八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质和判定Ⅱ第2课时教学课件(新版)湘教版
东辽县实验中学八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质和判定Ⅱ第2课时勾股定理的实际应用
51 °
20 °
D
B
C
思路点拨 : 添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解法一 : 连接AD并延长于点E.
在△ABD中 , ∠1+∠ABD=∠3 ,
在△ACD中 , ∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4 , ∠BAC=∠1+∠2 ,
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
每一个三角形都有6个外
角．
每一个顶点相対应的外
角都有2个 , 且这2个角为対
B
C
顶角.
总结归纳
三角形的外角应具备的条件 :
①角的顶点是三角形的顶点 ; ②角的一边是三角形的一边 ; ③另一边是三角形中一边的延A 长线.
B
C
D
∠ACD是△ABC的一个外角
每一个三角形都有6个外角．
练一练
如下图,∠ BEC是哪个三角形的外角 ？∠AEC是哪个三角形的外角 ？ ∠EFD是哪个三角形的外角 ？
B
CD
练一练 : 说出以下图形中∠1和∠2的度数 :
A
80 °
60 °
12
B
CD
(1)
∠1=40 °, ∠2=140 °
50 ° A
2
1
32 °(
B
C
(2)
∠1=18 °, ∠2=130 °
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐 对身体不好哦~
1
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 ° , ①+ ②+ ③得
八年级数学下册直角三角形的性质和判定ppt课件
方形，得到三个大小不同的正方形，那么这三个正方形的面
积S1、S2、S3之间有什么关系呢？
S3
4 B 3 C A
S2
S1
3
S3
4 B 3
A
S2
C
S1
由图可知，S1=32，S2=42， 为了求S3，我们可以先算 出红色区域内大正方形 的面积，再减去4个小三 角形的面积，得S3=52. ∵32+42=52， ∴S1+S2=S3.
c
A
b
a），于是它们全等（SAS），从而它们的斜边长
相等.设斜边长为c.
B
a
C
5
步骤2：再剪出1个边长为c的正方形，如下图所示.
c
6
步骤3：把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成如图所示的 图形.
由于△DHK≌△EIH，
∴∠2=∠4. 又∵∠1+∠2=90°， ∴∠1+∠4=90°. 又∠KHI=90°， ∴∠1+∠KHI+∠4=180°，即D，H，E在一 条直线上. D
A
5
15
练习
1.如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群.在A处 测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后，渔船行至B处，此时测得 小岛C在船的北偏东30°方向.已知以小岛C为中心，周围10海里以内有 暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁危险？
北
答案：不会有触礁危险.
60 ° 30 ° B
第一章 直角三角形
1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
1
思考
如图，在方格纸上（设小方格边长为单位1）画一个顶点都 在格点上的直角三角形，使其两直角边分别为3，4，量出这 个直角三角形斜边的长度. c=5 我量得c为5.
八年级下册数学直角三角形的性质和判定课件
图1-3
线段CD 比线段AB短.
1 我测量后发现CD = AB. 2
图1-3
1 如图1-3， 如果中线CD = AB，则有∠DCA = ∠A . 2 由此受到启发，在图1-4 的Rt△ABC中，过直角顶点C作 射线 CD交AB于D，使 ∠ DCA = ∠A ， 则 CD = AD .
1.直角三角形的判定定理和性质定理；
2.应用定理进行推理论证解决有关问题.
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课后作业
见《学练优》本课“课后巩固提升”
1 AB. 2
图1-4
结论
由此得到：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例1 已知：如图1-5，CD是△ABC的AB边上的中 AB . 线，且 CD 1 2 求证：△ABC是直角三角形.
图1-5
证明：因为 CD 1 AB= BD= AD ， 2 所以 ∠1=∠A，(等边对等角) ∠2=∠B .
3.如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB， AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的 度数是（ B ）. A.150° B.130° C.120° D.100° 解 因为BE，CD是ABC的高， 所以∠BDP=90°，∠BEA=90°. 又∠A=50° ， 所以∠ABE=90°-∠A=90°-50°= 40°. 所以∠BPC =∠ABE +∠BDP = 90° + 40°= 130°. 故应选择B.
1 是否对于任意一个Rt△ABC，都有 CD = AB 成立呢？ 2
图1-3
图1-4
又∵ ∠A +∠B=90° ， DCA+ DCB 90 ，
∴ B DCB.
