Duffing方程介绍与仿真应用
杜芬方程
3. k>0，原点是鞍点，坐标( x )处两不动点，是吸引子。整
个相平面被分隔成两个区域，不同区的相点分别流向这两个不 动点。
k<0
k>0
有阻尼有驱动杜芬方程：
d2x dt 2
dx dt
x
x3
F cos t
单周期
双周期
a.讨论阻尼 系数γ的影响
举例：γ=1.5
γ=1.35
γ=1.15
混沌态和非混沌态比较 （初始速度差0.001）
b.讨论驱 动F的影响
γ
c.讨论驱动Ω的影响
杜芬方程的应用
1.微弱信号的检测 2.电机系统的控制 3.应用于保密通信
微弱信号的检测：
检测微弱特征信号的方法是将杜芬 系统的参数设置为临界值，通过观察系 统相图的变化来判断待测信号中是否含 有所要寻找的微弱特征信号。
因为结构的振动频率是表征结构是否有损伤的 重要参考指标之一，故可利用杜芬系统检测微弱 特征信号。
杜芬系统检测微弱特征信号， 一般是根据混沌 系统对特定小信号的敏感性以及对噪声“ 免疫” 的特点来检测的。将杜芬方程中的参数 F设置在 分叉值附近，使系统处于变化的边缘。根据混沌 学理论， 这时噪声对系统的影响很小，而微弱特 征信号对系统状态的 改变起着决定性作用。
电机系统的控制：
电力系统长时间连续运行的稳定性、 可靠性与安全性日益受到重视。
通过对电力系统建模与故障分析，避免电 力系统产生混沌振荡。对提高发电机组系统 的控制质量、改善系统动态过程的品质等方 面有重要的实际意义。
保密通信：
同步混沌系统产生的混沌信号 具有宽带、难以预测的类噪声特性。 这些特性为保密通信开辟了一条新 的途径。
杜芬方程是混沌现象的一个典型例子。
倒摆与Duffing方程
第十讲倒摆与杜芬方程1.倒摆实验1.1倒摆实验演示1.2倒摆的简化模型与运动方程倒摆可以简化成右图的模型,它的运动可以用杜芬方程描述，d 2x dt2+k dx dt−x +x 3=f cos ωt 改变运动阻尼，可以演示运动状态从周期解到混沌的变化。
3.杜芬(Duffing)方程下面用波形图，相图，频谱图和庞加莱截面图（map 图）研究系统的运动。
3.1无阻尼无驱动情形d 2x dt 2−x +x 3=0积分得12 dx dt 2+12 12x 4−x 2 =E所以势能是V =12 12x 4−x 2 这时有三个平衡点，x =0(不稳定平衡点),x =±1(是稳定平衡点)。
1.−0.25<E<0,绕x=期振动动。
（图中E=−2.E=0,对应∞型轨道，是同宿轨道同宿点(0,0)。
3.E>0,绕x=0,±1三个平衡位置的闭轨道，也是周期运动。
图中E=0.2。
>>ezplot(’y^2+x^4/2-x^2’,[-1.6,1.6])>>hold on>>ezplot(’y^2+x^4/2-x^2+0.2’)>>ezplot(’y^2+x^4/2-x^2+0.4’)>>ezplot(’y^2+x^4/2-x^2-0.4’)3.2有阻尼无驱动情形这时的方程成为d2x dt2+kdxdt−x+x3=03.2有阻尼有驱动情形这时的方程成为d2x dt2+kdxdt−x+x3=f cosωt阻尼消耗能量,外部驱动补充能量,系统的运动状态解有周期解或混沌解。
为了掌握运动的整体情况,先画系统的终态解随阻尼系数k 变化的分岔图如下。
（0.5≤k ≤1.5,f =1,ω=1.）function dbd global dx0=0.1;v0=0.1;d0=0.5:0.002:1.5;axis([0.51.5-1.51.5])hold onfor j=1:length(d0)d=d0(j);[t,u]=ode45(@dbdfun,...[0:2*pi/60:60*pi],[x0,v0]);plot(d,u(901:60:1800,2),’r.’);end3.3.1周期解的情形在map 图上，周期1吸引子是一个点，在频谱图是一个频率。
Duffing混沌的轨迹跟踪控制仿真实验
Duffing混沌的轨迹跟踪控制仿真实验作者：颜世玉于清文赵海滨来源：《科技创新导报》2019年第17期摘 ; 要：根据Duffing混沌系统和期望轨迹建立轨迹误差系统，采用线性滑模面和双幂次趋近律设计滑模控制器，并采用滑模控制器进行轨迹跟踪控制。
采用Simulink软件建立仿真实验系统。
仿真结果表明，滑模控制器能够进行Duffing混沌的轨迹跟踪控制，轨迹跟踪误差渐进收敛到零。
