第二章 力系的简化
第二章 力系的等效与简化
M M O (F ) M O (F ' ) F aO F ' bO F (aO bO) Fd
力偶矩的大小只与组成力偶的力的大小、力偶臂的长短及力偶 在作用面内的转向有关，与矩心的位置无关。 平面力偶矩定义为M=±Fd,
正负号表示其转向规定： 逆时针转向为正； 反之为负。单位为： N· m。 同平面内力偶的等效定理：作用在同一平面内的两个力偶，如 果其力偶矩相等，则两个力偶彼此等效 注意： 两个力偶矩相等，不仅指力偶矩大小相等，还包括其转 向相同。
根据推论1可知： 力偶M对梁的作用效果与其在梁上的位置 无关。因此图3-9（b）中A、B两处的约束力同图（a）的结 果相等。 M FA FB l
例：
第二章 作业
• • • • 2-3; 2-5; 2-8; 2-11;
§2-5 平面力系的简化
平面一般力系向一点简化
• 平面一般力系向一点简化
F F F F Fi Fi
' R ' 1 ' 2 ' n '
Mo Mo (F1 ) Mo (F2 ) Mo (Fn ) Mo (F )
平面任意力系向O点简化的结果：
y
推广之，可得到如下结论： 任意个力偶组成的平面力偶系可以 合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。
M Mi
i 2
n
三、平面力偶系的平衡条件 平面力偶系平衡的充要条件：平面力偶系中各力偶矩的代数 和为零。
M
i 1
n
i
0
上式为平面力偶系的平衡方程。
§2-5 平面力系的简化
平面一般力系向一点简化
离d称为力偶臂，两力作用线所决定的平面称为力偶作用面。
工程力学：第2章 力系的简化
F1sin45 F2sin45 0 FAsin30 F1cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FAcos30 F1cos45 sin30 F2cos45 sin30 P 0
B FB1
相同的均质杆围成正方形，求绳EF的拉力。
要求：
用最少的方 程求出绳EF受 的力
FAy
FAx
A
E
P
FDy
FDx
D
G
P
B
F
P
C
FDy FDx
D
G
P
FDy FDx
D
FCy FCx
C
FBx FT
G
P
FBy
B
F
P
C
例3-3
q
FAx A
M B
2a
P
FAy
4a
FB
ll
30
F
M
3l P
q
例3-4
F
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
FAy
B FB1x
C
M
B
D
Cr
•
E
A
300 F E
FA
FT
C
F A1
FA
求：销钉A所受的力
M
B D
FD D C
第二章 力系的等效简化(陆)
F
A
A
A
A
作用在刚体上的力，可以等效地平移到刚体上任一指定点， 但必须在该力与指定点所确定的平面内附加一个力偶，附加力偶 的力偶矩等于原力对指定点的力矩。
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§2－３
力系的简化
FR 3
一、 汇交力系的简化 １. 汇交力系合成的几何法
FR与MO同方向，则称为右手螺旋；如FR与MO方向相 反，则称为左手螺旋。
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例2－４ 将图所示的力系向Ｏ点简化，求主矢量和主矩。已知 F1=50N，F2=100N，F3=200N。图中长度单位为ｍ。
解：为了下面计算方便，先将各力沿坐标轴分解：
F1 50 i F2 ( 3 / 45 ) 100 i ( 6 / 45 ) 100 k 44.7i 89.4k
2 2 2 R Rx Ry Rz Rx R R Ry R R Rz R R
y
FR
z
x
如果所研究的力系是 平面汇交力系，取力系所 在平面为平面，则该力系 的合力的大小和方向只需 将 FRz=0代入上式中便可 求得。
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例2－1 用解析法求图2－１４所示平面汇交力系的合力。已知 F1=500Ｎ，F2=1000Ｎ，F3=600Ｎ，F4=2000Ｎ。
（２） 若FR≠０， MO≠０，而FR⊥MO ， 表明力偶MO与FR在同一平面内，可进一步 简化为一个合力。 合力的位置必须满足： 合理矩定理：
M (F ) M
0 R
i0
M (F ) M
x R
ix
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第二章力系的简化
A
x
i j k
y
F
MA r F l 2l 0 对点A的力矩： F sin 0 F cos 2Fl cosi Fl cosj 2Fl sin k
15
三.力偶 1.力偶定义 两个等值、反向、不共线的平行力。记为 ( F , F ) 力偶不能合成为一个力，故也不能与 一个力平衡，因此力和力偶都是基本力学 F 量。 F M 静止时力偶 M 与F 平衡吗? 力偶只能使物体转动，用力偶矩衡量
22
2.主矢与主矩——原力系的特征量 1)定义
' 主矢：（各力的矢量和）FR Fi Fi' ，与简化中心无关
主矩： （各力对O点取矩的矢量和）
MO MO (Fi ) ，与简化中心有关
2)简化结果 一般力系向某一点简化，可以得到一个力和一 个力偶，该力作用在简化中心，其大小，方向与原 力系主矢相同；该力偶矩等于原力系对简化中心的 主矩。
F
三要素:
大小、力偶作用面方位、转向.
