新课标版备战2018高考数学二轮复习难点2.5函数性质与方程不等式等相结合问题教学案理2018040

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(新课标版)备战2018高考数学二轮复习难点2.5函数性质与方程、不等式等相结合问题测试卷理

难点2.5 函数性质与方程、不等式等相结合问题（一）选择题（12*5=60分）1. 【2018广西贺州桂梧联考】已知[]x 表示不大于x 的最大整数，若函数()[]()210f x ax x x a =+-≠在()0,2上仅有一个零点，则a 的取值范围为（）A. ()1,00,14⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭ B. ()11,1,4⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭ C. ()11,0,14⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭ D. ()1,01,4⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D2. 【2018陕西西安五中二模】已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x <时， ()f x 满足， ()()()2f x xf x xf x '+<，则()f x 在R 上的零点个数为（） A. 5 B. 3 C. 1或3 D. 1 【答案】D【解析】根据题意可构造函数()2,0xx f x F x x e =（）（＜），则()()()()()()()2222'2''x x xxxx f x xf x xf x xf x e x f x e x f x e F x ee ⎡⎤+-+-⎣⎦==（），由题当0x <时， ()f x 满足， ()()()2f x xf x xf x '+<，， '0F x ∴（）＞，即函数F x （）在0x ＜时是增函数，又00F =（）， ∴当000x F x F =＜，（）＜（）成立，∵对任意2000x x x f x f x e∴ ＜，＞，（）＜，（）是奇函数，∴0x ＞时，0f x （）＞，即0f x =（）只有一个根就是0．故选D3.已知函数()()1,1010lg 2,10x x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，若()()282f m f m -<，则实数m 的取值范围是（） A ．()4,2- B ．()4,1- C ．()2,4- D ．()(),42,-∞-+∞ 【答案】A4.已知函数()()2ln 1,23f x x g x x x =-=-++，用{}min ,m n 表示,m n 中最小值，设()()(){}min ,h x f x g x =，则函数()h x 的零点个数为( )A ．1B ．2 C. 3 D ．4 【答案】C【解析】作出函数()f x 和()g x 的图象如图，两个图象的下面部分图象，由()2230g x x x =-++=，得1x =-，或3x =，由()l n 10f x x =-=，得x e =或1x e=， ∵()0g e >，∴当0x >时，函数()h x 的零点个数为3个，故选：C ．5. 【2018山西山大附中四调】已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x '=++（e 是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（）A. 1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. 1,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦C. 21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦ D. 21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C6.已知函数()2 2 03 0x x f x x a a x ⎧->⎪=⎨-++<⎪⎩，，的图象恰有三对点关于原点成中心对称，则a 的取值范围是（）A ．17 116⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B ．17 28⎛⎫-- ⎪⎝⎭， C.191 16⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．171 16⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】D【解析】由题意，问题转化为函数()30y x a a x =-++<与()220y x x =-<的图象恰有三个公共点，显然0a ≤时，不满足条件，当0a >时，画出草图如图，方程2234x x a -=+，即23420x x a ++-=有两个小于a -的实数根.结合图形，有()29442020a a a a ∆=-->⎧⎪>-⎨⎪>⎩，∴17116a <<.选D7.已知函数|ln |,02,()(4),24,x x f x f x x <≤⎧=⎨-<<⎩若当方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，4x （1234x x x x <<<）时，不等式22341211kx x x x k ++≥+恒成立，则实数k 的最小值为（）A ．98B．22-C ．2516D12【答案】B8.已知函数()()1222,0log ,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()0f f m <⎡⎤⎣⎦，则实数m 的取值范围为（） A ． (]()13,1,12,2⎛⎤---+∞ ⎥⎝⎦ B ．(]()21,21,1,log 32⎛⎤-∞--- ⎥⎝⎦C.(]()1,10,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦D ．(](]()2,31,01,log 3-∞--【答案】B【解析】由()0f x <得，01x <<或1x <-，所以0()1f m <<或1()2f m <-，由0()1f m <<得21|11log 32m m m ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或，由()1f m <-得{}|2m m <-，所以实数m 的取值范围为(]()21,21,1,log 32⎛⎤-∞---⎥⎝⎦，故选B. 9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若方程()2123f x x x +=+-的零点分别为12,,...,n x x x ，则12n x x x +++= （）A ．nB ．n - C.2n - D ．3n - 【答案】B10. 【河北衡水金卷2018届模拟一】若函数()y f x =， x M ∈，对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的类周期，函数()y f x =是M 上的a 级类周期函数．若函数()y f x =是定义在区间[)0,+∞内的2级类周期函数，且2T =，当[)0,2x ∈时， ()()212,01,{ 22,12,x x f x f x x -≤≤=-<<函数()212ln 2g x x x x m =-+++．若[]16,8x ∃∈，()20,x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（）A. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D. 13,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】()y f x = 是定义在区间[)0,+∞内的2级类周期函数，且()()2,22T f x f x =∴=+，()()()2244f x f x f x ∴=-=- ()()86168f x f x =-=-，当[)0,2x ∈时，()()212,01{ 22,12x x f x f x x -≤≤=-<< ()2212,012{ 122,122x x x x -≤≤=--<<，故[)0,2x ∈时，()()[)max 10,6,82f x f x ==∈时， ()()()max 6804f x f f ===，而()()81608,f f ==∴当[]6,8x ∈时， ()max8f x =， ()()()2212'x x x x g x x x+-+-==，当()0,1x ∈时， ()()'0,g x g x <在区间()0,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时， ()()'0,g x g x >在区间()1,+∞上单调递增，故()()min 312g x g m ==+，依题意得()()min max g x f x ≤，即38,2m +≤∴实数m 的取值范围是13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选B. 11.