八年级数学直角三角形
八年级下册数学直角三角形
八年级下册数学直角三角形一、直角三角形的定义与性质。
1. 定义。
- 有一个角为90°的三角形叫做直角三角形。
直角所对的边称为斜边，另外两条边称为直角边。
2. 性质。
- 直角三角形的两个锐角互余。
即若ABC中，∠ C = 90^∘，则∠ A+∠ B = 90^∘。
- 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2。
例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边c=√(3^2) + 4^{2}=√(9 + 16)=√(25) = 5。
- 在直角三角形中，30^∘角所对的直角边等于斜边的一半。
例如，在ABC 中，∠ C = 90^∘，∠ A=30^∘，设斜边AB = c，则BC=(1)/(2)c。
- 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
如在ABC中，∠ C = 90^∘，D 为AB中点，则CD=(1)/(2)AB。
二、直角三角形的判定。
1. 定义判定。
- 直接看三角形中是否有一个角为90^∘，如果有，则这个三角形是直角三角形。
2. 勾股定理的逆定理。
- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
例如，三角形三边分别为5、12、13，因为5^2+12^2=25 + 144=169 = 13^2，所以这个三角形是直角三角形。
3. 一个三角形，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
- 例如，在ABC中，D为AB中点，CD=(1)/(2)AB，则∠ ACB = 90^∘。
三、直角三角形全等的判定（HL定理）1. HL定理内容。
- 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
2. 应用示例。
- 已知ABC和DEF都是直角三角形，∠ C=∠ F = 90^∘，AB = DE，AC = DF，根据HL定理，可以得出ABC≅ DEF。
四、解直角三角形。
1. 概念。
八年级上册数学斜边直角边
八年级上册数学斜边直角边一、直角三角形的基本性质直角三角形是一个角为90度的三角形，它具有一些基本性质，如两锐角互余、斜边中线等于斜边的一半等。
这些性质是解决直角三角形问题的基础。
二、斜边和直角边的关系在直角三角形中，斜边和直角边之间存在特定的关系。
如果已知两个直角边的长度，可以使用勾股定理计算斜边的长度。
反之，如果已知斜边和一条直角边的长度，可以使用射影定理计算另一条直角边的长度。
三、斜边中线定理斜边中线定理指出，直角三角形斜边的中线长度等于斜边长度的一半。
这个定理在解决与直角三角形相关的问题时非常有用。
四、直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定有几种情况，包括SSS、SAS、ASA和HL （直角边斜边）判定方法。
这些判定方法可以帮助我们确定两个直角三角形是否全等，从而解决问题。
五、直角三角形的应用直角三角形在日常生活和生产实践中有着广泛的应用，如建筑、测量、航海和物理学等领域。
解决与直角三角形相关的问题需要我们利用所学知识，通过逻辑推理和计算，找到正确的解决方案。
六、勾股定理及其逆定理勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它指出在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理则说明，如果一个三角形的三边满足勾股定理的条件，那么这个三角形一定是直角三角形。
七、直角三角形的面积计算直角三角形的面积可以通过两种方式计算：一种是基于基底和高，另一种是使用射影定理。
了解这些计算方法对于解决与面积相关的问题非常重要。
八、直角三角形与平行线在解决与直角三角形相关的问题时，有时需要利用平行线的性质和判定方法。
例如，利用平行线构造相似三角形或利用平行线的性质求解角度问题。
因此，了解平行线的性质和判定方法是解决这类问题的关键。
九、直角三角形与轴对称轴对称是数学中的一个重要概念，它涉及到图形的对称性。
在解决与直角三角形相关的问题时，有时需要利用轴对称的性质来找到解决方案。
例如，通过轴对称构造等腰三角形或找到对称点等。
八年级数学上册17.2 直角三角形
你还能用其他 方法证明吗？
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 直角边等于斜边的一半.
A 应用格式：
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，
∴ BC = 1 AB． 2
B
C
例 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱
BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、
由三角形内角和定理，容易验证得到： 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴可得到：∠C=90°，△ABC为直角三角形. 直角三角形的判定定理 如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三
角形.
