函数周期性的几个重要结论
函数周期性公式大总结
竭诚为您提供优质文档/双击可除函数周期性公式大总结篇一：函数周期性结论总结函数周期性结论总结①f(x+a)=-f(x)T=2a②f(x+a)=±1T=2af(x)③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|证明：令x=x-b得f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a即a-b④f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，T=2a证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)证明：因为偶函数,所以f(-x)=f(x)因为关于x=a对称所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质）设x=x+a所以f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a对称，T=4a证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a得：f(x+2a)=f(-x)又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)代换x=x+2a得：f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。
f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t那么x=a+tf(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称，T=2|a-b|证明：f(a+x)=f(a-x)f(b+x)=f(b-x)f(2b-x)=f(x)假设a＞b(当然假设a＜b也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称，T=2a-2b(a＞b)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]关于直线x=a对称=f[a-(x+a-2b)]关于直线x=b对称=f(2b-x)=f(x) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)f(2b-x)=-f(x)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=-f[a-(x+a-2b)]=-f(2b-x)=f(x)篇二：函数周期公式主要知识：1．周期函数：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（k?Z,k?0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y?f?x?满足对定义域内任一实数x（其中a为常数），(1)f?x??f?x?a?，则y?f?x?是以T?a为周期的周期函数；(2)f?x?af?x?，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；(3)f?x?a1，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；fx(4)f?x?a??f?x?b?，则f?x?是以T?a?b为周期的周期函数；以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现频率不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。
函数对称性与周期性几个重要结论赏析
函数对称性与周期性几个重要结论赏析之南宫帮珍创作对称性和周期性是函数的两个重要性质, 下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决笼统型函数的有关习题.一、 几个重要的结论（一）函数图象自己的对称性（自身对称）1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称.2、函数)(x f y =满足)2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称.3、函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+的充要条件是)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称.4、如果函数)(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+, （1T 和2T 是不相等的常数）, 则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数.5、如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ）, 则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数.6、如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ）, 则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数.（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称.2、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称.3、曲线)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称.4、曲线0),(=y x f 关于直线b x =对称曲线为0)2,(=-y b x f .5、曲线0),(=y x f 关于直线0=++c y x 对称曲线为0),(=----c x c y f .6、曲线0),(=y x f 关于直线0=+-c y x 对称曲线为0),(=+-c x c y f .7、曲线0),(=y x f 关于点),(b a P 对称曲线为0)2,2(=--y b x a f .二、试试看, 练练笔1、界说在实数集上的奇函数)(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+, 且)0,1(-∈x 时,512)(+=x x f ,则=)20(log 2f ________.2、已知函数)(x f y =满足0)2()(=-+x f x f , 则)(x f y =图象关于__________对称.3、函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称.4、设函数)(x f y =的界说域为R, 且满足)1()1(x f x f -=-, 则)(x f y =的图象关于__________对称.5、设函数)(x f y =的界说域为R, 且满足)1()1(x f x f -=+, 则)1(+=x f y 的图象关于__________对称.)