2019-2020高一第一学期期末考试数学
人教A版2019-2020学年天津一中高一第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题）1．函数f（x）＝ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）2．设a＝30.5，b＝log32，c＝cos，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a3．若θ∈[，]，cos2θ＝﹣则sinθ＝（）A．B．C．D．4．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．y＝sin2x+cos2x B．y＝sin2x cos2xC．y＝cos（4x+）D．y＝sin22x﹣cos22x5．在△ABC中，满足tan A•tan B＞1，则这个三角形是（）A．正三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形6．已知tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，则tan（α+）的值等于（）A．B．C．D．7．将函数y＝的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．8．函数y＝A sin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式（）A．y＝2sin （2x+）B．y＝2sin （2x+）C．y＝2sin （）D．y＝2sin （2x﹣）9．对于函数f（x）＝sin（2x+）的图象，①关于直线x＝﹣对称；②关于点（，0）对称；③可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位而得到；④可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍而得到．以上叙述正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知函数f（x）＝sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A．（0，] B．（0，]∪[，1）C．（0，] D．（0，]∪[，]二.填空题（共6小题）11．已知点P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ＝﹣，则x的值为．12．已知＜α＜π，且cos（）＝﹣，则cosα的值为．13．已知一个扇形的弧长为πcm，其圆心角为，则这扇形的面积为cm2．14．已知函数f（x）＝a sin x+b tan x﹣1（a，b∈R），若f（﹣2）＝2018，则f（2）＝．15．定义在R上的奇函数f（x）满足：对于任意x∈R有f（x+3）＝﹣f（x）．若tanα＝2，则f（15sinαcosα）的值为．16．己知函数，g（x）＝sin x+cos x+4，若对任意t∈[﹣3，3]，总存在，使得f（t）+a≤g（s）（a＞0）成立，则实数a的取值范围为．三、简答题（共4小题）17．已知0＜α＜，sinα＝．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos（2）的值；（Ⅲ）若0＜β＜且cos（α+β）＝﹣，求sinβ的值．18．已知﹣．（Ⅰ）求sin x﹣cos x的值．（Ⅱ）求的值．19．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．20．已知函数是定义在R上的奇函数，（1）求实数m的值；（2）如果对任意x∈R，不等式恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共10小题）1．函数f（x）＝ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】函数f（x）＝ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．解：∵f（1）＝ln（1+1）﹣2＝ln2﹣2＜0，而f（2）＝ln3﹣1＞lne﹣1＝0，∴函数f（x）＝ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），故选：B．2．设a＝30.5，b＝log32，c＝cos，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a【分析】首先根据所给的三个数字，按照对数函数和指数函数的性质进行比较，第一个数字第一个数字30.5＞30＝1，第二个数字＝log31＜log32＜log33＝1，第三个数字求出结果小于0，最后总结最后结果．解：∵在，三个数字中，第一个数字30.5＞30＝1，第二个数字0＝log31＜log32＜log33＝1第三个数字cos＝﹣＜0故选：A．3．若θ∈[，]，cos2θ＝﹣则sinθ＝（）A．B．C．D．【分析】根据余弦函数的倍角公式即可得到结论．解：∵cos2θ＝﹣＝1﹣2sin2θ，∴sin2θ＝，∵θ∈[，]，∴sinθ＝，故选：B．4．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．y＝sin2x+cos2x B．y＝sin2x cos2xC．y＝cos（4x+）D．y＝sin22x﹣cos22x【分析】根据三角函数的奇偶性和周期性分别进行判断即可得到结论．解：函数y＝sin2x+cos2x＝sin（2x+）的周期为＝π，且为非奇非偶函数；函数y＝sin2x cos2x＝sin4x的周期为＝，且为奇函数；函数y＝cos（4x+）＝sin4x的周期为＝，且为奇函数；函数y＝sin22x﹣cos22x＝﹣cos4x的周期为＝，且为偶函数；故选：D．5．在△ABC中，满足tan A•tan B＞1，则这个三角形是（）A．正三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【分析】由条件可得A、B都是锐角，tan A＞0，tan B＞0，再由 tan（A+B）＝＜0，可得A+B为钝角，C为锐角，由此得出结论．解：∵在△ABC中，满足tan A•tan B＞1，∴A、B都是锐角，tan A＞0，tan B＞0．再由 tan（A+B）＝＜0，可得A+B为钝角，故由三角形内角和公式可得C 为锐角．综上可得这个三角形是锐角三角形．故选：C．6．已知tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，则tan（α+）的值等于（）A．B．C．D．【分析】由于α+＝（α+β）﹣（β﹣），利用两角差的正切即可求得答案．解：∵tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，∴tan（α+）＝tan[（α+β）﹣（β﹣）]＝＝＝．故选：B．7．将函数y＝的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m 的最小值．解：y＝cos x+sin x＝2（cos x+sin x）＝2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y＝2sin[（x+m）+]＝2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+＝kπ+（k∈Z），由于m＞0，则m的最小值为．故选：A．8．函数y＝A sin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式（）A．y＝2sin （2x+）B．y＝2sin （2x+）C．y＝2sin （）D．y＝2sin （2x﹣）【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，把点（﹣，2）代入函数的解析式求出φ的值，从而求得此函数的解析式．解：由函数的图象可得函数的最大值为2，最小值为﹣2，故有A＝2．再由函数的周期性可得＝＝，解得ω＝2．把点（﹣，2）代入函数的解析式可得2sin[2×（﹣）+φ]＝2，∴2×（﹣）+φ＝2kπ+，k∈z，解得φ＝2kπ+，k∈z．故函数的解析式为y＝2sin （2x+2kπ+），k∈z，考查四个选项，A符合题意故选：A．9．对于函数f（x）＝sin（2x+）的图象，①关于直线x＝﹣对称；②关于点（，0）对称；③可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位而得到；④可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍而得到．以上叙述正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用正弦函数的图象和性质，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：对于函数f（x）＝sin（2x+）的图象，令x＝﹣，求得f（x）＝0，不是最值，故①不正确；令x＝，求得f（x）＝0，可得f（x）的图象关于点（，0）对称，故②正确；把y＝sin2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin（2x+）的图象，故③不正确；把y＝sin（x+）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得到函数f（x）＝sin（2x+）的图象，故④正确，故选：B．10．已知函数f（x）＝sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A．（0，] B．（0，]∪[，1）C．（0，] D．（0，]∪[，]【分析】函数f（x）＝，由f（x）＝0，可得＝0，解得x＝∉（π，2π），因此ω∉∪∪∪…＝∪，即可得出．解：函数f（x）＝+sinωx﹣＝+sinωx＝，由f（x）＝0，可得＝0，解得x＝∉（π，2π），∴ω∉∪∪∪…＝∪，∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，∴ω∈∪．故选：D．二.填空题（共6小题）11．