练一练 1.为已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3.那么
这个三角形是__直__角__三__角__形____.
1 2
AB.
下面我们就来证明这个“发现”.
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的
中线.
A
求证：CD=
1 2
AB.
证明：如图，过点D作DE∥BC，交AC于
点E；作DF∥AC，交BC于点F.
D E
在△AED和△DFB中，
∠AED=∠FDB（两直线平行，同位角相等），
∵ AD=DB（中线的概念），
则AD=___5__cm.
A
45° CE
B
D
C
3.如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =10，则BC 的 长为 5 ．
4.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°， AB =4．则BD = 1 .
八年级数学上册《直角三角形的性质》课件
通过测量直角三角形中的两个锐角，可以计算出 第三个角的大小，从而解决一些测量问题。
建筑设计中直角三角形应用
建筑设计
01
在建筑设计中，直角三角形常被用于计算建筑物的角度、高度
和距离等参数，以确保建筑物的稳定性和美观性。
结构工程
02
在结构工程中，直角三角形可以帮助工程师计算结构的支撑力
、承载力和稳定性等关键参数。
AA相似条件在直角三角形中应用
AA相似条件：如果两个三角形 中有两个角分别相等，则这两 个三角形相似。
在直角三角形中，由于一个角 是90度，因此只需要再证明一 个角相等即可判定两个直角三 角形相似。
常见的证明方法包括利用余角 相等、利用平行线的性质等。
利用三边比例关系判断相似
三边比例关系：如果两个三角形的三边长度成比例，则这两个三角形相似。
在直角三角形中，可以利用勾股定理和已知边长求出未知边长，进而判断三边是否 成比例。
需要注意的是，由于直角三角形的特殊性，有时候只需要证明两边成比例即可判定 相似。
实例分析与解题技巧
实例分析
通过具体题目分析，展示如何利 用AA相似条件和三边比例关系判 断直角三角形相似。
解题技巧
总结在解题过程中需要注意的问 题和技巧，如正确运用勾股定理 、灵活运用相似条件等。
勾股定理及其逆定理
勾股定理
勾股数
在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方，即a² + b² = c²，其 中a、b为直角边，c为斜边。
满足勾股定理的三个正整数，称为勾 股数。例如，3、4、5是一组勾股数 ，因为3² + 4² = 5²。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三 角形，其中c为最长边。
14.1.2 直角三角形的判定(八年级数学)
∵b2+c2=112+92 =121+81 =202，
a2=132 =169，
∴b2+c2≠a2. ∴以13, 11, 9为边长的 三角形不是直角三角形.
【例 3】 一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A 和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如 图2所示,这个零件符合要求吗?
勾股数：满足a2+b2=c2的 三个正整数
(1) a=7，b=25，c=24; (2) a=13，b=11，c=9. 分析：根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直
角三角形, 只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方.
解:(1)最长边为25，
(2)最长边为13，
∵a2+c2=72+242 =49+576 =625，
b2=252 =625，
1.如果线段a、b、c能组成直角三角形,则它们的比可以是
( B) A.3∶4∶7
B.5∶12∶13
C.1∶2∶4
D.1∶3∶5
2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的
三角形 ( A )
A.是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形
3.以△ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面 积是25, 144 , 169, 则这个三角形是__直__角__三角形.
4.如果三条线段a、b、c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的
三角形是直角三角形吗?为什么? 解：这个是直角三角形，因为a2+b2=c2,满足勾股定理的 逆定理.
