2021届高三下学期第二次联考数学(理)试题含答案
2021年高三下学期第二次月考数学(理)试题 含答案
2021年高三下学期第二次月考数学（理）试题 含答案一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分．共50分． 1.已知全集{}{}(),1,3U U R A x x B x x C A B ==≥=<⋂，则等于 A.B. C. D.2.i 是虚数单位，则= A.B.C.D.3. 将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（A ） （B ） （C ） （D ）4. 用反证法证明命题：“已知为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是 （A ）方程没有实根（B ）方程至多有一个实根 （C ）方程至多有两个实根（D ）方程恰好有两个实根5.设是空间三条直线，是两个平面，则下列命题为真命题的是A.若B.若C.若D.若6. 设函数f (x )＝｜x +1｜+｜x -a ｜的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为(A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1 7.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的结果是 A. B. C. D.8.某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96， 98），[98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(A ）90 (B ）75 (C ） 60 (D ）45 9. 设双曲线96 98 100 102 104 106 0.1500.125 0.100 0.075 0.050克频率/组距第8题图的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为(A ） (B ） 5 (C ） (D ） 10. 设二元一次不等式组所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是（A ）[1,3] (B)[2,] (C)[2,9] (D)[, 9]第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 设二项式的展开式中的系数为A ，常数项为B ，若B=4A ，则 ▲ . 12. 设函数f (x )=ax 2+c (a ≠0)，若，0≤x 0≤1，则x 0的值为 . 13. 在中，已知，当时，的面积为 .14. 如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是_________. 15.已知函数，现有四个命题： ①； ②；③对于恒成立；④不存在三个点()()()()()()111222333,,,,,P x f x P x f x p x f x ，使得为等边三角形. 其中真命题的序号为_________.（请将所有真命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）在中，内角A,B,C 的对边为a,b,c .已知. （I ）求角C 的值；（II ）若，且的面积为，求. 17.（本小题满分12分）xx 年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量11123（Ⅰ）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；（Ⅱ）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列及数学期望． 18.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明：AE⊥PD;（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.19.（本小题满分12分）已知数列是公差不为零的等差数列，其前n项和为.满足，且恰为等比数列的前三项.(I)求数列，的通项公式(II)设是数列的前n项和.是否存在，使得等式成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）已知函数.（I）求函数的单调区间；（II）若函数在区间上不是单调函数，求实数t的取值范围；（III）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.21.（本小题满分14分）设椭圆E: （a,b>0）过M（2，），N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
高三数学下学期第二次百校联考试题理试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学下学期第二次百校联考试题理〔扫描〕2021高三第二次百校联考理科数学参考答案〔1〕A 解析：i 1i 222z ===-+-，故i.22z =-- 〔2〕A 解析：由题意可得[]2,1U C M=-，(],0N =-∞，故()U C M N =[]2,0-. 〔3〕D 解析：因为a c ⊥，所以()0a c a a b λμ⋅=⋅+=，可得02μλ+=，即20λμ+=. 〔4〕B 解析：从自然数1~5中任取3个不同的数的根本领件总数为3510C =，其中平均数大于3的情况有〔1,4,5〕，〔2,3,5〕，〔2,4,5〕，〔3,4,5〕，一共4种，故概率为2.5 〔5〕B 解析：因为(0,)2x π∀∈，sin x x >，所以(,0)2x π∀∈-，sin x x >lg(1)1x -<的解集为()9,1-，所以q〔6〕C 解析：根据题意可得：2122S q S +=+，即1212q q ++=+，解得32q =. 〔7〕C 解析：根据椭圆的对称性和定义可得28AF BF a +==，因为90AFB ∠=，OF c =,所以26AB c ==，所以ABF ∆的周长为2214a c +=.〔8〕C 解析：34134123231110ln |ln |ln |i i i i e e e e e e e e e e e e s dx dx dx x x x x x x ++=++++=+++⎰⎰⎰110i =-=，解得11i =，应选C.（9）C 解析：由题意可得sin(22)3x πϕ++sin(22)3x πϕ=+-，整理得sin 20ϕ=，即,2k k Z πϕ=∈，因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为.2π 〔10〕A 解析：设圆柱的高为h ，那么根据题意可得32243r r h ππ⨯=，解得883h r ==， 那么该建筑物的外表积22266S r rh πππ=+=，所以一共需涂料费用6600元.〔11〕D 解析：画出可行域知当3y x z =-+与24y x =-相切时，z 取最大值，对24y x =-求导可得23x -=-，解得32x =，代入24y x =-可得74y =，所以max 37253244z =⨯+=，当2,0x y =-=时，z 取最小值6-，应选D.〔12〕A 解析：根据题意可得()1()1a b f a e f b e =-==-，所以2a b e e +=，那么(2)a b b e be -=-.令()x g x xe =-(0)x <，那么'()(1)x x x g x e xe x e =--=-+，当(,1)x ∈-∞-时，'()0gx >，当(1,0)x ∈-时，'()0g x <，所以max 1()(1)g x g e =-=. 〔13〕-4解析：341241441()()(1),r r r r r r r T C x C x x--+=-=-令1248r -=，解得1r =，所以8x 的系数为-4. 〔14〕1e --解析：因为(e)(e)e e f g -=-+=，所以(e)e ln e f a =-=+,1 e.a =-- 〔15〕2解析：由32n n a a +=+可得54321()()6n n n n n n a a a a a a +++++++-++=，所以数列{}32313n n n a a a --++是首项为123a a a ++，公差为6的等差数列，设123a a a x ++=， 那么302930626702x ⨯+⨯=，解得2x =，即1232a a a ++=. 〔16〕9解析：设双曲线的左，右焦点分别为12,,F F 根据题意可得：122||||16||1||5d PM d PF d PF d PF +≥+-=++-=++，结合图像可知2||d PF +的最小值为2F 到渐近线的间隔，因为2F 到渐近线的间隔为4，所以||d PM +的最小值为9.〔17〕解析：〔Ⅰ〕由及正弦定理可得:1sin cos sin a c A C C==,因为c =tan C =.3C π=----------4分 〔Ⅱ〕根据正弦定理可知2sin sin sin a b c A B C ===，所以2sin ,2sin a A b B == 22sin sin 2sin 2sin 2cos 2cos 2a A b B A B A B +=+=--， 因为23A B π+=，所以4sin sin 2cos 2cos(2)3a Ab B A A π+=---12cos 222sin(2)226A A A π=-+=+-， 因为2(0,),3A π∈所以72(,),666A πππ-∈-所以1sin(2),162A π⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦， 所以32sin(2)(,3],62A π+-∈所以3sin sin (,3].2a Ab B +∈-----------12分 〔18〕解析：〔Ⅰ〕设他能出车的事件为A ， 那么11111159()(1)(1).22223372P A =⨯-⨯+⨯-⨯=-----------4分 〔Ⅱ〕根据题意可得X 的可能取值为0,1,2,3,4.所以X 的分布列为：E X=012343636363636⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=7.3---------12分. 〔19〕解析：〔Ⅰ〕连接AC 交BD 于点O ，分别以OA ，OB ，OS 为x 轴，y 轴，SA =，所以OS =S ，(0,A D B ，(0,E F 设G 是AD 的中点，那么,0)22G -， 2(,22SG =-，(22EF =--，(22EB =--， 因为0SG EF⋅=，0SG EB ⋅=，所以SG EF ⊥，SG EB ⊥， 因为EF ⊂平面BEF ，EB ⊂平面BEF ，所以SG ⊥平面BEF ，又SG ⊂平面SAD ，所以平面BEF ⊥〔几何法：取AD 中点G ，连接SG 交EF 于点M ，连接BM ，BG,那么BM SG EF SG ⊥⊥,〕 〔Ⅱ〕设OS h =，那么(0,0,)S h ，),(0,)22h h E F ， 那么222(,,0),()2h EF EB =--=--，设平面BEF 的法向量为1(,,)n x y z =， 那么110,0n EF n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即002x y hz x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令1x =，那么1,y z =-= 所以1(1,1,n h=--，取平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)n =， 那么根据题意可得1212cos 60||,||||n n n n ⋅=即12=h = 所以143S ABCD V -=⨯=-----------12分 〔20〕解析:〔Ⅰ〕因为抛物线1:C 22y px =与圆2:C 22(2)4x y -+=都关于x 轴对称， 所以交点,A B 关于x 轴对称，又因为OAB ∆为直角三角形，所以AB 为圆2C 的直径，不妨设点A 在第一象限，那么可得点A 〔2,2〕，代入抛物线方程得1p =， 所以抛物线1C 的方程为22y x =.---------------5分〔Ⅱ〕根据题意可知直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为y kx =，设点(,)E E E x y ，(,)F F F x y ，联立22y kx y x =⎧⎨=⎩，可解得222F F x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为E 是OF 的中点，所以211E E x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入圆2C 方程得22211(2)4k k -+=， 整理可得42130k k -=，又因为0k≠，所以k =， 所以直线l 的方程为.y x =-------------12分 〔21〕解析：〔Ⅰ〕由题意可知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'()ln 11ln f x x x x x =+--=-，令()ln g x x x =-，那么'11()1x g x x x -=-=， 当01x <<时，'()0g x >；当1x >时，'()0g x <，所以max ()(1)1g x g ==-，即()ln 0g x x x =-<，所以'()0f x <，所以()f x 〔Ⅱ〕2()ln f x x x ax x =--的零点情况，即方程2ln 0x x ax x --=的根情况， 因为0x >，所以方程可化为ln 1x a x-=， 令ln 1()x h x x -=，那么'221(ln 1)2ln ()x x h x x x ---==，令'()0h x =，可得2x e =， 当20x e <<时，'()0h x >， 当2x e >时，'()0h x <，所以2max 21()()h x h e e ==，且当0x →时，()f x →-∞；当2x e >时，()0h x >， 所以ln 1()x h x x-=的图像大致如下列图， 结合图像可知，当21a e >时，方程ln 1x a x-=没有根； 当21a e =或者0a ≤时，方程ln 1x a x-=有一个根； 当210a e <<时，方程ln 1x a x -=有两个根.所以当21ae >时，函数()f x 无零点；当21a e =或者0a ≤时，函数()f x 有一个零点；当210a e <<时，函数()f x〔22〕解析：〔Ⅰ〕∵M 为AB 的中点，∴OM ⊥AB ，∵N 为CD 的中点，∴ON ⊥CD ，在四边形OMEN 中，∴∠OME+∠ONE=180°，∴O ，M ，E ，N 四点一共圆.------------5分〔Ⅱ〕因为AB=CD ，所以AB CD =,所以BC AD =，所以,BDC ABD ∠=∠所以BE=DE ，连接OB ，OD ，设BD 的中点为1O ，那么1EO BD ⊥，1OO BD ⊥， 所以1,,E O O 三点一共线，所以EO BD ⊥.--------------10分. （23）解析：〔Ⅰ〕消去参数可得221x y +=,因为2παπ≤≤，所以11,10x y -≤≤-≤≤，所以曲线1C 是221x y +=在x 轴下方的局部，所以曲线1C 的极坐标方程为1(2)ρπθπ=≤≤，曲线2C 的直角坐标方程为22(1)1xy +-=------------5分 〔Ⅱ〕设00(,)P x y ，那么010y -≤≤，直线l的倾斜角为，那么直线l 的参数方程为:(为参数).……………………………7分代入的直角坐标方程得, 由直线参数方程中的几何意义可知PM PN ⋅=0|12|y -， 因为010y -≤≤，所以[]1,3PM PN ⋅∈………10分（24）解析：〔Ⅰ〕21x m -<，即121m x m -<<+，解得1122m m x -+<<， 因为不等式的整数解为2，所以11222m m -+<<，解得35m <<， 因为m ∈Z ，所以4m =．……………………5分〔Ⅱ〕由题意可知4ab =，0a b >>，所以0a b ->，因为222()28()a b a b ab a b a b a b a b +-+==-+≥=---〔当且仅当8a b a b-=-，即a b ==.所以22a b a b +≥-分。
新疆维吾尔自治区2021届高三下学期第二次联考数学(理)试卷(有答案)
