2019~2020厦门市高一上学期期末考试数学试题及答案

福建省厦门市2019-2020学年高一上学期质量检测期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B =（ ）A ．{}|12x x -<≤B ．{}|01x x ≤<C ．{}|12x x <≤D ．{}1|0x x <<2．已知函数()f x 的定义域为[2,3]-，则函数2()g x = ）A ．(,1)(2,)-∞-+∞ B ．[6,1)(2,3]--⋃C ．[1)-⋃D ．[2,1)(2,3]--⋃3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与直线3y x =重合，且sin 0α<，又()P m n ,是角α终边上一点，且OP =O 为坐标原点)，则m n -等于（ ） A ．2B ．2-C ．4D ．4-4．某工厂前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 值为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．65．12ln211lg2lg 54e -⎛⎫--- ⎪⎝⎭（ ）A ．-1B ．12C ．3D ．-56．已知a ，b 都为单位向量，且a ，b 夹角的余弦值是45，则2(a b -= )A ．45B ．95C D7．已知cos()6πα+=，则sin(2)6απ-的值为（ ）A ．3B ．13C ．13-D ．3-8．已知函数，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个不同实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则1234x x x x +++的取值范围为（ ）A ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．12,4⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．[)2,-+∞D ．()2,-+∞9．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -。

例如，当()31x x ϕ=，()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈。

则下列命题中正确的是：（ ）A ．设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =”B ．函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值C ．若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉D ．若函数()()()2ln 22,1xf x a x x a R x =++>-∈+有最大值，则()f x B ∈ 10．已知,,,O A B C 为平面上两两不重合的四点，且()00xOA yOB zOC xyz ++=≠，则（ ）．A ．当且仅当0xyz <时，O 在ABC ∆的外部B ．当且仅当::3:4:5x y z =时，4ABC OBC S S ∆∆=C ．当且仅当x y z ==时，O 为ABC ∆的重心D ．当且仅当0x y z ++=时，,,A B C 三点共线 11．计算：1726cos()sin 43ππ-+=_____． 12．已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≥，若A B B ⋃=，则实数a 的取值范围是_______.13．在平面直角坐标系中，角α终边过点()2,1P ，则2cos sin2αα+的值为__________． 14．在平面内，点A 是定点，动点B ，C 满足||1AB AC ==，0AB AC ⋅=，则集合{|,12}P AP AB AC λλ=+≤≤所表示的区域的面积是________.15．某辆汽车以/xkm h 的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60120x ≤≤）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500()5x k L x-+，其中k 为常数.若汽车以120/km h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，欲使每小时的油耗不超过．．．9L ，则速度x 的取值范围为___．16．偶函数()y f x =满足()()33f x f x +=-，在[)3,0x ∈-时，()2xf x -=．若存在1x ，2x ，…n x ，满足120n x x x ≤<<<…，且()()()()()()122312019n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=…，则n x 最小值为__________．17．已知函数()sin()(0,0)2f x A x πωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若α为第二象限角且3sin 5α=，求()f α的值. 18．已知函数()1515xxf x -=+． （1）写出()f x 的定义域； （2）判断()f x 的奇偶性；（3）已知()f x 在定义域内为单调减函数，若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．19．ABC ∆是边长为3的等边三角形，2BE BA λ=,1(1)2BF BC λλ=<<,过点F 作DF BC ⊥交AC 边于点D ，交BA 的延长线于点E ．（1）当23λ=时，设,BA a BC b ==，用向量,a b 表示EF ； （2）当λ为何值时，AE FC ⋅取得最大值，并求出最大值． 20．如图，已知P 是单位圆（圆心在坐标原点）上一点，3xOP π∠=，作PM x ⊥轴于M ，PN y ⊥轴于N ．