高等量子力学

高等量子力学连续谱在量子力学中有一些可观测量具有连续的本征值。

于是我们从从本征值方程出发，在连续谱的情况下它被写成：\hat \xi | \xi' \rangle = \xi' | \xi' \rangle \tag{1}其中\hat \xi是一个算符，而\xi' 只是一个数。

也就是说，右矢| \xi'\rangle是算符\hat \xi的一个本征右矢，其本征值为\xi'。

为了类比于分立谱，我们用：狄拉克的\delta函数替代克罗内科符号。

用对连续变量\xi'的积分代替对本征值\{ a_n \}的分立求和。

因此我们有：\langle a_m|a_n\rangle =\delta _{mn}\longrightarrow \langle\xi _p|\xi _q\rangle =\delta \left( \xi _p-\xi _q \right) \tag{2} \sum_n{\left| a_n \right> \left< a_n \right|}=I\longrightarrow\int{d\xi _q\left( \left| \xi _q \right> \left< \xi _q \right|\right)}=I \tag{3} \left| \alpha \right> =\sum_n{\left| a_n\right>}\langle a_n|\alpha \rangle \longrightarrow \left| \alpha \right> =\int{d\xi _q\left| \xi _q \right> \langle \xi _q|\alpha \rangle} \tag{4} \sum_n{\left| \langle a_n|\alpha \rangle\right|}^2=1\longrightarrow \int{d\xi _q}\left| \langle \xi_q|\xi \rangle \right|^2=1 \tag{5} \langle \beta |\alpha \rangle =\sum_n{\langle \beta \left| a_n \right> \left< a_n\right|}\alpha \rangle \longrightarrow \langle \beta |\alpha\rangle =\int{d\xi _q\langle \beta \left| \xi _q \right> \left< \xi _q \right|}\alpha \rangle \tag{6} \langlea_m|\hat{A}|a_n\rangle =a_n\delta _{mn}\longrightarrow \langle \xi _q|\hat{A}|\xi _p\rangle =\xi _q\delta \left( \xi _q-\xi _p \right) \tag{7} 。

位置本征右矢和位置测量首先我们考虑位置算符(一维)的本征右矢满足：\hat x | x_q\rangle = x_q | x_q \rangle \tag{8}首先任一物理态的| \alpha \rangle一定可以通过上述本征右矢集\{ | x_q \rangle \}进行展开：| \alpha \rangle = \int_{- \infty }^{+\infty}dx_q |x_q\rangle \langle x_q | \alpha \rangle \tag{9}此时，若我们用一台测量仪器来测量粒子的位置，也就是当粒子处在[x_0-\frac{1}{2}\Delta x_0,x_0+\frac{1}{2}\Delta x_0]时，会被仪器探测到。

当探测到时，粒子就会坍缩到这个区间内，并可由这个区间内的本征右矢进行展开：| \alpha \rangle = \int_{- \infty }^{+\infty}dx_q |x_q\rangle \langle x_q | \alpha \rangle \overset{测量}{\longrightarrow} \int_{x_0- \frac{1}{2}\Deltax_0 }^{x_0+\frac{1}{2}\Delta x_0}dx_q |x_q \rangle \langle x_q | \alpha \rangle \tag{10} 。

若\Delta x极小，\langle x_0 |\alpha \rangle并没有什么变化，那么粒子处于此位置的概率为：|\langle x_0 |\alpha \rangle |^2dx \tag{11}因此在(-\infty,+\infty)区间内出现的概率为：\int_{-\infty}^{+\infty}|\langle x_q |\alpha \rangle|^2dx_q=1 \tag{12}显然：\langle \alpha | \alpha \rangle =\int_{-\infty }^{+\infty}dx_q \langle \alpha |x_q \rangle \langle x_q | \alpha \rangle =1 \tag{13} 。

