λ1a 1+ ? ? ? +λm a m +λ1b 1+ ? ? ? +λm b m =0,原式可化为λ1(a1+b1)++λm(a m+b m)=0.取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,,a m=e m=-b m,其中e1,e2,,e m为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,,a m和b1,b2,,b m均线性无关.(3)若只有当λ1,λ2,,λm全为0时,等式λ1a1++λm a m+λ1b1++λm b m=0才能成立,则a1,a2,,a m线性无关, b1,b2,,b m亦线性无关.解由于只有当λ1,λ2,,λm全为0时,等式由λ1a1++λm a m+λ1b1++λm b m=0成立,所以只有当λ1,λ2,,λm全为0时,等式λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)++λm(a m+b m)=0成立.因此a1+b1,a2+b2,,a m+b m线性无关.取a1=a2==a m=0,取b1,,b m为线性无关组,则它们满足以上条件,但a1,a2,,a m线性相关.(4)若a1,a2,,a m线性相关, b1,b2,,b m亦线性相关,则有不全为0的数,λ1,λ2,,λm使λ1a1++λm a m=0,λ1b1++λm b m=0同时成立.解a1=(1, 0)T,a2=(2, 0)T,b1=(0, 3)T,b2=(0, 4)T,λ1a1+λ2a2 =0?λ1=-2λ2,λ1b1+λ2b2 =0?λ1=-(3/4)λ2,λ1=λ2=0,与题设矛盾.11.设b1=a1+a2,b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.证明由已知条件得a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3 =b 1-b 2+b 3-a 4 =b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ? ? ?, b r =a 1+a 2+ ? ? ? +a r , 且向量组a 1, a 2, ? ? ? , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ? ? ? , b r 线性无关. 证明已知的r 个等式可以写成=100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , 上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ? ? ? , b r 线性无关.13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解由-????? ??--????? ??----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7).。

线性代数第4章习题答案(48p)