定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，()()'f x xf x >-恒成立，则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为（）A ．1B ．2 C.3 D ．4 【答案】C12. 【甘肃省张掖市2018届第一次联考】设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意实数x ，都有()()26f x x f x =--，当(),0x ∈-∞时， ()2112f x x +'< 若()()22212129f m f m m m +≤-+++-，则m 的取值范围为（） A. [)1,-+∞ B. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C. 2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. [)2,-+∞【答案】C（二）填空题（4*5=20分） 13.已知偶函数()f x 满足()()11f x f x -=，且当[]1 0x ∈-，时，()2f x x =，若在区间[]1 3-，内，函数()()()log 2a g x f x x =-+有3个零点，则实数a 的取值范围是．【答案】()3 5，【解析】∵偶函数()f x 满足1(1)()f x f x -=且当2[1,0]f ()x x x ∈-=时，， 1(2)(11)()(1)f x f x f x f x ∴-=--==-，∴函数()f x 周期为2，在区间[1,3]-内函数()()()log 2a g x f x x =-+有3个零点等价于()f x 图象与()log 2a y x =+在区间[1,3]-内有3个交点，当01a <<时，函数图象无交点，数形结合可得1a >且()log 21a x +≤，解得()3 5，，故答案为：()3 5.，14. 【2018山西山大附中】已知函数()()21,0{11,0x x f x f x x -≤=-+>，把方程()0f x x -=的根按从小到大顺序排成一个数列，则该数列的前n 项和n S =__________．【答案】()12n n -15.定义域为R 的函数(x)f 满足(x 2)3(x)f f +=，当[0,2]x ∈时，2(x)x 2f x =-，若[4,2]x ∈--时，13(x)(t)18f t≥-恒成立，则实数t 的取值范围是 . 【答案】10t -≤<或3t ≥【解析】由题意可得)(9)2(3)4(x f x f x f =+=+,所以当]2,4[--∈x 时, ]2,0[4∈+x ,所以)86(91)]4(2)4[(91)4(91)(22++=+-+=+=x x x x x f x f ,由于对称轴]2,4[3--∈-=x ,故91)8189(91)3()(min -=+-=-=f x f .故91)3(181-≤-t t ,即23-≤-t t ,解之得10t -≤<或3t ≥,故应填答案10t -≤<或3t ≥.16. 【河南省郑州市2018届第一次质量检测】．已知函数()()2,1{1,12,x x f x ln x x ≤=-<≤若不等式()5f x mx ≤-恒成立，则实数m 的取值范围是_______.【答案】50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】设()5g x mx =-，则函数()g x 的图象是过点（0,5）的直线．在同一坐标系内画出函数()y f x =和()5g x mx =-的图象，如图所示．∵不等式()5f x mx ≤-恒成立，∴函数()y f x =图象不在函数()5g x mx =-的图象的上方．结合图象可得，①当0m <时不成立；②当0m =时成立；③当0m >时，需满足当2x =时， ()2520g m =-≥，解得502m <≤．综上可得502m ≤≤．∴实数m 的取值范围是50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．答案： 50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（三）解答题（4*12=48分） 17.已知函数()32,f x x ax a R =-∈.（1）求()y f x = 的单调区间；（2）若曲线 ()y f x =与直线1y x =-只有一个交点，求实数 a 的取值范围．所以由二次函数()2'321g x x ax =--性质可得()'13210g a =-->，所以1a <.18.已知函数()()ln 1f x x ax ax =-+,其中0a ≥． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2) 若函数()f x 在(]0,1内至少有1个零点，求实数a 的取值范围；19.已知函数()()R m mx x x f ∈-=ln . （Ⅰ）讨论函数()x f 的单调区间.（Ⅱ）当223≥m 时，设()()22x x f x g +=的两个极值点1x ,2x ()21x x <恰为()bx cx x x h --=2ln 的零点，求()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=221'21x x h x x y 的最小值. （Ⅱ）()()222ln 22x mx x x x f x g +-=+=，则()()x mx x x g 122'+-=，()x g '∴的两根1x 、2x 即为方程012=+-mx x 的两根；又223≥m ，042>-=∆∴m ，m x x =+21，121=x x ；又1x ，2x 为()bx cx x x h --=2ln 的零点，0ln 1211=--∴bx cx x ，0ln 2222=--bx cx x ，两式相减得()()()0ln 21212121=--+--x x b x x x x c x x ,得()212121lnx x c x x x x b +--=,而()b cx x x h --=21',()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=∴b x x c x x x x y 2121212 ()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--+-+-=212121212121ln 2x x c x x x x x x c x x x x ()212121212121ln 112ln 2x x x x x x x x x x x x -+-⋅=-+-=，令()1021<<=t t x x ，由()2221m x x =+得22122212m x x x x =++，因为121=x x ，两边同时除以21x x ，得221m t t =++，223≥m ，故251≥+t t ，解得21≤t 或2≥t ，210≤<∴t ；设()t t t t G ln 112-+-⋅=，()()()0112'<+--=∴t t t t G ，则()t G y =在⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0上是减函数，()2ln 3221min +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴G t G . 即()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=221'21x x h x x y 的最小值为2ln 32+- 20. 【2018安徽阜阳一中二模】已知函数为常数， . （1）当在处取得极值时，若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.（2）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围.。

