圆与圆的位置关系-PPT课件
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高中数学课件-2 2圆与圆的位置关系(共25张PPT)
解法一：把圆C1和圆C2的方程化为标准方程：
C1 : ( x 1)2 ( y 4)2 52 C1的圆心(1,4), 半径为r1 5 C2 : (x 2)2 ( y 2)2 ( 10)2 C2的圆心(2, 2),半径为r2 10
连心线长为 (1 2)2 (4 2)2 3 5
r O2
R
r
O
O
1
2
外离 O1O2>R+r
外切 O1O2=R+r
相交 │R-r│<O1O2<R+r
O
1
R
Or
2
R
O
1
Or
2
R
O Or
12
内切
内含
同心圆 (一种特殊的内含)
O1O2=│R-r│ 0≤O1O2<│R-r│ O1O2=0
圆与圆的位置关系转化为圆心距d与R+r、|R-r|关系
圆与圆的位置关系的判定方法二（代数法）：
弦长公式为| AB | 2 r2 d2
例题(变式）：已知圆 C1 : x2 y2 2x 8y 8 0 与圆 C2 : x2 y 2 4x 4 y 2 0
试求两圆公共弦长
解：联立两圆方程得方程组源自x2 y2 2x 8y 8 0 ①
x
2
y2
4x
4
y
2
0
②
①-②得
x 2y 1 0 ③
把上式代入① x2 2x 3 0 解得x1 1, x2 3
x1 y1
1 ,
1
x2 y2
3 1
所以交点A,B坐标分别为（-1,1），（3，-1)
思考3:
已知两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，
C1 : ( x 1)2 ( y 4)2 52 C1的圆心(1,4), 半径为r1 5 C2 : (x 2)2 ( y 2)2 ( 10)2 C2的圆心(2, 2),半径为r2 10
连心线长为 (1 2)2 (4 2)2 3 5
r O2
R
r
O
O
1
2
外离 O1O2>R+r
外切 O1O2=R+r
相交 │R-r│<O1O2<R+r
O
1
R
Or
2
R
O
1
Or
2
R
O Or
12
内切
内含
同心圆 (一种特殊的内含)
O1O2=│R-r│ 0≤O1O2<│R-r│ O1O2=0
圆与圆的位置关系转化为圆心距d与R+r、|R-r|关系
圆与圆的位置关系的判定方法二（代数法）：
弦长公式为| AB | 2 r2 d2
例题(变式）：已知圆 C1 : x2 y2 2x 8y 8 0 与圆 C2 : x2 y 2 4x 4 y 2 0
试求两圆公共弦长
解：联立两圆方程得方程组源自x2 y2 2x 8y 8 0 ①
x
2
y2
4x
4
y
2
0
②
①-②得
x 2y 1 0 ③
把上式代入① x2 2x 3 0 解得x1 1, x2 3
x1 y1
1 ,
1
x2 y2
3 1
所以交点A,B坐标分别为（-1,1），（3，-1)
思考3:
已知两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，
圆与圆的位置关系ppt课件
解法一：联立C1,C2方程 x2+y2+2x+8y-8=0 x2+y2-4x-4y-2=0
解法二：化标准方程
类型一 圆与圆的位置关系的判定
1.已知圆C1:x2+y2+4x+2y-1=0,圆C2:x2+y2+2x+8y-8=0,则圆C1与圆C2 的位置关系是 ( )
A.相离
B.相交
C.外切
D.内切
2.圆A:x2+y2=1与圆B:x2-4x+y2-5=0的公共点个数为 ( )
2．若圆 x2＋y2＝4 与圆 x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为 2 3 ，则 a＝( ) A．2 B．1 C．－1 D．－2
类型三 两圆相交问题
圆与圆位置关系的应用【典例】若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋ y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB
y
X
