八年级数学直角三角形
八年级数学《直角三角形》知识点
八年级数学《直角三角形》知识点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠ C=90 ° ∠A+∠ B=90°2、在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠ A =30°可表示如下：BC=1AB2∠ C =90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ A CB=90°可表示如下：CD= 1AB=BD=AD2D为 AB 的中点4、勾股定理直角三角形两直角边 a ， b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2b2c25、射影定理 ( 了解 )在直角三角形中， 斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项， 每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边 的比例中项∠ ACB=90°CD2AD BDAC 2AD ABCD ⊥ ABBC2BDAB6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC二、直角三角形的判定1 、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理222如果三角形的三边长 a ，b ， c ，有关系 a b c ，那么这个三角形是直角三角形。
1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A ，∠ B ，∠ C 所对的边分别为 a ， b ，c（ 1）三边之间的关系：a 2 b2c 2（勾股定理）（ 2）锐角之间的关系：∠ A+∠ B=90° （ 3）边角之间的关系：练习：一、选择题1. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为 6 cm ，则它的斜边长为（）A 、 4 cmB 、 8 cmC 、 10 cmD 、 12 cm2. 已知一个 Rt △的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（ ）A 、 25B 、 14C 、 7D 、 7 或 253. 等腰三角形的腰长为 10, 底长为 12, 则其底边上的高为 ()A 、 13B 、 8C 、 25 D、 644. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是 ( )A 、 钝角三角形B 、 锐角三角形C 、 直角三角形D 、等腰三角形 . 5、等腰三角形腰长为 13，底边长为 10，则它底边上的高为 （ ） A.12 B.7 C.5 D.66. 已知 a ，b ， c 为△ ABC 三边，且满足 ( a 2－ b 2)( a 2+b 2－ c 2) ＝0，则它的形状为（ ）A. 直角三角形B.等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形7. 如图， MP ⊥ NP ，MQ 为△ MNP 的角平分线， MT ＝ MP ，连接 TQ ，则下列结论中不正 确的是（ ）A 、 TQ ＝ PQB 、∠ MQT ＝∠ MQPC 、∠ QTN ＝ 90°D 、∠ NQT ＝∠ MQT8. 在△ ABC 中 , ∠ A: ∠ B: ∠C=1:2:3,CD ⊥ AB 于 D,AB=a , 则 DB 等于 ()A.aB.aC.aD. 以上结果都不对PQMNT23 4二、解答题1、已知：如图， AC 平分∠ BAD ， CE ⊥ AB 于 E ， CF ⊥ AD 于 F ，且 BC ＝DC. 求证： BE=DFFDC1 2AE B2. 已知，如图，四边形 ABCD 中， AB=3cm ， AD=4cm ， BC=13cm ， CD=12cm ，且∠ A=90°，求四边形 ABCD 的面积。
人教版八年级数学上册13.含有30度角的直角三角形的性质课件
2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。
3）直角三角形中最小的直角边是斜边的一半。
4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．
√
1、如图，在Rt△ABC中∠C=900 ,∠B=2 ∠A，
AB=6cm，则BC=__3_cm_____.
B
2、如图， Rt△ABC中， ∠A= 30°，
AB+BC=12cm，则AB= __8c_m____. C D
∴ BC=
1 2
AB,
DE=
1
2AD
A
E
C
1
∴ BC= 2 7.4=3.7(m)
11
∵ AD= 2AB= 2×7.4=3.7(m)
1
1
∴ DE= 2AD= 2 3.7=1.85(m) 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长1.85m。
课堂小结
• 本节课你有何收获？ • 1、含有30度角的直角三角形的性质：在直
BE=_1_.2_5_c_m__.
B
C
D
知识反馈 布置作业
1、必做题：课本第81页练习题
2、 选做题：
A
如图在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ， E
∠BAC＝120°,ＡＣ的垂直平分线
ＥＦ交ＡＣ于点Ｅ，交ＢＣ于点 C
F
B
Ｆ．求证：ＢＦ＝２ＣＦ．
13.3.2等边三角形（2）
——含有30度角的直角三角形的性质
复习巩固
一、等边三角形的性质
1、等边三角形的三条边都相等； 2、等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内 角都等于60 °； 3、等边三角形每条边上中线、高线和所对角的平分 线都三线合一． 4、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，且交 于一点；
北师大版八年级数学下册课件.1直角三角形的性质与判定课件
1.2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
教学目标
1.了解直角三角形两锐角互余及互逆命题的转化 2.运用勾股定理逆定理判定直角三角形
重难点
1.熟练掌握勾股定理逆定理的证明方法 2.互逆命题的真假性判定
提出问题，导入新课
问题1 直角三角形的定义是什么？ 有一个是直角的三角形叫直角三角形.
