高三文科数学期末试卷及答案

澄海区2008-2009学年度第一学期期末考试高三文科数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答第一部分(选择题)前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3．考生务必将第二部分(非选择题)的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分．4．考试结束后，监考员将第一部分的答题卡和第二部分的答题卷都收回，试卷由考生自己保管． 参考公式：柱体的体积公式Sh V =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 第一部分（选择题，共50分）一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑．1．已知集合}|{},023|{2a x x N x x x M >=>-+=，若N M ⊆，则实数a 的取值范围是A ．),3[+∞B ．),3(+∞C ．]1,(--∞D ． )1,(--∞ 2．函数4sin 1)(2xx f +=的最小正周期是 A ．2πB ．πC ．π2D ．π4 3．函数xx y 142+=的单调递增区间是A ．),0(+∞B ．),21(+∞C ．)1,(--∞D ．)21,(--∞4．若ABC ∆的内角A 满足322sin =A ，则=+A A cos sinA ．315B ．315-C ．35D ．35-5．已知|a |=3，|b |=5，且12=⋅b a ，则向量a 在向量b 上的投影为A ．512B ．3C ．4D ．5 6．已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，那么前八项之和等于( )B.217．记等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若||||113a a =，且公差0<d ，则当n S 取最大值时，=nA ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．7或8OO 'MQP N BA8．若函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是A ．),31(+∞B ．]31,(-∞C ．),31[+∞D ．)31,(-∞9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④10．若定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2，且当[]1,0∈x 时，(),x x f =，则函数()x x f y 3log -=的零点个数是A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个第二部分（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分. （一）必做题：第11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答． 11．记等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若431,,a a a 成等比数列，则3523S S S S --的值为 ．12．右图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果主视图、侧视图所对应的三角形都是边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为 ．13．已知点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域上运动，则y x z -=的最大值是 ；最小值是 ．（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能选做一题，二题全答的，只计算前一题的得分． 14．（坐标系与参数方程选做题）曲线⎩⎨⎧==θθsin cos y x (θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是 ．15．（几何证明选讲选做题）如下图4，⊙'O 和⊙O 相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙'O 于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3,NQ＝15，则PN ＝__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．(本小题满分13分)在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=．（Ⅰ）若ABC △的面积等于，求a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积． 17．(本小题满分13分)已知数列}{n a 中，02,311=-=+a a a n n ,数列}{n b 中，())( 1*N n a b nn n ∈-=⋅．（Ⅰ）求数列}{n a 通项公式；（Ⅱ）求数列}{n b 通项公式以及前n 项的和． 18．(本小题满分14分)已知二次函数cx bx ax x f ++=2)(，不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(．(Ⅰ)若方程06)(=+a x f 有两个相等的实根，求)(x f 的解析式； (Ⅱ)若)(x f 的最大值为正数，求实数a 的取值范围． 19．(本小题满分14分)如图（1），ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，将AEF ∆沿EF 折起， 使A '在平面BCEF 上的射影O 恰为EC 的中点，得到图（2）．（Ⅰ）求证：EF A C '⊥；（Ⅱ）求三棱锥BC A F '-的体积．20．(本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211=a 且)2(021≥=⋅+-n S S a n n n ． (Ⅰ)求证}1{nS 是等差数列，并求出n a 的表达式； (Ⅱ) 若)2()1(2≥-=n a n b n n ，求证122322<+++n b b b ．21．(本小题满分12分)已知实数a≠0，函数()()R x x ax x f ∈-=22)(．(Ⅰ)若函数)(x f 有极大值32，求实数a 的值； (Ⅱ)若对]1,2[-∈∀x ，不等式916)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围． 