问题：两圆相交时，圆心距和半径之间有何关系？
Rr
•
O1
d • O2
R-r<d<R+r (R≥r)
01 圆与圆的位置关系
问题：两圆相切时，圆心距和半径之间有何关系？
O1• R r •O2
d （c） 两圆外切: d=R+r（R>r）
O1• O• 2
r R
（d） 两圆内切： d=R-r(R>r)
01 圆与圆的位置关系
类型三 两圆相交问题
公共弦相关的问题
【典例1】已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-2y-6=0,则两圆的公共弦长为
() y
A. 3
B.2 3
《圆与圆位置关系》课件
《圆与圆位置关系》ppt课件
CONTENTS
• 圆与圆的位置关系概述 • 圆与圆的相切关系 • 圆与圆的相交关系 • 圆与圆的分离关系 • 圆与圆位置关系的性质和判定
01
圆与圆的位置关系概述
圆与圆的基本概念
圆心
圆的中心点，通常用大写 字母O表示。
圆
一个平面内，到定点的距 离等于定长的所有点组成 的图形。
平行。
相交关系的性质和判定
总结词
相交关系是圆与圆之间的一种常见位置关系 ，其性质和判定方法对于理解圆与圆的位置 关系同样重要。
详细描述
当两圆相交时，它们的交点数取决于两圆的 相对位置。一般情况下，两圆相交于两个不 同的交点，但有时也可能只有一个交点或没 有交点。此外，相交关系还有对称相交和倾 斜相交两种特殊情况，对称相交时两圆心连 线与两圆的交点连线垂直，倾斜相交时两圆
7
7
04
内切关系在几何图形中常用于
7
构造旋转对称图形和等分图形
。
相切关系的判定
9字
判定两圆是否相切的方法有 多种，其中一种是利用圆心 距和两圆半径的关系进行判 定。
9字
另一种判定方法是利用两圆 在某点相切的性质进行判定 ，即如果两圆在某点相切， 则该点到两圆心的距离相等 。
9字
当两圆的圆心距等于两圆半 径之和时，两圆外切；当圆 心距等于较大圆的半径减去 较小圆的半径时，两圆内切 。
数学公式
d>r1+r2
04
圆与圆的分离关系
圆心距大于两圆半径之和
两圆外离 当两圆的圆心距大于两圆的半径之和时，两圆处于分离状态，没有交点。
圆心距等于两圆半径之和
两圆外切
当两圆的圆心距恰好等于两圆的半径之和时，两圆处于外切状态，仅有一个交点。
CONTENTS
• 圆与圆的位置关系概述 • 圆与圆的相切关系 • 圆与圆的相交关系 • 圆与圆的分离关系 • 圆与圆位置关系的性质和判定
01
圆与圆的位置关系概述
圆与圆的基本概念
圆心
圆的中心点，通常用大写 字母O表示。
圆
一个平面内，到定点的距 离等于定长的所有点组成 的图形。
平行。
相交关系的性质和判定
总结词
相交关系是圆与圆之间的一种常见位置关系 ，其性质和判定方法对于理解圆与圆的位置 关系同样重要。
详细描述
当两圆相交时，它们的交点数取决于两圆的 相对位置。一般情况下，两圆相交于两个不 同的交点，但有时也可能只有一个交点或没 有交点。此外，相交关系还有对称相交和倾 斜相交两种特殊情况，对称相交时两圆心连 线与两圆的交点连线垂直，倾斜相交时两圆
7
7
04
内切关系在几何图形中常用于
7
构造旋转对称图形和等分图形
。
相切关系的判定
9字
判定两圆是否相切的方法有 多种，其中一种是利用圆心 距和两圆半径的关系进行判 定。
9字
另一种判定方法是利用两圆 在某点相切的性质进行判定 ，即如果两圆在某点相切， 则该点到两圆心的距离相等 。
9字
当两圆的圆心距等于两圆半 径之和时，两圆外切；当圆 心距等于较大圆的半径减去 较小圆的半径时，两圆内切 。
数学公式
d>r1+r2
04
圆与圆的分离关系
圆心距大于两圆半径之和
两圆外离 当两圆的圆心距大于两圆的半径之和时，两圆处于分离状态，没有交点。
圆心距等于两圆半径之和
两圆外切
当两圆的圆心距恰好等于两圆的半径之和时，两圆处于外切状态，仅有一个交点。
2-5-2圆与圆的位置关系 课件(共48张PPT)
∴b1＝0，b2＝－4，b3＝－52.
∴k1＝43，k2＝0，k3＝－34.
∴公切线方程为 4x－3y＝0 或 y＝－4 或 3x＋4y＋10＝0. 又两圆外离，公切线有 4 条． ∴另一条切线斜率不存在，据题知其方程为 x＝0.