新疆维吾尔自治区2021届高三下学期第二次联考数学（理）试卷一、选择题1.已知集合{lg(2)}A x y x ==-∣，{}2120B x x x =--<∣，则A B ⋂=（ ）A ．()2,4B ．()3,4-C ．()2,3D ．()4,3-2.若复数2i1iz -=+，复数z 在复平面对应的点为Z ，则向量OZ （O 为原点）的模OZ =( )A ．2B C D ．523.已知,αβ表示不同平面，则//αβ的充分条件是（ ） A ．存在直线,a b ，且,a b α⊂，//a β，//b β B ．存在直线,a b ，且a α⊂，b β⊂，//a β，//b α C ．存在平面γ，αγ⊥，βγ⊥ D ．存在直线,a a α⊥，a β⊥4.《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国最著名的数学著作．经过两千多年的传承，它的贡献一方面是所解决生活应用问题的示范，另一方面是所蕴涵的数学思想，这对我国古代数学的发展起着巨大的推动作用．如在第一章《方田三七》中介绍了环田计算方法，即圆环的面积计算：即将圆环剪开拉直成为一个等腰梯形，如图，计算这个等腰梯形的面积就是圆环的面积．据此思想我们可以计算扇环面积．中国折扇扇面艺术也是由来已久，传承着唐宋以来历代书画家的诗情画意．今有一扇环折扇，扇面外弧长40cm ，内弧长20cm ，该扇面面积为2450cm ，则扇面扇骨（内外环半径之差）长为（ ）A ．10B ．15C ．20D ．255.612x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含5x 项的系数为（ ）A ．12B ．12-C ．24D ．24-6.已知函数2()f x ax bx c =++，满足(3)(3)f x f x +=-，且(4)(5)f f <，则不等式(1)(1) f x f -<的解集为（ ） A ．(0,)+∞B ．(2,)-+∞C ．(4,0)-D ．(2,4)7.5G ，顾名思义是第五代通信技术．技术中信息容量公式就是著名的香农公式：2log 1S C B N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它表示：在受噪声干扰的信息中最大信息传送速率C 取决于信道宽度B ，信道内信息的平均功率S 及信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，若不改变信道宽度B ，而将信噪比从1000提高到4000，则传送速率C 大约增加了（ ） A ．10%B ．20%C ．25%D ．50%8.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且22224810640a a d a a ++=+，则该数列{}n a 的前13项的和为（ ） A ．652B ．65C ．130D ．1509.在四边形ABCD 中，(6,8)AB DC ==，且||||||AB AD ACAB AD AC +=，则||BD =（ ） A ．5B ．10C ．D ．10.已知双曲线2222:1(0,0)x y T a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F 过1F 的直线与双曲线的左右两支分别交于,A B 两点，120AB AF +=，210BF BF ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）ABCD 111.若函数()sin 2cos2f x x a x =-的一条对称轴为π8x =，则下列四个命题（ ） （1）函数()f x 的一个对称中心为π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）函数()f x 在π5π,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减；（3）将函数()f x 图象向右平移π8个单位，得到的函数为奇函数； （4）若函数()f x m =在区间[]0,π上有两个不同的实根1x ，2x ，则125π4x x +=． 其中正确的命题有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12.若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202020202020n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对N n +∀∈恒成立，则实数t 的最大值为（ ） A ．2020 B ．2019C ．2018D ．1010二、填空题13.若实数,x y 满足不等式组20202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则42x y z =⋅的最大值为__________.14.抛物线22(0)x py p =>的准线l 被圆22610x y x +--=截得的弦长为4，则p =____________. 15.甲乙两个球队进行篮球决赛，采取五局三胜制(共赢得三场比赛的队伍获胜，最多比赛五局)，每场球赛无平局．根据前期比赛成绩，甲队的主场安排为“主客主主客”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以3:2获胜的概率为___________. 16.三棱锥S ABC -的底面是边长为12的等边三角形SB SC ==，二面角S BC A --为60，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为___________. 三、解答题17.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c2sin 2cos 2B CB b +=． （1）求角A 的大小；（2）若BC 边上的中线2AD =，求ABC △面积的最大值．18.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △为等边三角形，E 为PC 中点．（1）求证：//PA 平面BDE ．（2）若4PA =，三棱锥C EBD -的体积为4，求二面角C DE B --的正弦值19.某线上学习平台为保证老学员在此平台持续报名学习，以便吸引更多学员报名，从用户系统中随机选出200名学员，对该学习平台的教学成效评价和课后跟踪辅导评价进行了统计，并用以估计所有学员对该学习平台的满意度．其中对教学成效满意率为0.9，课后跟踪辅导的满意率为0.8，对教学成效和课后跟踪辅导都不满意的有10人．（1）完成下面22⨯列联表，并分析是否有99.9%把握认为教学成效满意度与跟踪辅导满意度有关．对课后跟踪辅导满意（2）若用频率代替概率，假设在学习服务协议终止时对教学成效和课后跟踪辅导都满意学员的续签率为90%，只对其中--项不满意的学员续签率为60%，对两项都不满意的续签率为10%．从该学习平台中任选10名学员，估计在学习服务终止时续签学员人数．附：22⨯列联表参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．临界值：20.已知直线l 与圆:8O x y +=相切，动点P 到1(2,0) F -与2(2,0)F 两点距离之和等于1F ，2F 两点到直线l 的距离之和．（1）设动点P 的轨迹为C ，求轨迹C 的方程；（2）对于椭圆22221x y a b +=，上一点()00,A x y ，以A 为切点的切线方程为00221xx yya b+=．设G 为4x =上任意一点，过点G 作轨迹C 的两条切线GM ，GN ，,M N 为切点．①求证直线MN 过定点； ②求1F MN △面积的最大值．21.已知函数2()ln(1)f x x ax x =+--．a ∈R （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 对,[0,1]m n ∀∈()m n ≠都有(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，求a 的取值范围．22.【4-4坐标系与参数方程】已知在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为2cos 212sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为221(0)1(1)sin a a ρθ=>+-．（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）曲线1C 与曲线2C 有两个公共点，求α的取值范围． 23.【4-5不等式选讲】已知实数0a >，函数1()|2|f x x a x a=-++． （1）若5(0)2f <，求实数a 的取值范围（2）恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案1.答案：A解析：(2,)A =+∞，(3,4)B =-，(2,4)A B ⋂= 2.答案：C解析：依题意2i ||||1i OZ z -===+，故选C ． 3.答案：D解析：对于A ，只有当a 与b 相交才满足条件，A 错：对于B ，//a b 时不符合条件，B 错：对于C 存在αβ⊥的情形，C 错：D 符合条件．故选D ． 4.答案：B解析：依题意有扇骨即为等腰梯形的高，扇面内外弧长即为 等腰梯形的两底，则可求得扇骨长为4504020152+=．选B5.答案：B解析：12612x x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，v 12112rr r T C -+⎛= ⎝，当1r =时1115221212112T C x x x ⎛⎫⎪=-=- ⎪⎝⎭故选B ． 6.答案：C解析：依题意有二次函数开口向上，且关于3x =对称，22()(3),0,(1)(2),0,(1)(1)f x a x m a f x a x m a f x f =-+>-=++>-<即 22(2)4,0,(2)4,40a x m a m a x x ++<+>+<-<<，故选C 7.答案：B解析：设前后传送速率分别为1C ，2C ，则()212224001log 4001log 1001log 21001C C B B B -=-=≈2122122log 4001log 10012log 1001log 1001C C C --=≈，∵222log 512log 1001log 1024<<，29log 100110<< ∴21122109C C C -<<， 故选B 8.答案：A解析：∵22224681040a a d a a ++=+，∴()()()()2222559940a d a d d a d a d -+++=-++，即()()()22959595959520,420,5a a d a a a a d a a d a a -=+-=+=+=， ∴()()121311359131365222a a a a a a a +++=+=+=， 故选A 9.答案：D解析：四边形ABCD 为平行四边形，由||||||AB AD ACAB AD AC +=知120BAD ∠=，而10AB =，∴||BD AB =∣D ．10.答案：C解析：设1F A t =， ||2AB t =，则有232BF t a =-，22AF t a =+，在2Rt ABF 中，22222||AB BF AF +=，即222(2)4(32)t a t t a +=+-，解得43t a =又在l 2Rt BF F 中，222l 2l 2BF BF F F += 即222(4)(2)4aa c +=，∴225a c =，∴e =故选C 11.答案：B解析：()sin 2cos 2)f x x a x x ϕ=-=-，其中ππtan 22a ϕϕ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭因一条对称轴为8π，则ππ2π82k ϕ⨯-=+，π4ϕ=-，1a =-，()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，周期T π=．则(1)正确：(2)错误：函数()f x 图象向右平移π8个单位，得到的函数为2y x =，是奇函数，(3）正确:函数()f x 在区间[]0,π上有两个不同的对称轴π8x =和58x π=，若()f x m =有两个不同的实根1x ，2x ，则12π4x x +=或5π4，（4）错误．故选B ． 12.答案：D解析：3212()43n n n f x a x a x a '++=--，∴12(1)430n n n f a a a '++=--=，即有()2113n n n n a a a a +++-=-，∴{}1n n a a +-是以2为首项3为公比的等比数列，∴1123n n n a a -+-=⋅，1201111221123232313n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --++---=-+-+-++-+=⋅+⋅++⋅+= ∴31log n n b a n +==，∴122311202020202020111202020201223(1)1n n nb b b b b b n n n +⎛⎫+++=+++=⎪⨯⨯++⎝⎭ 又20201nn +为增函数，当1n =时，1010n S =，10102020n S ≤<，若n S t ≥恒成立，则t 的最大值为1010．选D 13.答案：256解析：作出可行域，如图ABC △内部（含边界），2422x y x y z +=⋅=，令2t x y =+，作直线:20l x y +=，在直线2t x y =+中t 为直线的纵截距，直线向上平移时t 增大，所以平行直线l ，当直线l 过点(2,4)时，max 2248t =⨯+=， 所以8max 2256z ==，故答案为256．14.答案：解析：圆22(3)10x y -+=(3,0)到准线l 的距离为2p=p =15.答案：0.18解析：甲队以3:2获胜，则甲队第五场必胜，前四场“主客主主”中胜任两局，有两种情况：一种为三个主场胜两场，一种为客场胜一场主场胜一场，其概率为2212330.60.40.50.50.60.40.50.50.18C C ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=16.答案：208π解析：如图，设D 为BC 中点，G 为正ABC △外心，依题意有6BD DC ==，SB SC ==，∴SD BC ⊥，∴6SD =， 则易证SDA ∠为二面角S BC A --的平面角，60SDA ∠=，设S 在底面ABC 的射影为E ，则可证E 在AD 上，则3ED =，AE =GD =AG =，3GE =，设O 为三棱锥的外接球球心，可证//OG SE ，过O 点在面SAD 内作OF SE ⊥，F 为垂足，则3OF GE ==，AG =，设求半径为R ，OG d =，则222R OA OS ==，22223))d d +=+，解得2d =-，252R =．则球心O 在底面ABC 的下方，事实上当O 在底面ABC 的下方时22223))d d +=+解得2d =，252R =．三棱锥S ABC -的外接球的表面积为208π．17.答案：(1)2sin 2cos (1cos )2B CB b A b +==-．sin (1cos )sin A B A B =-，sin 0B ≠1cos A A =-解得sin A =1cos 2A =-，∴2π3A =． （2）||22AB ACAD +==，||4AB AC +=，即 22222||||2||||cos||||||||16||||3AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π++=+-=≥ ∴max ()16AB AC =，当且仅当||||4AB AC ==时成立．故ABC △面积的最大值为1||sin 2S AB AC A ==‖解析：18.答案：(1）设F 为底面菱形ABCD 的交点，连FE ，则,F E 分别是AC ，PC 的中点，//FE PA ，又FE ⊂平面BDE ，∴//PA 平面BDE ．（2）设O 为AD 中点，则PO AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ⊥平面ABCD ，4PA =，PO =E143C EBDE CBD DBCV V --===，∴DBCS=，又4BC CD ==，∴60DCB ∠=，即60DAB ∠=，则BO AD ⊥． 以O 为原点，以OB ，OD ，OP 分别为,,x y z 轴建立直角坐标系，(0,2,0)A -，B，C ，(0,2,0)D，P，E ， (23,2,0)DC =，(3,0,DE =，(23,2,0)DB =-设平面CDE 的法向量为()111,,m x y z=，则1111200y ⎧+=⎪=可取(1,3,1)m =--，设平面BDE 的法向量为()222,,n x y z=，则222220y ⎧-=⎪=可取(1,3,1)n =-,,m n θ=〈〉，1cos 5θ==-，则二面角C DE B --． 解析：19.答案：(1)依题意有对课后跟踪辅导满意 算得2k 的观测值为2200(150103010)12.510.8281802016040k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯故有99.9%把握认为教学成效满意度与跟踪辅导满意度有关．（2）在200人中对平台的双满意的续签人数为15090%=135⨯，仅一项满意的续签人数为4060%=24⨯，都不满意的续签人数为1010%=1⨯，所以该平台的续签率为1352410.8200++=依题意有~(10,0.8)X B ，所以任选10人，该平台续签人数为8人． 解析：20.答案：(1）依题意有O 为1F ，2F 中点，1F ，2F 两点到直线l 的距离之和为O 点到直线l 的距离的2倍，又l 与圆22:8O x y +=相切，d r ==P 到1(2,0)F -与2(2,0)F 两点距离之和等于为P 的轨迹方程为22184x y +=．（2）1︒．设(4,)G t ，()11,M x y ，()22,N x y ，过,M N 的椭圆切线方程为11221,18484xx yy xx yy +=+=，则114184x ty +=，224184x ty +=，直线MN 方程为4184x ty+=，即24x ty +=，显然过定点()2,0．2︒．直线MN 方程为24x ty +=，联立椭圆方程2228x y +=得2222404t y ty ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭显然0∆>，12288t y y t +=+，122168y y t =-+，12y y -=1MN F面积12121422S y y y y =⨯-=-=．令2)m m =≥，2284t m +=+，则S m m==≤=+2m =，0t =时等号成立．故1MN F △面积的最大值为 解析：21.