流体力学第七章不可压缩流体动力学基础
第七章不可压缩流体动力学基础在前面的章节中，我们学习了理想流体和粘性流体的流动分析，按照水力学的观点，求得平均量。但是，很多问题需要求得更加详细的信息，如流速、压强等流动参数在二个或三个坐标轴方向上的分布情况。本章的内容介绍流体运动的基本规律、基本方程、定解条件和解决流体问题的基本方法。
第一节流体微团的运动分析
运动方式：①移动或单纯的位移（平移）②旋转③线性变形④角变形。位移和旋转可以完全比拟于刚体运动，至于线性变形和脚变形有时统称为变形运动则是基于液体的易流动性而特有的运动形式，在刚体是没有的。
在直角坐标系中取微小立方体进行研究。
一、平移：如果图（a ）所示的基体各角点的质点速度向量完全相同时，则构成了液体基体的单纯位移，其移动速度为z y x u u u 、、。基体在运动中可能沿直线也可能沿曲线运动，但其方位与形状都和原来一样（立方基体各边的长度保持不变）。
二、线变形：从图（b ）中可以看出，由于沿y 轴的速度分量，B 点和C 点都比A 点和D 点大了
dy y
u y ??，而
y
u y ??就代表1=dy 时液体基体运动时，在单位时间内沿
y 轴方向的伸长率。
x u x ??，y u y ??，z
u
z ?? 三、角变形（角变形速度）
d
d
d D
C
A
B
C
D
B
A
dt y
u dy dt dy y u d x x ??=???=α dt x u
dx dt dx x u d y
y
??=???=β θβθα+=-d d 2
βαθd d -=
∴ 角变形： ????
????+??=+=-=x u y u d d d y x z 212βαθαθ ??
?
????+??=
x u z u z x y 21θ
????
????+??=y u z u z y x 21θ 四、旋转（旋转角速度）
???
? ????-??=-=y u x u x y z 21θω ???
?
????-??=z u y u y z
x 21ω 即， ??
?
????-??=x u z u z x y 21ω
z
y
x
u u u z y x k j
i ??????=
21ω 那么，代入欧拉加速度表达式，得：
z x x x x x x z y y z z y y y y y y y x z z x x z z z z z z z y x x y y x x y du u u u u u u u dt t x
u u u u u u u u dt t y u u u
u u u u u dt t z αθθωωαθθωωαθθωω???
=
=++++-????
????==++++-????
????==++++-?
???
各项含义： （1） 平移速度
（2）线变形运动所引起的速度增量
（3）（4）角变形运动所引起的速度增量 （5）（6）微团的旋转运动所产生的速度增量
流体微团的运动可分解为平移运动，旋转运动，线变形运动和角变形运动之和。 ——亥姆霍兹速度分解定理
第二节 有旋运动
1、无涡流（势流）
如在液体运动中，各涡流分量均等于零，即0===z y x ωωω，则称这种运动为无涡流。
当满足无涡流条件时，y z x z y x u u y z u u z x u u x y ???=?
??????=????
???=?????
，满足柯西条件，就有：x y z u x u y u z ?????=?????
=
????
?=???存在。 ?即流速势。满足此条件的流动（无涡流）就叫势流。
（下一章作详细介绍） 2、有涡流：如在液体运动中，涡流分量x ω、y ω及z ω中间的任一个或全部不等于零，则这样的液体运动就叫做旋流或有涡流。自然界中的实际液体几乎都是这种有涡的流动。
涡线：流场中一些假想的线，在所讨论的瞬时，涡线上各个质点的涡旋向量都与此线在该点处相切。
y
与流线同样的分析方法，得到涡线方程：
z
y x dz
dy dx ωωω==
涡量：设流体微团的旋转角速度为()t z y x ,,,ω
，则k j i z y x
Ω+Ω+Ω==Ωω2称为
涡量，是与空间坐标和时间有关的矢量函数。其中x Ω、y Ω和z Ω是涡量在x 、y 、
z 坐标上的投影。
根据旋转角速度的定义，有： z u y u y z x ??-??=
Ω x
u
z u z x y ??-??=Ω y u x u x y z ??-??=Ω 哈米尔顿算子是一矢量算子，k z
j y i x
??+??+
??=?， 可知，????