归纳新知
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方．
定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边 的平方，那么这个三角形是直角三角形．
条件和结论互换
上面两个定理的条件和结论有什么关系吗？ 与同伴交流.
探求新知
再视察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角.
知识回顾
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方. 即 a2 + b2 = c2. 勾股定理在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理.
a
c
b
勾
弦
股
提出问题 探求新知
勾股定理是一个真命题，那么把这个命题的条件和结论颠 倒过来，形成一个新的命题：
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这 个三角形是直角三角形．
解：（1）多边形是四边形.原命题是真，逆 命题是假.（2）同旁内角互补，两直线平行.原 命题是真，逆命题是真.（3）如果那么 a = 0， b = 0，那么 ab = 0.原命题是假，逆命题是真.
课堂小结
角的性质
直角三 角形
边的性质
定理1：直角三角形的两 个锐角互余 定理2：有两个角互余的 三角形是直角三角形
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
八年级下册数学直角三角形的性质和判定课件
图1-3
线段CD 比线段AB短.
1 我测量后发现CD = AB. 2
图1-3
1 如图1-3， 如果中线CD = AB，则有∠DCA = ∠A . 2 由此受到启发，在图1-4 的Rt△ABC中，过直角顶点C作 射线 CD交AB于D，使 ∠ DCA = ∠A ， 则 CD = AD .
1.直角三角形的判定定理和性质定理；
2.应用定理进行推理论证解决有关问题.
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课后作业
见《学练优》本课“课后巩固提升”
1 AB. 2
图1-4
结论
由此得到：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例1 已知：如图1-5，CD是△ABC的AB边上的中 AB . 线，且 CD 1 2 求证：△ABC是直角三角形.
图1-5
证明：因为 CD 1 AB= BD= AD ， 2 所以 ∠1=∠A，(等边对等角) ∠2=∠B .
3.如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB， AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的 度数是（ B ）. A.150° B.130° C.120° D.100° 解 因为BE，CD是ABC的高， 所以∠BDP=90°，∠BEA=90°. 又∠A=50° ， 所以∠ABE=90°-∠A=90°-50°= 40°. 所以∠BPC =∠ABE +∠BDP = 90° + 40°= 130°. 故应选择B.
1 是否对于任意一个Rt△ABC，都有 CD = AB 成立呢？ 2
图1-3
图1-4
又∵ ∠A +∠B=90° ， DCA+ DCB 90 ，
∴ B DCB.
故得 CD = AD = BD = 1 AB. 2
八年级数学上册《直角三角形的性质》课件
通过测量直角三角形中的两个锐角，可以计算出 第三个角的大小，从而解决一些测量问题。
建筑设计中直角三角形应用
建筑设计
01
在建筑设计中，直角三角形常被用于计算建筑物的角度、高度
和距离等参数，以确保建筑物的稳定性和美观性。
结构工程
02
在结构工程中，直角三角形可以帮助工程师计算结构的支撑力
、承载力和稳定性等关键参数。
AA相似条件在直角三角形中应用
AA相似条件：如果两个三角形 中有两个角分别相等，则这两 个三角形相似。
在直角三角形中，由于一个角 是90度，因此只需要再证明一 个角相等即可判定两个直角三 角形相似。
常见的证明方法包括利用余角 相等、利用平行线的性质等。
利用三边比例关系判断相似
三边比例关系：如果两个三角形的三边长度成比例，则这两个三角形相似。
在直角三角形中，可以利用勾股定理和已知边长求出未知边长，进而判断三边是否 成比例。
需要注意的是，由于直角三角形的特殊性，有时候只需要证明两边成比例即可判定 相似。
实例分析与解题技巧
实例分析
通过具体题目分析，展示如何利 用AA相似条件和三边比例关系判 断直角三角形相似。
解题技巧
总结在解题过程中需要注意的问 题和技巧，如正确运用勾股定理 、灵活运用相似条件等。
勾股定理及其逆定理
勾股定理
勾股数
在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方，即a² + b² = c²，其 中a、b为直角边，c为斜边。
满足勾股定理的三个正整数，称为勾 股数。例如，3、4、5是一组勾股数 ，因为3² + 4² = 5²。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三 角形，其中c为最长边。
八年级上册数学-专题六直角三角形
专题六 直角三角形一、直角三角形性质：1、 直角三角形的两个锐角互余2、 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3、 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
4、 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°5、 勾股定理：直角三角形两直角边a,b 的平方和，等于斜边c 的平方。