16
F
2.力偶矩矢
A
rB A
F
F
B
h
rA
M
M
rB
O
定 义: 而
MO F ,F rA F rB F
F ' F
rA rB rB A
M0 F , F (rA rB ) F rBA F rAB F M
5
力矩的解析表达式：
由于F Fx i Fy j Fz k
M O (F ) r F x Fx i
r xi y j zk
第二章 力系的简化
大小： 大小 R' = R'x + R' y = (∑ X ) + (∑ Y )
2 2 2 2
主矢 R ′ （移动效应）方向 移动效应 方向：
α =tg−1
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
④ R ′ ≠0，MO ≠0，为最一般的情况。此种情况还可以继续 可以继续 简化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢 合力 R 的作用线位置
MO d= R
综合上述， 综合上述，有：
合力偶M 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶 O ； ②合力 注意： （1）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， ）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， 故主失与简化中心的选择无关。 故主失与简化中心的选择无关。 （2）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩，应说明是 ）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩， 对哪一点的主矩。 对哪一点的主矩。 （3）主失（大小、方向）与合力（三要素）是两个不同 ）主失（大小、方向）与合力（三要素） 的概念。 的概念。
二、平面一般力系向一点简化
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 一般力系（任意力系） 汇交力系 力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力偶系 力 ， R'(主矢 ， (作用在简化中心) 主矢) 主矢 力偶 ，MO (主矩 ， (作用在该平面上) 主矩) 主矩
主 R' = F + F + F +…= ∑F 矢 1 2 3 i
材料力学 第2章 力系简化
而合力的作用点即平行力系的中心：
n
xC
lim
n
Fi xi
i 1 n
l
q( x) xdx
0 l
lim
n
i 1
Fi
0 q(x)dx
分布力对点A之矩
分布力包围的面积
结论：分布力的合力的大小等于分布力载荷图的面积，合
力的作用线通过载荷图的形心。
2.2 物体的重心、质心和形心
例2-5 如图所示，已知q、l, 求分布力对A点之矩。
2.2 物体的重心、质心和形心
xC
ΣFi xi ΣFi
，yC
ΣFi yi ΣFi
，zC
ΣFi zi ΣFi
3、平行力系中心的性质
平行力系的中心位置只与各平行力的大小和作用点的 位置有关，与平行力的方向无关。
2.2 物体的重心、质心和形心
二、物体的重心、质心和形心
1、重心
n个小体积ΔVi
坐标xi、yi、zi
（2）实验测定方法 悬挂法
称重法
l
A
C
B
xC G
FNB
二力平衡 两次悬挂
2.2 物体的重心、质心和形心
三、分布力
工程上存在大量分布力的情况，通常需要确定这些分布力
的合力的大小及其合力作用线的位置。对于图示的线分布力，
可以视为由无穷个集中力所构成的平行力系，
其合力的大小：FR
l
q ( x)dx
0
FP1 450kN，FP2 200kN
F1 300kN ，F2 70kN
求：