答案：(1)依题意有定义域为(1,)-+∞，1(221)()2111x ax a f x ax x x '++=--=-++ 当0 a ≥时，2(1)0a x +>，2210ax a ++>，∴当(1,0)x ∈-时()0f x '>，()f x 为增函数， 当[0,)x ∈+∞时，()0f x '≤，()f x 为减函数； 当0a <时，令()0f x '=，得10x =，2112x a=-- （i ）当21x x <，1102a --<，即当1 2a <-时，1112a -->-，则11,1(0,)2x a ⎛⎫∈---⋃+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '>，()f x 在11,12a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，(0,)+∞上均为增函数；在11,02a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上为减函数；（ii ）当21x x =，1102a --=，即12a =-时，2()01x f x x '=≥+，()(1,)f x -+∞上为增函数；（iii ）当21x x >，1102a -->，即102a -<<时，则1(1,0)1,2x a ⎛⎫∈-⋃--+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '>，()f x 在(1,0)-，11, 2a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭上均为增函数；在10,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上为减函数． 综上：当12a <-时，()f x 增区间为11,12a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，(0,)+∞，减区间为11,02a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 当1 2a =-时，()f x 增区间为(1,)-+∞； 当10 2a -<<时，()f x 增区间为(1,0) -和11,2a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭，减区间为10,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 当0 a ≥时，()f x 增区间为(1,0) -，减区间为[0,)+∞．（2）不妨令m n >，则(1)(1)(1)(1)f m f n m n m n +-+<-=+-+，即 (1)(1)(1)(1)f m m f n n +-+<+-+，令()()g x f x x =-，则()g x 在[1,2]上为减函数．22221()()10,[1,2]1ax ax x g x f x x x ''----=-=≤∈+ 即2212x a x x+≥-+对12x ≤≤恒成立． 令221()x u x x x +=+，()()22222222(21)(21)221()0x x x x x x u x x x x x '+-++++==-<++ 当1 2 x ≤≤时53()62u x ≤≤，所以当12x ≤≤时2321526x x x +-≤-≤-+，∴512a ≥- 故a 的取值范围为5,12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 解析：22.答案：（1）21:cos212sin C x αα==-，∴2(11)x y x +=-≤≤， 2222:(1)sin 1C a ρρθ+-=，∴22222(1)1x y a y x ay ++-=+=， 曲线1C 的普通方程为2(11)x y x +=-≤≤，曲线2C 的直角坐标方程为221(0)x ay a +=>．（2）由（1）知2(11)y x x =--≤≤代入221x ay +=得2(1)4410a x ax a +-+-=， 若曲线1C 与2C 有两个公共点，令2()(1)441f x a x ax a =+-+-，则有2164(1)(41)0(1)14410(1)144102111a a a f a a a f a a a a a ⎧∆=-+->⎪-=+++->⎪⎪⎨=+-+->⎪⎪-<<⎪+⎩，解得103a <<． 故a 的取值范围为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．解析：23.答案：（1）因为0a >，115(0)||2f a a a a =+=+<，根据图象有122a <<，a 的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）因为0a >，11123,111()2,21123,2a x x a x x a a a a f x a x x a x x a a a a x a x x a x a a ⎧⎛⎫-+--=--<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-++=+--≤<⎨⎪⎪-++=-+≥⎪⎩又122a a a a +<+，∴min 1(())2a f x a =+，132a a +≥，∴3a ≥或3a ≤故实数a的取值范围为(0,3[3)-⋃+∞。
2021年高三下学期第二次联考数学(理)试题 含答案
2021年高三下学期第二次联考数学（理）试题 含答案分宜中学、莲花中学、任弼时中学、瑞金一中、南城一中、遂川中学、会昌中学 南城一中 张新华 会昌中学 邹后林 瑞金一中 谢小平 瑞金一中 陈从猛 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知复数（其中i 为虚数单位），则复数在坐标平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x 2+2x+3}，则（ ） A ． {x|0＜x ＜1} B ． {x|x ＞1} C ． {x|x≥2} D ． {x|1＜x ＜2} 3、是成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4、已知， 由如右程序框图输出的（ ）A.1B.C.D.5、一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于（ ）A ．B ．C ．D ．6、设满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．47、二面角α－l －β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB =AC =BD =1，则CD 的长等于（ ） A ．2 B ． 3 C ．2 D ． 58、设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足，，则点P 的轨迹经过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心． 9、等差数列的前项和分别为，若，则（ ） A 、16 B 、 C 、 D 、10、过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，直线EF 交双曲线右支于点P ，若，则双曲线的离心率是（ ） A ． B ． C ． D ． 11、记集合()()(){}1sin 2cos 2,22<-+-=θθy x y x M ，任取点，则点的概率（ ）A 、B 、C 、D 、12.已知定义在上的单调函数，对，都有，则函数的零点所在区间是（ ） . B. C. .第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2021年高三数学下学期第二次联考试题理
2021年高三数学下学期第二次联考试题理第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知全集，集合，，则A． B． C． D．3.下列选项中说法正确的是A．命题“为真”是命题“为真” 的必要条件.B．若向量满足，则与的夹角为锐角.C．若，则.D．“”的否定是“”.4.若等差数列的公差为，且是与的等比中项，则该数列的前项和取最小值时，的值等于A. 7B. 6C.5D.45.过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点，且，这样的直线可以作2条，则b的取值范围是A． B． C． D．6.已知若，是夹角为的两个单位向量，则，的夹角为A． B． C． D．7.，则展开式中，项的系数为A． B． C． D．8.右图是求样本x1，x2，…，x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为A.S=S+B.S=S+C.S=S+ nD.S=S+9.设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则的值为A．3 B．6 C．9 D．1210.函数的定义域是R，若对于任意的正数a，函数都是其定义域上的减函数，则函数的图象可能是11.公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（d）的立方成正比”，此即。
与此类似，我们可以得到：(1)正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即；(2)正方体的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即；(3)正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即；那么=A． B． C．D．12.记为最接近的整数，如：，，，，，……，若，则正整数m的值为A. B. C. D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为 .14.袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“第一次摸得红球”为事件, “摸得的两球同色”为事件,则概率为 .15.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为 .16.已知动点满足：，则的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a sin B=.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若0<A<，a=6，且△ABC的面积，求△ABC的周长.18. （本小题满分12分）某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：分组（岁）频数[25，30）x[30，35）y[35，40）35[40，45）30[45，50] 10合计100（Ⅰ）求频率分布表中x、y的值，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35，40）内的人数X，求X的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=1，M为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；（Ⅱ）设直线AM与平面ABCD所成的角为α，二面角M—AC—B的大小为β，求sinα·cosβ的值.20.（本小题满分12分）设椭圆（a>0）的焦点在x轴上.（Ⅰ）若椭圆E的离心率，求椭圆E的方程；（Ⅱ）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为直线x+y=与椭圆E的一个公共点;直线F2P交y轴于点Q，连结F1P.问当a变化时，与的夹角是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.21.（本小题满分12分）设函数f(x)=x2-a x（a>0，且a≠1），g(x)=，（其中为f(x)的导函数）.（Ⅰ）当a=e时，求g(x)的极大值点；（Ⅱ）讨论f(x)的零点个数.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.将圆x2+y2=1上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得曲线C.（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+y+1=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1 P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.已知函数的最大值为10.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小值，并求出此时的值.xx届八校二联理数参考答案一、选择题CDABD CADBB AC二、填空题13. 14.15. 16.17.解：（1）由正弦定理得2sin A sin B=（3分）∵0<A<π，∴或；……………………（5分）（2）∵，∴，（7分）由余弦定理得，（11分）故△ABC的周长l=a+b+c=14………………..(12分)18.由图知，P(25≤x<30)=0.01×5=0.05，故x=100×0.05=5；（2分）P(30≤x<35)=1-(0.05+0.35+0.3+0.1)=1-0.8=0.2故y=100×0.2=20，（4分）其…………（6分）（2）∵各层之间的比为5∶20∶35∶30∶10=1∶4∶7∶6∶2，且共抽取20人，∴年龄在[35，40）内层抽取的人数为7人. （8分）X可取0，1，2，2111313762220207891 (0),(1)190190C C CP X P XC C======，故X的分布列为（10分）故（12分）19.（1）证明：连结OM，在△PBD中，OM∥PB，OM平面ACM，PB平面ACM，故PB∥平面ACM；（4分）（2）取DO的中点N，连结MN，AN，则MN∥PO，∵PO⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，故∠MAN=α为所求的直线AM与平面ABCD所成的角.∵，在Rt△ADO中，，在Rt△AMN中，∴，（8分）取AO的中点R，连结NR，MR，∵NR∥AD，∴NR⊥OA，MN⊥平面ABCD，由三垂线定理知MR⊥AO，故∠MRN为二面角M—AC—B的补角，即为π-β.∵∴，（11分）∴（12分）20. 解：（1）由题知，由得a4 - 25a2+100=0，故a2=5或20（舍），故椭圆E的方程为；（4分）（2）设P(x0，y0)，F1(-c，0)，F2(c，0)，则c2=2a2-8，联立得8x2 -4x+a4=0，即，故，，（7分）直线PF2的方程为，令x=0，则，即点Q的坐标为，故，（9分）故4222222200011000012[(28)(22)][()]84()0c a acy c x c yFQ F P c x cx c x c x c-----=+-===---（11分）故与的夹角为定值. （12分）21.（1）g(x)=2x-e x，=2-e x=0，当x<ln2时，>0；当x>ln2时，<0，故的极大值点为ln2；（4分）（2）(Ⅰ)先考虑a>1时，f(x)的零点个数，当x≤0时，f(x)为单减函数，（5分）；f(0)=-1<0，由零点存在性定理知f(x)有一个零点；当x>0时，由f(x)=0得，令.由=0得，x=e，当0<x<e时，>0；当x>e时，<0，故h(x)max=h(e)=，且总成立，故的图像如下图，由数形结合知，①若即时，当x>0时，f(x)无零点，故x∈R时，f(x)有一个零点；②若即时，当x>0时，f(x)有一个零点，故x∈R时，f(x)有2个零点；③若即时，当x>0时，f(x)有2个零点，故x∈R时，f(x)有3个零点.（9分）（Ⅱ）再考虑0<a<1的情形，若0<a<1，则，同上可知，当即0<a<时，f(x)有一个零点；当即a =时，f (x )有2个零点；当即<a <1时，f (x )有3个零点.（11分） 综合上述，①当或0<a <时，f (x )有一个零点； ②当a =或a =时，f (x )有2个零点；③当1<a <或<a <1时，f (x )有3个零点.（12分） 22.解：（1）由坐标变换公式 得代入x 2+y 2=1中得， 故曲线C 的参数方程为；（5分）（2）由题知，，P 2(0，1)，P 1 P 2线段中点， ，故P 1 P 2线段中垂线的方程为（8分） 即3x -9y -4=0，即极坐标方程为（10分） 23.解：（1）()(),f x x a x b c b a c b a c =+--+≤--+=++当且仅当时等号成立，又的最大值为又已知的最大值为10，所以（4分） （2）由（1）知由柯西不等式得()()()()()()22222222112321122131616,22a a b c b c a b c ⎡⎤-⎡-⎤⎛⎫⎛⎫+-+-++≥⋅+-⋅+-⋅=++-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦即（7分）当且仅当即时等号成立。
2021年高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题 含解析
