数学分析学年论文
数学分析(3)论文
云南大学数学分析习作课（3）论文题目：利用幂级数求和函数问题的探究学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学姓名、学号：王茂银 *********** 任课教师：黄辉老师时间： 2012年12月14日摘要如何对幂级数进行求和？幂级数是一种较简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数讨论其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一，幂级数求和的求解是一类难度较大技巧性较高的问题，更好地了解和掌握幂级数求和的方法和技巧对于学习幂级数具有更好的指导意义和学习价值，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。
关键词：幂级数；和函数；收敛；级数。
一、幂级数的基本概念1、幂级数的定义 设()(1,2,3)n u x n =是定义在数集X 上的一个函数列，则称12()()(),n u x u x u x x X ++++∈为定义在X 上的函数项级数，记为1()n n u x ∞=∑。
具有形如200102000()()()()n nn n n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑的函数项级数称为在点0x 处的幂级数。
特别地，在00()nn n a x x ∞=-∑中，令0x x x -=，即上述形式化为20120n n n n n a x a a x a x a x ∞==+++++∑称为在0点的幂级数。
2、幂级数的和函数若对幂级数中的x ∀都有230123()a a x a x a x s x ++++=，则称()s x 为幂级数的和函数。
幂级数的部分和记为230123()nn n s x a a x a x a x a x =+++++且部分和()n s x 有如下性质lim ()()nn s x s x →∞=二、幂级数收敛的判别幂级数求和是建立在级数收敛的基础上的，所以需先判断一个级数是否收 敛，可以通过以下定理判断级数收敛性。
数学分析学年论文隐函数有关定理及其应用
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)前言 (1)1 隐函数 (1)1.1隐函数的定义 (1)1.2. 隐函数存在定理 (2)1.3. 隐函数的可导条件 (2)2.隐函数组 (4)2.1 隐函数组概念 (4)2.2 隐函数组存在条件 (4)3 隐函数的几何应用 (6)3.1 平面曲线的切线与法线 (6)3.2 空间曲线的切线与法平面 (6)3.3空间曲面的切平面与法线 (8)参考文献 (9)摘 要：本文主要介绍了隐函数与隐函数组的相关定理,并讨论了此类定理在求平面的法线及切平面方面的应用.关键词：隐函数;唯一性;隐函数组;可微性Theorem and application of Implicit functionAbstract ：we will discussion of Implicit function existence,and differentiability and the Geometry application in the solution of the normal to plane and tangent plant.Keywords :Implicit function; uniqueness; implicit function group; differentiable前言这篇论文我们将重点介绍有关隐函数定理的的条件及隐函数存在的条件,掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用,会把实际问题抽象为条件极值并予以解决,这样既是解决实际问题的需要,也为后来的函数系统的完善打下基础.1 隐函数1.1隐函数的定义设,X R Y R ⊂⊂,函数:.F X Y R ⨯→对于方程(,)0F x y = ()1若存在集合I X J Y ⊂⊂与对于任何x I ∈,恒有唯一确定的y J ∈,它与x 一起满足方程(1),则称由方程(1)确定一个在I 上,值域含于J 的隐函数.若把它记为(),,,f x y x I y J =∈∈则成立恒等式(,())0F x f x ≡,x I ∈.例如方程10xy y +-=能确定一个定义在(,1)(1,)-∞-⋃-+∞上的隐函数.1.2. 隐函数存在定理（1） 定理1 若满足下列条件隐函数的存在定理。
学年论文-数学分析七大定理的相互证明
云南大学课题名称：数学分析七大定理的相互证明学院：数学与统计专业：信息与计算科学指导教师：何清海学生姓名：段飞龙学生学号：20101910050目录摘要………………………………………………………………………………………关键词……………………………………………………………………………………前言………………………………………………………………………………………结论………………………………………………………………………………………参考文献…………………………………………………………………………………摘要：数学分析中的单调有界性定理、闭区间套定理、确界存在性定理、有限覆盖定理、Weierstrass聚点定理、致密性定理以及柯西收敛准则，虽然他们的数学形式不同，但他们都描述了实数集的连续性，在数学分析中有着举足轻重的作用。
