初一数学培优之数形结合
七年级培优讲义第2讲 数轴——数形结合入门
七年级培优讲义第2讲数轴——数形结合入门【思维入门】1．如图1－2－1，数轴上一点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C.若点C表示的数为1，则点A表示的数是 ( )图1－2－1A．7 B．3 C．－3 D．－22．在数轴上和表示－3的点的距离等于5的点所表示的数是 ( ) A．－8 B．2 C．－8和2 D．13．如图1－2－2，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有的整数为__，．图1－2－24．如图1－2－3，直径为1个单位长度的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是____．图1－2－35．一辆货车从超市出发，向东行驶3 km到达小彬家，继续向东行驶1.5 km到达小李家，又向西行驶9.5 km到达小明家，最后回到超市．(1)请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1 km，画出数轴，并在数轴上表示出小明家、小李家、小彬家的位置；(2)小明家距小彬家有多远？(3)货车一共行驶了多少千米？【思维拓展】6．如图1－2－4，在数轴上有六个点，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则这条数轴的原点在( )图1－2－4A．点A，B之间B．点B，C之间C．点C，D之间D．点D，E之间7．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1 cm，若在这个数轴上随意画出一条长为2 015 cm的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是( )A．2 013或2 014 B．2 014或2 015C．2 015或2 016 D．2 016或2 0178．在数轴上，点A对应的数是－2 012，点B对应的数是19，点C对应的数是－4 032，记A，B两点间的距离为d1，A，C两点间的距离为d2，B，C两点间的距离为d3，则有( )A．d1>d2 B．d2>d3C．d1>d3 D．d3＝2d1＋19．在数轴上有若干个点，每相邻两点之间的距离是1个单位长度，有理数a，b，c，d所表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图1－2－5所示，如果3a＝4b－3，那么c＋2d＝____．图1－2－5【思维升华】10．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位到k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100所表示的数恰是19.94.求电子跳蚤的初始位置k0点所表示的数．答案：第2讲数轴——数形结合入门【思维入门】1．如图1－2－1，数轴上一点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C.若点C表示的数为1，则点A表示的数是 ( D )图1－2－1A．7 B．3 C．－3 D．－2【解析】逆向移动，即把C点左移5个单位，再右移2个单位得到A.2．在数轴上和表示－3的点的距离等于5的点所表示的数是 ( C ) A．－8 B．2 C．－8和2 D．13．如图1－2－2，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有的整数为__－1，0，1，2__．图1－2－24．如图1－2－3，直径为1个单位长度的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是__－π__．图1－2－35．一辆货车从超市出发，向东行驶3 km到达小彬家，继续向东行驶1.5 km到达小李家，又向西行驶9.5 km到达小明家，最后回到超市．(1)请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1 km，画出数轴，并在数轴上表示出小明家、小李家、小彬家的位置；(2)小明家距小彬家有多远？(3)货车一共行驶了多少千米？解：(1)如答图所示；第5题答图(2)小明家距小彬家3＋5＝8(km)；(3)3＋1.5＋9.5＋5＝19(km)．答：小明家距小彬家有8 km，货车一共行驶了19 km.【思维拓展】6．如图1－2－4，在数轴上有六个点，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则这条数轴的原点在( B )图1－2－4A．点A，B之间B．点B，C之间C．点C，D之间D．点D，E之间【解析】∵|11－(－5)|＝16，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝3.2，∴这条数轴的原点在B与C之间．7．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1 cm，若在这个数轴上随意画出一条长为2 015 cm的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是( C )A．2 013或2 014 B．2 014或2 015C．2 015或2 016 D．2 016或2 017【解析】若线段AB的两个端点正好在两个整数点上，则线段AB覆盖住2 016个整数点；若AB 的两个端点都不在整数点上，则AB覆盖住2 015个整数点．8．在数轴上，点A对应的数是－2 012，点B对应的数是19，点C对应的数是－4 032，记A，B两点间的距离为d1，A，C两点间的距离为d2，B，C两点间的距离为d3，则有( A )A．d1>d2 B．d2>d3C．d1>d3 D．d3＝2d1＋1【解析】根据点A，B，C在数轴上的分布，可知d1＝|－2 012－19|＝2 031，d2＝|－4 032－(－2 012)|＝2 020，d3＝|－4 032－19|＝4 051.故可得d1>d2.9．在数轴上有若干个点，每相邻两点之间的距离是1个单位长度，有理数a，b，c，d所表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图1－2－5所示，如果3a＝4b－3，那么c＋2d＝__－2__．图1－2－5【解析】由数轴可知，b＝a＋2，又3a＝4b－3，得3a＝4(a＋2)－3，a＝－5，所以c＝a＋3＝－2，d＝a＋5＝0，c＋2d＝－2＋0＝－2.【思维升华】10．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位到k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100所表示的数恰是19.94.求电子跳蚤的初始位置k0点所表示的数．解：k0点所对应的数为19.94－100＋99－98＋97－…－6＋5－4＋3－2＋1＝－30.06.。
七年级上册数形结合思想
七年级上册――数形结合思想一、数形结合思想(一)、利用数轴（规定了原点、单位长度、正方向的直线）这一图形来解有关“有理数”的题目。
有理数加减法运算：1、线段的加减作图法：如图： ①作一条线段，使它与AB+CD相等。
②作一条线段，使它与AB-CD 相等。