a 2+b 2=c 2二、直角三角形判定：1、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形的三条边长a,b,c 满足关系：a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形。
3、直角三角形全等的判定：SAS,ASA,AAS,SSS,HL三、角平分线的性质：1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上四、练习1如图，AB ∥CD ，∠CAB 和∠ACD 的平分线相较于H 点，E 为AC 的中点，EH=2.那么△AHC 是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC 的长。
2、如图，在R t △ABC 中，∠ACB=90°，CD 垂直于AB,垂足为点D ，DB=21BC,求∠A 的度数。
3、已知，在△ABC 中，∠B =21∠A =31∠C ,AB=8cm. (1)求AB 边上的中线长，（2）求AC, BC 的长，（3）AB 边上的高AB C DEH4、如图，在RtABC 中，∠C=90°，ED 是线段AB 的垂直平分线，已知∠1=31∠ABC ，求∠A 的度数。
6、 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，F 为CD 的中点，E 是BC 上一点，且EC=41BC. 求证：△AEF 是直角三角形。
7、 如图，D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于点E,DF ⊥AC 于点F,且DE=DF.试问：AB 与AC 有什么关系？8、 如图，已知BD 平分∠ABC,BA=BC,点P 在BD 上，作P M ⊥AD,P N ⊥CD,垂足分别为点M,N.求证：P M=PN .9、 如图，求作一点P,使PM=PN,并且使点P 到∠AOB 的两边OA,OB 的距离相等。
八年级数学上册教学课件《含30°角的直角三角形的性质》
∴∠B=60°，∠A=30°. ∴ AB=2BC.
随堂演练
1. Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°， AD=2cm，则AB的长度是（ C ） A.2cm B.4 cm C.8 cm D.16cm 2.等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则 等腰三角形的顶角为（ D ）
（2）能运用30°角的直角三角形的性质 解决相关问题.
推进新课
知识点1 直角三角形的性质
探究
将两个全等的含30°角的直 角三角尺摆放在一起.你能借助这 个图形，找到Rt △ABC 的直角边 BC 与斜边AB 之间的数量关系吗？
猜想 在直角三角形中，如果一个锐角等 于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A.30° B.60° C.150° D.30°或150°
3. 在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C， BD是∠ABC的平分线．求证：DC = 2AD.
证明：∵∠A = 90°，∠ABC = 2∠C,
∴∠C = 30°，∠ABC = 60°.
又BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=
∵ ∠ACB=90°，∠A =30°，
∴ ∠B =60°．
在△BCE 中，
E
∵ ∠BCE=60°，∠B =60°，
∴ △BCE 是等边三角形．
∴ BC =BE =CE．
B
C
在△ACE 中，
A
∵ ∠A=30°，∠ACE =30°，
∴ △AEC是等腰三角形．
∴ CE =AE．
∴ BC =BE =CE =AE．
A
符号语言：
∵ 在Rt△ABC 中，
八年级上册数学直角三角形的判定
八年级上册数学直角三角形的判定一、直角三角形的判定方法（人教版八年级上册）1. 定义法。
- 定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
- 例如：在△ABC中，如果∠C = 90°，那么△ABC就是直角三角形。
这是最直接判定直角三角形的方法，只要确定三角形中有一个角为90°即可。
2. 勾股定理的逆定理。
- 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即a^2+b^2=c^2（其中a、b为直角边，c为斜边）。
- 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
- 例如：已知三角形的三边长分别为3、4、5，因为3^2+4^2=9 +16=25=5^2，所以这个三角形是直角三角形，其中边长为5的边所对的角为直角。
- 应用步骤：- 确定三角形的三条边的长度a、b、c（c为最长边）。
- 然后，计算a^2+b^2和c^2的值。
- 比较a^2+b^2与c^2是否相等，如果相等则该三角形为直角三角形。
3. 直角三角形的判定定理（两个锐角互余）- 定理：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形。
- 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C = 180°（三角形内角和定理），如果∠A+∠B = 90°，那么∠C=180°-(∠A + ∠B)=90°，所以△ABC是直角三角形。
- 例如：在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 60°，因为∠A+∠B=30° + 60° = 90°，所以△ABC是直角三角形。
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