高等量子力学 算符
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高等量子力学5-1--5-2
{
m
2
}
（n1 +n2）个基矢
α ⊕ ψ = ∑ ν i αi ⊕ ∑ ε m ψ m
i m
(+) (+)
= ∑ ν i αi ⊕ φ i
( 2)
2)
( ×)
( =∑( ν
i i
= ∑ ν i αi ⊕ φ (
i
⊕ φ(
2)
( )α + ∑ ( φ
m i m
)
(1) + φ ⊕ ∑ εm ψ m m + ∑ φ( ) + εm ψ m
Pr oof ( ∆′ ) : ( A ⊗ L )( B ⊗ M ) ( α ⊗ ψ
（□）
= ( A ⊗ L)( B α ⊗ M ψ = A( B α ) ⊗ L ( M ψ = AB α ⊗ LM ψ
（□） 算符乘积定义
)
)
)
（□）
= ( AB ⊗ LM ) ( α ⊗ ψ
A指A ⊗ I (
1 2)
基矢
Eim = ν i ⊗ ε m = ν i ε m 共n1 × n2个，是R1 ⊗ R2的维数
∴以 Eim 为基矢的表象是K ⊗ P( KP)表象
讨论R1 ⊗ R2中，矢量 α ⊗ ψ 和算符A ⊗ L的矩阵表示 例：n1 = 2, n2 = 3
α1ψ 1 K ⊗ P表象中 α ⊗ ψ α1ψ 2 ψ 1 α1 α1ψ 3 α ⊗ ψ = ⊗ ψ 2 = α 2 ψ α 2ψ 1 3 α 2ψ 2 α ψ 2 3
R1 R2
K 表象
KP表象
P表象
量子力学中的运动学算符
量子力学中的运动学算符量子力学作为现代物理学的重要分支，研究物质和能量在微观尺度上的行为。
运动学是量子力学的一个基础概念，它描述了粒子在空间中的运动轨迹以及位置与时间的关系。
在量子力学中，运动学算符是描述粒子运动状态的数学工具。
本文将介绍量子力学中的运动学算符及其基本性质。
一、位置算符在经典力学中，位置是描述物体在空间中所处位置的物理量。
在量子力学中，位置算符表示对粒子位置的测量。
位置算符通常用符号̂表示，其本征态表示为|r⟩。
位置算符的本征值就是粒子的位置坐标，即|r⟩与对应的本征值r。
位置算符的表示形式为：r = r其中r是一个三维矢量，包含粒子在三个坐标轴上的位置。
二、动量算符在经典力学中，动量是物体的质量和速度的乘积。
在量子力学中，动量算符表示对粒子动量的测量。
动量算符通常用符号̂表示，其本征态表示为|r⟩。
根据量子力学理论，动量算符与位置算符是互补的，即它们不能同时被精确测量到。
动量算符的表示形式为：r= −rℏ∇其中r是虚数单位，ℏ是普朗克常数，∇是梯度算子。
动量算符与位置算符的本征值存在对应关系，即动量本征值为粒子的动量。
三、角动量算符在量子力学中，角动量算符描述了粒子的自旋和轨道角动量。
角动量算符与位置算符和动量算符类似，也是量子力学中的重要概念。
角动量算符通常用符号̂表示，其本征态表示为|r, r⟩，其中r为角动量大小，r为角动量在某个方向上的投影。
角动量算符有三个分量：rr，rr和rr。
三个分量满足角动量的对易关系，即：[rr, rr] = rℏrr[rr, rr] = rℏrr[rr, rr] = rℏrr其中[r, r]表示算符r和r的对易子。
这些对易关系表明了角动量算符的非对易性，与经典力学中角动量的对易性质不同。
四、能量算符在量子力学中，能量是一个系统的基本物理量，描述了物体的能级和储备能量。
能量算符表示对系统能量的测量。
能量算符通常用符号̂表示，其本征态表示为|r⟩。
高等量子力学31产生算符和消灭算符
2; bα b β 2; bα b β 2; ab
2; bb
)
bα b β
∑
= 2; ab 2; ab 2; ab + 2; ba 2; ba 2; ab 2; ab 2; ab 2; ab = 2; ab 2; ab 2; ab + ε 2 2; ba 2; ba 2; ab = 2 2; ab 2; ab 2; ab = 2; ab
分析:① 分析 ① a( b) 把n粒子基矢 → (n-1)粒子基矢⇒ a ( b ) ——消灭算符 粒子基矢 粒子基矢 消灭算符
中有一个离子处于b态则 ②如在 n; bα b β bγ Lbν 中有一个离子处于 态则 a( b) 的作用正 是去掉该粒子,得出其余 个粒子的态,若没有粒子处于 是去掉该粒子 得出其余(n-1)个粒子的态 若没有粒子处于 得出其余 个粒子的态 若没有粒子处于b 才有)， 的作用是将处于b态 ③若 n; bα bbb L bν (Bose才有 ，则 a( b) 的作用是将处于 态 才有 的粒子对称去掉一个，仍得出(n-1)粒子的态 的粒子对称去掉一个，仍得出(n-1)粒子的态 对此态的作用结果为0 态,则 a( b) 对此态的作用结果为 则