已知点P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ＝﹣，则x的值为﹣4 ．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得x的值．解：∵点P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ＝＝﹣，∴x＝﹣4，故答案为：﹣4．12．已知＜α＜π，且cos（）＝﹣，则cosα的值为．【分析】根据同角的三角函数的关系结合两角和的余弦公式即可求出．解：∵＜α＜π，∴＜＜∵cos（）＝﹣，∴sin（）＝，∴cosα＝cos[（α﹣）+]＝cos（α﹣）cos﹣sin（α﹣）sin＝﹣×﹣×＝，故答案为：13．已知一个扇形的弧长为πcm，其圆心角为，则这扇形的面积为2πcm2．【分析】根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可．解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为，∴半径r＝＝4，∴这条弧所在的扇形面积为S＝×π×4＝2πcm2．故答案为：2π．14．已知函数f（x）＝a sin x+b tan x﹣1（a，b∈R），若f（﹣2）＝2018，则f（2）＝﹣2020 ．【分析】根据题意，求出f（﹣x）的解析式，进而可得f（x）+f（﹣x）＝﹣2，结合f （2）的值，就是可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝a sin x+b tan x﹣1，则f（﹣x）＝a sin（﹣x）+b tan（﹣x）﹣1＝﹣（a sin x+b tan x）﹣1，则有f（x）+f（﹣x）＝﹣2；又由f（﹣2）＝2018，则f（2）＝﹣2020；故答案为：﹣2020．15．定义在R上的奇函数f（x）满足：对于任意x∈R有f（x+3）＝﹣f（x）．若tanα＝2，则f（15sinαcosα）的值为0 ．【分析】先求出函数的周期，然后根据同角三角函数关系求出15sinαcosα的值，利用周期性进行化简，最后根据奇函数的性质进行求解．解：∵对于任意x∈R有f（x+3）＝﹣f（x）．∴f（x+6）＝f（x）即T＝6∵tanα＝2∴15sinαcosα＝6即f（15sinαcosα）＝f（6）＝f（0）∵定义在R上的奇函数f（x）∴f（0）＝0即f（15sinαcosα）＝f（6）＝f（0）＝0故答案为016．己知函数，g（x）＝sin x+cos x+4，若对任意t∈[﹣3，3]，总存在，使得f（t）+a≤g（s）（a＞0）成立，则实数a的取值范围为（0，2] ．【分析】求出f（x）和g（x）的值域，根据存在性和恒成立问题，求出a的范围．解：对于函数f（x），当x≤0时，f（x）＝，由﹣3≤x≤0，可得f（t）∈[﹣4，3]，当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，由0＜x≤3，可得f（x）∈[0，4]，∴对任意t∈[﹣3，3]，f（t）∈[﹣4，4]，对于函数g（x）＝sin x+cos x+4＝2sin（x+）+4，∵x∈[0，]，∴x+∈[，π]，∴g（x）∈[5，6]，∴对于s∈[0，]，使得g（s）∈[5，6]，∵对任意t∈[﹣3，3]，总存在s∈[0，]，使得f（t）+a≤g（s）（a＞0）成立，∴a+4≤6，解得0＜a≤2，故答案为：（0，2]三、简答题（共4小题）17．已知0＜α＜，sinα＝．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos（2）的值；（Ⅲ）若0＜β＜且cos（α+β）＝﹣，求sinβ的值．【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数的关系即可求出，（Ⅱ）根据二倍角公式和两角差的余弦公式即可求出，（Ⅱ）根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出解：（Ⅰ）∵0＜α＜，sinα＝，∴cosα＝＝，∴tanα＝＝，（Ⅱ）∵sin2α＝2sinαcosα＝，cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣∴cos（2）＝（cos2α﹣sin2α）＝（﹣﹣）＝﹣，（Ⅲ）∵0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α+β＜π，∵cos（α+β）＝﹣，∴sin（α+β）＝，∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝18．已知﹣．（Ⅰ）求sin x﹣cos x的值．（Ⅱ）求的值．【分析】（Ⅰ）由﹣＜x＜0可知x是第四象限角，从而sin x＜0，cos x＞0，由此可知sin x﹣cos x＜0．再利用平方关系式求解．（sin x﹣cos x）2＝（sin x+cos x）2﹣4sin x cos x．然后求解即可．（Ⅱ）利用二倍角公式以及切化弦，化简，利用第一问的结果，代入求值．解：（Ⅰ）∵﹣＜x＜0，∴sin x＜0，cos x＞0，则sin x﹣cos x＜0，又sin x+cos x＝，平方后得到 1+sin2x＝，∴sin2x＝﹣∴（sin x﹣cos x）2＝1﹣sin2x＝，又∵sin x﹣cos x＜0，∴sin x﹣cos x＝﹣．（Ⅱ）＝＝（﹣cos x﹣sin x+2）sin x cos x＝＝19．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．【分析】（1）根据tan x有意义得出定义域；利用三角恒等变换化简f（x），得出f（x）的周期；（2）根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调区间，根据单调性计算最值．解：（1）由tan x有意义得x≠+kπ，k∈Z．∴f（x）的定义域是，f（x）＝4tan x cos x cos（x﹣）﹣＝4sin x cos（x﹣）﹣＝2sin x cos x+2sin2x ﹣＝sin2x+（1﹣cos2x）﹣＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）．∴f（x）的最小正周期T＝＝π．（2）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．[﹣+kπ，+kπ]∩[﹣，]＝[﹣，]，[+kπ，+kπ]∩[﹣，]＝[﹣，﹣]，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴f（x）的最小值为f（﹣）＝﹣2，又f（﹣）＝﹣1，f（）＝1，∴f（x）的最大值为f（）＝1．20．已知函数是定义在R上的奇函数，（1）求实数m的值；（2）如果对任意x∈R，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）由奇函数性质f（﹣x）＝﹣f（x），求得m；（2）先判断f（x）的单调性，再由f（x）奇函数化简不等式最后变量分离可求得实数a的取值范围．解：（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即，即2m﹣2＝0，即m＝1．（2），任取x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝＝，因为x1＜x2，所以，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，所以函数f（x）在R上是增函数．因为，且f（x）是奇函数．所以，因为f（x）在R上单调递增，所以，即对任意x∈R都成立，由于﹣cos2x﹣4sin x+7＝（sin x﹣2）2+2，其中﹣1≤sin x≤1，所以（sin x﹣2）2+2≥3，即最小值为3．所以，即，解得，由，得．故实数a的取值范围．。
2019-2020学年上海市曹杨二中高一上学期期末数学试题(解析版)
上海市曹杨二中高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知,,a b c ∈R 且0a ≠，则“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解出“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”求得等价条件即可辨析. 【详解】“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”即“240b ac -<且0a >”，所以“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”的必要非充分条件.故选：B【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于准确弄清二次函数的图象与性质. 2．已知,0x y z x y z >>++=，则下列不等式成立的是 ( )A ．xy yz >B ．xy xz >C ．xz yz >D ．x y y z >【答案】B【解析】利用不等式的基本性质即可得出结果.【详解】因为,0x y z x y z >>++=，所以0x >，所以xy xz >，故选B【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题型.3．若函数22y x x =-在区间[,]a b 上的值域是[1,3]-，则点(,)a b 位于图中的（ ）A ．线段AB 或线段AD 上B ．线段AB 或线段CD 上C ．线段AD 或线段BC 上D ．线段AC 或线段BD 上【答案】A【解析】根据二次函数图象，结合值域分析定义域区间端点满足的特征，即可得解.【详解】作出函数22y x x =-的图象，由题在区间[,]a b 上的值域是[1,3]-，所以1,13a b =-≤≤或11,3a b -≤≤=，即点(,)a b 位于图中的线段AB 或线段AD 上.故选：A【点睛】此题考查根据函数值域判断定义域特征，并用平面直角坐标系内的点表示满足条件的有序数对，其关键在于熟练掌握二次函数的图像和性质.4．