2021年高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】A考点：集合的运算.2.若复数满足是虚数单位），则的共轭复数所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】试题分析：，，对应的点在第四象限.考点：1.复数的概念与几何意义；2.复数的运算.3.已知为不共线的三点，则“”是“是钝角三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由得到,即,即，可以得到为钝角，即是钝角三角形；但是钝角三角形时，角可能是钝角或锐角，不一定得到；所以“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件. 考点：四种条件的判定.4.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为 A. B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：由程序框图，可得3,4121)311[(21421311;2,31311=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⨯+⨯===⨯=i S i S ； 5536)111101211(21]1119110181)5131(4121311[21,=--+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅⋅⋅S ,，结束循环，输出结果为.考点：1.程序框图；2.裂项抵消法. 5.不等式的解集是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】试题分析：由绝对值的几何意义，得表示数轴上的点到点的距离之和，易知，当或时，；所以的解集为.考点：1.绝对值的几何意义；2.绝对值不等式.6.设满足约束条件，若目标函数 的最大值为，则的图 象向右平移后的表达式为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】试题分析：作出可行域与目标函数基准线，由线性规划知识，可得当直线过点时，取得最大值，即，解得；则的图像向右平移个单位后得到的解析式为.考点：1.简单的线性规划；2.三角函数图像的变换. 7.为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为A.增函数B.周期函数C.奇函数D.偶函数 【答案】B 【解析】试题分析：对于任意整数，都有[][][])()()(x f x x k x k x k x k x k x f =-=+-+=+-+=+，所以是周期函数. 考点：函数的性质.8.已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于A. B. C. D. 【答案】A 【解析】试题分析:当正方体如图1放置时，其正视图是侧面,其面积为；当正方体如图2放置时，其正视图为对角面，其面积为，则无论如何放置，其正视图的面积在和，所以选A.图1 图2考点：几何体的三视图.9.已知点是双曲线的右焦点，点是该双曲线的左顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角，则该双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意，得为双曲线的通径，其长度为，因为,所以；则,即，即，即，解得.考点：双曲线的几何性质.10.已知函数，若，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：当时，不等式化为，即，而，即；当，不等式化为，即，令，则；令，则；当时，，即在为减函数，且，所以，即在为减函数，即无限接近0，则；所以的取值范围是.考点：1.分段函数；2.分类讨论思想.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11.已知的取值如下表：从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，则实数的值为 .【答案】【解析】试题分析：由所给数据，得，，将代入到回归方程，得，解得.考点：回归直线过样本点的中心.12.若在内任取一个实数，则使与圆无公共点的概率为 .【答案】考点：1.直线与圆的位置关系；2.几何概型.13.二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 . 【答案】180【解析】试题分析：因为二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以展开式中共有11项，即；则的展开式通项为，令，即，即展开式常数项为.考点：1.二项式系数的性质；2.二项式定理.14.设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于．【答案】【解析】试题分析：由题意，得，则，即2121222222≤++⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=x y x y xy y x x x，所以的最大值为. 考点：1.平面向量的模长；2.二次函数的最值.15.设抛物线的焦点为，直线过与交于两点，若，则的方程为 ． 【答案】 【解析】试题分析：由题意，得抛物线的焦点，设，；则由得，即；联立，得，则，解得，又，即，，即直线的方程为.考点：1.抛物线的焦半径公式；2.直线与抛物线的位置关系.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分） 中所对的边分别为,且. （Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若求的面积并判断的形状. 【答案】（1）；（2），等边三角形.考点：1.平面向量的数量积；2.二倍角公式；3.余弦定理；4.三角形的面积公式.17.（本小题满分12分）盒子里装有大小相同的个球，其中个号球，个号球，个号球.（Ⅰ）若第一次从盒子中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，求第一次与第二次取到球的号码和是的概率；（Ⅱ）若从盒子中一次取出个球，记取到球的号码和为随机变量，求的分布列及期望.【答案】（1）；（2）分布列略；.【解析】试题分析：（1)利用互斥事件有一个发生的概率公式和互相独立事件同时发生的概率公式进行求解；（2）写出随机变量的所有可能取值，利用超几何分布的概率公式求出概率，列表得到分布列，利用期望公式求其期望.试题解析：（Ⅰ）记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是”为事件，……… 1分则……… 4分（Ⅱ）可能取的值是，……… 5分, ……… 6分, ……… 7分，… 8分 . ……… 9分∴的分布列为：10分399311051523456.2828281428284EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== 故所求的数学期望为. ……… 12分考点：1.独立事件同时发生的概率；2.离散型随机变量的分布列和数学期望. 18.（本小题满分12分）已知数列是各项均为正数的等差数列，首项，其前项和为，数列是等比数列，首项，且. （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）令，其中，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）设出的公差为，的公比为利用等差数列、等比数列的通项及求和公式得到关于的方程组，解得即可求解；（2）利用分组求和法和错位相减法进行求解. 试题解析：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则，依题意有， ………2分解得：或（舍去）， ……… 4分 ，. ……… 6分（Ⅱ）)()2()(212243121112n n n n nb a a b a a b a a c T ++++++++++=-+， ……… 7分令nn n n nb b b M 22322223221⨯++⨯+⨯+=+++= ①14322232222+⨯++⨯+⨯+=∴n n n M ②①-②得：22)1(22122222211112--=⨯---=⨯-+++=-++++n n n n nn n n n M……… 9分 ， ……… 10分1212122)1(4322)1(41+++-++=+-++=∴n n n n n n n T . ……… 12分考点：1.等差数列；2.等比数列；3.分组求和法；4.错位相减法. 19.（本小题满分12分）如图，在正三棱柱中，，,是上的动点，且,是的中点. （Ⅰ）若，求证：平面平面；（Ⅱ）若直线与平面所成角的大小为，试求的值.【答案】（1）证明略；（2）. 【解析】试题分析：（1）：取中点，连结，得到平行四边形和线线平行，利用线面垂直的性质和等边三角形的三线合一证得线线垂直，进而得到线面垂直和面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量进行求解.试题解析：（Ⅰ）证明：取中点，连结，则有与平行且相等. ∴四边形为平行四边形， ……1分∵面,∴,又为等边三角形，平面平面,…………3分 又平面,∴平面平面.……………4分（Ⅱ）以为轴，轴，在面内以过点且垂直于的射线为轴建系如图，)2,0,(),2,0,1()1,23,21(),0,0,1(1λλM B N B ，)1,23,21(),0,0,1()21,2321(==--=，，λλ ……6分ACBA 1C 1B 1MN设是平面的一个法向量，则∴，令∴…………8分 设与面所成角为 则431)21(43)21()12(2323,cos sin 221=+-++--+=><=λλλθn ………10分 ,化简得或由题意知， ∴ . …………………12分考点：1.空间中线面关系的转化；2.空间向量在立体几何中的应用. 20．（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线的准线，且经过点. （Ⅰ）求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线的方程为.是经过椭圆左焦点的任一弦，设直线与直线相交于点，记的斜率分别为.试探索之间有怎样的关系式？给出证明过程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）由抛物线的方程得到其焦点坐标，即值，代入点即可求解；（2）联立直线与椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，用坐标表示出，再进行求解. 试题解析：(Ⅰ）设方程为，因为抛物线的准线， …………1分 由点在椭圆上， ………3分 ∴椭圆C 的方程为. …………4分(Ⅱ)由题意知，直线斜率存在.设直线的方程为，代入，得 ， ……5分 设由韦达定理得. ……6分由题意知121231233331222,,11142y y k k k k k x x --+====+++-+ ………8分 ，代人得1212121212231132()22112()1x x k k k k x x x x x x ++∴+=-+=-+++++ ……10分 2222222886343221412843243k k k k k k k k k -+++=-=+--+++ ………12分 ………13分考点：1.椭圆的标准方程；2.抛物线的几何性质；3.直线与椭圆的位置关系.21．（本小题满分14分）已知函数，.（Ⅰ）设，求的单调区间；（Ⅱ）若对，总有成立.（1）求的取值范围；（2）证明：对于任意的正整数，不等式恒成立.【答案】（1）当时，的增区间为，的减区间为；当时，的增区间为和，的减区间为；当时，的增区间为；当时，的增区间为和，的减区间为；（2）；证明略.【解析】试题分析：（1）求导，确定出导函数的三个零点，讨论与0,1的大小关系确定其单调区间；（2）作差构造函数，利用导数证明函数的最大值非负即可；利用恒成立，将合理放缩：，再利用裂项抵消法进行证明.试题解析：（Ⅰ）x a x a x x g x f x h )1(ln 21)()()(2+-+=-=，定义域为， xa x x x a x a x a x x a x h ))(1()1()1()(2'--=++-=+-+=， …… 1分 （1）当时，令，，，令， ；（2）当时，令，则或，令， ； …… 3分（3）当时，恒成立；（4）当时，令，则或，令， ； …… 4分综上：当时，的增区间为，的减区间为；当时，的增区间为和，的减区间为；当时，的增区间为；当时，的增区间为和，的减区间为. ……5分（Ⅱ）（1）由题意，对任意，恒成立，即恒成立，只需. ……6分由第（Ⅰ）知：，显然当时， ，此时对任意，不能恒成立； （或者分逐个讨论） …… 8分当时，，；综上：的取值范围为. …… 9分（2）证明：由（1）知：当时，，……10分即，当且仅当时等号成立.当时，可以变换为， …… 12分在上面的不等式中，令，则有))(1(1)2)(1(1)1(1n m n m m m m m +-+++++++> )111()2111()111(nm n m m m m m +--++++-+++-= 不等式恒成立. …… 14分考点：1.函数的单调性；2.不等式恒成立问题；3.放缩法；4.裂项抵消法.30206 75FE 痾25656 6438 搸25209 6279 批F*c23955 5D93 嶓26549 67B5 枵TD22700 58AC 墬31907 7CA3 粣.26995 6973 楳。
【精编精校卷】2021届河北省衡水中学全国高三下学期第二次联合考试(II卷)数学(理)试题(解析版)
2021届河北省衡水中学全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{0,1,2,3,4,5},{2,4,5},{0,2,4}U A B ===，则()UA B =（ ）A ．{5}B ．{2,4}C ．{0,2,5}D ．{0,2,4,5}【答案】A【分析】利用集合的交、补运算即可求解.【详解】由题意得{1,3,5}U B =，所以(){5}U A B ⋂=． 故选：A2．已知sin 0,cos 0αα><，则（ ） A ．sin20α> B ．cos20α<C ．tan02α> D ．sin02α<【答案】C【分析】由条件得到角α所在的象限，从而得到2α所在的象限，这样就可以得到答案. 【详解】由sin 0,cos 0αα><知，α为第二象限角，所以2α为第一或第三象限角，所以tan 02α>．故选：C.3．已知复数(1)()z a a i a =+-∈R ，则||z 的最小值为（ ）A ．12 B C D ．1【答案】B【分析】转化为求二次函数的最值即可【详解】因为(1)z a a i =+-，所以12||22z ==，所以||z 故选：B4．直线21y x =-被过点(0,1)和(2,1) ）A B C D 或21455【答案】B【分析】先根据题意求出圆的方程，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后由弦、弦心距和半径的关系可求得答案 【详解】解：设圆心为(,)a b ，则由题意可得 2222(0)(1)(2)(1)5a b a b -+-=-+-=，解得11a b =⎧⎨=-⎩或13a b ==⎧⎨⎩，所以圆心为(1,1)-或(1,3)所以圆方程为22(1)(1)5x y -++=或22(1)(3)5x y -+-=， 则圆心到直线21y x =-的距离为22|211|2552(1)d +-==+-或22|231|2552(1)d --==+-，则弦长222521052(5)55⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭． 故选：B5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（ ）A 5B 5C 10D ．12【答案】C【分析】首先根据三视图还原几何体，且同时还原几何体的棱长；找出最长的侧棱，并找出最长的侧棱与底面所成的角.【详解】设该四棱锥为P ABCD -，则由题意可知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，平面PDC ⊥平面ABCD ，且3,4,2PC PD AB AD ====，如图，过点P 作PE CD ⊥交CD 于点E ，则PE ⊥平面ABCD ，连接AE ，可知PAE ∠为直线PA 与平面ABCD 所成的角， 则225PE PD DE =-=，2222AE AD DE =+=， 所以510tan 422PE PAE AE ∠===．故选：C.6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点(c,0)F 3，且点3)在双曲线上，则双曲线的方程为（ ）A ．22193x y -=B ．221123y x -=C ．221312x y -=D ．22139x y -=【答案】D【分析】求出双曲线的渐近线，利用点到直线的距离公式可得2234b c =，再由222c a b =+，解得223b a =，将点3)代入双曲线方程即可求解.【详解】双曲线22221x y a b -=的焦点(c,0)F 到渐近线0bx ay ±=的距离为223a b =+， 解得3b =，所以2234b c =．又222c a b =+，所以223b a =． 因为点3)在双曲线上，所以22431a b-=，所以223,9a b ==， 所以双曲线的方程为22139x y -=． 故选：D7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即321032101012021202,912020212=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯），那么109101010010011∧=∧=，现有运算1211000001m n ∧=∧=，则m 的值为（ ）A ．7B ．9C ．11D ．13【答案】D【分析】根据异或运算和十进制与二进制的转化求解. 