高三理科数学二轮复习精品专题04(难点：函数性质与方程、不等式等相结合问题)

为( )
A．1
B．2
C. 3
D．4
5|x−1| −1, x ≥ 0,
5. 设定义域为 R 的函数 f (x) =
若
x2 + 4x + 4, x < 0
关于 x 的方程 f 2 (x) − (2m +1) f (x) + m2 = 0 有 7 个
不同的实数解，则 m = （）
A．6 B．4 或 6 C．6 或 2
ln 2
ln 3 3
C. ( 1 − 4 ， 1 −1] ln 3 3 2 ln 2
D．
1 ln 3
−
4 3
,
2
1 ln
2
−
1
11. 定义在 R 上的奇函数 y = f ( x) 满足 f (3) = 0 ，且
当 x > 0 时， f ( x) > −xf '( x) 恒成立，则函数
g ( x) = xf ( x) + lg x +1 的零点的个数为（）
2 f (m +1) ≤ f (−m) + 4m + 2 等价于 f (m +1) − 2(m +1)2 ≤ f (−m) − 2(−m)2 ，即 g(m +1) ≤ g(−m) ， ∴ m +1 ≥ −m ，解得 m ≥ − 1 ．
2
例
4.解析：（1）
f
'(x)
=
1
− ln x2
x
+
k x2
=
1
−
2
②当 a = 0,b = −1时，方程 f ( x) = mx在区间 1, e2 内

