初中几何证明中的几种解答技巧

. 几何证明中的几种技巧一．角平分线－－轴对称１．已知在ΔABC中，Ｅ为ＢＣ的中点，ＡＤ平分BAC?，BDAD?于Ｄ．ＡＢ＝９，ＡＣ＝１３．求ＤＥ的长．CBADE CBADEF分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD≌ΔAFD．则ＢＤ＝ＤＦ．又ＢＥ＝ＥＣ，即ＤＥ为ΔBCF的中位线．∴11()222DEFCACAB????．２．已知在ΔABC中，108A??，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分ABC?．求证：ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．DABC DABCE分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD≌ΔBED．由已知可得：18ABDDBE????，108ABED????，36CABC????．∴72DECEDC????，∴ＣＤ＝ＣＥ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．３．已知在ΔABC中，100A??，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分ABC?．求证：ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．ABCD ABCDEF分析：在ＢＣ上分别截取ＢＥ＝ＢＡ，ＢＦ＝ＢＤ．易证ΔABD≌ΔEBD．∴ＡＤ＝ＥＤ，100ABED????．由已知可得：40C??，20DBF??．由∵ＢＦ＝ＢＤ，∴80BFD??．由三角形外角性质可得：40CDF C????．∴ＣＦ＝ＤＦ．∵100BED??，∴80BFDDEF????，∴ＥＤ＝ＦＤ＝ＣＦ，∴ＡＤ＝ＣＦ，. ∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．4．已知在ΔABC中，ACBC?，CEAB?，ＡＦ平分CAB?，过Ｆ作ＦＤ∥ＢＣ，交ＡＢ于Ｄ．求证：ＡＣ＝ＡＤ．ACEFDACEFDG分析：延长ＤＦ交ＡＣ于Ｇ．∵ＦＤ∥ＢＣ，ＢＣ⊥ＡＣ，∴ＦＧ⊥ＡＣ．易证ΔAGF≌ΔAEF．∴ＥＦ＝ＦＧ．则易证ΔGFC≌ΔEFD．∴ＧＣ＝ＥＤ．∴ＡＣ＝ＡＤ．５．如图（１）所示，ＢＤ和ＣＥ分别是ABC的外角平分线，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＤ于Ｆ，ＡＧ⊥ＣＥ于Ｇ，延长ＡＦ及ＡＧ与ＢＣ相交，连接ＦＧ．（１）求证：1()2FGABBCCA???（２）若（a)ＢＤ与ＣＥ分别是ABC的内角平分线（如图（２））；(b)ＢＤ是ΔABC的内角平分线，ＣＥ是ΔABC的外角平分线（如图（３））．则在图（２）与图（３）两种情况下，线段ＦＧ与ΔABC的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．GFABCEDHI FGABCDEIH GFABCDEIH 图（１）图（２）图（３）分析：图（１）中易证ΔABF≌ΔIBF及ΔACG≌ΔHCG．∴有ＡＢ＝ＢＩ，ＡＣ＝ＣＨ及ＡＤ＝ＩＤ，ＡＧ＝ＧＨ．∴ＧＦ为ΔAIH的中位线．∴1()2FG ABBCCA???．同理可得图（２）中1()2FGABCABC???；图（３）中1()2FGBCCAAB???６．如图，ΔABC中，Ｅ是ＢＣ边上的中点，ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，交BAC?的平分线ＡＤ于Ｄ，过Ｄ作ＤＭ⊥ＡＢ于Ｍ，作ＤＮ⊥ＡＣ于Ｎ．求证：ＢＭ＝ＣＮ．.ANMBNM分析：连接ＤＢ与ＤＣ．∵ＤＥ垂直平分ＢＣ，∴ＤＢ＝ＤＣ．易证ΔAMD≌ΔAND．∴有ＤＭ＝ＤＮ．∴ΔBMD≌ΔCND（ＨＬ）．∴ＢＭ＝ＣＮ．７．如图，在ΔABC中，2BC???，ＡＤ平分BAC?．求证：ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．ABCD ABCDE分析：在ＡＣ上截取ＡＥ＝ＡＢ，连接ＤＥ．则有ΔABD≌ΔAED．∴ＢＤ＝ＤＥ．∴BAEDCEDC???????．又∵2BC???，∴CEDC???．∴ＤＥ＝ＣＥ．