(x f y =图象关于__________对称.6、设)(x f y =的界说域为R, 且对任意R x ∈, 有)2()21(x f x f =-, 则)2(x f y =图象关于__________对称, )(x f y =关于__________对称.7、已知函数)(x f y =对一切实数x 满足)4()2(x f x f +=-, 且方程0)(=x f 有5个实根, 则这5个实根之和为（ ）A 、5B 、10C 、15D 、188、设函数)(x f y =的界说域为R, 则下列命题中, ①若)(x f y =是偶函数, 则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称；②若)2(+=x f y 是偶函数, 则)(x f y =图象关于直线2=x 对称；③若)2()2(x f x f -=-, 则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称；④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称, 其中正确命题序号为_______.9、函数)(x f y =界说域为R, 且恒满足)2()2(x f x f -=+和)6()6(x f x f -=+, 当62≤≤x 时, x x f 212)(-=, 求)(x f 解析式.10、已知偶函数)(x f y =界说域为R, 且恒满足)2()2(x f x f -=+, 若方程0)(=x f 在[]4,0上只有三个实根, 且一个根是4, 求方程在区间(]10,8-中的根.附参考谜底：1T ：1-2T ：)0,1(3T ：1=x 4T ：y轴即0=x 5T ：①y 轴②1=x 6T ：①41=x ②21=x 7T ：C 8T ：②④9T ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+≤≤++--∈+≤≤--=),6828(2)8(21),2828()8(21)(Z k k x k k x Z k k x k k x x f10T1086420246、、、、、、、、---。
函数周期性结论总结
函数周期性结论总结函数周期性是数学中的一个重要概念，它在解决各种实际问题中起到了重要的作用。
在本文中，我将对函数周期性的结论做一个总结，以便对读者有更清晰的认识。
以下是我对函数周期性的总结：1. 周期性定义在数学中，一个函数被称为具有周期性，当且仅当存在一个正数T，使得对于每一个x值都有f(x+T) = f(x)成立。
其中，T被称为函数的周期。
2. 常见函数的周期性2.1 三角函数的周期性三角函数是一类具有周期性的函数。
常见的三角函数有正弦函数和余弦函数。
正弦函数的周期为2π，即sin(x+2π) = sin(x)；余弦函数的周期也为2π，即cos(x+2π) = cos(x)。
这意味着在一个周期内，正弦函数和余弦函数的值会周期性地重复。
2.2 指数函数的周期性指数函数也具有周期性。
以自然对数为底的指数函数具有周期为2πi的形式，即e^(x+2πi) = e^x。
其中，i是虚数单位。
这意味着在一个周期内，指数函数的值也会周期性地重复。
3. 周期性性质3.1 零点的周期性如果一个函数的周期为T，那么对于任意一个零点x0，它的周期性可以表示为x0 + Tn，其中n为任意整数。
这意味着函数的零点也具有周期性，每隔一个周期就会出现一个零点。
3.2 值域的周期性如果一个函数具有周期T，那么对于函数值f(x)来说，它的周期性可以表示为f(x+T) = f(x)。
这意味着函数的值域也具有周期性，每隔一个周期就会重复一次。
4. 应用举例函数周期性在各个领域都有广泛的应用。
举几个例子来说明：4.1 电力系统在电力系统中，交流电的变化是具有周期性的。
电压和电流随着时间呈周期性变化，周期性的特点使得电力系统能够稳定地运行。
4.2 信号处理在信号处理领域，周期性信号的分析和处理是很重要的。
通过对周期信号的分析，可以准确地获取信号的频率和振幅等信息。
4.3 声音与音乐声音和音乐是具有周期性的。
乐器的音调是具有周期性的，音乐也是以一定的节拍和律动来展现周期性。
函数周期性结论总结
函数周期性结论总结在数学的广袤天地中，函数的周期性是一个非常重要的概念。
它不仅在数学理论中有着关键地位，还在解决实际问题时发挥着重要作用。
接下来，让我们深入探讨一下函数周期性的相关结论。
首先，我们来明确一下函数周期性的定义。
如果存在一个非零常数T，使得对于函数 f(x)定义域内的任意 x，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x)，那么我们就称函数 f(x)是周期函数，T 称为这个函数的周期。
一个周期函数的周期通常不是唯一的。
如果 T 是函数 f(x)的周期，那么 kT（k 为非零整数）也是 f(x)的周期。
这是因为对于任意 x，f(x＋ kT) ＝ f(（x ＋（k 1)T) ＋ T) ＝ f(x ＋（k 1)T) ＝… ＝ f(x)。
但在所有周期中，存在一个最小的正数周期，我们称之为最小正周期。
不过，并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如常函数 f(x) ＝ C（C 为常数），任意非零实数都是它的周期，但是没有最小正周期。
常见的周期函数有正弦函数 y ＝ sin x 和余弦函数 y ＝ cos x，它们的最小正周期都是2π。
正切函数 y ＝ tan x 的最小正周期是π。
对于一些复合函数，其周期性也有相应的规律。
例如，若函数 f(x)的周期是 T₁，函数 g(x)的周期是 T₂，那么函数 f(x) ＋ g(x)的周期是T₁和 T₂的最小公倍数。
但需要注意的是，这个结论并非在所有情况下都成立，还需要具体分析函数的性质。
再来看函数周期性的一些重要性质。
若函数 f(x)是周期函数，且周期为 T，那么 f(x ＋ nT) ＝ f(x)（n 为整数）。
这意味着，在周期函数的图像上，每隔一个周期，函数的图像就会重复出现。
如果函数 f(x)是周期函数，且周期为 T，那么函数 f(ax ＋ b)（a 不为 0）的周期为 T ／｜a|。
比如，函数 f(2x ＋ 3)的周期是函数 f(x)周期的 1/2。
周期性在解题中也有很多应用。
函数的周期性
函 数 的 周 期 性一、知识要点：1.周期性的定义：对于函数)(x f y =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 都成立，那么就把函数)(x f y =叫做 函数，非零常数T 叫做这个函数 。
如果非零常数T 是函数()f x 的周期，那么nT （0,≠∈n Z n ）也是函数()f x 的周期。
二、函数周期性的主要结论：1．如果()()f x a f x b +=+（a b ≠），那么()f x 是周期函数，其中一个周期 2．如果()()f x a f x b +=-+（a b ≠），那么()f x 是周期函数，其中一个周期 3. 偶函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期 4. 函数()f x 有两条不同的对称轴x a =、x b =)0,0(≠≠b a 对称，那么()f x 是周期函数， 其中一个周期5.奇函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期6. 奇函数()f x 关于点()0,a （0a ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期7. 函数()f x 同时关于两点()0,a 、()0,b （a b ≠，0,0≠≠b a ）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期8.函数()f x 的图像关于点()0,a （0a ≠）成中心对称，且关于直线x b =（a b ≠）成轴对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期 9.如果1()()f x p f x +=或1()()f x p f x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期 10.如果()()f x p f x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期11.y =f (x)对R x ∈时，若)()1()2(x f x f x f -+=+，则)(x f 是周期为 的周期函数。