2、有理数的加减：根据数形结合的思想，实质就是在数轴上进行的线段的加试着利用以上数轴图，解释有理数加法（加上一个正数，从该数右边继续画一条线段，若加上一个负数，从这个数左边画一条线段，得到结果） 试解释：2+3=_____ －2+3=____ 4+(－6)=____ －2+(－3)=____ 并因此归纳出加法法则：____________________________________ __________________________________________________________ 练习：1、用“＜ ”、“＞”或“＝”连接：（1）－2 ＋6 ； （2） 0 －1.8 ； （3）23-_____ 45- 2、如图所示，点M 表示的数是（ ）A. 2.5B. -15.C. -25.D. 1.53、在一条东西向的跑道上，小亮先向东走了8米，记作“＋8米”，又向西走了10米，此时他的位置可记作（ ）。
A 、＋2米B 、－2米C 、＋18米D 、－18米A B D1、一般性行程问题例：一只船从甲码头到乙码头是顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回到甲码头是逆流行驶，用了2.5小时。
如果水流的速度是3千米/小时，求船在静水中的速度？练习：一架飞机在两城之间飞行，风速为24小时/时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的航速和两城之间的航程？2、相遇问题例题：甲、乙骑自行车同时从相距60千米的两地相向而行，5小时相遇．甲比乙每小时多骑2千米，求甲、乙的速度各是多少？练习：A、B两地相距36千米. 甲每小时走5千米，乙每小时走4千米.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，几小时后两人相遇？3、追及问题：例：龟兔进行赛跑，兔子的速度为每秒3.5米，乌龟的速度为每秒0.5米。
探究初中数学教学中的数形结合思想
探究初中数学教学中的数形结合思想初中数学教学中的数形结合思想是指在数学教学中将数学知识与几何图形相结合，通过图形来帮助学生理解数学概念，加深对数学知识的认识和理解。
数形结合思想的运用可以激发学生的兴趣，提高学习效果。
下面我们就来探究一下初中数学教学中的数形结合思想。
数形结合思想可以帮助学生理解抽象的数学概念。
对于一些抽象的数学概念，学生往往很难形象地理解，容易产生死记硬背的现象。
而通过引入几何图形，可以将抽象的数学概念具象化，帮助学生更好地理解。
学习平面几何图形时，可以使用正方形、长方形等几何图形，来解释边长、面积等概念，通过图形的具体表现形式，学生可以直观地理解数学概念。
数形结合思想可以帮助学生建立数学模型。
在解决实际问题时，学生往往会遇到一些复杂的数学模型。
而通过运用数形结合思想，可以将实际问题转化为几何图形，进一步建立数学模型，有助于学生分析和解决问题。
在学习二次函数时，可以通过绘制抛物线的图形，来帮助学生理解二次函数的性质和变化规律，同时也可以用图形来解决实际问题，如求最值、求交点等。
通过将数学问题转化为几何图形，学生可以更好地理解问题，提高解决问题的能力。
数形结合思想可以加强学生的空间想象能力。
几何图形是空间的具象表现，学生在绘制和观察图形时，需要运用空间想象能力。
通过练习绘制几何图形、观察几何图形的性质等活动，可以锻炼学生的空间想象能力。
而良好的空间想象能力对于学习数学有着重要的作用，不仅能够帮助学生理解几何概念和性质，还能提高学生的思维能力，培养学生的创造力和创新能力。
数形结合思想可以激发学生的兴趣，提高学习效果。
对于很多学生来说，数学是一门枯燥的学科，容易产生学习兴趣不高的问题。
而通过引入几何图形，将抽象的数学概念转化为具象的图形，可以使数学问题变得更加有趣和形象，激发学生的学习兴趣。
学生在学习过程中，可以通过绘制图形、观察图形的性质等活动，参与到学习中来，积极主动地思考和探索，提高学习效果。
初中数学竞赛奥数培优资料第三辑专题27 数形结合
专题27数形结合阅读与思考数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”．我们把这种由数量关系来研究图形性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作数形结合思想.数形结合有下列若干途径：1．借助于平面直角坐标系解代数问题；2．借助于图形、图表解代数问题；3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题；4．借助于函数解几何问题.现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能.代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一大进步．例题与求解【例l 】设1342222+-+++=x x x x y ，则y 的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题）解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．()()921122+-+++=x x y ＝()()()()2222302101-+-+-++x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点C (x ，0)，使它到两点A （－1，1）和B (2，3)的距离之和（即CA ＋CB ）最小.【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x 厘米，面积是x 平方厘米，这样的直角三角形()A ．不存在B ．至多1个C ．有4个D ．有2个（黄冈市竞赛试题）解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数．【例3】如图，在△ABC 中，∠A ＝090，∠B ＝2∠C ，∠B 的平分线交AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F .求证：BEAE BF AE DF BD ⋅+⋅=⋅111.（湖北省竞赛试题）解题思路：图形中含多个重要的基本图形，待证结论中的代数迹象十分明显．可依据题设条件，分别计算出各个线段，利用代数法证明．【例4】当a 在什么范围内取值时，方程a x x =-52有且只有相异的两实数根？（四川省联赛试题）解题思路：从函数的观点看，问题可转化为函数x x y 52-=与函数a y =(a ≥0)图象有且只有相异两个交点．作出函数图象，由图象可直观地得a 的取值范围．【例5】设△ABC 三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在三角形另两边上）的面积都相等，证明：△ABC 为正三角形．（江苏省竞赛试题）解题思路：设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，对应边上的高分别为a h ，b h ，c h ，△ABC 的面积为S ，则易得三个内接正方形边长分别为a h a S +2，b h b S +2，ch c S+2，由题意得c b a h c h b h a +=+=+，即L c S c b S b a S a =+=+=+222．则a ，b ，c 适合方程L xS x =+2.【例6】设正数x ，y ，z 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++1693253222222x zx z z y y xy x ，求zx yz xy 32++的值．