关键词：单调有界性定理闭区间套定理确界存在性定理有限覆盖定理Weierstrass聚点定理致密性定理柯西收敛准则前言：一、七大定理定理 1 单调有界性定理（1）、上确界上确界的定义“上确界”的概念是数学分析中最基本的概念。
考虑一个实数集合M. 如果有一个实数S ，使得M 中任何数都不超过S,那么就称S 是M 的一个上界。
在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称为M 的上确界。
一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个。
上确界的数学定义有界集合S ，如果β满足以下条件①对一切S x ∈，有β≤X ，即β是S 的上界；②对任意βα<，存在S x ∈，使得α>x ，即β又是S 的最小上界， 则称β为集合S 的上确界，记作S sup =β（同理可知下确界的定义）在实数理论中最基本的一条公理就是所谓的确界原理：“任何有上界(下界）的非空数集必存在上确界（下确界）”。
上确界的证明(1)每一个 X x ∈满足不等式m x ≤ ;(2) 对于任何的 0>ε, 存在有X x ∈', 使ε->M x ' 则数{}x M sup = 称为集合X 的上确界。
数分论文
数学分析论文412114000216 景薇方正文引言在刚开始学习数学分析的时候，很容易急躁，急躁的原因是我们很难掌握数学分析这门知识。
数学分析的特点就是枯燥，尤其是在深入挖掘的情况下。
但是，数学分析却是我们学期其他知识的基础。
南无我们必须学好这门知识，而学习数学分析者们知识并不是索然无趣的，实际掌握这门学科，就不能眉毛胡子一把抓，而应该掌握一些学习数学分析的基本的方法，形成一种分析性的思维方式。
深入了解之后，加上一些必要的习题，相信就会对数学分析产生一些相应的兴趣。
毕竟，数学分析是一种体现分析的理性之美的学科，是一门很锻炼思维的理性学科。
下面我将浅谈几个微分中值定理的之间联系摘要了解几个微分中值定理，及他们之间的联系；掌握这几个中值定理的推导过程，能够熟练的辨别他们区别。
关键词：微分；中值定理；罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；联系一、几个微分中值定理1、罗尔（Rolle）中值定理若函数f 满足如下条件：（i ）f 在闭区间[],a b 上连续；（ii ）f 在开区间(),a b 内可导；（iii ）()()f a f b =则在(),a b 内至少存在一点，使得ξ'()0f ξ=几何意义：罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于x 轴的切线，且两端点的纵坐标相等。
而定理结论表明， 弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的.[注意]：（1）定理中的条件是充分的，但非必要的。
（2）导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）2、拉格朗日（Lagrange ）中值定理若函数f 满足如下条件： （i ）f 在闭区间[],a b 上连续；（ii ）f 在开区间(),a b 内可导； （iii ）()()f a f b =，则在(),a b 内至少存在一点，使得ξ ()()'()f b f a b a f ξ--=.拉格朗日定理是罗尔定理的推广。
初中学生学习数学分析论文
初中学生学习数学分析论文一、初中学生数学学习状况分析（一）学生数学学习的心理分析1.学生的数学学习无目的、无计划、无标准要求。
对学了什么,应掌握什么,有什么作用是茫然的,有的学生竟说“成绩好有什么用,给我多少奖金”,学习具有盲目性。
2.学生对数学学习不主动、自觉性差,对学习内容的理解和学习任务的完成是被动消极的,学习本是自己的事,却常推委、拖拉或希望同学帮忙,所以同学间常出现抄作业现象,学习具有依赖性。
3.学生有上进的心理,但缺乏勤奋刻苦的学习精神,学习兴趣不浓也不愿培养,不作意志努力,学习中思想常常走神或学习时间内干其他事情,具有学习意志不坚定性。
4.学生学习有了一知半解就感到满足,但遇到困难又垂头伤气,遇难而退或绕道而行,得过且过,致使部分学生学习成绩难以提高,甚至下滑,学习缺乏思想性。
5.学生学习不注重方法,不讲求逻辑联系,分析问题思路杂乱,表达东拼西凑,思维不严谨。
明知这方面过不了关,但也不思改进,学习具有随意性。
(二)学生课堂学习的状况分析1.好动,爱讲话,课堂注意力难持久,自控能力差。
2.数学思维简单;形象思维难建立,抽象思维无基础,针对问题常常冲口而出,答非所问。
3.学习的交流、讨论往往人云亦云,难树己见,思维的闪光点往往在不坚持中一错而过。
思维也就在一次次放弃中养成惰性。
4.观察分析无耐性,不细心,往往被问题的表面现象或假象所迷惑,难以拨云见日,难以感受尝试成功的刺激。
5.会的嫌简单,稍难又嫌烦,总不想动手。
对于较繁的式子,较困难的图形就不于理睬,放置一旁,再遇类似问题,似曾相识,动手就困难。
