解析法,穷举法
求最值问题的五种方法
求最值问题的五种方法
求最值问题是多种数学模型中的经典概念，可以应用于科学研究、工程
设计和经济管理等领域，具有重要的现实意义。
通常，有五种方法可以解决
求最值问题，即解析法、穷举法、单纯形法、回归法和数值方法。
首先，解析法是指根据问题的函数关系或其它变量的规律，以求解一次
高阶算式或一组方程组的方法来解决求最值问题，它是对问题进行分析求解，速度较快，但它的适用范围较窄，只适用于问题的算式表达既简单又复杂的
情况。
其次，穷举法是一种采用暴力枚举方式搜索全部可能解以解决问题的方法。
它有利于深入了解问题，适用性较广，但缺点是计算量较大，容易出现
数量级爆炸，效率较低。
第三，单纯形法是指使用单纯形法对求最值问题进行分析求解，能够有
效获得求最值问题的解，同时它也能用来求解约束优化问题，简单易操作，
但需要注意的是，得到的解可能不是最优解。
第四，回归法是指使用统计学中的回归分析方法来重建散点数据，以寻
求最优的函数。
回归法的优势在于能够得到较好的拟合性能，它能够清楚的
表达模型之间的统计关系，并且能够根据数据自动学习模型，但是其缺点是
可能出现较多的陷阱，作出决策时要非常小心。
最后，数值方法是指利用数值计算技术，通过迭代的方式寻找函数取得
最值的方法。
它的优势在于十分适用于大规模的求解，它也支持多种求最值
方法，可以处理许多强约束优化问题，但缺点是它的计算量较大，时间消耗
比较大。
以上就是解决求最值问题常用的五种方法，它们各有利弊，依据各自的
特点，在不同环境下可以有选择性的使用，以达到最优求解效果。
算法——穷举法
算法——穷举法穷举法是一种常见的求解问题的算法，也被称为暴力搜索或者暴力枚举。
它的基本思想是穷尽所有可能的情况，从中找出满足问题要求的最优解或者符合条件的解。
在实际问题中，穷举法可以解决很多难题，比如寻找最短路径、最小值、最大值等等。
穷举法的求解过程相对容易理解，而且实现起来很简单。
但是，随着问题规模的增加，穷举法的时间复杂度会非常高，计算机的计算能力往往无法承载。
因此，在使用穷举法时，需要掌握一些技巧有效地减少计算量。
穷举法基本步骤：1.确定问题的解空间解空间是指可以取到的所有解组成的集合。
需要明确问题的解空间，方便穷举法从中查找到符合条件的解。
例如，对于求1~100中所有偶数的和这个问题，解空间就是所有偶数的集合{2,4,6,...,100}。
2.确定问题的约束条件约束条件是指解必须满足的限制条件。
例如，对于求1~100中所有偶数的和这个问题，约束条件就是偶数。
3.进行穷举搜索穷举搜索就是从解空间中挨个枚举每一个解，判断是否满足约束条件。
对每一组解都进行判断，找到满足要求的最优解或者符合条件的解。
例如，在求1~100中所有偶数的和这个问题中，需要从所有偶数中挨个枚举每一个偶数，将其累加到结果变量中。
4.分析求解结果分析求解结果，检验是否符合问题的要求。
如果结果合法，那么就是要求的最优解或者符合条件的解。
如果结果不合法，那么需要继续搜索其他可能的解。
穷举法的优缺点优点：1.穷举法可以求解各种难点问题，尤其是在面对离散的问题时效果非常显著。
2.穷举法思路简单，易于理解，实现也相对较简单。
3.穷举法保证能够搜索到所有可能的解，因此能够找到最优解或者符合条件的解。
1.穷举法遍历所有可能的解，当问题规模较大时，时间复杂度非常高，计算量大，效率低。
2.部分问题的解空间很难找到或没有固定的解空间，导致穷举策略无从下手。
3.穷举法没有明确的评估标准，求得的解无法与其他算法进行比较。
穷举法使用技巧1.剪枝技术穷举法的时间复杂度往往比较高，因此需要使用剪枝技术，减少不必要的计算。
基础算法（一）穷举法
基础算法（⼀）穷举法
基础算法（⼀）穷举法
穷举法的基本思想:从可能的解集合中⼀⼀穷举各元素，⽤题⽬给定的检验条件判定哪些是有⽤的，哪些是⽆⽤的，能使命题成⽴的，即为其解。
穷举法解题思路：
1、对命题建⽴正确的数学模型；
2、根据命题确定数学模型中各变量的变化范围（即可能解的范围）；
3、利⽤循环语句、条件判断语句逐步求解或证明。
穷举法的特点：
算法简单，但运算量⼤。
对于可能确定解的范围，⼜⼀时找不到更好的算法时，可以采⽤穷举法。
例1、求满⾜表达式A+B=C的所有整数解，其中A、B、C为1～3之间的整数。