（俄罗斯中学生数学竞赛试题）能力训练1.不查表可求得tan 015的值为__________.2.如图，点A ，C 都在函数xy 33=(0>x )的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为______________.（全国初中数学联赛试题）3．平面直角坐标系上有点P (－1，－2)和点Q (4，2)，取点R (1，m )，当=m ________时，PR ＋RQ 有最小值.4.若0>a ，0<b ，要使b a b x a x -=-+-成立，x 的取值范围是__________.5.已知AB 是半径为1的⊙O 的弦，AB 的长为方程012=-+x x 的正根，则∠AOB 的度数是______________.（太原市竞赛试题）6.如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用1A ，2A ，3A ，4A ，…表示，则顶点55A 的坐标是()A.(13，13)B ．(－13，－13)C.(14，14)D.(－14，一14)第2题图第6题图7．在△ABC 中，∠C ＝090，AC ＝3，BC ＝4．在△ABD 中，∠A ＝090，AD ＝12.点C 和点D 分居AB 两侧，过点D 且平行于AC 的直线交CB 的延长线于E ．如果nmDB DE =，其中，m ，n 是互质的正整数，那么n m +=()A.25B.128C.153D.243E.256（美国数学统一考试题）8．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a b a b a +++=，则它的内角∠A ，∠B 的关系是()A ．∠B ＞2∠AB ．∠B=2∠AC ．∠B ＜2∠AD ．不确定9．如图，a S AFG 5=∆，a S ACG 4=∆，a S BFG 7=∆，则=∆AEG S ()A ．a 1127B ．a 1128C ．a 1129D ．a 113010.满足两条直角边边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有()A.1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个11.如图，关于x 的二次函数m mx x y --=22的图象与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0)两点(2x ＞0＞1x )，与y 轴交于C 点，且∠BAC ＝∠BCO .(1)求这个二次函数的解析式；(2)以点D （2，0）为圆心⊙D ，与y 轴相切于点O ，过＝抛物线上一点E (3x ，t )(t ＞0，3x ＜0)作x 轴的平行线与⊙D 交于F ，G 两点，与抛物线交于另一点H ．问是否存在实数t ，使得EF ＋GH ＝CF ?如果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由．（武汉市中考题）12.已知正数a，b，c，A，B，C满足a＋A＝b＋B＝c＋C＝k.求证：a B十b C＋c A＜k2.13.如图，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知AG＝2，GF＝13，FC＝1，HI＝7，求DE．（美国数学邀请赛试题）14.射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC//QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm.动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，3cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上）．请写出t可以取的一切值：_______________（单位：秒）．15.如图，已知D 是△ABC 边AC 上的一点，AD ：DC ＝2：1，∠C ＝045，∠ADB ＝060．求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．（全国初中数学联赛试题）16.如图，在△ABC 中，作一条直线l ∥BC ，且与AB 、AC 分别相交于D ，E 两点，记△ABC ，△BED 的面积分别为S ，K ．求证：K ≤S 41．（长春市竞赛试题）17.如图，直线OB 是一次函数x y 2 的图象，点A 的坐标为(0，2).在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标．（江苏省竞赛试题）专题27 数形结合例 1 5 提示:作出 B 点关于 x 轴的对称点 B '(2,-3)，连结 AB '交 x 轴于 C ，则 AB '=AC 十 CB ' 为所要求的最小值.例2D 提示:设两直角边长为a ，b ，斜边长为c ，由题意得a +b +c =x ，x ab =21,又222c b a =+，得().424b b a --=.因a ,h 为边长且是整数.故当⎩⎨⎧>->-,04,02b b 得b<2，取34,1==a b 不是整数;当⎩⎨⎧<-<-,04,02b b 得b>4，要使a ,b 为整数，只有两种取法:若b =5时，a =12(或b =12,a =5);若b =8时，a =6(或b =6,a =8).例3设AB =x ，则BC =2x ,AC =x 3,BE =x 21,DF =DA=.32,31x BD x =.在Rt △AEB 中求得AE=,,23x BF x =代入证明即可.例4如图，作出函数x x y 52-=图象，由图象可以看出:当a =0时，y =0与x x y 52-=有且只有相异二个交点;当4250<<a 时，y =a 与x x y 52-=图象有四个不同交点;当425=a 时，y =a 与x x y 52-=图象有三个不同交点，当425>a 时，y =a 与x x y 52-=图象有且只有相异二个交点.例5由L c s c b s b a s a =+=+=+222①,知正数c b a ,,适合方程.2L x sx =+当0≠x 时，有022=+-s Lx x ②，故c b a ,,是方程②的根.但任何二次方程至多只有两个相异的根，所以c b a ,,中的某两数必相同.设b a =,若a c ≠，由①得()()c a ac sa c s c a -=⎪⎭⎫⎝⎛-=-2112，则ac =2s =a a h ，这样△ABC 就是以∠B 为直角的直角三角形，b >a ，矛盾，故a =c ，得证.例6,ABC AOC BOC AOB S S S S ∆∆∆∆=++,3421120sin 21321150sin 321⨯⨯=+∙+∙∙∴ xz y z y x即,6232132121321=∙+∙+⨯∙xz y z y x 化简得.32432=++zx yz xy 能力训练1.32-提示:构造含15的Rt △ABC .2.()062，提示:如图，分别过点A ,C 作x 轴的垂线，垂足分别为E ,F .设OE =a ,BF =b ，则AE =a 3,CF =b 3，所以点A ,C的坐标为()().3,2,3,b b a a a +()⎩⎨⎧=+=∴33233332b a b a 解得⎩⎨⎧-==.363b a ∴点D 坐标为()0,62.3.52-提示:当R ,P ，Q 三点在一条直线上时，PR +RQ 有最小值.4.ax b ≤≤5.36提示:由012=-+x x 得21x x -=<1，则有AB <OB .