????-??+??? ????-??+???? ????-??=??????
=
??y u x
u j x u z u i z u y u u u u z y x k
j i
u x y z x y z z
y x
u
??=Ω
那么，()0=????=Ω??u
就自然满足。
或者写成，
0=?Ω?+?Ω?+?Ω?z
y x z
y x 即涡量的定义使之自然满足涡量连续性微分方程。 例：已知某圆管（半径0r ）中液体流动的流速分布为：
()[]222
04z y r J u x +-=
μ
γ 0=y u 0=z u 试判断该流动是有涡流还是无涡流并求涡线微分方程。
021=???
? ????-??=
z u y u y z x ω z J
x u z u z x y ?-=??? ????-??=μ
γω421
y J
y u x u x y z ?=???? ????-??=μ
γω421 所以，该流动是有涡流。
将上三式代入涡线微分方程，
z
y
x
dz
dy
dx
ωωω=
=
，得：
y J dz
z J dy μ
γμγ44=
- 0=+zdz ydy 积分后，得到： C y z =+22 涡线是和管轴同轴的同心圆。
涡管：在涡量场中任意画一封闭曲线，通过这条曲线上的每一点所做出的涡线构
成一管状的曲面，称为涡管。
涡通量：设A 为涡量场中一开口曲面，微元面dA 的外法线单位向量为n
，涡量在n
方向上的投影为n Ω，则面积积分
???Ω+Ω+Ω=Ω=?Ω=A
z y x A
n A
dxdy dzdx dydz dA A d J
称为涡通量。
有旋运动的一个重要的运动学性质：在同一瞬间，通过同一涡管的各截面的涡通量相等。 证明：我们知道，根据涡量的定义，可以很容易知道，涡量自然满足涡量连续性微分方程，即：
0=?Ω?+?Ω?+?Ω?z
y x z
y x ，对这个微分方程在任意封闭体积上作积分，也是满足的，若任意体积取为，一段涡管和两个截面A1和A2，就有：
0=?Ω?+?Ω?+?Ω??dV z y x v z
y x
可以将体积分化成封闭曲面积分：
?
++Ω+Ω+Ω3
21A A A z y x dxdy dxdz dydz
???Ω+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω=3
2
1
A z y x A z y x A z y x dxdy
dxdz dydz dxdy
dxdz dydz dxdy dxdz dydz
????Ω+?Ω+?Ω=3
2
1
A A A A d A d A d 其中 03
=?Ω?A A d
(
)
()
???Ω+?Ω=
2
1
A A dA n dA n
021
=Ω+Ω-=??
A n A n dA dA
所以，
??
Ω=Ω2
1
A n A n dA dA 得证
对于微元涡管，近似认为截面上各点的涡量为常数， 2211A A Ω=Ω
性质：涡管不可能在流体内部开始或终止，而只能在流体中自行封闭成涡环，或者终止于和开始于边界面。龙卷风开始于地面，终止于云层。
速度环量：在流场中任取一封闭曲线s ，则流速沿曲线s 的积分： ?
?
++=?=Γs
z y x s
dz u dy u dx u s d u
称为曲线s 上的速度环量，并规定积分沿s 逆时针方向绕行为s
的正方向。 （一）斯托克斯定理 根据斯托克斯公式，
??++=?=Γs
z y x s
s dz u dy u dx u s d u
???
???????? ????-??+???
????-??+???? ????-??=A x y z x y z dxdy y u x u dxdz x u z u dydz z u y u A A
A
z z y y x x J A d dA dA dA =?Ω=Ω+Ω+Ω=??
性质：沿任意封闭曲线s 的速度环量等于通过以该曲线为边界的曲面A 的涡通量。——斯托克斯定理。 （二）汤姆逊定理
汤姆逊定理：在理想流体的涡量场中，如果质量力具有单值的势函数，那么沿由流体质点所组成的封闭曲线的速度环量不随时间而变，即：
0=Γ
dt
d 解释：速度环量=涡通量，所以，流体的涡旋具有不生、不灭的性质。
第三节 不可压缩流体连续性微分方程
y
1、微分形式的连续性方程
在推导这个方程式时,我们认为运动着的液体系连续地充满它所占据的空间,流动时不形成空隙,并且表征液体运动的各物理量也都是时间和空间的连续函数。
在时间t ,于流场中取一具有边长为dx 、dy 、dz 的微分六面体,在随后的一无限小段
dt 内,流进和流出该微分六面体的质量。流出-流入=质量增量。
微分六面体形心A 点的坐标为（x 、y 、z ）,密度为ρ,质点的速度分量为x u 、y u 及
z u ,则在dt 时段内沿x 轴从左侧面abcd 流入六面的液体质量为
x dx ??-
ρρ2 1()2dx x dx ??+ρρ2
dydzdt dx x dx x u u x x ??????