（三）学生数学学习的思维特征分析1.孤立少联系.学生学习中常常割裂所学知识,分化所学内容,孤立地认识理解问题,如；多项式计算脱离有理数的计算基础,导致运算错误常在符号上。
根式化简不以分式化简为前提,在方法上不能有效迁移。
同时对问题的认识和知识的理解往往绝限于某一范围或某个方面,难以拓宽范围,扩大认识面。
数学学年论文毕业论文求极限的方法
在数学中，极限是一种重要的概念，能够帮助我们研究函数和序列的性质。
求解极限是数学学年论文或毕业论文中的一部分。
下面我将介绍几种常用的求极限的方法。
一、代入法代入法是求解极限最为简单的方法之一，其基本思想是将极限中的变量替换为一些特定的常数值，然后计算函数在该值处的函数值。
如果该函数在该点的函数值存在，则该值即为极限值。
二、夹逼定理夹逼定理是数学分析中常用的一种方法，可以用来求解一些函数在其中一点处的极限。
夹逼定理的原理是，如果一个函数f(x)在其中一点x0附近能够找到两个较为简单的函数g(x)和h(x)，并且满足g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，那么在x0处，这三个函数的极限也有相应的关系，即lim(g(x)) ≤ lim(f(x)) ≤ lim(h(x))。
三、无穷小量法无穷小量法是求解极限的一种重要方法，它的原理是当变量趋向无穷大或者趋向零时，一些函数的变化可以近似看作是一个无穷小量。
通过将待求极限中的变量作适当的变换，将其表示为无穷小量与一些已知极限之间的关系，然后求解已知极限，最后根据变换的关系得到待求极限。
四、洛必达法则洛必达法则是求解极限中常用的方法之一，其基本思想是用导数的求导法则来求解函数的极限。
具体来说，如果在其中一点x=a处，函数f(x)和g(x)都满足条件lim(f(x))=lim(g(x))=0或lim(f(x))=lim(g(x))=∞，且g'(x)≠0，则该极限lim(f(x)/g(x))存在。
通过求解lim(f'(x)/g'(x))，可以得到lim(f(x)/g(x))的值。
五、级数展开法级数展开法是一种将待求极限变换为级数求和的方法，它适用于一些函数无法直接求解极限的情况。
通过将函数f(x)在其中一点进行泰勒级数展开，然后利用级数的性质，可以得到该函数在该点处的极限。
在实际应用中，以上多种方法可以相互结合使用，根据具体问题的性质来选择合适的方法。
数学分析论文
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)前言 (1)1立体体积 (1)2曲面的面积 (2)3物体的重心 (3)4物体的转动惯量 (6)5物体的引力 (7)结语 (8)参考文献 (8)重庆三峡学院数学分析课程论文重积分的应用院系：数学与统计学院专业：数学与应用数学（师范）姓名：李林年级：2009级学号：200904014215指导老师：王平（教授）2011年5月重积分的应用李林摘 要：重积分主要用来解决实际问题，在本文中，我总结一下学习中遇到的重积分的应用，比如求空间立体的体积，空间物体的质量及在几何和物理方面的应用，并用实例加以说明.关键词：重积分；曲面面积；重心；转动惯量；引力；应用引言学习重积分，主要掌握重积分的计算和应用，用重积分的思想解决实际问题，而计算又涵盖在应用中，我归纳其应用如下：1 具体应用 1.1.立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面()y x f z ,=,()D y x ∈,,则其体积为()dxdyy x f V D⎰⎰=,占有空间有界域 Ω 的立体的体积为⎰⎰=Ddxdydz V .例1 求曲面1:221++=y x z S 任一点的切平面与曲面222:y x z S +=所围立体的体积V .解 曲面1S 在点()000,,z y x 的切平面方程为22000122y x y y x x z --++=. 它与曲面22y x z +=的交线在xoy 面上的投影为()()12020=-+-y y x x （记所围域为D ）.[]⎰⎰----++=∴Ddxdy y x y x y y x x V 22202000122()()()[]⎰⎰-+--=Ddxdy y y x x 221.令θcos 0r x x =- θs i n 0r y y =-. 原式θπrdrd r D⋅-=⎰⎰2dr r d ⎰⎰-=1320πθπ2π=.例2 求半径为a 的球面与半顶角为α的内接锥面所围成的立体的体积.解 在球坐标系下空间立体所占区域为.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωπθαϕϕ200cos 20:a rdr d d r dv ϕθϕsin 2=.则立体体积为⎰⎰⎰Ω=dxdydz Vr d r d a ⎰⎰⎰=παϕϕθ20c o s202s i n⎰=αϕϕϕπ033s i n c o s 316d a()απ43c o s 134-=a . 1.2.曲面的面积设光滑曲面()y x f z S ,:=，()D y x ∈,，则面积A 可看成曲面上各点()z y x M ,,处小切平面的面积dA 无限积累而成.设它在D 上的投影为σd ，则dA d ⋅=γσcos()()y x f y x fyx,,11cos 22++=γ.()()∂++=d y x f y x f dA y x ,,122（称为面积元素）.