整式的乘法(基础)知识讲解

整式的乘法(基础)知识讲解
整式的乘法（基础）
【学习目标】
1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．
2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算. 【要点梳理】
要点一、单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是
乘法的交换律和同底数幂
的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积
的系数等于各系数的积，是
把各单项式的系数交换到
一起进行有理数的乘法计
算，先确定符号，再计算绝
对值；相同字母相乘，是同
底数幂的乘法，按照“底数
不变，指数相加”进行计算；
只在一个单项式里含有的
字母，要连同它的指数写在
积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也
是由系数、字母、字母的指
数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相
乘同样适用以上法则.
要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即()
++=++.
m a b c ma mb mc
要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算
方法，实质是利用乘法的分
配律将其转化为多个单项
式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是
一个多项式，项数与原多项
式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问
题，多项式中的每一项包
【思路点拨】前两个题只要按单项式乘法法则运算即可，第（3）题应把x y -与y x -分别看作一个整体，那么此题也属于单项式乘法，可以按单项式乘法法则计算． 【答案与解析】 解： （1）2
21323ab
a b abc ⎛⎫
⋅-⋅ ⎪⎝⎭
22132()()3a a a b b b c ⎡⎤
⎛⎫=⨯-⨯⋅⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
442a b c
=-．
（2）1
21(2)(3)2n n x
y xy x z +⎛⎫
-⋅-⋅- ⎪
⎝⎭
121(2)(3)()()2n n x x x y y z
+⎡⎤
⎛⎫=-⨯-⨯-⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
413n n x y z
++=-．
（3）23
221
6()
()3
m n x y mn y x -⋅-⋅⋅- 2
3
221
6()
()3
m n x y mn x y =-⋅-⋅⋅-
2
2321(6)()()[()()]
3
m m n n x y x y ⎡⎤=-⨯⋅⋅-⋅-⎢⎥⎣
⎦
33
5
2()m n x y =--．
【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果里也应全都有，不能漏掉． 举一反三：
【变式】（2014•甘肃模拟）计算：2m 2
•（﹣2mn ）•（﹣m 2
n 3
）．
【答案】解：2m 2
•（﹣2mn ）•（﹣m 2
n 3
）
=[2×（﹣2）×（﹣）]（m 2
×mn×m 2
n 3
）
=2m 5
n 4
．
类型二、单项式与多项式相乘
2、 计算：
（1）2
12
4223
3ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫
--+ ⎪⎪
⎝
⎭⎝
⎭
；
（2）22213(6)
32
xy y x xy ⎛⎫
-+-- ⎪⎝
⎭
； （3）2
2223
40.62
3a
ab b a b ⎛⎫⎛⎫
+-- ⎪⎪
⎝
⎭⎝⎭
；
【答案与解析】
解：（1）2
12
4223
3ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫
--+ ⎪⎪
⎝
⎭⎝
⎭
212114(2)23223
ab ab ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+--+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
23222
1233
a b a b ab =-+-．
（2）2
2213(6)
32
xy y x xy ⎛⎫
-+-- ⎪⎝
⎭
22
22213(6)(6)()(6)
32xy xy y xy x xy ⎛⎫
=--+-+-- ⎪⎝⎭
23432
296x y xy x y =-+．
（3）2
2223
40.62
3a
ab b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222334253a ab b a b ⎛⎫⎛⎫
=+-- ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
222222223443423353a a b ab a b b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
⋅-+⋅-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
423324
44235
a b a b a b =--+．
【总结升华】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式前的“＋”或“－”号看作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“＋”号连结，最后写成省略加号的代数和． 举一反三： 【变式1】2
2
4
312(6)2m n m n m n ⎛⎫-+- ⎪
⎝⎭
．
【答案】 解：原式2
2
24
2
322
11222m n m
n m n +⨯⎛⎫
=-+-⋅ ⎪⎝⎭
26262262
17
1221244
m n m n m n m n m n =-+=-．
【变式2】若n 为自然数，试说明整式()()
2121n n n n +--的值一定是3的倍数． 【答案】
解：()()2121n n n n +--＝2
22223n
n n n n
+-+=
因为3n 能被3整除，所以整式()()2121n n n n +--的
值一定是3的倍数．
类型三、多项式与多项式相乘 3、计算：
（1）(32)(45)a b a b +-； （2）2
(1)(1)(1)
x x x -++；
（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-；
（4）2
5(21)(23)(5)
x x
x x x ++-+-．
【答案与解析】 解：（1）(32)(45)a b a b +-2
21215810a
ab ab b =-+-22
12710a ab b =--． （2）2
(1)(1)(1)x x x
-++22(1)(1)x x x x =+--+41
x =-．
（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-2
222(2)(2)
a
ab b a ab b =---+-
2222a ab b a ab =----+
2ab
=-． （4）2
5(21)(23)(5)
x x
x x x ++-+- 322(5105)(2715)
x x x x x =++---
32251052715
x x x x x =++-++
32581215
x x x =+++．
【总结升华】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，刚开始时要严格按法则写出全部过程，以熟悉解题步骤，计算时要注意的是：（1）每一项的符号不能弄错；（2）不能漏乘任何一项．
4、（2014秋•花垣县期末）解方程：（x+7）（x+5）﹣（x+1）（x+5）=42．
【思路点拨】先算乘法，再合并同类项，移项，系数化成1即可．
【答案与解析】
解：（x+7）（x+5）﹣（x+1）（x+5）=42，x2+12x+35﹣（x2+6x+5）=42，
6x+30=42，
6x=12，
x=2．
【总结升华】本题考查了解一元一次方程，多项式乘以多项式的应用，主要考查学生的计算能力，难度适中．
举一反三：
【变式】求出使(32)(34)9(2)(3)
+->-+成立的非负整
x x x x
数解．
【答案】不等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解．
解：22
-+->+-，
x x x x x
912689(6)
22
-->+-，
x x x x
9689954
22
--->-，
x x x x
9699854
->-，
x
1546
46
x<．
15
∴x取非负整数为0，1，2，3．。