（1）比较OM 与6π的大小，并说明理由；（2）AOB ∠的两边交矩形OMPN 的边于A ，B 两点，且4AOB π∠=，求OA OB ⋅的取值范围．21．如图，河的两岸分别有生活小区ABC 和DEF ，其中,,AB BC EF DF DF AB ⊥⊥⊥，,,C E F 三点共线，FD 与BA 的延长线交于点O ，测得3AB km =，4BC km =，94DF km =，3FE km =，32EC km =，若以,OA OD 所在直线分别为,x y 轴建立平面直角坐标系xOy 则河岸DE 可看成是曲线x by x a+=+（其中,a b 是常数）的一部分，河岸AC 可看成是直线y kx m =+（其中,k m 为常数）的一部分．（1）求,,,a b k m 的值．（2）现准备建一座桥MN ，其中,M N 分别在,DE AC 上，且MN AC ⊥，M 的横坐标为t ．写出桥MN 的长l 关于t 的函数关系式()l f t =，并标明定义域；当t 为何值时，l 取到最小值？最小值是多少？22．设()f x 是定义在[,]a b 上的函数，若存在(,)x a b ∈，使得()f x 在[,]a x 单调递增，在[,]x b 上单调递减，则称()f x 为[,]a b 上的单峰函数，x 为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间，其含峰区间的长度为：b a -．（1）判断下列函数中，哪些是“[0,1]上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因；2123241()2,()121,()log ,()sin 42f x x x f x x f x xf x x ；（2）若函数3()(0)f x ax x a是[1,2]上的单峰函数，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 是区间[0,1]上的单峰函数，证明：对于任意的1212,(0,1),x x x x ，若12()()f x f x ，则2(0,)x 为含峰区间；若12()()f x f x ≤，则1(,1)x 为含峰区间；试问当12,x x 满足何种条件时，所确定的含峰区间的长度不大于0.6．参考答案1．B 【解析】 【分析】由交集定义直接求解即可. 【详解】集合{|11}A x x =-<<，{|02}B x x =≤≤，则{|01}A B x x ⋂=≤<. 故选B. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】利用复合函数的定义域和偶次根式和分母有意义的条件列不等式组可解得. 【详解】因为函数()f x 的定义域为[2,3]-,所以要使2()g x =,只需2223320x x x ⎧-≤-≤⎨-->⎩,解得:1x ≤<-或2x <≤所以函数()g x 的定义域为[1)-⋃. 故选C. 【点睛】本题考查了复合函数的定义域的求法.属中档题. 3．A 【解析】由题意可得0,3m n m <=，根据OP =,m n 的值，即可求解m n -得值，得到答案. 【详解】由题意，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与直线3y x =重合， 且sin 0α<，所以α为第三象限角.又()P m n ,是角α终边上一点，所以0,3m n m <=，再根据OP m ===（O 为坐标原点）， 所以1,3m n =-=-，则2m n -=， 故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及其应用，其中解答熟练应用三角函数的定义，列出方程求得m 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】根据图中表示工厂前m 年的总产量S 与m 之间的关系，得出平均产量的几何意义是原点与该点连线的斜率，从而得出答案． 【详解】解：∵工厂前m 年的总产量S 与m 在图中对应(),P S m 点， ∴前m 年的年平均产量即为直线OP 的斜率， 由图得，当5m =时，直线OP 的斜率最大， 即前5年的年平均产量最高， 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数图象的应用问题，也考查了统计中的散点图的应用问题，解题的关键是正确分析出平均产量的几何意义是什么． 5．A【分析】进行对数式、分数指数幂和根式的运算即可． 【详解】原式＝lg 2+lg 5﹣2﹣2+2＝lg 10﹣2＝1﹣2＝﹣1． 故选A ． 【点睛】本题考查对数式，根式和分数指数幂的运算，考查学生计算能力，属于基础题． 6．D 【解析】 【分析】利用1a b ==，结合数量积的定义可求得2a b -的平方的值，再开方即可． 【详解】依题意1a b ==，2222(2)44a b a b a b a b ∴-=-=+-⋅===，故选D ． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 7．B 【解析】∵cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.8．B 【解析】由题意作函数()y f x =与y a =的图象，从而可得124x x +=-，240log 2x <，341x x =，再结合对勾函数的性质，从而得解； 【详解】解：结合()y f x =与y a =的图象可知：124x x +=-，240log 2x <≤，341x x ⋅=，故124x x +=-，414x <≤， 由对勾函数()1g x x x =+的图象可知函数()1g x x x =+在[)1,+∞单调递增， 当(]1,4x ∈时，()172,4g x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以34441172,4x x x x ⎛⎤+=+∈ ⎥⎝⎦， 故1234124x x x x -<+++≤， 故选：B ． 【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题 9．