函数性质、方程、不等式等相结合问题(教案)-备战2018届高考数学三轮难点讲义

函数性质、方程、不等式等相结合问题函数、方程、不等式都是高中数学的重要内容，也都是高考的热点和重点，函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线，它们贯穿于高中数学的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.因此，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大，处理好此类题目也是高考获取高分的关键.【类型一】函数性质与不等式【概要】1.函数性质的综合应用主要是指利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质来相互转化解决相对综合的问题．奇偶性主要转化方向是f(－x)与f(x)的关系，图象对称问题；单调性主要转化方向是最值、方程与不等式的解；周期性主要转化方向是利用f(x)＝f(x ＋a)把区间外的函数转化到区间内，并结合单调性、奇偶性解决相关问题．2. (1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．【题型示例】例1【2018届浙江省杭州市高三上学期期末】设函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，记M 为函数()y f x =在[]1,1-上的最大值， N 为a b +的最大值.（）A. 若13M =，则3N =B. 若12M =，则3N = C. 若2M =，则3N = D. 若3M =，则3N =【答案】C在12b a =-=，时与题意相符，故选C例2【2018届浙江省台州市高三上学期期末】当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立，则a b +的取值范围是A. []4,8-B. []2,8-C. []0,6D. []4,12【答案】A【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及方程的根与系数的关系，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.【类型二】函数方程与不等式【概要】解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解，常用方法为：(1)利用零点存在性定理及已知条件构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求某函数的值域或最值．(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系，从而构建不等式(组)求解．【题型示例】例3【2017届浙江省杭州市第二中学高三5月仿真考】已知函数()()2log 02{ 424x x f x f x x <≤=-<<，设方程()()1x f x t t R e-=∈的四个不等实根从小到大依次为1234,,,x x x x ，则下列判断中一定成立的是（） A. 1212x x += B. 1214x x << C. 3449x x << D. ()()340444x x <--< 【答案】C点睛：函数的交点（零点）问题，一般采取图象法解题，本题画出两个图象，得到交点情况，再结合图象的单调性，可以得到()34344150x x x x -++>，根据基本不等式的关系，解得3449x x <<.本题考查了数形结合思想的应用及函数的零点与函数的图象的关系的应用，同时考查了基本不等式的应用. 例4【2018黑龙江齐齐哈尔一模】设函数()()21ln ,2f x x g x ax bx ==+. （1）当12a b ==，求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；（2）当0,1a b ==-时，函数()()()22H x x m f x g x ⎡⎤=--⎣⎦有唯一零点，求正数m 的值.试题分析：（1）求导()()()212x x h x x -+-'=，易知：函数()h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞.（2）()2222x mx m H x x--'=，对m 进行分类讨论，得到函数()H x 的最小值，函数()()()22H x x m f x g x ⎡⎤=--⎣⎦有唯一零点即函数()H x 的最小值为零.点评：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．【类型三】函数、方程、不等式相结合【概要】1.解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准、层次清楚地求解，注意结合具体函数，应用数形结合思想．2.一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件．【题型示例】例5【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 .【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.例6【2018届天津市部分区高三上学期期末】已知函数()2,0{ 115,024x x f x a x x >=+-≤，函数()2g x x =，若函数()()y f x g x =-有4个零点，则实数a 的取值范围为__________．【答案】155,2⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：15 5,2⎛⎫ ⎪⎝⎭点睛：根据函数零点的个数（方程根的个数）参数取值范围的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合，结合两函数图象的相对位置关系，转化为不等式的问题求解．【名师点睛】综合上面三种类型，可以采取以下几种技巧和方法：①函数性质与方程综合时，要先将函数性质剖析清楚，尤其是单调性和对称性，然后再研究函数零点问题；②函数与不等式综合时，重点是要学会构造函数，利用函数单调性、最值进行研究；③函数、方程与不等式综合在一起时，要注意利用导数这个有利工具进行解答.。

(新课标)2018届高考数学二轮复习第二部分思想方法剖析指导第3讲函数与方程思想讲义理

-16-
证明: (1)令 g(x)=(1+x)2(1-2x+3x2-4x3),x∈[0,1], 则 g'(x)=-20(1+x)x3≤0,当且仅当 x=0 时取等号,
∴g(x)在[0,1]上单调递减,故 g(x)≤g(0)=1, ∴(1+x)2(1-2x+3x2-4x3)≤1, ∴(1+1��)2+4x3≥1-2x+3x2,
∵x∈[1,e],ln x≤1≤x,且等号不能同时取得,
∴ln x<x,即 x-ln x>0.
∴a≤��2-l-n2��恒成立,即 a≤
��2-2�� -ln��
-
1 2
=2n-2,
故 xn≤2��1��-2.
综上,2��1��-1≤xn≤2��1��-2(n∈N*).
-14-
热点考题诠释高考方向解读
函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点描述两个量之间的依赖关系,刻画数量之间的本质特征,在提出数学问题时,抛开一些非数学特征,抽象出数量特征,建立明确的函数关系,并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系,列出方程(组),进而通过解方程(组),求得未知量.函数与方程思想是相互联系、相互作用的.
即 f(x)≥1-2x+3x2.
-17-
命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四
(2)由(1)知 f(x)≥1-2x+3x2=3
��-
1 3
2
+
2 3
≥

23,

(新课标版)备战2018高考数学二轮复习专题1.4数列、不等式教学案文

①如果数列 { an} 是等差数列 m n p q am an a p aq（ m, n, p, q N ），特别地，当 n 为奇数时， a1 an a2 an 1 …… =2 a中 . ②等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，则 Sm， S2m－ Sm， S3m－ S2 m，…成等差数列 .
5
通项公式；二是转化为 Sn 的递推关系，先求出 Sn 与 n 之间的关系，再求 an.
5．数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出
Sn
的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将
条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问
③等差数列 { an} ，{ bn} 的前 n 项和为 An，Bn，则 an bn
A2n 1 . ④等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，则数列 { Sn } 仍
B2n 1
n
是等差数列 .
（ 6）等差数列的单调性：设等差数列 { an} 的公差为 d ，当 d 0 时，数列 { an} 为递增数列；当 d 0 时，
二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于
在两边，小于夹中间”得不等式的解集．含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．
一．基础知识整合基础知识：一．基础知识整合 1. 等差数列知识要点：
（ 1）通项公式要点：
an a1 (n 1)d an am (n m) d (m, n N * , m n) .
3. 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进

