苏汝铿高等量子力学讲义
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量子力学讲义1
量⼦⼒学讲义1第⼀章绪论前⾔⼀、量⼦⼒学的研究对象量⼦⼒学是现代物理学的理论基础之⼀，是研究微观粒⼦运动规律的科学。
量⼦⼒学的建⽴使⼈们对物质世界的认识从宏观层次跨进了微观层次。
综观量⼦⼒学发展史可谓是群星璀璨、光彩纷呈。
它不仅极⼤地推动了原⼦物理、原⼦核物理、光学、固体材料、化学等科学理论的发展，还引发了⼈们在哲学意义上的思考。
⼆、量⼦⼒学在物理学中的地位按照研究对象的尺⼨，物理学可分为宏观物理、微观物理和介观物理三⼤领域。
量⼦理论不仅可以正确解释微观、介观领域的物理现象，⽽且也可以正确解释宏观领域的物理现象，因为经典物理是量⼦理论在宏观下的近似。
因此，量⼦理论揭⽰了各种尺度下物理世界的运动规律。
三、量⼦⼒学产⽣的基础旧量⼦论诞⽣于1900年，量⼦⼒学诞⽣于1925年。
1．经典理论⼗九世纪末、⼆⼗世纪初，经典物理学已经发展到了相当完善的阶段，但在⼀些问题上经典物理学遇到了许多克服不了的困难，如⿊体辐射等。
2．旧量⼦论旧量⼦论= 经典理论+ 特殊假设（与经典理论⽭盾）旧量⼦论没有摆脱经典的束缚，⽆法从本质上揭露微观世界的规律，有很⼤局限性。
但旧量⼦论为量⼦⼒学理论的建⽴提供了线索，促进了量⼦⼒学的快速诞⽣。
四、量⼦⼒学的研究内容1．三个重要概念：波函数，算符，薛定格⽅程。
2．五个基本假设：波函数假设，算符假设，展开假定，薛定格⽅程，全同性原理。
五、量⼦⼒学的特征1．抛弃了经典的决定论思想，引⼊了概率波。
⼒学量可以不连续地取值，且不确定。
2．只有改变观念，才能真正认识到量⼦⼒学的本质。
它是⼈们的认识从决定论到概率论的⼀次巨⼤的飞跃。
六、量⼦⼒学的应⽤前景1．深⼊到诸多领域：本世纪的三⼤热门科学（⽣命科学、信息科学和材料科学）的深⼊发展都离不开它。
2．派⽣出了许多新的学科：量⼦场论、量⼦电动⼒学、量⼦电⼦学、量⼦光学、量⼦通信、量⼦化学等。
3．前沿应⽤：研制量⼦计算机已成为科学⼯作者的⽬标之⼀，⼈们期望它可以实现⼤规模的并⾏计算，并具有经典计算机⽆法⽐拟的处理信息的功能。
苏汝铿高等量子力学讲义(英文版)Chapter3 Relat汇总
E p ,1 c 2 p 2 m2c 4
E p ,1 c 2 p 2 m 2c 4
§3.3 solutions of the free particle
Oved
§3.3 solutions of the free particle
1) They must follow the relation
E 2 c2 p2 m2c4
2) Operator H must be Hermitian 3) Lorentz invariance
§3.2 Dirac equation
§3.2 Dirac equation
§3.2 Dirac equation
3 † † i i c k k mc 2 t x i 1
3 † † i i c k k mc 2 t i 1 x
3 † † i i c k k mc 2 t i 1 x
§3.2 Dirac equation
4 anti-commute matrices α and β 4×4 matrices
§3.2 Dirac equation
§3.2 Dirac equation
Conservation law of the probability flux
§3.2 Dirac equation
i ' imc imc * ' [ ' ( ') ' ( ')] 2 2mc t t '* ' *
2 2
§3.1 Klein – Gordon equation
【高考】物理竞赛量子力学部分课程小结ppt课件
课程总结
EPR佯谬：
粒子 II
粒子 I
粒子 II
粒子 I
课程总结
