导数练习题(含答案)

导数练习题

1．已知函数f (x )＝ax 3

＋bx 2

＋cx 在x ＝±1处取得极值，在x ＝0处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．

(1)求f (x )的解析式；

(2)已知点A (2，m )，求过点A 的曲线y ＝f (x )的切线条数． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2

＋2bx ＋c ，

由题意可得????

?

f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′(－1)＝3a －2b ＋c ＝0，

f ′(0)＝c ＝－3，

解得????

?

a ＝1，

b ＝0，

c ＝－3.

所以f (x )＝x 3

－3x .

(2)设切点为(t ，t 3－3t )，由(1)知f ′(x )＝3x 2－3，所以切线斜率k ＝3t 2

－3， 切线方程为y －(t 3

－3t )＝(3t 2

－3)(x －t )．

又切线过点A (2，m )，代入得m －(t 3

－3t )＝(3t 2

－3)(2－t )，解得m ＝－2t 3

＋6t 2

－6. 设g (t )＝－2t 3

＋6t 2

－6，令g ′(t )＝0， 即－6t 2

＋12t ＝0，解得t ＝0或t ＝2.

当t 变化时，g ′(t )与g (t )的变化情况如下表：

作出函数草图(图略)，由图可知：

①当m >2或m <－6时，方程m ＝－2t 3

＋6t 2

－6只有一解，即过点A 只有一条切线； ②当m ＝2或m ＝－6时，方程m ＝－2t 3

＋6t 2

－6恰有两解，即过点A 有两条切线； ③当－6

＋6t 2

－6有三解，即过点A 有三条切线． 2．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2.

(1)当a ＝2，b ＝12时，求函数f (x )在[1

e

，e]上的最大值；

(2)当b ＝0时，若不等式f (x )≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2

]都成立，求实数m 的

取值范围．

解 (1)由题意知，f (x )＝2ln x －12x 2，f ′(x )＝2x －x ＝2－x

2

x ，

当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0得1

e

≤x <2；令f ′(x )<0，得2

∴f (x )在[1

e ，2)上单调递增，在(2，e]上单调递减，∴

f (x )max ＝f (2)＝ln 2－1.

(2)当b ＝0时，f (x )＝a ln x ，若不等式f (x )≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2

]都成

立，则a ln x ≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2

]都成立，即m ≤a ln x －x ，对所有的a ∈[0，

32

]，x ∈(1，e 2

]都成立，令h (a )＝a ln x －x ，则h (a )为一次函数，m ≤h (a )min .∵x ∈(1，e 2]，∴ln x >0，

∴h (a )在[0，32]上单调递增，∴h (a )min ＝h (0)＝－x ，∴m ≤－x 对所有的x ∈(1，e 2

]都成立．

∵1

，∴－e 2

≤－x <－1，∴m ≤(－x )min ＝－e 2

.即实数m 的取值范围为(－∞，－e 2

]． 3．设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数． (1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N *

，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；

(3)设n ∈N *

，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明． 解 由题设得，g (x )＝x

1＋x

(x ≥0)．

(1)由已知，g 1(x )＝

x 1＋x ，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x

1＋x 1＋

x 1＋x

＝x 1＋2x ，g 3(x )＝x

1＋3x

，…，可得g n (x )

＝

x

1＋nx

. 下面用数学归纳法证明．

①当n ＝1时，g 1(x )＝x

1＋x

，结论成立．

②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x

1＋kx

.那么，当n ＝k ＋1时，

g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝

g k (x )1＋g k (x )＝x

1＋kx 1＋

x 1＋kx

＝x 1＋(k ＋1)x

，即结论成立．

由①②可知，结论对n ∈N *

成立．

(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax 1＋x 恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax

1＋x (x ≥0)，

则φ′(x )＝11＋x －a (1＋x )2＝x ＋1－a

(1＋x )

2，

当a ≤1时，φ′(x )≥0(当且仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递

增．

又φ(0)＝0，∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1时，ln(1＋x )≥

ax

1＋x

恒成立(当且仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)． 当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )≤0，∴φ(x )在(0，a －1)上单调递减∴φ(a －1)<φ(0)＝0.