其中的\langle x_q | \alpha \rangle就是我们波动力学中的波函数。

显然我们也可以扩充到三维的情形，在非相对论量子力学中人们假定位置的本征右矢| \vec{R} \rangle是完备的。

因此，一个忽略了内部自由度(例如自旋)的粒子的态右矢可以用\{ | \vec{R} \rangle\}做如下展开：| \vec{R_0} \rangle=|x_0,y_0,z_0\rangle \tag{14}并且，可观测量x,y,z具有共同本征右矢：\hat x |\vec{R_0}\rangle=x_0|\vec{R_0}\rangle, \hat y|\vec{R_0}\rangle=y_0|\vec{R_0}\rangle, \hat z|\vec{R_0}\rangle=z_0|\vec{R_0}\rangle, \tag{15} 。

上面其实隐含了一个假定，即：位置矢量的三个分量能在任意精度下同时测量。

因此，我们一定有：[\hat x_i,\hat x_j]=0 \tag{16}平移现在引入一个相当重要的平移或空间位移的概念。

假定开始时我们有一个准确地处于\vec r周围的态，现在我们考虑一种操作：它将这个态改变为另一个准确定位的态，这次位于\vec r+d\vec r周围，而其他的一切性质(如自旋)都不变。

这样的一种操作被定义为：无穷小平移d\vec r，实现这种操作的算符用\hat g (d\vec{r})来表示，即：\hat g(d \vec{r})|\vec r \rangle =| \vec{r} + d\vec{r}\rangle \tag{17}分析无穷小算子需要具有性质：由于该算符在操作后，其他性质均不变，因此必然有：\langle\alpha | \alpha \rangle = \langle \alpha |\hat g^+(d \vec{r})\hat g(d \vec{r} ) |\alpha \rangle \tag{18} 由于右矢| \alpha\rangle的任意性，于是无穷小平移需要是幺正的：\hat g^+(d \vec{r}) \hat g(d \vec{r} ) =I \tag{19} 。

考虑两个相继的无穷小平移：首先平移d \vec {r}_1，接着在平移d \vec{r}_2。

那么其最终的结果应该是矢量之和d \vec{r}_1+ d\vec{r}_2的单一平移操作，于是我们有：\hat g(d \vec{r}_1) \hatg(d \vec{r}_2 )=\hat g (d\vec{r}_1+d \vec{r}_2) \tag{20} 。

考虑相反方向的平移，这个反方向的平移与原来的逆相同(参考2)\hat g^{-1}(d \vec{r})= \hat g(-d \vec{r} ) \tag{21}当d \vec{r} \longrightarrow 0时，平移算符约化为恒等算符：\underset{d \vec{r}\rightarrow0}{lim} \hat{g}(d \vec{r})=I\tag{22} 。

现在我们需要将算符\hat g (d \vec{r})进行一下改写，我们令：\hat K =\frac{i(\hat g(d \vec{r})-I)}{|d \vec{r}|^2}d \vec{r} \tag{23}于是：\hat g (d \vec r )=I-i \hat K \cdot d \vec{r} \tag{24}其中：\hat K \cdot d \vec{r}= \hat K_x dx+\hat K_y dy+\hatK_z dz。

通过式(19)-(22)我们来对算符\hat K进行分析：相继平移\hat g(d \vec{r}_1) \hat g(d \vec{r}_2 ) =(I-i\hat{K}\cdot d \vec{r}_1)(I-i \hat{K}\cdot d \vec{r}_2) \\=I-i\hat{K}\cdot (d\vec{r}_1+d \vec{r}_2)-|d \vec{r}_1||d\vec{r}_2|cos\theta \hat{K}\hat{K} \tag{25} \hat g(d \vec{r}_1+d \vec{r}_2 )=I-i \hat{K}\cdot (d\vec{r}_1+d \vec{r}_2) \tag{26}考虑(25)(26)两项相等，并且考虑d \vec{r}_1、d \vec{r}_2方向的任意性，于是我们可以断定：二级项可忽略。

幺正性\hat g^+ (d \vec r )\hat g(d \vec r )=(I+i \hat K^+\cdot d \vec{r})(I-i \hat K \cdot d \vec{r})=I \tag{27} id\vec{r}(\hat K^+- \hat K)+|d\vec{r}|^2 \hat K^+ \hat K=\hat 0\tag{28} 由于上述1我们知道可忽略|d\vec{r}|的二级项，于是我们有：\hat K^+=\hat K \tag{29} 通过性质2，我们发现算符\hat K是厄米算符。