已知集合{(,)|120,120,,}A s t s t s t =≤≤≤≤∈∈N N ，若B A ⊆且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈均有()()0a x b y --≤，则B 中元素个数的最大值为（ ） A ．10B ．19C ．30D ．39【答案】D【解析】根据()()0a x b y --≤，转化为任意两点连线的斜率不存在或小于等于零，分析要使这样的点最多，点的分布情况，即可得解.【详解】由题：集合{(,)|120,120,,}A s t s t s t =≤≤≤≤∈∈N N ，若B A ⊆且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈均有()()0a x b y --≤，作如下等价转化：考虑(,)a b ，(,)x y 是平面内的满足题目条件的任意两点，“()()0a x b y --≤”等价于“0a x -=或0b y a x-≤-”， 即这个集合中的任意两个点连线的斜率不存在或斜率小于等于零，要使集合中这样的点最多，就是直线1,1y x ==两条直线上的整数点，共39个， （当然也可考虑直线20,20y x ==两条直线上的整数点，共39个）故选：D【点睛】此题以元素与集合关系为背景，考查根据题目条件求集合中元素个数问题，关键在于对不等关系进行等价转化，找出便于理解的处理方式，当然此题解法不唯一，可以讨论极限情况，可以分类列举观察规律.二、填空题5．若集合{1,3}A =，{3,5}B =则A B =U ________【答案】{1,3,5}【解析】根据两个集合的元素直接写出并集即可.【详解】由题：集合{1,3}A =，{3,5}B =则A B =U {1,3,5}.故答案为：{1,3,5}【点睛】此题考查集合的并集运算，根据集合中的元素，直接写出并集，属于简单题目.6．若函数921()log 1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则((3))f f =________【解析】根据分段函数解析式，求出91lo (3)g 3=2f =，再计算((312))f f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可得解.【详解】由题：函数921()log 1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩， 则91lo (3)g 3=2f =则12((3))212f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭【点睛】此题考查根据分段函数求函数值，关键在于准确判定自变量取值所在的分段区间，准确代入解析式求解.7．函数12xy =-的单调递增区间为________【答案】(,0]-∞【解析】对函数进行去绝对值分段讨论单调性.【详解】 函数12,010221,1x x x y x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭=⎩-，根据指数函数单调性可得，函数在(,0]-∞单调递增，在()0,+?单调递减， 所以函数12x y =-的单调递增区间为(,0]-∞.故答案为：(,0]-∞【点睛】此题考查求函数的单调区间，关键在于根据函数解析式分段讨论，结合基本初等函数的单调性进行判断.8．若命题P 的逆命题为“若1x >，则21x >”，则命题P 的否命题为________【答案】若21x ≤，则1x ≤【解析】根据四个命题之间的基本关系可得一个命题的逆命题与否命题之间的关系是互为逆否命题，即可得解.【详解】命题P 的逆命题与其否命题互为逆否命题，所以若命题P 的逆命题为“若1x >，则21x >”，命题P 的否命题为“若21x ≤，则1x ≤”.故答案为：若21x ≤，则1x ≤【点睛】此题考查四种命题之间的关系，可以根据逆命题写出原命题再得否命题，或直接根据逆命题与否命题之间的关系得解.9．2()2f x x x =+（0x ≥）的反函数1()fx -=________1（0x ≥）【解析】设()22f x y x x ==+（0x ≥）,求出x =即得反函数()1fx -.【详解】 设()22f x y x x ==+（0x ≥）,所以2+20,x x y x -=∴=± 因为x≥0，所以x =()11fx -=. 因为x≥0，所以y≥0，所以反函数()11fx -=，0x （）≥.1，0x （）≥ 【点睛】 本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10．函数1212xx y -=+的值域为 【答案】(1,1)-【解析】分离常数，结合指数函数的值域可得结果.【详解】()1221221122121x x x x x y -++--+++=+= 因为211x +>20221x ∴<<+ 12(1,1)12xxy y -∴-+=∈ 故答案为:(1,1)-.【点睛】本题主要考查函数的值域以及指数函数的性质，意在考查运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.11．对于任意非空集合A 、B ，定义{|,}A B a b a A b B +=+∈∈，若{}2,0,1S T ==-，则S T +=________（用列举法表示）【答案】{}4,2,1,0,1,2---【解析】根据集合的新定义，分别求出两个集合中各取一个元素求和的所有可能情况.【详解】由题：对于任意非空集合A 、B ，定义{|,}A B a b a A b B +=+∈∈，若{}2,0,1S T ==-，各取一个元素,a A b B ∈∈形成有序数对(),a b ，所有可能情况为()()()()()()()()()2,2,2,0,2,1,0,2,0,0,0,1,1,2,1,0,1,1------，所有情况两个数之和构成的集合为：{}4,2,1,0,1,2---故答案为：{}4,2,1,0,1,2---【点睛】此题考查集合的新定义问题，关键在于读懂定义，根据定义找出新集合中的元素即可得解.12．已知函数()()g x f x x =-是偶函数，若(2)2f -=，则(2)f =________【答案】6【解析】根据偶函数的关系有()(2)2g g =-，代入即可求解.【详解】由题：函数()()g x f x x =-是偶函数，(2)(2)24g f -=-+=，所以(2)(2)24g f =-=，解得：(2)6f =.故答案为：6【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数值，难度较小，关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数值的关系.13．设函数2()1f x x =-，若0a b <<，且()()f a f b =，则ab 的取值范围是________【答案】(0,1)【解析】结合图象分析出22012,11a b a b <<-=<-<，结合基本不等式求范围，考虑等号成立的条件，即可得解.【详解】由题：函数2()1f x x =-，若0a b <<，且()()f a f b =，结合图象分析可得：22012,11a b a b <<-=<-<， 即222a b +=，由基本不等式可得2212a b ab +≤=， 当1a b ==时取等号，但是012a b <<<<01ab <<. 故答案为：(0,1)【点睛】此题考查根据方程的根的个数，求参数取值范围，关键在于对题中所给的等量关系进行等价转化，数形结合，利用基本不等式求解，注意考虑等号成立的条件.14．已知函数1y x =与函数log a y x =（0a >，1a ≠）的图像交于点00(,)P x y ，若02x >，则a 的取值范围是________【答案】4a >【解析】先讨论01a <<不合题意，再结合图象讨论1a >时，函数交点横坐标02x >列不等式组求解.【详解】由题：若01a <<，1x >时，log 0a y x =<，10y x =>，两个函数图象不可能有交点； 所以必有1a >，结合图象，若函数交点横坐标02x >，则1log 212log a a a a ⎧⎪⎨=><⎪⎩，解得：2,4a a >>. 故答案为：4a > 【点睛】此题考查根据函数交点横坐标取值范围，求解参数的取值范围，涉及分类讨论数形结合思想.15．函数()y f x =的定义域为[1,1]-，其图像如图所示，若()y f x =的反函数为1()y f x -=，则不等式111(())(())022f x f x --->的解集为________【答案】3(,1]4【解析】求出函数解析式，再求出反函数，即可求解不等式的解集.【详解】根据函数图象可得()f x 图象经过()()1,0,1,1-，所以[]11(),[1,1],()0,122f x x x f x =+∈-∈， 1122y x =+，得21x y =-， 所以()f x 的反函数[]1()21,0,1f x x x -=-∈不等式111(())(())022f x f x --->，[]0,1x ∈即[]110,22210,1x x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎝⎭--∈⎭， 解得：3(,1]4x ∈故答案为：3(,1]4【点睛】此题考查解一元二次不等式，关键在于根据图象得出函数解析式，准确求出反函数，易错点在于弄错反函数的定义域，此题也可根据函数图象特征，作出反函数图象，利用图象解不等式.16．若实数,(0,2)a b ∈且1ab =，则1222a b+--的最小值为________【答案】2 【解析】根据1ab =，1b a=，变形1222a b +=--1212122212a a a a a+=+----()()()1142211123422a a a a ⎛⎫=+-+-+ ⎪--⎝⎭，利用基本不等式求解最值. 【详解】实数,(0,2)a b ∈且1ab =，1b a= 则1212122212a a a a a+=+---- 12214221a a a -+=+-- 1142221a a =++-- ()()()1142211123422a a a a ⎛⎫=+-+-+ ⎪--⎝⎭ ()21142211342212a a a a ⎛⎫--=++++ ⎪--⎝⎭(1313≥++23=+当()214242122a a a a --=--时，即22a =时取得等号，所以1222a b+--的最小值为2.