在OB 上截取OC =AB =x ，又由012=-+x x 得x x x 11=-，即ABOABC AB =，则OAB ∆∽△ABC ,AB =AC =OC .6.C 提示:由题所给的数据结合坐标系可得，55A 是第14个正方形上的第三个顶点，位于第一象限，所以55A 的横纵坐标都是14.7.A8.B 提示：由条件,22b ab ac ab a +=++即()bca abc a a b +=∴+=,2，延长CB 至D ，使BD =AB ，易证△ABC ∽△DAC ，得∠ABC =∠D +∠BAD =2∠D =2∠BAC .9.D10.C 提示:设直角三角形的两条直角边长为(),,b a b a ≤则abk b a b a 2122∙=+++(k b a ,,均为正整数)，化简得()()⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=-=-∴=--44,2484,14,844kb ka kb ka kb ka 或解得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===8,6,14,3,212,5,1b a k b a k b a k 或或即有3组解.11.(1)122--=x x y (2)过D 作DM ⊥EH 于M ，连结DG ,2,===DO DG t DM ,.2222t MG FG -==若EF +GH =FG 成立，则EH =2FG .由4EF //x 轴，设H 为(x ,t )，又∵E ,H 为抛物线上的两个点，,12323t x x =--∴,12424t x x =--即43,x x 是方程t x x =--122的两个不相等的实数根，()t x x x x +-==+∴1,24343，()2432433422222,224t t t x x x x x x EH -∙=+∴+=-+=-=,解得8197,819711+-=-=t t (舍去).12.a 十A =b +B =c 十C =k ，可看作边长为k 的正三角形，而从2k 联想到边长为k 的正方形的面积.如图，将aB +bC +cA 看作边长分别为a 与B ,b 与C ,c 与A 的三个小矩形面积之和，将三个小矩形不重叠地嵌入到边长为k 的正方形中，显然aB +bC +cA <k 2.13.AC =AG +GF +FC =16，由AH ·AI =AG ·AF ，得AH(AH ＋7)＝2×(2＋13)，解得AH ＝3，从而HI ＝7，BI ＝6．设BD ＝x ，CE ＝y ，则由圆幂定理得•CD ＝CF •CG•BE ＝BI •BH (16－x )＝1×14(16－y )＝6×13.＝10－22＝6－22.故DE ＝16－(x ＋y )＝222.14.t ＝2或3≤t ≤7或t ＝8.提示：本题通过点的移动及直线与圆相切，考查分类讨论思想.由题意知∠AMQ ＝60°，MN ＝2．当t ＝2时，圆P 与AB 相切；当3≤t ≤7时，点P 到AC 的距离为3，圆P 与AC 相切；当t ＝8时，圆P 与BC 相切．15．设AD ＝2，DC ＝1，作BE ⊥AC ，交AC 于E ．又设ED ＝x ,则BE ＝3x ,BE ＝EC ＝3x ．又1＋x ＝3x ,∴x ＝3＋12,BE ＝3＋32,AE ＝AD －ED ＝2－x ＝3－32，AB 2＝AE 2＋BE 2＝（3－32）2＋（3＋32）2＝6，而AD •AC ＝6．∴AB 2＝AD •AC .故由切割线定理逆定理知，AB 是△BCD 的外接圆的切线．16．设AD AB ＝AEAC ＝m (0≤m ≤1).∵S △ABE S △ABC＝AE AC ＝m ，∴S △ABE ＝m S △ABC ．又∵S △BDE S △ABE ＝BD AB ＝AB －AD AB ＝1－m ，∴S △BDE ＝(1－m )•S △ABE ＝m (1－m )•S △ABC ．即K ＝(1－m )•mS ，整理得Sm 2－Sm ＋K ＝0,由△≥0得K ≤14S .17．分以下几种情况：①若此等腰三角形以OA 为一腰，且∠BAC 为顶角，则AO ＝AG ＝2．设C 1（―x ,2x ），则x 2＋（2x －2）2＝22，解得x ＝85，得C 1（85，165）．②若此等腰三角形以OA 为一腰，且O 为顶角顶点，则OC 2＝OC 3＝OA ＝2．设C 2（x ′，2x ′）,则x ′2＋（2x ′）2＝22，解得x ′＝255，得C 2（255，455）．又由点C 2与C 3关于原点对称，得C 3（―255，―455）．③若等腰三角形以OA 为底边，则C 4的纵坐标为1，其横坐标为12，得C 4(12，1)．所以，满足题意的点C 有4个，坐标分别为：（85，165）,（255，455）,（―255，―455）,(12，1).。
初中数学教学中数形结合方法的运用和分析
初中数学教学中数形结合方法的运用和分析初中数学教学中，数形结合方法是一种非常重要的教学手段，它能够帮助学生更好地理解数学知识，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
本文将从数形结合方法的定义、优点、运用和分析等方面进行探讨，希望能够对初中数学教学中数形结合方法的运用提供一些参考。
一、数形结合方法的定义数形结合是指数学教学中将数和图形结合起来，通过图形的形状、结构和变化来描述和解释数学问题。
数形结合方法通过将抽象的数学概念转化为直观的图形形式，帮助学生更好地理解和把握数学知识。
二、数形结合方法的优点1.增强学生的数学直观数学是一门抽象的学科，通过数形结合方法，学生不仅可以看到数学概念的抽象形式，还能够通过图形直观地感受数学知识，增强数学的直观性。
2.培养学生的数学思维数形结合方法可以锻炼学生的思维能力，帮助他们从不同的角度理解和解决数学问题，培养他们的逻辑思维和创造力。
3.提高学生的学习兴趣通过数形结合方法，学生可以在实际图形中感受数学知识的魅力，提高学习的兴趣，从而更加主动地学习数学知识。
三、数形结合方法的运用1.几何图形与运算的结合在教学中，可以通过几何图形和运算的结合，帮助学生更好地理解和掌握几何图形的性质和运算的方法。
比如通过实际的图形，让学生感受平行线与角度的关系，从而更好地理解几何运算。
2.函数图像与函数性质的结合在函数的教学中，可以通过函数图像和函数性质的结合，帮助学生更好地理解函数的性质和图像的特点。
比如通过函数的图像，让学生理解函数的增减性、奇偶性等性质。
3.统计图表与数据分析的结合在统计的教学中，可以通过统计图表和数据分析的结合，帮助学生更好地理解和分析数据。
比如通过实际的数据图表，让学生进行数据的比较和分析，从而更好地理解统计知识。
1.灵活运用数形结合方法需要根据不同的数学知识和学生的实际情况灵活运用，不能一概而论。
教师需要根据学生的学习水平和需求，选择合适的数形结合方法进行教学。
初中数学对学生数形结合思想的有效构建
初中数学对学生数形结合思想的有效构建数形结合思想是一种培养学生综合能力、全面发展思维的有效方法，在初中数学中起到了非常重要的作用。
下面就初中数学对学生数形结合思想的有效构建展开阐述。
数学与几何图形相结合，可以帮助学生形成直观的数学概念。
几何图形具有直观、形象的特点，能够帮助学生更好地理解和记忆数学概念。
将代数运算与平面图形相结合，可以帮助学生更好地理解和记忆二次根式的性质。
通过绘制图形，学生可以直观地观察到数值之间的关系，从而帮助他们深入理解数学概念。
数学与几何图形相结合，可以培养学生的空间想象能力。