（1）力系向点 O 简化的结果；
（2）力系简化的最终结果。
2.1 力系简化
解：（1）确定简化中心为O点
工程力学 第2章 力系的等效与简化
第2章 力系的等效与简化 作用在实际物体上的力系各式各样，但是，都可用归纳为两大类：一类是力系中的所有力的作用线都位于同一平面内，这类力系称为平面力系；另一类是力系中的所有力的作用线位于不同的平面内，称为空间力系。
这两类力系对物体所产生的运动效应是不同的。
同一类力系，虽然其中所包含的力不会相同，却可能对同一物体产生相同的作用效应。
在就是前一章中提到的力系等效的概念。
本章将在物理学的基础上，对力系的基本特征量加以扩展，引入力系主矢与主矩的概念；以此为基础，导出力系等效定理；进而应用力向一点平移定理以及力偶的概念对力系进行简化。
力系简化理论与方法将作为分析所有静力学和动力学问题的基础。
§2-1 力系等效定理 ２－１－１ 力系的主矢和主矩 ２－１－２ 力系等效定理 §2-2 力偶与力偶系 ２－２－１ 力偶与力偶系 ２－２－２ 力偶的性质 ２－２－３ 力偶系的合成 §2-3 力系的简化 ２－３－１ 力向一点平移定理 ２－３－２ 空间一般力系的简化 ２－３－３ 力系简化在固定端约束力分析中的应用 §2-4 结论和讨论 ２－４－１ 关于力矢、主矢、力矩矢、力偶矩矢以及 主矩矢的矢量性质 ２－４－２ 关于合力之矩定理及其应用 ２－４－３ 关于力系简化的最后结果 ２－４－４ 关于实际约束的简化模型 ２－４－５ 关于力偶性质推论的应用限制 习 题 本章正文 返回总目录第2章 力系的等效与简化 §２－１ 力系等效定理 物理学中，关于质点系运动特征量已有明确论述，这就是：质点系的线动量和对某一点的角动量。
物理学中还指明线动量对时间的变化率等于作用在质点系上的合外力；角动量对时间的变化率等于作用在质点系上外力对同一点的合力矩。
这里的合外力，实际上只有大小和方向，并未涉及作用点或作用线。
因而，需要将其中的合外力与外力的合力矩扩展为力系的主矢和主矩。
２－１－１ 力系的主矢和主矩 主矢：一般力系（F 1，F 2，…，F n ）中所有力的矢量和（图2—1），称为力系的主矢量，简称为主矢（principal vector ），即∑=ni i1R FF ＝(2－1)图2－1力系的主矢其中F R 为力系主矢；F i 为力系中的各个力。
华北电力大学理论力学第二章 力系简化理论
第二章力系简化理论◆力的平移定理◆力系的主矢和主矩◆力系向一点简化◆力系简化结果分析§2–2 主矢和主矩·力系向一点的简化∑∑⨯==ii i O O F r )F (M M R i ix iy ix F F F i F j F k'==++∑∑∑∑ 称为该力系对O 点的主矩（principal moment ）称为该力系的主矢（principal vector ）式中， 分别表示各力对x ，y ，z 轴的矩。
(),(),()x y z M F M F M F空间任意力系的n 个力的矢量和1. 力系的主矢、主矩取任意点O ， n 个力对O 点之矩的矢量和kF M j F M i F M M i z i y i x O ∑∑∑++=)()()(由F 1、F 2组成的空间力系，已知：F 1 = F 2 = F 。
试求力系的主矢F R 以及力系对O 、A 、E 三点的主矩。
1. 计算力系主矢令i 、j 、k 为x 、y 、z 方向的单位矢量，则力系中的二力可写成力系的主矢为：)43(51j i F +=F)43(52j i F -=FiF F F F F i i R 562121=+==∑= 例：求主矢、主矩解：解： 2. 