故得 CD = AD = BD = 1 AB. 2
2019年春八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质与判定(Ⅱ)第2课时勾股定理的应用课
(2)设 EN＝DM＝BF＝x 米，则 BM＝DF＝CF＝(7－x)米． ∵EN⊥AB，∠EAB＝30°，∴AE＝2x 米， ∴AN＝ AE －EN ＝ 3x 米． ∵AN＋MN＋BM＝AB，即 3x＋2＋(7－x)＝6＋3 ∴EN＝3 米，AN＝3 3米，DF＝CF＝4 米． 3＋3) 3，解得 x＝3，
目标二 会构造直角三角形应用勾股定理解决问题
例 2 教材补充例题 图 1－2－5 是某学校主楼梯从底楼到二楼的 楼梯截面图，已知 BC＝7 米，AB＝(6＋3 3)米，中间平台 DE 与 地面 AB 平行，且 DE 的长度为 2 米，DM，EN 为平台的两根支柱，
DM， EN 垂直于 AB， 垂足分别为 M， N， ∠EAB＝30°， ∠CDF＝45°，
2 2 2 2
第2课时 勾股定理的应用
【归纳总结】建立直角三角形模型解决实际问题的一般步骤 (1)读懂题意，建立数学模型； (2)分析数量关系，数形结合，正确标图，将已知条件体现到图 形中，充分利用图形的功能和性质； (3)应用勾股定理进行计算或建立等量关系，构建方程求解； (4)解决实际问题．
第2课时 勾股定理的应用
线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
第2课时 勾股定理的应用
解：如图，设大树高为 AB＝10 m，小树高为 CD＝4 m，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E， 则四边形 EBDC 是长方形，∴EB＝4 m，EC＝8 m，AE＝AB－EB＝10－4＝6(m)．连 接 AC，在 Rt△AEC 中，AC＝ AE ＋EC ＝ 6 ＋8 ＝10(m)，故小鸟至少飞行 10 m.
路程为5 cm.
内部文件，请勿外传
楼梯宽度为 3 米．
图1－2－5
八年级数学下册 第1章 直角三角形 1.1 直角三角形的性质与判定(Ⅰ)(第2课时)课件
A.AD=2CD C.AD=3BD
B.AC=2CD D.AB=2BC
第十五页，共四十六页。
知识点一 含30°角的直角三角形性质(xìngzhì)的应用 (P4动脑筋拓展) 【典例1】如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠B=2∠A，AB=8， CD⊥AB于点D.求BC，AD的长.
风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°
夹角，这棵树在折断前的高度为 (
)C
第十二页，共四十六页。
A.4米 C.12米
B.8米 D.(3+3 3 )米
第十三页，共四十六页。
3.(2019·南通市海安县期末)在△ABC中，∠ACB=90°， CD是斜边AB上的高，∠A=30°，以下说法(shuōfǎ)错误的是 ( A)
第三十三页，共四十六页。
★2.(2019·合肥(hé féi)瑶海区期末)如图，在△ABC中， AB=AC=2，∠B=75°，则点B到边AC的距离为______.1
第三十四页，共四十六页。
★★3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是直角(zhíjiǎo)边AC 上的点，且AD=BD=2a，∠A=15°，求BC边的长.世纪金榜导
1.1 直角三角形的性质(xìngzhì)和判定(Ⅰ) 第2课时
第一页，共四十六页。
【知识再现(zàixiàn)】
1.直角三角形的两个锐角_______互__余.
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的____一__半__(_yī.bàn)
第二页，共四十六页。
【新知(xīn zhī)预习】阅读教材P4-6，归纳结论： 1.按要求画图：
第四十四页，共四十六页。
解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°-∠EDC=30°.
