师大附中高三期中考试数学试卷及答案
高三师大附中数学考试试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，在实数范围内有最大值的是（）A. f(x) = x^2 - 2x + 1B. f(x) = -x^2 + 2x + 1C. f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1D. f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x + 12. 若等差数列{an}的公差为d，且a1 + a2 + a3 = 9，a1 + a4 + a5 = 27，则d =（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意的实数x，有x^2 ≥ 0B. 若a > b，则a + c > b + cC. 若a^2 = b^2，则a = bD. 若a > b，则a^2 > b^24. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 3，则f(2) =（）A. 3B. 5C. 7D. 95. 下列不等式中，正确的是（）A. x^2 + 1 > 0B. x^2 - 1 < 0C. x^2 + 1 < 0D. x^2 - 1 > 06. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 5，b = 7，c = 8，则△ABC的面积S =（）A. 10√6B. 20√6C. 30√6D. 40√67. 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，且a1 + a2 + a3 = 27，a2 + a3 + a4 = 81，则q =（）A. 2B. 3C. 4D. 58. 下列复数中，不是纯虚数的是（）A. 3iB. -5iC. 2 + 3iD. -2 - 5i9. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，则f(-3) =（）A. -1B. 0C. 1D. 210. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2 + b^2 = c^2，则△ABC是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形二、填空题（每题5分，共25分）11. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1在x = 1处取得极值，则该极值为__________。
陕西师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中理科数学试题含解析
A. B. C.2D.
【答案】B
【解析】
【分析】将 代入双曲线方程求出点 的坐标，通过解直角三角形列出三参数 ， ， 的关系，求出离心率的值．
【详解】由于 轴，且 在第一象限，设
所以将 代入双曲线的方程得 即 ，
7.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为Sn，则（）
A.Sn无限大B.Sn<3(3＋ )m
C.Sn＝3(3＋ )mD.Sn可以取100m
17.已知 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 的平分线交AB于点D，且 ，求 的最小值；
【答案】（1） ；（2）4
【解析】
【分析】（1）由 ，利用正弦定理将边转化为角得到 ，再根据 ，有 ，然后利用两角差的正弦公式展开求解.
（2）根据 的平分线交AB于点D，且 ，由 ，可得 ，化简得到 ，则 ，再利用基本不等式求解.
【详解】设 ， ，
则 ， ，
如图所示，
连接 交 于点 ，连接 、 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，而 ，所以四边形 是直角梯形，
则有 ，
， ，
所以有 ，
故 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又因为 为正方形，所以 ，
而 平面 ，
所以 平面 ，即 平面 ，
,
所以 ， ，
故答案为：③④.
(整理版)师大附中高三期中考试
师大附中高三期中考试 数学试卷〔理工类〕1.本试卷分第I 卷和第II 卷两局部，共4页。
总分值150分。
考试时间120分钟。
2.本试卷涉计的内容：集合与逻辑、根本初等函数〔I 〕〔II 〕、导数及其应用。
第I 卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪项符合题目要求的.U R =，集合{}{}()3021,log 0,x U A x B x x A C B =<<=>⋂=则A.{}1x x >B.{}0x x >C.{}01x x <<D.{}0x x <()212sin ,46f x x fππ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则 A.32-B.12-C.12D.320,1a a >≠，函数log ,,x a y x y a y x a ===+在同一坐标系中的图象可能是4.2a ≥是函数()223f x x ax =-+在区间[]1,2上单调的0.81.2512,,2log 22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，那么,,a b c 的大小关系是A.a <b <cB.b a c <<C.c b a <<D.b c a <<22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是ππ的偶函数2π2π的偶函数 ()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么()f x 的图像的一条对称轴的方程是A.9x π=B.6x π=C.3x π=D.2x π=()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，得到的图象所表示的函数为 A.sin 2,3y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭B.sin 2,3y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭C.1sin ,26y x x R π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭D.1sin ,26y x x R π⎛⎫=-∈⎪⎝⎭cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像512π个长度单位512π个长度单位 56π个长度单位56π个长度单位()()sin 2f x x ϕ=+，其中02ϕπ<<，假设()6f x f π⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭对x R 恒成立，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，那么ϕ等于 A.6π B.56π C.76π D.116π()112xf x =-的图像是()cos f x x π=与函数()2log 1g x x =-的图像所有交点的横坐标之和为A.2B.4第II 卷〔共90分〕二、填空题〔每题4分，总分值16分〕210,,sin cos 224a παα⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭且，那么tan α的值等于___________.14.计算：2211x dx x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰_____________. ()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()12f x f x +=-，当23x ≤≤时，()(),2013f x x f ==则______________.()()()220log 0x x f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()1y f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数为__________.三、解答题〔总分值74分〕17.〔此题总分值12分〕函数()23sin cos cos .f x x x x =- 〔I 〕求()f x 的最小正周期和单调递增区间； 〔II 〕当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值.18.〔此题总分值12分〕设函数为奇函数，且在1x -时取得极大值.〔I 〕求b ，c ；〔II 〕求函数的单调区间； 〔III 〕解不等式()2f x ≤.19.〔此题总分值12分〕ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对三边分别为a ，b ，c ，且sin 4A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔I 〕求tanA 的值；〔II 〕假设ABC ∆的面积24,6S b ==，求a 的值.20.〔此题总分值12分〕设函数()sin cos ,f x x x x x R =-∈. 〔I 〕当0x >时，求函数()f x 的单调区间； 〔II 〕当[]0,2013x π∈时，求所有极值的和.21.〔此题总分值12分〕设函数()xf x e =.〔I 〕求证：()f x ex ≥；〔II 〕记曲线()()()(),0y f x P t f t t =<在点其中处的切线为l ，假设l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S ，求S 的最大值.22.〔此题总分值14分〕 函数()()21ln0.f x ax x a x=-+> 〔I 〕讨论()f x 的单调性；〔II 〕假设()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()1232ln 2.f x f x +>-。
数学丨黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2025届高三上学期11月期中考试数学试卷及答案
哈师大附中2024—2025学年度高三上学期期中考试数学试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷(选择题,共58分)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|230A x x x =-+≤，(){}2ln 2B x y x==-，则A B = （）A ．()13，B．3⎡-⎣C．⎡⎤⎣⎦D．(⎤⎦2．复数2025z=2025i -在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.函数()2cos f x x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A.2πB .2C.6π+ D.13π+4．已知a 是单位向量，则“||||1a b b +-= 是“a b∥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知函数()()e 1x a xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,0-上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[)0,+∞B ．[)2,-+∞C ．(],0-∞D ．(],2-∞-6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3614S S =，则1236SS S =+（）A.43B.8C.9D.167.菱形ABCD 边长为2，P 为平面ABCD 内一动点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为()A.0B.2- C.2D.4-8.已知函数()f x 为偶函数，且满足(13)(13)f x f x -=+，当(0,1)x ∈，()31xf x =-，则323(log )f 的值为（）A.31B.5932C.4932D.21132二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数()2sin(1)3f x x πωω=+≤的图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A ．1ω=B ．函数的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将()y f x =向左平移3π个单位长度，得到函数()2cos(6g x x π=+D ．若方程(2)f x m =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不相等的实数根，则m的取值范围是2⎤⎦10．设正实数,m n 满足1m n +=，则（）A ．1m nm+的最小值为3B+C的最小值为12D ．33m n +的最小值为1411.已知函数1()(0)xf x x x =>,则下列说法中正确的是（）A.方程1()(f x f x=有一个解B.若()()g x f x m =-有两个零点，则10em e<<C.若21()(log ())2a h x x f x =-存在极小值和极大值，则(1,e)a ∈D.若()0f xb -=有两个不同零点，2(())()0f x b x cx d --+≤恒成立，则2ln b c <<第Ⅱ卷(非选择题,共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．12.中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为π36的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为π81的圆锥，则该圆锥的高度为.13．已知某种科技产品的利润率为P ，预计5年内与时间(t 月)满足函数关系式(t P ab =其中a b 、为非零常数).若经过12个月，利润率为10%，经过24个月，利润率为20%，那么当利润率达到50%以上，至少需要经过________________个月(用整数作答，参考数据：lg 20.3010)≈14.已知b 为单位向量，,a c 满足42a b c b ⋅=-= ，则12a c -的最小值为四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题13分）在△ABC 中，a b c 、、分别为角A B C 、、所对的边，且22()b a a c c -=-(1)求角B .(2)若b =△ABC 周长的最大值.16.（本小题15分）已知数列{}n a 满足*3212122,N 22n n a a a n a n -++++=∈ (1)求{}n a 的通项公式；(2)在n a 和1n a +之间插入n 个数，使得这2n +个数依次构成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．