关键词：滑模控制器 ;Duffing混沌 ;轨迹跟踪 ;仿真实验中图分类号：TP273 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;文献标识码：A ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;文章编号：1674-098X（2019）06（b）-0009-03Abstract：According to the Duffing chaos and the desired trajectory， trajectory tracking error system is established. The sliding mode controller is designed by linear sliding mode surface and double power reaching law. The sliding mode controller is used for trajectory tracking control. The simulation experiment system was built by Simulink software. The results show that the sliding mode controller can perform trajectory tracking control of Duffing chaos， and the trajectory tracking error converges to zero gradually.Key Words：Sliding mode controller; Duffing chaos; Trajectory tracking; Simulation experiment混沌是非线性系统普遍存在的现象，广泛存在于自然界和人类社会中。
duffing振子检测信号幅值的matlab代码 -回复
duffing振子检测信号幅值的matlab代码-回复Matlab代码: 振子检测信号幅值的Duffing振子模型Duffing振子是一种非线性振动系统，其运动方程可以用以下形式表示：x'' + δx' + αx + βx^3 = γcos(ωt)其中，x(t)表示振子的位移，t表示时间，α、β、γ、δ和ω是常数。
为了计算振子的振幅，我们需要首先解决振子的运动方程。
在Matlab中，可以使用ode45函数来求解常微分方程。
然后，我们可以通过对振子位移的响应进行分析，计算振幅。
以下是一步一步回答的文章，介绍如何使用Matlab代码计算Duffing振子的振幅。
第一步：定义Duffing振子的参数在编写Matlab代码之前，首先需要定义Duffing振子的参数。
这些参数包括α、β、γ、δ和ω。
可以根据具体情况选择适当的参数值。
例如，假设我们选择以下参数值：α= -1β= 1γ= 0.35δ= 0.1ω= 1.4以上参数值可用于编写Matlab代码。
第二步：编写Duffing振子的运动方程在Matlab中，可以使用函数句柄来定义Duffing振子的运动方程。
首先，我们需要定义一个函数，该函数接受振子位移和时间作为输入，并返回振子位移的导数。
以下是定义Duffing振子运动方程的Matlab代码：function dx = duffing_equation(t,x)α= -1;β= 1;γ= 0.35;δ= 0.1;ω= 1.4;dx = [x(2); -δ*x(2) - α*x(1) - β*x(1)^3 + γ*cos(ω*t)];end在上述代码中，dx表示振子位移的导数，即速度。
变量x是振子的状态变量，x(1)表示位移，x(2)表示速度。
函数返回一个包含位移和速度的列向量。
第三步：求解Duffing振子的运动方程编写完Duffing振子的运动方程后，我们可以使用ode45函数来求解振子的运动。
duffing方程的稳定点
duffing方程的稳定点Duffing方程的稳定点Duffing方程是描述非线性振动系统的重要方程之一。
在物理学和工程学中，非线性振动系统的稳定点是研究和分析系统动力学行为的关键。
本文将围绕Duffing方程的稳定点展开讨论，探讨其在科学研究和实际应用中的重要性。
我们来了解一下Duffing方程的表达式。
Duffing方程可以写为如下形式：mx'' + bx' + kx + \alpha x^3 = f(t)其中，m是系统的质量，x是位移，b是阻尼系数，k是刚度系数，\alpha是非线性刚度系数，f(t)是外力。
Duffing方程的一个重要特征是非线性刚度项\alpha x^3，它使得系统的行为具有一定的复杂性。
稳定点是指系统在某一状态下，位移和速度都不再发生变化，保持恒定的状态。