肥西县七中八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质和判定Ⅱ第2课时勾股定理的实际应用教
1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第2课时勾股定理的实际应用【知识与技能】1.勾股定理从边的方面进一步刻画直角三角形的特征，学生将在原有的基础上对直角三角形有更深刻的认识和理解.2.掌握直角三角形三边关系——勾股定理及直角三角形的判别条件——勾股定理的逆定理.【过程与方法】1.放手学生从多角度地了解勾股定理.2.提高学生亲自动手的能力.【情感态度】1.学会运用勾股定理来解决一些实际问题，体会数学的应用价值.2.尽可能的给学生提供有关勾股定理的材料，给予交流的机会，并在与他人交流的过程中，敢于发表不同的见解，在交流活动中获得成功的体验.【教学重点】应用勾股定理有关知识解决有关问题.【教学难点】灵活应用勾股定理有关知识解决有关问题.一、创设情境，导入新课问题勾股定理的内容是什么？它揭示了直角三角形三边之间的关系，今后我们来看看这个定理的应用.【教学说明】教师创设问题，有针对性地复习了勾股定理，对本节课的应用勾股定理解决实际的问题打下了坚实的基础.教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知问题勾股定理的应用思考教材第12页“动脑筋”【教学说明】提出问题，提供学生参与数学活动的时间与空间，调动学生的观察能动性，引导学生建立数学模型，提高学生分析问题、解决问题的能力.例：教材第12页例2【教学说明】以古代的数学问题为背景，一方面及时巩固勾股定理的运用，另一方面让学生感受到数学文化.三、运用新知，深化理解1.直角三角形中已知其中的两条边长是4和5，则第三条边等于（）A.3B. 41C.3或41D.无法确定2.在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b，∠B=90°.①已知a=5,b=12，求c;②已知a=20,c=29,求b.3.如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所能走的最短路线的长度.【教学说明】由学生独立完成，以加深对知识的理解和运用，便于了解学生掌握情况，给有困难的学生给予指导，及时纠正他们出现的错误，并改正强化，在完成上述题目后，教师引导学生完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1.C3.解：将曲面沿AB展开，如图，过C作CE⊥AB于E，在Rt△ECF中，∠E=90°，EF=18-1-1=16（cm ），CE=1/2×60=30（cm ），由勾股定理，得CF=22CE EF +=223016+=34（cm ）四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，给同学们谈谈你的收获是什么？你认为自己还在哪些问题上存在疑问?与大家共同交流.【教学说明】学生自已总结归纳加深印象.引导学生进一步掌握解决实际问题的关键是抽象出相应的数学模型.1.布置作业：习题1.2中的第5、9题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.就练习的情况来看，一方面学生简单机械地套用了a 2+b 2=c 2，没有分析问题的本质所在；另一方面对于曲面转化为平面问题和在实际问题中抽象出数学模型还存在较大的困难，在今后的教学中要通过实例不断训练提高，以达到全面提高.分式的乘除【课题】分式的乘除【教学目的】熟练地进行分式乘除法的混合运算. 利用上节课分式乘法运算的基础，达到熟练地进行分式乘除法的混合运算的目的.课堂练习以学生自己讨论为主，使学生对所做的题目作自我评价， 【教学重难点】重点：熟练地进行分式乘除法的混合运算难点：熟练地进行分式乘除法的混合运算. 关键是点拨运算符号问题、变号法则.【课时安排】1课时 【教学方法】【教学步骤】或【课堂教学设计】 第一步：课堂引入计算：（1）)(xy yx xy -⋅÷ (2) )21()3(43xyx yx -⋅-÷第二步：讲授新课（P17）例4.计算[分析] 是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的.（补充）例.计算(1))4(3)98(23232b x b a xy y x ab -÷-⋅=x b b a xy y x ab 34)98(23232-⋅-⋅ (先把除法统一成乘法运算) =xb b a xy y x ab 349823232⋅⋅ （判断运算的符号） =32916ax b （约分到最简分式） (2) x x x x x x x --+⋅+÷+--3)2)(3()3(444622=x x x x x x x --+⋅+⋅+--3)2)(3(31444622 (先把除法统一成乘法运算)=x x x x x x --+⋅+⋅--3)2)(3(31)2()3(22 (分子、分母中的多项式分解因式)=)3()2)(3(31)2()3(22---+⋅+⋅--x x x x x x=22--x 第三步：随堂练习计算(1))2(216322b a a bc a b -⋅÷ （2）103326423020)6(25ba c c ab b ac ÷-÷ （3）x y y x x y y x -÷-⋅--9)()()(3432 （4）22222)(xyx xy y xy x x xy -⋅+-÷-答案：（1）c a 432- （2）485c- （3）3)(4y x - （4）-y第四步：课堂小结本节课主要讲授分式乘除法的混合运算，分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的.