17．（本小题15分）行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如11122122a a a a 的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：1112112212212122a a a a a a a a =-，设函数22sin sin ()()π26cos()x xf x x x =∈+R ．(1)求()f x 的对称轴方程及在[0,]π上的单调递增区间；(2)在锐角ABC ∆中，已知()32f A =-,2133AD AB AC =+，cos B =，求tan BAD ∠18.（本小题17分）已知数列}{n a 满足111,,333,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数（*∈N n ）.(1)记232-=n n a b （*∈N n ），证明：数列}{n b 为等比数列，并求}{n b 的通项公式；(2)求数列}{n a 的前n 2项和n S 2；(3)设12121--=+n n n b b c （*∈N n ），且数列}{n c 的前n 项和为n T ，求证：1133ln --<-n n n n T （*∈N n ）.19.（本小题17分）已知函数ln ()sin ,(0,)x a f x e x x -=-∈+∞.(1)当a e =时，求()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；(2)若32(())(())ln(1())0f x f x f x -++≥恒成立，求a 的范围；(3)若()f x 在(0,)π内有两个不同零点12,x x ，求证：122x x ππ<+<2024—2025学年度上学期高三学年期中考试数学答案一、单选题1.D 2.D 3.A 4.A 5.D 6.B7.D8.C二、多选题9.AC 10.ABD 11.ACD 三、填空题12.213.4014.1四、解答题15.（1）22()b a a c c -=-即222b a c ac =+-∵2222cos b a c ac B =+-∴1cos 2B =，又(0,)B π∈∴3B π=（2）由sin sin a c AC =可得，2sin a A =，2sin c C=2sin 2sin l a b c A C =++=+∵2+3A C π=∴23C Ap =-∴22sin 2sin()3l a b c A A π=++=+-3sin A A =)6A π=+∵203A π<<∴l的最大值为16.(1)321212222nn na a a a -++++= 当2n ≥时，312122)2222(1n n a a a n a --++++=- 两式相减，得122nn a -=，即2n n a =.又当1n =时，12a =符合题意，所以2n n a =.(2)由（1）得2n n a =，所以11222111n n nn n n b b d n n n ++--===+++，则112nn n d +=，所以()123111123412222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12341111112341222222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得：()()112111111111113342211112222222212n n n nn n n T n n ++++⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅++⋅⋅⋅+-+=+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，所以332n nn T +=-．17.（1）221()2sin cos()2sin 2sin (cos sin )2sin 226f x x x x x x x xπ=+-=--23323sin sin 2(1cos 2)sin(2)22232x x x x x π=---+-，由22,32x k k πππ+=+∈Z ，得,12x k k ππ=+∈Z ，所以()f x 的对称轴为ππ()122kx k =+∈Z .由222,232k x k k πππππ-+<+<+∈Z ，[]0,x π∈，所以单调递增区间为701212πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，（2）由（1）知，33())322f A A π=+-=-，则πsin(2)03A +=，由02A π<<，得ππ4π2333A <+<，则π23A π+=，解得π3A =，因为ABC V中，cos B =，则B 为锐角，所以sin 3B ===，因为π3A =，πA B C ++=，所以2π3C B =-，所以2π2π2π11sin sin sin cos cos sin 333232326C B B B ⎛⎫=-=-=⨯+⨯=+⎪⎝⎭，设BADθ∠=，则π3 CADθ∠=-，在ABD△和ACD中，由正弦定理得sin sinBD ADBθ==πsinsin3CD ADCθ=⎛⎫-⎪⎝⎭因为2CD BD=(π3sin3θθ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，(1cos sin3sin22θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2sinθθ=+，所以tan tanBADθ∠==18.（1）证明：2123123)1231(231212221-+=-++=-=++++nanaabnnnnnnnnbaanna31)23(312131212)6(31222=-=-=-+-=，又212313123121=-+=-=aab，所以，数列}{nb为以21为首项，31为公比的等比数列.（2）由（1）可知13121-⎪⎭⎫⎝⎛=nnb，又232-=nnab，23312112+⎪⎭⎫⎝⎛=∴-nna.设nnaaaP242++=，则nnPnnn233143432331131121+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=，设1231-++=nnaaaQ ，1231122-+=-naann，2312)121(31nQnnQPnnn+=-+⋅+=∴，233nPQnn-=∴，故21223631334nnnPQPSnnnnn-+⎪⎭⎫⎝⎛-=-=+=-.（3）nnnnnnnc321132113331311311-<--=--=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=-，n n n n n n n T 311311()313131(22+-=--=+++-<∴ ，所以欲证1133ln --<-n n n n T ，只需证)311ln(313ln 133ln 31n n n n n n --=--=-<，即证n n 31311ln(-<-.设)0,1(),1ln()(-∈+-=x x x x f ，01)(<+='∴x xx f ，故)(x f 在)0,1(-上单调递减，0)0()(=>f x f ，)0,1(-∈∴x 时，)1ln(x x +>.)0,31[31-∈-n ，n n 31311ln(-<-∴得证.19.1) =s =K1−sins 0=−1,n =K1−coss n 0=−1−1∴−−1=−1−12）3−2+ln 1+≥0.令=s 3−2+ln 1+≥0(1)t >-令=3−2+ln 1+,n =32−2+1r1=33+2−2r1r1，当≥0,'≥0∴在0,+∞单调递增，当()32322(0,1),ln 1(1)0t t t t t t t t t t ∈+++<++=++<∴≥0解集为≥0∴≥0>0,sins1≥sin=ℎ. ℎ' = cosKsin =, ∴ 在 单调递增, (4,54)单调递减,当>54时,ℎ<154∴ℎ=224∴1≥224,0<≤243）ℎ=sin ∴sin=1有两个根1,2。
南京市南师附中2022-2023学年高三上学期期中数学试题含答案
南京师大附中2022-2023学年度第1学期高三年级期中考试数学试卷一.单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1.设全集为R ，集合{}2330A x x x =-->，集合(){}2lg 1,B y y x x R ==+∈，则()R A B =ð（）A.{}31x x x ><-或B.{}03x x ≤≤ C.{}01x x ≤≤D.{}31x x -≤≤2.已知42i1i z +=-（i 是虚数单位）的共轭复数为z ，则z 的虚部为（） A.3B.3-C.1D.1-3.函数()22xef x x=的图象大致为（） A. B. C. D.4.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若2364a a =，且5628a a +=，则6S =（） A.128B.127C.126D.1255.给出下列命题：①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②如果两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直； ③如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行； ④如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. 以上命题中真命题的序号是（） A.①②B.③④C.①③D.②④6.已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，MAF ∠的角平分线与抛物线的准线交于点P ，线段AB 的中点为Q .若16AB =，则PQ =（） A.2B.4C.6D.87.如图，在正三棱台111ABC A B C -中，AB =116A B =，1AA =111ABC A B C -的外接球体积为（）A.2563B.2563πC.64D.64π8.已知正实数x ，y 满足11410x y x y+++=，则4x y +的最大值为（） A.19B.1C.2D.9二.多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分.每题全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.设a ，b ，c 都是实数，下列说法正确的是（） A.22ac bc >是a b >的充要条件 B.ln ln a b >是22a b >的充分不必要条件C.ABC △中，角A ，B ，C 对应边分别为a ，b ，c ，则sin sin A B >是a b >的充要条件D.tan 3θ=是sin 22θ=的必要不充分条件 10.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x =-+，当01x ≤≤时，()2f x x =，则下列结论正确的有（）A.函数()f x 的图象关于直线1x =对称B.函数()f x 是周期函数C.函数()f x 在[]2020,2022上单调递增D.函数()f x 有最小值1-11.已知1F ，2F 分别为椭圆22:12x C y +=的左、右焦点，不过原点O 且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，则下列结论正确的有（）A.椭圆C 的离心率为2B.椭圆C 的长轴长为2C.若点M 是线段PQ 的中点，则MO 的斜率为12-D.OPQ △的面积的最大值为212.已知函数()2ln f x x ax =-，则下列结论正确的有（）A.当12a e <时，()y f x =有2个零点 B.当12a e >时，()0f x ≤恒成立C.当12a =时，1x =是()y f x =的极值点D.若1x ，2x 是关于x 的方程()0f x =的2个不等实数根，则12x x e >三.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知向量()2,3a =，()1,2b =-，c ka b =+，若a c ⊥，则k =______.14.已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x >时，()21xf x =-，且函数()1y f x =+关于点()1,0T -对称，则满足()()2230f x f x-+≤的取值范围是______.15.对如下编号为1，2，3，4的格子涂色，有红，黄，蓝，绿四种颜色可供选择，要求相邻格子不同色，则在1号格子涂红色的条件下，4号格子也涂红色的概率是______.16.已知1F ，2F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点2F 且斜率为1的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，若1F PQ △是等腰三角形，则双曲线C 的离心率为______. 四.解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知等差数列{}n a 与正项等比数列{}n b ，满足113a b ==，3712b a -=，2214a b +=. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）在①11n n n c a a +=，②n n n c a b =，③()()2181n n n n c a a ++=这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并完成求解.若______，求数列{}n c 的前n 项和.（注：若多选，以选①评分）18.点D 为ABC △边AB 上一点，满足2AD =，8DB =，记ABC α∠=，BAC β∠=. （1）当CD AB ⊥，且2βα=时，求CD 的值； （2）若4παβ+=，求ACD △的面积的最大值.19.如图，在等腰梯形ABCD 中，2AB BC CD ===，4AD =，点E 为线段AD 的中点，将CDE △沿着CE 折起到CPE △位置，M 为EC 的中点.（1）求证：平面BPM ⊥平面ABCE ；（2）当平面CPE ⊥平面ABCE 时，求二面角B PC E --的余弦值.20.学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行.近年来，某市积极组织开展党史学习教育的活动，为调查活动开展的效果，市委宣传部对全市多个基层支部的党员进行了测试，并从中抽取了1000份试卷进行调查，根据这1000份试卷的成绩（单位：分，满分100分）得到如下频数分布表：（1）求这1000份试卷成绩的平均数？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. （2）假设此次测试的成绩X 服从正态分布()2,Nμσ，其中μ近似为样本平均数，2σ近似为样本方差2s ，已知s 的近似值为6.61，以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少（结果保留一位小数）？