??-??-
2)]21([ρρ 流出的液体质量为：dydzdt dx x dx x u u x x ??
??????+??+
2)]21([ρρ 质量的变化：dxdydzdt t
dxdydz dxdydz dt t ??=-???
?
?
?+
ρρρ
ρ 联立，得到：()()()dxdydzdt t
dxdydzdt z u dxdydzdt y u dxdydzdt x u z y x ??=??-??-??-
ρ
ρρρ 0=??+??+??+??z
u y u x u t z
y x ρρρρ（一般形式的液体连续性方程）适合可压缩和不可压缩液体。
或，写成：
0=???? ????+??+??+z u y u x
u dt d z y x ρρ
0=??+??+??z
u y u x u z
y x （适合不可压缩液体，恒定流和非恒定流） 它是质量守恒定律在水力学中的表现形式。它表征着不可压缩液体在运动时,若保持其连续性,则线性变形必系伸长现象与缩短现象同时发生。 2、积分形式的液体连续性方程 连续性方程写成矢量形式：
()0=??+??u t
ρρ 其中?为微分算子。 体积积分：
()0=??
??
????+?????τρρ
d u t v 根据高斯公式，
()[]0=?+???????A v dA n u d t
ρτρ
对于恒定流，()[]0=???A
dA n u
ρ
对于不可压缩，
()0=???A dA n u n 是液体边界的外法线方向
考虑到速度和面积的方向，就可知：02211=?+?-dA u dA u ，即，
2211dA u dA u ?=? （微小流束的流量平衡）
积分后，可以得到，2211A v A v = 其中1v 、2v 为各自断面上的断面平均流速。
例：判断，流速为：22y x y u x +-
=，2
2y x x
u y
+=，0=z u 的流动是否满足连续性方程。 解： 22y x y u x +-
=，2
2y x x u y
+=，0=z u ，那么
()2222y x xy x u x +=?? ()
2
2
22y x xy y u y +-=??
0=??z
u z
满足
0=??+??+??z
u y u x u z
y x ，所以，满足连续性方程。 第四节 以应力表示的粘性流体运动微分方程式
一、粘性流体的内应力
表面力，9个分量：
zz
zy
zx
yz yy
yx xz xy
xx p p p ττττττ
X 方向：
x x
ma F
=∑
dydz dx
x p p dx x p p dxdydz X xx xx xx xx )]2
()2[(??--??+
+?ρ
dxdy dz
z dz z dzdx dy y dy y zx zx zx zx yx yx yx yx )]2
()2[()]2()2[(??--??++??--??+
+ττττττττ dt
du dxdydz X x
?
?=ρ ∴dt
du
z y x p X x zx yx xx ρττρ=??+??+??+
或，dt du
z y x p X x zx yx xx =??+??+??+
)(11ττρρ
同理：dt du z y y p Y y zy
xy yy =??+??+??+
)(11ττρρ
dt
du
z y x p Z z xz yz zz =??+??+??+
)(11ττρρ
其中，密度ρ对于不可压缩流体是已知常量，单位质量力Z Y X ,,也是已知常量；未知量为9个应力和三个速度分量。不容易求解。
第五节 应力和变形速度的关系
一、切应力和角应变速度的关系
一元流动的牛顿内摩擦定律为：
dy du μ
τ= 或可写为，dt
d θμτ= 切应力与流速梯度或直角变形速度的关系。 dt
d θ
是直角变形速度，它是角变形速度的2倍，在xoy 平面上， x
u y u
dt d y x z ??+??==εθ2 那么，对于三元流动的牛顿内摩擦定律，可以写成如下形式：
?
?
??
?????
???? ????+??==??? ????+??==????