0
n; b α ′b β ′ L bν ′ = 1
离散形式
验证： 验证：
b b L bν ′
α′ β′
∑
n; b α ′b β ′ L bν ′
n; b α ′b β ′ L bν ′ n; b α b β L bν 1 ε p Pδ bα ′bα δ b β ′b β L δ bν ′bν ∑ n! P
§31
产生算符和消灭算符
Rn n ; b α b β L bν
没有 明显联系
2; bb
)
bα b β
∑
= 2; ab 2; ab 2; ab + 2; ba 2; ba 2; ab 2; ab 2; ab 2; ab = 2; ab 2; ab 2; ab + ε 2 2; ba 2; ba 2; ab = 2 2; ab 2; ab 2; ab = 2; ab
分析:① 分析 ① a( b) 把n粒子基矢 → (n-1)粒子基矢⇒ a ( b ) ——消灭算符 粒子基矢 粒子基矢 消灭算符
中有一个离子处于b态则 ②如在 n; bα b β bγ Lbν 中有一个离子处于 态则 a( b) 的作用正 是去掉该粒子,得出其余 个粒子的态,若没有粒子处于 是去掉该粒子 得出其余(n-1)个粒子的态 若没有粒子处于 得出其余 个粒子的态 若没有粒子处于b 才有)， 的作用是将处于b态 ③若 n; bα bbb L bν (Bose才有 ，则 a( b) 的作用是将处于 态 才有 的粒子对称去掉一个，仍得出(n-1)粒子的态 的粒子对称去掉一个，仍得出(n-1)粒子的态 对此态的作用结果为0 态,则 a( b) 对此态的作用结果为 则
0
n; b α ′b β ′ L bν ′ = 1
离散形式
验证： 验证：
b b L bν ′
α′ β′
∑
n; b α ′b β ′ L bν ′
n; b α ′b β ′ L bν ′ n; b α b β L bν 1 ε p Pδ bα ′bα δ b β ′b β L δ bν ′bν ∑ n! P
§31
产生算符和消灭算符
Rn n ; b α b β L bν
没有 明显联系
高等量子力学_第二章_算符
条件（1） ：在值域中取一任意 ，证明在定义域有 存在：
1 AB AB
可见对于任意 ，确有 存在，这个 就是 B 。
条件（2） ：若 A 1 A 2 ，用 C 作用在此式两边：
CA 1 CA 2
但此式就是 1 2 ，条件(2)也得到满足，因此 A1 存在。
§2-2 算符的代数运算
在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算， 在这一小节里，我们举几个较复杂的运算例子；并且用代数方 法证明两个常用的算符等式（2.9）和（2.14）两式。
设 A 和 B 为两个线性算符，互不对易。首先我们定义多重对 易式 [ Ai , B]和[ B, Ai ] ：
A A A A a A a
(2.1)
满足下列二条件的，称为反线性算符：
A A A A a A a
*
(2.2)
其中a是任意常数。在量子力学中出现的算符，绝大多数都是线 性算符，下面我们只讨论线性算符。 算符对其定义域中每一个右矢作用，都应有确定的结果。 定义一个具体的算符应当规定其定义域，并指出它对其定义域 中每一个矢量作用的结果。而确定一个具体的线性算符，只须 规定它对其定义域中的一组线性无关的右矢（例如一组基矢） 中每个右矢的作用结果即可。
A B
若两个算符 A和B 满足
[ A, B] AB BA
AB BA
则说这两个算符是可对易的，或称为两个算符对易。 定义： (2.2)
经常使用的几个对易关系：
ˆ ˆ ˆ ˆ [ F , G ] [G , F ]
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [F , G M ] [F , G ] [F , M ]
量子力学之算符
i
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
x pˆ pˆ x i
pˆ pˆ pˆ pˆ 0
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。
xpˆ y pˆ y x 0
xpˆ z
pˆ z
x
0
pˆ x pˆ y pˆ y pˆ x 0
ypˆ x pˆ x y 0 zpˆ x pˆ xz 0
~ x
x
)
0
由于ψ、φ是 任意波函数,
( ~ x
x
)
0
~ x
x
所以
同理可证:
~ pˆ x pˆ x
可以证明： ( Aˆ Bˆ ) B~ˆ A~ˆ