EPR佯谬： 对(I)作不同的测量，对(II)有不同的预言 • 无相互作用的分开(I)和(II) • Ψ(x1,x2)=ΣΨn(x2)un(x1) (0<t<T) • Ψ(x1,x2)=ΣΦs(x2)vs(x1) • 对(I)测A：{un(x1)}得ak，(II)的态必为Ψk(x2) • 对(I)测B：{vs(x1)}得bs，(II)的态必为Φs(x2)
课程总结
Von Neumann定理：(d>1) • 若<1>=1；<cA>=c<A>；若A非负，则
<A>≥0；<A+B+C+…>=<A>+<B>+<C>+… 则必存在<ΔD^2>≠0的可观测量D
课程总结
Gleason修正：(d>2，A,B,C对易算符) 天地人靈，難道是，隂陽互補兩昇騰？枉費暸，先賢門半世心，依舊是，白濛濛一天霧！
课程总结
课程总结
课程总结
课程总结
➢量子力学近年来的发展 • 更多的应用 • 量子纠缠和量子信息 • 量子计算 •…
课程总结
Gleason修正：(d>2，A,B,C对易算符) 定域隐变数理论及Bell不等式
欲知后事如何，且聽高等量子力学分解 Ψ(x1,x2)=ΣΦs(x2)vs(x1)
Ψ(x1,x2)=ΣΦs(x2)vs(x1) 算它“完備”又如何？想“測準”，終難定！ |Ψ>给出任何观测量的测量结果和几率分布 <A+B+C+…>=<A>+<B>+<C>+… 互补原理是个最普遍的原理 单粒子行为还是单粒子“系综”的行为？ Ψ(x1,x2)=ΣΦs(x2)vs(x1) 欲知后事如何，且聽高等量子力学分解 枉費暸，意懸懸半世心； 定域隐变数理论及Bell不等式 好一似，蕩悠悠三更夢。 生前心已碎，死后性空靈。 对(I)测B：{vs(x1)} 得bs，(II)的态必为Φs(x2)
高等量子力学讲义5-6章
确定位置设置粒子接收器
→ 比较 → − ↗
散射问题中量子态的渐近行为
量子力学 波函数 描述散射过程中粒子的状态。 − − − − − → 我们考虑非相对论无自旋粒子的入射束，由于考查渐近行为， V = 0，确定粒子的入射粒子束有 平面波描述 i Ae Pz z 沿 z 轴入射 进入散射中心 (靶) 的有效力程后 入射波 (物质波) 发生衍射 − − − − − − − − − − − − − → −→ 原入射方向外 + 其它方向的衍射传播 按衍射理论习惯 − − − − − − − − − − − − → ψi ↓ 入射波 相干叠加 ψ − − − − − − → 进一步，由于散射波是由散射中心向外发散的， 出了有效力程后 相对自由粒子的球面波 − − − − − − − − − − − → ψr→∞ −→ A e
i
+
ψs ↓ 散射波 = ψi + ψs
Pi r cos θ
+A
f (θ, φ) i Ps r e r
Pi 为入射粒子动量； Ps 为粒子经散射的动量。
渐进行为中量与散射物理量的关系
由量子力学：入射粒子流 ⃗ ji = 出射粒子流：
r js =
mi
z ∗ = ∇ψi −→ ji ψi
|A|2 Pi m
2π
若我们完成对立体角的积分，则得到总的散射截面 ˆ ˆ ˆ σ = dσ = σ (θ, ϕ)dΩ =
0
ˆ
0
π
σ (θ, φ) sin θdφdθ
上述物理量的实验获得：
实验可确定量 ↙ 单位时间入射粒子数目 ↘ ratio 微分散射截面 ↓ 总散射截面 散射理论的最终目的→ 确立理论中的散射截面 6 ← 积分 → − ↘ ↘ ↙ 散射后出射的粒子数 ↙
复旦量子力学讲义第四章矩阵力学基础表象理论
• 归一条件
a
25
§4.2 矩阵力学表述
• 归一条件
a
26
§4.2 矩阵力学表述
• 本征值方程
a
27
§4.2 矩阵力学表述
a
28
§4.2 矩阵力学表述
a
29
§4.2 矩阵力学表述
➢矩阵力学提供了另一种与波动力学不同的求 本征值和本征函数的方案：
• 1)求解本征方程 • 2)使算符对应的矩阵对角化源自§4.3 么正变换a
45
§4.3 么正变换
➢一种新的求本征值的方案通过么正变换使 矩阵对角化？并不简易
a
46
§4.3 么正变换
a
47
§4.3 么正变换
➢么正变换不改变矩阵F的阵迹