第五步：课后练习 计算(1))6(4382642z yx yx y x -÷⋅-(2)9323496222-⋅+-÷-+-a a b a b a a (3)229612316244yyy y y y --÷+⋅-+- (4)xyy xyy x xy x xy x -÷+÷-+222)( 答案： (1)336y xz (2) 22-b a （3）122y - （4）x1-【作业布置】第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法课时4 整式的除法【知识与技能】(1)掌握同底数幂的除法法则.(2)理解不等于0的数的0次幂的定义.(3)理解单项式除以单项式，多项式除以单项式的法则，并会进行简单的相关运算.【过程与方法】通过探索整式的除法的一般规律，能熟练地进行有关的计算.【情感态度与价值观】让学生自主探索整式的除法法则，体验通过转化构建新知识体系，培养学生大胆猜想、善于思考、归纳的数学思维品质和创新精神.整式的除法法则的运用.整式的除法法则的运用.多媒体课件.师生共同复习回顾：同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m·a n=a m+n(m，n都是正整数).教师接着出示问题：一张数码照片的文件大小是28 KB，一个存储量为26 MB(1 MB=210 KB)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？学生先思考，再小组内讨论解决：移动存储器的存储量单位与文件大小的单位不一致，所以要先统一单位.移动存储器的容量为26×210=26 624(KB).所以它能存储这种数码照片的数量为(26 624÷28)张.教师：我们已经学习了整式的加法、减法、乘法运算.在整式的运算中，有时还会遇到两个整式相除的情况.由于除法是乘法的逆运算，因此我们可以利用整式的乘法来理解和学习整式的除法.(板书课题)探究1：同底数幂的除法教师让学生解决以下问题：1.用你熟悉的方法计算.2.概括.在学生讨论、计算的基础上，教师提问：你们能发现什么？由学生回答，教师板书，发现：你能根据除法的意义来说明这些运算结果是怎么得到的吗？3.分组讨论.各组选出一名代表来回答问题，师生达成共识，除法是乘法的逆运算，所以除法的问题实际上是“已知乘积和一个因数，去求另一个因数”的问题，于是上面的问题可以转化为乘法问题加以解决，即：师生共同总结：一般地，我们有a m÷a n=a m-n，并且m≥n，m，n为正整数,即同底数幂相除，底数不变，指数相减.(教师板书)4.利用除法的意义说明这个法则的算理.让学生仿照问题的解决过程，讲清算理，并请几名学生代表回答，教师加以评析.5.让学生互相讨论.当m=n时，a m÷a n的结果是多少？能总结出什么规律？师生共同总结：当m=n时，a m÷a n=a m-m=a0=1(a≠0),即任何不等于0的数的0次幂都等于1.探究2：单项式除以单项式与多项式除以多项式教师引入：利用同底数幂的除法法则，我们可以计算单项式与单项式的除法，进一步探究多项式与单项式的除法，下面我们先来探讨单项式与单项式的除法.教师出示问题：木星的质量约是1.90×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨.你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？学生思考后回答：这是除法运算，木星的质量约为地球质量的［(1.90×1024)÷(5.98×1021)］倍.接着教师让学生解决以下问题：1.计算(1.90×1024)÷(5.98×1021)，并说说你计算的根据是什么.2.你能利用1中的方法计算下列各式吗？3.你能根据2说说单项式除以单项式的运算法则吗？讨论结果展示：可以从两个思路考虑：(思路一)从乘法与除法互为逆运算的角度去考虑.×1021×( )=1.90×1024÷5.98≈0.318，所求单项式的幂值部分应包含1024÷1021，即103，由此可知 5.98×1021×(0.318×103)≈1.90×1024.所以(1.90×1024)÷(5.98×1021)≈0.318×103.2.可以想象2a·( )=8a3，根据单项式与单项式相乘的运算法则，可以考虑：8÷2=4，a3÷a=a2，即2a·(4a2)=8a3.所以8a3÷2a=4a2.同样的道理可以得出所以(思路二)从除法的意义去考虑.上述两种算法有理有据，所以结果都正确.教师引导学生观察上述几个式子的运算过程，总结出它们的共同特征：(1)都是单项式除以单项式.(2)运算的结果都是把系数、同底数幂分别相除后作为商的因式；对于只在一个被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.(3)单项式相除是在同底数幂的除法的基础上进行的.教师出示教材P103例7：学生自主解答.教师：那么对于多项式除以单项式，同学们可仿照上述的探究过程，自己尝试.学生小组讨论.师生共同总结：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.教师出示教材P103例8：教师引导学生共同分析，教师板书(1)，请2名学生代表上台板演(2)(3).接着教师让学生完成教材P104练习第1，2，3题.(学生独立完成之后，教师点评) 多项式除以单项式的结果仍然是多项式.。
湘教版八年级数学下册教学课件(XJ) 第1章 直角三角形 第2课时 勾股定理的实际应用
解：(1)在Rt△ ABC中，
A
别踩我,我怕疼!