【详解】因为1211000001m n ∧=∧=， 所以1101n =，所以32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=， 即13m =， 故选：D ．8．已知奇函数()f x 的定义域为R ，且满足(2)(2)f x f x +=-，以下关于函数()f x 的说法：①()f x 满足(8)()0f x f x -+= ②8为()f x 的一个周期 ③()sin4xf x π=是满足条件的一个函数 ④()f x 有无数个零点其中正确说法的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】利用的周期性定义以及函数为奇函数可得(8)(4)()f x f x f x +=-+=，可判断①、②；由正弦函数的性质可判断③；根据(0)0f =且函数为奇函数可判断④. 【详解】因为(2)(2)f x f x +=-，所以(4)()f x f x +=-． 因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(4)()f x f x +=-， 所以(8)(4)()f x f x f x +=-+=，所以8为()f x 的一个周期，故②正确；由(8)()f x f x +=可得(8)()()f x f x f x -=-=-，所以(8)()0f x f x -+=，故①正确；()sin4xf x π=为奇函数满足()()0f x f x +-=，且一条对称轴为直线2x =，故③正确；由()f x 为奇函数且定义域为R 知，(0)0f =，又()f x 为周期函数， 所以()f x 有无数个零点，故④正确． 故选：D9．已知三棱锥P ABC -的高为1，底面ABC 为等边三角形，PA PB PC ==，且P ，A ，B ，C 都在体积为323π的球O 的表面上，则该三棱锥的底面ABC 的边长为（ ）A B C ．3 D ．【答案】C【分析】利用球的体积公式求出球的半径，画出图形，设点1O 为ABC 的外心，则1OO ⊥平面ABC ．求解13AO =．通过求解三角形推出AB 即可． 【详解】设球O 的半径为R ，由球的体积为323π可得，343233R ππ=，解得2R =．因为三棱锥P ABC -的高h 为1，所以球心O 在三棱锥外． 如图，设点1O 为ABC 的外心，则1OO ⊥平面ABC ．在Rt △1AO O 中，由22211AO OA OO =-，且11OO R h =-=，得13AO =．因为ABC 为等边三角形，所以123sin 6033AO AB AB =⋅︒=， 所以133AB AO ==． 故选：C ．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n 次由甲掷的概率为n P ，则10P 的值为（ ）A ．5111024B ．12C ．5131024D ．257512【答案】A【分析】抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5的概率为14，第n 次由甲掷有两种情况：一是第1n -次由甲掷，第n 次由甲掷，概率为114n P -；二是第1n -次由乙掷，第n 次由甲掷，概率为()1314n P --，由已知得11324n n P P -=-+，可得到数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12-为公比的等比数列，由此可得解.【详解】抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为41164=， 第n 次由甲掷有两种情况：一是第1n -次由甲掷，第n 次由甲掷，概率为114n P -；二是第1n -次由乙掷，第n 次由甲掷，概率为()1314n P --． 这两种情况是互斥的，所以()1113144n n n P P P --=+-，即11324n n P P -=-+，所以1111222n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以11122P -=为首项，12-为公比的等比数列，所以1111222n n P -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以9101115112221024P ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭． 故选：A【点睛】方法点睛：本题考查概率的求法，互斥事件概率加法公式，等比数列的性质，在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠），可以利用构造法求数列的通项公式：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；11．若()P n 表示正整数n 的个位数字，()2(2)n a P n P n =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2021S =（ ） A ．1- B ．0 C ．1009 D ．1011【答案】C【分析】根据题意可判断数列{}n a 为周期数列，且周期为10，即可求解.【详解】由题意得11a =-，20a =，33a =，42a =-，55a =，64a =，75a =，82a =-，97a =-，100a =，111a =-，120a =……所以数列{}n a 为周期数列，且周期为10． 因为105S =，所以20215202(1)1009S =⨯+-=． 故选：C.12．已知函数()()3()ln ||,(ln3),(ln3),3,x e f x e x a f b f c f d f e ==-===，则a ，b ，c ，d 的大小顺序为（ ） A ．a b c d >>> B ．d c b a >>> C ．c d b a >>> D ．c d a b >>>【答案】B【分析】对,a b 化简变形得ln(ln 3),3ln(ln 3)3a b ==，从而可得a b <，而函数()ln ||x f x e x =在区间(0,)+∞上单调递增，所以b ，c ，d 中b 最小，然后构造函数()ln g x x e x =-，利用导数判断其在区间[),e +∞上单调递增，从而可得(3)3ln3()0g e g e =->=，3ln3e >，于是可比较出c ，d 的大小【详解】因为ln3ln3ln(ln3)(ln3)ln(ln3),(ln3)ln(ln3)3ln(ln3)3a f eb f e -=-=====，所以a b <．因为函数()ln ||x f x e x =在区间(0,)+∞上单调递增，且1ln32<<，332,2e e >>，所以b ，c ，d 中b 最小．构造函数()ln g x x e x =-，则()x eg x x-'=， 当x e 时，()0g x '，所以()g x 在区间[),e +∞上单调递增， 所以(3)3ln3()0g e g e =->=，所以3ln3e >． 所以33e e >，所以d c >，所以d c b a >>>． 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查函数值大小的比较，解题的关键是构造函数()ln g x x e x =-，利用导数判断其在区间[),e +∞上单调递增，从而可比较出c ，d 的大小，考查计算能力，属于较难题二、填空题13．若向量a ，b 满足()()cos ,sin ,2a b θθθ=∈=R ，则2a b -的取值范围为_________． 【答案】[0,4]【分析】依题意可知1a =，又2b =，设a 与b 的夹角为α，则()2288cos a bα-=-．由[0,]απ∈可得结果.【详解】依题意可知1a =，又2b =，设a 与b 的夹角为α， 则()22224488cos a ba b a b α-=+-⋅=-．因为[0,]απ∈，所以088cos 16α-，所以024a b -．故答案为：[]0,4.14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为___________． 【答案】48【分析】结合已知条件，对可能出现的情况进行讨论，然后运用排列的知识进行求解. 【详解】按乙到达的名次顺序进行分类：乙第二个到达有1222A A 种，乙第三个到达有112222A A A 种，乙第四个到达有2232A A 种，乙最后到达有44A 种，所以不同的情况种数为121122242222232448A A A A A A A A +++=．故答案为：4815．已知等差数列{}n a 满足23a =，3a 是1a 与9a 的等比中项，则21ni i a =∑的值为_________．【答案】3n 或()312n n +【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件求出d 的值，再利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3a 是1a 与9a 的等比中项，所以()()()22227a d a d a d +=-+， 即()()()23337d d d +=-+，整理得2230d d -=，解得0d =或32d =． 当0d =时，224213ni n i a a a a n ==+++=∑；当32d =时，()2322n a a n d n =+-=，则23n a n =， ()()22421333122ni ni n n n n a a a a =++=+++==∑． 故答案为：3n 或312n n.16．在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AD AA =+=，E 为棱11C D 上任意一点，给出下列四个结论： ①1BD 与AC 不垂直；②长方体1111ABCD A B C D -外接球的表面积最小为3π；③E 到平面11A B D 的距离的最大值为2； ④长方体1111ABCD A B C D -的表面积的最大值为6． 其中所有正确结论的序号为__________． 【答案】②③④【分析】根据正方体的性质，取正方体即可否定①；设AD x =，可求得长方体长方体的对角线，利用二次函数性质求得对角线最小值，进而求得外接球的表面积最小值，可判定②；利用等体积法求得点E 到平面11A B D 的距离为h 关于x 的表达式，利用基本不等式可求得其最大值，进而判定③；求得表面积关于x 的表达式，利用二次函数的性质求得最大值，可判定④.【详解】对于①，当长方体为正方体时，1BD AC ⊥，故①错误；对于②，如图，设AD x =，则12(02)AA x x =-<<，所以1BD 当1x =时，1BD1111ABCD A B C D -最小值为3π，故②正确；对于③，设点E 到平面11A B D 的距离为h ，如图，由1111E A DB D A B E V V --=可得111111133A DB A B E Sh S DD ⋅=⋅，所以由②可知，h =，其中22(2)12x x x x +-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当且仅当2x x =-，即1x =时等号成立，2[(22x +=2x x =-，即1x =时等号成立，所以22h，当且仅当2x x =-，即1x =时，等号成立，故③正确；对于④，该长方体的表面积为2222(2)2(2)4422(1)6S x x x x x x x =+-+-=+-=--+，当1x =时，S 的最大值为6，故④正确． 故答案为：②③④【点睛】关键是设出AD 的长度，求得相应的函数表达式，然后利用基本不等式或二次函数的性质求最值.另外，在正方体中，体对角线是与个面上的与之不相连的面对角线垂直的，这点不难用线面垂直的判定定理证明，也是应当熟记的结论；等体积法求点到平面的距离也是常用的方法，要熟练掌握.三、解答题17．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，ABD △为等边三角形，2,7,1BD AC BC ===．（1）求CBD ∠的大小； （2）求ADE 的面积． 【答案】（1）3π；（2）233. 【分析】（1）在ABC 中，由余弦定理可得ABC ∠，进而可得CBD ∠； （2）先证得//BC AD ，由此可得2DE BE =，进而可得ADE 的面积. 【详解】（1）在ABC 中，2,7,1AB AC BC ===，由余弦定理得22222221(7)1cos 22212AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===-⨯⨯⨯．因为0ABC π<∠<，所以23ABC π∠=，从而233CBD ABD ππ∠=-∠=．（2）由3CBD ADB π∠==∠知，//BC AD ，所以BCE DAE ∽，所以12BC BE AD DE ==，所以2DE BE =．因为2BD =，所以43DE =． 所以11423sin 2sin 22333ADESAD DE ADE π=⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“312++”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A 组合：物理、化学、生物，B 组合：历史、政治、地理，C 组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A 组合的概率为35，选择B 组合的概率为15，选择C 组合的概率为15，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望． 【答案】（1）18125；（2）分布列见解析，65. 【分析】（1）用i A 表示第i 位同学选择A 组合，用i B 表示第i 位同学选择B 组合，用iC 表示第i 位同学选择C 组合，1,2,3i =，则由题意可得()()()311,,555i i i P A P B P C ===，而三位同学恰好选择不同组合共有336A =种情况，每种情况的概率相同，从而可求出概率；（2）由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且2~3,5B η⎛⎫⎪⎝⎭，然后求出各自所对应的概率，从而可得η的分布列及数学期望【详解】解：用i A 表示第i 位同学选择A 组合，用i B 表示第i 位同学选择B 组合，用i C 表示第i 位同学选择C 组合，1,2,3i =． 由题意可知，,,i i i A B C 互相独立，且()()()311,,555i i i P A P B P C ===．（1）三位同学恰好选择不同组合共有336A =种情况，每种情况的概率相同，故三位同学恰好选择不同组合的概率()()()()12312331118666555125P P A B C P A P B P C =⨯=⨯=⨯⨯⨯=．（2）由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且2~3,5B η⎛⎫⎪⎝⎭，所以03032327(0)55125P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12132354(1)55125P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，21232336(2)55125P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3033238(3)55125P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以η的分布列为η0 1 2 3P27125 54125 36125 8125所以27543686()01231251251251255E η=⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．如图，两个全等的梯形ABCD 与BAFE 所在的平面互相垂直，,//,,2AB AD AD BC AB AD BC AD ⊥==，P 为CF 的中点．（1）证明：//DP 平面ABFE ；（2）求平面DEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（26【分析】（1）取BF 的中点Q ，连接,PQ AQ ，证得//DP AQ ，结合线面平行的判定定理，即可证得//DP 平面ABFE ．（2）以B 为原点，以,,BA BC BF 所在直线为x ，y ，z 轴建立的空间直角坐标系，设2BC =，分别求得平面DEF 和平面BCF 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）如图所示，取BF 的中点Q ，连接,PQ AQ ， 因为P ，Q 为,CF BF 的中点，所以//PQ BC ，且12PQ BC =． 又因为//,2AD BC BC AD =，所以//PQ AD ，且PQ AD =， 所以四边形ADPQ 为平行四边形，所以//DP AQ ，又由AQ ⊂平面ABFE ，DP ⊄平面ABFE ，所以//DP 平面ABFE ． （2）因为平面ABCD ⊥平面BAEF ，平面ABCD 平面,BAEF AB FB AB =⊥， 且FB ⊂平面BAEF ，所以FB ⊥平面ABCD ，又因为BC ⊂平面ABCD ，所以FB BC ⊥， 又由,AB FB AB BC ⊥⊥，以B 为原点，以,,BA BC BF 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设2BC =，则(1,1,0),(1,0,2),(0,0,1),(1,0,0)D E F A ， 可得(1,1,1),(0,1,2)FD ED =-=-设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n FD n ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1z =，可得(121)n ,,=-，又由平面BCF 的一个法向量为(1,0,0)m BA ==，所以16cos ,6||||16m n m n m n ⋅-〈〉===-⨯．