在Duffing方程中，稳定点可以通过解方程 mx'' + bx' + kx + \alpha x^3 = 0 来求解。
由于Duffing方程的非线性特性，稳定点的解析解往往很难得到，通常需要通过数值方法进行求解。
稳定点对于研究非线性振动系统的动力学行为至关重要。
通过分析稳定点的性质，可以得到系统的稳定性、周期性和混沌性等重要信息。
在Duffing方程中，稳定点的性质可以通过相图来展示。
相图是在位移-速度平面上绘制的轨迹图，可以直观地展示系统的运动状态。
当稳定点为不动点时，系统处于平衡状态，位移和速度均为零。
此时，稳定点的性质取决于刚度系数k和阻尼系数b的大小关系。
当阻尼系数b小于临界值时，系统呈现出周期振动的稳定点；当阻尼系数b大于临界值时，稳定点为无穷远点，系统呈现出非周期性的发散振动。
当稳定点为极值点时，系统处于非平衡状态，位移和速度不为零。
此时，稳定点的性质受到非线性刚度系数\alpha的影响，系统可能表现出混沌行为。
除了理论研究，Duffing方程的稳定点在实际应用中也具有重要意义。
duffing方程matlab代码
duffing方程matlab代码Duffing方程是一类非线性振动系统的数学模型，其方程形式为： x'' + δx' + αx + βx^3 = γcos(ωt)其中，x是系统的位移，t是时间，α、β、δ、γ、ω都是常数。
如果你正在研究或者感兴趣于Duffing方程，那么你可能需要一份Duffing方程的Matlab代码。
下面是一份简单的代码示例供参考： % 定义方程的参数alpha = -1;beta = 1;delta = 0.3;gamma = 0.37;omega = 1.2;% 定义初值条件x0 = 0.5;v0 = 0;% 定义积分时间和时间步长tspan = [0 100];dt = 0.01;% 定义初始状态y0 = [x0 v0];% 定义ODE函数f = @(t,y) [y(2); gamma*cos(omega*t) - delta*y(2) - alpha*y(1) - beta*y(1)^3];% 使用ode45函数求解ODE[t,y] = ode45(f,tspan,y0);% 绘制位移随时间的变化曲线figure;plot(t,y(:,1),'LineWidth',2);xlabel('Time');ylabel('Displacement');title('Duffing Equation');% 绘制位移与速度之间的相图figure;plot(y(:,1),y(:,2),'LineWidth',2);xlabel('Displacement');ylabel('Velocity');title('Phase Portrait of Duffing Equation');以上是一个基本的Duffing方程的Matlab代码示例，可以供初学者参考和学习。
duffing方程微弱信号检测算法原理
duffing方程微弱信号检测算法原理一、Duffing方程简介Duffing方程是一种描述受迫振动的非线性微分方程，广泛应用于物理、工程、生物等领域。
在微弱信号检测中，Duffing方程常被用作信号模型，以提取微弱信号中的有用信息。
二、微弱信号检测原理微弱信号检测是指从强噪声环境中提取弱信号的过程。
常用的微弱信号检测方法有匹配滤波法、调制频率法、自相关法等。
在这些方法中，基于Duffing方程的检测算法是一种有效的手段。
该算法通过建立Duffing方程与待测信号的匹配关系，利用其非线性特性实现对微弱信号的检测。
1. 参数估计：首先，根据Duffing方程的参数，如振动幅度、频率、阻尼等，对系统进行参数估计。
这可以通过最小二乘法、卡尔曼滤波等方法实现。
2. 噪声抑制：利用估计得到的参数，通过调整系统参数，实现对噪声的抑制。
这可以通过自适应滤波等方法实现。
3. 微弱信号提取：在噪声抑制的基础上，通过观察Duffing方程的解，寻找与微弱信号匹配的模式，实现对微弱信号的提取。
这需要借助频谱分析、小波变换等工具。
4. 算法实现：在实际应用中，可以根据需要选择合适的数值求解方法（如龙格库塔法）来求解Duffing方程，并采用合适的滤波器来实现噪声抑制和微弱信号提取。
值得注意的是，Duffing方程的非线性特性可能导致其解的不稳定性，因此在实际应用中需要对算法进行稳定性分析和优化。
同时，对于不同的问题和场景，可能需要选择不同的Duffing方程模型和参数估计方法，以适应不同的需求和约束条件。