新课标版备战2018高考数学二轮复习难点2.2导数与不等式相结合问题教学案理20180408516

导数与不等式相结合问题导数是高中数学选修板块中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用导数求切线、判断单调性、求极值、最值等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路，本文介绍利用导数解决不等式问题的思路，以飨读者. 1.利用导数证明不等式在初等数学中，我们学习过好多种证明不等式的方法，比如综合法、分析法、比较法、反证法、数学归纳法等，有些不等式，用初等方法是很难证明的，但是如果用导数却相对容易些，利用导数证明不等式，主要是构造函数，通过研究函数的性质达到证明的目的. 1.1 利用单调性证明不等式构造函数，利用函数的单调性证明不等式23 2例 1. 【2018广西贺州桂梧高中联考】已知函数f xx2x ln x x4x .2（1）若 f x在a ,a 1上递增，求a 的取值范围；（2）证明： f 'x2 4x .思路分析：（1）要使 f x在a ,a 1上递增，只需 fx 0，且不恒等于 0，所以先求得函数的增区间，a ,a 1是增区间的子区间.（2）当1x 时， 2 4x 0，2f x x 显然成立. 当 0 1'2 4x 时，即证明 2f xx x x x 0 ，令 g x 2x2ln x 1 2 4x'2 4 2 2 ln 1 2 4（ 01），即求 gx，由导数可证.xmin211.2 通过求函数的最值证明不等式在对不等式的证明过程中，可以依此不等式的特点构造函数，进而求函数的最值，当该函数的最大值或最小值对不等式成立时，则不等式是永远是成立的，从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上来.f x xe x. 例2. 【甘肃省张掖市2018届第一次质量检测】已知函数21（1）若函数f x在区间a,上单调递增，求f a的取值范围；（2）设函数g x e x p，若存在x e，使不等式0 1, g x f x x成立，求p x0 0 0的取值范围.思路分析：（1）由f x2xe0 ，得x0 ，所以f x在0,上单调递增，可得xa，从而得f a f02；（2）存在x e，使不等式0 0 1, 0 2 0 1 0g x x e xx成立，等价于 pxe ，令 h x2x e e ，利用导数研究函数 h x的单调性，23xx2求出 h x，只需p h x即可得结果.minmin试题解析：（1）由 fx 2xe x 0 ，得 x 0 ，所以 f x在0,上单调递增，所以a ，所以 f a f2，所以 f a的取值范围是2,.（2）因为存在21x e ，使xe ，使不等式xg xxex 成立，所以存在1,1,p 2x 3 e x 成立，令2p h x ， h x 2x1e ，因为h xx e e ，从而xxminx ，所以 2x 11， e x 0 ，所以 h x 0，所以 h x 2x e e x 在1,e 上单调递 1增，所以 hxhe ，所以 p e ，min1实数 p 的取值范围是e ,.点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值和最值，考查了函数的思想和考生的发散思维能力，属于中档题.利用导数研究函数的单调性，首先求出函数的定义域，忽略定义域是最常见的错误；证明不等式通过构造新函数，研究新函数的单调性，求得其最值是最常用的思想方法，本题解答的难点是（3）中通过构造新函数并求得其极值点，从而判断 p 的范围是解题的关键. 1.3多元不等式的证明含有多元的不等式，可以通过对不等式的等价变形，通过换元法，转化为一个未知数的不等式，或可选取主元，把其中的一个未知数作为变量，其他未知数作为参数，再证明之.例 3．已知函数 fxln x mx m , m R .（1)已知函数 f(x)在点（l ，f （1））处与 x 轴相切，求实数 m 的值；（2）求函数 f(x)的单调区间；(3)在(1)的结论下，对于任意的0<a <b,证明：f b f a11b a a11思路分析：（1）由已知可得，由于函数在点1, f 1处与x轴相切，f x m x0x又直线x轴的斜率为0，根据导数的几何意义，所以有f11m 0 ，从而可求出实数m1的值；（2）因为，所以有必要对m的取值范围进行分类讨论.当m 0f x m x0x1时，有，此时函数f x 在0,上单调递增；当m0时，有f x m0x3f x1m xmx，由fx0得1x0,m，由f x0，得1x,m，此时11函数f x在0, ,上单调递增，在m m上单调递减.（3）由（1）知m 1，得f xx x ，对于任意的0 a b，f a f b 11ln 1可化为b a ablnln b b ln a a 1 a ln t tt tln b b ln a a 1 a ln t t t t11 1 ln10bb a a t 11a，即ft 0t 1，由（2）知，函数f x 在1,上单调递减，且f 10，于是上式成立.故对于任意的0 a b，f(b ) f(a ) 1b a a1成立.点评：在第二问中要注意分类讨论标准的确定，当m0 时，可借助一次函数的图像来判断导函数符号，同时要将零点和定义域比较；第二问中将不等式等价变形为baln1，要利用b1a换元法，将不等式转化为关于t的不等式．42.利用导数求解与不等式有关的恒成立问题或者有解、无解问题不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．恒成立f(x) aminf(x) a：有解f(x) amax无解f(x) amax例4．【2018安徽阜阳一中二模】已知曲线在点处的切线是.（1）求实数的值；（2）若对任意恒成立，求实数的最大值.思路分析：（1）利用导数的几何意义求解，计算和，即可求出的值；（2）分离参数，构造新函数，求函数的最值，利用导数求出函数的单调性，即可求出最值.点评：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.恒成立问题的处理方法：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，就转化为；（3）若恒成立，可转化为.5。