a
48
§4.3 么正变换
➢演化算符，含时间的么正变换
a
49
§4.4 狄拉克符号
➢目的：引入一套矢量运算方法，不依赖于具 体的表象
• 动量表象：
a
6
§4.1 态和算符的表象表示
• 任意表象：
a
7
§4.1 态和算符的表象表示
a
8
§4.1 态和算符的表象表示
➢说明： • 列矩阵是在Q表象中的波函数 • Hilbert空间与普通空间的不同在于：复矢量、
可以是无穷维、空间维数＝本征函数系中本 征函数的个数 • 若某波函数刚好是Q的本征态，则将它按Q本 征态展开式中只有一项
第四章 矩阵力学基础 ——表象理论
复旦大学 苏汝铿
a
1
a
2
第四章 矩阵力学基础 ——表象理论
➢本章目的： ▪ 给出用各种方式平行描述体系状态、力学量
等方案－－表象 ▪ 找出不同表象之间的相互关系和变换规则－
a
25
§4.2 矩阵力学表述
• 归一条件
a
26
§4.2 矩阵力学表述
• 本征值方程
a
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§4.2 矩阵力学表述
a
28
§4.2 矩阵力学表述
a
29
§4.2 矩阵力学表述
➢矩阵力学提供了另一种与波动力学不同的求 本征值和本征函数的方案：
• 1)求解本征方程 • 2)使算符对应的矩阵对角化源自§4.3 么正变换a
45
§4.3 么正变换
➢一种新的求本征值的方案通过么正变换使 矩阵对角化？并不简易
a
46
§4.3 么正变换
a
47
§4.3 么正变换
➢么正变换不改变矩阵F的阵迹
a
48
§4.3 么正变换
➢演化算符，含时间的么正变换
a
49
§4.4 狄拉克符号
➢目的：引入一套矢量运算方法，不依赖于具 体的表象
• 动量表象：
a
6
§4.1 态和算符的表象表示
• 任意表象：
a
7
§4.1 态和算符的表象表示
a
8
§4.1 态和算符的表象表示
➢说明： • 列矩阵是在Q表象中的波函数 • Hilbert空间与普通空间的不同在于：复矢量、
可以是无穷维、空间维数＝本征函数系中本 征函数的个数 • 若某波函数刚好是Q的本征态，则将它按Q本 征态展开式中只有一项
第四章 矩阵力学基础 ——表象理论
复旦大学 苏汝铿
a
1
a
2
第四章 矩阵力学基础 ——表象理论
➢本章目的： ▪ 给出用各种方式平行描述体系状态、力学量
等方案－－表象 ▪ 找出不同表象之间的相互关系和变换规则－
量子力学讲义1(最新版-010)
※
Peking University
Quantum Mechanics ( I ) 1.0
开始时，人们在经典理论的基础上加 进一些假设来说明新的实验结果，旧量子 论就是这样产生的。由于这种过渡性的理 论未能从本质上揭露微观世界的客观规 律，因而不可避免地在理论体系上带有明 显的矛盾。并且在阐明微观世界规律上有 很大的局限性。
※
Peking University
Quantum Mechanics ( I ) 1.1
在数学上，这样处理的是一个非常复杂 的问题。事实上，在这里，宏观物理量是作 为一个具有巨大数目自由度系统的动力学变 量的统计平均值而出现的。准确求解一个具 有巨大数目自由度系统的演化方程几乎是毫 无希望的，为此，人们发展了统计的研究方 法。于是，一门新的学科，统计力学，便应 运而生。
※
• 经典物理的成就的确眩惑了人们的眼睛。 原本对立的粒子和波这两种概念，被普适 化了、绝对化了。与此同时，牛顿力学和 波动力学的描述方法也被普适化和绝对化 了。仿佛物理学所研究的全部对象必定非 此即彼。与此相应，Laplace决定论也被普 适化和绝对化起来,成了因果论的唯一正确 形式，用Einstein的话来说就是：“上帝是 不玩掷骰子的”。
※
Peking University
Quantum Mechanics ( I ) 1.1
2.关于物质的微粒说