计算主矩应用矢量叉乘方法，力系对O 、A 、E 三点的主矩分别为：()2211M M F r F O O i i i i i ====⨯∑∑2211F r F r ⨯+⨯=)43(53j i k +⨯=F )43(54j i j -⨯+F)12912(5k j i -+-=F)43(51j i F +=F)43(52j i F -=F∑=⨯+⨯=⨯=2121i EC EA i i E F r F r F r M )12912(5k j i ---=F)12912(k j i +--=F)43(5)34(j i k j -⨯-=F )43(53)43(54j i k j i j -⨯-+⨯-=FF 2210F r F r M ⨯+=⨯=∑=AC i i i A 对O 点对A 三点对E 点其中，各 ，各i iF F '= ()i o i M M F =该汇交力系与力偶系与原任意力系等效。
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第二章 力系的简化将复杂力系等效地化为最简力系在理论分析和工程中都具有重要意义。
前一章将汇交力系和力偶系分别合成为一个力和一个力偶，是力系简化的例子。
力系简化的前提是等效。
等效力系是指不同力系对同一物体所产生的运动效应相同。
力系的简化是指用简单的力系等效地替换一个复杂力系。
力系简化而得到的最简单力系称为力系简化的结果，可以是平衡、一个力、一个力偶，或者一个力和一个力偶。
力系的简化结果可以导出力系平衡条件，将在下章中详细讨论。
力系简化并不局限于静力学。
例如，飞行中的飞机受到升力、牵引力、重力、空气阻力等分布在飞机不同部位力作用，为确定飞机运动规律可以先进行力系的简化。
因此，力系简化也是动力学分析的基础本章首先引入主矢和主矩两个力系的基本特征量，作为力系等效简化的依据。
然后讨论力系简化，力系简化的基础是力线平移，由此力系可向任意一点简化，并进而分析力系的几种最简形式。
最后，考虑平行力系的简化，并叙述重心、质心和形心的概念与计算公式。
§2.1 力系的基本特征量：主矢与主矩为讨论力系的等效和简化问题，引入力系的两个基本特征量：主矢和主矩。
设刚体受到力系F i (i=1, 2,…,n )作用，诸作用点相对固定点O 的矢径依次为r i (i=1, 2,…,n )。
力系F i 的矢量和，称为力系的主矢。
记为F R ，即∑==ni i 1R F F （2.1.1）主矢仅取决于力系中各力的大小和方向，而不涉及作用点，是一个自由矢量。
主矢通常不是力。
计算力系F i 对固定点O 的力矩的矢量和，称为力系对点O 的主矩。
记为M O ，即 ∑=⨯=ni iiO 1F r M （2.1.2）它不仅取决于力系中各力的大小、方向和作用点，还取决于矩心O 的选择。
因此，主矩是定位矢量。
利用动力学理论，可以证明，不同力系对刚体运动效应相同的条件是不同力系的主矢以及对相同点的主矩对应相等。
因此，主矢和主矩的引入为判断力系的等效提供了依据。
例2.1-1：试计算图示空间力系的主矢和对固定点O 、A 和B 的主矩。
解：设O-xyz 坐标系如图示，k j,i,为沿坐标轴x ，y ，z 方向的单位矢量。
所讨论力系包括分别作用于点(0, 0.3, 0.4)和(0.4,0.3, 0)的力 ()()N 100,N 15021j F i F ==和力偶()m N 20⋅-=j M 根据式(2.1.1)，力系的主矢()N 100150R j i F +=力系中各力的作用点相对于固定点O 、A 和B 的矢径分别为()()m 4.0,m 4.03.021i r k j r =+=O O()()m 4.04.0,m 3.021k i r j r -==A A例2.1-1图()()m 4.03.0,m 4.021k j r i r --=-=B B力系对各固定点的主矩即为对相应点力矩的矢量和 ()m N 5402211⋅-=+⨯+⨯=k j M F r F r M O O O()m N 520402211⋅--=+⨯+⨯=k j i M F r F r M A A A ()m N 20402211⋅+=+⨯+⨯=j i M F r F r M A A B§2.2 力系的简化1力线平移与力偶不同，力是滑动矢量，它只可以沿力作用线移动而不可平移，平移将改变原来的力对刚体的作用效果。