(11)厄密共轭算符
算符 Ô 之厄密共轭算符 Ô + 定义:
由此可得：:
d *Oˆ d (Oˆ )*
d *Oˆ d (Oˆ )*
pˆ* (i)* i pˆ
（10）转置算符
算 符Uˆ 的 转 置 算 符U~ˆ 定 义 为 ：
d *U~ˆ dUˆ *
式中 和 是两个任意函数。
例1：
~ x
x
证：
dx
*
~ x
利用波函数标准条件: 当|x|→∞ 时ψ,→ 0。
dx
x
*
* |
dx
*
x
dx
*
x
dx
*
(
（2）算符相等
若两个算符 Ô 、Û 对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即Ô ψ= Û ψ，则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û 。
（3）算符之和
Hˆ Tˆ Vˆ
表明
Ham ilton算 符Hˆ 等 于
高等量子力学 角动量算符和角动量表象 自旋表象PPT课件
另一幺正性关系是
l
'' '' lm lm l0 ml
l
Ylm* , Ylm ','
1
sin
'
'
l0 ml
(8.70)
这也是函数形式的球谐函数的完全性关系.
第18页/共30页
任何函数 r,, 都可以展开成为
l
r, , clmRlmrYlm , l 0 ml
Ylm* 1,1 Ylm 2,2
ml
2l
4
1
Pl
cos
(8.72)
式中 1,1 和 2 ,2 代表两个单位矢量的方向,而 是二矢量间
的夹角.
另一个有用公式为
eikr 4
l
il jl
kr Ylm*
ek
Ylm
er
l0 ml
2l 1il jl krPl cos
(8.73)
式中
mm！ ！eim
sinm
d
d
cos
lm sin 2l
(8.64)
Ylm* , 1mYl,m,
全部球谐函数构成完全函数组 。
第13页/共30页
§8-5 lm 表象和 表象
在以单粒子的位置 x, y, z 或 r,, 为自变量的函数空间中,
我们建立了与抽象的希尔伯特空间一一对应的态矢量和算符,而且 把这一函数空间分解为两个较小的函数空间的直积空间:一个是以 r 为自变量的函数所组成的空间,以算符 Rˆ 的本征矢量为基矢;另一
jm jm jj mm
（8.16）
此式对轨道角动量、自旋角动量或其它角动量的本征矢量均成立。
第10页/共30页
量子力学——算符（精品pdf）
量子力学
算符
目录
一、位置算符
1.1 厄米算符 1.2 （位置算符）本征值与本征函数
1.3 正则对易关系
二、动量算符
2.1 动量算符导引 2.2 （动量算符）本征值与本征函数
七、自旋算符
7.1 概论 7.2 发展史 7.3 自旋量子数
7.3.1 基本粒子的自旋 7.3.2 亚原子粒子的自旋 7.3.3 原子和分子的自旋
中心的角色。角动量，动量，与能量是物体运动的三个基
本特性
目录 3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系
3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.4 在经典力学里的对易关系 3.5 (角动量)本征值与本征函数
目录 1.1 厄米算符 1.2 本征值与本征函数 1.3 正则对易关系
返回目录 3/52
1.1厄米算符
由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量 O 的期望值是 实值的：
对于任意量子态 ，这关系都成立：
根据伴随算符的定义，假设 是 的伴随算符，则
因此，
这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符 ，都是厄米算符。
2.3 厄米算符 2.4 正则对易关系
7.3.4 自旋与统计
7.4 自旋的方向
三、角动量算符
3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系
3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系
经过一番繁杂的运算，终于得到想要的方程
算符
目录
一、位置算符
1.1 厄米算符 1.2 （位置算符）本征值与本征函数
1.3 正则对易关系
二、动量算符
2.1 动量算符导引 2.2 （动量算符）本征值与本征函数
七、自旋算符
7.1 概论 7.2 发展史 7.3 自旋量子数
7.3.1 基本粒子的自旋 7.3.2 亚原子粒子的自旋 7.3.3 原子和分子的自旋
中心的角色。角动量，动量，与能量是物体运动的三个基
本特性