C 根据勾股定理得
AB 32 42 5米，
∴这条“径路”的长为5米. （2）他们仅仅少走了
(3+4-5)×2=4(步). B
二 利用勾股定理求最短距离
问题 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A 不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？
问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，并结合曾 小贤和胡一菲的做法，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？
这个跟我们学的勾股 定理有关，将实际问 题转化为数学问题
典例精析 例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能
否从门框内通过?为什么?
分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，
A A
B
解：台阶的展开图如图，连接AB.
在Rt△ABC中，根据勾股定理得
C
B
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329,
∴AB=73cm.
能力提升： 5. 为筹备迎新晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然 后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm， 如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
例4 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂， 树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
6 米
8米
A
6 米
C
8米
解：根据题意可以构建一直角三角
形模型，如图.
在Rt△ABC中，
AC=6米，BC=8米，
由勾股定理得
AB AC2 BC2
62 82
B
AB32= 62 +（10+8）2 =360， B2 ∴AB1＜AB2＜AB3.
八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质和判定Ⅱ第2课时教学课件湘教版
一个门框尺寸如图所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？ ③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？
∵木板的宽2.2米大于1米，
∴ 横着不能从门框C通过；
∵木板的宽2.2米大于2米，
∴竖着也不能从门框通2过m．
∴ 只能试试斜着能否通过，
对 要角 求线 出AACC的 的A长 长1最 ，m大 怎， 样B因 求此呢需？
3.如图，要在高3m,斜坡5m的楼梯表面铺
B
地毯，地毯的长度至少需____7____米
C
A
4．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离 树20米处的池塘的A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处， 距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵 树高____1_5______米.
5．在Rt△ABC中, ∠C=90°, ∠A ，∠ B， ∠C 的对边分别为 a,b,c. (1) 已知: a=5, b=12, 求c. c=12. (2) 已知: b=6,•c=10 , 求a. a=8. (3) 已知: a=7, c=25, 求b. b=24. (4) 已知: a=7, c=8, 求b . b= 15.
A
解：在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°，
D
∴ AC2+ BC2＝AB2， 2.42+ BC2＝2.52，
∴BC＝0.7m. 由题意得：DE＝AB＝2.5m，
C
BE
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m.
在Rt△DCE中，∵∠DCE=90°， ∴ DC2+ CE2＝DE2 ，22+ CE2＝2.52， ∴CE＝1.5m, ∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m.
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问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的
正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如
果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这
个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解:设水池的深度AC为X尺, 则芦苇高AD为 (X+1)尺.
D
C
B
根据题意得: BC2+AC2=AB2， ∴52+X2 =(X+1)2，
【例6】 如图，棱长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出
发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ B ）.
（A）3
（B )
（C）2 （D）1
B A
C
2
B
1
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
活动
如图，分别以Rt △ABC三边为边向外
作三个正方形，其面积分别用S1、S2、 S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的
答；梯子底端B不是外移0.4m.
练习:如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙 AO上，这时AO为2.5米．
①求梯子的底端B距墙角O多少米？
②如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请
同学们:
猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？
算一算，底端滑动的距离近似值
A
是多少? （结果保留两位小数）
C
O
BD
【例3】如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB 于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建 一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站 应建在离A站多少km处？
一个门框尺寸如图所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？ ③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？
∵木板的宽2.2米大于1米，
∴ 横着不能从门框C通过；
∵木板的宽2.2米大于2米，
∴竖着也不能从门框通2过m．
∴ 只能试试斜着能否通过，
对 要角 求线 出AACC的 的A长 长1最 ，m大 怎， 样B因 求此呢需？
解：设AE= x km，
D
C
则 BE=（25-x）km.
根据勾股定理，得
15
10
AD2+AE2=DE2， BC2+BE2=CE2.