具体地，作用于刚体上的力等效地平移到刚体上的任一点时，将产生一个附加力偶，此力偶矩等于原来的力对新作用点的力矩。
事实上，设力F 作用在刚体上，其作用线为l ，为将此作用线l 平移到l 1，沿l 1加一对互相平衡力",'F F ，满足F F F =-="'。
可以认为力F '是将力F 从l 上平移到上l 1，而",F F 组成力偶，称为附加力偶，力偶矩为F r m ⨯=，其中r 为由力'F 的作用点引向力F 作用点的矢径（见图2.1），亦即)(F M M o =，说明此力偶矩等于原来的力对新作用点的力矩。
此结论说明了力是如何与其等值同向平行力等效。
由矢积的性质知，附加力偶一定与力垂直。
反过来，一个力F 和一个与之垂直的力偶M 可以通过力的平移简化为一个力。
只要将力F 从其作用点O 平移到'O 点，使产生的附加力偶满足M F r =⨯ （2.2.1） 其中r 为O 相对'O 的矢径。
将F 与上式作向量积，利用三重矢积的公式a cb bc a c b a )()()(⋅-⋅=⨯⨯ （2.2.2） 由式(2.2.1)和(2.2.2)，可以导出()()F F r r F F M F ⋅-⋅=⨯ （2.2.3） 不失一般性，令r 与F 垂直，则r ⋅F =0。
由式(2.2.3)导出2FMF r ⨯= （2.2.4） 至此，我们将作用在o 点的力和力偶简化为作用在'O 点的一个力。
力线平移的结论指出了力等效平移后的结果，是力系简化的基础。
2 力系向某点简化设刚体上作用有力系F i (i=1, 2,…,n )，作用点为分别为A i (i=1, 2,…,n )。
任选一点O ，称为简化中心，各力作用点相对该点的矢径为OA i =r i (i=1, 2,…,n )（图2.2a ）。
利用前述力线平移的结果，可将每一个力平移到O 点，而得到一个作用点为O 点的汇交力系F i '=F i (i=1, 2,…,n )和一个力偶系M i =r i ⨯F i (i=1, 2,…,n ) （图2.2b ）。
对于汇交力系和力偶系，我们已经知道可以分别进一步合成为一个力和一个力偶（图2.2c ）∑∑====n i i n i i 11R ''F F F ， O ni i O M F M M ==∑=1)( （2.2.5）汇交力系F i ' (i=1, 2,…,n )的合力F R '的大小和方向等于力系的主矢，作用点在简化中心O ，而力偶系M i (i=1, 2,…,n )的合力偶M 等于原力系对O 点的主矩M O 。
图2.1力线的平移3 力系最简形式以下根据主矢和对简化中心主矩是否为零讨论力系简化结果。
存在下列几种情况：(1) 主矢和主矩同时为零，即F R '=0，M O =0。
该力系与零力系等效，则力系平衡。
平衡问题将在第三章详细分析。
容易验证，此时力系简化结果与简化中心无关。
，即若选择其它点作为新的简化中心，将得到结果相同(2) 主矢不为零而主矩为零，即F R '≠0，M O =0。
该力系与作用线通过O 点的力F R '等效，该力系有合力。
(3) 主矢为零但主矩不为零，即F R '=0，M O ≠0。
该力系与一个力偶M O 等效，力系有合力偶。
显然，这个结果也与简化中心无关。
(4) 主矢和主矩都不为零：即F R '≠0，M O ≠0。
首先，若向简化中心简化得到的力和力偶垂直，由力线平移的逆过程知，此时力系可以简化为一个力，即力系有合力，属于结果。
其次若前述力和力偶平行，不能进一步简化，该力和力偶统称为力螺旋。
最后，若主矢和主矩既不平行也不垂直，此情况下总可以将主矩分解为与主矢垂直和平行两个分量，其中垂直分量可以通过力的平移消除，平行分量与平移得到的力构成力螺旋。
故此力系仍可以简化为力螺旋。
由以上分析知，力螺旋是力系简化的基本结果之一。