????+??==z u y u x u z
u
x u y u y z zy yz z x xz zx y x yx xy μττμττμττ
六个切应力均可用粘性系数和直角变形速度的乘积来表示。 二、法向应力和线变形速度的关系
在理想流体中，同一点各方向的法向应力相等，0,≥-===p p p p p zz yy xx （代表是压应力）。在粘性流体中，粘性不仅产生与切应力有关的角变形速度，而且使线变形速度
z
u y u x u z
y x ??????,,也产生附加法向应力。使一点的法向应力与作用面方位有关。 取边长为dy dx =的方形流体微团进行研究，先考虑方形微团在x 方向上的伸长变形。 微团在x 方向上作伸长变形时，BC 伸长为C B '，而对角线AC 旋转至C A '，使θ产生角变形，这样在AC 面上产生切应力n τ，线变形x
u x
??所产生的n τ就要有力来平衡，这样就在AB 面上产生了附加法向切应力xx τ。
根据这样的分析，就有n τ和xx τ力的平衡，
dx dx n xx 245cos 0ττ=? n xx ττ2=
dx
C C AC AB d d 245sin sin 0
'===θθ 其中，C C '是微团在x 方向上伸长的长度，dxdt x
u C C x
??=' 那么，化简后，
x u dt d x
??=
21θ 其中，θd 是45度角的角变形速度， x
u
dt d x n ??==μθμτ2
那么，附加法向应力和线变形速度的关系：
x
u x
xx ??=μ
τ2 综合一下，得到，??
??
?
??????=??=??=z u
y u x u z zz y yy x xx μτμτμ
τ222
线变形运动使法向应力随伸长变形而减小，就有，
??
???
??????+-=??+-=??+-=z u
p p y u p p x u p p z t zz y t yy x t xx μμμ
222
这就是粘性流体法向应力和线变形速度的关系。其中，t p 为理想液体的压强，它的大小与作用面方位无关。在粘性流体中，法向应力应该与方向有关了，所以，定义任意一点上三个相互垂直平面上的法向应力的平均值的负值为粘性流体在该点的压强。
()???
?
????+??+??-=++-
=z u y u x u p p p p p z x t zz xx y yy 3231μ 对于满足连续性方程的不可压缩流体，
0=??+??+??z
u y u x u z
y x ，所以，t p p =。 而对于可压缩流体，z
u y u x u z
y x ??+??+??代表的是质点的体积膨胀率，与坐标的选择无关，而压强p 是空间坐标的函数，与方向无关。
????
????+??+??-??+-=z u y u x u x u p p z y x x xx μμ
322 ???
? ????+??+??-??+-=z u y u x u y u p p z y x y
yy μμ
322 ???
? ????+??+??-??+-=z u y u x u z u p p z y x z zz μμ322 第六节 N-S 方程
将xx p 的表达式代入以应力表示的粘性流体运动微分方程，得到：
dt du x u z u z x u y u y z u y u x u x u p x X x
z x y x z x x =??? ????+????+???
? ????+????+??
???????? ????+??+??-??+-??+
μμρμμρμμρ113221y
若流体粘滞性是常数，那么，
z
x u y x u x u x u x p X z
y x x ???-
???-??-??+??-22222232323221ρμρμρμρμρ dt
du z x u z u y x u y u x
z x y x =???+??+???+??+22
22
22ρμρμρμρμ == > z x u y x u x u x u x p X z y x x ???+
???+??+??+??-22
22223131311ρμρμρμρμρdt du z u y u x
x x =??+??+2
222ρμρμ )(31122z u y u x u x x u x p X z y x x ??+??+????+??+??-ρμρμρdt du z u y u x
x x =??+??+2
222ρμρμ 对于不可压缩流体，有连续性方程，0=??+??+??z
u y u x u z
y x ，所以， dt
du
z u y u x u x p X x x x x =??+??+??+??-)(1222222νρ
同理，可得，
?
??
?
??
?
??=??+??+??+??-=??+??+??+??-=??+??+??+??-dt du z u y u x u z p Z dt du z u y u x u y p
Y dt du z u y u x u x p X z z z z y y y y x x x x )(1)(1)(122
22222
22222222222νρνρνρ不可压缩粘性流体的运动微分方程 它与连续性方程
0y =??+??+??z
u y u x u z
x 联立，求得速度的三个分量和压强。 上式中，
dt
du x
是流体质点的加速度，对于欧拉的描述方法， z
u
u y u u x u u t u dt du x z x y x x x x ??+??+??+??= ?