例2、鸡兔同笼问题（在同⼀个笼⼦⾥有鸡和兔⼦若⼲只，从上⾯看，能看到20个头，从下⾯看，能看到60只脚，问鸡兔各有多少只？）例3、百钱百鸡问题（⼀百块钱要买⼀百只鸡，这⼀百只鸡必须包含母鸡、公鸡和⼩鸡，其中，公鸡5元⼀只，母鸡3元⼀只，⼩鸡1元三只，
问有哪些购买⽅案？）
例4、⽔仙花数问题（ABC=A3+B3+C3,列出所有的整数ABC）
在⽤穷举法时，问题必须满⾜两个条件：
1、能够预先确定可能解的个数；
2、对每个解变量的取值，其变化范围也能预先确定。
使⽤穷举法时应注意的问题：
1、减少穷举变量；
2、缩⼩穷举变量的取值范围。
穷举法
基本信息简介穷举法，或称为暴力破解法，是一种针对于密码的破译方法，即将密码进行逐个推算直到找出真正的密码为止。
例如一个已知是四位并且全部由数字组成的密码，其可能共有10000种组合，因此最多尝试9999次就能找到正确的密码。
理论上利用这种方法可以破解任何一种密码，问题只在于如何缩短试误时间。
因此有些人运用计算机来增加效率，有些人辅以字典来缩小密码组合的范围。
字符类型字符类型一般可以分为以下5种1.数字型0、1、2、3.4...9等（10个）2.大写字母A、B、C、D...Z等（26个）3.小写字母a、b、c、d...z等（26个）4.特殊字符～、$、#、@、&、()*等（33个）一般较少用5.用户自定义字符。
如果一个多位数并且有可能包含以上所有字符的密码的组合方法一定多的惊人，相对来讲破译的时间也会长的没法接受，有时可能会长达数年之久。
2破译方法概述穷举法是一种针对于密码的破译方法。
这种方法很像数学上的“完全归纳法”并在密码破译方面得到了广泛的应用。
简单来说就是将密码进行逐个推算直到找出真正的密码为止。
比如一个四位并且全部由数字组成其密码共有10000种组合，也就是说最多我们会尝试9999次才能找到真正的密码。
利用这种方法我们可以运用计算机来进行逐个推算，也就是说用我们破解任何一个密码也都只是一个时间问题。
当然如果破译一个有8位而且有可能拥有大小写字母、数字、以及符号的密码用普通的家用电脑可能会用掉几个月甚至更多的时间去计算，其组合方法可能有几千万亿种组合。
这样长的时间显然是不能接受的。
其解决办法就是运用字典，所谓“字典”就是给密码锁定某个范围，比如英文单词以及生日的数字组合等，所有的英文单词不过10万个左右这样可以大大缩小密码范围，很大程度上缩短了破译时间。
在一些领域，为了提高密码的破译效率而专门为其制造的超级计算机也不在少数，例如IBM为美国军方制造的“飓风”就是很有代表性的一个。
3对策现今稍具严密度的密码验证机制都会设下试误的可容许次数以应对使用密码穷举法的破解者。
穷举法详细
第三讲穷举法一、穷举法的基本概念穷举方法是基于计算机特点而进行解题的思维方法。
一般是在一时找不出解决问题的更好途径（即从数学上找不到求解的公式或规则）时，可以根据问题中的的部分条件（约束条件）将所有可能解的情况列举出来，然后通过一一验证是否符合整个问题的求解要求，而得到问题的解。
这样解决问题的方法我们称之为穷举算法。
穷举算法特点是算法简单，但运行时所花费的时间量大。
有些问题所列举出来的情况数目会大得惊人，就是用高速的电子计算机运行，其等待运行结果的时间也将使人无法忍受。
因此，我们在用穷举方法解决问题时，应尽可能将明显的不符合条件的情况排除在外，以尽快取得问题的解。
二、穷举算法模式穷举算法模式：(1)问题解的可能搜索的范围：用循环或循环嵌套结构实现(2)写出符合问题解的条件。
(3)能使程序优化的语句，以便缩小搜索范围，减少程序运行时间。
三、使用穷举法设计算法穷举法应用很多，比如一些密码破译软件通常就是用的穷举算法。
如在QQ上，OicqPassOver这个工具穷举你的口令，它根据机器性能最高可以每秒测试20000个口令，如果口令简单，一分钟内，密码就会遭到破译。
下面我们来以三个例子说明穷举法的具体应用。
实例一：古希腊人认为因子的和等于它本身的数是一个完全数（自身因子除外），例如28的因子是1、2、4、7、14，且1+2+4+7+14=28，则28是一个完全数，编写一个程序求2～1000内的所有完全数。
分析：(1)本题是一个搜索问题，搜索范围 2～1000，找出该范围内的完全数；(2)完全数必须满足的条件：因子的和等于该数据的本身。
(3)问题关键在于将该数的因子一一寻找出来，并求出因子的和。