几何图形是一种空间模型，通过探索几何图形的性质，可以培养学生的空间思维能力。
在学习平行线的性质时，可以通过绘制平行线的示意图，让学生通过观察图形来发现平行线之间的关系，进而培养他们的空间想象能力。
通过数形结合的学习，学生可以逐渐培养出良好的空间想象力，从而更好地理解和解决数学问题。
数学与几何图形相结合，可以提高学生解决实际问题的能力。
数学是一种抽象的学科，而几何图形则是对现实世界的一种具体表现。
通过将数学与几何图形相结合，可以将抽象的数学问题具体化，使学生更好地理解和运用数学知识解决实际问题。
在学习解方程时，可以通过绘制图形，将方程的解与图形的交点相联系，使学生能够更加直观地理解解的概念。
通过数形结合的学习，学生能够培养出解决实际问题的能力，提高他们的数学素养。
数学与几何图形相结合，可以激发学生对数学的兴趣和热爱。
几何图形是一种具有美感的形式，它可以激发学生对数学的兴趣和热爱，使他们对数学的学习更加主动和积极。
在学习平面几何时，可以引导学生体验绘制图形的乐趣，让他们发现图形中隐藏的美丽和规律，从而激发他们对数学的热爱。
通过数形结合的学习，学生可以体验到数学的美妙，进而提高他们的学习兴趣和主动性。
数形结合思想在初中数学中的应用是非常重要的。
通过数形结合的学习，可以帮助学生形成直观的数学概念，培养空间想象能力，提高解决实际问题的能力，并激发学生对数学的兴趣和热爱。
数形结合在初中数学教学中的有效运用
数形结合在初中数学教学中的有效运用数形结合是指将数学问题与几何形状相结合，通过对几何形状的分析和运算来解决数学问题。
在初中数学教学中，数形结合可以有效地帮助学生理解抽象的概念和性质，并提高学生的问题解决能力和创造力。
1.运用数形结合分析平行四边形的性质：让学生通过观察和实验，发现平行四边形的对角线互相平分。
通过实际测量验证这一性质，并用数学符号和公式进行表达和解释。
同时，通过数形结合指导学生使用平行四边形的性质解决相关的几何问题。
2.运用数形结合分析正方形的性质：通过展示正方形的数学模型，引导学生发现正方形的对角线相等、垂直相交、角平分线互相垂直等性质。
可以让学生通过观察和实验，通过数学表达和推理验证这些性质，并运用这些性质解决实际问题。
3.运用数形结合分析相似三角形的性质：通过比较不同大小的三角形，引导学生发现相似三角形的对应边成比例并且对应角相等的性质。
通过数学推理和证明，让学生理解相似三角形的定义和判定条件，并能够运用这些条件解决实际问题。
1.运用数形结合分析立方体的性质：通过展示立方体的数学模型，引导学生发现立方体的对角线相等、由正方形组成的表面等性质。
可以让学生通过观察和实验，通过数学表达和推理验证这些性质，并运用这些性质解决实际问题。
2.运用数形结合分析正方体的性质：通过展示正方体的数学模型，引导学生发现正方体的所有棱和角都相等，并具有由正方形组成的表面等性质。
可以让学生通过观察和实验，通过数学表达和推理验证这些性质，并运用这些性质解决实际问题。
1.运用数形结合分析图形的相似变换：通过比较原图形和变换后的图形，引导学生发现图形在进行相似变换时，对应的边成比例且对应角相等的性质。
通过数学推理和证明，让学生理解相似变换的定义和判定条件，并能够运用这些条件解决实际问题。
2.运用数形结合分析图形的旋转变换：通过比较原图形和旋转后的图形，引导学生发现图形在进行旋转变换时，对应的边长度不变且对应角度相等的性质。
初中数学学习中的解题技巧——数形结合
初中数学学习中的解题技巧——数形结合数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.用数形结合的思想解题可分两类：(1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常常要建立方程(组)或建立函数关系式等.数形结合所涉及的热点内容：在初中教材中，“数”的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而“形”的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数图象对应一条直线，二次函数的图像对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.1. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．【思路点拨】首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去.第1个图形是2×3-3，第2个图形是3×4-4，第3个图形是4×5-5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n^2+2n．【答案与解析】第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋（2×3-3）个；第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子（3×4-4）个；第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子（4×5-5）个；按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n（n+2）.故答案为n（n+2）=n2+2n.【总结升华】这样的试题从最简单的图形入手.找出图形中黑点的个数与第n个图形之间的关系，找规律需要列出算式，一律采用原题中的数据，不要用到计算出来的结果来找规律.举一反三：【变式】用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第n 个图形比第(n-1)个图形多_____枚棋子．解：设第n个图形的棋子数为S1．第1个图形，S1=1；第2个图形，S2=1+4；第3个图形，S3=1+4+7；第n个图形，Sn=1+4+…+3n-2；第（n-1）个图形，Sn-1=1+4+…+[3（n-1）-2]；则第n个图形比第（n-1）个图形多（3n-2）枚棋子．2.已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-|c-b|的结果是 .A.a+cB.-a-2b+cC.a+2b-cD.-a-c【思路点拨】首先从数轴上a、b、c的位置关系可知：c＜a＜0；b＞0且|b|＞|a|，接着可得a+b＞0，c-b＜0，然后即可化简|a+b|-|c-b|可得结果．具体步骤为：① a,b,c的具体位置，在原点左边的小于0，原点右边的大于0.②比较绝对值的大小.|a|＜|c|＜|b|.③化简原式中的每一部分，看看绝对值内部（二次根式中的被开方数的底数）的性质，若大于零，直接提出来，若小于零，则取原数的相反数.④进行化简计算，得出最后结果.【答案与解析】从数轴上a、b、c的位置关系可知：c＜a＜0；b＞0且|b|＞|a|，故a+b＞0，c-b＜0，即有|a+b|-|c-b|=a+b+c-b=a+c．故选A．【总结升华】此题主要考查了利用数形结合的思想和方法来解决绝对值与数轴之间的关系，进而考察了非负数的运用.数轴的特点：从原点向右为正数，向左为负数，及实数与数轴上的点的对应关系．非负数在初中的范围内，有三种形式：绝对值（|a|），完全平方式(a±b)2，二次根式.性质：非负数有最小值是0；几个非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0.3. 图①是一个边长为的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是A.B.C.D.