ACD 【解析】 【分析】A 选项中，根据函数的定义域、值域的定义，转化成用简易逻辑语言表示出来；B 选项中举反例保证函数的值域为集合[],M M -的子集，但值域是一个开区间，从而说明函数没有最值；C 选项中从并集的角度认识函数值域，可以发现()()f x g x R +∈，从而发现命题正确；D 选项中从极限的角度证明0a >，0a <均不成立，所以0a =，再求出函数()f x 的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，从而得到命题D 正确. 【详解】对A ，“()f x A ∈”即函数()f x 值域为R ，“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =”表示的是函数可以在R 中任意取值，故有：设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =”，∴命题A 是真命题；对B ，若函数()f x B ∈，即存在一个正数M ，使得函数()f x 的值域包含于区间[],M M -． ()M f x M ∴-．例如：函数()f x 满足2()5f x -<<，则有5()5f x -，此时，()f x 无最大值，无最小值．∴命题B “若函数()f x B ∈，则()f x 有最大值和最小值．”是假命题； 对C ，若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()f x 值域为R ，()(,)f x ∈-∞+∞，并且存在一个正数M ，使得()M g x M -，()()f x g x R ∴+∈，则()()f x g x B +∉．∴命题C 是真命题．对D ，函数2()(2)(2,)1xf x aln x x a R x =++>-∈+有最大值，∴假设0a >，当x →+∞时，201xx →+，(2)ln x +→+∞，(2)aln x ∴+→+∞，则()f x →+∞，与题意不符； 假设0a <，当2x →-时，2215x x →-+，(2)ln x +→-∞，(2)aln x ∴+→+∞，则()f x →+∞，与题意不符.0a ∴=，即函数2()(2)1xf x x x =>-+，当0x >时，12x x+，11012x x∴<+，即10()2f x <；当0x =时，()0f x =；当0x <时，12x x +-，11012x x∴-<+，即1()02f x -<． 11()22f x ∴-≤≤，即()f x B ∈，故命题D 是真命题．故选：ACD . 【点睛】本题以新定义概念为问题背景，考查函数值域的概念、基本不等式、充要条件、双勾函数等知识的综合，还考查了极限思想、数形结合思想、分类讨论思想的综合应用，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题． 10．CD 【解析】 【详解】当1x y z ===-时，O 为ABC ∆的重心，在ABC ∆的内部，所以选项A 不正确；当0x y z ++≠时，y z y z y zAO AB AC AB AC x y z x y z x y z y z y z ⎛⎫+=+ ⎪++++++++⎝⎭，1OBC ABC S y z xS x y z x y z∆∆+=-=++++，所以1,2x y z ===时也有4ABC OBC S S ∆∆=，所以选项B 错误；对于选项C 重心的几何意义不难得出是正确的：()00xOA yOB zOC xyz ++=≠可化为()0x y z OA yAB zAC ++++=，由于0xyz ≠，所以当且仅当0x y z ++=时，,,A B C 三点共线，所以选项D 正确.11【解析】 【分析】利用诱导公式化简题目所给表达式，根据特殊角的三角函数值求得运算的结果. 【详解】依题意，原式17π26ππ2πcossin cos 4πsin 8π4343⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2πcossin 43=+=. 【点睛】本小题主要考查利用诱导公式化简求值，考查特殊角的三角函数值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.利用诱导公式化简，首先将题目所给的角，利用诱导公式变为正角，然后转化为较小的角的形式，再利用诱导公式进行化简，化简过程中一定要注意角的三角函数值的符号. 12．1a ≤ 【解析】 【分析】若A B B ⋃=则A ⊆B ，根据集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≥，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】若A B B ⋃=则A ⊆B ，又集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≥，所以1a ≤. 故答案为 1.a ≤ 【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系的判断与应用，集合的并集运算，属于基础题. 13．85【解析】 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cos α、sin α的值，从而求得2cos sin 2αα+的值． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，角α终边过点()2,1P ，∴2x =，1y =，r OP ==∴cos5x r α===，sin 5y r α===， 则24448cos sin 22sin cos 5555αααα+=+=+=， 故答案为：85． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 14．3π 【解析】 【分析】以A 为原点建立平面直角坐标系，根据0AB AC ⋅=设出,B C 两点的坐标，利用向量运算求得P 点的坐标，化简后可求得P 点的轨迹也即P 表示的区域，由此计算出区域的面积. 