所以平面DEF 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值为66．20．已知曲线C 2222(1)(1)4x y x y ++-+=． （1）求曲线C 的离心率；（2）设曲线C 的右焦点为F ，斜率为k 的动直线l 过点F 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，证明：||||PF AB 为定值． 【答案】（1）12；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可知点(,)x y 到点(1,0),(1,0)-的距离之和为4，且42>，所以曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，且长轴长为4，焦距为2，从而可求出离心率；（2）由（1）可求得曲线C 的方程为22143x y +=，则(1,0)F ，所以直线l 为(1)y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，从而可表示出AB 的中点坐标，则可得线段AB 的垂直平分线的方程，则可表示出点P 的坐标，从而可表示出||PF ，再利用弦长公式表示出||AB ，进而可得||||PF AB 的值 【详解】（14=可知，点(,)x y 到点(1,0),(1,0)-的距离之和为4，且42>，根据椭圆的定义可知，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆． 设椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ， 则24,22a c ==， 所以曲线C 的离心率为12c e a ==． （2）证明：设椭圆的短轴长为2b ， 由（1）可得2223b a c =-=，所以曲线C 的方程为22143x y +=，则(1,0)F ． 由题意可知，动直线l 的方程为(1)y k x =-， 设()()1122,,,A x y B x y ，由221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得()()2222348430kxk x k +-+-=，所以()22121222438,3434k k x x x x k k-+==++． 设AB 的中点为()00,Q x y ，则212024234x x k x k+==+，()0023134k y k x k -=-=+． 当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线的方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2234k x k =+，所以()222231||13434k k PF k k +=-=++，||AB =()2212134k k+=+，所以()()222231||134||412134k PF k AB k k ++==++．当0k =时，l 的方程为0y =， 此时，||1||24,||1,||4PF AB a PF c AB =====． 综上，||||PF AB 为定值． 21．已知函数2()ln ,(),x f x x a x g x x e a =+=∈R ． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当2a =时，方程()()g x mf x =有两个实根，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）(,)e +∞.【分析】（1）先求出函数()f x 的定义域，然后对函数求导，再分0a ，0a <判断导数的正负，从而可得函数的单调区间；（2）方程()()g x mf x =有两个实根，转化为函数2()(2ln )x h x x e m x x =-+有两个零点，而22ln ()(2ln )(2ln )x x x h x x e m x x e m x x +=-+=-+，令2ln t x x =+，由（1）得t 是关于x 的单调递增函数，且t ∈R ，所以只需函数()t u t e mt =-有两个零点，令()0u t =，得1t tm e=，令()t t t e ϕ=，然后利用导数求出函数()t ϕ的单调区间和极值，画出函数图像，结合图像求解即可【详解】解：（1）由题意知函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 因为()ln ,f x x a x a =+∈R ， 所以()1a x a f x x x+'=+=． ①当0a 时，()0f x '>在区间(0,)+∞上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间． ②当0a <时，令()0f x '>，得x a >-， 令()0f x '<，得0x a <<-，所以函数()f x 的单调递增区间为(,)a -+∞，单调递减区间为(0,)a -．（2）方程()()g x mf x =有两个实根，即关于x 的方程2e (2ln )0x x m x x -+=有两个实根，即函数2()(2ln )x h x x e m x x =-+有两个零点．又22ln ()(2ln )(2ln )x x x h x x e m x x e m x x +=-+=-+， 令2ln t x x =+，由（1）得t 是关于x 的单调递增函数，且t ∈R ， 所以只需函数()t u t e mt =-有两个零点．令()0u t =，得1tt m e =， 令()t t t eϕ=，则1()t tt e ϕ-'=，易知当(,1)t ∈-∞时，()t ϕ单调递增， 当(1,)t ∈+∞时，()t ϕ单调递减，所以当1t =时，()t ϕ取得最大值1(1)eϕ=．又因为当0t <时，()0t ϕ<，当0t >时，()0t ϕ>，(0)0ϕ=，则函数()ttt e ϕ=的图象如图所示，所以当110,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即(,)m e ∈+∞时，函数()h x 有两个零点． 所以实数m 的取值范围为(,)e +∞【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是方程()()g x mf x =有两个实根，转化为函数22ln ()(2ln )(2ln )x x x h x x e m x x e m x x +=-+=-+有两个零点，结合（1）转化为函数()t u t e mt =-有两个零点，再利用导数求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos ,12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数）以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos (0,02,)42b πρθρθπ⎛⎫+=<∈ ⎪⎝⎭R ． （1）求曲线1C 的普通方程及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 上存在点P 到曲线2C 的距离为1，求b 的取值范围．【答案】（1）22(1)(1)4x y -+-=，0x y b --=；（2）[-.【分析】（1）由12cos ,12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数），消去参数α即可；由cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin θθ-=，再将cos ,sin x y ρθρθ==代入求解； （2）设(12cos ,12sin )P αα+-，根据曲线1C 上存在点P 到直线0x y b --=的距离为1，1=有解，利用三角函数的性质求解.【详解】（1）由12cos ,12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数），消去参数α，得曲线1C 的普通方程为22(1)(1)4x y -+-=．由cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin θθ=，令cos ,sin x y ρθρθ==， 得x y b -=，所以曲线2C 的直角坐标方程为0x y b --=． （2）设(12cos ,12sin )P αα+-， 因为点P 到直线0x y b --=的距离为1， 1=，化简得4b πα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ ①．若关于α的方程①有解，则曲线1C 上存在点P 到曲线2C 的距离为1，所以4b πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭②或4b πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由②得232b ， 由③得22b-，所以b 的取值范围为[-．23．已知函数()|2|||,,f x x a x b a b =-++∈R ． （1）当4,1a b ==时，求不等式()9f x 的解集； （2）当0ab >时，()f x 的最小值为1，证明：1292a b +． 【答案】（1）[2,4]-；（2）证明见解析.【分析】（1）用零点分段法去绝对值后再解不等式即可； （2）根据三角不等式得到12ab +=，再用基本不等式即可证明. 【详解】（1）解：由题意得()|24||1|f x x x =-++， 当2x 时，原不等式可化为339x -， 解得4x ，故24x ； 当12x -<时，原不等式可化为59x -， 解得4x -，故12x -<； 当1x <-时，原不等式可化为339x -+， 解得2x -，故21x -<-．综上，不等式()9f x 的解集为[2,4]-． （2）证明：因为()|2|||2||||()12222aaa af x x a x b x x b x x b x x b b =-++=-++-++--+=+=，且0ab >， 所以121255922222a a ba b a b a b b a b +=++=+++=， 当且仅当23a b ==或23a b ==-时等号成立， 故原不等式得证．。
2021年高三下学期二模考试数学(理)试题 含解析
2021年高三下学期二模考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合21{|log,1},{|,2}U y y x x P y y xx==>==>，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：由题意，，则，选C.考点：集合的运算.2.下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是（）A． B． C． D．【答案】C考点：函数的奇偶性与单调性.3.已知复数满足 (其中i为虚数单位)，则的虚部为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：由题意，，虚部为.考点：复数的概念与运算.4.等比数列的前n项和为，已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：，所以，即，所以.考点：等比数列的性质.5.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．23【答案】B【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，当过点时，取得最小值7.考点：线性规划.6.投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：投掷两枚骰子，点数形成的事件空间有种，其中点数和为8的事件有共5种，因此所求概率为.考点：古典概型.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．4【答案】A【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个三棱柱截去了一块，如图，它可以看作是一个三棱柱与四棱锥组合而成，.NM FEDA考点：三视图，几何体的体积.8.执行下方的程序框图，如果输入的，那么输出的的值为（）A． B．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：由程序框图，每次循环中，参数的值依次为，，，，这里结束循环，输出结果为B. 考点：程序框图.9.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点，则 （ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，，所以，所以323sin(2)sin[2(2)]sin 1281232k ππππαπ-=+-==. 考点：三角函数的定义与求值.10.在四面体S-ABC 中，平面,120,2,1ABC BAC SA AC AB ∠====，则该四面体的外接球的表面积为 （ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】试题分析：设的外心为，222222cos 12212cos120BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯︒，，则，该四面体外接球半径为，由于平面，则有2222212740(2)(2)2()33R SA O A =+=+=，所以.考点：球与多面体，球的表面积.11.已知F 是抛物线的焦点，直线与该抛物线交于第一象限内的点，若，则的值是 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】试题分析：设，由消去得，则①，②，又，，由已知③，由②③得，代入①得（在第一象限）. 考点：直线和抛物线位置关系. 12.设函数()()2212,2(),,0,1,2,,9999i if x x f x x x a i ==-==，记 ，则下列结论正确的是 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B考点：函数的单调性，比较大小．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量，且与共线，则x 的值为 【答案】 【解析】试题分析：，由与共线得，解得．考点：向量的共线．14.已知8280128(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-，则【答案】8 【解析】 试题分析：，. 考点：二项式定理.15.设点P 、Q 分别是曲线是自然对数的底数）和直线上的动点，则P 、Q 两点间距离的最小值为 【答案】 【解析】试题分析：，令，即，，令，显然是增函数，且，即方程只有一解，曲线在处的切线方程为，两平行线和间的距离为.考点：导数与切线，方程的解，平行线间的距离.16.在平面直角坐标系中有一点列对，点在函数的图象上，又点构成等腰三角形，且 若对，以为边长能构成一个三角形，则的取值范围是 【答案】 【解析】试题分析：由题意点构成以为顶点的等腰三角形，则，，以为边长能构成一个三角形，因为，则有，，所以.考点：等腰三角形的性质，解一元二次不等式.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 在中，角的对边分别为，且满足 （1）求角B 的大小； （2）若的面积为，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）题设已知条件是边角的关系，要求的是角，因此利用正弦定理把边化为角，得（同时用诱导公式化简），整理得，在三角形中有，因此得，；（2）由面积公式有，从而得，再结合余弦定理可得.试题解析：（1）…………………………1分…………………………3分∴…………………………5分∴…………………………6分(2) 由得a c＝4…………………………8分.由余弦定理得b2＝a2＋c2+ac…………………10分∴ a＋c …………………………12分考点：正弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理.18.（本小题满分12分）4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）【答案】（1）见解析，与性别有关；（2）分布列为X 0 1 2 3P期望为，方差为【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图,读书迷占比为40%，非读书迷占比为60%，再由表格中的两个数字可填全表格，根据计算公式得，因此有99%的把握认为“读书迷”与性别有关；（2）题意可知X～B（3，），P(x=i)= （i=0，1，2，3），可得X的分布列，由公式可得期望与方差. 试题解析：（1）完成下面的列联表如下非读书迷读书迷合计男40 15 55女20 25 45合计60 40 100……………… 3分≈8.2498.249 > 6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.……………..6分（2）视频率为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为. 