此外，由于Duffing方程微弱信号检测算法涉及到物理、工程、数学等多个领域的知识，因此在实际应用中需要综合考虑各种因素，并进行充分的实验验证和性能评估。
总之，Duffing方程微弱信号检测算法是一种有效的手段，通过利用Duffing方程的非线性特性，可以实现微弱信号的检测和提取。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的算法和参数估计方法，并进行充分的实验验证和性能评估。
Duffing方程及其解
duffing方程Duffing方程是描述共振现象、调和振动、次调和振动、拟周期振动、概周期振动、奇异吸引子和混沌现象(或随机过程)的简单数学模型。
因此，在非线性振动理论中研究，Duffing 方程具有重要的意义。
Duffing方程是非线性理论中常用的代表性微分方程，尽管是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型，但是其模型具有代表性。
工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程，特别是电工领域的一些问题的研究有重要的意义。
它的标准形式为：>0为阻尼系数。
g(x)是含有三次方项的非线性函数，f(x,t)为一周期函数。
Duffing方程系统是一个典型的非线性振动系统，尽管是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型，但是其模型具有代表性。
工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程来研究，如船的横摇运动、结构振动、化学键的破坏等，横向波动方程的轴向张力扰动模型，转子轴承的动力学方程也与Duffing系统基本相似，另外Duffing系统也非常广泛地被应用到实际工程中，例如尖锐碰摩转子的故障检测、微弱周期信号检测、电力系统周期振荡分析、周期电路系统的模拟与控制等。
关于Duffing系统还有许多问题尚未彻底研究清楚，如Duffing方程的分数谐波振动、超谐波振动、组合振动等等，而且研究结果中规律性的成果可以推广到其他类似系统。
因此从某种角度来说，对非线性Duffing系统的研究是研究许多复杂动力学系统的基础。
本研究首先考虑下列时间尺度上带有狄尼克莱边值条件的Duffing动力学方程{u△△(t)+Cu△(σ(t))-r(t)uσ(t)+f(σ(t),uσ(t))=h(t),t∈[0,σ(T)]KT2,u(0)=0=uσ(T)。
利用变分方法,我们得到了一些保证以上问题至少存在一个解的充分条件。
紧接着.利用Ricceri变分原理以及局部山路引理,我们研究了下列扰动型Duffing方程三个解的存在性:{u"(t)+Cu'(t)+f(t,u(t))+λg(t,u(t))=p(t),t∈[0,T]u(0)=0=u(T)以及无扰动项的Duffing方程三个解的存在性:J Zt”(t)+cu’(t)+t厂(z,u(f))=p(z),t ∈[0,丁],I乱(0)=0:札(丁)。
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非线性电路理论及应用报告 Duffing方程介绍与仿真应用姓名：***学号：**********班级：硕3022班完成时间：2013.12摘 要在非线性振动理论研究中，Duffing 方程是一种具有代表性的微分方程式。
本文首先对Duffing 方程进行了简单介绍，包括其类型以及根据电路的推导等；其次，本文对硬特性的Duffing 方程进行了不同参数下的Matlab 仿真；最后，本文介绍了Duffing 方程的微弱信号频率检测，以Holmes 型Duffing 方程为例进行了分析说明。
关 键 词：Duffing 方程；非线性；Matlab 仿真；混沌；弱信号检测1 Duffing 方程简介非线性振动问题的研究通常包括定性研究与定量研究。
定性研究的主要内容包括方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性的研究等。
著名的 Duffing 方程在非线性动力学系统的研究中占有重要地位。
其特点之一是在 Duffing 方程等号右边加上了外加强迫项，进而形成了非自治非线性系统。
正是由于系统的本征频率与外加周期强迫项的频率的相互作用，才使得该方程中蕴含着极其丰富的内容：倍周期分叉、混沌、清晰大周期等现象[1]。
Duffing 方程的准形式为：22(x)(x,t)d x dx g f dt dtδ++= 其中δ>0为阻尼系数，g(x)是含有三次方项的非线性函数，(x,t)f 为一周期函数。