【思路点拨】这是完全平方公式的几何背景，用几何图形来分析和理解完全平方公式的实质.是一个很典型的“数形结合”的例子，用图形的变换来帮助理解代数学中的枯燥无味的数学公式.根据图示可知，阴影部分的面积是边长为（m+n）的正方形的面积减去中间白色的小正方形的面积（m2+n2），即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．【答案】B.【解析】（m+n）2-（m2+n2）=2mn．故选B．【总结升华】本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2-（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．举一反三【变式】如图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个空心正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长是多少？（2）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积；（3）观察图2，你能写出下列三个代数式：（m+n）2、（m-n）2、mn之间的关系吗？解：（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于（m-n）；（2）（m-n）2；（m+n）2-4mn；（3）（m-n）2=（m+n）2-4mn．4.我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短．这种“数形结合”的思想方法，非常有利于解决一些实际问题中的最大（小）值问题．请你尝试解决一下问题：（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是_____.（2）在图2中，相距3km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线CD）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：①作图确定水塔的位置；②求出所需水管的长度（结果用准确值表示）.（3）已知x+y=6，求的最小值？此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：①如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA= ____DB= ____.②在AB上取一点P，可设AP= _____，BP= _____.最小值为 ___．【思路点拨】（1）利用二次函数的顶点坐标就可得出函数的极值；（2）①延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD 于点P，则点P即为所求；②过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点E作EG⊥BD，交BD 的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形，进而利用勾股定理求出即可；（3）①作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，②在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y；最小值利用勾股定理求出即可.【答案与解析】（1）抛物线所对应的二次函数的最大值是4；（2）①如图所示，点P即为所求．（作法：延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD 于点P，则点P即为所求.说明：不必写作法和证明，但要保留作图痕迹；不连接PA不扣分；（延长BD，同样的方法也可以得到P点的位置．）②过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点E作EG⊥BD，交BD 的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形．∴FD=AC=CE=DG=1，EG=CD=AF．∵AB=3，BD=2，∴BF=BD-FD=1，BG=BD+DG=3，∴在Rt△ABF中，AF2=AB2-BF2=8，∴AF=2EG=2.∴在Rt△BEG中，BE2=EG2+BG2=17，∴BE=（cm）.∴PA+PB的最小值为cm.即所用水管的最短长度为cm.（3）图3所示，①作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，②在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y，③的最小值即为线段 PC和线段 PD长度之和的最小值，∴作C点关于线段AB的对称点C′，连接C′D，过C′点作C′E⊥DB，交BD延长线于点E，∵AC=BE=3，DB=5，AB=C′E=6，∴DE=8，..∴最小值为10．故答案为：①4；②x，y；③PC，PD，10．【总结升华】此题主要考查了函数最值问题与利用轴对称求最短路线问题，结合已知画出图象利用数形结合以及勾股定理是解题关键．作图题不要求写出作法，但必须保留痕迹.最后点题，即“xx即为所求”.5.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,图象过点(-1,2)和(1,0),且与y轴相交与负半轴.以下结论（1）a＞0；（2）b＞0；（3）c＞0；（4）a+b+c=0；（5）abc<0；（6）2a+b＞0;（7）a+c=1；（8）a＞1中,正确结论的序号是.【思路点拨】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【答案与解析】解：①由抛物线的开口方向向上，可推出a＞0，正确；②因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=＞0，又因为a＞0，∴b＜0，错误；③由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，错误；④由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，正确；⑤∵a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，错误；⑥由图象可知：对称轴x=＞0且对称轴x=＜1，∴2a+b ＞0，正确；⑦由图象可知：当x=-1时y=2，∴a-b+c=2， ---①当x=1时y=0，∴a+b+c=0， ---②①+②，得2a+2c=2，解得 a+c=1，正确；⑧∵a+c=1，移项得a=1-c，又∵c＜0，∴a＞1，正确．故正确结论的序号是①④⑥⑦⑧．【总结升华】考查二次函数的解析式、图象，及综合应用相关知识分析问题、解决问题的能力．二次函数y=ax2+bx+c图象与系数之间的关系：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．存在着“左同右异”，即a,b同号.对称轴在y轴的左边，a,b异号，对称轴在y轴的右边.（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．（5）当x=±1时，ax2+bx+c就变成了a±b+c了.这道题的第7小题：当x=1时，a+b+c=0……①当x=-1时，a-b+c=2……②,①+②得，2a+2c=2，即a+c=1.举一反三【变式】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，x=是该抛物线的对称轴．根据图中所提供的信息，请你写出有关a，b，c的四条结论，并简单说明理由．解：①∵开口方向向上，∴a＞0，②∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，③∵对称轴为x=＞0，∴a、b异号，即b＜0，④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，⑤当x=1时，y=a+b+c＜0，⑥当x=-1时，y=a-b+c＞0．结论有：a＞0，b＜0，c＜0，a+b+c＜0，a-b+c＞0等．。