（3）该市教育局准备从成绩在[]90,100内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从这6份试卷中随机抽取3份进行进一步分析，记Y 为抽取的3份试卷中测试成绩在[]95,100内的份数，求Y 的分布列和数学期望.参考数据：若()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈.21.已知抛物线21:4y x Γ=的焦点为F . （1）求抛物线Γ的准线方程；（2）若过点F 的直线l 与抛物线Γ交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与抛物线Γ的准线交于点C ，请问是否存在直线l ，使得4tan 3ACB ∠=l 的方程；若不存在，请说明理由. 22.设函数()3sin 3m f x x x x =-+. （1）若12m =，求函数()f x '在[)0,+∞上的最小值； （2）若对任意的[)0,x ∈+∞，有()0f x ≥，求m 的取值范围.参考答案一.单选题 1.【答案】B【解析】()()[],13,1,3R A A =-∞-+∞⇒=-ð，[)0,B =+∞，所以[]0,3R A B =ð2.【答案】B 【解析】()()42i2i 1i 13i 13i 1iz z +==++=+⇒=-- 3.【答案】A 【解析】()()()2222xxeef x f x xx --===-，故函数为偶函数，且求导易得极值点为2x =± 4.【答案】C【解析】354648a a a =⇒=，2561281682a a q q q +=+=⇒=，所以64132a a q ==，即6661122126112S -=⋅=- 5.【答案】D【解析】三条直线两两互相垂直则为①反例，由空间中两直线夹角的定义可知②对，故有②无① 6.【答案】D【解析】设():1AB l y k x =-，则()()22222221242404A B y k x k k x k x k x x k y x ⎧=-+⇒-++=⇒+=⎨=⎩ 所以22242216A B k AB AF BF x x k +=+=++=+=，解得213k =，即(7,Q ±由对称性，仅研究3k =时，此时6MAF π∠=，即12MAP π∠=所以()((tan182412A MP MA x π==+=+⋅=，即P y =所以(P -，(Q ，即8PQ = 【注】此处有结论：PQ x ∥轴. 7.【答案】B【解析】设三棱台外接球球心为O ，半径为r ，O 到面ABC 距离为h易得棱台的高为2，则有()22224122r h r h ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩，解得4r =，即外接球体积为3425633r ππ= 8.【答案】D【解析】()1111410104x y x y x y x y+++=⇒-+=+ ()()()()()11441044410459y xx y x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⇒+-+=++⇒+-+=++≥⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭()()()241049049x y x y x y ⇒+-++≤⇒+≤，当且仅当2x y =时取等二.多选题 9.【答案】BC【解析】A.0c =时不成立，故错B.ln ln 0a b a b >⇒>>，22a b a b >⇒>，故对 C.在三角形中A B π+<，故对D.()tan 36k k Z πθθπ=⇒=+∈，故sin 2sin 23k πθπ⎛⎫=+=⎪⎝⎭ 10.【答案】ABD 【解析】A.()()()()()()()()2211f x f x f x f x f x f x f x f x =-+⎧⎪⇒+=-⇒+=-⎨=--⎪⎩，故对B.()()()()244f x f x f x f x T =-+⇒+=⇒=，故对C.由已知可知()f x 在[]0,2不单调，则又由周期性可知错D.由题意可知()()()min 111f x f f =-=-=-，故对 11.【答案】ACD【解析】A.22a =，22112c b c e a =⇒=⇒===，故对B.2a a ==C.2212OM PQOM b k k k a ⋅=-⇒=-，故对D.222224:33422022123P QP Q m l y x m x x x mx m x m y x x ⎧=++=-⎧⎪⎪⎪⇒++-=⇒⎨⎨-+=⎪⎪=⎩⎪⎩1122OPQP Q S m x x m =⋅-==△当232m =时，OPQ S △，故对 12.【答案】BC 【解析】()2ln 0x f x a x =⇒=，易知()2ln xg x x =在(增，在)+∞减，如图，故A 错，B 对，C.()()2221121ln 2ax x f x x ax f x ax x x x--'=-⇒=-==，故对 D.()()2ln 00xf x h x a x =⇒=-=，即不妨设120x x <<< 若12x x e <，则12ex x <，则()12e h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则()22e h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则222222ln ln e x x x e x <⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则422422ln 0x x x e-<+ 设422t x e =>，则2ln 04t t t e-<+， 设()2ln 4t t m t t e =-+，则()()222104e m t t e '=->+，即()m t 在()2,e +∞上单调递增， 又()20m e=，所以()0m t >，故12x xe >，即12x x e <错三.填空题 13.【答案】413-【解析】()21,32c ka b k k =+=-+，()()40221332013a c a c k k k ⊥⇒⋅=⇒-++=⇒=- 14.【答案】[]3,1-【解析】()1y f x =+关于()1,0T -对称，则()f x 为奇函数，且由题意可得()f x 单调递增， 所以()()()()222230323231f x f xf x f x xx x -+≤⇒≤-⇒≤-⇒-≤≤15.【答案】13【解析】设1号涂红色事件为A ，4号涂红色事件为B ，则()232333123A PB A A A ==⋅+ 16.【解析】设2PF m =，2QF n =，由双曲线定义可得12PF a m =+，12QF a n =+ ①1PF PQ =时，2m a m n +=+，即2a n =，因为直线斜率为1，所以倾斜角为4π，即214QF F π∠=，在三角形21QF F 中，由余弦定理可得()()()2221212212212cos QF QF F F QF F F QF F =+-⋅⋅∠即230e -=，解得2e =，此时直线于双曲线的两支相交，舍； ②1QF PQ =时，同理可得e =③11QF PF =时，由对称可得不存在，舍. 四.解答题17.【解析】（1）由已知得11237223233612123331414a b d q d b a q d q a b ==⎧=⎧--=⎧⎪-=⇒⇒⎨⎨⎨=++=⎩⎩⎪+=⎩所以21n a n =+，3nn b =； （2）选①，则有()()111111212322123n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭即121111111111235572123232369n nc c c n n n n ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 18.【答案】（1）由已知得tan tan 8tan 2tan 22CD CD BD CD CD AD αααα⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩ 又因为22tan tan 21tan ααα=-，所以228218CDCD CD ⋅=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得CD = （2）在三角形ABC 中，34CAB ππαβ∠=--=，由正弦定理得103sin sin 4AC πα=，即AC α=，所以1sin sin 24ACD S AC AD πβαα⎛⎫=⋅⋅=- ⎪⎝⎭△()()210sin cos sin 5sin 2cos 2122αααααααα⎛⎫=-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭254πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭当242ππα+=，即8πα=时，取最大值5.19.【解析】（1）由已知得三角形PEC 和三角形BEC 均为等边三角形 因为M 是EC 中点，所以BM EC ⊥，PM EC ⊥ 又因为BMPM M =，BM ⊂面PBM ，PM ⊂面PBM ，所以CE ⊥面PBM又因为CE ⊂面ABCE ，所以面ABCE ⊥面PBM ；（2）以M 为原点，MB 所在直线为x 轴，ME 所在直线为y 轴，MP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，由已知得)B，(P ，()0,1,0C -，即(BP =-，()1,0BC =--设面BPC 的法向量(),,n a b c=，则0000n BP n BC b ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩， 令1a =有()1,3,1n =- 由（1）可知()3,0,0MB =为面PCE的一个法向量，所以cos ,53n MB n MB n MB⋅===⋅⋅ 答：二面角B PC E --的余弦值为520.【解析】（1）由已知得4090200400150804067.572.577.582.587.592.597.582.151000100010001000100010001000x =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= （2）由已知得()()()75.5410.841352P x P x P x μσμσμσ-<<+>-=>=+≈，答：市委宣传部预期平均成绩大约为75.5分；（3）由分层抽样得抽取的6份试卷中2份在[)95,100内，4份在[)90,95内，Y 的可能取值为0，1，2，则()032436105C C P Y C ===，()122436315C C P Y C ===，()212436125C C P Y C === 即Y 的分布列为：所以()1E Y =.21.【解析】（1）由已知得24x y =，即抛物线的准线方程为1y =-； （2）由题意得()0,1F ，且l 斜率一定存在，设:1l y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点为M ，设ACF α∠=，BCF β∠=，则ACB αβ∠=+，即()22tan tan tan tan 1tan tan 114AM BM ABCF CF CF ACB AM BMAB CF CF CF αβαβαβ++∠=+===-⋅-⋅-若存在满足题意的直线，则()4tan 3αβ+=，即22430CF AB CF AB -⋅-=，所以()()40CF AB CF AB +-=，又因为0CF >，0AB >，即CF AB =12C F y x -=-，即122x x -= 1221221241440444x x k y kx x kx x x x x x y +==+⎧⎧⇒--=⇒⇒-==⎨⎨=-=⎩⎩2=无解，即不存在满足题意的直线 22.【解析】（1）()()()()3211sin cos 1sin cos 162f x x x x f x x x f x x x f x x ''''''=-+⇒=-+⇒=-+⇒=-+ 因为()0f x '''≥，所以()f x ''在[)0,+∞单调递增，又因为()00f ''=，所以()0f x ''≥，所以()f x '在[)0,+∞单调递增， 所以()f x '在[)0,+∞上的最小值为()00f '=； （2）()()()()32sin cos 1sin 2cos 23m f x x x x f x x mx f x x mx f x x m ''''''=-+⇒=-+⇒=-+⇒=-+ ①0m ≤时，()0f x '≤，即()f x 在[)0,+∞单调递减，又因为()00f =，所以()0f x ≤，与已知矛盾，舍； ②12m ≥时，()cos 21cos 0f x x m x '''=-+≥-≥，所以()f x ''在[)0,+∞单调递增， 又因为()00f ''=，所以()0f x ''≥，所以()f x '在[)0,+∞单调递增，又因为()00f '=，所以()0f x '≥，所以()f x 在[)0,+∞单调递增，又因为()00f =，所以()0f x ≥，满足题意； ③102m <<时，()f x '''在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 又因为()0210f m '''=-<，202f m π⎛⎫'''=>⎪⎝⎭，所以存在0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()0f t '''=， 当0x t ≤≤时，()0f x '''≤，所以()f x ''在[]0,t 单调递减，又因为()00f ''=，所以()0f x ''≤，所以()f x '在[]0,t 单调递减，又因为()00f '=，所以()0f x '≤，所以()f x 在[]0,t 单调递减，又因为()00f =，所以()0f t <，与已知矛盾，舍；综上所述，m 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。
北京师大附中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2 (含答案解析)