起初，这种理论只用来处理天体和具 有宏观尺度的固体的力学，随后，越来越显 示出，它也是制约微观尺度物质的演变的基 本理论，乃至化学家们提出的原子假说也为 它所证实。由于不可能把分子孤立出来单独 研究它们之间的相互作用而直接验证原子的 假说，人们便通过由组成物体的分子的运动 规律可以导出物体的宏观性质这件事来间接 证实它。
苏汝铿量子力学讲义波函数和Schroinger方程课件
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
▪ 在非相对论情况下,粒子不可能穿透无限高位垒
§2.7 势垒贯穿
▪ 如果讨论的是势阱而不是势垒,那么只需要作代换
§2.7 势垒贯穿
▪ 共振透射的条件和共振能量
➢ 对称性: 若U(x)=U(-x) 则波函数可具有确定的宇称
➢ 正交归一性
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
➢ 上述结论均可用 的性质证明
• 一维薛定谔方程的所有性质都与其相应的 Wronskian行列式有关
§2.7 势垒贯穿
➢ 经典图象:眼前无路好回头 量子图象:眼前无路穿着走
➢ 势阱有无穿透? ➢ 什么条件下全透射无反射? ➢ 势垒高度和宽度的影响?
具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(2)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(1)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(2)
§2.4 一维方势阱
➢ 思考题: 半壁无限势阱时的解如何?
§2.5 一维谐振子
➢ Motivation: 物理上: • 势场在平衡位置附近展开 U(x)~k(x-x0)^2 • 任何连续谐振子体系无穷多个谐振子集合 • 辐射场简谐波的叠加 • 原子核表面振动,理想固体(无穷个振子) • 真正可以严格求解的物理势(不是间断势) • 描述全同粒子体系产生,湮灭算符
§2.5 一维谐振子
➢ Motivation: 数学上: • 学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案 • 通过数学,看物理
§2.5 一维谐振子
§2.5 一维谐振子
➢ 求解1D Schrodinger Eq with harmonic oscillator
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
.
解：(i)
(ii) 10 当
时，显然
20 假设当
时，满足
成立； ，则
这就是说当 综上 10,20 可知 3.4 证明：
时，满足 对于任意
；
；
；
. 的整数恒成立.
. 证：1)
由角动量与坐标算符的对易子
，知
同理有
，
即
6
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
角动量算符与动量算符的对易子 2)
，同上可证
式中 是坐标， , 是相应于 态和 态的能量，求和对一切可能的状态进行. (注：由于质量 与态 字母一样，故将质量 改为 ,避免混淆)
解：
,
,
故
4.6 证明两个厄米矩阵能用同一个幺正变换对角化的充要条件是它们彼此对易.
证:(充分性)
.设使 对角化的幺正变换 ,则
.
的变换矩阵元
即
于是
即时
,
时
故
是对角矩阵的元素，
.
基态能量应取 的最小值,由
得
,
此时，
，即 在
处取得最小值
.
（优化解法）氢原子中有一个电子，电荷为 ，核电荷为 ，总能量算符为
(1)
设原子的最概然半径为 ,则式（1）的基态平均值中可取
(2)
根据不确定度关系，可取
(3)
因此，基态能量约为
(4)
的取值应使 为极小，由极值条件
7
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
当 时，解本征方程
.由
得归一化本征函数
;
当
时，解本征方程
.由
得归一化本征函数
.