七年级数形结合知识点
七年级数形结合知识点七年级的数学学科主要包括数学基本概念、线性函数、数形结合、初中数学的应用等方面的学习内容。
数形结合是其中的一大重点，通过数学与几何图形之间的结合，深化学生对于数学的理解，提高数学水平。
本文将从数形结合的定义、概念、方法等方面入手，详细介绍七年级数形结合知识点。
一、数形结合的定义数形结合是指将数学和几何图形结合起来分析、研究问题的一种数学方法。
七年级数学中的数形结合主要是在几何图形的周长、面积、体积等数量上进行数学运算，并运用代数方法解题。
数形结合要求学生掌握一些基本技能，如使用数字、公式等方法求解几何图形的周长、面积等数量。
此外，还需要学生能够熟练掌握大量的几何图形的公式，如正方形、长方形、圆等，以便运用到实际问题中去。
二、数形结合的概念数形结合主要是通过将数学的代数学与几何学相结合，使学生对于几何图形的性质和特点有更深入的认识和掌握，从而更好地运用到解决实际问题中。
通过数形结合，学生不仅可以加深对数学概念的理解，还能掌握一些数学方法，并培养逐步发展的计算习惯。
三、数形结合的方法数形结合存在与多种数学领域中，例如：代数、几何、统计学、微积分学等。
以下是数形结合在七年级数学中常见的几种方法：1、找规律找规律是解决数形结合问题中最常用的方法之一。
通过找到问题中存在的规律，使学生更快速地理解问题并进行求解。
例如：求边长为3的正方形的面积。
解法：由于正方形的面积公式为L*L，因此该问题的解答为3*3=9。
通过找到公式规律，学生能够十分快速地解出该问题。
2、代数运算代数运算是数形结合解决问题的另一种常用方法。
通过使用代数式解决问题，能够简化多项式解决问题的难度。
例如：计算边长为x的正方形的周长。
解法：由于正方形的周长公式为4L，因此该问题的解答为4x。
通过使用代数变量，学生可以更快速地解决该问题。
3、几何转换几何转换是另一种常用的数形结合方法，在解决问题时，将问题的形式进行转换，从而更容易解答。
数形结合在初中数学教学中的应用
数形结合在初中数学教学中的应用
数形结合是指在数学教学中，通过通过画图的形式，把数学中的抽象概念变成直观的
图形，达到加深学生对数学知识的理解和记忆，提高数学应用能力的教学方法。
在初中数
学教学中，数形结合具有以下优点。
一、提高学生的学习兴趣
二、加深学生的理解和记忆
通过图形的呈现，学生们可以更直观地看到数学知识的本质和特点，有助于加深对知
识的理解。
特别是在初中数学中，数学知识的逻辑性和连贯性非常重要，数形结合可以帮
助学生更好地把握数学知识的思维路径和关系，从而加深对知识的记忆。
三、提高数学应用能力
数学中的许多问题都需要学生们运用知识进行推导和解决。
而数形结合的教学方法，
能够帮助学生更好地理解各种数学问题的本质和特点，从而更灵活地运用所学知识解决实
际问题，提高数学应用能力。
四、增强交流与合作
数形结合的教学方法通常需要学生们配合老师或同学进行讲解和解答。
在这个过程中，学生们需要尽可能地将自己的想法表达清晰，同时也要注意听取他人的意见并做出合理的
反应。
这不仅有助于增强学生的交流能力和口头表达能力，还能够增强学生的合作精神和
团队意识。
五、适用范围广泛
数形结合的教学方法适用范围非常广泛。
无论是初中数学中的几何、代数等方面，还
是高中数学中的微积分、概率论等方面，都可以采用数形结合的教学方法，增强学生的理
解和记忆，提高数学应用能力。
总之，数形结合是一种有效的数学教学方法，在初中数学教学中具有不可替代的作用。
教师应该充分借助数形结合的教学方法，为学生们带来更生动、直观和有趣的数学学习体验。
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阅读与思考
数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题； 反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合， 是一种重要的数学思想．
运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要 体现在一下几个方面：
11．如图，数轴上标有 2n 1个点，它们对应的整数是 n,(n 1),,2,1,0,1,2,, n 2, n 1, n ．为 了确保从这些点中可以取出 2006 个，使任何两个点之间的距离都不等于 4．求 n 的最小值．
（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）
是（
）．
A．－1
B．0
C．1
D．2
（“希望杯”邀请赛试题）
9．已知 a, b, c, d 为有理数，在数轴上的位置如图所示：
且 6 a 6b 3c 4 d 6 ，求 3a 2d 3b 2a 2b c 的值．
10．电子跳蚤落在数轴上的某点 Ko ，第一步从 Ko 向左挑一个单位到 K1 ，第二步由 K1 向右跳 2 个单位 到 K2 ，第三步由 K2 向左跳 3 个单位到 K3 ，第四步由 K3 向右跳 4 个单位到 K4 ，…，按以上规律跳了 100 步时，电子跳蚤落在数轴上的点 K100 所表示的数恰是 19.94．则电子跳蚤的初始位置 Ko 点所表示的
数是_________________．
11．如图，已知 A, B 分别为数轴上两点， A 点对应的数为－20， B 点对应的数为 100． （1）求过 A, B 中点 M 对应的数． （2）现有一只电子蚂蚁 P 从 B 点出发，以 6 个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发，以 4 个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 C 点相遇，求 C 点对应的数． （3）若当电子蚂蚁 P 从 B 点出发时，以 6 个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A
点出发，以 4 单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 D 点相遇，求 D 点对应的数．
B级
1．有理数 a, b, c 在数轴上的位置如图所示：
则化简 a b b 1 a c 1 c 的结果为_____________________．
2．电影＜＜哈利·波特＞＞中小哈利·波特穿墙进入“ 9 3 站台”的镜头（如示意图中 M 站台），构 4
④求 x 1 x 2 x 3 ... x 1997 的最小值．
（江苏省南京市中考试题）
解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式 a b 所表示的意义，来回答所提出的具体问题．