故有曲面面积公式()()∂++=⎰⎰d y x f y x f A Dy x ,,122.即dxdy y z x z A D⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=221. 若光滑曲面方程为()z y g x ,=，()yz D z y ∈,，则有dydz y z x z A yzD ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=221. 若光滑曲面方程为()x z h y ,=，()zx D x z ∈,，则有dydz y z x z A yzD ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=221. 若光滑曲面为隐式()0,,=z y x F ，且0≠z F ，则z x F F x z-=∂∂，zy F F y z -=∂∂，()xy D y x ∈,.dxdy F F F F A xyD zz y x ⎰⎰++=∴222.例3求半径为a 的球的表面积. 解 利用球坐标方程 设球面方程为a r =.球面面积元素为θϕϕd d a dA sin 2=.⎰⎰==∴πππϕϕθ022024sin a d d aA .例4 计算双曲抛物面xy z =被柱面222R y x =+所截出的面积A . 解 曲面在xoy 面上投影为222:R y x D ≤+,则dxdy z z A Dy x ⎰⎰++=221.dxdy y x A D⎰⎰++=221r d rr d R⎰⎰+=πθ2021 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=1132232Rπ.1.3. 物体的重心设空间有n 个质点,分别位于()k k k z y x ,,,其质量反别为()n k m k ,2,1 =,由力学知,该质点系的重心坐标为∑∑===nk knk kk mmx x 11.∑∑===nk knk kk mmy y 11.∑∑===nk knk kkmmz z 11.设物体占有空间域Ω,有连续密度函数()z y x ,,ρ则采用 大化小 常代变 取极限 可求出其重心公式 即:把Ω分成n 小块,在第k 块上任取一点()k k k ζηξ,,,将第k 块看作质量集中于点()k k k ζηξ,,的质点,此质点系的重心坐标就近似该物体的重心坐标.若()()∑∑==∆∆≈nk kk k knk kk k kk v v x 11,,,,ζηξρζηξρξ 令各小区域的最大直径0→λ，即得()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydzz y x dxdydz z y x x x ,,,,ρρ.同理可得()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydzz y x dxdydz z y x y y ,,,,ρρ.()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydzz y x dxdydz z y x z z ,,,,ρρ.当()≡z y x ,,ρ常数时，则有：Vxdxdydzx ⎰⎰⎰Ω=.Vydxdydzy ⎰⎰⎰Ω=.Vzdxdydzz ⎰⎰⎰Ω=（⎰⎰⎰Ω=dxdydz V 为Ω的体积）.若物体为占有xoy 面上区域D 的平面薄片，其面密度为()y x ,μ，则它的重心()()⎰⎰⎰⎰=DDdxdyy x dxdyy x x x ,,μμ()()⎰⎰⎰⎰=DDdxdyy x dxdyy x y y ,,μμ.当=ρ常数时，则有Axdxdyx D⎰⎰=Ay d x d yy D⎰⎰=（A 为D 的面积）.例5 求位于两圆θsin 2=r 和θsin 4=r 之间均匀薄片的重心. 解 利用对称性可知0=x .而⎰⎰=Dydxdy A y 1θθπd r d rDs i n 312⎰⎰=dr r d ⎰⎰=θθπθθρsin 4sin 220sin 31θθππd ⎰=04s i n 956 θθππd ⎰⋅=204s i n 2956 2212956ππ⋅⋅⋅= 37=.例6 一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为()2239z z x -=，30≤≤z 若炉内储有高为h 的均匀钢液,不计炉体的自重,求它的重心.解 利用对称性可知重心在z 轴上 故其坐标为0==y x ,Vzdxdydzz ⎰⎰⎰Ω=.采用柱坐标,则炉壁方程为()2239z z r -=,. 因此⎰⎰⎰Ω=dxdydz V ⎰⎰⎰⎰Ω=zdxdy dz h 0()dz z z h239-=⎰π⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=23412299h h h π. ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=zdxdy zdz zdxdydz h()dz z z h22039-=⎰π⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=23512339h h h π. 225409043060hh h h h z +-+-=∴. 