苏教版八年级下册数学[《二次根式》全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]
苏教版八年级下册数学[二次根式(提高)知识点整理及重点题型梳理]
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苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习二次根式（提高）知识讲解【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），（a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，式子(a ≥0)叫做二次根式，“”称为二次根号，a 叫做被开方数．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.要点二、二次根式的性质1.a ≥0，（a ≥0）；2. （a ≥0）；3.. 要点诠释：1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2()(0a a a =≥）.2a 2()a 要注意区别与联系：（1）a 的取值范围不同，2)a 中a ≥02a a 为任意值.（2）a ≥0时，2)a 2a a ；a <0时，2)a 2a a -.【典型例题】类型一、二次根式的概念 1．（2015•启东）若x 、y 为实数，且224412x x y x -+-+=+，求x y x y +-的值．【答案与解析】∵y=，∴x 2﹣4=0，x+2≠0，解得：x=2，∴y=， ∴1137372244224x y x y +-=+⨯-=⨯=． 【总结升华】主要考查了二次根式有意义的条件，得出x ，y 的值是解题关键． 举一反三：【变式】方程480x x y m -+--=，当0y >时，m 的取值范围是（ ）.A ．01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2【答案】C类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)； (2). 【答案与解析】解：(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【二次根式及其乘除法（上）例1(1)(2)】【变式1】x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）y=x -－11+x ,__________；（2）y=222+-x x ，___________.【答案】(1)01001x x x x -+≠∴≠-≥，≤且（2）2222(1)10,x x x x -+=-+>∴为任意实数. 【变式2】问题探究： 因为，所以， 因为，所以 请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==； （2）==． 3.（2016春•濮阳期末）先阅读，后解答：（1）由根式的性质计算下列式子得：①=3，②=，③=，④=5，⑤=0．由上述计算，请写出的结果（a 为任意实数）．（2）利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果：①= ； ②化简：（x ＜2）= ．（3）应用：若+=3，则x 的取值范围是 ． 【思路点拨】（1）将a 分为正数、0、负数三种情况得出结果；（2）①当a=3，14﹣π＜0时，根据（1）中的结论可知，得其相反数﹣a ，即得π﹣3.14；②先将被开方数化为完全平方式，再根据公式得结果；（3）根据（1）式得：+=|x﹣5|+|x﹣8|，然后分三种情况讨论：①当x＜5时，②当5≤x≤8时，③当x＞8时，分别计算，哪一个结果为3，哪一个就是它的取值．【答案与解析】解：（1）=|a|=；（2）①=|3.14﹣π|=π﹣3.14，②（x＜2），=，=|x﹣2|，∵x＜2，∴x﹣2＜0，∴=2﹣x；故答案为：①π﹣3.14，②2﹣x；（3）∵+=|x﹣5|+|x﹣8|，①当x＜5时，x﹣5＜0，x﹣8＜0，所以原式=5﹣x+8﹣x=13﹣2x．②当5≤x≤8时，x﹣5≥0，x﹣8≤0．所以原式=x﹣5+8﹣x=3，③当x＞8时，x﹣5＞0，x﹣8＞0，所以原式=x﹣5+x﹣8=2x﹣13．∵+=3，所以x的取值范围是5≤x≤8，故答案为：5≤x≤8．【总结升华】本题考查了二次根式的性质和化简，明确二次根式的两个性质：①（）2=a（a ≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）；②=|a|=；尤其是第2个性质的运用，注意被开方数是完全平方式时，如第（3）小题，要分情况进行讨论．【二次根式及其乘除法（上）例4】4.已知c b a ,,为三角形的三边， 则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= ．【思路点拨】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边．【答案】a b c ++【解析】c b a ,,为三角形的三边,0,0,0a b c b c a b c a ∴+->--<+->即原式=a b c a c b b c a +-++-++-=a b c ++【总结升华】重点考查二次根式的性质：的同时，复习了三角形三边的性质.。
苏教版八年级下册数学[《二次根式》全章复习与巩固(基础)重点题型巩固练习]