【详解】以A 为原点建立平面直角坐标系，由于||1AB AC ==，0AB AC ⋅=，即AB AC ⊥,故设()ππcos ,sin ,cos ,sin 22B C αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()sin ,cos C αα-，设(),P x y ，由AP AB AC λ=+得()(),cos sin ,sin cos x y λααλαα=-+，即cos sin ,sin cos x y λααλαα=-=+，则2221x y λ+=+，故P 表示的是原点在圆心，12λ≤≤，故P 的两个圆之间的扇环，故面积为π5π23π⨯-⨯=.【点睛】本小题主要考查数形结合的数学思想方法，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析求解能力，属于中档题. 15．[60,100] 【解析】 【分析】先利用120/km h 时的油耗，计算出k 的值，然后根据题意“油耗不超过9L ”列不等式，解不等式求得x 的取值范围. 【详解】由于“汽车以120/km h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ”，所以1450012011.55120k ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得100=k ，故每小时油耗为14500205x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，依题意145002095x x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，解得45100x ≤≤，依题意60120x ≤≤，故60100x ≤≤.所以速度x 的取值范围为[]60,100. 【点睛】本小题主要考查利用待定系数法求解析式，考查一元二次不等式的解法，考查实际应用问题，属于中档题. 16．1012 【解析】 【分析】由函数()y f x =是最小正周期为6的偶函数可知函数的值域为[1，8]，对任意i x ，(j x i ，1j =，2，3，⋯，)m ，都有|()()|()()7i j max min f x f x f x f x --=，要使m 取得最小值，尽可能多让(1i x i =，2，3，⋯，)m 取得最高点，然后可得n x 的最小值． 【详解】解：∵偶函数()y f x =满足()()()333f x f x f x +=-=-， ∴()()6f x f x +=，∴函数()y f x =是最小正周期为6的偶函数，且在[]3,0x ∈-时，()2xf x -=，∴函数的值域为[]1,8，对任意i x ，j x （i ，1,2,3,j m =…,），都有()()()()max min 7i j f x f x f x f x -≤-=，∵[]3,0x ∈-时，()2xf x -=单调递减，根据偶函数的对称性可知[]0,3x ∈时，()2xf x =单调递增，∵()01f =，()()338f f =-=，要使n x 取最小值，尽可能多让()1,23i x i n =,,…取最高点与最低点， 满足120n x x x ≤<<<…，且()()()()()()122312019n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=…，∵201972883=⨯+，∴()()()()()()()()033686486710081009f f f f f f f f -+-++--…+()()10091012f f +-()()()()45040113f f f f =⨯+-+-450401012018=⨯+-++=，则n x 最小值为1012， 故答案为：1012． 【点睛】本题考查函数的图象和性质，考查函数的有界性的应用，考查了分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，属于难题.17．(1) ()2(2)6f x sin x;(2) 7()2(2)625f sin παα-=+=【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：（1）根据图象可得周期T π=，故2ω=．再根据图象过点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭可得6π=ϕ．最后根据函数的图象过点()0,1可求得2A =，从而可得解析式．（2）由题意可得4cos 5=-α，进而可求得sin2α和cos2α，再按照两角和的正弦公式可求得()226f sin παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值． 试题解析：(1)由图可知，周期11521212T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∴22Tπω==. 又函数的图象过点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，∴5sin 2012A πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴52+=+2,12k k Z πϕππ⨯∈， ∴=+2,6k k Z πϕπ∈，∵02πϕ<<，∴6π=ϕ． ∴()26f x Asin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭, ∵函数图象过点()0,1， ∴sin16A π=，∴2A =，所以()226f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）∵α为第二象限角且3sin 5α=， ∴4cos 5=-α, ∴24sin22sin cos 25ααα==-，227cos2cos sin 25ααα=-=， ∴()24712sin 22(2cos2sin )2()66625252f sin cos πππαααα⎛⎫=+=+=⨯-⨯=⎪⎝⎭． 