北京师大附中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|3−2x <0}，B ={x|x 2≤2x}，则A ∩B =( )A. [0,32)B. [0,32]C. (32,2)D. (32,2]2. i 是虚数单位，复数−1+3i1+2i =( )A. 1+iB. 5+5iC. −5−5iD. −1−i3. 在极坐标系中，曲线ρ=4cos(θ−5π6)关于( )．A. 直线θ=π3轴对称 B. 直线θ=5π6轴对称C. 点(2,2π3)中心对称D. 极点中心对称4. 若点(sin2π3,cos2π3)在角α的终边上，则sin2α的值为( )A. −12B. −√32C. 12D. √325. 方程cosx =lg|x|的实数根的个数是( )A. 2个B. 4个C. 6个D. 7个6. 在直角坐标系中，若角α的终边经过点P(sin 23π,cos 23π)，则sin(π−α)=A. 12B. √32C. −12D. −√327. 已知函数f(x)=12(a −x)e x (a >0)，存在x ∈[0,2]，使得f(x)≥e ，则实数a 的取值范围是( )A. [3,+∞)B. [2+ln2,+∞)C. [2e,+∞)D. [2+2e ,+∞)8. 在边长为2的正方形ABCD 中，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点F 在线段AB 上运动，则FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若2(a 1+a 2)=3a 1a 2，且4S 3，3S 4，2S 5成等差数列，则S 10的值为___________．10. 已知函数f(x)={x(x +1) , x >0x(x −1) , x <0.则f(f(−1))= ______ ．11. 已知函数f(x)=sin(2x −π6)的图象C 1向左平移π4个单位得图象C 2，则C 2对应的函数g(x)的解析式为______ ．12. 已知四边形ABCD ，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为________． 13. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则φ的值是________．14. 若函数f(x)=x 3+x +a(x ∈R)为奇函数，则f(0)=________． 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15. 已知函数f(x)=2cosx(sinx +cosx)，x ∈R ．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．16. (本小题满分12分)在等比数列{a n }中，a n >0 (n ∈N +)，公比q ∈(0,1)，且a 3+a 5=5，又a 3与a 5的等比中项为2． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S11+S 22+⋯+S n n最大时，求n 的值．17.已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a=1，b=√2，∠B=∠A+π2．(1)求sin A的值；(2)求△ABC的面积．18.函数f(x)=x3−ax−1．(1)当a=8时，求函数f(x)在x=0处的切线方程．(2)讨论f(x)=x3−ax−1的单调性．19.已知函数f(x)=axln x−x22+(1−a)x+a−12(a∈R)．(1)当a=1时，求函数f(x)在x=1处的切线方程；(2)当a ⩽0时，证明：函数f(x)只有一个零点； (3)若函数f(x)的极大值等于0，求实数a 的取值范围．20. 设n ∈N ∗且n ≥2，集合S n ={(x 1,x 2…,x n )||x 1|=1，|x i+1|=2|x i |(i =1,2…,n −1)}．(Ⅰ)写出集合S 2中的所有元素；(Ⅱ)设(a 1,a 2,…a n )，(b 1,b 2,..b n )∈S n ，证明“∑a i n i=1=∑b i ni=1”的充要条件是“a i =b i (i =1,2，3，…n)”；(Ⅲ)设集合T n ={∑x i n i=1|(x 1,x 2,..x n )∈S n }，求T n 所有正数之和．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：集合A={x|3−2x<0}={x|x>32}，B={x|x2≤2x}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|32<x≤2}=(32,2]．故选：D．解不等式求得集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：A解析：解：进行复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为−1．∴−1+3i1+2i =(−1+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=5+5i5=1+i．故选：A．进行复数的除法的运算，需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为−1．本题主要考查复数代数形式的基本运算，2个复数相除，分母、分子同时乘以分母的共轭复数．3.答案：B解析：先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．解：曲线ρ=4cos(θ−5π6)，即ρ=−2√3cosθ+2sinθ，化为直角坐标方程为(x+√3)2+(y−1)2=4，∴圆心坐标为(−√3,1)，∴曲线ρ=4cos(θ−5π6)关于直线θ=5π6轴对称．4.答案：B解析：解：∵点P(sin 2π3,cos2π3)=(√32,−12)在角α的终边上， ∴|OP|=1，则sinα=−12，cosα=√32，∴sin2α=2sinαcosα=2×(−12)×√32=−√32． 故选：B ．利用任意角的三角函数的定义求得sinα，cosα的值，再由倍角公式求sin2α的值．本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义及倍角公式的应用，是基础题．5.答案：C解析：解：做出y =cosx 和y =lgx 的函数图象如图所示：由图象可知y =cosx 和y =lgx 的图象有3个交点， ∵y =cosx 和y =lg|x|都是偶函数， ∴y =cosx 和y =|lgx|的图象有6个交点， ∴方程cosx =lg|x|有6个根． 故选：C ．作出y =cosx 和y =lg|x|的函数图象，根据函数的对称性和交点个数得出方程解的个数． 本题考查了方程的根与函数图象的关系，属于中档题．解析：本题考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，基本知识的考查.直接利用任意角的三角函数，求解即可．解：角α的终边经过点P(sin23π,cos23π)，即(√32,−12)，可得r=√(√32)2+(−12)2=1，则sinα=yr =−12．sin(π−α)=sinα=−12，故选C．7.答案：B解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式与方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．存在x∈[0,2]，使得f(x)≥e，⇔a≥(2e1−x+x)min，x∈[0,2].令g(x)=2e1−x+x，x∈[0,2].利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．解：存在x∈[0,2]，使得f(x)≥e，⇔a≥(2e1−x+x)min，x∈[0,2]．令g(x)=2e1−x+x，x∈[0,2]．g′(x)=−2e1−x+1，令g′(x)=−2e1−x+1=0，解得x=ln2+1∈[0,2]，当x∈[0,ln2+1]时，g′(x)<0，当x∈[ln2+1,2]时，g′(x)>0可知：当x=ln2+1时，函数g(x)取得极小值，即最小值．∴a≥2e−ln2+ln2+1=2+ln2．∴实数a的取值范围是[2+ln2,+∞)．故选B．8.答案：B解析：解：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴，建立如图所示的坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，C(2,2)，∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴E(2,1)，∵点F 在线段AB 上运动，不妨设F(x,0)，0≤x ≤2， ∴FD⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,2)，FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,1)， ∴FD⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x(x −2)+2=x 2−2x +2=(x −1)2+1， 当x =0或2时，有最大值，最大值为2， 故选：B ．先建立坐标系，再根据向量的坐标运算和向量的数量积得到FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1)2+1，根据二次函数的性质即可求出最值本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及二次函数的性质，属于基础题．9.答案：1023解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属中档题．解：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S 3，3S 4，2S 5成等差数列， ∴2×3S 4=4S 3+2S 5， ∴4(S 4−S 3)=2(S 5−S 4)， ∴4a 4=2a 5， 设公比为q ， ∴q =a 5a 4=2，∵2(a 1+a 2)=3a 1a 2， ∴2(a 1+a 1q)=3a 1a 1q ， ∴a 1=1， ∴S 10=a 1(1−q 10)1−q=1×(1−210)1−2=1023，故答案为1023．10.答案：6。
高三试卷数学-西北师范大学附属中学2023届高三上学期期中考试数学试卷及参考答案
西北师大附中2022—2023学年第一学期期中考试试题高三数学（理）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}3,2,1,2A =---，{}2560B x x x =--≤，则()RA B ⋂=ð（）A.{}3- B.{}3,2,1--- C.{}3,2-- D.{}1,2-2.集合{}{}201A x x ax a =++=⊆，则a 为（）A.12-B.()0,4a ∈C.()[),04,a ∈-∞⋃+∞ D.()10,42a ⎧⎫∈-⋃⎨⎩⎭3.已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件4.已知命题000:,3sin 4cos p x x x ∃∈+=R ，命题1:,1e xq x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭R ，则下列命题中为真命题的是（）A.p q ∧B.p q⌝∧C.p q∨⌝ D.()p q ⌝∨5.中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式:2log 1S C W N⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升到8000，则C 大约增加了（）()lg 20.301≈A.10%B.20%C.30%D.50%6.已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，以下命题正确的是①若//m n ，,m n αβ⊂⊂，则//αβ；②若,m n αβ⊂⊂，//αβl m ⊥，，则l n ⊥；③若,,m n αβ⊥⊥//αβ，则//m n ；④若αβ⊥，//m α，//n β，则m n ⊥；A.②③B.③④C.②④D.③7.已知非常数函数()f x 满足()()1f x f x -=()x R ∈，则下列函数中，不是奇函数的为（）A.()()11f x f x -+ B.()()11f x f x +- C.()()1f x f x -D.()()1f x f x +8.已知3log 2a =，4log 3b =，23c =，则（）A .a c b<< B.c<a<bC.b a c <<D.b<c<a9.函数()3cos 2xxf x x⋅=的部分图象大致是（）A. B.C. D.10.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A.3- B.2- C.0D.111.已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A.8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[18,27]12.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()()f x f x '<，则不等式4(1)(23)x e f x e f x ⋅+<⋅-的解集是（）A.(,2)-∞ B.(2,)+∞ C.(4,)+∞ D.(,4)-∞二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若3,0()1,0x x f x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则((2))f f -=__________．14.函数()2lg 2y c x x =+-的定义域是(, 4)m m +，则实数c 的值为__________________.15.(33sin d x x -=⎰______.16.已知定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()()42f x f x f +=+，且在区间[]0,2上是增函数，①函数()f x 的一个周期为4；②直线4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴；③函数()f x 在[)6,5--上单调递增，在[)5,4--上单调递减；④函数()f x 在[]0,100内有25个零点；其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.在“①函数y =的定义域为R ，②x ∃∈R ，使得120x x k -+-+≤，③方程20x k +=有一根在区间[)1,+∞内”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．问题：已知条件p ：______，条件q ：函数()22f x x kx =-在区间()3,a -上不单调，若p 是q 的必要条件，求实数a 的最大值．18.已知函数()ln 11f x mx x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭（其中m ∈R 且0m ≠）是奇函数.（1）求m 的值；（2）若对任意的[]ln 2,ln 4x ∈，都有不等式()e ln 0xf x k -+≥恒成立，求实数k 的取值范围.19.已知函数()()22ln f x x x a x a =-+∈R .（1）若函数在1x =处的切线与直线420x y --=垂直,求实数a 的值;（2）当0a >时,讨论函数的单调性.20.已知函数()2211a f x a a x+=-，0a >．（1）证明：函数()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）设0m n <<，若()f x 的定义域和值域都是[,]m n ，求n m -的最大值．21.已知函数21()e 2xf x x ax =--有两个极值点1x ，2x .（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：()()122f x f x +>.西北师大附中2022—2023学年第一学期期中考试试题高三数学（理）命题人：张丽娇审题人：惠银东一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】A【11题答案】【答案】C【12题答案】【答案】D二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）【13题答案】【答案】9【14题答案】【答案】3【15题答案】【答案】9π2##4.5π【16题答案】【答案】①②④三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）【17题答案】【答案】14-【18题答案】【答案】（1）2m =（2）20,3⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭【19题答案】【答案】（1） 4a =-；（2）答案见解析【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）433【21题答案】【答案】（1）()1+∞，（2）证明见解析。