Duffing 方程通常作如下分类[2]：1. 假设g(x)满足超线性条件||g(x)lim x x→∞=+∞ 则称Duffing 方程是超线性的；2. 假设g(x)满足次线性条件||g(x)lim 0x x→∞= 则称Duffing 方程是次线性的；3. 假设g(x)满足半线性条件||||g(x)g(x)0lim inflim sup x x x x→∞→∞<≤<+∞ 则称Duffing 方程是半线性的。
若将Duffing 方程规范化，有以下四种基本类型[3]：232(t)(t)cos(t)d x dx k x x f dt dt+++= （1-1） 232(t)(t)cos(t)d x dx k x x f dt dt++-= （1-2） 232(t)cos(t)d x dx k x f dt dt++= （1-3） 232(t)(t)cos(t)d x dx k x x f dt dt+-+= （1-4） 其中k 大于零，是阻尼系数，cos(t)f 是系统外力。
式（1-1）称为硬特性杜芬方程；式（1-2）、式（1-4）称为软特性杜芬方程；式（1-3）称为日本型杜芬方程；此外，式（1-4）又称为Holmes 型。
本文选用硬特性杜芬方程进行详细研究。
本节主要讨论如下的硬特性Duffing 方程形式如下：232sin d x dx x x f t dt dtεδεω++=-+ （1-5） 用上述方程来描述的一种并联LC 铁磁混沌振荡电路，其电路图如图 1-1所示。
电路由交流电压源供电。
图1-1并联LC 铁磁混沌振荡电路在图1-1中，非线性电感是一个含铁芯的电感线圈，当电感线圈磁通饱和时，电感电流为：3L i a b ψψ=+ 非线性电感是一个磁通链控制型的电感，是此电路中唯一的非线性器件，而电容C 、电阻R 均为线性器件。
对图1-1可得C d u dtψ= （1-6） 31()[()]C C s du C a b u u t dt Rψψ=-++-+ （1-7） 其中()sin s m u t U t ω=。
为了分析方便，对方程进行归一化处理，令 wt τ= ，d wdt τ=则以上方程（1-6）和（1-7）可以分别被表示为C u d d ψτω= （1-8） 3()()C C s du u u a b d C C CR CRτψψτωωωω=-+-+ （1-9） 又令x ψ=，c u y ω=，则 dx y d τ= 3221()sin m U dy a b x x y d C C CR CRττωωωω=-+-+ 为了分析方便，我们令21a C ω=，21b C ω=，1k CR εω=，2m U f CR εω=，1Rεω= 上式中ε是小参数，则上述方程改写为dx y d τ= （1-10） 3()sin dy x x ky f d εεττ=-+-+ （1-11） 为了便于仿真，我们仍然将τ写为t ，方程 用一个二阶微分方程来表示，即为232sin d x dx x x k f t dt dtεε++=-+ （1-12） 这即为著名的Duffing 方程的第二种形式。
2 Duffing 方程的Matlab 仿真根据公式（1-5），利用Matlab 中的Simulink 模块选用不同的电子元器件，设置不同参数，对其进行仿真模拟。
MATILAB中的Simulink是一个动态系统建模仿真和分析的软件包，它是一种基于MATLAB的框图设计环境，支持线性系统和非线性系统，可以用连续采样时间、离散采样时间或两种混合的采样时间进行建模，它也支持多速率系统，也就是系统中的不同部分具有不同的采样速率。
Simulink中包括许多实现不同功能的模块库，选择不同的模块建模就能模拟出不同的系统[3]。
仿真模型如图2-1所示。
图2-1Simulink模块建立的仿真图像混沌运动最为明显的特征之一就是对初值的敏感性，表现为从任意靠近两个初始值出发的轨道在一定时间区间内将会以指数形式分离，系统的初始值的极其微小的改变，能够使系统的震荡输出产生本质的差异。
对于离散动力学系统而言，可以利用李雅普诺夫指数对这一特征进行很好的说明。
接下来利用仿真模型，选取不同的参数值，对Duffing方程进行仿真分析，结果如图2-1、2-2、2-3、2-4、2-5所示。