(新课标版)2018高考高考数学二轮复习专题1.2 函数与导数教学案文

(新课标版)2018高考高考数学二轮复习专题1.2 函数与导数教学案文一．考场传真1. 【2017课标1，文8】函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x=-为奇函数，故排除B ；当x π=时，0y =，排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，排除A ．故选C ．2．【2017课标1，文9】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称【答案】C误，故选C ．3．【2017山东，文9】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =得2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 4．【2017课标II ，文8】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是 A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【答案】D【解析】函数有意义，则：2280x x --> ，解得：2x <- 或4x > ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为()4,+∞ .故选D.5．【2017课标1，文14】曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】1y x =+【解析】设()y f x =,则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=,所以在(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+.6．【2017课标1，文21】已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a-+∞单调递增．（2）①若0a =，则2()xf x e =，所以()0f x ≥．②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a =-．从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥．③若0a <，则由（1）得，当ln()2ax =-时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242a a f a -=--．从而当且仅当23[ln()]042a a --≥，即342e a ≥-时()0f x ≥．综上，a 的取值范围为34[2e ,1]-．7．【2017课标II ，文21】设函数2()(1)x f x x e =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求a 的取值范围.8．【2017课标3，文21】已知函数()f x =ln x +ax 2+(2a +1)x ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ﹤0时，证明3()24f x a≤--．二．高考研究【考纲解读】1.考纲要求1．函数：（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.（5）会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.2．指数函数：（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，1/2，1/3的指数函数的图像．（4）体会指数函数是一类重要的函数模型.3．对数函数：（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（2）理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，10，1/2的对数函数的图像．（3）体会对数函数是一类重要的函数模型；（4）了解指数函数与对数函数（）互为反函数.4．幂函数：（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数的图像，了解它们的变化情况.5．函数与方程：结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.6．函数模型及其应用：（1）了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.7．导数及其应用：（1）了解导数概念的实际背景.（2）通过函数图像直观理解导数的几何意义.（3）根据导数的定义求函数(c为常数)的导数.（4）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b）的复合函数）的导数. 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：(C为常数)；, n∈N+；；; ;(a>0,且a≠1); ; (a>0,且a≠1).常用的导数运算法则：法则1 .法则2.法则3 .（5）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（6）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.（7）会用导数解决某些实际问题..（8）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.（9）了解微积分基本定理的含义.2.命题规律高考对函数的考查以选择或填空题形式呈现，考查对数函数、含无理式的函数的定义域；以二次函数的图象与性质为主，结合函数的性质综合考查分析与解决问题的能力，函数的图象与性质历来是高考的重点，也是热点，对于函数图象的考查体现在两个方面：一是识图；二是用图，即通过函数的图象，利用数形结合的思想方法解决问题；对于函数的性质，主要考查函数单调性、奇偶性、周期性；函数的奇偶性、周期性往往与分段函数、函数与方程结合，考查函数的求值与计算；考查数形结合解决问题的能力等．每年都有函数试题，而且常考常新．以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势．高考对导数的考查，主要是考查导数的概念、计算、几何意义以及导数在研究函数中的应用；从考查形式上看，基本上是以一道小题和一道大题形式出现，其中导数的几何意义考查，试题难度较低，有选择题、填空题，有时作为解答题中的关键一步,常常与直线的斜率、倾斜角、直线的方程、三角函数等相结合.导数的应用涉及的知识点多，综合性强，要么直接求极值或最值，要么利用极值或最值求参数的取值范围，常与函数的单调性，函数的零点，不等式及实际问题，形成知识的交汇问题．选择题、填空题往往侧重于利用导数确定函数的单调性和极值，一般属于低档题目；解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识的综合应用，一般难度较大，属于中高档题，综合考查函数方程思想及数学应用意识，考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用；考查分析与解决问题的能力、应用意识及创新能力. 3．学法导航1.已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.3.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围.4.利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.5．函数的零点、方程的实根、函数图象与x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解.一．基础知识整合基础知识： 1．函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必遵循“定义域优先”的原则．(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换． 2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其周期T ＝ka (k ∈Z )．3．函数的零点与方程的根：(1)函数的零点与方程根的关系：函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．(2)零点存在性定理：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0, 这个c 也就是方程f (x )＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.4．导数的几何意义：(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)．(2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．5．函数的单调性与导数：如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于或等于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y ＝x ＋sin x . 6．函数的导数与极值：对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件．例如f (x )＝x 3，虽有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，因为f ′(x )≥0恒成立，f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，无极值． 7．闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小者. 8．利用定积分求曲边梯形的面积（1）由直线x=a ，x=b a b <（），x 轴及一条曲线()y f x =(()0)f x ≥围成的曲边梯形的面积()baS f x dx =⎰，若'()()F X f x =，则(-S F b F =）（a).（2）推广：由直线x=a ，x=b a b <（），()y f x =和y=g(x ）（()f x >g(x ））围成的平面图形的面积为[()()]baS f x g x dx =-⎰二．高频考点突破考点1 函数的定义及其表示【例1】函数()f x =）A ．[0 )+∞，B ．( 2]-∞， C. []0 2， D ．[0 2)，【分析】()f x 的定义域就是函数解析式有意义的自变量的取值范围. 【答案】D【例2】【2018陕西西安长安区质检】已知(),0{ ,0x lgx x f x a b x ->=+≤且()()02,14f f =-=，则()()2f f -= A. -1 B. 2 C. 3 D. -3【分析】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值.．【答案】A【解析】∵(),0{ ,0x lgx x f x a b x ->=+≤且且()()02,14f f =-=， ()()0102{ 14f a b f a b -+∴-+＝＝＝＝，解得113a b ==，， ∴(),0{ 11,03x lgx x f x x ->=⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，2121102101013f f f f lg -∴-=+=-==-=-（）（），（（））（）．故选：A ．【例3】已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()3121f x x x =-- B ．()3121f x x x =+- C ．()3121f x x x =-+ D ．()3121f x x x =---。