???
??
?
????+??+??+??=??+??+??+??-??+??+??+??=??+??+??+??-??+??+??+??=??+??+??+??-z u u y u u x u u t u z u y u x u z p Z z u u y u u x u u t u z u y u x u y p
Y z u u y u u x u u t u z u y u x u x p X z z z y z x z z z z y z
y y y x y y y y x z x y x x x x x x )(1)(1)(1222222222222222222νρνρνρ
第七节 理想流体运动微分方程及其积分
当流体为理想液体时，运动粘滞系数0=ν，n-s 方程就简化为：
111x y z du p X x dt du p Y y dt du p Z z dt ρρρ??
-
=
?
??
??-=?????-=?
?? （2-23）
将式（2－13）代入，则上式化为
111x
x x x x y z y
y y y x y z z
z z z x y z u u u u p X u u u x t x y z
u u u u p Y u u u y t x y z u u u u p Z u u u z t x y z ρρρ??????-
=+++???????
??????-=+++???????
??????-=+++?
??????? （2-24）
再引用θ和ω的表达式，则又可化为
1()()1()()1()()x x x y z z y y z z y y
y y z x x z z x x z z
z z x y y x x y y x u u p X u u u u u x t x
u u p Y u u u u u y t y u u p Z u u u u u z t z θθωωρθθωωρθθωωρ????
-
=+++--?????
????-=+++--?????
????-=+++--?
???? （2-25）
上式为欧拉方程式用整体运动性质（位移、变形及旋转）所表现的形式，说明液体在各力作用下而运动时，表现有位移、变形及旋转作用的可能。
对于不可压缩的理想液体，欧拉方程及连续方程提供出解决运动问题的四个独立条件。一般而论，可用以解决其中四个未知数，例如x u 、y u 、z u 及p 。 二、欧拉－哥罗米柯方程式
下面我们再把欧拉方程变成具有涡旋分量的另一形式。 由流速2222x y z u u u u =++可求得
2
()2y x z x y z u u u u u u u x x x x
????=++???? 今将此式与欧拉方程式（2－24）中的第一式相减则得
2
1()
2
()()22y x x x z z y x z y y z
p u X x x u u u u u
u u t z x x y u
u u t ρωω??--???????=
+---??????=+-?
因得2
1()2()2
x z y y z u p u X u u x t x ωωρ???-
=++-??? 同理 2
2
1()2()21()2()2y x z z x z y x x y u p u Y u u y t y u p u Z u u z t z ωωρωωρ????-=++-?
????
?????
-=++-?????
（2-26） 今设体积力（X 、Y 、Z ）为有力势的力，亦即体积力分量可由其势能ππ=（x 、y 、z ）确定如下：
,X x π?=-
?,Y y π?=-?Z z
π?=-? 将之代入式（2－26），稍加整理则得
2
22
()2()2()2()2()2()2x y z z y y z x x z z x y y x u p u u u t x u p u u u t y u p u u u t z πωωρπωωρπωωρ???+++=-????
????
+++=-????
???+++=-?????