由题意可知X～B（3，），P(x=i)= （i=0，1，2，3）………………8分从而分布列为X 0 1 2 3P.……………… 10分E(x)=np= (或0.6)，D(x)=np(1-p）= (或0.72) ……………… 12分考点：（1）频率分布直方图，独立性检验，随机变量的分布列，数学期望与方差.19.（本小题满分12分）已知平面,,,4,1ABCD CD AD BA AD CD AD AP AB ⊥⊥====. （1）求证：平面；（2）M 为线段CP 上的点，当时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】试题分析：（1）证线面垂直，就是要证线线垂直，已有，寻找题设条件还有平面，从而有，因此可以证得线面垂直；（2）要求二面角的大小，由于图形中有三直线两两垂直，因此可以以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角，建立如图所示的坐标系后，关键是要求出点的坐标（因为其它点的坐标都易得），设，利用与共线，及就能求出点的坐标，然后求出平面平面的法向量，由法向量夹角求得相应的二面角. 试题解析：（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，PA 平面ADP ，所以平面ADP ⊥平面ABCD. …………………………………………2分 又因为平面ADP ∩平面ABCD=AD ，CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面ADP. ……………………………………………………4分（2）AD ，AP ，AB 两两垂直，建立如图所示空间坐标系，则A （0，0，0），B （0，0，1），C （4，0，4），P （0，4，0），则，，，.………………………………6分zxy设M（x, y , z), ，则.所以，，，.因为BM⊥AC，所以，，解得，法2：在平面ABCD内过点B作BH⊥AC于H，在平面ACP内过点H作HM∥AP交PC于点M，连接MB ………6分，因为AP⊥平面ABCD，所以HM⊥平面ABCD.又因为AC平面ABCD，所以HM⊥AC.又BH∩HM=H, BH平面BHM，HM平面BHM，所以AC⊥平面BHM.所以AC⊥BM，点M即为所求点. …………………………………………8分在直角中，AH=，又AC=，所以.又HM∥AP，所以在中，.在平面PCD内过点M作MN∥CD交DP于点N，则在中， .因为AB∥CD，所以MN∥BA.连接AN，由（1）知CD⊥平面ADP，所以AB⊥平面ADP.所以AB⊥AD，AB⊥AN.所以∠DAN为二面角C—AB—M的平面角.………………………10分在中，过点N 作NS ∥PA 交DA 于S ，则，所以AS=，，所以NA=.所以.所以二面角C —AB —M 的余弦值为. …………………………………………12分考点：线面垂直，二面角.20.（本小题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）不垂直与坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交y 轴于点，若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）本题求椭圆的标准方程比较简单，只要把坐标代入椭圆方程，再由离心率及联立方程组可解得；（2）本题属于直线与椭圆相交问题，主要考查学生的运算能力，及分析问题解决问题的能力，这类问题的一般方法都是设直线方程为为，设交点为，把直线方程与椭圆方程联立消去得则有，，同时有；从而有12121222()214t y y kx t kx t k x x t k +=+++=++=+ ，目的是为了表示出中点坐标，设的中点为，则，，因为直线于直线垂直，所以得 ，结合，由条件可得，，其中，为点到直线的距离，由引可求得，.试题解析：（1）由1题意得，解得，．所以椭圆的方程是． ……………………… 4分（2）设直线的方程设为，设，联立消去得则有，，由；12121222()214t y y kx t kx t k x x t k+=+++=++=+ …………… 6分 设的中点为，则， 因为直线于直线垂直，所以得 ………… 8分因为所以,所以，由点到直线距离公式和弦长公式可得，AB == ………10分由2ABPD == ，直线的方程为或. ………… 12分解法二（2）设直线的斜率为，设，的中点为，所以 ，，由题意，式式得()()()()1212121204x x x x y y y y -++-+=⇒又因为直线与直线垂直，所以由14131ykxykx⎧+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩解得…………… 6分因为所以,所以，………8分PD===设直线的方程设为，联立消去得()2222284141(14)44099k k kk x x+⎛⎫++-+-=⎪⎝⎭，，由AB==………10分，解得，满足.由得直线的方程为或. ……… 12分考点：椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系.21.（本小题满分12分）已知函数是自然对数的底数，.（1）求函数的单调递增区间；（2）若为整数，，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.故在上存在唯一的零点. .............................8分设此零点为，则.当时，；当时，；所以，在上的最小值为.由可得 ........10分所以，由于①式等价于.故整数的最大值为2. ....................................12分考点：导数与单调性，不等式恒成立，函数的零点.请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图：的直径的延长线于弦CD的延长线相交于点P，E为上一点，交于点F.（1）求证：四点共圆；（2）求证：.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：（1）证四点共圆，可证明四边形的对角互补或外角等于内对角等，本题中，由于，因此有，从而得证四点共圆；（2）有了（1）中的四点共圆，由割线定理得，又在圆中有，故结论成立.试题解析：（1）连接，，因为，所以，.................2分又因为，则，所以四点共圆.………………5分（2）因为和是的两条割线，所以，……………7分因为四点共圆,所以，又因为，则∽，所以，即则.………………10分考点：四点共圆，切割线定理.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：.（1）直线的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线的曲线交点的极坐标（）【答案】（1）；（2） ，【解析】试题分析：（1）首先消去参数方程的参数，可把参数方程化为普通方程，然后利用公式可把直角坐标方程化为极坐标方程；（2）可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后把直线与圆的直角坐标方程联立解得交点坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标，也可把直线与圆的两个极坐标方程联立方程组解得交点的极坐标.试题解析：（1）将直线（为参数）消去参数，化为普通方程，……………………2分 将代入得.…………4分（2）方法一：的普通方程为.………………6分由解得：或………………8分所以与交点的极坐标分别为： ，.………………10分方法二：由，……………6分得：，又因为………………8分所以或所以与交点的极坐标分别为： ，.………………10分考点：参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线与圆交点.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()()221(0),2f x x a x a g x x =-++>=+.（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）不等式为，用分类讨论的思想可求得解集，分类讨论的标准由绝对值的定义确定；（2）不等式恒成立，同样不等式为，转化为，令，因为,所以153,21()1,2231,2x a x a h x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=-+--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩，只要求出最小值，然后解不等式得所求范围. 试题解析：（1）当时，，无解，，………………………3分综上，不等式的解集为.………………5分（2），转化为，令，因为a>0,所以153,21()1,2231,2x a x a h x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=-+--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩， ………………8分在a>0下易得,令得………………10分考点：解绝对值不等式，不等式恒成立，函数的最值.40115 9CB3 鲳23063 5A17 娗24402 5F52 归36458 8E6A 蹪30653 77BD 瞽0tY36543 8EBF 躿> 40561 9E71 鹱27081 69C9 槉bX。
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一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{lg(2)}A x y x ==-∣，{}2120B x x x =--<∣，则A B ⋂=（ ） A ．()2,4 B ．()3,4- C ．()2,3 D ．()4,3- 2．若复数21iz i-=+，复数z 在复平面对应的点为Z ，则向量OZ （O 为原点）的模OZ =（ ）A ．2BC ．523．已知α，β表示不同平面，则//αβ的充分条件是（ ） A ．存在直线a ，b ，且,a b α⊂，//a β，//b β B ．存在直线a ，b ，且a α⊂，b β⊂，//a β，//b α C ．存在平面γ，αγ⊥，βγ⊥ D ．存在直线,a a α⊥，a β⊥4．《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国最著名的数学著作．经过两千多年的传承，它的贡献一方面是所解决生活应用问题的示范，另一方面是所蕴涵的数学思想，这对我国古代数学的发展起着巨大的推动作用．如在第一章《方田三七》中介绍了环田计算方法，即圆环的面积计算：即将圆环剪开拉直成为一个等腰梯形，如图，计算这个等腰梯形的面积就是圆环的面积．据此思想我们可以计算扇环面积．中国折扇扇面艺术也是由来已久，传承着唐宋以来历代书画家的诗情画意．今有一扇环折扇，扇面外弧长40cm ，内弧长20cm ，该扇面面积为2450cm ，则扇面扇骨（内外环半径之差）长为（ ）A ．10B ．15C ．20D ．255．612x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含5x 项的系数为（ ）A ．12B ．12-C ．24D ．24-6．已知函数2()f x ax bx c =++，满足(3)(3)f x f x +=-，且(4)(5)f f <，则不等式(1)(1) f x f -<的解集为（ ）A ．(0,)+∞B ．(2,)-+∞C ．(4,0)-D ．(2,4)7．5G ，顾名思义是第五代通信技术．技术中信息容量公式就是著名的香农公式：2log 1S C B N⎛⎫=+⎪⎝⎭，它表示：在受噪声干扰的信息中最大信息传送速率C 取决于信道宽度B ，信道内信息的平均功率S 及信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，若不改变信道宽度B ，而将信噪比从1000提高到4000，则传送速率C 大约增加了（ ） A ．10% B ．20% C ．25% D ．50%8．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且22224810640a a d a a ++=+，则该数列{}n a 的前13项的和为（ ） A ．652B ．65C ．130D ．150 9．在四边形ABCD 中，(6,8)AB DC ==，且||||||AB AD ACAB AD AC +=，则||BD =（） A ．5 B ．10C ．D ．10．已知双曲线2222:1(0,0)x y T a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F 过1F 的直线与双曲线的左右两支分别交于A ，B 两点，120AB AF +=，210BF BF ⋅=，则双曲线的离心率为（） ABC 1 11．若函数()sin 2cos2f x x a x =-的一条对称轴为8x π=，则下列四个命题（ ）（1）函数()f x 的一个对称中心为,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）函数()f x 在5,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减； （3）将函数()f x 图象向右平移8π个单位，得到的函数为奇函数； （4）若函数()f x m =在区间[]0,π上有两个不同的实根1x ，2x ，则1254x x π+=． 其中正确的命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202020202020n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对N n +∀∈恒成立，则实数t 的最大值为（ ）A ．2020B ．2019C ．2018D ．1010二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x ，y 满足不等式组20202x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩，则42yx z =⋅的最大值为_________．14．抛物线22(0)x py p =>的准线l 被圆22610x y x +--=截得的弦长为4，则p =___________． 15．甲乙两个球队进行篮球决赛，采取五局三胜制(共赢得三场比赛的队伍获胜，最多比赛五局)，每场球赛无平局．根据前期比赛成绩，甲队的主场安排为“主客主主客”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以3:2获胜的概率为____________．16．三棱锥S ABC -的底面是边长为12的等边三角形SB SC ==，二面角S BC A --为60，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为____________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（本题满12分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且2sin 2cos 2B CB b +=． （1）求角A 的大小；（2）若BC 边上的中线2AD =，求ABC 面积的最大值．18．（本题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD 为等边三角形，E 为PC 中点．（1）求证：//PA 平面BDE ．（2）若4PA =，三棱锥C EBD -的体积为4，求二面角C DE B --的正弦值．19． (本题满分12分)某线上学习平台为保证老学员在此平台持续报名学习，以便吸引更多学员报名，从用户系统中随机选出200名学员，对该学习平台的教学成效评价和课后跟踪辅导评价进行了统计，并用以估计所有学员对该学习平台的满意度．其中对教学成效满意率为0.9，课后跟踪辅导的满意率为0.8，对教学成效和课后跟踪辅导都不满意的有10人．（1）完成下面22⨯列联表，并分析是否有99.9%把握认为教学成效满意度与跟踪辅导满意度有关．对课后跟踪辅导满意 90%，只对其中--项不满意的学员续签率为60%，对两项都不满意的续签率为10%．从该学习平台中任选10名学员，估计在学习服务终止时续签学员人数．附：22⨯列联表参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．临界值：20．（本题满分12分）已知直线l 与圆:8O x y +=相切，动点P 到1(2,0) F -与2(2,0)F 两点距离之和等于1F ，2F 两点到直线l 的距离之和．（1）设动点P 的轨迹为C ，求轨迹C 的方程；（2）对于椭圆22221x y a b +=，上一点()00,A x y ，以A 为切点的切线方程为00221xx yy a b+=．设G 为4x =上任意一点，过点G 作轨迹C 的两条切线GM ，GN ，M ，N 为切点． ①求证直线MN 过定点； ②求1F MN 面积的最大值．21．(本题满分12分)已知函数2()ln(1)f x x ax x =+--．a ∈R （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 对,[0,1]m n ∀∈()m n ≠都有(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【4-4坐标系与参数方程】已知在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为2cos212sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为221(0)1(1)sin a a ρθ=>+-． （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）曲线1C 与曲线2C 有两个公共点，求α的取值范围． 