∴ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．８．在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ平分BAD?，过Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于Ｅ，且1()2AEABAD??．求ABCADC???的度数．CAEBD CAEBDF分析：延长ＡＢ到Ｆ，使得ＢＦ＝ＡＤ．则有ＣＥ垂直平分ＡＦ，∴ＡＣ＝ＦＣ．∴FCAEDAC?????．∴有ΔCBF≌ΔCDA（ＳＡＳ）．∴CBFD???．∴180ABCADC????．二．旋转１．如图，已知在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ在ＢＣ上，Ｆ在ＤＣ上，ＢＥ＋ＤＦ＝ＥＦ．求证：45EAF??．. B DCE BDC G E分析：将ΔADF绕Ａ顺时针旋转90得ABG．∴GABFAD???．易证ΔAGE≌ΔAFE．∴1452FAEGAE FAG??????２如图，在ABC中，90ACB??，ＡＢ＝ＢＣ，Ｄ为ＡＣ中点．ＡＢ的延长线上任意一点Ｅ．ＦＤ⊥ＥＤ交ＢＣ延长线于Ｆ．求证：ＤＥ＝ＤＦ．ABCFEDAB C F ED分析：连接ＢＤ．则BDE可视为CDF绕Ｄ顺时针旋转90所得．易证ＢＤ⊥ＤＣ与ＢＤ＝ＣＤ．则BDECDF???．又易证135DBEDCF????．∴ΔBDE≌ΔCDF．∴ＤＥ＝ＤＦ．３．如图，点Ｅ在ΔABC外部，Ｄ在边ＢＣ上，ＤＥ交ＡＣ于Ｆ．若123?????，ＡＣ＝ＡＥ．求证：ΔABC≌ΔADE．213EDCBA分析：若ΔABC≌ΔADE，则ΔADE可视为ΔABC绕Ａ逆时针旋转1?所得．则有BADE???．∵12BADE???????，且12???．∴BADE???．又∵13???．∴BACDAE???．再∵ＡＣ＝ＡＥ．∴ΔABC≌ΔADE．.４．如图，ΔABC与ΔEDC均为等腰直角三角形，且Ｃ在ＡＤ上．ＡＥ的延长线交ＢＤ于Ｆ．请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程．AECB DF分析：将RtΔBCD视为RtΔACE绕Ｃ顺时针旋转90即可．５．如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ．BDA CFE分析：将ΔABF视为ΔADE绕Ａ顺时针旋转90即可．∵90FABBAEEADBAE????????．∴FBAEDA???．又∵90FBAEDA????，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF≌ΔADE．（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ．三．平移１．如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＣ＝８，ＢＤ＝１５．求梯形ＡＢＣＤ的中位线长．ACBD ACBDE分析：延长ＤＣ到Ｅ使得ＣＥ＝ＡＢ．连接ＢＥ．可得ACEB．可视为将ＡＣ平移到ＢＥ．ＡＢ平移. 到ＣＥ．由勾股定理可得ＤＥ＝１７．∴梯形ＡＢＣＤ中位线长为８．５．２．已知在ΔABC中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＡＢ上一点，Ｅ为ＡＣ延长线一点，且ＢＤ＝ＣＥ．求证：ＤＭ＝ＥＭ．ABCEDA BCEDF分析：作ＤＦ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｆ．易证ＤＦ＝ＢＤ＝ＣＥ．则ＤＦ可视为ＣＥ平移所得．∴四边形ＤＣＥＦ为DCEF．∴ＤＭ＝ＥＭ．四．中点的联想（一）倍长１．已知，ＡＤ为ABC的中线．求证：ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．DBCADEBCA分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＥ＝２ＡＤ．连接ＢＥ易证ΔBDE≌ΔCDA．∴ＢＥ＝ＡＣ．∴ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．２．如图，ＡＤ为ΔABC的角平分线且ＢＤ＝ＣＤ．求证：ＡＢ＝ＡＣ．