兰州市师大附中数学高三上期中经典测试(含答案解析)
一、选择题1．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20472．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4y x x=+B ．222(3)2x y x +=+C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 3．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C ．122D ．624．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．165．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．166．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 kmB ．3 kmC ．105 kmD ．107 km7．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4 C ．14± D ．149．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．4037202010．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A ．110B ．310C ．12D ．71011．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．212．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<13．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km14．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14B ．21C ．28D ．3515．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11x y+的最小值是 A ．10B ．12?C ．14D ．16二、填空题16．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，则227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为_____．17．设0x >，则231x x x +++的最小值为______.18．设f(x)是定义在R 上恒不为零的函数，对任意x,y ∈R ，都有f(x)⋅f(y)=f(x +y)，若a 1=12，a n =f(n)，(n ∈N +)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是__________．19．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______ 20．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos23C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．21．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____. 22．已知三角形ABC 中，BC 边上的高与BC 边长相等，则ACAB+AB AC+BC 2AB⋅AC的最大值是__________．23．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足()221n n a S n *-=∈N．若不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是 ．24．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是____________ .25．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =____ 三、解答题26．在平面四边形ABCD 中，已知34ABC π∠=，AB AD ⊥，1AB =．（1）若AC =ABC ∆的面积；（2）若sin 5CAD ∠=，4=AD ，求CD 的长． 27．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=，（1）求角C 的大小；（2）若2,b c ==，求ABC ∆的面积. 28．在等比数列{}n b 中，公比为()01q q <<，13511111,,,,,,50322082b b b ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设()31n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .29．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，*111,2,n n a S na n N +==∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211(1)n n n n a b a a ++=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，若112019n T +<，求正整数n 的最小值．30．已知等差数列{}n a 中，235220a a a ++=，且前10项和10100S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．C 3．A 4．C 5．A6．D7．A8．A9．B10．B11．D12．B13．D14．C15．D二、填空题16．（﹣∞﹣6∪6+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1ab=1即c=-b将转为（a﹣b）+利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x17．【解析】【分析】利用换元法令将所给的代数式进行变形然后利用均值不等式即可求得最小值【详解】由可得可令即则当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法换元法及其应用等知识意在18．121)【解析】试题分析：由题意对任意实数xy∈R都有f(x)f(y)=f(x+y)则令x=ny=1可得f(n)f (1)=f(n+1)即f(n+1)an+1an=f(n+1)f(n)=12即数列{a19．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两20．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的21．【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得解得因此故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了22．22【解析】试题分析：由题意得12bcsinA=12a2⇒bcsinA=a2因此ACAB+ABAC+BC2AB⋅AC= bc+cb+a2bc=b2+c2+a2bc=a2+2bccosA+a2bc=2c23．【解析】试题分析：由题意则当为偶数时由不等式得即是增函数当时取得最小值所以当为奇数时函数当时取得最小值为即所以综上的取值范围是考点：数列的通项公式数列与不等式恒成立的综合问题24．【解析】试题分析：因为不等式有解所以因为且所以当且仅当即时等号是成立的所以所以即解得或考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用不等式的有解问题在应25．【解析】【分析】画出可行域由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解方程即可得结果【详解】由已知作可行域如图所示化为平移直线由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解得故答案为【点睛】本题主三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.2．C解析：C 【解析】 【分析】由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】选项A 错误，x 可能为负数，没有最小值；选项B错误，化简可得2y ⎫=， =，即21x =-，显然没有实数满足21x =-；选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4xxy e e -=+取最小值4，故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.3．A解析：A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.4．C解析：C 【解析】 【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论． 【详解】最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．5．A解析：A 【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．6．D解析：D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700．所以AC ＝km ． 故选D ． 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．7．A解析：A 【解析】 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解 即2a x x>-在[]15x ∈，上成立， 设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈， ()2210f x x∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．8．A解析：A 【解析】 【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．9．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =12n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020） =2（1-12020）=20191010．故选:B ． 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．10．B解析：B 【解析】试题分析： 如下图：由已知，在ABC ∆中，105,45,56ABC ACB BC ∠=∠==,从而可得：30BAC ∠= 由正弦定理，得：56sin 45sin 30AB =， 103AB ∴=,那么在Rt ADB ∆中，60ABD ∠=,3sin 60103152AD AB ∴==⨯=， 即旗杆高度为15米，由3155010÷=，知：升旗手升旗的速度应为310（米 /秒）. 故选B ．考点：解三角形在实际问题中的应用．11．D解析：D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，max 2z =，当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.12．B解析：B 【解析】 试题分析：因为ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 30,23623--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 50,251025--=>>，故选B. 考点：比较大小.13．D解析：D 【解析】 【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =,又60DAE ∠=,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=,在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=,所以30EDB EBD ∠=∠=, 所以90ADB ∠=,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=,所以BD =,因为9030CBE ∠=+120=,30EBD ∠=,所以CBD ∠90=,所以240CD ===km ,所以cos BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,222222cos 902904BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯10800=,所以BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有. 故选D . 【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.14．C解析：C 【解析】试题分析：等差数列{}n a 中，34544123124a a a a a ++=⇒=∴=，则()()174127477272822a a a a a a a +⨯+++====考点：等差数列的前n 项和15．D解析：D 【解析】 【分析】通过常数代换后，应用基本不等式求最值. 【详解】∵x ＞0，y ＞0，且9x+y=1，∴()111199911016y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时成立，即11,124x y ==时取等号. 故选D. 【点睛】本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.二、填空题16．