故答案为：2 【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，关键在于对代数式进行准确变形，构造基本不等式求解，注意考虑最值取得的条件.三、解答题17．已知集合{|||1}A x x a =-<，{|(3)(7)0}B x x x =+-<.（1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若A B =∅I ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[2,6]-；（2）(,4][8,)-∞-⋃+∞.【解析】（1）解出(){|||1}1,1A x x a a a =-<=-+根据集合的包含关系求出参数的取值范围；（2）结合（1）解出的集合A ，根据集合关系求解参数的取值范围.【详解】（1）解不等式||1x a -<得11a x a -<<+，所以(){|||1}1,1A x x a a a =-<=-+，(){|(3)(7)0}3,7B x x x =+-<=-， 若A B ⊆，则3117a a -≤-⎧⎨+≤⎩，解得：[]2,6a ∈-； （2）若A B =∅I ，13a +≤-或17a -≥，解得：4a ≤-或8a ≥，即(,4][8,)a ∈-∞-⋃+∞.【点睛】此题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，根据集合交集的关系求参数的取值范围，关键在于根据集合特征列不等式组，准确辨析.18．随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利，根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔t （单位：分钟）满足: 415t ≤≤，平均每班地铁的载客人数()p t （单位：人）与发车时间间隔t 近似地满足函数关系：2180015(9)49()1800915t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩， （1）若平均每班地铁的载客人数不超过1560人，试求发车时间间隔t 的取值范围； （2）若平均每班地铁每分钟的净收益为6()7920100p t Q t-=-（单位：元），则当发车时间间隔t 为多少时，平均每班地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.【答案】（1）[4,5]；（2）7t =，最大值为260元.【解析】（1）根据题意即求解不等式()1560p t ≤；（2）根据题意求出6()7920100p t Q t -=-的解析式，利用函数单调性或基本不等式求最值.【详解】（1）当915t ≤≤，()1800p t =超过1560，所以不满足题意；当49t ≤<，2()180015(9)p t t =--载客人数不超过1560，即2180015(916)50t --≤，解得5t ≤或13t ≥，由于49t ≤<所以[4,5]t ∈；（2）根据题意6()7920100p t Q t-=-， 则4410901520,492880100,915t t t Q t t⎧⎛⎫-++≤< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-≤≤⎪⎩根据基本不等式，44109026301260t t +≥=⨯=，当且仅当441090t t=，即7t =时取得等号，所以441090152012601520260t t ⎛⎫-++≤-+= ⎪⎝⎭， 即当49t ≤<时，平均利润的最大值为260元，当915t ≤≤时，2880100Q t =-单调递减，2880100220Q t=-≤， 综上所述7t =，最大值为260元.【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于根据题目所给模型，准确求解不等式，或根据函数关系求出最值，基本不等式求最值注意等号成立的条件.19．已知函数21()f x ax x=+，其中a 为常数. （1）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若1a =，证明函数()f x 在区间[1,2]上单调递增.【答案】（1）0a =，偶函数；0a ≠，非奇非偶函数；见解析（2）证明见解析【解析】（1）分类讨论，0a =， 0a ≠，两种情况根据定义分析函数的奇偶性； （2）利用定义法作差证明函数的单调性.【详解】（1）当0a =时，1()f x x=，定义域()(),00,x ∈-∞+∞U ，()1()f x f x x -=-=-恒成立，所以函数为奇函数；当0a ≠时，21()f x ax x =+，定义域()(),00,x ∈-∞+∞U ，21()f x ax x-=-， ()2()2f x f x ax -+=不恒为零，()2()f x f x x--=-不为零，所以函数为非奇非偶函数；综上所述：当0a =时，函数()f x 为奇函数；当0a ≠时，函数()f x 为非奇非偶函数；（2）若1a =，21()f x x x=+， 任取1212x x ≤<≤，1212121211,01,0,2,x x x x x x x x ><<-<+> ()22121212121212111()()0f x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则12()()f x f x <，所以函数()f x 在区间[1,2]上单调递增.【点睛】此题考查函数奇偶性和单调性的辨析，利用定义判定函数的单调性和奇偶性，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握基本方法．20．已知函数21()log ()f x a x =+.（1）当3a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程221()log [(21)31]0f x a x a x---+-=在区间(1,0)-上恰有一个实数解，求a 的取值范围；（3）设0a >，若存在1[,1]2t ∈使得函数()f x 在区间[],2t t +上的最大值和最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）1(,)(0,)4-∞-+∞U ；（2）11(,)32；（3）1[,)3+∞.【解析】（1）根据对数函数单调性解不等式，转化为解分式不等式；（2）将问题转化为2(21)31x a x a x a --+=-+在区间(1,0)-上恰有一个实数解，转化为方程的根的问题；（3）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围.【详解】（1）当3a =时，21()log (3)f x x=+，()0f x >， 即21log (3)0x +>，131x+>，120x x +>，与()210x x +>同解， 得1(,)(0,)4x ∈-∞-+∞U ；（2）由题意：关于x 的方程222log [lo (21)31]0g ()x a x a x a ---+-=+在区间(1,0)-上恰有一个实数解，2(21)310x a x a x a --+-=>+，22210x ax a -+-=，()()()1210x x a ---=在区间(1,0)-上恰有一个实数解，即1210a -<-<，解得：102a <<， 且210a a -+>，即13a >， 综上所述：11(,)32a ∈；（3）由题：0a >，1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[],2t t +上单调递减，最大值和最小值的差不超过1，即()()21f t f t -+≤ 2211log ()log ()12a a t t +-+≤+，222111log ()1log ()log 2()22a a a t t t +≤++=+++ 所以112()2a a t t +≤++即存在1[,1]2t ∈使122a t t ≥-+成立，只需min 122a t t ⎛⎫≥- ⎪+⎝⎭即可， 考虑函数121,[,1]22y t t t =-∈+，221,[,1]22t y t t t -=∈+，令321,2r t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦， 213,1,86826r y r r r r r⎡⎤==∈⎢⎥-+⎣⎦+-， 根据勾型函数性质86y r r =+-在(r ∈单调递减， 所以86y r r=+-在31,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，所以856,36r r ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦， 116,8356r r⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+- 所以1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】此题以对数函数为背景，考查解不等式，考查方程的根的问题，考查不等式能成立求参数范围，转化为求函数最值，充分地体现出转化与化归的思想.21．对于定义在D 上的函数()y f x =，若存在实数k 及1b 、2b （12<b b ）使得对于任意x D ∈ 都有12()kx b f x kx b +≤≤+成立，则称函数()y f x =是带状函数；若21b b -存在最小值d ，则称d 为带宽.（1）判断函数10()10x f x x ≥⎧=⎨-<⎩是不是带状函数？如果是，指出带宽（不用证明）；如果不是，请说明理由；（2）求证：函数()g x 1x ≥）是带状函数；（3）求证：函数()11h x a x b x =++-是带状函数的充要条件是0a b +=.【答案】（1）是，带宽为2；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】（1）根据函数关系()11f x -≤≤，即可判定是带状函数；（2）分别证明1x x -≤≤即可得证；（3）处理绝对值，将函数写成分段函数形式，分别证明充分性和必要性.