探究 3 (1)与两个圆都相切的直线叫作两圆的公切线，两圆 的公切线包括外公切线和内公切线两种．
课时学案
题型一 两圆位置关系的判断
例 1 已知圆 C1：x2＋y2－2mx＋4y＋(m2－5)＝0 与圆 C2： x2＋y2＋2x－2my＋(m2－3)＝0，则 m 为何值时：
(1)两圆外离；(2)两圆外切；(3)两圆相交；(4)两圆内含． 【思路分析】 根据圆与圆的位置关系来判定．
【解析】 C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9， C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4. (1)若两圆外离，则 （m＋1）2＋（m＋2）2>3＋2， (m＋1)2＋(m＋2)2>25，m2＋3m－10>0， 解得 m<－5 或 m>2. (2)若两圆外切，则 （m＋1）2＋（m＋2）2＝3＋2， (m＋1)2＋(m＋2)2＝25，m2＋3m－10＝0， 解得 m＝－5 或 m＝2.
(3)过点 M(2，4)向圆 C：(x－1)2＋(y＋3)2＝1 引两条切线， 切点为 P，Q，求 P，Q 所在的直线方程．
【思路分析】 画出如图所示的示意图，根据对称性知 P，Q 在以 M 点为圆心，MP 为半径的圆上．线段 PQ 为两圆的公共弦， 两圆方程相减即得公共弦所在直线方程．
【解析】 如图，连接 MC，PC.因为 P 为切点，故有 CP2 ＋PM2＝CM2，解得 PM＝7，易知 P，Q 在以 M 点为圆心，MP 为半径的圆上，圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝49，即 x2＋y2－4x －8y－29＝0.①
圆与圆之间的位置关系.ppt
d Rr
（1）外离
0 d Rr
d Rr
（3）外切
（2）内含
d Rr
（4）内切
Rr d Rr
（5）相交
总结
外离
d Rr
无公共点一个圆上的所有点都 在另一个圆的外部
圆 的 五 种 位 置 关 系
内含
0 d Rr
无公共点一个圆上的所有点都在 另一个圆的内部
相交
d Rr
一个公共点，一个圆上的点有的在另 一个圆的内部，有的在另一个圆的外部
内切
d Rr
外切
Rr d Rr
一个公共点除公共点外，一个圆上 的点都在另一个圆的内部
两个公共点除公共点外，一个 圆上的点都在另一个圆的外部
观察
实验探究
圆与圆的位置关系如下：
观察两圆的这 五种关系，你 能说出它们各 自有什么特点 吗？比如公共 点的个数？
小结
相离 （没有公共点）
外离 内含
相切 （一个公共点）
外切 内切
相交 （两个公共点）
相交
认识连心线：
通过两圆圆心的直线叫做连心线。连心线
上两圆心的距离叫做圆心距。
如果大圆半径为R，小圆半径为r，圆心距为d。则 在五种情况下三者之间有什么样的数量关系呢？
教学目标
知道圆与圆之间的几种位置关系 知道圆心距、半径数量关系
课前回顾
直线与圆之间有哪几种位置关系？
相离
相切
相交
数量 关系
d>r
d=r
d<r
我们是根据什么来区分它们的关系？ 1、公共点个数 2、数量关系。
思考
如果把这里的直线改为圆，则圆与圆之 间又会有什么样的位置关系呢？我们又可 以根据什么来区分它们的这些位置关系呢？
圆与圆的位置关系ppt课件
C1
r1 C2
r2
内含
C1 rC12r2
内切
r C2
r1 C1
新知讲解
注意： 1.当两个圆是等圆时，它们之间的位置关系只有外离、外切和相交三种情 况(重合时两个圆被看成一个圆). 2.如果两个圆不是同心圆，那么经过两个圆的圆心的直线，叫作两个圆的 连心线.两个圆心之间的线段长叫作圆心距. 思考：两个圆的圆心距d、两个圆的半径r1，r2的大小关系与两个圆的位置 关系有何对应关系？
（2）将圆 <m>C1</m>和圆 <m>C2</m>的方程相减，得 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为 <4m>x + 3y − 23 = 0</m>， 圆心 <m>C2 5,6 </m>到直线 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>的距离为 <m>20+1168+−923 = 3</m>， 故公共弦长为 <m>2 16 − 9 = 2 7</m>.
r1 r2 2 1,r1 r2 2 1.
r1 r2 <d <r1 r2.
∴圆C1与圆C2相交.
思考:还有其他方法判断吗？
新知讲解
例1:画图并判断圆C1：x2 +y2 +2x=0 和圆C2：x2 +y2–2y =1的位置关系.