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苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《二次根式》全章复习与巩固（基础）巩固练习一.选择题1．下列式子一定是二次根式的是( ).A ．B ．C ．D ．2.（2016•高青县模拟）若在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥3 B ．x ≤3且x ≠1 C ．1＜x ≤3 D ．x ≥1且x ≠3）.4．下列说法正确的是( ).A ．若，则a ＜0 B ．C ．D ．5的平方根是5．50,x x y -+=-若则的值是( ).A ．-7B ．-5C ．3D ．76．下列各式中，最简二次根式是（ ）.7．（2015•潜江）下列各式计算正确的是（ ） A.+= B.4﹣3=1 C. 2×3=6 D.÷=38．把()a b a b -<化成最简二次根式，正确结果是（ ）.二.填空题9. 计算-=___________. 10.（2015•永州模拟）设m=+1，那么1m m+的整数部分是 ．11．比较大小：.12. a b +的值为___________.13．已知0,_______a b a b <<-=.14 ___________.15．已知数,,a b c 在数轴上的位置如图所示：a cb ++-=__________.16．在实数范围内因式分解：(1)4a + =___________________. (2)=___________________. 三.解答题17．（2015•新疆模拟）计算：﹣﹣（）2+|2﹣|．18.已知：，求的值.19．（2016春•浠水县期末）已知：a=﹣1，求÷﹣的值．20.（2016春•饶平县期末）已知：y=++，求﹣的值．【答案与解析】一.选择题1．【答案】C.【解析】满足二次根式必须被开方数大于等于0，因为x 没有取值范围，所以只有中无论x 取何值22x +≥0，即选C.2．【答案】A. 【解析】解：由题意得：， 解得：x ≥3，故选A ．3．【答案】C .【解析】判断是否是同类二次根式，一定要先化为最简二次根式，再判断.因为=====，所以选C.4．【答案】C .5．【答案】D .【解析】50,x -+=若则50,20x y -=+=，即5,2x y ==-.6．【答案】C .【解析】只有选项C 满足被开方数是整数或是整式；且被开方数中不含能开方的因式或因数.7．【答案】D.【解析】解：A.，无法计算，故此选项错误，B.4﹣3=，故此选项错误，C.2×3=6×3=18，故此选项错误，D.=，此选项正确， 故选D ．8.【答案】D.【解析】((a b a b -=-=，因为a b <，所以原式==二.填空题9. 10.【答案】3.【解析】 解：∵m=+1，∴1m==，∴1mm+=+1+=∵2＜＜2.5∴10＜5＜12.5∴13＜5+3＜15.5∴3＜＜＜15.5÷4＜4∴1mm+的整数部分为3．故答案为：3．11．【答案】<.12．【答案】2.124326ba b a b+=⎧⎨+=-+⎩, 解方程组得11ab=⎧⎨=⎩.13．【答案】b-.a b a a b-=--，又因为0a b<<，所以原式=()a b a a b a b---=--+=-.14．【答案】0.【解析】因为2a-≥0，即2a≤0，即0a=，所以原式=0.15．【答案】0.【解析】由图像知：0,0,0,0,0a cb ac c b<<>+<-<,所以原式=a a c c b b-++--=a a c c b b-++-+-=0.16．【答案】(1)22);(2)三.解答题17.【解析】解：原式=2﹣﹣2+2﹣=．18.【解析】解：∴原式.19.【解析】解：∵a=﹣1，∴a＜2，∴÷﹣======．20.【解析】解：∵+有意义，∴，解得x=8，∴y=++=++=0+0+=∴﹣=﹣=﹣=﹣=﹣=。
八年级数学下册《二次根式》知识点总结
八年级数学下册《二次根式》知识点总结二次根式【知识回顾】.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（）2=（≥0）；（2）5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=•（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】、概念与性质例1下列各式1），其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）；（2）例3、在根式1)，最简二次根式是（）A．1)2)B．3)4)c．1)3)D．1)4)例4、已知：例5、（XX龙岩）已知数a，b，若=b－a，则A.a>bB.a<bc.a≥bD.a≤b2、二次根式的化简与计算例1.将根号外的a移到根号内，得A.；B.－；c.－；D.例2.把（a－b）－1a－b化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：，其中a=，b=．例5、如图，实数、在数轴上的位置，化简：4、比较数值（1）、根式变形法当时，①如果，则；②如果，则。
二次根式章节分类总复习 八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义