（﹣∞﹣6∪6+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1ab=1即c=-b 将转为（a ﹣b ）+利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b ＞0的解集为{x|x解析：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞） 【解析】 【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1，ab=1, 即c=-b 将227a b a c +++转为（a ﹣b ）+9a b -，利用基本不等式求得它的范围． 【详解】因为一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，由二次函数图像的性质可得a ＞0，二次函数的对称轴为x=1a-=c ，△=4﹣4ab=0， ∴ac=﹣1，ab=1，∴c=1a-，b=1a ，即c=-b,则227a b a c +++=()29a b a b-+-=（a ﹣b ）+9a b -，当a ﹣b ＞0时，由基本不等式求得（a ﹣b ）+9a b-≥6， 当a ﹣b ＜0时，由基本不等式求得﹣（a ﹣b ）﹣9a b -≥6，即（a ﹣b ）+9a b-≤﹣6, 故227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞），故答案为（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值.17．【解析】【分析】利用换元法令将所给的代数式进行变形然后利用均值不等式即可求得最小值【详解】由可得可令即则当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法换元法及其应用等知识意在解析：1【解析】 【分析】利用换元法，令1t x =+将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】由0x >，可得11x +>.可令()11t x t =+>，即1x t =-，则()()22113331111t t x x t x t t -+-+++==+-=+≥，当且仅当t =1x =时，等号成立.故答案为：1． 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法，换元法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．121)【解析】试题分析：由题意对任意实数xy ∈R 都有f(x)f(y)=f(x+y)则令x=n y=1可得f(n)f(1)=f(n+1)即f(n+1)an+1an=f(n+1)f(n)=12即数列{a 解析：[12,1)【解析】试题分析：由题意，对任意实数x,y ∈R ，都有f(x)f(y)=f(x +y)，则令x =n,y =1可得f(n)f(1)=f(n +1)，即f(n +1)a n+1a n=f(n+1)f(n)=12，即数列{a n }是以a 1=12,为首项，以12为公比的等比数列，故a n =f(n)=(12)n,S n =12(1−12n)1−12=1−12n∈[12,1)考点：抽象函数及其应用，等比数列的通项及其性质19．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a 的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两 解析：[－2，+∞）【解析】 【分析】根据题意，分x=0与x≠0两种情况讨论，①x=0时，易得原不等式恒成立，②x≠0时，原式可变形为a≥-（|x|+ 1x），由基本不等式的性质，易得a 的范围，综合两种情况可得答案. 【详解】根据题意，分两种情况讨论；①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R；②x≠0时，原式可化为a|x|≥-（x 2+1），即a≥-（|x|+ 1x）,又由|x|+1x ≥2，则-（|x|+1x）≤-2；要使不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，需有a≥-2即可； 综上可得，a 的取值范围是[-2，+∞）； 故答案为[-2，+∞）． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，运用分类讨论和参数分离、基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．20．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的 解析：52【解析】 试题分析：5cos23C =，21cos 2cos 129C C =-=，45sin 9C =，cos cos 2a B b A c +==，外接圆直径为952sin 10c R C ==，由图可知，当C 在AB 垂直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x =，则由相交弦定理有95110x x ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得52x =，故最大面积为1552222S =⋅⋅=.考点：解三角形．【思路点晴】本题主要考查解三角形、三角函数恒等变换、二倍角公式、正弦定理，化归与转化的数学思想方法，数形结合的数学思想方法.一开始题目给了C 的半角的余弦值，我们由二倍角公式可以求出单倍角的余弦值和正弦值.第二个条件cos cos 2a B b A +=我们结合图像，很容易知道这就是2c =.三角形一边和对角是固定的，也就是外接圆是固定的，所以面积最大也就是高最大，在圆上利用相交弦定理就可以求出高了.21．【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得解得因此故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了 解析：12【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由数列{}12n S a -为等比数列，得出()()()2211131222S a S a S a -=--，求出q 的值，即可得出32aa 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于数列{}12n S a -为等比数列，()()()2211131222S a S a S a ∴-=--，整理得()()2211321a a a a a a -=-⋅+-，即()()2211q q q -=-+-，化简得220q q -=，0q ≠，解得12q =，因此，3212a q a ==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比中项的应用，考查运算求解能力，属于中等题.22．22【解析】试题分析：由题意得12bcsinA=12a2⇒bcsinA=a2因此ACAB+ABAC+BC2AB ⋅AC=bc+cb+a2bc=b2+c2+a2bc=a2+2bccosA+a2bc=2c 解析：2√2【解析】试题分析：由题意得12bcsinA =12a 2⇒bcsinA =a 2，因此AC AB+AB AC+BC 2AB⋅AC=b c+cb+a 2bc=b 2+c 2+a 2bc=a 2+2bccosA+a 2bc=2cosA +2sinA ≤2√2,从而所求最大值是2√2考点：正余弦定理、面积公式【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.23．【解析】试题分析：由题意则当为偶数时由不等式得即是增函数当时取得最小值所以当为奇数时函数当时取得最小值为即所以综上的取值范围是考点：数列的通项公式数列与不等式恒成立的综合问题解析：77,153⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由题意，则， 当为偶数时由不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤得821n n n λ-≤+，即(8)(21)n n nλ-+≤， (8)(21)8215n n y n n n-+==--是增函数，当2n =时取得最小值15-，所以15;λ≤-当为奇数时，(8)(21)8217n n n n n λ++-≤=++，函数8217y n n=++，当3n =时取得最小值为773，即77,3λ-≤所以773λ≥-，综上， 的取值范围是77,153⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 考点：数列的通项公式，数列与不等式恒成立的综合问题．24．【解析】试题分析：因为不等式有解所以因为且所以当且仅当即时等号是成立的所以所以即解得或考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用不等式的有解问题在应 解析：()(),14,-∞-⋃+∞【解析】试题分析：因为不等式234y x m m +<-有解，所以2min ()34yx m m +<-，因为0,0x y >>，且141x y+=，所以144()()224444y y x y x x x y y x +=++=++≥=，当且仅当44x y y x =，即2,8x y ==时，等号是成立的，所以min ()44yx +=，所以234m m ->，即(1)(4)0m m +->，解得1m <-或4m >.考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题.25．【解析】【分析】画出可行域由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解方程即可得结果【详解】由已知作可行域如图所示化为平移直线由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解得故答案为【点睛】本题主 解析：94【解析】 【分析】画出可行域，由图象可知，z 的最小值在直线2y x =与直线y x b =-+的交点()00,A x y 处取得，由000000232y x y x y x b=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，解方程即可得结果.【详解】由已知作可行域如图所示，2z x y =+化为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+由图象可知，z 的最小值在直线2y x =与直线y x b =-+的交点()00,A x y 处取得，由000000232y x y x y x b=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，解得00339,,424x y b ===,故答案为94.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中档题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.三、解答题 26．（1）12；（2 【解析】 【分析】（1）在ΔABC 中，由余弦定理，求得BC =进而利用三角形的面积公式，即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解sin BCA ∠=，再在ΔABC 中，利用正弦定理和余弦定理，即可求解. 【详解】（1）在ΔABC 中，222AC AB BC 2AB BC COS ABC ∠=+-⋅⋅即251BC BC =++ 2BC 40⇒+-=,解得BC =.所以ΔABC 111S AB BC sin ABC 12222∠=⋅⋅=⨯=.（2）因为0BAD 90,sin CAD ∠∠==,所以cos BAC ∠=，sin BAC ∠=πsin BCA sin BAC 4所以∠∠⎛⎫=- ⎪⎝⎭ )cos BAC sin BAC 2∠∠=-==⎝⎭.在ΔABC 中，AC AB sin ABC sin BCA ∠∠=, AB sin ABCAC sin BCA∠∠⋅∴==222CD AC AD 2AC AD cos CAD ∠=+-⋅⋅所以 5162413=+-=所以CD = 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.27．(1) 120.C =（2【解析】试题分析：（1）由()2cos cos cos 0C a C c A b ++=根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cos sin sin 0C B B +=，可得1cos 2C =-，即可得解C 的值；（2）由已知及余弦定理得解得a 的值，进而利用三角形面积公式即可得结果.试题解析：(1)()2cos cos cos 0C a C c A b ++=，由正弦定理可得()()2020,20cosC sinAcosC sinBcosA sinB cosCsin A C cosCsinB sinB ∴++=∴+=∴+=即又10180,sin 0,cos ,120.2B BC C <<∴≠∴=-=即 （2）由余弦定理可得(2222222cos12024a a a a =+-⨯=++又10,2,sin2ABC a a S ab C ∆>=∴== ABC ∴∆ 28．（1）12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）()15352nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）由公比01q <<结合等比数列的性质得出112b =，318b =，5132b =，再确定公比，即可得出数列{}n b 的通项公式； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为公比为()01q q <<的等比数列{}n b 中，13511111,,,,,,50322082b b b ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以由135,,b b b 成等比数列得出，当且仅当112b =，318b =，5132b =时成立. 此时公比23114b q b ==，12q =所以12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）因为()1312nn c n ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭所以123...n n T c c c c =++++()1231111258...312222nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()()2311111125...343122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()123111111123...31222222n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1111113131222n n n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⨯---⋅⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦5135222nn +⎛⎫=-⋅⎪⎝⎭ 故数列{}n c 的前n 项和()15352nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.29．