2020高考数学二轮复习难点2-5函数性质与方程不等式等相结合问题教学案理

【2019最新】精选高考数学二轮复习难点2-5函数性质与方程不等式等相结合问题教学案理函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容，也都是高考的热点和重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大，函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线，它们贯穿于高中数学的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.本文就高中阶段学生存在的困惑加以类型的总结和方法的探讨. 1函数与方程关系的应用函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程的解就是函数的图像与轴的交点的横坐标，函数也可以看作二元方程通过方程进行研究.就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决.在高考中重点考查函数零点个数、零点范围以及与零点有关的范围问题，有时添加函数性质进去会使得此类问题难度加大.()0f x =()y f x =x ()y f x =()0f x y -=（2）当时，函数有唯一零点，求正数的值.0,1a b ==-()()()22H x x m f x g x ⎡⎤=--⎣⎦m 思路分析：（1）求导，易知：函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2），对m进行分类讨论，得到函数的最小值，函数有唯一零点即函数的最小值为()()()22H x x m f x g x ⎡⎤=--⎣⎦()H x点评：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．例2设函数，若函数有三个零点，，，则等于 .【答案】 2【解析】由图可得关于的方程的解有两个或三个（时有三个，时有两个），所以关于的方程只能有一个根（若有两个根，则关于的方程有四个或五个根），由，可得，，的值分别为，，故答案为.x ()f x t =1t =1t ≠t 20t bt c ++=1t =x()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦()1f x =1x 2x 3x 0,1,21223130112022x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯=2点评：本题主要考查分段函数的图象和解析式；2、函数零点与方程根之间的关系及数形结合思想的应用,属于难题. 判断方程零点个数的常用方法：① 直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .本题判定方程的根的个数是就利用了方法③.()y f x =()y f x =()0f x =()(),y g x y h x ==(),y a y g x ==()f x t =2 函数与不等式关系的应用函数与不等式都是高中数学的重要内容，也都是高考的重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的.函数是高中数学的主线，方程与不等式则是它的重要组成部分.在很多情况下函数与不等式也可以相互转化，对于函数，当时，就转化为不等式，借助于函数图像与性质解决有关问题，而同时研究函数的性质，也离不开解不等式的应用.()y f x =0y >()0f x >例3【辽宁省××市2018届期末】若存在使得不等式成立，则实数的取值范围为（）【答案】B数点睛：研究函数有解问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化，根据不等式有解求参数取值范围，通常采用分离参数法，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，从而求出的范围着重考查了转化与化归思想的应用，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力. a（2）若不等式与在上均恒成立，求实数的取值范思路分析：（1）利用导数研究函数的单调性，求出其最大值，分两种情况比较大小；（2）由且得，，，再由，得，可得结点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题（2）就是利用方法①求得实数的取值范围的.()a f x ≥()max a f x ≥()a f x ≤()min a f x ≤()y f x =()y g x =min ()0f x ≥max ()0f x ≤k 3 函数、方程和不等式关系的应用函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念.也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在高中阶段，应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学习的基本指导思想，这也是高中数学最为重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度.因此，要高三的复习中，对这部分内容应予以足够的重视.（1）当时，比较与1的大小；2a =()f x121n +++思路分析：（1）当时，，其定义域为，令在上是增函数故当时，；当时，；当时，；（2）当时，其定义域为，令1大值为，极小值为，又当时，；当时，，或；（3）根据（1）的结论知当时，即当时，，令1,,ln n n +11111ln 35721n n n +++>+++++111n n +⎫⨯⨯>++⎪⎭121n +++所以．121n +++（3）根据（1）的结论知当时，．即当时，，即令，则有，从而得，故得，即，所1,,ln n n +11111ln 35721n n n +++>+++++1111135721n n n +⎫⨯⨯>++++⎪+⎭()1ln 121n n ++++点评：本题考查函数的函数的极值、函数的零点、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想和转化化归思想的应用.综合上面三种题型，可以采取以下几种技巧和方法：①函数性质与方程综合时，要先将函数性质剖析清楚，尤其是单调性和对称性，然后在研究函数零点问题；②函数与不等式综合时，重点是要学会构造函数，利用函数单调性、最值进行研究；③函数、方程与不等式综合在一起时，要注意利用导数这个有利工具进行解答.。