1.4. 物体的转动惯量因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算. 设物体占有空间区域Ω,有连续分布的密度函数()z y x ,,ρ,该物体位于()z y x ,,处的微元对z 的转动惯量为()()dv z y x y x dI z ,,22ρ+=因此物体对z轴的转动惯量()()⎰⎰⎰Ω+=dxdydz z y x y x I z ,,22ρ.类似可得对x 轴的转动惯量()()⎰⎰⎰Ω+=dxdydz z y x z yI x ,,22ρ. 对y 轴的转动惯量()()⎰⎰⎰Ω+=dxdydz z y x z xI y ,,22ρ.对原点的转动惯量()()⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y x z y xo ,,222ρ.如果物体是平面薄片,面密度为()y x ,μ，()D y x ∈,则转动惯量的表达式是二重积分.()dxdy y x y I x ,2μ⎰⎰Ω=()dxdy y x x I y ,2μ⎰⎰Ω=()()dxdy y x y x I o ,22μ⎰⎰Ω+=.例7 求半径为a 的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量.解 建立坐标系如图所示 ⎩⎨⎧≥≤+0:222y a y x D .⎰⎰=Dx dxdy y I 2μθθμdrd r D23sin ⎰⎰=dr r d a⎰⎰=0302sin θθμπ2212414πμ⋅⋅⋅=a . 半圈薄片的质量μπ221a M =241Ma I x =∴. 例8 求均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量.解 取球心为原点, z 轴为l 轴,设球所占域为2222:a z y x ≤++Ω,则()dxdydzy x I z ρ⎰⎰⎰Ω+=22()θϕϕθϕθϕρd drd r r r sin sin sin cos sin 2222222⋅+=⎰⎰⎰Ωdr r d d a⎰⎰⎰=040320sin ϕϕθρππ1322525⋅⋅⋅=a πρM a 252=(ρπ334a M =).1.5. 物体的引力设物体占有空间区域Ω,其密度函数()z y x ,,ρ连续,物体对位于原点的单位质量质点的引力()z y x F F F F ,,=.利用元素法,引力元素在三坐标轴上的投影分别是()dv rxz y x GdF x 3,,ρ=()dv r yz y x GdF y 3,,ρ=()dv rz z y x G dF z 3,,ρ=222z y x r ++=G 为引力常数. 在上积分即得各引力分量:()dv rxz y x G F x ⎰⎰⎰Ω=3,,ρ()dv r yz y x G F y ⎰⎰⎰Ω=3,,ρ()dv rzz y x G F z ⎰⎰⎰Ω=3,,ρ.对xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点的引力分量为()σρμd xy x G F Dx ⎰⎰⎰=3,. ()σρμd y y x G F Dy ⎰⎰⎰=3, (22y x +=ρ). 例9 设密度函数为μ,半径为R 的圆形薄片222R y x ≤+,0=z ,求它对于位于点()a M ,0,00()0>a 处的单位质量质点的引力.解 由对称性知引力()z F F ,0,0= d a d d G dF z ⋅-=2σμ()23222a y x d Ga ++-=σμ()⎰⎰++-=∴Dz a y x d Ga F 23222σμ()⎰⎰+-=Rarrdrd Ga 0232220πθμ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=a a R Ga 11222μπ. 例10 求半径为R 的均匀球2222R z y x ≤++对位于点()()R a a M >,0,00的单位质量质点的引力.解 利用对称性知引力分量0==y x F F()[]dv a z y xaz G F z 23222-++-=⎰⎰⎰Ωρ()()[]⎰⎰⎰-++-=-zD RRa z y xdxdydz a z G 23222ρ()()[]⎰⎰⎰---+-=220232220z R R Ra z rrdrd dz a z G πθρ()dz a az R z a a z G RR⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----=⎰-222112ρπ ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----=⎰-222122a az R d a z a R G R R ρπ2a M G -=(ρπ343R M =为球的质量).参考文献：1王贵鹏. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001年6月.2 田国华. 数学分析辅导及习题全解[M]. 北京: 人民日报出版社, 2007年8月.3 闫晓红,王贵鹏. 数学分析全程导学及学习习题全解[M]. 北京: 中国时代经济出版社,2006年3月.4 强文久,李元章,黄雯荣. 