23．【4-5不等式选讲】已知实数0a >，函数1()|2|f x x a x a=-++． （1）若5(0)2f <，求实数a 的取值范围 （2）若()3f x 恒成立，求实数a 的取值范围．数学试题参考答案及命题意图(理科)一、选择题 1．A【解析】(2,)A =+∞，(3,4)B =-，(2,4)A B ⋂=【命题意图】本题主要考查函数定义域、一元二次不等式解法、集合运算等必备的基本知识． 2．C【解析】依题意2||||12i OZ z i -====+C ． 【命题意图】本题主要考查复数模与向量模的基本概念与运算，是必备的基础知识． 3．D【解析】对于A ，只有当a 与b 相交才满足条件，A 错：对于B ，//a b 时不符合条件，B 错：对于C 存在αβ⊥的情形，C 错：D 符合条件．故选D ．【命题意图】本题主要考查线面位置关系等基本知识与简单的直观想象与逻辑推理素养． 4．B【解析】依题意有扇骨即为等腰梯形的高，扇面内外弧长即为等腰梯形的两底，则可求得扇骨长为4504020152+=．选B【命题意图】本题主要介绍我国古代的《九章算术》的数学成就，并能运用其数学展开拉直等思想解决实际问题． 5．B【解析】12612x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，v 12112rr r T C -+⎛= ⎝，当1r =时1115221212112T C x x x⎛⎫⎪=-=- ⎪⎝⎭故选B ．【命题意图】本题主要考查二项式定理等基本知识，设置课程学习情境考查必要知识的掌握情况． 6．【答案】C【解析】依题意有二次函数开口向上，且关于3x =对称，22()(3),0,(1)(2),0,(1)(1)f x a x m a f x a x m a f x f =-+>-=++>-<即 22(2)4,0,(2)4,40a x m a m a x x ++<+>+<-<<，故选C【命题意图】本题主要考查二次函数的图象与性质及数学推理与运算能力． 7．B【解析】设前后传送速率分别为1C ，2C ，则()212224001log 4001log 1001log 21001C C B B B -=-=≈ 2122122log 4001log 10012log 1001log 1001C C C --=≈，∵222log 512log 1001log 1024<<，29log 100110<< ∴21122109C C C -<<，故选B 【命题意图】设置科技情境试题，考查学生数学应用素养与估算能力． 8．A【解析】∵22224681040a a d a a ++=+，∴()()()()2222559940a d a d d a d a d -+++=-++，即()()()22959595959520,420,5a a d a a a a d a a d a a -=+-=+=+=，∴()()121311359131365222a a a a a a a +++=+=+=，故选A 【命题意图】本题主要考查等差数列的性质及数学运算素养． 9．D【解析】四边形ABCD 为平行四边形，由||||||AB AD ACAB AD AC +=知120BAD ∠=，而10AB =，∴||BD AB ==∣D ．【命题意图】本题主要考查向量运算的几何意义及数形结合思想． 10．C【解析】设1F A t =， ||2AB t =，则有232BF t a =-，22AF t a =+，在2Rt ABF 中，22222||AB BF AF +=，即222(2)4(32)t a t t a +=+-，解得43t a =又在l 2Rt BF F 中，222l 2l 2BF BF FF +=即222(4)(2)4a a c +=，∴225a c =，∴e = C【命题意图】本题主要考查双曲线的定义及基本性质等必备的基本知识与数学结合能力． 11．B【解析】()sin2cos2)f x x a x x ϕ=-=-，其中tan 22a ππϕϕ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭因一条对称轴为8π，则282k ππϕπ⨯-=+，4πϕ=-，1a =-，()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，周期T π=．则(1)正确：(2)错误：函数()f x 图象向右平移8π个单位，得到的函数为2y x =，是奇函数，(3）正确:函数()f x 在区间[]0,π上有两个不同的对称轴8x π=和58x π=，若()f x m =有两个不同的实根1x ，2x ，则124x x π+=或54π，（4）错误．故选B ． 【命题意图】本题主要考查三角函数图象与性质及数形结合思想等基本知识和关键能力． 12．D【解析】3212()43n n n f x a x a x a '++=--，∴12(1)430n n n f a a a '++=--=，即有()2113n n n n a a a a +++-=-，∴{}1n n a a +-是以2为首项3为公比的等比数列，∴1123n n n a a -+-=⋅，1201111221123232313n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --++---=-+-+-++-+=⋅+⋅++⋅+=∴31log n n b a n +==，∴122311202020202020111202020201223(1)1n n nbb b b b b n n n +⎛⎫+++=+++=⎪⨯⨯++⎝⎭ 又20201nn +为增函数，当1n =时，1010n S =，10102020n S ≤<，若n S t ≥恒成立，则t 的最大值为1010．选D【命题意图】本题结合函数导数与数列性质，主要考查探究意识与创新能力． 二、填空题 13．256【解析】点P x y （，）表示点(2,0),(0,2),(2,4)所围成三角形封闭区域内，2422x y x yz +=⋅=，由图知当2,4x y ==时8max max (2)8,2256x y z +=∴==.【命题意图】本题主要考查线性规划等基本知识.14．【解析】圆22(3)10x y -+=(3,0)到准线l 的距离为2p==，p = 【命题意图】本题主要考查圆与抛物线的基本性质． 15．0.18【解析】甲队以3:2获胜，则甲队第五场必胜，前四场“主客主主”中胜任两局，有两种情况：一种为三个主场胜两场，一种为客场胜一场主场胜一场，其概率为2212330.60.40.50.50.60.40.50.50.18C C ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=【命题意图】本题结合体育比赛，考查学生运用概率知识估计比赛的胜率． 16．208π【解析】如图，设D 为BC 中点，G 为正ABC 外心，依题意有6BD DC ==，SB SC ==，∴SD BC ⊥，∴6SD =， 则易证SDA ∠为二面角S BC A --的平面角，60SDA ∠=，设S 在底面ABC 的射影为E ，则可证E 在AD 上，则3ED =，AE =GD =AG =3GE =，设O 为三棱锥的外接球球心，可证//OG SE ，过O 点在面SAD 内作OF SE ⊥，F 为垂足，则3OF GE ==，AG =R ，OG d =，则222R OA OS ==，22223))d d +=+，解得2d =-，252R =．则球心O 在底面ABC 的下方，事实上当O 在底面ABC 的下方时22223))d d +=+ 解得2d =，252R =．三棱锥S ABC -的外接球的表面积为208π．【命题意图】本题以三棱锥外接球为背景主要考查学生的空间想象能力与创新能力． 三、解答题17．【解析】(1)2sin 2cos(1cos )2B CB b A b +==-．sin (1cos )sin A B A B =-，sin 0B ≠1cos A A =-解得sin A =，1cos 2A =-，∴23A π=． 6分 （2）||22AB ACAD +==，||4AB AC +=，即 22222||||2||||cos||||||||16||||3AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π++=+-=≥ ∴max ()16AB AC =，当且仅当||||4AB AC ==时成立．故ABC面积的最大值为1||sin 2S AB AC A ==‖分 【命题意图】设置课程情境考查平面向量与解三角形基本知识的掌握情况．18．【解析】(1）设F 为底面菱形ABCD 的交点，连FE ，则F ，E 分别是AC ，PC 的中点，//FE PA ，又FE ⊂平面BDE ，∴//PA 平面BDE ． 4分（2）设O 为AD 中点，则PO AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ⊥平面ABCD ，4PA =，PO =E，143C EBDE CBD DBCV V --===，∴DBCS=，又4BC CD ==，∴60DCB ∠=，即60DAB ∠=，则BO AD ⊥． 6分 以O 为原点，以OB ，OD ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，(0,2,0)A -，3,0,0)B ，C ，(0,2,0)D ，P ，E，(23,2,0)DC=，(3,0,DE =，(23,2,0)DB =-设平面CDE 的法向量为()111,,m x y z =，则111120y ⎧+=⎪+=可取(1,3,1)m =--，设平面BDE 的法向量为()222,,n x y z =，则2222200y ⎧-=⎪=可取(1,3,1)n =-,,m n θ=〈〉，1cos 5θ==-，则二面角C DE B --． 12分【命题意图】本题主要考查直线与平面位置关系及空间向量在空间图形中的测量． 19．【解析】(1)依题意有对课后跟踪辅导满意算得2k 的观测值为22200(150103010)12.510.8281802016040k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯ 故有99.9%把握认为教学成效满意度与跟踪辅导满意度有关． 6分（2）在200人中对平台的双满意的续签人数为15090%=135⨯，仅一项满意的续签人数为4060%=24⨯，都不满意的续签人数为1010%=1⨯，所以该平台的续签率为1352410.8200++=依题意有~(10,0.8)X B ，所以任选10人，该平台续签人数为8人． 12分20．【解析】(1）依题意有O 为1F ，2F 中点，1F ，2F 两点到直线l 的距离之和为O 点到直线l 的距离的2倍，又l 与圆22:8O x y +=相切，d r ==，即动点P 到1(2,0)F -与2(2,0)F两点距离之和等于为，动点P 的轨迹方程为22184x y +=． 4分 （2）1．设(4,)G t ，()11,M x y ，()22,N x y ，过M ，N 的椭圆切线方程为11221,18484xx yy xx yy +=+=，则114184x ty +=，224184x ty +=，直线MN 方程为4184x ty +=，即24x ty +=，显然过定点()2,0． 4分 2．直线MN 方程为24x ty +=，联立椭圆方程2228x y +=得2222404t y ty ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭ 显然0∆>，12288t y y t +=+，122168y y t=-+，1228y y t -=+1MN F面积12121422S y y y y =⨯-=-=．令2)m m =≥，2284t m +=+，则2444S m m m==≤=++2m =，0t =时等号成立． 故1MN F面积的最大值为 12分【命题意图】本题设置数学探索情境，考查学生圆锥曲线的性质及其数学探究能力．21．【解析】(1)依题意有定义域为(1,)-+∞，1(221)()2111x ax a f x ax x x '++=--=-++ 当0 a ≥时，2(1)0a x +>，2210ax a ++>，∴当(1,0)x ∈-时()0f x '>，()f x 为增函数，当[0,)x ∈+∞时，()0f x '≤，()f x 为减函数；当0a <时，令()0f x '=，得10x =，2112x a =--（i ）当21x x <，1102a --<，即当1 2a <-时，1112a -->-，则11,1(0,)2x a ⎛⎫∈---⋃+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '>，()f x 在11,12a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，(0,)+∞上均为增函数；在11,02a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上为减函数； （ii ）当21x x =，1102a --=，即12a =-时，2()01x f x x '=≥+，()(1,)f x -+∞上为增函数； （iii ）当21x x >，1102a -->，即102a -<<时，则1(1,0)1,2x a ⎛⎫∈-⋃--+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '>，()f x 在(1,0)-，11, 2a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭上均为增函数；在10,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上为减函数． 综上：当12a <-时，()f x 增区间为11,12a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，(0,)+∞，减区间为11,02a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 当1 2a =-时，()f x 增区间为(1,)-+∞； 当10 2a -<<时，()f x 增区间为(1,0) -和11,2a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭，减区间为10,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 当0 a ≥时，()f x 增区间为(1,0) -，减区间为[0,)+∞． 5分（2）不妨令m n >，则(1)(1)(1)(1)f m f n m n m n +-+<-=+-+，即(1)(1)(1)(1)f m m f n n +-+<+-+，令()()g x f x x =-，则()g x 在[1,2]上为减函数．22221()()10,[1,2]1ax ax x g x f x x x ''----=-=≤∈+ 即2212x a x x+≥-+对12x ≤≤恒成立． 令221()x u x x x +=+，()()22222222(21)(21)221()0x x x x x x u x x x x x '+-++++==-<++ 当1 2 x ≤≤时53()62u x ≤≤，所以当12x ≤≤时2321526x x x +-≤-≤-+，∴512a ≥- 故a 的取值范围为5,12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 12分 22．【解析】（1）21:cos 212sin C x αα==-，∴2(11)x y x +=-≤≤， 2分2222:(1)sin 1C a ρρθ+-=，∴22222(1)1x y a y x ay ++-=+=， 4分曲线1C 的普通方程为2(11)x y x +=-≤≤，曲线2C 的直角坐标方程为221(0)x ay a +=>． 5分（2）由（1）知2(11)y x x =--≤≤代入221x ay +=得2(1)4410a x ax a +-+-=，若曲线1C 与2C 有两个公共点，令2()(1)441f x a x ax a =+-+-，则有 2164(1)(41)0(1)14410(1)144102111a a a f a a a f a a a a a ⎧∆=-+->⎪-=+++->⎪⎪⎨=+-+->⎪⎪-<<⎪+⎩，解得103a <<． 故a 的取值范围为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭． 10分【命题意图】本题主要考查坐标系与参数方程、二次函数根的分布等必备知识与数形结合能力、数学运算等素养．23．【解析】（1）因为0a >，115(0)||2f a a a a =+=+<，根据图象有122a <<，a 的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭5分 （2）因为0a >，11123,111()2,21123,2a x x a x x a a a a f x a x x a x x a a a a x a x x a x a a ⎧⎛⎫-+--=--<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-++=+--≤<⎨⎪⎪-++=-+≥⎪⎩又122a a a a +<+，∴min 1(())2a f x a =+，132a a+≥，∴3a ≥+3a ≤-故实数a的取值范围为(0,3[3)⋃++∞ 10分【命题意图】本题主要考查绝对值不等式必备知识与数形结合能力、分类讨论数学运算等素养．。