【例 5】 某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑 15，7，11，3，14 台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小， 三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？
（湖北省荆州市竞赛试题） 解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来．解题的关键是怎样将实际问
题转化为求 y x a1 x a2 ••• x an 的最小值．
【例 6】 如图， A 是数轴上表示－30 的点，B 是数轴上表示 10 的点，C 是数轴上表示 18 的点， 点 A, B,C 在数轴上同时向正方向运动．点 A 运动的速度是 6 个单位长度/秒，点 B 和点 C 运动的速度是
则点 A' 对应的数是________________，点 A 移动的距离是____________．
（“希望杯”邀请赛试题）
4．已知 a 0 ，b 0 且 a b 0 ，那么有理数 a,b,a, b 的大小关系是_________________________．（用
“＜”号连接）
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
解题思路：从化简等式入手，而 c a b 是解题的关键． 2
【例 4】 （1）阅读下面材料：
点 A, B 在数轴上分别表示实数 a, b, A, B 两点之间的距离表示为 AB ．当 A, B 两点中有一点在原点
时， 当 A、B 两点都不在原点时， ①如图 2，点 A、B 都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|； ②如图 3，点 A、B 都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；③如图 4，点 A、 B 在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|； 综上，数轴上 A、B 两点之间的距离|AB|＝|a－b|． （2）回答下列问题： ①数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2 和－5 的两点之间的距离是 ______________，数轴上表示 1 和－3 的两点之间的距离是________________； ②数轴上表示 x 和－1 的两点 A 和 B 之间的距离是______________，如果|AB|＝2，那么 x 为_________； ③当代数式|x＋1|十|x－2|取最小值时________，相应的 x 的取值范围是___________．
离较远的点对应的数是______________．
（江苏省竞赛试题）
2．如果数轴上点 A 到原点的距离为 3，点 B 到原点的距离为 5，那么 A, B 两点的距离为______________．
3．点 A, B 分别是数 3 ， 1 在数轴上对应的点，使线段 AB 沿数轴向右移动到 A'B' 的中点对应数 3， 2
C．3
D．4
（“祖冲之”邀请赛试题）
7．有理数 a,b, c 在数轴上的位置如图所示，式子 a b a b b c 化简结果为（ ）． A． 2a 3b c B． 3b c C． b c D． c b
8．如图所示，在数轴上有六个，且 AB BC CD DE EF ，则与点 C 所表示的数最接近的整数
D． D点
（“新世纪杯”广西初中数学竞赛试题）
9．已知 x 2 1 x 9 y 5 1 y ，求 x y 的最大值和最小值．
（江苏省竞赛试题）
10．如图，在环形运输线路上有 A, B,C, D, E, F 六个仓库，现有某种货物的库存量分别是 50 吨、84 吨、
80 吨、70 吨、55 吨和 45 吨．要对各仓库的存货进行调整，使得每个仓库的存货量相等，但每个仓库只 能相相邻的仓库调运，并使调运的总量最小．求各仓库向其他仓库的调运量．
3 个单位长度/秒．设三个点运动的时间为 t（秒）． （1）当 t 为何值时，线段 AC＝6（单位长度）？ （2）t≠5 时，设线段 OA 的中点为 P，线段 OB 的中点为 M，线段 OC 的中点为 N，求 2PM－PN＝2 时 t 的值．
（湖北省荆州市竞赛试题）
解题思路：（1） A, B, C 三点在数轴上同时向正方向运动，分别当 A 点运动到 C 点左侧和右侧两
是_________________． （河南省竞赛试题）
4．若 a 0,b 0 ，则使 x a x b a b 成立的 x 的取值范围是__________________．
（武汉市选拔赛试题）
5．如图，直线上有三个不同的点 A, B,C ，且 AB BC ，那么，到 A, B,C 三点距离的和最小的点为（
B．只有一个 x 使 y 去最小值 D．有无穷多个 x 使 y 取最小值
（全国初中数学联赛试题）
8．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距 1 个单位，点 A, B,C, D 对应的数分别是整数 a, b, c, d ， 且 b 2a 9，那么数轴的原点对应点是（ ）．
A． A点
B． B点
C． C点
有（ ）个．
A．4
B．3
C．2
D．1
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：从数轴上得到 a 1 0 b c 1 ，再对代数式进行逐以一判断．
【例 3】 如图所示，已知数轴上点 A, B,C 所对应的数 a, b, c 都不为 0，且 C 是 AB 的中点．如 果 a b a 2c b 2c a b 2c 0，试确定原点 O 的大致位置．
种情况来分析求解．
（2）先将 P, M , N 三个点在数轴上表示的数分别写出来，因点 M 始终在点 N 左侧，则分为“点 P
在 M , N 左边”，“点 P 在 M , N 之间”，“点 P 在 M , N 右边”三种情况来求解．
能力训练
A级
1．已知数轴上表示负数有理数 m 的点是点 M ，那么在数轴上与点 M 相距 m 个单位的点中，与原点距
照上述规律，点 A2008 , A2009 所表示的数分别为（
）．
A．2008，－2009 B．－2008，2009 C．1004，－1005 D．1004，－1004 （福建省泉州市中考试题）
7．设 y x 1 x 1 ，则下列四个结论中正确的是（ ）．
A． y 没有最小值 C．有限个 x （不止一个）使 y 去最小值
（北京市“迎春杯”竞赛试题） 解题思路：确定 A，B 在数轴上的位置，求出 A，B 两点所表示的有理数．
【例 2】 在数轴上和有理数 a, b, c 对应的点的位置如图所示．有下面四个结论：
① abc 0 ，② a b b c a c ，③ (a b)(b c)(c a) 0 ，④ a 1 bc ，其中，正确的结论
）．
A． B 点外
B．线段 AC 的中点 C．线段 AC 外一点
D． 无穷多个 （“希望杯”邀请赛试题）
6．点 A1, A2 , A3,, An (n为正整数 ) 都在数轴上，点在原点 O 的左边，且 A1O 1，点 A2 在点 A1 的右
边，且 A2 A1 2 ，点 A3 在点 A2 的左边，且 A3 A2 3 ，点 A4 在点 A3 的右边，且 A4 A3 4 ， • • • ，依