目录 3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系
3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.4 在经典力学里的对易关系 3.5 (角动量)本征值与本征函数
目录 1.1 厄米算符 1.2 本征值与本征函数 1.3 正则对易关系
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1.1厄米算符
由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量 O 的期望值是 实值的：
对于任意量子态 ，这关系都成立：
根据伴随算符的定义，假设 是 的伴随算符，则
因此，
这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符 ，都是厄米算符。
2.3 厄米算符 2.4 正则对易关系
7.3.4 自旋与统计
7.4 自旋的方向
三、角动量算符
3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系
3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系
经过一番繁杂的运算，终于得到想要的方程
量子力学 算符
ˆx ˆ 1 0 ˆx ˆD D
注：对于单纯是作常数乘法的算符，常省略抑扬符。
（5）算符服从乘法结合律
ˆ (B ˆ) (A ˆB ˆ ˆC ˆ )C A
d ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ, C , Bx 例如： A dx
ˆ 3x ˆ (B ˆ )] f D ˆC ˆC ˆ (3xf ) 3 f 3xf ˆ, [ A B
量子力学的哈密顿算符：
2 2
px V ( x) 2m
其本征值为体系 能量的可能值
2
d ˆ H V ( x) 2 2m dx
这种经典力学的物理量（如能量，坐标和动量等等） 与量子力学算符之间的对应性是普遍的。这是量子力 学的一个基本假定。即：每一物理量都有一个对应的 量子力学算符。 问题：如何得到物理量F所对应的量子力学算符呢？
第一步：写出F作为笛卡儿坐标和对应动量的函数的经 典力学表示。 第二步：做以下变换：
笛卡儿坐标q代之以该坐标去乘的算符，即：q ˆ q 线动量的每个笛卡儿分量pq代之以算符：
i ˆq p 2 i i q i q q
例:
对应于坐标的算符是乘以坐标：
2 2 d ˆ T ˆ V ˆ H V ( x) 2 2m dx
这与不含时间的薛定谔方程一致。
d [ V ( x)] ( x) E ( x) 2 2m dx
2
2
量子力学算符与体系对应的性质的关系
ˆ 的具有本征值 若i 是 F
a i 的本征函数，则有：
ˆ a F i i i
由此可见，算符的假设和薛定谔方程实际上是一致的。
2
2
量子力学体系的态用包含我们可能了解的关于体系的全 部知识的态函数Ψ(x，t)来描述。Ψ如何给出关于性质F 的知识呢？
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为交）；至于 BA的定义域，若 A 的值域在 B 的定义域之内，则 BA 的定义域就是 A 的定义域，若 A 的值域只有一部分在 B 的定义 域内，则 BA的定义域要比 A 的定义域小。
两个算符相等的定义是： A与B 有相同的定义域并且对域内
任意矢量 有
这时我们记作
2020/4/1
A B AB
若两个算符 A和B 满足 ABBA
线性算符的定义域，可以是整个右矢空间本身，也可以是 它的一个子空间。
可以证明，线性算符具有下列性质：
（1）线性算符的值域也是右矢空间（大空间本身或其子空间）。 （2）若定义域是有限维的空间，则值域空间的维数等于或小于
定义域空间的维数。 （3）在定义域中，那些受A的作用得到零矢量的右矢全体，也
构成一个右矢空间（定义域的子空间）。 复数对右矢的数乘，可以看成算符对右矢的作用，每一个
A [A （ i） ， B ] [A （ i） ， B ]A [A （ i 1 ） ， B ]
n A i,B A n i i n 0n n ! i!i!A i,B A n 1 i i n 0n n ! i!i!A i 1 ,B A n i
在上式右边第二个取和式中，取j=i+1，得
§2-2 算符的代数运算
在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算， 在这一小节里，我们举几个较复杂的运算例子；并且用代数方 法证明两个常用的算符等式（2.9）和（2.14）两式。