线性代数第4章习题答案(48p)
k 1 k 1 −1 = k 2 − 3k − 4 = (k − 4)(k + 1) ≠ 0 1
由于 D = 1
2 −1
⇒ k ≠ 4且k ≠ −1. 故应选 (C) .
(2) 线性方程组 Am×n X = b 有唯一解的条件是 B ). 有唯一解的条件是( (B) R(A) = R(A b) = n ; (A) m = n ; ) 都不对. 都不对 (C) Ax = θ 只有零解 只有零解; (D) (A),(B),(C)都不对 解: 线性方程组 Am×n X = b 有唯一解的充要条件是其 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且为n 选项(A)只 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且为 . 选项 只 表明方程组中方程的个数与未知量个数相同, 表明方程组中方程的个数与未知量个数相同 此时系 数矩阵的秩与增广矩阵的秩未必相等且为n 数矩阵的秩与增广矩阵的秩未必相等且为 , 故选项 (A)不正确 选项 成立的条件是系数矩阵的秩为 , 不正确. 选项(C)成立的条件是系数矩阵的秩为 成立的条件是系数矩阵的秩为n 不正确 也不正确. 但此时增广矩阵的秩未必为n, 故选项(C)也不正确 但此时增广矩阵的秩未必为 故选项 也不正确 由排除法知选项(B)正确 因此应选(B). 由排除法知选项 正确, 因此应选 正确
四. 求方程组
x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 5 的特解. x1 − x2 + x3 + x4 = 1 的特解
解: B = 1 2 3 4 5 → 1 2 3 4 5 1 −1 1 1 1 0 −3 −2 −3 −4
∴ R( A) = R( B) = 2 < 4 = n.
α 4. 设Ax = b为四元齐次线性方程组,R(A)=3,1 , α 2 , α 3 为四元齐次线性方程组, 为四元齐次线性方程组 ,
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第四章 向量组的线性相关性1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T=(1-0, 1-1, 0-1)T=(1, 0, -1)T .3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3⨯1+2⨯0-3, 3⨯1+2⨯1-4, 3⨯0+2⨯1-0)T =(0, 1, 2)T .2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得)523(61321a a a a -+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61TT T --+==(1, 2, 3, 4)T .3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------971820751610402230421301~r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明 由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示.(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ;(2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关? a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由aa aA 111111||--=如能使行列式等于0,则此时向量组线性相关.(具体看书后相应答案)8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式. 解 因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使 λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0, 由此得2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=,设211λλλ+-=c , 则b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关?试举例说明之.(也可看书后答案)解不一定.例如,当a1=(1, 2)T, a2=(2, 4)T, b1=(-1,-1)T, b2=(0, 0)T时,有a1+b1=(1, 2)T+b1=(0, 1)T, a2+b2=(2, 4)T+(0, 0)T=(2, 4)T,而a1+b1,a2+b2的对应分量不成比例,是线性无关的.10.举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a1,a2,⋅⋅⋅,a m是线性相关的,则a1可由a2,⋅⋅⋅,a m线性表示.解设a1=e1=(1, 0, 0,⋅⋅⋅, 0),a2=a3=⋅⋅⋅=a m=0,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,但a1不能由a2,⋅⋅⋅,a m线性表示.(2)若有不全为0的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0成立,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性相关.解有不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0,原式可化为λ1(a1+b1)+⋅⋅⋅+λm(a m+b m)=0.取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,⋅⋅⋅,a m=e m=-b m,其中e1,e2,⋅⋅⋅,e m为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,⋅⋅⋅,a m和b1,b2,⋅⋅⋅,b m均线性无关.(3)若只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0才能成立,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性无关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性无关.解由于只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式由λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0成立,所以只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)+⋅⋅⋅+λm(a m+b m)=0成立.因此a1+b1,a2+b2,⋅⋅⋅,a m+b m线性无关.取a 1=a 2= ⋅ ⋅ ⋅ =a m =0, 取b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b m 为线性无关组, 则它们满足以上条件, 但a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关.(4)若a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b m 亦线性相关, 则有不全为0的数, λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅,λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m =0, λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0同时成立.解 a 1=(1, 0)T , a 2=(2, 0)T , b 1=(0, 3)T , b 2=(0, 4)T ,λ1a 1+λ2a 2 =0⇒λ1=-2λ2, λ1b 1+λ2b 2 =0⇒λ1=-(3/4)λ2,⇒λ1=λ2=0, 与题设矛盾.11. 设b 1=a 1+a 2, b 2=a 2+a 3, b 3=a 3+a 4, b 4=a 4+a 1, 证明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关. 证明 由已知条件得a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3 =b 1-b 2+b 3-a 4 =b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ⋅ ⋅ ⋅, b r =a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a r , 且向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关. 证明 已知的r 个等式可以写成⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , 上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关.13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7). 解 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=00000059014110180590590141763451312141) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1T , a 2T , a 3T )=R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例, 故a 1T , a 2T 线性无关, 所以a 1T , a 2T 是一个最大无关组.14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125;解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731253423~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125,所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211. 解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---141131302151201221113142~rr r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------22201512015120122112343~rr r r +↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(关于14的说明:14题和书上的14题有些不同,答案看书后的那个)15. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解 设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=52001110311161101110311131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.16. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 已知n 维单位坐标向量e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由它们线性表示, 证明a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.证法一 记A =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ), E =(e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n ). 由已知条件知, 存在矩阵K , 使E =AK .两边取行列式, 得|E |=|A ||K |.可见|A |≠0, 所以R (A )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.证法二因为e1,e2,⋅⋅⋅,e n能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,所以R(e1,e2,⋅⋅⋅,e n)≤R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n),而R(e1,e2,⋅⋅⋅,e n)=n,R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)≤n,所以R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)=n,从而a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关.17.设a1,a2,⋅⋅⋅,a n是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表示.证明必要性:设a为任一n维向量.因为a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关,而a1,a2,⋅⋅⋅,a n,a 是n+1个n维向量,是线性相关的,所以a能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,且表示式是唯一的.充分性:已知任一n维向量都可由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,故单位坐标向量组e1,e2,⋅⋅⋅,e n能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,于是有n=R(e1,e2,⋅⋅⋅,e n)≤R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)≤n,即R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)=n,所以a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关.18.设向量组a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量a k (2≤k≤m),使a k能由a1,a2,⋅⋅⋅,a k-1线性表示.证明因为a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,所以存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm,使λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λm a m=0,而且λ2,λ3,⋅⋅⋅,λm不全为零.这是因为,如若不然,则λ1a1=0,由a1≠0知λ1=0,矛盾.因此存在k(2≤k≤m),使λk≠0,λk+1=λk+2=⋅⋅⋅=λm=0,于是λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk a k=0,a k=-(1/λk)(λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk-1a k-1),即a k能由a1,a2,⋅⋅⋅,a k-1线性表示.19.设向量组B:b1,⋅⋅⋅,b r能由向量组A:a1,⋅⋅⋅,a s线性表示为(b1,⋅⋅⋅,b r)=(a1,⋅⋅⋅,a s)K,其中K为s⨯r矩阵,且A组线性无关.证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )=r .证明 令B =(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r ), A =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s ), 则有B =AK . 必要性: 设向量组B 线性无关.由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质, 有 r =R (B )=R (AK )≤min{R (A ), R (K )}≤R (K ), 及 R (K )≤min{r , s }≤r . 因此R (K )=r .充分性: 因为R (K )=r , 所以存在可逆矩阵C , 使⎪⎭⎫ ⎝⎛=O E KC r 为K 的标准形. 于是(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )C =( a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s )KC =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r ).因为C 可逆, 所以R (b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )=R (a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r )=r , 从而b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r 线性无关.20. 设⎪⎩⎪⎨⎧+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=-1321312321 n n nnααααβαααβαααβ, 证明向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价. 证明 将已知关系写成⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅0111101111011110) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ, 将上式记为B =AK . 因为0)1()1(0111101111011110||1≠--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-n K n ,所以K 可逆, 故有A =BK -1. 由B =AK 和A =BK -1可知向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 可相互线性表示. 因此向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价.21. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x =3A x -A 2x , 且向量组x , A x , A 2x 线性无关.(1)记P =(x , A x , A 2x ), 求3阶矩阵B , 使AP =PB ; 解 因为AP =A (x , A x , A 2x ) =(A x , A 2x , A 3x ) =(A x , A 2x , 3A x -A 2x )⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110301000) , ,(2x x x A A ,所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110301000B .(2)求|A |.解 由A 3x =3A x -A 2x , 得A (3x -A x -A 2x )=0. 因为x , A x , A 2x 线性无关, 故3x -A x -A 2x ≠0, 即方程A x =0有非零解, 所以R (A )<3, |A |=0.(从22题开始,凡涉及到基础解系问题的,答案都不是唯一的,可以参考本文答案,也可以看书后的答案,不过以书后的答案为主。

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