【详解】（1）考虑两条直线，即： ()1,1,11y y f x ==--≤≤，断函数10()10x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ 是带状函数，带宽为2； （2）函数()g x =1x ≥）， 当1x ≥时，221x x -≤x ≤x ≤，当1x ≥时，2222,211,211x x x x x -≤--+≤--+≤-，即()2211x x -≤-所以有1x -≤1x ≥所以1x -≤，综上所述1x x -≤，所以函数()g x =1x ≥）是带状函数；（3）函数()(),1()11,11,1a b x a b x h x a x b x a b x a b x a b x ⎧-+-+≤-⎪=++-=+-<<⎨⎪++-≥⎩，充分性：当0a b +=时，,1()0,11,1a b x h x x a b x -+≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩，()a b h x a b --≤≤-，存在两条直线,y a b y a b =--=-满足题意，即该函数()h x 为带状函数；必要性：当()(),1(),11,1a b x a b x h x a b x a b x a b x ⎧-+-+≤-⎪=+-<<⎨⎪++-≥⎩为带状函数，则存在12()kx b h x kx b +≤≤+，假设0a b +≠不妨考虑0a b +>，则直线y kx b =+与两条直线()(),y a b x a b y a b x a b =-+-+=++-中至少一条相交，所以不满足12()kx b h x kx b +≤≤+，所以0a b +≠不满足题意.即0a b +=， 综上所述：函数()11h x a x b x =++-是带状函数的充要条件是0a b +=.【点睛】此题考查函数新定义问题，关键在于读懂定义，根据题目所给条件证明辨析，弄清其间的不等关系，证明充要条件一定不能混淆充分性与必要性的概念.。
2019-2020学年人教A版天津市部分区高一上学期期末数学试卷及答案 (解析版)
2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝（）A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8} 2．下列函数中既是奇函数，又在R上单调递增的是（）A．B．y＝sin x C．y＝x3D．y＝lnx3．函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（）A．（4，5）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．在平面直角坐标系中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，则sinα的值为（）A．B．C．D．5．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c6．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若，则不等式f（2x﹣1）＜0的解集为（）A．B．C．D．8．若α、β都是锐角，且sinα＝，cos（α+β）＝﹣，则sinβ的值是（）A．B．C．D．9．下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∃x∈R，使得2x≥x2”B．若a＞b，c＜0，则C．若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则k≤2D．“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件10．已知函数在区间上单调递增，且存在唯一使得f（x0）＝1，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题11．幂函数f（x）的图象经过（2，4），则f（3）＝．12．函数的定义域为．13．已知lga+lg（2b）＝1，则a+b的最小值是．14．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则整数t的值为（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}．（1）求A∪B，A∩B；（2）已知集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．16．已知函数．（1）在给出的直角坐标系中，画出y＝f（x）的大致图象；（2）根据图象写出f（x）的单调区间；（3）根据图象写出不等式f（x）＞0的解集．17．已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝，β∈（0，）．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）求tan（2β+）的值．18．已知函数．（1）判断f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．19．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（3）若关于x的不等式mf（x）+3m≥f（x）在R上恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.第I卷（选择题共40分）1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝（）A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8} 【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，∴∁U B＝{2，5，8}，则A∩∁U B＝{2，5}．故选：A．2．下列函数中既是奇函数，又在R上单调递增的是（）A．B．y＝sin x C．y＝x3D．y＝lnx【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可．解：A．f（x）是奇函数，在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不单调，不满足条件．B．f（x）是奇函数，则R上不是单调函数，不满足条件．C．f（x）是奇函数，在R上是增函数，满足条件．D．函数的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．故选：C．3．函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（）A．（4，5）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f（x）＝lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数，再通过计算f（1）、f（2）、f（3）的值，发现f（2）•f（3）＜0，即可得到零点所在区间．解：∵f（x）＝lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝ln2﹣1＜0，f（3）＝ln3＞0∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（2，3）故选：C．4．在平面直角坐标系中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，则sinα的值为（）A．B．C．D．【分析】利用三角函数定义直接求解．解：在平面直角坐标系中，角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，∴，r＝＝1，∴sinα＝＝．故选：D．5．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．解：∵a＝log20.3＜0，b＝20.3＞1，0＜c＝0.30.2＜1，∴b＞c＞a．故选：B．6．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【分析】由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解：∵y＝sin（2x﹣）＝sin[2（x﹣）]，∴将函数y＝sin2x的图象上所有的点向右平移个单位，即可得到函数y＝sin（2x﹣）的图象．故选：C．7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若，则不等式f（2x﹣1）＜0的解集为（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，∴若，则不等式f（2x﹣1）＜0等价为f（|2x﹣1|）＜f（），即|2x﹣1|＜，即﹣＜2x﹣1＜，得＜x＜，即不等式的解集为（，），故选：A．8．若α、β都是锐角，且sinα＝，cos（α+β）＝﹣，则sinβ的值是（）A．B．C．D．【分析】利用同角三角函数间的关系式的应用，可求得sin（α+β）与cosα的值，再利用两角差的正弦函数，可求得sinβ＝sin[（α+β）﹣α]的值．解：∵cos（α+β）＝﹣，α、β都是锐角，∴sin（α+β）＝＝；又sinα＝，∴cosα＝＝，∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝×﹣（﹣）×＝．故选：A．9．下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∃x∈R，使得2x≥x2”B．若a＞b，c＜0，则C．若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则k≤2D．“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件【分析】A由命题的否命题，既要对条件否定，也要对结论否定，注意否定形式，可判断；B由条件，注意举反例，即可判断；C由二次函数的图象，即可判断；D先求出不等式x2﹣5x+6＞0的解集，再由充分必要条件的定义，即可判断．