设 A 和 B 为两个线性算符，互不对易。首先我们定义多重对
易式[ Ai , B]和[B, Ai ] ：
A 0,BB
2020/4/1
由上述定义可知，除交换律不一定成立外，算符之间服从 一般的加、减、乘和幂次的代数运算法则：
ABC ABAC ABC ABC
等等。
A3 AAA
可以用算符和复数构成一个多项式作为算符的函数：
F A a 0 a 1 A a 2 A 2 a n A n
甚至可以构成无穷级数（我们不去仔细考察由此引起的数学问 题），例如可以写
2020/4/1 A [A （ i） ， B ] [A （ i） ， B ]A [A （ i 1 ） ， B ]
（ 2 .6 ） （ 2 .7 ）
例1：证明：
A n B i n 0 n i A i,B A n i i n 0n n ! i! i!A i,B A n i （2.8）
复数都可以看成一个算符；其定义域和值域均为全空间：
a a
其中两个特殊的算符： ， 1 ， 1
对一切 成立；前者称为零算符，后者称为单位算符。 2020/4/1
两个算符 A与B 的和 A B 及乘积 BA的定义是：
AB AB
BA BA
A B 的定义域是 A与B 两算符的定义域的共同部分（数学上称
dddd22F2F2 eeAA AA,, AA,,BB eeAA eA[A(2),B]eA
[ A ,[ A ,B ] ] A [ A ,B ] [ A ,B ] A
将 F () 作 Taylar 展开：
e A B A e F i 01 i! d d iF i 0i i 01 i!A i,Bi
A () f e A e B A (e A B )
A () fe A e B A B e e B e (A B )
A () e B A B e 1 [B ()(ຫໍສະໝຸດ ),A ] 1i[B (i),A ]
i 0 i!
i 0 i!
2020/4/1
A () e B A B e 1 [B ()(i),A ] 1i[B (i),A ]
1 a A 2 1 !a 2 A 2 3 1 ！ a 3 A 3 n 0n 1 !a n A n e aA (2.3)
2020/4/1
注意上式是算符的指数函数的定义式。在此定义下，关系式
eAeBeAB (当[A,B]=0 时成立)
而当[A, B] 0 时是不成立的（参见本节§2-2）。 逆算符 设在一个右矢空间中，算符 A 把定义域中的一个右矢
A ( ) e f A A B e ( A e B ) e A [ B , A ] e B e ( A B )
A () f A A e e B e (A B )[B ,A ]e A e B e (A B )
i 0 i!
i 0 i!
A [ B ,A ] 2 [ B ( 2 ),A ]
A[B,A]
[B (2),A ][B ,[B ,A ] ]0
d(f ) A () f e A e B A B e e B e (A B ) d
f()eA eBe(A B )
A () fe A ( A [ B ,A ]e B ) e ( A B )
B ,A 0 B
A 1,BA ,B B ,A 1 B ,A
A 2,BA ,A ,B B ,A 2 B ,A ,A
（2.5）
……………….. ………………….
显然，对于[ Ai, B] 型的多重对易式有 [A ， [A （ i） ， B ] ][A （ i 1 ） ， B ]
则说这两个算符是可对易的，或称为两个算符对易。
定义：
[A,B]AB BA
(2.2)
经常使用的几个对易关系：
[F ˆ,G ˆ][G ˆ,F ˆ]
[F ˆ,G ˆ M ˆ] [F ˆ,G ˆ] [F ˆ,M ˆ] [F ˆ,G ˆM ˆ] G ˆ[F ˆ,M ˆ] [F ˆ,G ˆ]M ˆ
[F ˆG ˆ,M ˆ] F ˆ[ G ˆ,M ˆ] [F ˆ,M ˆ] G ˆ [A ˆ,[B ˆ,C ˆ] ][B ˆ,[C ˆ,A ˆ] ][C ˆ,[A ˆ,B ˆ] ]0(Ja恒 co等 b
一个算符A，其定义域是一个矢量空间，而又满足下列条件的， 称为线性算符：
AAA
AaAa
(2.1)
满足下列二条件的，称为反线性算符：
AAA
AaAa*
(2.2)
其中a是任意常数。在量子力学中出现的算符，绝大多数都是线 性算符，下面我们只讨论线性算符。
算符对其定义域中每一个右矢作用，都应有确定的结果。
定义一个具体的算符应当规定其定义域，并指出它对其定义域 中每一个矢量作用的结果。而确定一个具体的线性算符，只须 规定它对其定义域中的一组线性无关的右矢（例如一组基矢） 中2每020/个4/1 右矢的作用结果即可。
n 1
n !