（1）n a n =；（2）2019． 【解析】 【分析】（1）由已知递推关系式和1n n n a S S -=-可推出11n na a n n +=+，则{}n a n为常数列，继而可算出n a ；（2）先把n b 表示出来，用裂项相消法求n T ，然后代入不等式可求出n ． 【详解】（1）因为12n n S na +=……①， 所以12(1)n n S n a -=-……②，②-①得：12(1),2n n n a na n a n +=--≥，所以11n n a a n n +=+，则n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，又22122,12n a a a S n ==∴==， (2)n a n n ∴=≥，当1n =时也满足，所以n a n =. （2）2112111(1)(1)(1)(1)1nn n n n n n a n b a a n n n n +++⎛⎫=-=-=-+ ⎪++⎝⎭， 当n 为偶数时，111111112233411n n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++⋯++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n 为奇数时，1111111212233411n n T n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++⋯-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 综上，1,111,1n n n T n n ⎧⎪⎪++=⎨⎪-⎪+⎩为偶数为奇数，则1111201912019n T n n +=<⇒+>+， 2018,n n ∴>的最小值为2019．【点睛】此题考查数列临差法求数列通项公式、并项求和法，考查方程思想和分类讨论思想，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求和时注意对n 分奇偶讨论．30．(1)a n ＝2n －1(2)T n ＝21nn + 【解析】 【分析】(1)本题首先可以对235220a a a ++=化简得到14820a d +=，再对10100S =化简得到11045100a d +=，最后两式联立，解出1d a 、的值，得出结果；(2)可通过裂项相消法化简求出结果． 【详解】(1)由已知得235111248201091010451002a a a a d a d a d ++=+=⎧⎪⎨⨯+=+=⎪⎩， 解得11d 2a ==，，所以{}n a 的通项公式为()12121n a n n =+-=-， (2)()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-⋅+-+⎝⎭，所以数列{}n b 的前n 项和11111112335212121n nT n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭． 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．。
师大附中期中考试数学试卷
一、选择题（每题5分，共40分）1. 下列各数中，属于无理数的是（）A. $\sqrt{4}$B. $\pi$C. $\frac{3}{4}$D. $0.25$2. 已知函数$f(x)=2x+1$，则$f(-3)$的值为（）A. -5B. -1C. 1D. 53. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=2$，$a_4=10$，则公差$d$为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列方程中，无实数解的是（）A. $x^2+4x+3=0$B. $x^2-4x+3=0$C. $x^2+4x-3=0$D. $x^2-4x-3=0$5. 在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$y=x$的对称点为（）A. $(-2,3)$B. $(2,-3)$C. $(-3,2)$D. $(3,-2)$6. 已知正方体的对角线长为$\sqrt{54}$，则该正方体的体积为（）A. $27$B. $36$C. $54$D. $81$7. 下列命题中，正确的是（）A. 若$a>b$，则$a^2>b^2$B. 若$a>b$，则$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C. 若$a>b$，则$\sqrt{a}>\sqrt{b}$D. 若$a>b$，则$a^2+b^2>a^2$8. 已知函数$y=x^2-4x+4$的图像与x轴的交点坐标为（）A. $(2,0)$B. $(1,0)$C. $(0,2)$D. $(0,1)$9. 在平面直角坐标系中，若点$A(1,2)$，点$B(3,4)$，则线段$AB$的中点坐标为（）A. $(2,3)$B. $(2,2)$C. $(1,3)$D. $(1,2)$10. 已知等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$a_3=9$，则该数列的公比$q$为（）A. $\frac{1}{3}$B. $\frac{1}{2}$C. $2$D. $3$二、填空题（每题5分，共40分）1. 若$a>0$，$b>0$，则$a^2+b^2\geq2ab$的充分必要条件是______。
师大附中高三期中考试数学试卷及答案
江苏省南京师大附中2008—2009学年度第1学期高三期中考试数学试卷命题人：江卫兵审题人：孙居国一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合，则▲；2．已知为第三象限角，则的符号为▲ (填“正”或“负”)；3．设的三个内角、、所对边的长分别是、、，且，那么▲；4．在等差数列中，，则的值为▲；5．若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是，则的值为▲；6．若函数的定义域为，则的取值范围是▲；7．设复数，则▲；8．已知变量、满足条件则的最大值是▲；9．函数在（0，）内的单调增区间为▲；10．若ΔABC的三个内角所对边的长分别为，向量，，若，则∠等于▲；11．已知等比数列中，，则该数列的通项= ▲；12．已知函数是上的减函数，是其图象上的两点，那么不等式|的解集是▲；13．若为的各位数字之和，如，，则；记，，…，，，则▲；14．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：358915请将错误的一个改正为▲= ▲；南京师大附中2008—2009学年度第1学期高三年级期中考试数学答题卷班级学号＿＿＿＿＿＿姓名得分一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．= ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15．（本小题满分14分）已知,且（1）求的值；（2）求的值.16．（本小题满分14分）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求．BAC DE17．（本小题满分14分）已知函数满足；（1）求常数的值；（2）解不等式．18．（本题满分16分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是元，销售价是元，月平均销售件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为. 记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）.（1）写出与的函数关系式；（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.19. （本小题满分16分）把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表（每行比上一行多一个数）．设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数的第个数（如）．⑴试用表示（不要求证明）；⑵若，求的值；⑶记三角形数表从上往下数第行的各数之和为，令，若数列的前项和为，求．１２３４５６７８９10…………20．（本题满分16分）已知函数，（I）若时，函数在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（II）在（I）的结论下，设，求函数的最小值；（III）设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.南京师大附中2008—2009学年度第1学期高三年级期中考试数学试卷（解答）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合，则▲；{4，5}2．已知为第三象限角，则的符号为▲ (填“正”或“负”)；负3．设的三个内角、、所对边的长分别是、、，且，那么▲；4．在等差数列中，，则的值为▲ ； 12 5．若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是，则的 值为 ▲ ；6．若函数的定义域为，则的取值范围是 ▲ ；7．设复数，则▲ ； 18．已知变量、满足条件则的最大值是▲ ； 6 9．函数在（0，）内的单调增区间为 ▲ ；10．若ΔABC 的三个内角所对边的长分别为，向量，，若，则∠等于▲ ；π311．已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 6=24，则该数列的通项a n =______3·2n －3________.12．已知函数是上的减函数，是其图象上的两点，那么不等式|的解集是 ▲ ；13．若为的各位数字之和，如，， 则；记，，…，，，则▲ ； 1114．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：358915请将错误的一个改正为 15 = 3a-b+c二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15．（本小题满分14分）已知,且（1）求的值；（2）求的值.解：(1)由sin=又0<<∴cos=,tan=∴=（2）tan(16．（本小题满分14分）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求．解：（Ⅰ）因为，，所以．所以．（Ⅱ）在中，，由正弦定理BACDE．故．17．（本小题满分14分）已知函数满足；（1）求常数的值；（2）解不等式．解：（1）因为，所以；由，即，（2）由（1）得由得，当时，解得，当时，解得，所以的解集为．18．（本题满分16分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是元，销售价是元，月平均销售件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）.（1）写出与的函数关系式；（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.18、（1）改进工艺后，每件产品的销售价为，月平均销售量为件，则月平均利润（元），∴与的函数关系式为（2）由得，（舍）当时；时，∴函数在取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.19. （本小题满分16分）把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表（每行比上一行多一个数）．设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数的第个数（如）．⑴试用表示（不要求证明）；⑵若，求的值；⑶记三角形数表从上往下数第行的各数之和为，令，若数列的前项和为，求．解：（1）∵三角形数表中前行共有个，即第行的最后一个数是 ∴=（2）由题意，先求使得是不等式的最小正整数解． 由，得∵，∴，∴１２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10…………（另解：∵∴）于是，第63行的第一个数是，故（3）前行的所有自然数的和为则，所以，当时，，当时，也适合，20．（本题满分16分）已知函数，（I）若时，函数在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（II）在（I）的结论下，设，求函数的最小值；（III）设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.解：（I）依题意：在（0,+）上是增函数，对∈（0,+）恒成立，，则的取值范围是.（II）设当，即时，函数在[1,2]上为增函数，当时，；当时，.综上所述：（III）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为C2在点N处的切线斜率为假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则即则设则 (1)令，则，，所以在上单调递增，故，则，与（1）矛盾！。