函数的周期性主要结论
函数的周期性主要结论1．如果函数对于一切x∈R,都有 (),那么函数y=f(x)的图像关于直线对称是偶函数2．如果函数对于一切x∈R, 都有f(a+x)=f(b-x)成立，那么函数的图像关于直线x=（由x=确定）对称3.如果函数对于一切x∈R, 都有成立, 那么函数的图像关于点对称4.两个函数图像之间的对称性（1）函数与函数的图像关于直线(即y轴)对称；函数与函数的图像关于直线; 函数与函数图像关于坐标原点对称。
（2）函数,的图像关于直线(由确定)对称（3）函数与函数的图像关于直线对称（由确定（4）函数与函数的图像关于点中心对称5.左加右减（对一个x而言），上加下减（对解析式而言）：若将函数的图像右移a、上移b个单位，得到函数的图像；若将曲线的图像右移a、上移b个单位，得到曲线的图像6.函数的图像是把的图像沿x轴向左平移a个单位得到的；函数的图像是把的图像沿x轴向右平移个单位得到的；函数的图像是把的图像沿x轴向左平移个单位得到的7.定义：对于函数，如果存在一个非零常数T。
使得当x取定义域内的每一个值时，都有，则的最小正周期为T，T为这个函数的一个周期8.如果函数是R上的奇函数，且最小正周期为T，那么9. 如果函数所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期，如果函数的最小正周期为T则函数的最小正周期为，如果是周期函数，那么的定义域无界10.关于函数的周期性的几个重要性质：（1）如果是R上的周期函数，且一个周期为T，那么（2）函数图像关于轴对称（3）函数图像关于中心对称（4）函数图像关于轴对称，关于中心对称（5）或或或, 则的周期T=2a（6），则的周期T=3a（7）则的周期T=4a；（8）,则的周期T=5a；（9），则的周期T= 6a。
函数的周期性和对称性常用结论
函数的周期性和对称性常用结论1.若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”.2.周期性：（1）若()()f x a f b x +=+，则||T b a =-（2）若()()f x a f b x +=-+，则2||T b a =-（3）若1()()f x a f x +=±，则2T a = （4）若1()()1()f x f x a f x -+=+，则2T a = （5）若1()()1()f x f x a f x ++=-，则4T a = 注：（3）、（4）、（5）要求知道并会推导，不要求死记3.对称性（1）若()()f a x f b x +=-，则()f x 的对称轴为2a b x += （2）若()()f a x f b x c +=--+，则()f x 的图象关于点(,)22a b c +中心对称 （3）函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于2a b x +=对称 4.若函数的图象同时具备两种对称性：即两条对称轴、两个对称中心、一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。
（只需要知道这个结论，用的时候会推导即可）（1）若()f x 的图象有两条对称轴x a =和x b =，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为2||b a -；（2）若()f x 的图象有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ()a b ≠，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为2||b a -；（3））若()f x 的图象有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)b ()a b ≠，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为4||b a -；。
函数周期性结论总结(2020年7月整理).pdf
函数周期性结论总结（2020年7月整理）.pdf 函数周期性的定义：若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，都有f(x)=f(x+T)恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
函数的周期性同样可以从“形”的角度理解，在f(x)的图像中，任意两点(x，f(x))和(x+T，f(x+T))，横坐标方向上距离相差T的两个点，它们的纵坐标方向等高，即函数的图像会重复出现，因此函数具有一定的周期性，且函数的周期为T。
函数周期性重要说明
(1)周期函数的定义域一定是无限集；
(2)由周期函数的定义可知，0不能作为函数的周期；
(3)如果T是f(x)是它的一个周期，那么-T也是f(x)的周期，即周期可以为负值；
(4)如果T是f(x)是它的一个周期，那么nT也是f(x)的周期，即周期函数有无数个周期；
(5)如果f(x)为周期函数，且所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期；
(6)周期函数f(x)不一定含有最小正周期，如常数函数，它的周期为任意实数。
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2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=
3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=
4、)
(1
)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1
)(x f a x f -
=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)
(1)
(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1
)(+-
=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)
(1)
(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=
10、若.2
, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则
推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=
推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=
抽象函数的对称性
1若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)
2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)
易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例
函数的周期性
若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x)
③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x)
函数的对称性与周期性
性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|
性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|
性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|。