A j,BA (n n 11 )i j
j 1nj1!j 1!
将此式的求和傀标j再改成i，即可与第一和式相加，于是得
A n 1 B n i 0 1n n 1 1 ! i!i!A i,B A n 1 i
这是与原式完全相同的形式，只是原来的n成为n+1，这说明原 式若对n成立，对n+1亦成立。由于我们已经证明原式对n=1成 立，20因20/4此/1 ，原式对任何整数n都成立。证毕。
2020/4/1
A 0,BB A 1,BA ,B A 2,BA ,A ,B B
A n B i n 0 n i A i,B A n i i n 0n n ! i! i!A i,B A n i
B An1Bi n0n iA[A （ i） ， B]Ani
2020/4/1
(2.9)式这一类算符等式，还有一种证明方法是引入一个实变
量 ，构造一个含 和一些算符的式子，把它看成 的函数 F ()
而对它进行求导或积分，最后在所得等式中令 =1。
为证明（2.9）式可取
F eABe A
eAB eA
1Ai,B
i0i!
这时
ddddFFeeAAAABBBBAeAA eeAA[AA ,,BB e]e AAA
上式右端可把取和上限推至无穷，由于 m!当m 0 时定义为 ，
i 的上限实际上仍是 n。
证明： 用数学归纳法证明，当n=1时上式为
A B B A [A ,B ]
原式成立。下面我们从原式出发，推出用n+1代替n的同样形 式的式子。
将原式从左方用A作用，得
An1Bi n0n iA[A （ i） ， B]Ani
§2 算符
主要内容： §2-1 定义 §2-2 算符的代数运算 §2-3 作用于左矢的算符 §2-4 厄米算符和幺正算符 §2-5 投影算符
2020/4/1
算符是矢量空间中又一重要概念。在这一节里，我们在右 矢空间中引入算符，并从左右矢空间的对应关系去讨论算符及 其性质。这些性质很容易回到单一空间的表示方法中去。
§2-1 定义
规定一个具体的对应关系，用 A 来表示。使右矢空间中的某
些右矢与其中一些右矢相对应，例如使 与 相对应，记为
A
这样的对应关系 A 称为算符。我们说算符 A 作用于右矢 ，
得到右矢 。
在算符的定义中，被算符A作用的右矢全体，称为A的定义 域；得出的右矢全体称为值域。二者可以不同，也可以部分或 完全2020重/4/1合。通常算符的定义域与值域都是整个空间。
AB=1, CA=1
(2.4)
则算符A有逆，而且
A1BC
证明: 我们证明这样的A满足有逆条件(1)和(2)。
条件（1）：在值域中取一任意 ，证明在定义域有 存在：
1 A B A B
可见对于任意 ，确有 存在，这个 就是 B 。
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条件（2）：若 A1 A 2 ，用 C 作用在此式两边：
n 1 !A A B e Ae ABeA[n 0n 1!AnB]eA n 0n 1 !i 0n n ! i!i!A i,B A n i e A i
!i!A i,B A n i e A i 01 i!A i,B n 0n1 i!A n i e Ai 01 i!A i,B
当于算符的除法，有时也写成 A1 1 A
不是所有的算符都有逆。一个算符A有逆的条件如下：
两个算符相等的定义是： A与B 有相同的定义域并且对域内
任意矢量 有
这时我们记作
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A B AB
若两个算符 A和B 满足 ABBA
线性算符的定义域，可以是整个右矢空间本身，也可以是 它的一个子空间。
可以证明，线性算符具有下列性质：
（1）线性算符的值域也是右矢空间（大空间本身或其子空间）。 （2）若定义域是有限维的空间，则值域空间的维数等于或小于
定义域空间的维数。 （3）在定义域中，那些受A的作用得到零矢量的右矢全体，也
构成一个右矢空间（定义域的子空间）。 复数对右矢的数乘，可以看成算符对右矢的作用，每一个
A [A （ i） ， B ] [A （ i） ， B ]A [A （ i 1 ） ， B ]