解：对于A，命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∀x∈R，使得2x≥x2”，故A错误；对于B，由条件知，比如a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，则＝﹣＜＝，故B错误；对于C，若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则≤1或≥4，故k≤2或k≥8，故C错误；对于D，x2﹣5x+6＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}，故“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件，正确．故选：D．10．已知函数在区间上单调递增，且存在唯一使得f（x0）＝1，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由函数f（x）在[﹣，]上单调递增求出0＜ω≤，再由存在唯一使得f（x0）＝1求出≤ω＜3；由此求得ω的取值范围．解：由于函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在[﹣，]上单调递增；x∈[﹣，]，ωx+∈[﹣ω+，ω+]，﹣≤﹣ω+且ω+≤，解得ω≤且ω≤，所以0＜ω≤；又存在唯一使得f（x0）＝1，即x∈[0，]时，ωx+∈[，ω+]；所以≤ω+＜，解得≤ω＜3；综上知，ω的取值范围是[，]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共20分.11．幂函数f（x）的图象经过（2，4），则f（3）＝9 ．【分析】设幂函数f（x）＝x a，由幂函数f（x）的图象经过（2，4），解得f（x）的解析式，由此能求出f（3）．解：设幂函数f（x）＝x a，∵幂函数f（x）的图象经过（2，4），∴2a＝4，解得a＝2，∴f（x）＝x2，∴f（3）＝32＝9．故答案为：9．12．函数的定义域为（﹣1，4）．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0且对数式的真数大于0联立不等式组求解．解：由，得﹣1＜x＜4．∴函数的定义域为（﹣1，4）．故答案为：（﹣1，4）．13．已知lga+lg（2b）＝1，则a+b的最小值是2．【分析】利用对数运算性质可得ab，再利用基本不等式的性质即可得出．解：∵lga+lg（2b）＝1，∴2ab＝10，即ab＝5．a，b＞0．则a+b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时取等号．因此：a+b的最小值是2．故答案为：2．14．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则整数t的值为 5 （参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）【分析】100ml血液中酒精含量达到60ml，由题意得则60（1﹣20%）t＜20由此利用对数的性质能求出整数t的值．解：某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，则100ml血液中酒精含量达到60ml，在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则60（1﹣20%）t＜20，∴0.8t＜，∴t＞＝﹣＝﹣＝≈＝4.8．∴整数t的值为5．故答案为：5．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}．（1）求A∪B，A∩B；（2）已知集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∪B，A∩B．（2）当C＝∅时，a≥2a+1，a≤﹣1，当C≠∅时，，由此能求出实数a的取值范围．解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}＝{x|x＞3或x＜﹣2}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}＝{x|1＜x＜5}，∴A∪B＝{x|x＜﹣2或x＞1}，A∩B＝{x|3＜x＜5}．（2）∵集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，C⊆B，∴当C＝∅时，a≥2a+1，a≤﹣1，当C≠∅时，，解得1≤a≤2，综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，2]．16．已知函数．（1）在给出的直角坐标系中，画出y＝f（x）的大致图象；（2）根据图象写出f（x）的单调区间；（3）根据图象写出不等式f（x）＞0的解集．【分析】根据各段函数的解析式作图即可解：（1）如图，（2）由图可知f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，1）；单调递减区间为（﹣2，0），（1，+∞）；（3）由图可知f（x）＞0时，x∈（﹣4，﹣1）．17．已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝，β∈（0，）．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）求tan（2β+）的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求得结果．（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，求得结果．解：（1）∵已知sinα＝，α∈（，π），∴cosα＝﹣＝﹣．∵cosβ＝，β∈（0，），∴sinβ＝＝，∵cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣•+•＝＝﹣．（2）由以上可得tanβ＝＝2，∴tan2β＝＝＝﹣，tan（2β+）＝＝＝﹣．18．已知函数．（1）判断f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）根据函数单调性的定义进行证明即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．解：（1）函数的定义域为R，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣﹣+＝﹣＝＝，∵x1＜x2，∴＜，则﹣＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2），即函数f（x）为增函数．（2）f（x）＝＝，则f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），即f（x）是奇函数．19．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（3）若关于x的不等式mf（x）+3m≥f（x）在R上恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据f（x）＝sin（2x﹣）可求最小正周期；（2）利用x∈以及正弦函数单调区间即可求出最大最小值；（3）令t＝sin（2x﹣），将不等式化成m≥＝1﹣对∀t∈[﹣1，1]恒成立，即可求出m取值范围．解：f（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），（1）T＝＝π，即f（x）的最小正周期为π；（2）当x∈时，则2x﹣∈[﹣，π]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，所以f（x）∈[﹣，2]，即f（x）最大值为2，最小值为﹣；（3）mf（x）+3m≥f（x）即2m sin（2x﹣）+3m≥2sin（2x﹣），令t＝f（x）＝sin（2x﹣），则t∈[﹣1，1]，所以2t+3∈[1，5]根据题意得2mt+3m≥2t对∀t∈[﹣1，1]恒成立，即有m≥＝1﹣对∀t∈[﹣1，1]恒成立，因为1﹣最大为1﹣＝，所以m≥．。
高一数学上学期期末考试试题含解析
【分析】
先由奇函数的性质，得到 ，求出 ;再由二次函数的单调性,以及奇函数的性质，得到函数 在区间 上单调递减,进而可求出结果。
【详解】因为函数 是奇函数,
所以 ,即 ,解得: ；
因此
根据二次函数的性质，可得,当 时，函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增；
又因为 ,所以由奇函数的性质可得:函数 在区间 上单调递减;
，即至少遇到4个红灯的概率为0。33。
（3）设事件 为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件 .
则 。
【点睛】本题主要考查互斥事件的概率计算，以及概率的性质的应用，熟记概率计算公式,以及概率的性质即可，属于常考题型。
19。一商场对5年来春节期间服装类商品的优惠金额 (单位：万元）与销售额 （单位：万元）之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下表格.
【分析】
根据奇偶性的概念，判断函数 的奇偶性，再结合函数单调性，即可解所求不等式。
【详解】因为 的定义域为 ，
由 可得，函数 是奇函数；
根据幂函数单调性可得, 单调递增;所以函数 是增函数;
所以不等式 可化为 ，
因此 ，解得： 。
故选：D
【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式,熟记函数奇偶性的概念，会根据函数解析式判定单调性即可，属于常考题型.
【解析】
【分析】
（1）根据换元法，令 ，即可结合已知条件求出结果；
(2）根据指数函数单调性，即可得出单调区间.
【详解】(1)令 ,即 ，
代入 ，可得 ，
所以
（2)因为 ，根据指数函数单调性，可得：
函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 。
【点睛】本题主要考查求函数解析式,以及求指数型函数的单调区间,灵活运用换元法求解析式，熟记指数函数的单调性即可，属于常考题型.