程序如下：Program p3_1 ;Var a , b,s :integer ;BeginFor a:=2 to 1000 doBeginS:=0 ;For b:=1 to a -1 doIf a mod b =0 then s:=s+b ; { 分解因子并求和 }If a=s then beginWrite( a, ‘=’ ,1, );For b:=2 to a -1 doIf a mod b=0 then write( ’+’, b );Writeln ;End;End;End.当程序运行后，输出结果：6 = 1 + 2 + 328 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14496 =1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248实例二：（第七届全国青少年信息学(计算机)奥林匹克分区联赛初赛试题）在A，B两个城市之间设有N个路站(如下图中的S1，且N<100)，城市与路站之间、路站和路站之间各有若干条路段(各路段数≤20，且每条路段上的距离均为一个整数)。
高中信息技术会考试题必修选修考试试题及答案
1一、解决问题有解析法、穷举法、递归法、冒泡排序法，根据问题选择选择合适的算法。
1. 列举所有可能的情况，逐个判断有哪些是符合问题所需要的条件，从而是得到问题的解答，这是 穷举法 的思路。
2. 一个玻璃球从高处到自由落体运动。
在达到地面时，速度为98m/s ，请问玻璃求从高处开始下落地面用多长时间？ 解析法 3、水仙花数是一个三位数，其各位立方和等于该数本身，如153=1*1*1+5*5*5+3*3*3选择的算法是 穷举法4、一张单据上有一个5位数的号码67__ __8，其中百位和十位的数字看不清楚了，但知道该数能够被78整除，也能被67整除，设计一个算法求出该号码。
穷举法5.已知：f (1)=1 f (2)=3 当n>2时：F(n)=2f (n -1)+3f (n-2)编程求f (100)的值。
答案：递归法6.求解“百鸡问题”已知公鸡每只3元，母鸡每只5元，每3只小鸡1元，用100元买100只鸡，问每种鸡应各买多少？ 答案：穷举法___7.国内特快专递每200g 为一个为一个计费单位。
200g 以内20元，200g 以上每续200g （不足200g 按200g 计算16元，现在要编写一个程序输入包裹自动计算出价格。
答案：解析法8.动员成绩进行公布现在要编写一个程序自动完成编排,请问最好采用哪种答案：冒泡排序法9. 直角三角形一条直角边长是24cm ，其余的边长都是正整数，而且斜边的长度不超过50cm ，求出所有满足条件的三角形。
答案：穷举法二、分析程序写出运行结果或补全程序。
1. Dim a as integer ,b as interge a=1:b=0Do while a<=3 a=a+1 b=b+a*a Loop Print a ,b4 29 2、Dim ch As String , i As Integer ch=”abc ” i=1Do while i<=3Ch=ch&Right(“DEF ”,i) i=i+2 Loop Print ch End sub运行结果是： abcFDEF 3、 S=0 I=1For I=1 to 4 S=s+i^2 Next i Print “s=”;s运行结果是： s=30 4、Private sub command 1_click() S=0For i=1 to 3 s=s+2*i next iprint “s=”;s End sub运行结果是 s=125、 S=0For I = 1 to 10 step 2 S=s+i Next iPrint “s=”;s运行的结果是： s=2561/49的值For i =1 to 49 step 2 S= S+1/i Next i7、计算1+3+5+7+……+99的值 Dim I ,s as integer S=0For I = 1 to 50 S=s+(2*i-1)Next I 8、已知Ｓ=1+2+3+…+N ，找出一个最大的整数Ｎ，使得Ｓ<300. Private Sub S=0 N=0Do while S<300 N=N+1 S=S+N Loop End