即 的本征函数是
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Chapter 2 Many Body Problem
§2.1 Second quantization
The identical particles cannot be distinguished
§2.1 Second quantization
The essence of the identical principle is that the state of a system should be described in terms of the particle number in a certain quantum state and the many-body problem should be discussed in the particle number representation instead of the original coordinate representation
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.5 Superfluidity theory
Experiments: Superfluidity 10^-5~10^-4 cm (η0) κ∞ Mendelson effect λ- point
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.3 Superconductive theory
Experimental results 1908 1911 K.Onnes Liquid helium Hg: Tc=4.2K
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.5 Superfluidity theory
Landau superfluidity theory New idea: elementary excitation
§2.1 Second quantization
We need to introduce the creation and the annihilation operators to deal with various problem in the many-body system
§2.1 Second quantization
n!
i n
N!
C ( n1 , n 2 , ..., n k , ..., t )
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
For Fermions
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
k
(1 2 n
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
mk
m
)
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
Key: two-body problem “one-body problem” + “mean field” Example: Free electron gas in the metal
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
min, stable
max,instalble
phase transition point
Uk 1
2
e
0
ik r
e
e dr r
2
2
0 0
2
e
0
ikr cos
1 r
r dr sin d d
2
4 e k
sin krdr
Screening Coulomb potential
Positive charge background cancels k=0 part
Ehrenfest equation
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
k k0
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
E0 E0
(N )
Stable state
§2.4 Landau phase transition theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
Bogoliubov approximate secondquantization method
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.4 Landau phase transition theory
A~0 real, stable
img,forbidden
§2.4 Landau phase transition theory
Landau theory Ehrenfest equation
§2.4 Landau phase transition theory
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
Discussions The wave function is already symmetric nk is the particle number operator of k state
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
Spin effect
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.4 Landau phase transition theory
Van Laue criticism Can 2nd order phase transition exist?
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
Energy gap equation
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
§2.1 Second quantization
The identical particles cannot be distinguished
§2.1 Second quantization
The essence of the identical principle is that the state of a system should be described in terms of the particle number in a certain quantum state and the many-body problem should be discussed in the particle number representation instead of the original coordinate representation
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.5 Superfluidity theory
Experiments: Superfluidity 10^-5~10^-4 cm (η0) κ∞ Mendelson effect λ- point
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.3 Superconductive theory
Experimental results 1908 1911 K.Onnes Liquid helium Hg: Tc=4.2K
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.5 Superfluidity theory
Landau superfluidity theory New idea: elementary excitation
§2.1 Second quantization
We need to introduce the creation and the annihilation operators to deal with various problem in the many-body system
§2.1 Second quantization
n!
i n
N!
C ( n1 , n 2 , ..., n k , ..., t )
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
For Fermions
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
k
(1 2 n
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
mk
m
)
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
Key: two-body problem “one-body problem” + “mean field” Example: Free electron gas in the metal
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
min, stable
max,instalble
phase transition point
Uk 1
2
e
0
ik r
e
e dr r
2
2
0 0
2
e
0
ikr cos
1 r
r dr sin d d
2
4 e k
sin krdr
Screening Coulomb potential
Positive charge background cancels k=0 part
Ehrenfest equation
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
k k0
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
E0 E0
(N )
Stable state
§2.4 Landau phase transition theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
Bogoliubov approximate secondquantization method
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.4 Landau phase transition theory
A~0 real, stable
img,forbidden
§2.4 Landau phase transition theory
Landau theory Ehrenfest equation
§2.4 Landau phase transition theory
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
Discussions The wave function is already symmetric nk is the particle number operator of k state
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
Spin effect
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
§2.4 Landau phase transition theory
Van Laue criticism Can 2nd order phase transition exist?
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
Energy gap equation
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.5 Superfluidity theory
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory
§2.3 Superconductive theory