(a)波形图(b)平面图图2-1初始值（0，0），0.1k ε=，10f ε=(a)波形图(b)平面图图2-2初始值（0，0），0.1k ε=，20f ε=(a)波形图(b)平面图图2-3初始值（0，0），0.1k ε=，40f ε=(a)波形图(b)平面图图2-4初始值（0，0），0.1k ε=，80f ε=(a)波形图(b)平面图图2-5初始值（0，0），0.1k ε=，92.825f ε=分析以上各图，可以发现当参数发生变化时，系统特性发生变化，波形图和平面图并没有很强的规律性，这反映了确定系统中的不确定性的行为特征。
如图2-5所示，在参数满足0.1k ε=，92.825f ε=的时候，该系统的轨线满足不交率，即两条最大轨线不可能穿过同一常点，因为其解的光滑映射是唯一的，所以其轨线在相空间只能缠绕而不会相交，这时系统出现混沌现象。
3 基于Duffing 方程的微弱信号频率检测微弱信号检测(Weak Signal Detection)是测量技术中的综合技术和尖端领域，由于它能测量传统观念认为不能测到的微弱量，所以才获得迅速发展和普遍重视。
微弱信号检测的目的是利用电子学、信息论和物理学方法，研究被测信号的特点和相干性，检测被背景噪声覆盖的弱信号。
其任务是发展弱信号检测理论，探索新的方法和理论，研究新的检测设备以及在各学科中推广应用[1]。
微弱信号检测方法在故障维修中发挥重要作用。
将微弱信号检测方法引入诊断领域，可以实现故障的早期诊断。
通过故障的早期诊断与预报来实现故障维修方案，从而可以降低设备的寿命周期费用和维修人员的需求。
文献[4]中以Holmes 型Duffing 振子为例进行分析，如公式（1-4）所示，具体形式如下：232(t)(t)cos(t)d x dx k x x dt dtγ+-+= （3-1） 其中系数k 为阻尼比，3(t)(t)x x -+为非线性恢复力，cos(t)γ为周期策动力。
在MATLAB/Simulink 环境下对微弱正弦信号进行混沌检测的系统建模，如图3-1所示。
图3-1频率为1/rad s ω=时的系统仿真模型微弱正弦信号混沌检测原理：首先调节系统策动力幅值γ，取γ =d γ，其中d γ为系统阈值[5]。
使系统处于从混沌状态向大尺度周期状态过渡的临界状态。
当用小幅值的、与周期策动力频率相近的正弦信号以及白噪声对Duffing 混沌振子进行摄动时，系统将从混沌运动状态进入大尺度周期运动状态，通过在计算机上观测混沌系统相轨迹变化，可知待检信号中是否含有所要检测的正弦信号。
此时，我们只要继续调节策动力幅值γ，使得系统再一次处于混沌到大尺度周期的临界状态，得到此时的策动力幅值'd γ，则可求得待测信号的幅值为d 'd a γγ=-。
通过对 Duffing 振子的研究表明，如果待检信号与策动力频率之间存在一个极微小的频率差，系统将会出现混沌状态和周期状态的间歇性混沌现象。
在非线性系统中，无论是时间上还是在空间上，间歇混沌是一种有序和无序交替变化的特殊的动态形式，在一定时间内类似于规律性的周期运动。
从式（3-1）着手进行分析，在方程的右端策动力中加入待测信号，得式（3-2）如下：232(t)(t)(t)d x dx k x x A dt dt+-+= （3-2） 其中：(t)cos cos((1)t )a A t a γωϕ=++∆+ （3-3） a γ为周期策动力的幅值（等于或略小于相轨迹变化临界值d γ），cos((1)t )a ωϕ+∆+表示外界待检测信号，a 为待测信号的幅值，ϕ为其相位。
由式（3-3）可以看出，(t)A 为周期策动力幅值和微弱信号幅值的矢量和，由于频率差ω∆的存在，总的策动力幅值(t)A 将在a γ+a 和a γ-a 之间不断变化。
可以将总策动力表示成矢径合成的形式，如图3-1所示，可以更清楚的看出总策动力的消长规律。
图3-2总策动力的合成矢径图对总策动力(t)A 进行数学变换得：(t)cos cos((1)t )(t)cos(t (t))a A t a γωϕγλ=++∆+=+ （3-4） 其中：(t)γ= （3-5） sin()(t)arctg cos()a a wt a wt ϕλγϕ∆+=+∆+ （3-6） 对公式（3-6）进行分析可得：1. 若0w ∆=，它表示此时待测信号的频率与策动力的频率正好相同。
在这种情况下，当外界待测信号与策动力之间的相位差ϕ满足：arccos()arccos()22a aa a πϕπλλ-≤≤+ （3-7） 就有(t)a γγ≤成立，可以推导出：(t)a d γγγ≤≤，则此时系统始终处于混沌状态。
则外界待测信号与策动力之间的相位差ϕ在式（3-7）范围之外，系统才有可能发生从混沌状态到周期状态的跃迁。
2. 若0w ∆≠，在存在微小频率差的情况下，(t)γ将时而大于混沌周期临界值d γ而进入周期状态，时而小于d γ而进入混沌状态，因而呈现出特定的间歇性混沌现象。