DBACDBACE分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ．易证ΔABD≌ΔECD．∴ＥＣ＝ＡＢ．∵BADCAD???．∴ECAD???．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ．.３．已知在等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ和Ｅ分别为ＢＣ与ＡＣ上的点，且ＡＥ＝ＣＤ．连接ＡＤ与ＢＥ交于点Ｐ，作ＢＱ⊥ＡＤ于Ｑ．求证：ＢＰ＝２ＰＱ．DPCAEQDPCB AFEQ分析：延长ＰＤ到Ｆ使得ＦＱ＝ＰＱ．在等边三角形ＡＢＣ中ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，60ABDC????．又∵ＡＥ＝ＣＤ，∴ＢＤ＝ＣＥ．∴ΔABD≌ΔBCE．∴CBEBAD???．∴60BPQPBAPABPBADBP??????????．易证ΔBPQ≌ΔBFQ．得ＢＰ＝ＢＦ，又60BPD??．∴ΔBPF为等边三角形．∴ＢＰ＝２ＰＱ．（二）中位线１．已知在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｅ和Ｆ分别为ＢＤ与ＡＣ的中点．求证：1()2EFBCAD??．CADBEF CADBEFG分析：取ＤＣ中点Ｇ，连接ＥＧ与ＦＧ．则ＥＧ为ΔBCD中位线，ＦＧ为ΔACD的中位线．∴ＥＧ∥＝12BC，ＦＧ∥＝12AD．∵ＡＤ∥ＢＣ．∴过一点Ｇ有且只有一条直线平行于已知直线ＢＣ，即Ｅ、Ｆ、Ｇ共线．∴1()2EFBCAD??．（三）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. １．已知，在ABCD中12ABBD?．Ｅ为ＯＡ的中点，Ｆ为ＯＤ中点，Ｇ为ＢＣ中点．求证：ＥＦ＝ＥＧ．ODAEFG OC DBAEFG分析：连接ＢE．∵12ABBD?，ＡＥ＝ＯＥ．∴ＢＥ⊥ＣＥ，∵ＢＧ＝ＣＧ．∴12EGBC?．又ＥＦ为ΔAOD的中位线．∴12EFAD?．∴ＥＦ＝ＥＧ．２．在ΔABC中，ＡＤ是高，ＣＥ是中线，ＤＣ＝ＢＥ，ＤＧ⊥ＣＥ于Ｇ．求证：（１）ＣＧ＝ＥＧ．（２）2BBCE???．ECDGABECDGAB分析：（１）连接ＤＥ．则有ＤＥ＝ＢＥ＝ＤＣ．∴RtΔCDG≌RtΔEDG（ＨＬ）．∴ＥＧ＝ＣＧ．（２）∵ＤＥ＝ＢＥ．∴BBDEDECBCE???????．∵ＤＥ＝ＣＤ．∴DECBCE???．∴2BBCE???．３．已知：在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，60BOC??．Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是ＯＡ、ＯＢ、ＣＤ的中点．求证：ΔEFG是等边三角形．COBDAEFGCOBDAEFG. 分析：连接ＥＤ、ＦＣ．易证ΔAOD与ΔBOC均为正三角形．由已知可得12EFAB?．在RtΔCDE与RtΔCDF中，有12FGEGDC??．∴ＥＦ＝ＥＧ＝ＦＧ．即EFG是等边三角形．六．等面积法１．已知在ΔABC中，90BAC??，ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ．ＡＢ＝８，ＡＣ＝１５．求ＡＤ的长．ABCD分析：1122ABC SABACBCAD??．２．已知Ｐ为矩形ＡＢＣＤ中ＡＤ上的动点（Ｐ不与Ａ或Ｄ重合）．ＰＥ⊥ＡＣ于Ｅ，ＰＦ⊥ＢＤ于Ｆ．ABa?，BCb?．问：ＰＥ＋ＰＦ的值是否为一定值？若是，求出此值并证明；若不是，说明理由．OABCDPEFOAB CDPEF分析：连接ＰＢ、ＰＣ．易得APCAPB SS?∴12APCAPBABD SSSab???．又2212APC SPEab??，2212DPB SPFab??．∴22abPEPFab???．３．已知在矩形ＡＢＣＤ中，ＤＥ＝ＦＧ，ＧＰ⊥ＤＥ于Ｐ，ＤＱ⊥ＦＧ于Ｑ．求证：Ｔ在DOG?的平分线上．. D TOCEFQD TOA BCEF PQ 分析：连接ＥＧ、ＦＤ及ＯＴ．∵1122DGE SDGBCDEPG??及1122DGF SDGBCGFQD??．又∵ＤＥ＝ＦＧ，∴ＰＧ＝ＱＤ．易证RTΔPGD≌RtΔQDG（ＨＬ）．∴QDGPGD???，ＰＤ＝ＱＧ，PDGQGD???．∴RtΔPDT≌RtΔQGT（ＡＳＡ）．∴ＰＴ＝ＱＴ．即Ｔ在DOG?的平分线上．。