n A i,B A n i i n 0n n ! i!i!A i,B A n 1 i i n 0n n ! i!i!A i 1 ,B A n i
在上式右边第二个取和式中，取j=i+1，得
§2-2 算符的代数运算
在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算， 在这一小节里，我们举几个较复杂的运算例子；并且用代数方 法证明两个常用的算符等式（2.9）和（2.14）两式。
设 A 和 B 为两个线性算符，互不对易。首先我们定义多重对
易式[ Ai , B]和[B, Ai ] ：
A 0,BB
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由上述定义可知，除交换律不一定成立外，算符之间服从 一般的加、减、乘和幂次的代数运算法则：
ABC ABAC ABC ABC
等等。
A3 AAA
可以用算符和复数构成一个多项式作为算符的函数：
F A a 0 a 1 A a 2 A 2 a n A n
甚至可以构成无穷级数（我们不去仔细考察由此引起的数学问 题），例如可以写
2020/4/1 A [A （ i） ， B ] [A （ i） ， B ]A [A （ i 1 ） ， B ]
（ 2 .6 ） （ 2 .7 ）
例1：证明：
A n B i n 0 n i A i,B A n i i n 0n n ! i! i!A i,B A n i （2.8）
复数都可以看成一个算符；其定义域和值域均为全空间：
a a
其中两个特殊的算符： ， 1 ， 1
对一切 成立；前者称为零算符，后者称为单位算符。 2020/4/1
两个算符 A与B 的和 A B 及乘积 BA的定义是：
AB AB
BA BA
A B 的定义域是 A与B 两算符的定义域的共同部分（数学上称
dddd22F2F2 eeAA AA,, AA,,BB eeAA eA[A(2),B]eA
[ A ,[ A ,B ] ] A [ A ,B ] [ A ,B ] A
将 F () 作 Taylar 展开：
e A B A e F i 01 i! d d iF i 0i i 01 i!A i,Bi
A () f e A e B A (e A B )
A () fe A e B A B e e B e (A B )
A () e B A B e 1 [B ()(ຫໍສະໝຸດ ),A ] 1i[B (i),A ]
i 0 i!
i 0 i!
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A () e B A B e 1 [B ()(i),A ] 1i[B (i),A ]
1 a A 2 1 !a 2 A 2 3 1 ！ a 3 A 3 n 0n 1 !a n A n e aA (2.3)
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注意上式是算符的指数函数的定义式。在此定义下，关系式
eAeBeAB (当[A,B]=0 时成立)
而当[A, B] 0 时是不成立的（参见本节§2-2）。 逆算符 设在一个右矢空间中，算符 A 把定义域中的一个右矢
A ( ) e f A A B e ( A e B ) e A [ B , A ] e B e ( A B )
A () f A A e e B e (A B )[B ,A ]e A e B e (A B )
i 0 i!
i 0 i!
A [ B ,A ] 2 [ B ( 2 ),A ]
A[B,A]
[B (2),A ][B ,[B ,A ] ]0
d(f ) A () f e A e B A B e e B e (A B ) d
f()eA eBe(A B )
A () fe A ( A [ B ,A ]e B ) e ( A B )
B ,A 0 B
A 1,BA ,B B ,A 1 B ,A
A 2,BA ,A ,B B ,A 2 B ,A ,A
（2.5）
……………….. ………………….