第02讲 《二次根式》章节分类总复习考点一 二次根式有意义的条件 知识点睛：1. 二次根式的定义：非负数a 的算术平方根a 叫做二次根式 ☆：二次根式的判断不需要化简，直接根据定义判断即可， 易错类型：因为24=，误认为4不是二次根式2. 二次根式有意义的条件a 中a 叫做被开方数，其中二次根式有意义的条件就是a ≥0；☆1：当二次根式和分式结合时，要注意分式的分母≠0 ☆2：a 的双重非负性⎩⎨⎧≥≥0.0.本身②被开方数①a a ；故有：a 前无“-”，a 本身值不可能是负的 类题训练1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：，，，（x ＞0），，，﹣，，（x ≥0，y ≥0）．【分析】一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式．结合所给式子即可作出判断． 【解答】解：符合二次根式的定义；是三次根式；是分式，不是二次根式； （x ＞0）符合二次根式的定义； 是二次根式； 是四次根式； ﹣符合二次根式的定义； 是分式，不是二次根式；（x ≥0，y ≥0）符合二次根式的定义．2．（2021春•下城区期末）已知二次根式，当x ＝1时，此二次根式的值为（ ） A ．2 B ．±2 C ．4D ．±4【分析】将x的值代入二次根式，然后利用二次根式的性质化简求解．【解答】解：当x＝1时，原式＝，故选：A．3．（2021春•阳谷县期末）已知是整数，则正整数n的最小值是【分析】因为是整数，且＝2，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．【解答】解：∵＝2，且是整数，∴2是整数，即6n是完全平方数；∴n的最小正整数值为6．故答案为：6．4．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是．【分析】二次根式要求被开方数是非负数，即10﹣5x≥0，从而解得x的取值范围．【解答】解：∵是二次根式，∴10﹣5x≥0，∴x≤2．故答案为：x≤2．5．（2021春•余杭区期中）当x＝时，的值最小．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：当x＝3时，此时2x﹣6＝0，的最小值为0，故答案为：36．已知二次根式．（1）求x的取值范围；（2）求当x＝﹣2时，二次根式的值；（3）若二次根式的值为零，求x的值．【分析】（1）根据二次根式的定义得出3﹣x≥0，解之可得答案；（2）将x＝﹣2代入计算可得；（3）当被开方数为0时，二次根式的值即为0，据此列出关于x的方程求解可得．【解答】解：（1）根据题意，得：3﹣x≥0，解得x≤6；（2）当x＝﹣2时，＝＝＝2；（3）∵二次根式的值为零，∴3﹣x＝0，解得x＝6．7.已知x、y为实数，且满足，求5x+|2y﹣1|﹣的值．【分析】先根据二次根式的性质列出不等式组，求出x的取值，再把x的值代入所求代数式即可解答．【解答】解：则；＝＝2．考点二二次根式相关概念知识点睛：1.最简二次根式：满足以下2个条件的二次根式成为最简二次根式①被开方数的因数是整数，因式是整式；②不含开的尽方的因数或因式☆：判断最简二次根式，被开方数的字母部分次数最高为1次，且不含分母二次根式的运算，最后结果都要求必须化为最简二次根式2.同类二次根式：所含被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式类题训练1．（2021秋•桐柏县期中）下列二次根式中的最简二次根式是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【解答】解：A、原式＝3，故A不符合题意．B、原式＝3，故B不符合题意．C、是最简二次根式，故C符合题意．D、原式＝2，故D不符合题意．故选：C．2．把下列根式化成最简二次根式．（1）5（2）6（3）（a＞0）（4）（n＜0）【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（4）直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：（1）5＝5×2＝10；（2）6＝6×＝6×＝；（3）（a＞0）＝5a；（4）（n＜0）＝×＝﹣．3．（2021春•岳麓区校级期末）下列式子能与合并的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝＝4，能与合并，符合题意；B 、＝2，不能与合并，不符合题意；C 、＝，不能与合并，不符合题意；D 、＝，不能与合并，不符合题意；故选：A ． 4．如果最简二次根式与2是同类二次根式，则a ＝ ．【分析】根据同类二次根式的定义列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：∵最简二次根式与2是同类二次根式，∴3a ﹣8＝17﹣2a ， 解得，a ＝5， 故答案为：5．考点三 二次根式的运算知识点睛：二次根式乘法公式：()）（③②）（①0b ,0··)0()0(022≥≥=⎩⎨⎧≤-≥==≥=a b a b a a a a a a a a a a 二次根式除法公式：()()()()ba b a c b a b a b a c ba ca aa ab b ab b a b a b a ba ba --=-+-=+=≥==≥=)0(1)0,0()0,0(＞＞变形公式：＞④类题训练1．（2021秋•拱墅区期中）下列计算正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】根据平方根的性质、立方根的性质以及绝对值的性质即可求出答案． 【解答】解：A 、原式＝0.3，故A 不符合题意．公式①、②、③常用于以下两种题型：（1）化简求值（2）无理数比较大小常见比较大小的三种方式：（1）利用近似值比较大小（2）把系数移到根号内比较（3）分别平方，然后比较大小以上方法注意两数的正负号公式④及其变形常用于分母有理化的化简，即分式的分子分母同乘分母的无理化因式，使分母变为整数。
(完整word版)最新苏教版八年级下册数学第十二章二次根式知识点