数学分析的基本概念与方法[M]. 上海: 高等教育出版社, 1989年4月.5 刘玉莲,傅沛仁,林钉,苑德馨. 数学分析讲义[M]. 北京: 高等教育出版社, 2008年4月.The application of the heavy integralLiLin(Second class of Grand 2009， mathematics and applied mathematics college of mathematics and ststistics Chongqing Three Gorges University （404000）)Abstract : Heavy integral is mainly used to solve practical problems, in this article, I encountered in the study summarized the application, such as heavy points for three-dimensional volume, space objectsin the quality and the applications of geometry and physics, and some examples to illustrate. Key words: Heavy integral; Surface area; Gravity; Inertia; Gravity;Application.10。
(整理)数学分析论文(1)求极限
班级名称： 应用数学2班 学号： 200940510212 姓名：怀听听探讨求极限的若干方法引言：极限是数学中一项常用的“工具”，是学习数学必要掌握的方法之一，下面我们就来探讨一下求极限的几种方法：夹逼原理、常用极限法、等价无穷小量与无穷大量法则、洛比达法则、泰勒公式替代法、定积分法、连续性法。
求极限有很多方法，还有有关级数方面的求法等，在此不作讨论。
1、夹逼原理求极限夹逼原理：设数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足n n n a b c ≤≤，且lim lim n n x x a c a →∞→∞==，则lim n x b a →∞=例题：求（1）()1lim12n n x n n→∞+++;(2) 222111lim 12x n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭ (3) ()13521lim2462x n n→∞⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯解：（1）因为()()()11111112n n nn n n n n n nnn+++<+++<+++，即()1112n n n n n n<+++<；而lim 1n x n →∞=；所以由夹逼原理得：()1lim121n n x n n→∞+++= （2）因为222221111121n n n nn n n nn <+++<<+++++，而 2lim1x nn n →∞=+，所以222111lim 112x n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ （3）设()135211352124622462n n n u n n⨯⨯⨯⨯--==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯， 则有12422242235213521n n nu n n -⨯⨯⨯⨯<<⨯⨯⨯-+， 将不等式同乘以n u 得21112221n u n n ⨯<<+；即有11221n u n n <<+而11limlim0221x x nn →∞→∞==+ 因此()13521lim02462x n n→∞⨯⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯⨯2、常用极限法常用极限：（1）0sin lim 1x x x →=；（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭例题：求（1）201cos limx x x →-；（2）2lim cos n n n π→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭ 解：（1）22220002sin sin 1cos 1122lim lim lim 222x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪ ⎪⎝⎭（2）2221cos 1cos 1lim cos lim 1cos 1lim 1cos 1n n n n n n x n n n n πππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭-→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦又因为2222222sin sin 22lim cos 1lim lim 1222n n n n n n n n n ππππππ→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭； 所以222lim cos n n e n ππ-→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭3、等价无穷法求极限 等价无穷小量：若()()lim1x x x x f g →=，则称f 与g 是当0x x →时的等价无穷小量。