显然，对于[ Ai, B] 型的多重对易式有 [A ， [A （ i） ， B ] ][A （ i 1 ） ， B ]
则说这两个算符是可对易的，或称为两个算符对易。
定义：
[A,B]AB BA
(2.2)
经常使用的几个对易关系：
[F ˆ,G ˆ][G ˆ,F ˆ]
[F ˆ,G ˆ M ˆ] [F ˆ,G ˆ] [F ˆ,M ˆ] [F ˆ,G ˆM ˆ] G ˆ[F ˆ,M ˆ] [F ˆ,G ˆ]M ˆ
[F ˆG ˆ,M ˆ] F ˆ[ G ˆ,M ˆ] [F ˆ,M ˆ] G ˆ [A ˆ,[B ˆ,C ˆ] ][B ˆ,[C ˆ,A ˆ] ][C ˆ,[A ˆ,B ˆ] ]0(Ja恒 co等 b
一个算符A，其定义域是一个矢量空间，而又满足下列条件的， 称为线性算符：
AAA
AaAa
(2.1)
满足下列二条件的，称为反线性算符：
AAA
AaAa*
(2.2)
其中a是任意常数。在量子力学中出现的算符，绝大多数都是线 性算符，下面我们只讨论线性算符。
算符对其定义域中每一个右矢作用，都应有确定的结果。
定义一个具体的算符应当规定其定义域，并指出它对其定义域 中每一个矢量作用的结果。而确定一个具体的线性算符，只须 规定它对其定义域中的一组线性无关的右矢（例如一组基矢） 中2每020/个4/1 右矢的作用结果即可。
n 1
n !
A j,BA (n n 11 )i j
j 1nj1!j 1!
将此式的求和傀标j再改成i，即可与第一和式相加，于是得
A n 1 B n i 0 1n n 1 1 ! i!i!A i,B A n 1 i
这是与原式完全相同的形式，只是原来的n成为n+1，这说明原 式若对n成立，对n+1亦成立。由于我们已经证明原式对n=1成 立，20因20/4此/1 ，原式对任何整数n都成立。证毕。
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A 0,BB A 1,BA ,B A 2,BA ,A ,B B
A n B i n 0 n i A i,B A n i i n 0n n ! i! i!A i,B A n i
B An1Bi n0n iA[A （ i） ， B]Ani
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(2.9)式这一类算符等式，还有一种证明方法是引入一个实变
量 ，构造一个含 和一些算符的式子，把它看成 的函数 F ()
而对它进行求导或积分，最后在所得等式中令 =1。
为证明（2.9）式可取
F eABe A
eAB eA
1Ai,B
i0i!
这时
ddddFFeeAAAABBBBAeAA eeAA[AA ,,BB e]e AAA
上式右端可把取和上限推至无穷，由于 m!当m 0 时定义为 ，
i 的上限实际上仍是 n。
证明： 用数学归纳法证明，当n=1时上式为
A B B A [A ,B ]
原式成立。下面我们从原式出发，推出用n+1代替n的同样形 式的式子。
将原式从左方用A作用，得
An1Bi n0n iA[A （ i） ， B]Ani
§2 算符
主要内容： §2-1 定义 §2-2 算符的代数运算 §2-3 作用于左矢的算符 §2-4 厄米算符和幺正算符 §2-5 投影算符
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算符是矢量空间中又一重要概念。在这一节里，我们在右 矢空间中引入算符，并从左右矢空间的对应关系去讨论算符及 其性质。这些性质很容易回到单一空间的表示方法中去。
§2-1 定义
规定一个具体的对应关系，用 A 来表示。使右矢空间中的某
些右矢与其中一些右矢相对应，例如使 与 相对应，记为
A
这样的对应关系 A 称为算符。我们说算符 A 作用于右矢 ，
得到右矢 。
在算符的定义中，被算符A作用的右矢全体，称为A的定义 域；得出的右矢全体称为值域。二者可以不同，也可以部分或 完全2020重/4/1合。通常算符的定义域与值域都是整个空间。
AB=1, CA=1
(2.4)
则算符A有逆，而且
A1BC
证明: 我们证明这样的A满足有逆条件(1)和(2)。
条件（1）：在值域中取一任意 ，证明在定义域有 存在：
1 A B A B
可见对于任意 ，确有 存在，这个 就是 B 。
2020/4/1
条件（2）：若 A1 A 2 ，用 C 作用在此式两边：
n 1 !A A B e Ae ABeA[n 0n 1!AnB]eA n 0n 1 !i 0n n ! i!i!A i,B A n i e A i
!i!A i,B A n i e A i 01 i!A i,B n 0n1 i!A n i e Ai 01 i!A i,B
当于算符的除法，有时也写成 A1 1 A
不是所有的算符都有逆。一个算符A有逆的条件如下：