解法二:联立方程组
x2 y2 2x 0
x2
y2
2
y
1
① ②
2
2 1
高中数学-圆与圆的位置关系课件PPT
0
0 ≤ d＜R-r
2
R-r ＜d＜R+r
d=R+r
1
d=R-r
思想方法：类比方法与分类讨论
T. . . 01 02
. T. .
01
02
说明:相切两圆的连心线必经过切点。
小 要确定两圆的位置关系,关键是计算出 结 数据d、(r1+r2)和(r1–r2)这三个量,再把它们进
行大小比较.(r1＞r2)
1、⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和5cm,在下列情 况下，分别求出两 圆的圆心距d的取值范围：
（1）外离 ___d_>_7___
（2）外切 ___d_=_7___
（3）相交 _3__<_d_<_7______（4）内切 __d_=__3___ （5）内含___0__≤_d_<__3__
切点
外切:两圆有惟一公共点,并且除了公共点
外,一个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫 两圆外切.
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交. 切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点
外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫 两圆内切.
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在
另一个圆的内部时,叫两圆内含.
2、如图，两个圆的圆心都在x轴上，交点
为A、B ，已知点A的坐标为（-2，3），
则点B的坐标为_______。
y
A
○′
○x
B
随堂练习
1.已知半径为1厘米的两圆外切,半径为2厘米 且和这两圆都相切的圆共有 3 个.
2.三角形三边长分别为5厘米、12厘米、13厘 米,以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两 外切,则此三个圆的半径分别多少?
0 ≤ d＜R-r
2
R-r ＜d＜R+r
d=R+r
1
d=R-r
思想方法：类比方法与分类讨论
T. . . 01 02
. T. .
01
02
说明:相切两圆的连心线必经过切点。
小 要确定两圆的位置关系,关键是计算出 结 数据d、(r1+r2)和(r1–r2)这三个量,再把它们进
行大小比较.(r1＞r2)
1、⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和5cm,在下列情 况下，分别求出两 圆的圆心距d的取值范围：
（1）外离 ___d_>_7___
（2）外切 ___d_=_7___
（3）相交 _3__<_d_<_7______（4）内切 __d_=__3___ （5）内含___0__≤_d_<__3__
切点
外切:两圆有惟一公共点,并且除了公共点
外,一个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫 两圆外切.
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交. 切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点
外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫 两圆内切.
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在
另一个圆的内部时,叫两圆内含.
2、如图，两个圆的圆心都在x轴上，交点
为A、B ，已知点A的坐标为（-2，3），
则点B的坐标为_______。
y
A
○′
○x
B
随堂练习
1.已知半径为1厘米的两圆外切,半径为2厘米 且和这两圆都相切的圆共有 3 个.
2.三角形三边长分别为5厘米、12厘米、13厘 米,以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两 外切,则此三个圆的半径分别多少?
2.5.2圆与圆位置关系 课件(共18张PPT)
2.5.2圆与圆的位置
关系
人教A版（2019）
选择性必修第一册
学习目标
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.
3.能够利用上述方法判断两圆的位置关系.
4.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
核心素养：逻辑推理、数学建模
探索新知 两个大小不等的圆的位置关系
所以，方程(4)有两个不相等的实数根1, 2,
因此圆1与圆2有两个不同的公共点．
所以圆1与圆2相交，它们有两个公共点, .
典例剖析
判断两圆位置关系的方法
例1 已知圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0和圆2：2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0，试判断圆1与圆2的位置关系.
A
先动手后动脑
x
1.画出两圆的图象和方程 + 2 − 1 = 0表示的直线的图象
2.你发现了什么？你能说明什么吗？
2
B
1
理论迁移
例1
设圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0,圆2: 2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0,试判断圆1与圆2的关系.
1.求两圆的公共弦所在的直线方程.
几何法判断两圆的位置关系的一般步骤
（1）把两圆的方程化成标准方程；
（2）求出两圆的圆心坐标及半径，；
（3）求两圆的圆心距；
（4）比较与 − ， + 的大小关系，得出结论：
①若 > + ，则两圆外离；
②若 = + ，则两圆外切；
③若 − < < + ，则两圆相交；
关系
人教A版（2019）
选择性必修第一册
学习目标
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.
3.能够利用上述方法判断两圆的位置关系.