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学年论文题目：学生：学号：院（系）：专业：指导教师：2011 年月日浅谈微积分以及如何学好数学分析什么是微积分？它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。
整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。
微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。
我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。
微积分的基本原理告诉我们求导和积分是互逆的运算，微积分的精髓告诉我们我们之所以可以解决很多非线性问题，本质的原因在于我们化曲为直了，现实生活中我们会遇到很多非线性问题，那么解决这样的问题有没有统一的方法呢？经过研究思考和总结，我认为，微积分的基本方法在于：先微分，后积分。
定理：如果函数F(x)是连续函数，则f(x)在区间[a,b]上的一个原函数.牛顿--莱布尼兹公式公式进一步揭示了定积分与原函数(不定积分）之间的联系。
它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一个原函数在[a,b]上的增量。
因此它就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。
通常也把牛顿--莱布尼兹公式称作微积分基本公式微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。
积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。
要学好微积分，我觉得应该注意以下3个方面：1、基本概念常常是这样,理解概念比理解定理更困难,而且更基本.概念不清前进.理解概念要从两个方面入手.一是概念的内涵,一是概念的外延.概念的内涵就是概念的基本属性.概念的外延就是概念所概括的一切对象.微积分的基本概念有五个:函数,极限,导数,微分和定积分.函数概念讲的是两个实数集合间的对应关系.首先使用函数一词的是莱布尼兹,在1692年的论文中他第一次提出函数这一概念.随着数学的发展,函数的定义不断改进和明确.最先将函数概念公式化的是约翰.伯努利,他在1718年说:"一个变量的函数是指由这个变量和常量以任意一种方式组成的一种量."欧拉将伯努利的思想进一步解析化.在《无限小分析引论》(1748)中,他将函数定义为"变量的函数是一个由该变量与一些常数以任意方式组成的解析表达式.并明确宣布:"数学分析是关于函数的科学."微积分被视为建立的微分基础上的函数论.欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位.在这一定义的基础上,函数概念本身大大丰富了.欧拉还明确区分了代数函数与超越函数.他把超越函数看成是用无穷多次算术运算得到的表达式,即用无穷级数表示的函数.第一个给出函数一般定义的是狄里克雷.并且给出了一个不能画出图形的函数,即狄里克雷函数.狄里克雷的定义使函数概念摆脱了公式的束缚是函数概念现代化进程中重要的一步.极限概念描述函数在一定变化过程中的终极状态.朴素的,直观的极限思想在古代已经诞生.随着微积分的诞生,对极限概念的要求越来越高.但牛顿,莱布尼兹的极限概念是模糊的.到19世纪,当数学家们转向微积分基础的重建是,极限概念才置于严密的理论基础之上.现在使用的定义是柯西和魏尔斯特拉斯给出的.在柯西的基础上,魏尔斯特拉斯创造了语言.这种语言实质上是将动态过程静态化,就像电影与它的胶片的关系.极限概念要解决的主要矛盾是近似与精确的矛盾.圆周率的计算史清楚地说明了这一点.面积,体积,弧长以及质量,转动惯量等的计算都涉及到近似与精确的处理.导数,微分和定积分所解决的问题都是一种特殊的极限问题,都是要解决近似与精确的矛盾的.因而从这个意义上讲,微积分是逼近的学问.相对而言,代数是归纳的学问.代数定理的证明多用归纳法.2、基本运算微积分最基础的运算是,四则运算,函数的复合运算与极限运算.函数的复合运算是新运算,从基本初等函数出发,借助复合运算与四则运算产生全部初等函数.极限运算引申出求导,求微分和求积分的运算.极限运算是初等数学与高等数学的分水岭,它使求导运算和积分运算回归到四则运算.微分法则中最重要的是锁链法则:1)它解决了全部初等函数的求导问题;2)隐函数与反函数求导法是它的推论;3)引出一阶微分形式不变性,免除了自变量与因变量的区别,而获得了极大自由.4)一阶微分形式不变性构成积分学中换元积分法的基础.微积分的基础：微积分是关于函数的学问.一元微积分中的任何函数都含有两个变量,一个是自变量,一个是因变量.不管是自变量,还是因变量都取实数值.