八年级数学 第1章 直角三角形 1.1 直角三角形的性质与判定(ⅰ)(第1课时)
∠A=90°-∠B，
④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有
_____①__②__③__(填序号).
世纪金榜导学号
第十七页，共三十四页。
知识点二 直角三角形斜边上中线(zhōngxiàn)的性质 (P3探究拓展)
第十八页，共三十四页。
【典例2】 如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直 角三角形，△BCD中，∠DBC=90°， ∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，求∠AFB 度数(dù shu). 世纪金榜导学号
)
C
A.75° B.65° C.55° D.45°
第七页，共三十四页。
2.具备下列条件(tiáojiàn)的△ABC中，不是直角三角形的是 ( D) A.∠A+∠B=∠C
B.∠A-∠B=∠C
第八页，共三十四页。
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 D.∠A=∠B=3∠C
第九页，共三十四页。
3.(2019·睢宁县期中(qī zhōnɡ))已知一个直角三角形的斜边长 为12，则其斜边上的中线长为_____6_.
第十页，共三十四页。
知识点一直角三角形两锐角(ruìjiǎo)的关系及应用 (P2议一议拓展)
第十一页，共三十四页。
【典例1】如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，CD是高. (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)∠1和∠A有什么(shén me)关系？∠2和∠A呢？还有哪些
锐角相等？
第二十五页，共三十四页。
【火眼金睛】 如图，△ABC为等腰直角三角形，AD为斜边BC上的高，E，F分 别(fēnbié)为AB和AC的中点，试判断DE和DF的关系.
第二十六页，共三十四页。
第二十七页，共三十四页。
人教版八年级数学上直角三角形
初中数学试卷直角三角形知识导引1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°。
2、直角三角形的判定方法：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；（3）如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、注意直角三角形的性质和判定之间的互逆关系。
4、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是45°，且两条直角边相等，等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。
典例精析例1：已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=21BC ，则△ABC 底角的度数为（ ） A 、45° B 、75° C 、45°或75° D 、60°例2：两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连结CD 。
（1）请找出图②中的全等三角形并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试说明：CD ⊥BE 。
例3：如图所示，四边形ABCD 由一个∠ACB=30°的Rt △ABC 与等腰Rt △ACD 拼成，E 为斜边AC 的中点，则∠BDE= 。
例3—1：如图，已知AD ⊥BD ，AC ⊥BC ，E 为AB 的中点，试判断DE 与CE 是否相等并说明理由。
例4：已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点F ，试说明AE=AF 。
例5：如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，CE ⊥BD ，交其延长线于点E ，求证：CE=21BD探究活动例：小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线AC剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中∠ACB=α，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，△DEF纸片的直角顶点D 落在纸片△ABC的斜边AC上，直角边DF落在AC所在的直线上。
八年级上册数学-专题六直角三角形
专题六 直角三角形一、直角三角形性质：1、 直角三角形的两个锐角互余2、 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3、 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
4、 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°5、 勾股定理：直角三角形两直角边a,b 的平方和，等于斜边c 的平方。
a 2+b 2=c 2二、直角三角形判定：1、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形的三条边长a,b,c 满足关系：a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形。
3、直角三角形全等的判定：SAS,ASA,AAS,SSS,HL三、角平分线的性质：1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上四、练习1如图，AB ∥CD ，∠CAB 和∠ACD 的平分线相较于H 点，E 为AC 的中点，EH=2.那么△AHC 是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC 的长。
2、如图，在R t △ABC 中，∠ACB=90°，CD 垂直于AB,垂足为点D ，DB=21BC,求∠A 的度数。
3、已知，在△ABC 中，∠B =21∠A =31∠C ,AB=8cm. (1)求AB 边上的中线长，（2）求AC, BC 的长，（3）AB 边上的高AB C DEH4、如图，在RtABC 中，∠C=90°，ED 是线段AB 的垂直平分线，已知∠1=31∠ABC ，求∠A 的度数。
6、 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，F 为CD 的中点，E 是BC 上一点，且EC=41BC. 求证：△AEF 是直角三角形。
7、 如图，D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于点E,DF ⊥AC 于点F,且DE=DF.试问：AB 与AC 有什么关系？8、 如图，已知BD 平分∠ABC,BA=BC,点P 在BD 上，作P M ⊥AD,P N ⊥CD,垂足分别为点M,N.求证：P M=PN .9、 如图，求作一点P,使PM=PN,并且使点P 到∠AOB 的两边OA,OB 的距离相等。
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Байду номын сангаас
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