点睛：已知图象求函数()()sin f x A x ωϕ=+解析式的方法 （1）根据图象得到函数的周期T ，再根据2Tπω=求得ω． （2）ϕ可根据代点法求解，代点时一般将最值点的坐标代入解析式；也可用“五点法”求解，用此法时需要先判断出“第一点”的位置，再结合图象中的点求出ϕ的值．（3）在本题中运用了代点的方法求得A 的值，一般情况下可通过观察图象得到A 的值． 18．（1）{}x x R ∈（2）()f x 为奇函数．（3）13k <- 【解析】 【分析】（1）根据函数成立的条件即可求出()f x 的定义域； （2）根据函数的奇偶性的定义即可判断()f x 的奇偶性； （3）利用函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化即可． 【详解】解：（1）∵50x >，510x +>恒成立， ∴x ∈R ，即()f x 的定义域为{}x x R ∈．（2）∵由（1）得()f x 的定义域为{}x x R ∈关于原点对称，∴()()511551511551x x x x x x f x f x ------===-=-+++，∴()f x 为奇函数．（3）∵对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立， ∴()()2222f t t f t k -<--， 又∵()f x 是奇函数， ∴()()2222f t t f k t-<-又∵()f x 在定义域内为单调减函数． ∴2222t t k t ->-，即2320t t k -->对任意t R ∈恒成立， ∴4120k ∆=+<得13k <-即为所求． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断以及函数单调性的应用，综合考查了函数的性质．19．（1）4233a b -+；（2）916【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）由题意可知：23BF b =，且2323BF =⨯=， 4BE =，故4433BE BA a ==，4233EF BF BE a b =-=-+（Ⅱ）由题意，3,33BF FC λλ==-，6,63BE AE λλ==-，2279(63)(33)cos60922AE FC λλλλ⋅=--︒=-+- 当2732924λ=-=-⨯1(,1)2∈时， AE FC ⋅有最大值916．、20．（1）6OM π<，见解析（2）1,44⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】（1）记(0,1)C ，可求PC，||OM ，由||PC PC <，可得结论； （2）设AOx α∠=，[0,]4πα∈，1(2P ，记()f OA OB α=，分[0,]12πα∈，(,]124ππα∈两种情况进行讨论，表示出()f α，根据其单调性及端点处函数值可求得范围； 【详解】 解：（1）记()0,1C ，连接PC ，则236PC πππ=-=，依题意cos60PN PC PC OM ==︒<<，∴6OM π<；（2）设AOx α∠=，0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，122P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，记()f OA OB α=⋅， ①当0,12πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，11,tan 22A α⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,tan 224B πα⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()11tan tan 444f OA OB πααα⎛⎫=⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭ 211tan 11tan 1tan 41tan 41tan ααααα++⎛⎫=+=⋅ ⎪--⎝⎭ ()114cos cos sin ααα=⋅- 211114cos cos sin 21cos 2sin 2ααααα=⋅=⋅-+- 12124πα=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②当,124ππα⎛⎤∈⎥⎝⎦时，11,tan 22A α⎛⎫⎪⎝⎭，2tan 4B α ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()31tan 4tan 4f OAOB ααπα⎫⎪⎪=⋅=+⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21tan 1tan tan 1tan 1tan ααααα-+⎫=+=⎪++⎝⎭ ()114cos cos sin 21cos 2sin 2ααααα==++-1224πα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 综上，()11,0,2121241,,124224x f ππααππαπα⎧⎡⎤⋅∈⎪⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎪++ ⎪⎝⎭⎪=⎛⎤∈ ⎥⎛⎫⎝⎦++⎪ ⎪⎝⎭⎩，()f α在0,12πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦增函数，在,128ππα⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈是减函数，在,84ππα⎛⎤ ⎥⎝⎦∈是增函数，∵()104f =，12f π⎛⎫=⎪⎝⎭，8f π⎛⎫=⎪⎝⎭，4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()1,44f OA OB α⎡=⋅∈⎢⎣⎦．