2019-2020学年海南省海口市海南中学高一(上)期末数学试卷及答案
2019-2020学年海南省海口市海南中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题1．（3分）已知命题p：对任意的x∈R，有sin x≤1，则￢p是（）A．存在x∈R，有sin x＞1B．对任意的x∈R，有sin x≥1C．存在x∈R，有sin x≥1D．对任意的x∈R，有sin x＞12．（3分）集合M＝{x|x2﹣3x﹣4≥0}，N＝{x|1＜x＜5}，则集合∁R M∩N＝（）A．（1，4）B．（1，4]C．（﹣1，5]D．[﹣1，5]3．（3分）已知扇形的圆心角为弧度，半径为2，则扇形的面积为（）A．πB．C．2πD．4．（3分）若sinαtanα＜0，且＜0，则角α是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（3分）若P＝log23•log34，Q＝lg2+lg5，M＝e0，N＝ln1，则正确的是（）A．P＝Q B．Q＝M C．M＝N D．N＝P6．（3分）已知lga+lgb＝0，函数f（x）＝a x与函数g（x）＝﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．7．（3分）已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．48．（3分）若函数f（x）＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（1，8）C．[4，8）D．（4，8）二、多项选择题9．（3分）下列化简正确的是（）A．cos82°sin52°﹣sin82°cos52°＝B．C．D．10．（3分）已知0＜a＜b，a+b＝1，则下列不等式中，正确的是（）A．log2a＜0B．C．D．log2a+log2b＜﹣211．（3分）已知函数，利用零点存在性法则确定各零点所在的范围．下列区间中存在零点的是（）A．（﹣3，﹣2）B．C．（2，3）D．12．（3分）设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中正确的是（）A．tanαtanβ＜1B．C．cosα+cosβ＞1D．三、填空题13．（3分）cos＝．14．（3分）已知α为锐角，且，则sinα＝．15．（3分）如图①是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额＝车票收入﹣支出费用）．由于目前本线路亏损，公司有关人员分别将图①移动为图②和图③，从而提出了两种扭亏为盈的建议．（图①中点A的意义：当乘客量为0时，亏损1个单位；点B的意义：当乘客量为1.5时，收支平衡）请根据图象用简练语言叙述出：建议（1）．建议（2）．16．（3分）若A+B＝45°，则（1+tan A）（1+tan B）＝，应用此结论求（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan43°）（1+tan44°）的值为．四.解答题17．已知，求的值．18．已知α是第三象限角，f（α）＝．（1）化简f（α）；（2）若cos（α﹣π）＝，求f（α）的值；（3）若α＝﹣1860°，求f（α）的值．19．已知函数y＝a x（a＞1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值．（2）证明：f（x）+f（1﹣x）＝1．（3）求的值．20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最大收益为多少万元？21．已知设函数．（1）求函数f（x）周期和值域．（2）求函数f（x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间．22．已知函数f（x）＝（log a x）2﹣log a x﹣2（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＝2时，求f（2）；（Ⅱ）求解关于x的不等式f（x）＞0；（Ⅲ）若∀x∈[2，4]，f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．2019-2020学年海南省海口市海南中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题1．（3分）已知命题p：对任意的x∈R，有sin x≤1，则￢p是（）A．存在x∈R，有sin x＞1B．对任意的x∈R，有sin x≥1C．存在x∈R，有sin x≥1D．对任意的x∈R，有sin x＞1【分析】根据全称命题的否定是特称命题，可得命题的否定．【解答】解：∵命题P为全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题，得￢P：存在x∈R，有sin x＞1．故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（3分）集合M＝{x|x2﹣3x﹣4≥0}，N＝{x|1＜x＜5}，则集合∁R M∩N＝（）A．（1，4）B．（1，4]C．（﹣1，5]D．[﹣1，5]【分析】解二次不等式可以求出集合M，进而根据集合补集的定义，求出∁R M，结合已知中的集合N及集合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵M＝{x|x2﹣3x﹣4≥0}＝（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞），N＝{x|1＜x＜5}＝（1，5），∴∁R M＝（﹣1，4）∴∁R M∩N＝（﹣1，4）∩（1，5）＝（1，4）故选：A．【点评】本题考查的知识点是集合的交，并，补集运算，其中解不等式求出集合A是解答的关键．3．（3分）已知扇形的圆心角为弧度，半径为2，则扇形的面积为（）A．πB．C．2πD．【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．【解答】解：S扇形＝＝＝．故选：D．【点评】本题考查了扇形的面积计算公式，属于基础题．4．（3分）若sinαtanα＜0，且＜0，则角α是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接由α的正弦和正切异号且余弦和正切异号得答案．【解答】解：∵sinαtanα＜0，可知α是第二或第三象限角，又＜0，可知α是第三或第四象限角．∴角α是第三象限角．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的象限符号，是基础题．5．（3分）若P＝log23•log34，Q＝lg2+lg5，M＝e0，N＝ln1，则正确的是（）A．P＝Q B．Q＝M C．M＝N D．N＝P【分析】根据对数的运算性质求出P、Q、N，再根据非零的零次幂为1可求出M，从而得到结论．【解答】解：P＝log23•log34＝log24＝2Q＝lg2+lg5＝lg10＝1M＝e0＝1，N＝ln1＝0∴Q＝M故选：B．【点评】本题主要考查了对数的运算，指数的运算，以及比较大小关系，属于基础题．6．（3分）已知lga+lgb＝0，函数f（x）＝a x与函数g（x）＝﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，得到函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定．【解答】解：∵lga+lgb＝0，∴ab＝1则b＝，从而g（x）＝﹣log b x＝log a x，f（x）＝a x与，∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，结合选项可知选B，故选：B．【点评】本题主要考查了对数函数的图象，以及指数函数的图象和对数运算等有关知识，属于基础题．7．（3分）已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用“1”的代换的思想，将转化为（）（x+y），展开，利用基本不等式即可求得的最小值．【解答】解：∵x+y＝1，∴＝（）（x+y）＝+2＝4，当且仅当，即x＝y＝时取“＝”，∴的最小值为4．故选：D．【点评】本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．属于中档题．8．（3分）若函数f（x）＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（1，8）C．[4，8）D．（4，8）【分析】让两段都单调递增，且让x＝1时a x≥（4﹣）x+2，解关于a的不等式组可得．【解答】解：∵函数f（x）＝是R上的增函数，∴，解得4≤a＜8故选：C．【点评】本题考查分段函数的单调性，涉及指数函数和一次函数的单调性，属中档题．二、多项选择题9．（3分）下列化简正确的是（）A．cos82°sin52°﹣sin82°cos52°＝B．C．D．【分析】由题意利用两角和差的三角公式，诱导公式、二倍角公式，求出结果．【解答】解：∵cos82°sin52°﹣sin82°cos52°＝sin8°sin52°﹣cos8°cos52°＝﹣cos （8°+52°）＝﹣，故A不对；∵sin15°sin30°sin75°＝sin15°cos15°＝sin30°＝，故B不对；∵＝tan（48°+72°）＝tan120°＝﹣tan60°＝﹣，故C正确；∵cos215°﹣sin215°＝cos30°＝，故D正确，故选：CD．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．10．（3分）已知0＜a＜b，a+b＝1，则下列不等式中，正确的是（）A．log2a＜0B．C．D．log2a+log2b＜﹣2【分析】利用不等式的基本性质可判断AB的真假，利用基本不等式可判断CD的真假．【解答】解：A．∵0＜a＜b，a+b＝1，∴，∴log2a＜log2＝﹣1，故A正确；B．∵0＜a＜b，∴a﹣b＜0，∴2a﹣b＜20＝1，故B不正确；C．∵0＜a＜b，∴，故C不正确；D．∵0＜a＜b，a+b＝1，∴1＝a+b＞，∴ab＜，∴log2a+log2b＜log2＝﹣2，故D正确．