第十二章二次根式一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成2232 。
二、二次根式的性质：★（ a ）2（a≥0）与a2的区别与联系：三、代数式用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。
例：3，x，x+y，3x （x≥0），-ab，st（t≠0，x3都是代数式注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等）（1）将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。
如2x+3＞3x-5是关系式。
列代数式的常用方法：（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。
（2）公式法：根据公式列出代数式。
（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。
四、二次根式的乘除1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
五、二次根式的乘法法则a ．b =ab （a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变（1）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。
二次根式全章复习
二次根式全章复习一． 教学衔接二． 教学内容知识点一：二次根式的概念及意义考点１：二次根式的概念：一般地，形如a （ａ≥０）的式子叫做二次根式，其中“”叫做二次根号，ａ叫做被开方数。
考点２．二次根式的非负性：当ａ＞０时，a 表示ａ的算术平方根，因此a ＞０；当ａ＝０时，a 表示０的算术平方根，因此a ＝０，所以a （ａ≥０）总是非负数，即a ≥０。
例１．下列各式中，是二次根式的是（ ） Ａ．34 Ｂ．35）（- Ｃ．a Ｄ．21 例２．下列各式中，是二次根式的有（ ）① x ；②2；③12+x ；④兀；⑤4；⑥39；⑦35-；⑧72；⑨100-． Ａ．３个 Ｂ．４个 Ｃ．５个 Ｄ．６个规律小结：判断一个式子是不是二次根式，要看它是否同时具备两个特征： （１）带有二次根号“”； （２）被开方数为非负数。
例3.根式3-x 中ｘ的取值范围是（ ） Ａ．ｘ≥3 Ｂ．ｘ≤3 Ｃ．ｘ＜3 Ｄ．ｘ＞3例4.若2-a ＋3-b ＝０，则ａ2－２ｂ＝．例5.已知ｙ＝52-x ＋x 25-＋３，则２ｘｙ的值为（ ）Ａ．－１５ Ｂ．１５ Ｃ．－215 Ｄ．215 规律小结：二次根式中涉及两类非负数问题： （１）二次根式a 中被开方数ａ必须是一个非负数，即ａ≥０； （２）二次根式a （ａ≥０）本身的值也是一个非负数，即a ≥０（ａ≥０）．随堂练习：1.当ｘ为何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？（１）24-x ； （２）x 3-； （３）x 58-；（４）1222+x ； （５）52--x ； （６）x x 2+．2.使式子2x -有意义的未知数ｘ有（ ）Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．无数个3.下列式子122++x x ，22+x ，x ，33，5-，9，３2中，哪些是二次根式？4.1+x ＋（ｙ－２０１３）2＝０，则ｘy ＝．5.若ｘ，ｙ为实数，且ｙ＝x x 4312-+＋3412-+x x ＋１，求ｘ＋ｘｙ＋ｘ2ｙ的值。
二次根式知识点总结题型分类复习专用
《二次根式》题型分类知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【典型例题】【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x-+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=举一反三：1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。
已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求12a b ++的值。
若7-3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
若172+的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()()a aa 20=≥．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()20 3.a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系 （1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【典型例题】【例4】若()22340a b c -+-+-=，则=+-c b a ．举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
苏科版八年级下册数学：二次根式复习
3; 2
… …
3求出S12
S
2 2
S32
S120的值.
下课
是 a=-b .
a
3
3
2
2 3
2
3 2
互为有理化因式
七.二次根式加减及混合运算法则： 8.计算：
18 27 - 1 3 4 2
2
(2) 50 - 1 2 20 - 45 1 .
5
2
33
12 3
1 -2 3
3
9.化简求值
(1)已知 a 3 2,b 3 2,求下列各式的值.