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江苏省南京师大附中2008—2009学年度第1学期高三期中考试数学试卷命题人：江卫兵 审题人：孙居国一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,1,3U A B ===，则()UA B = ▲ ；2．已知α为第三象限角，则2tanα的符号为 ▲ (填“正”或“负”)；3．设ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且CcA a sin cos =， 那么A ∠= ▲ ；4．在等差数列{}n a 中，1815360a a a ++=，则9102a a -的值为 ▲ ；5．若函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 的图象的相邻两条对称轴的距离是π2，则ω的 值为 ▲ ；6．若函数2()lg(1)f x mx mx =++的定义域为R ，则m 的取值范围是 ▲ ；7．设复数2(,)1i a bi a b R i-=+∈+，则a b += ▲ ； 8．已知变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥09201y x y x x 则z x y =+的最大值是 ▲ ；9．函数2sin y x x =-在（0，π2）内的单调增区间为 ▲ ；10．若ΔABC 的三个内角C B A 、、所对边的长分别为c b a 、、，向量()a b c a -+=,，),(b c a -=，若⊥，则∠C 等于 ▲ ；11．已知等比数列{}n a 中，363,24a a ==，则该数列的通项n a = ▲ ；12．已知函数)(x f 是R 上的减函数，)2,3(),2,0(--B A 是其图象上的两点，那么不等式 |2|)2(>-x f 的解集是 ▲ ；13．若()f n 为21n +*()n N ∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=，则(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，*k N ∈，则2008(8)f = ▲ ；14．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：请将错误的一个改正为lg ▲ = ▲ ；南京师大附中2008—2009学年度第1学期高三年级期中考试数学答题卷班级 学号 ＿＿＿＿＿＿ 姓名 得分 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1． ；2． ；3． ；4． ； 5． ；6． ；7． ；8． ； 9． ；10． ；11． ；12． ； 13． ；14．lg = ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分） 15．（本小题满分14分）已知20πα<<,且3sin 5α=（1）求αααα2cos cos 2sin sin 22++的值； （2）求⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα45tan 的值.16．（本小题满分14分）如图，ACD △是等边三角形，BAC DEABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求CBE ∠cos 的值； （Ⅱ）求AE ．17．（本小题满分14分）已知函数421,0()3,1c ccx x cf x x x c x +<<⎧=⎨+≤<⎩ 满足29()8f c =；（1）求常数c 的值； （2）解不等式()2f x <．18．（本题满分16分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x ()01x <<，那么月平均销售量减少的百分率为2x . 记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y （元）. （1）写出y 与x 的函数关系式；（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.19. （本小题满分16分）把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表（每行比上一行多一个数）．设(,)ij a i j N *∈是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数的第j 个数（如428a =）．⑴试用i 表示ii a （不要求证明）； ⑵若2008ij a =，求,i j 的值；⑶记三角形数表从上往下数第n 行的各数之和为n b ，令1,(1),(2)n nn c n n b n=⎧⎪=⎨≥⎪-⎩，若数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ．20．（本题满分16分）已知函数()ln f x x =，)0(21)(2≠+=a bx ax x g （I ）若2-=a 时，函数)()()(x g x f x h -=在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；１２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10…………（II ）在（I ）的结论下，设]2ln ,0[,)(2∈+=x be ex x xϕ，求函数)(x ϕ的最小值；（III ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 的图象2C 交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R作x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点M 、N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.南京师大附中2008—2009学年度第1学期 高三年级期中考试数学试卷（解答）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,1,3U A B ===，则()U C AB = ▲ ；{4，5}2．已知α为第三象限角，则2tanα的符号为 ▲ (填“正”或“负”)； 负3．设ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且CcA a sin cos =， 那么=A ▲ ；4π 4．在等差数列{}n a 中，1815360a a a ++=，则9102a a -的值为 ▲ ； 125．若函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 的图象的相邻两条对称轴的距离是π2，则ω的 值为 ▲ ；216．若函数2()lg(1)f x mx mx =++的定义域为R ，则m 的取值范围是 ▲ ；[0,4)7．设复数2(,)1i a bi a b R i-=+∈+，则a b += ▲ ； 18．已知变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥09201y x y x x 则z x y =+的最大值是 ▲ ； 69．函数2sin y x x =-在（0，π2）内的单调增区间为 ▲ ；)35,3(ππ10．若ΔABC 的三个内角C B A 、、所对边的长分别为c b a 、、，向量()a b c a -+=,，),(b c a n -=，若⊥，则∠C 等于 ▲ ；π311．已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 6=24，则该数列的通项a n =______3·2n －3________.12．已知函数)(x f 是R 上的减函数，)2,3(),2,0(--B A 是其图象上的两点，那么不等式 |2|)2(>-x f 的解集是 ▲ ； ),2()1,(+∞--∞13．若()f n 为21n +*()n N ∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=，则(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，*k N ∈，则2008(8)f = ▲ ； 111415 = 3a-b+c二、解答题：（本大题共6小题，共90分） 15．（本小题满分14分）已知20πα<<,且3sin 5α=（1）求αααα2cos cos 2sin sin 22++的值；（2）求⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα45tan 的值.解：(1)由sin α=53又 0<α<2π ∴cos α=54,tan α=43 ∴ααααααααα22222sin cos 2cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin -⋅+=++ =2333)43(2432)43(tan 2tan 2tan 2222=-⨯+=-+ααα （2）tan(71431143tan 11tan 45tan tan 145tan tan )45-=+-=+-=⋅+-=-ααπαπαπα16．（本小题满分14分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求CBE ∠cos 的值； （Ⅱ）求AE ． 解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==， 所以15CBE =∠．所以6cos cos(4530)CBE =-=∠． （Ⅱ）在ABE △中，2AB =，由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+． 故2sin 30cos15AE=12⨯==．17．（本小题满分14分）已知函数421,0()3,1c ccx x c f x x x c x +<<⎧=⎨+≤<⎩ 满足29()8f c =； （1）求常数c 的值； （2）解不等式()2f x <．解：（1）因为01c <<，所以2c c <； 由29()8f c =，即3918c +=，12c =（2）由（1）得211122()31x x f x x x x ⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩，，≤由()2f x <得，当102x <<时，解得102x <<，当112x <≤时，2320x x +-<解得1223x <≤， 所以()2f x <的解集为203x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．18．（本题满分16分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，BAC D E如果产品的销售价提高的百分率为x ()01x <<，那么月平均销售量减少的百分率为2x .记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y （元）. （1）写出y 与x 的函数关系式；（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 18、（1）改进工艺后，每件产品的销售价为()201x +，月平均销售量为()21a x -件，则月平均利润()()2120115y a x x =-⋅+-⎡⎤⎣⎦（元），∴y 与x 的函数关系式为()235144y a x x x =+-- ()01x <<（2）由()2542120y a x x '=--=得112x =，23x =-（舍） 当102x <<时0y '>；112x <<时0y '<，∴函数()235144y a x x x =+-- ()01x <<在12x =取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为12012⎛⎫+ ⎪⎝⎭30=元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.19. （本小题满分16分）把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表（每行比上一行多一个数）．设(,)ij a i j N *∈是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数的第j 个数（如428a =）． ⑴试用i 表示ii a （不要求证明）； ⑵若2008ij a =，求,i j 的值；⑶记三角形数表从上往下数第n 行的各数之和为n b ，令1,(1),(2)n nn c n n b n=⎧⎪=⎨≥⎪-⎩，若数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ．解：（1）∵三角形数表中前n 行共有(1)122n n n ++++=个， 即第i 行的最后一个数是(1)2i i + ∴ii a =(1)2i i + （2）由题意，先求使得i 是不等式(1)20082i i +≥的最小正整数解． 由(1)20082i i +≥，得240160i i +-≥∵*iN ∈，∴11112662.5222i ---+≥>==，∴63i = １２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10…………（另解：∵626363641953,201622⨯⨯== ∴63i =） 于是，第63行的第一个数是6263119542⨯+=， 故(20081954)155j =-+= （3）前n 行的所有自然数的和为21(1)(1)(1)(2)[1]2222n n n n n n n n n S +++++=⨯+= 则21(1)2n n n n n b S S -+=-=，所以，当2n ≥时，2211111n n n c b n n n n ===----+， 111111111()()()()132435111115115211121212(1)n T n n n n n n n n n =+-+-+-++--++=++--=--=-+++ 当1n =时，1n T =也适合，521()2(1)n n T n N n n *+∴=-∈+ 20．（本题满分16分）已知函数()ln f x x =，)0(21)(2≠+=a bx ax x g （I ）若2-=a 时，函数)()()(x g x f x h -=在其定义域内是增函数，求b 的取值范围； （II ）在（I ）的结论下，设]2ln ,0[,)(2∈+=x be e x x x ϕ，求函数)(x ϕ的最小值； （III ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 的图象2C 交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R作x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点M 、N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由. 解：（I ）依题意：.ln )(2bx x x x h-+=()h x 在（0,+∞）上是增函数，1()20h x x b x'∴=+-≥对x ∈（0,+∞）恒成立， 12,0b x x x ∴≤+>，则 12xx+≥ b ∴的取值范围是(,-∞. （II ）设].2,1[,,2∈+==t bt t y e t x 则函数化为 22().24b b y t =+-∴当12b -≤，即2b -≤≤y 在[1,2]上为增函数， 当1t =时，min 1y b =+；,]2,1[4,22;42,24,2212min 上是减函数在函数时即当时当时即当y ，b b b ，y b t b b -≤≥--=-=-<<-<-< 当2t =时，min 42y b =+.综上所述：21,2(),42442, 4.b b b x b b b ϕ⎧+-≤≤⎪⎪=--<<-⎨⎪+≤-⎪⎩（III ）设点P 、Q 的坐标是.0),,(),,(212211x x y x y x <<且则点M 、N 的横坐标为.221x x x += C 1在点M 处的切线斜率为.2|1212121x x x k x x x +==+= C 2在点N 处的切线斜率为.2)(|212221b x x a b ax k x x x ++=+=+= 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则.21k k =即 1212()2.2a x xb x x +=++则 22222121212211122212112()()()()()222ln ln ln,x x a x x a a b x x x bx x bx x x x y y x x x --=+-=+-++=-=-= 22211211212(1)2()ln 1x x x x x x x x x x --∴==++ 设211,x u x =>则2(1)ln ,1,1u u u u -=>+… (1) 令2(1)()ln ,11u r u u u u-->+，则22214(1)()(1)(1)u r u u u u u -'=-=++，1,()0u r u '>∴>，所以 ()r u 在[1,)+∞上单调递增，故()(1)0r u r >=，则2(1)ln 1u u u ->+，与（1）矛盾！。