即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax

1＋x

不恒成立，

综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．

(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋n n ＋1，n －f (n )＝n －ln(n ＋1)，比较结果

为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)． 证明如下：

方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1

n ＋1

在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x 1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N *

，则1n ＋1

.

下面用数学归纳法证明．

①当n ＝1时，1

2

②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1

k ＋1

那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2

k ＋1＝ln(k ＋

2)，即结论成立．

由①②可知，结论对n ∈N *

成立．

方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1

n ＋1

在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x 1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N *

，则ln n ＋1n >1n ＋1

.

故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，…，ln(n ＋1)－ln n >1

n ＋1，

上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1

n ＋1

，结论得证．

D1、已知函数()2f x m x =+与函数()11ln 3,22g x x x x ??

??=--∈ ???????的图像上至少存

在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ）。

A 、5ln 2,24??+????

B 、52ln 2,ln 24??

-+????

C 、5ln 2,2ln 24??

+-????

D 、[]2ln 2,2-

B2、已知函数()32

31f x a x x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围，为（ ）。

A 、（2,+∞）

B 、（,2-∞-）

C 、（,1-∞-）

D 、（1,+∞） A3、定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()1,00,f x f x f f x ''>-=是()f x 的导函数，则不等式()1x x e f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）。 A 、()0,+∞ B 、()(),10,-∞-?+∞ C 、()(),01,-∞?+∞ D 、()1,-+∞ 4、已知函数()2

143ln 2

f x x x x =-

+-在[],1t t +上不单调，那么实数t 的取值范围是 。(0,1)(2,3)U

C5、若函数32()132x a f x x x =-++在区间1,32??

???

内有极值点，则实数a 的取值范围

是（ ）。

A 、52,2?? ???

B 、52,2??????

C 、102,3?? ???

D 、102,3??

????

B6、已知函数3214

()33

f x x x x =+++，若函数()y f x a b =++为奇函数，则a b +的

值为（ ）。

A 、-5

B 、-2

C 、0

D 、2

D7、已知函数2()(32),x f x e x a x =+++在区间(1,0)-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）。

A 、11,e ??-- ???

B 、1,3e ??-- ???

C 、3,1e ??-- ???

D 11,3e ?

?-- ??

?

A8、设函数()f x 在R 上的导函数为2(),2()()f x f x xf x x ''+>且，下面的不等式在R 上恒成立的是（ ）。

A 、()0f x >

B 、()0f x <

C 、()f x x >

D 、()f x x <

A9、已知函数()(2)x f x x e ax a =---，若不等式()0f x >恰有两个正整数解，则a 的取值范围是（ ）。

A 、31,04e ??-????

B 、,02e ??-????

C 、31,42e e ??-????

D 、31,24e ??-????

D10、若函数2()ln ()(0)f x x g x ax a ==>与函数有两条公切线，则实数a 的取值范围是（ ）。 A 、1(0,)e B 、1(0,)2e C 、1(,)e +∞ D 、1

(,)2e

+∞

11、已知函数()g x 满足121

()(1)(0)2

x g x g e g x x -'=-+，且存在实数0x 使得不等式

021()m g x -≥成立，则m 的取值范围是 。【1，+无穷】

12、已知1,3x x ==是函数()sin()(0,)f x x ω?ω?π=+><相邻的两个极值点，且

()f x 在32x =

处的导数302f ??

'< ???，则13f ??

= ???

。（二分之一） 13、已知函数21

(),()241

f x x

g x x ax x =-

=-++，若任意[][]120,1,1,2x x ∈∈存在，使12()()f x g x ≥，则实数a 的取值范围是 。【四分之九到正无穷】 B14、已知M 为曲线x y e =上一动点，N 为曲线ln y x =上一动点，则MN 的最小值为（ ）。

A C 、、 A15、723456701234567(12)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，则代数式

1234567234567a a a a a a a ++++++的值为（ ）。

A 、14-

B 、7-

C 、7

D 、14