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函数性质与方程、不等式等相结合问题
函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容，也都是高考的热点和重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大，函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线，它们贯穿于高中数学的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.本文就高中阶段学生存在的困惑加以类型的总结和方法的探讨.
1函数与方程关系的应用
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程()0f x =的解就是函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，函数()y f x =也可以看作二元方程()0f x y -=通过方程进行研究.就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决.在高考中重点考查函数零点个数、零点范围以及与零点有关的范围问题，有时添加函数性质进去会使得此类问题难度加大.
（2）当0,1a b ==-时，函数()()()22H x x m f x g x ⎡⎤=--⎣⎦有唯一零点，求正数m 的值.
的最小值，函数()()()22H x x m f x g x ⎡⎤=--⎣⎦有唯一零点即函数()H x 的最小值为零.
点评：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
【答案】2
【解析】由图可得关于x 的方程()f x t =的解有两个或三个（1t =时有三个，1t ≠时有两个），
所以关于t 的方程20t bt c ++=只能有一个根1t =（若有两个根，则关于x 的方程
()()2
0f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦有四个或五个根），由()1f x =，可得1x ，2x ，3x 的值分别为0,1,2，1223130112022x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯=，故答案为2.
点评：本题主要考查分段函数的图象和解析式；2、函数零点与方程根之间的关系及数形结合思想的应用,属于难题. 判断方程()y f x =零点个数的常用方法：① 直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .本题判定方程()f x t =的根的个数是就利用了方法③. 2 函数与不等式关系的应用
函数与不等式都是高中数学的重要内容，也都是高考的重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的.
函数是高中数学的主线，方程与不等式则是它的重要组成部分.在很多情况下函数与不等式也可以相互转化，对于函数()y f x =，当0y >时，就转化为不等式()0f x >，借助于函数图像与性质解决有关问题，而同时研究函数的性质，也离不开解不等式的应用.
的取值范围为（）
【答案】B
点睛：研究函数有解问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化，根据不等式有解求参数
取值范围，通常采用分离参数法，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，从而求出a的范围着重考查了转化与化归思想的应用，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力.
值范围．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；
③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题（2）就是利用方法①求得实数k 的取值范围的.
3 函数、方程和不等式关系的应用函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念.也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在高中阶段，应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学习的基本指导思想，这也是高中数学最为重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度.因此，要高三的复习中，对这部分内容应予以足够的重视.
（1）当2a =时，比较()f x 与1的大小；
时，
点评：本题考查函数的函数的极值、函数的零点、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想和转化化归思想的应用.
综合上面三种题型，可以采取以下几种技巧和方法：①函数性质与方程综合时，要先将函
数性质剖析清楚，尤其是单调性和对称性，然后在研究函数零点问题；②函数与不等式综合时，重点是要学会构造函数，利用函数单调性、最值进行研究；③函数、方程与不等式综合在一起时，要注意利用导数这个有利工具进行解答.。