A
E
B
又 ∵ DE=CE，
∴ AD2+AE2= BC2+BE2，
即 152+x2=102+（25-x)2，
∴ X=10. 答：E站应建在离A站10km处.
【例4】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的
∵∠B=90°，
∴ AB2+ BF2＝AF2，
10
A
D
82+ BF2＝102， ∴BF＝6，
X
∴CF＝BC－BF＝10－6＝4.
8
10 X
E
∵∠C=90°， ∴ CE2+CF2＝EF2
(8- X)
(8－ X)2+42=X2
B
6
F 4C
64 －16X+X2+16=XAE2 2 AD2 DE2 80－16X=0 102 52 125 16X=80 AE 125 5 5. X=5
根据题意得: 32+ (X－1) 2 =X2，
9+X2 －2X+1=X2， 10 －2X=0， 2X=10， X=5， 答:竹竿长5米.
本节课我们主要学习了勾股定理的实际应用,关键是将 实际问题转化为数学问题,再用勾股定理等知识来解答.
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
第2课时
1.能利用勾股定理解决实际问题. 2.理解立体图形中两点距离最短问题.
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边 的平方．
如果在Rt△ ABC中，∠C=90°,
那么 a2 b2 c2 .
B
a
c
C
bA
B
a
c
C
b
A
c2 = a2 + b2
练习
（1）求出下列直角三角形中未知的边．
A
解：在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°，
D
∴ AC2+ BC2＝AB2， 2.42+ BC2＝2.52，
∴BC＝0.7m. 由题意得：DE＝AB＝2.5m，
C
BE
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m.
在Rt△DCE中，∵∠DCE=90°， ∴ DC2+ CE2＝DE2 ，22+ CE2＝2.52， ∴CE＝1.5m, ∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m.
25+X2=X2+2X +1X，=12，
∴X+1=12+1=13(尺).
A
答:水池的深度为12尺,芦苇高为13尺.
【例5】矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知
AB=8，BC=10，求折痕AE的长. 解:设DE为X, 则CE为 (8－ X).
由题意可知:EF=DE=X, AF=AD=10.
关系式 S1 S2 S3 ．
C
S3
A
S2
B
S1
变式：你还能求出S1、S2、S3之间的关系式吗？
S3
S2
S1
1.把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的3倍，则其斜
边（ B ）
A.不变
B.扩大到原来的3倍
C.扩大到原来的9倍
D.减小到原来的1/3
2.一架5米长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这时梯子下端距 离墙的底端3米，若梯子顶端下滑了1米,则梯子底端将外移__1_米__.
3.如图，要在高3m,斜坡5m的楼梯表面铺
B
地毯，地毯的长度至少需____7____米
C
A
4．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离 树20米处的池塘的A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处， 距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵 树高____1_5______米.
5．在Rt△ABC中, ∠C=90°, ∠A ，∠ B， ∠C 的对边分别为 a,b,c. (1) 已知: a=5, b=12, 求c. c=12. (2) 已知: b=6,•c=10 , 求a. a=8. (3) 已知: a=7, c=25, 求b. b=24. (4) 已知: a=7, c=8, 求b . b= 15.
活动
如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成 直角的AC方向上的一点，测得CB= 60m，AC= 20m ，你能求出A，B两点间的距离吗？ （结果 保留整数）
【例2】一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC 为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外
移0.4m吗？
【例题】
【例1】有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用 一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？ （结果保留整数）
D
C 解：∵在Rt△ ABC中，∠B=90°,
AB=BC=50 dm, ∴由勾股定理可知
AC AB2 BC 2
A 50dm B
502 502
5000 71(dm). ∴圆的直径至少为71dm.
6 ．一直角三角形的一直角边长为7, 另两条边长为两个连 续整数，求这个直角三角形的周长．
答：周长为56
7．如图，受台风影响，一棵树在离地面4米处断裂， 树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多 高？
4米
3米
答：这棵树折断前有9米高.
8.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进 去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时， 两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？ 解:设竹竿长X米,则城门高为 (X－1)米.
B
A
10 6
C
A
8
C
2
30°
回答：
45°
2
①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？ ②直角三角形哪条边最长？
（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m ，求AC长．
A
D
1m
B
2m
C
【解析】在Rt△ ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知：
AC AB2 BC2 12 22 5（m）