澄海区2008-2009学年度第一学期期末考试高三文科数学参考答案一、选择题CDBAA DCCAB 二、填空题11、21或2； 12、334； 13、2，1-；14、2； 15、 三、解答题16、(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=， ----------2分又因为ABC △的面积等于，所以1sin 2ab C =4ab =． ----------4分联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． ----------6分 （Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A = ----------7分 当cos 0A =时，2A π=，6B π=，3a =3b = 当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =， ----------9分联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得3a =3b =． ----------12分所以ABC △的面积1sin 23S ab C ==． ----------13分 17、(本小题满分13分) 解：（1）∵021=-+n n a a∴)1(21≥=+n a a nn -----------2分 又31=a∴{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列 -----------4分∴*)(231N n a n n ∈⋅=- -----------6分（2）∵())( 1*N n a b nn n ∈-=⋅∴nn n a b 1)1(⋅-= =1231)1(-⨯⋅-n n -----------8分∴n n b b b S +⋅⋅⋅++=211231)1(23131-⨯⋅-+⋅⋅⋅+⨯+-=n n -----------10分 =211)21(131+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---n=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n )21(192=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1)21(92n -----------13分 18、(本小题满分14分)解：（Ⅰ）∵不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(∴1=x 和3=x 是方程)0(0)2(2<=+++a c x b ax 的两根 -----------1分∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+342ac ab -----------2分∴a c a b 3,24=--= -----------3分 又方程06)(=+a x f 有两个相等的实根∴0)6(42=+-=∆a c a b -----------4分∴094)12(42=⨯-+a a a∴0)1)(15(=-+a a∴51-=a 或1=a （舍） -----------5分 ∴53,56,51-=-=-=c b a -----------6分∴535651)(2---=x x x f -----------7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知a x a ax x f 3)12(2)(2++-=aa a 142---= -----------9分∵0<a ，∴)(x f 的最大值为aa a 142--- -----------11分∵)(x f 的最大值为正数∴⎪⎩⎪⎨⎧>---<01402a a a a∴⎩⎨⎧>++<01402a a a 解得32--<a 或032<<+-a -----------13分∴所求实数a 的取值范围是)0,32()32,(+----∞ -----------14分 19、(本小题满分14分)（Ⅰ）证法一：在ABC ∆中，EF 是等腰直角ABC ∆的中位线，EF AC ∴⊥ -----------2分在四棱锥BCEF A -'中，E A EF'⊥，EC EF ⊥，EF ∴⊥平面A EC '， -----------5分又⊂'C A 平面A EC ',EF A C '∴⊥ -----------7分证法二：同证法一EFEC ⊥ -----------2分EF ∴⊥平面A EC '， -----------5分又⊂'C A 平面A EC ',EF A C '∴⊥ -----------7分（Ⅱ）在直角梯形EFBC 中，4,2==BC EC ,421=⋅=∴∆EC BC S FBC -----------9分 又A O '垂直平分EC ，322=-'='∴EO E A O A -----------11分∴FBC A BC A F V V -''-=334=-----------13分 ∴三棱锥BC A F '-的体积为334 -----------14分20、(本小题满分14分)（I ）证明：∵n n a a a S +⋅⋅⋅++=21∴当n ≥2时，a n = S n – S n – 1 -----------1分 又021=+-n n n S S a∴)2(0211≥=+---n S S S S n n n n ， -----------3分若S n = 0，则a n = 0，∴a 1 = 0与a 1 =21矛盾！ ∴S n ≠0，S n – 1≠0． ∴02111=+--n n S S 即2111=--n n S S -----------5分 又21112=-S S ． ∴{nS 1}是首项为2，公差为2的等差数列 -----------6分 解：由（I ）知数列{nS 1}是等差数列．∴n n S n 22)1(21=⋅-+=即nS n 21= -----------7分 ∴当)1(21)1(2121,21--=--=-=≥-n n n n S S a n n n n 时 -----------8分 又当21,111===a S n 时 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--==)2()1(21)1(21n n n n a n -----------9分（III ）证明：由（II ）知)2(1)1(21)1(2≥=-⋅-=n nn n n b n -----------10分∴2222232213121n b b b n +++=+++nn )1(1321211 -++⨯+⨯< -----------12分 )111()3121()211(n n --++-+-= 111<-=n-----------14分 21、(本小题满分12分)解：（Ⅰ）ax ax ax x ax x f 44)2()(232+-=-=)2)(32(3483)( 2--=+-=∴x x a a ax ax x f -----------2分令f x '()=0得0)2)(32(3=--x x a∴x =23或x =2 -----------4分 () f x ax x x R ()()=-∈22有极大值32，又f ()20=∴f x ()在32=x 时取得极大值 -----------5分 27322732)32(===∴a a f ， -----------6分（Ⅱ）由)2)(32()( --=x x a x f 知：当0>a 时，函数f x ()在]32,2[-上是增函数，在]1,32[上是减函数此时，a f y 2732)32(max == -----------7分又对]1,2[-∈∀x ，不等式916)(<x f 恒成立∴9162732<a 得23<a ∴230<<a -----------9分当0<a 时，函数f x ()在]32,2[-上是减函数，在]1,32[上是增函数又a f 32)2(-=-，a f =)1(，此时，a f y 32)2(max -=-= -----------11分 又对]1,2[-∈∀x ，不等式916)(<x f 恒成立 ∴91632<-a 得181->a ∴0181<<-a -----------11分 故所求实数的取值范围是)23,0()0,181( - -----------12分。