sub 9、Private Sub Form-Activate ( )Dim I ,S As Integer S=1For I=1 to 4 S=S*IPrint “S=”; S End Sub运行结果: S=2410、Private Sub Form-Activate ( )Dim I Integer ,S As IntegerFor I =2 To 6 S=S+I Next I Print “S=”; S运行结果: S=20 11、Private Sub Form-Load Dim X As Integer, Y AS Integer Text1.Text=” ” X=99 Y=98 M=X If X<Y then M=Y Text1.caption=MEnd Sub运行结果： 9912、Private Sub Form-Activate ( )Dim a b c As Integer a=15 b=60 c=38If a<b then m=a else m=b If m>c then m=c Print “M=” m End Sub运行结果 : M=15 13、计算1+3+5+……+99的值 Private Sub Form-Activate ( )Dim I ,S As Integer S=0For I=1 To 99 step 2S= S+I Print “S=” S End Sub14、计算1+1/2+…………+1/50的值 Private Sub Form-Activate ( )Dim I ,S As Integer S=0For I=1 to 50 S= S+1/I Print “S=” ; S End Sub15、实现函数：Y=︱X ︱Private Sub Form-Activate ( )Dim X as Integer , Y as single IntegerText1.text=” ” X =Inputer(“X =?”)If X>=0 then ElseY=―X End ifText1.text=Y End Sub16.Private Sub Form_Activate( ) Dim i As Integer , sum As Integersum=0For i =1 To 100 sum=sum+2 Next iPrint “sum=” ; sum End Sub该程序的输出结果是： sum=200 17、Private Sub Form_Load() Dim i as integer,sum as integer Text1.Text="" For i=1 To 10 Sum=Sum+I Next IText1.caption=Sum End Sub运行结果： 55 18、完善程序：打印如下图形。
韩信点兵程序实例
算法：解决问题的方法与步骤。每一步都必须是确 定的、能行的、不能有二义性。
穷举法就 是通过把 需要解决 问题的所 有可能情 况逐一试 验来找出 符合条件 的解的方 法 ，是 效率最低 的一种算 法，优点 是思路简 单，编程 容易。每位同 学都启动Visual Basic 程序设计环境，输入 程序代码，并调试运 行。
分析问题(找出已知和未 知、列出已知和未知之 间的关系)
写出解题步骤
结果
分析问题和解题步骤
——算法1：穷举法求解
分析问题(找出已知 和未知、列出已知 和未知之间的关系)
写出解题步骤
1、令X为1 2、如果X整除3余1，X整除5余2 设所求的数为X， ，X整除7余4，这就是题目要求 则X应满足： 的数，则记下这个X X整除3余1 3、令X为X+1（为算下一个作准 X整除5余2 备） X整除7余4 4、如果算出，则结束；否则跳 穷举法 转2 5、写出答案
士兵数：67
拓展
“韩信点兵”问题2：求整除3余1、整除5余2、 整除7余4、整除13余6、整除17余8的最小自 然数。 上机任务二：分析上述问题并写出算法， 修 改程序，调试运行，检测结果。
士兵数：18232
小结
用计算机程序解决问题的基本过程
设计算法 编写程序 调试程序 检测结果
分析问题
人工解题与计算机解题的异同点
解析法与穷举法应用实例
韩信点兵