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换、平面向量的综合应用，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查学生解决问题的能力，属于中档题． 21．（1）4,7a b =-=-，4,23k m ==-.（2）19|49|,[0,3]54l t t t =+-∈-；当52t =时取到最小值，为1km 【解析】 【分析】 （1）计算70,4D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,4E ，3,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，9,42C ⎛⎫⎪⎝⎭，将点代入直线方程计算得到答案. （2）计算7,,[0,3]4t M t t t -⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，得到19()|49|,[0,3]54l f x t t t ==+-∈-，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）由题意得：4OD BC ==，OB FC =，∴70,4D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,4E ，3,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，9,42C ⎛⎫⎪⎝⎭， 把70,4D ⎛⎫⎪⎝⎭，()3,4E 代入x b y x a +=+得74343b a b a ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得：4,7a b =-=-，把3,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，9,42C ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入y kx m =+得302942k m k m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4,23k m ==-.（2）由（1）得：M 点在74x y x -=-上，∴7,,[0,3]4t M t t t -⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，①桥MN 的长l 为MN 到直线423y x =-的距离，故19()|49|,[0,3]54l f x t t t ===+-∈-； ②由①得：1919()|49||4(4)7|5454f t t t t t =+-=-++--， 而940,04t t -<<-，∴94(4)124t t -+≤-=--， 当且仅当94(4)4t t -=-时即52t =“=”成立，∴min 1()|127|15f t =-+=.【点睛】本题考查了函数的应用，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 22．（1）见解析（2）11,312a （3）证明见解析；120.40.6x x =⎧⎨=⎩ 【解析】 【分析】（1）画出四个函数图像，根据图像集合单峰函数的定义进行判断. （2）利用()f x 的导函数()'f x 的零点在区间()1,2列不等式，解不等式求得a 的取值范围.（3）分成12()()f x f x 、12()()f x f x ≤两种情况进行分类讨论，利用反证法证得结论成立.根据含峰区间的长度的概念列不等式，由此确定12,x x 满足的条件. 【详解】 （1）①21()2f x x x 图像如下图所示，其对称轴为14x =，由图可知，21()2f x x x 是[0,1]上的单峰函数，峰点为14；②2()121f x x 的图像如下图所示，其对称轴为12x =，由图可知，2()121f x x 是[0,1]上的单峰函数，峰点为12x =；③321()log 2f x x的图像如下图所示，根据图像可知，321()log 2f x x不是[0,1]上的单峰函数；④4()sin 4f x x 的图像如下图所示，其对称轴为π8x =，由图可知，4()sin 4f x x 是[0,1]上的单峰函数，峰点为8π.（2）函数3()(0)f x ax x a是[1,2]上的单峰函数，令()'2310f x ax =+=，解得x =1x ≤<()f x 2x <≤时，()f x 递减，所以12<<，解得11312a -<<-，故a 的取值范围是11,312⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（3）设0x 为()f x 的峰点，则由单峰函数定义可知，()f x 在[]00,x 上递增，在[]0,1x 上递减.当()()12f x f x ≥时，假设()020,x x ∉，则120x x x <≤，从而()()()021f x f x f x ≥>，与()()12f x f x ≥矛盾，所以()020,x x ∈，即()20,x 是含峰区间.当()()12f x f x ≤时，假设()01,1x x ∉，则012x x x ≤<，从而()()()012f x f x f x ≥>，与()()12f x f x ≤矛盾，所以()01,1x x ∈，即()1,1x 是含峰区间.在所得的含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x ，确定一个新的含峰区间，对先选择的12,x x ，12x x <，121x x =+①，在第一次确定的含峰区间为()20,x 的情况下，3x 的取值应满足312x x x +=②，由①②可得2131112x x x x =-⎧⎨=-⎩，当13x x >时，含峰区间的长度为1x .由条件130.2x x -≥，得()11120.2x x --≥，从而10.4x ≥.因此确定的含峰区间的长度不大于0.6，只要取120.40.6x x =⎧⎨=⎩.【点睛】本小题主要考查新定义的理解和运用，考查利用导数研究函数的单调性，考查反证法，综合性很强，属于难题.。