因而,微积分是建立的实数论的基础上的,而且它涉及到一切形式的实数:整数,有理数与无理数等.所以,人们必须弄清实数的结构和性质,才能放心大胆地使用它们.这就是说,对微积分而言,建立实数理论是必要的.但事实上并不如此,数学家们先是糊里糊涂地用,直到出了问题才想到去建立实数理论.实数理论是在19世纪后期建立的,有了实数论微积分就有了严密的基础.大家知道,由有理数构成的序列,它的极限不一定是有理数.人们自然会问,由实数组成的序列,它的极限一定是实数吗?这就是实数论所研究的一个重要问题.答案是,实数序列的极限一定是实数.这件事为什么重要?理由是明显的.导数和定积分都是用极限定义的,这些极限存在吗?它们是实数吗?微积分没有回答这个问题.如果它们的极限不存在,或者存在而不是实数,微积分不就变成空中楼阁了吗?所以这个问题是至关重要的问题.3、定理数学是解决问题的艺术.与其他科学家不同的是,数学家有一个专门名词来表达他们对某个问题的解决—那就是定理.如何学好定理?我们提出五个怎样:怎样发现定理;怎样证明定理;怎样理解定理;怎样应用定理;怎样推广定理.如果你能够从这五方面考察一个定理,你就会对定理有一个较为全面的理解.微积分中的主要定理都有明显的几何意义,或物理意义.学习这些定理一定要结合它们的实际背景,方能学得深.在微积分中什么定理最重要?答案是,微积分基本定理.它相当于数论中的算术基本定理,与代数中的代数基本定理.微积分基本定理的发现终于将微分学与积分学这两大分支连成一个整体.在函数部分,一个需要强调的重要定理是反函数存在定理.有了反函数存在定理,就可以从指数函数出发去定义对数函数,从三角函数出发去定义反三角函数.可见,反函数存在定理是产生新函数的工具.在极限理论中,有两个重要极限.它们分别是三角函数求导公式和对数函数求导公式的基础.在微积分中有两个重要常数,即和.与指数函数和对数函数密切相关,而与面积和体积密切相关.在微分学中,拉格朗日中值定理起着核心的作用,它是研究函数性质的主要工具,借助函数在一点的性质,表达了函数的某种整体性质.洛必达法则为求不定型极限提供了方便而有力的工具.数学分析，是一门深奥而又有趣的课程。
如果增加对这门课程的自信心，不要畏惧它，你会很容易接受这门课，你也会发觉其实这门课程并不难，这对于学好数学是一个非常必要的条件。
培根说，“数学是科学的大门和钥匙。
”的确，数学是科学技术的基础。
数学分析与应用数学（包括线性代数、概率论与数理统计、复变函数、数学物理方程，等等）是各专业的重要基础理论课。
在会计专业里，比如财务成本管理，审计，评估，管理会计，……等等科目里都有高等数学的影子；在经济学领域里，更是如此。
无论微观经济还是宏观经济的经典理论里都有高等数学的烙印。
大凡经济学大家们，数学功底都极深。
比如，约翰·纳什，萨缪尔逊，中国的茅于轼，……都是数学家或者有相当深厚的数学功底。
即使是有些敌视数理经济学的张五常，也免不了要创造一个“张式数学”（这是俺给的名字）来加强论文说服力和逻辑性。
数学学科的特点是高度的抽象理论与严密的逻辑推理，要通过学习数学提高抽象思维能力，逻辑推理能力，数学运算能力以及应用数学解决实际问题的能力。
任何一门数学课的内容都是由基本概念(定义)、基本理论(性质与定理)、基本运算(计算)及应用四部分组成，要学好数学就要在这四个部分上认真钻研刻苦努力，多下功夫。
基本概念要清楚，要读懂，要理解透彻、叙述准确，不能似是而非、一知半解。
数学分析的推理完全靠基本概念，基本概念不清楚，很多内容就学不懂，无法掌握和运用。
例如，线性代数中向量组的线性相关性、线性无关性，向量组的秩与极大无关组，矩阵的相似对角形等，初学者往往掌握不深不透，这就要通过复习与作习题的过程中逐步深入、反复思考、彻底读懂。
基本理论是数学分析推理论证的核心，是由一些概念、性质与定理组成的，有些定理并不要求每位初学者都会证明，但定理的条件和结论一定要清楚，要熟悉定理并学会使用定理，有些内容是必须牢记的。
例如，矩阵的初等变换是线性代数的重要内容之一。
求逆方阵、求矩阵的秩，解线性方程组等都离不开矩阵的初等变换，要懂得其中的道理，为什么可以用初等变换解决以上问题，理论依据是什么？是作初等行变换还是列变换。
又如，线性方程组解的存在定理及解的结构定理，判断向量组线性相关与线性无关的有关定理，都是必须牢记的。
在概率论的学习中，微积分知识对于理解概率统计的理论很重要。
掌握数学分析概念和理论并学会运用主要靠作题，在读懂了内容后要作题，而且要作一定数量的题，才能不断加深对内容的理解，提高解题能力，熟才能生巧，捷径是没有的，“不作题等于没学数学”这是大家公认的事实。
在解题过程中要不断总结思路和方法，掌握解题规律性，通过作题提高分析问题、解决问题的能力，也就是逐步提高数学分析素养。
要学好数学分析就要认真对待学习的各个环节。
首先是听课，听课要精神集中，如能预习效果会更好，要抓住教师讲课中对问题的分析，作好笔记，学会自己动手，边听边记，特别要记下没有听懂的部分。
第二个环节是复习整理笔记及作题，课下结合教材和笔记进行复习，要对笔记进行整理按自己的思路，整理出这一次课的内容。
在复习好并掌握了内容后再作习题，切忌边翻书边看例题，照猫画虎式地完成练习册上的习题，这样做是收不到任何效果的。
要用作题来检验自己的学习，是真懂了还是没完全懂。
对于没有彻底读懂的地方再反复思考，直到完全读懂。
接着是阶段总结。
每学完一章，自己要作总结。