（2-27） 式（2－27）即是在有势力作用下用涡旋分量表示的理想液体的运动方程式，又称欧拉－哥罗米柯方程式。
三、理想液体伯努力积分形式的能量方程（25分钟） ①由于水流是在重力场中运动，重力为有势力 所以，存在一势能函数π
x X ??-
=π，y Y ??-=π，z
Z ??-=π
②水为不可压缩的液体，ρ为常数
)(1ρ
ρp
x x p i ??=?? 故上式可写为
)(2)2(2
y z z y x u u u p x t u ωωρπ-=++??+?? )(2)2
(2
z x x z y
u u u p y t u ωωρπ-=++??+?? )(2)2
(2
x y y x z u u u p z t u ωωρπ-=++??+?? 能量方程的推导：
基于上述柯罗米柯方程，通过观测：
①第一种情况
无旋流 0===z y x ωωω
则存在一流速势函数),,,(t z y x =?，且
z
u y u x u z y x ??=??=??=
???,, 代入柯罗米柯方程，
0)2()(2
=++??+????u p x x t ρπ? 0)2
()(2
=++??+????u p y y t ρπ? 0)2
()(2
=++??+????u p z z t ρπ? 推出
0)2(2
=+++????u p t x ρπ? 0)2(2
=+++????u p t y ρπ? 0)2
(2
=+++????u p t z ρπ? ∴)(2
2
t C u p t =+++??ρπ? 能量方程 单纯重力作用时，gz =π
)(2
2t C u p gz t =+++??ρ? ②第二种情况 恒定流
0=??=??=??t
u t u t u z
y x
)(2)2(2
y z z y u u u p x ωωρπ-=++?? )(2)2(2
z x x z u u u p y ωωρπ-=++?? )(2)2
(2
x y y x u u u p z ωωρπ-=++?? 积分：
z
y
x
z y x u u u dz dy dx u
p
d ωωωρ
π2)2
(2
-=+
+
如果行列式等于零，则
C u p
常数=++2
2
ρπ，与t 无关
单纯重力作用下理想液体恒定流的能量方程
gz =π时，C u p
gz =++2
2
ρ
满足条件式1-4其中的一条，就可以满足行列式为零的要求
1．0x y z ωωω===，无旋流或势流，并可用于流场空间内所有的空间点上。 2．
,x y z dx dy dz u u u ==这是一个流线的微分方程式，所以适用于同一个流线之上。 3．
x y z dx dy dz
ωωω==，这是一条涡线的方程式，所以适用于同一个涡线上各点。
4．
y
x
z
x
y
z
u u u ωωω=
=
，恒定流中以流线与涡线相重合为特征的螺旋流，所以方程式也适
用于恒定螺旋流中。
根据以上论述，对于由上述1、2、3、4各种情况所限定的两个点上（点1及点2），则得
22
1
122
1222p u p u z z g g γγ++=++
（2－34）
→??势流① →?
??
沿涡线沿流线②
各项含义：位能、压能和动能。总的意义：液体在运动过程中，尽管其机械能可以相互转化，但总的机械能是守恒的，上式是普遍能量守恒原理在理想液体中的表现形式。 对于实际液体：
)(2)2(122z y y z x x u u u x t u u x p x ωωνρ-+??+??=?+??-
)(2)2(122x z z x y y u u u y t u u y p y ωωνρ-+??+??=?+??-
)(2)2
(122y x x y z z u u u z t u u z p z ωωνρ-+??+??=?+??-
积分形式 势流
x u u p x 22
)2(?=++??νρπ y u u p y 22
)2(?=++??νρπ z u u p z 22
)2
(?=++??νρπ 推出
)(2)2()(22z y y z x x u u u t u u x p x x ωωνρπ-=?+??-??-??-??- )(2)2()(22x z z x y y u u u t u u y p y y ωωνρπ-=?+??-??-??-??- )(2)2()(22y x z y z z u u u t
u u z p z z ωωνρπ-=?+??-??-??-??-
z
y x z
y x
z y x z y x u u u dz dy
dx
dz u dy u dx u dz t
u
dy t u dx t u u p d ωωωνρπ2)()()2(2222
=?+?+?+??+??+??-++-ds s
R dz u dy u dx u z y x ??-
=?+?+?ω
ν)(222 沿流线：
)2
(2
u p
d ++-ρπ
),cos(),,cos(∧
∧==x u ds dx x u u u x ∴ds dx u u x =；x u u
ds dx ?= ∴
dz t
u
dy t u dx t u z y x ??+??+?? z z y y x x u u
ds
t u u u ds t u u u ds t u ????+????+????=
]2
1)([222?++??=
z y x u u u t u ds )2
(2u t u ds ???= ds t
u
???=
∴0)2(2=??-??-
++-ds s R
ds t u u p
d ωρπ （ωR 为摩擦所作的功） ∴01)2(2=??+'++
+??ds t
u
g ds h g u p z s ωγ 任意两点：
ds t
u
g h g u p
z ???='+++12121ω
γ i h h g
u
p z g u p z +'+++=++-21222
222211
1ω
γγ （21-'ωh 为惯性消耗，i h 为惯性水头）