1a2b ab2;
2 a b .
ba
(2)已知m是
2 的小数部分,求
m2
1 m2
2
的值.
(3)已知 a 5 2, b 5 2 ，求 a2 b2 7的值.
阅读理解
10.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
2 1 1 2, S1
1; 2
2 2 1 3, S2
2; 2
2 3 1 4, S3
22
x
22
2
五.经过化简以后，被开方数相同的二次根式，叫
做同类二次根式．
5.写出 8 的3个同类二次根式
.
六.乘除法法则及成立条件
6.下列等式中，字母应符合什么条件？
1 a2
2
a
2 x2x 1 x x 1
3
a b2
a b
分母有理化
7.如果 a 1 ,b 3 2 ，那么a与b的关系
32
3; 2
… …
(1)请用含有n(n为正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)OA1= 1 ;OA2= 2 ;OA3= 3 ; ……OAn= n ;
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苏教版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
《二次根式》全章复习与巩固（基础）知识讲解
【学习目标】
1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.
2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.
3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、二次根式的相关概念和性质
1.二次根式
形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02
等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义.
2.二次根式的性质
（1）
； （2）；
（3）.
要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2a =（0a ≥），如2221122););)33
x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .
（32a a ，再根据绝对值的意义来进行化简.
（42a 2()a 的异同 2a a 可以取任何实数，而2a 中的a 必须取非负数；
2a a ，2a =a （0a ≥）.
相同点：被开方数都是非负数，当a 2a 2)a .
3.最简二次根式
（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
（2）被开方数中不含有分母；
（3）分母中不含有根号.
满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.222,,3,ab x a b +等都是最简二次根式.
要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.2882228显然是同类二次根式.
要点二、二次根式的运算
1.乘除法
（1）乘除法法则：
类型
法则 逆用法则 二次根式的乘法 0,0)a b ab a b =≥≥
积的算术平方根化简公式： (0,0)ab a b a b =≥≥
二次根式的除法 =(0,0)a a a b b b ≥> 商的算术平方根化简公式：
(0,0)a a a b b b =≥>
要点诠释：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd ⋅=.
（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)49-⨯-≠-⨯-.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
要点诠释：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-.
【典型例题】
类型一、二次根式的概念与性质
1． 当________时，二次根式3x -在实数范围内有意义.
【答案】x ≥3.
【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.
【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三
【二次根式 388065 填空题5】
【变式】①242x x =-成立的条件是 .
②2233x x x x
--=--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)
② 2≤3x <.(
20,30,x x -->∴≥2≤3x <) 2．当0≤x ＜121x x -的结果是__________.
【思路点拨】由范围判断x 、x －1的符号，再根据利用二次根式的性质化简二次根式，即2a a ，同时联系绝对值的意义正确解答.
【答案】 1.
【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-， 所以21x x +-=x +1-x =1.
【总结升华】本题考查绝对值与二次根式的化简．
举一反三
【变式】（x ＞0，y ＞0）
【答案】
解：原式=﹣
=﹣， ∵x＞0，y ＞0，
∴原式=﹣
=﹣3xy ． 3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）.
A. 14
B. 48
C.
a b
D. 44a + 【答案】A. 【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A.
【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.
类型二、二次根式的运算
4．（2016秋•普宁市期末）计算：（2﹣）（2+）+（2﹣）2﹣．
【思路点拨】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，计算即可得到结果．
【答案与解析】解：原式=4﹣5+4﹣4+2﹣=5﹣．
【总结升华】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 举一反三
【变式】计算：48(54453)833
-+⨯. 【答案】243610-.
5.化简：20102011(32)(32)⋅.
【思路点拨】3232)互为有理化因子，所以利用幂的运算法则使其尽
可能地结合在一些进行乘法运算.
【答案与解析】
解： 201020102010=(32)(32)(32)(32)(32)(32)1(32)
3 2.+⋅-⋅-⎡⎤=+⋅-⋅-⎣⎦
=⋅-=-原式 【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型. 6 已知2
231,12x x x x
=-+求. 【答案与解析】
解：
2231,1=30,
(1)1
313331=3x x x x x x x =+∴->∴=--++==原式当时，原式
【总结升华】化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三 【:二次根式 388065计算技巧6-7】 【变式】已知a b +=-3, ab =1,求a
b b a +的值. 【答案】
解：∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b ，
11+=
=-(+)=-=3--ab ab a b b a b a ab
∴+原式.。