导数练习题(含答案)

导数练习题1．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝±1处取得极值，在x ＝0处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求f (x )的解析式；(2)已知点A (2，m )，求过点A 的曲线y ＝f (x )的切线条数． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′(－1)＝3a －2b ＋c ＝0，f ′(0)＝c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－3.所以f (x )＝x 3－3x .(2)设切点为(t ，t 3－3t )，由(1)知f ′(x )＝3x 2－3，所以切线斜率k ＝3t 2－3， 切线方程为y －(t 3－3t )＝(3t 2－3)(x －t )．又切线过点A (2，m )，代入得m －(t 3－3t )＝(3t 2－3)(2－t )，解得m ＝－2t 3＋6t 2－6. 设g (t )＝－2t 3＋6t 2－6，令g ′(t )＝0， 即－6t 2＋12t ＝0，解得t ＝0或t ＝2.当t 变化时，g ′(t )与g (t )的变化情况如下表：作出函数草图(图略)，由图可知：①当m >2或m <－6时，方程m ＝－2t 3＋6t 2－6只有一解，即过点A 只有一条切线； ②当m ＝2或m ＝－6时，方程m ＝－2t 3＋6t 2－6恰有两解，即过点A 有两条切线； ③当－6<m <2时，方程m ＝－2t 3＋6t 2－6有三解，即过点A 有三条切线． 2．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2.(1)当a ＝2，b ＝12时，求函数f (x )在[1e，e]上的最大值；(2)当b ＝0时，若不等式f (x )≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2]都成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意知，f (x )＝2ln x －12x 2，f ′(x )＝2x －x ＝2－x2x ，当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0得1e≤x <2；令f ′(x )<0，得2<x ≤e，∴f (x )在[1e ，2)上单调递增，在(2，e]上单调递减，∴f (x )max ＝f (2)＝ln 2－1.(2)当b ＝0时，f (x )＝a ln x ，若不等式f (x )≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2]都成立，则a ln x ≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2]都成立，即m ≤a ln x －x ，对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2]都成立，令h (a )＝a ln x －x ，则h (a )为一次函数，m ≤h (a )min .∵x ∈(1，e 2]，∴ln x >0，∴h (a )在[0，32]上单调递增，∴h (a )min ＝h (0)＝－x ，∴m ≤－x 对所有的x ∈(1，e 2]都成立．∵1<x ≤e 2，∴－e 2≤－x <－1，∴m ≤(－x )min ＝－e 2.即实数m 的取值范围为(－∞，－e 2]． 3．设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数． (1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N *，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N *，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明． 解 由题设得，g (x )＝x1＋x(x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x ，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x 1＋2x ，g 3(x )＝x1＋3x，…，可得g n (x )＝x1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k (x )1＋g k (x )＝x1＋kx 1＋x 1＋kx＝x 1＋(k ＋1)x，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N *成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax 1＋x 恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a (1＋x )2＝x ＋1－a(1＋x )2，当a ≤1时，φ′(x )≥0(当且仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增．又φ(0)＝0，∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立(当且仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)． 当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )≤0，∴φ(x )在(0，a －1)上单调递减∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立，综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋n n ＋1，n －f (n )＝n －ln(n ＋1)，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)． 证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x 1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N *，则1n ＋1<ln n ＋1n.下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N *成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x 1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N *，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，…，ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．D1、已知函数()2f x m x =+与函数()11ln 3,22g x x x x ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图像上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ）。

A 、5ln 2,24⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B 、52ln 2,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦C 、5ln 2,2ln 24⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D 、[]2ln 2,2-B2、已知函数()3231f x a x x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围，为（ ）。

A 、（2,+∞）B 、（,2-∞-）C 、（,1-∞-）D 、（1,+∞） A3、定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()1,00,f x f x f f x ''>-=是()f x 的导函数，则不等式()1x x e f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）。

A 、()0,+∞ B 、()(),10,-∞-⋃+∞ C 、()(),01,-∞⋃+∞ D 、()1,-+∞ 4、已知函数()2143ln 2f x x x x =-+-在[],1t t +上不单调，那么实数t 的取值范围是 。

(0,1)(2,3)C5、若函数32()132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭内有极值点，则实数a 的取值范围是（ ）。

A 、52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C 、102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B6、已知函数3214()33f x x x x =+++，若函数()y f x a b =++为奇函数，则a b +的值为（ ）。

A 、-5B 、-2C 、0D 、2D7、已知函数2()(32),x f x e x a x =+++在区间(1,0)-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）。

A 、11,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B 、1,3e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C 、3,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D 11,3e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭A8、设函数()f x 在R 上的导函数为2(),2()()f x f x xf x x ''+>且，下面的不等式在R 上恒成立的是（ ）。

A 、()0f x >B 、()0f x <C 、()f x x >D 、()f x x <A9、已知函数()(2)x f x x e ax a =---，若不等式()0f x >恰有两个正整数解，则a 的取值范围是（ ）。

A 、31,04e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B 、,02e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C 、31,42e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D 、31,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D10、若函数2()ln ()(0)f x x g x ax a ==>与函数有两条公切线，则实数a 的取值范围是（ ）。

A 、1(0,)e B 、1(0,)2e C 、1(,)e +∞ D 、1(,)2e+∞11、已知函数()g x 满足121()(1)(0)2x g x g e g x x -'=-+，且存在实数0x 使得不等式021()m g x -≥成立，则m 的取值范围是 。

【1，+无穷】12、已知1,3x x ==是函数()sin()(0,)f x x ωϕωϕπ=+><相邻的两个极值点，且()f x 在32x =处的导数302f ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

（二分之一） 13、已知函数21(),()241f x xg x x ax x =-=-++，若任意[][]120,1,1,2x x ∈∈存在，使12()()f x g x ≥，则实数a 的取值范围是 。

【四分之九到正无穷】 B14、已知M 为曲线x y e =上一动点，N 为曲线ln y x =上一动点，则MN 的最小值为（ ）。