韩信是我国西汉初著名的军事家，刘邦得天下，军 事上全依靠他。韩信点兵，多多益善，不仅如此，还能经 常以少胜多，以弱胜强。在与楚军决战时韩信指挥诸侯联 军，在垓下十面埋伏，击败楚军，楚霸王项羽因此自杀。 韩信说：“如果每3个人编为一队，那最后剩下1 个人；如果每5个人编为一队，那最后剩下2个人；如果 每7个人编为一队，最后剩下4个人。请你自己算一下， 我有多少士兵？”（假设士兵总数不超过100人）
用解析法和穷举法设计程序
4.1—4.2 用解析法、穷举法设计程序【学习目标：】1、理解解析法和穷举法2、分清两者之间的区别在经过大量编程实践之后，人们总结出很多行之有效的算法来解决实际问题。
常用的方法有：解析法、穷举法、查找法、排序法、递归法等。
4.1 解析法所谓解析法是指：通过分析问题中各要素之间的关系，用最简练的语言或形式化的符号来表达它们的关系，得出解决问题所需的表达式，然后设计程序求解问题的方法。
例1：求三角形面积已知a、b、c分别为三角形的三条边长，利用海伦公式求该三角形面积p=(a+b+c)/2编程实现：输入边长a，b，c，如果能构成三角形，输出面积，否则输出“No Answer!”界面如下：Dim a As Single , b As Single , c As Singlea=val(text1.text)b=val(text2.text)c=val(text3.text)If thenp=(a+b+c)/2s=sqr(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))text4.text=format(s,”0.00”) ‘结果保留两位小数Elsetext4.text=”no answer”End If根据上述回答下列问题（8分，每空4分）（1）、利用海伦公式求三角形面积的算法是_____（解析法/查找法/枚举法/排序法）。
（2）、填写出参考程序中空白处的表达式________（填写字母：A/B/C/D）A、a + b > c or a + c > b and b + c > aB、a + b > c or a + c > b or b + c > aC、a + b > c and a + c > b or b + c > aD、a + b > c and a + c > b and b + c > a（1）解析法（2）D用解析法求解问题，许多时候并非只是计算一个解析式就可以完事，还要根据问题给出的已经条件，运用归纳、演绎等逻辑方法，揭示问题各要素之间的关系，寻找表示这种关系的表达式，有时需要计算的解析式是一组而不仅仅是一条。
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问题
• 现有一根长度为L的铁丝，若想用这根铁丝 制作一个面积为S的矩形框，那么矩形框的 长和宽因该是多少？
• 在分析具体问题的基础上，抽取一个数学 模型，这个数学模型能用若干个解析表达 式表示出来，解决了表达式，就解决了问 题。然后设计程序，求解问题的方法称为 解析法。（P98） • 通常用于解决数理化学科中的许多问题。
穷举算法的要点： 列举所有可能的解（不能遗漏，也不能重 复），检验每个可能的解。
1、找出表示问题的前提条件与结果之间关系的数学表达式， 并通过表达式的计算来实现问题求解，这种方法叫做（ ） A、解析法 B、顺序查找算法 C、递归算法 D、穷举法
2、列举所有可能的情况，逐个判断有哪些是符合问题所要求 的条件，从而得到问题的解答，这是（ ）的思路 A、解析法 B、顺序查找算法 C、递归算法 D、穷举法 3.穷举法的适用范围是（ ） A一切问题 B解的个数极多的问题 C解的个数有限且可一一列举 D不适合设计算法
二、穷举法
有一把锁和一串钥匙（共有10把钥匙）， 怎样找出所有开这把锁的钥匙？
• 穷举算法的概念： 穷举算法就是按问题本身的性质，通过多重 循环一一列举出该问题所有可能的解（不能遗 漏，也不能重复），并在逐一列举的过程中， 检验每个可能的解是否是问题的真正解，若是， 我们采用这个解，否则抛弃它。（P109）
4.一个玻璃球从高空做自由落体运动，在达 到地面时速为98m/s,请问：该玻璃球从高空 开始落到地面用了多少时间？编程求解此问 题最合适的算法是（ ） A、解析法 B、顺序查找算法 C、递归算法 D、穷举法
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