4.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
核心素养：逻辑推理、数学建模
探索新知 两个大小不等的圆的位置关系
所以，方程(4)有两个不相等的实数根1, 2,
因此圆1与圆2有两个不同的公共点．
所以圆1与圆2相交，它们有两个公共点, .
典例剖析
判断两圆位置关系的方法
例1 已知圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0和圆2：2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0，试判断圆1与圆2的位置关系.
A
先动手后动脑
x
1.画出两圆的图象和方程 + 2 − 1 = 0表示的直线的图象
2.你发现了什么？你能说明什么吗？
2
B
1
理论迁移
例1
设圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0,圆2: 2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0,试判断圆1与圆2的关系.
1.求两圆的公共弦所在的直线方程.
几何法判断两圆的位置关系的一般步骤
（1）把两圆的方程化成标准方程；
（2）求出两圆的圆心坐标及半径，；
（3）求两圆的圆心距；
（4）比较与 − ， + 的大小关系，得出结论：
①若 > + ，则两圆外离；
②若 = + ，则两圆外切；
③若 − < < + ，则两圆相交；
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0 : 相交 0 : 相切 0 : 相离
外离
外切
相交
内切
内含
圆和圆的五种位置关系
Rr
O1
O2
外离
|O1O2|>|R+r|
Rr
O1
O2
外切
|O1O2|=|R+r|
Rr O1 O2
相交
|R-r|<|O1O2|<|R+r|
R
O1
r
O2
内切
|O1O2|=|R-r|
R
O1
r
O2
内含
0≤|O1O2|<|R-r|
d r1 r2 内切
(3)C1 : x2 y2 2x 8y 8 0
C2 : x2 y2 4x 4y 2 0
解：C1(-1, -4) r1 5 C2 (2, 2) r2 10
d 32 62 3 5 r1 r2 d r1 r2 相交
判断C1和C2的位置关系
C1 : x2 y2 2x 8y 8 0 C2 : x2 y2 4x 4 y 2 0
d (2 4)2 2 22 6
C2 : (x 4)2 ( y 2)2 9
C2 (4, 2) r2 3
r1 r2 d r1 r2 相交
(2)C1 : x2 y2 9 C2 : (x 2)2 y2 1
解：C1(0, 0) r1 3
C2 (2, 0) r2 1
d 22 02 2
谢 谢！
A(-1,1),B(3,-1)
代数方法
(
(x a1)2 ( y b1)2 x a2 )2 ( y b2 )2
r12 r22
消去y或x
px2 qx r 0
0 : 相交 0 :内切或外切 0 : 相离或内含
小结：判断两圆位置关系
几何方法
代数方法
两圆心坐标及半径 （配方法）
判断两圆位置关系
几何方法
外离 d>R+r
两圆心坐标及半径 （配方法）
圆心距d （两点间距离公式）
外切 d=R+r
内切 d=|R-r| 内含 0≤d<|R-r| 相交 |R-r|<d<R+r
比较d和r1，r2的 大小，下结论
结合图形记忆
(1)C1 : (x 2)2 ( y 2)2 49 解：C1(2, 2) r1 7
4.2.2圆与圆的位置关系
直线和圆的位置关系
C rd
l
相交C dlFra bibliotek相切C d
l
相离
回顾：判断直线和圆的位置关系
几何方法
代数方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
(x a)2 ( y b)2 r 2
Ax
By
C
0
消去y（或x）
px2 qx t 0
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
• 解：联立判两个断方C程1和组得C2的位置关系
x2 y2 2x 8 y 8 0 ①
x2
y2
4x
4y
2
0
②
联立方程组
①-②得
x 2y 1 0 ③
消去二次项
把上式代入①
y2 1 0 ④
02 41 (1) 4
消元得一元 二次方程
所以方程④有两个不相等的实根用y1=Δ1，判y断2=两-1. 把y1=1，y2=-1代入方程③得到x1=圆-1的，x位2=置3. 关 所以圆C1与圆C2有两个不同的交点 系
圆心距d （两点间距离公式）
比较d和r1，r2的 大小，下结论
(
(x a1)2 ( y b1)2 x a2 )2 ( y b2 )2
r12 r22
消去y或x
px2 qx r 0
0 : 相交
0
:内切或外切
0 : 相离或内含
练习：
判断两圆的位置关系：
C1 : x2 y2 2x 3y 1 0 C2 : x2 y2 4x 3y 2 0