当力和力偶指向相同时称为右螺旋，否则称为左螺旋。
钻头对工件的作用和用螺丝刀拧木螺丝都是力螺旋的例子。
上述分析表明，力系简化的最简形式有四种：平衡、合力、合力偶、力螺旋。
所有非零最简力系是由力和力偶组成，因此力和力偶是组成力系的基本元素。
例2.2-1： 三个大小相等的力F 沿长方体的三个不相交且不平行的棱作用。
棱的长度c b a ,,满足什么关系时这三个力能够简化为合力？解：建立图示直角坐标系，k j,i,为沿坐标轴方向的单位向量。
选O 点为简化中心，力系的主矢和主矩分别为 )('R k j i F ++=F ，j i M Fa c b F O --=)( 当主矢和主矩垂直时，能够进一步简化为一个力，即()0'22R =--=⋅a F c b F O M F由此可知当棱的长度c b a ,,满足 c b a -=（a ） （b ） （c ）图2.2 空间一般力系向一点简化例2.2-1图时，力系能够简化为一个合力。
例2.2-2： 沿边长为a 的立方体的各棱作用12个大小均为F 的力，如图示。
试求其该力系简化的最简形式。
解：建立图示直角坐标系，k j,i,为沿坐标轴方向的单位向量。
选O 点为简化中心，力系的主矢和主矩分别为 )2(2'121R k j i F F F ++-=++=F)2(2)()(121k j i F M F M M +-=++=Fa O O O 主矢方向的单位矢f 为 )2(66k j i f ++-=主矩在主矢方向的投影为Fa M O f 362=⋅=f M 力系最终可以简化为右力螺旋：)2(2k j i F ++-=F ，)2(32k j i f M ++-==Fa M f 力作用点的矢径按式（2.2.4）计算)(322j i M F r +=⨯=a F 这是力作用线与xy 平面交点的矢径。
§2.3 平行力系的简化和重心1平行力系的简化与平行力系中心设刚体上作用有平行力系力系F i (i=1, 2,…,n )，作用点A i 相对O 点的矢径为分别为r i (i=1, 2,…,n )，如图2.3所示。
现考虑该力系的简化问题。
各平行力F i 可以用与各力平行的单位向量τ表示为F i =F i τ。
该力系的主矢和关于O 点的主矩分别为τF F ⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n i i ni i F 11R '，()τr F r M ⨯⎪⎭⎫⎝⎛=⨯=∑∑==n i i i ni i i O F 11 （2.3.1）若F R '=0，该平行力系简化为一力偶。
若F R '≠0，式(2.3.1) 表明该力系向O 点简化的主矩与主矢垂直， 可进一步简化为一力。
从而平行力系一定有合力，且为τF F R 1R F ni i ==∑= （2.3.2） ∑==ni i F F 1R （2.3.3）设该平行力系合力的作用线为l 0，为后面讨论重心的方便而引入平行力系中心的概念。
如果保持平行力系中各力作用点和大小不变，而将作用线转过角度ϕ，则新得到的平行力系的合力作用线l 将与直线l 0相交，交点称为该平行力系的中心，记为C 。
设平行力系中心的矢径为C r ，转动后平行力系中各力的单位矢量为σ。
合力对O 点的矩等于该力系的主矩，即图2.3平行力系与平行力系中心例2.2-3图()∑=⨯=⨯ni iiC 1R F r F r （2.3.4）式(2.3.1)和(2.3.2)即代入上式，得到σσ⨯⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i i i C n i i F F 11r r （2.3.5） 注意不论的σ方向如何变化，式（2.3.5）均成立，故由式（2.3.5）可导出∑∑===ni ini ii C FF 11rr （2.3.6）在实际计算中，经常采用直角坐标确定平行力系中心。