故选：AD．【点评】本题考查了不等式的基本性质和基本不等式，考查了转化思想，属基础题．11．（3分）已知函数，利用零点存在性法则确定各零点所在的范围．下列区间中存在零点的是（）A．（﹣3，﹣2）B．C．（2，3）D．【分析】此类选择题可用代入法计算出函数值，利用函数零点判定定理即可求解【解答】解：经计算f（﹣3）＝﹣+﹣2＝＞0，f（﹣2）＝﹣+2﹣2＝﹣＜0，f（）＝2+﹣2＝＞0，f（1）＝1+﹣2＝﹣＜0，f（﹣1）＝﹣1+﹣2＝﹣＜0，根据零点判定定理可得区间（﹣3，﹣2），（，1），（﹣1，）上存在零点，故选：ABD．【点评】本题考查函数零点判定定理，属于基础题．12．（3分）设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中正确的是（）A．tanαtanβ＜1B．C．cosα+cosβ＞1D．【分析】根据题意，依次分析选项中不等式是否成立，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，α，β是一个钝角三角形的两个锐角，则α+β＜90°，依次分析选项：对于α，tαnαtαnβ＜tαnαtαn（90°﹣α）＝tαnαcotα＝1，A正确；对于B，sinα+sinβ＜sinα+sin（90°﹣α）＝sinα+cosα＝sin（α+45°）≤，故有sinα+sinβ＜，B正确；对于C，cosα+cosβ＞cosα+cos（90°﹣α）＝cosα+sinα＝sin（α+45°）≥×＝1，故有cosα+cosβ＞1，C正确；对于D，当α＝β＝30°时，则tαn（α+β）＝tαn，故D错误；故选：ABC．【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，注意三角函数恒等变形的公式，属于基础题．三、填空题13．（3分）cos＝﹣．【分析】利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：cos＝cos（7π﹣）＝﹣cos＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．（3分）已知α为锐角，且，则sinα＝．【分析】由α为锐角求出α+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+）的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵α为锐角，∴α+∈（，），∵cos（α+）＝，∴sin（α+）＝＝，则sinα＝sin[（α+）﹣]＝sin（α+）cos﹣cos（α+）sin＝×﹣×＝．故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．15．（3分）如图①是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额＝车票收入﹣支出费用）．由于目前本线路亏损，公司有关人员分别将图①移动为图②和图③，从而提出了两种扭亏为盈的建议．（图①中点A的意义：当乘客量为0时，亏损1个单位；点B的意义：当乘客量为1.5时，收支平衡）请根据图象用简练语言叙述出：建议（1）降低成本而保持票价不变．建议（2）提高票价而保持成本不变．【分析】根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x＝0的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明．【解答】解：根据题意和图（2）知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由图（3）看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故答案为：降低成本而保持票价不变；提高票价而保持成本不变．【点评】本题考查了用函数图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想．16．（3分）若A+B＝45°，则（1+tan A）（1+tan B）＝2，应用此结论求（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan43°）（1+tan44°）的值为222．【分析】由题意利用两角和的正切公式的变形公式，化简所给的式子，可得结果．【解答】解：A+B＝45°，则（1+tan A）（1+tan B）＝1+tan A+tan B+tan A•tan B＝tan（A+B）（1﹣tan A•tan B）+1+tan A•tan B＝tan45°（1﹣tan A•tan B）+1+tan A•tan B＝2．（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan43°）（1+tan44°）＝[（1+tan1°）（1+tan44°）]•[（1+tan2°）（1+tan43°）]…[（1+tan22°）（1+tan23°）]＝222，故答案为：2；222．【点评】本题主要考查两角和的正切公式的变形应用，属于中档题．四.解答题17．已知，求的值．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵已知，∴cos x＝＝，∴cos（x+）＝cos x cos﹣sin x sin＝+＝，tan（x﹣）＝＝＝﹣7．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于基础题．18．已知α是第三象限角，f（α）＝．（1）化简f（α）；（2）若cos（α﹣π）＝，求f（α）的值；（3）若α＝﹣1860°，求f（α）的值．【分析】（1）f（α）利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简即可得到结果；（2）由已知等式求出sinα的值，代入计算即可求出f（α）的值；（3）把α度数代入计算即可求出f（α）的值．【解答】解：（1）f（α）＝＝cosα；（2）∵cos（α﹣π）＝﹣sinα＝，即sinα＝﹣，且α为第三象限角，∴cosα＝﹣＝﹣，则f（α）＝cosα＝﹣；（3）把α＝﹣1860°代入得：f（﹣1860°）＝cos（﹣1860°）＝cosα1860°＝cos（5×360°+60°）＝cos60°＝．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，熟练掌握基本关系是解本题的关键．19．已知函数y＝a x（a＞1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值．（2）证明：f（x）+f（1﹣x）＝1．（3）求的值．【分析】（1）由函数的单调性可知a+a2＝20，进而求得a的值；（2）由（1）得到函数f（x）的解析式，化简即可得证；（3）利用倒序相加思想即可求解．【解答】解：（1）易知函数y＝a x（a＞1）在[1，2]上为增函数，于是a+a2＝20，解得a＝4；（2）证明：由（1）可知，，∴＝，得证；（3）设S＝，则由（2）可知，2S＝2020，故S＝1010．【点评】本题考查函数性质的运用，考查运算求解能力，属于基础题．20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最大收益为多少万元？【分析】（1）利用待定系数法确定出f（x）与g（x）解析式即可；（2）设设投资债券类产品x万元，则股票类投资为（20﹣x）万元，根据y＝f（x）+g（x）列出二次函数解析式，利用二次函数的性质判断即可得到结果．【解答】解：（1）设f（x）＝k1x，g（x）＝k2，由题意，可得f（1）＝0.125＝k1，g（1）＝k2＝0.5，则f（x）＝0.125x（x≥0），g（x）＝0.5（x≥0）；（2）设投资债券类产品x万元，则股票类投资为（20﹣x）万元，由题意，得y＝f（x）+g（20﹣x）＝0.125x+0.5（0≤x≤20），令t＝，则有x＝20﹣t2，∴y＝0.125（20﹣t2）+0.5t＝﹣0.125（t﹣2）2+3，当t＝2，即x＝16万元时，收益最大，此时y max＝3万元，则投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品4万元获得收益最大，最大收益为3万元．【点评】此题考查了函数模型的选择与应用，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．21．已知设函数．（1）求函数f（x）周期和值域．（2）求函数f（x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和值域，得出结论．（2）由题意利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：（1）∵函数＝2sin x+2cos x＝4（sin x+cos x）＝4sin（x+），∴函数f（x）的周期为2π，它的值域为[﹣4，4]．（2）对于f（x），令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，求得2kπ﹣≤x≤2kπ+，故函数的增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．再根据x∈[﹣2π，2π]，可得函数的增区间为[﹣2π，﹣]、[﹣，]、[，2π]．【点评】本题主要考查三角恒等变换、正弦函数的周期性和值域，正弦函数的单调性，属于中档题．22．已知函数f（x）＝（log a x）2﹣log a x﹣2（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＝2时，求f（2）；（Ⅱ）求解关于x的不等式f（x）＞0；（Ⅲ）若∀x∈[2，4]，f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝2时，代入可求f（2）；（Ⅱ）由f（x）＞0得log a x＞2或log a x＜﹣1，分0＜a＜1与a＞1讨论即可求得不等式f（x）＞0的解集；（Ⅲ）若∀x∈[2，4]，f（x）≥4恒成立⇔（log a x）2﹣log a x﹣2≥4（2≤x≤4）恒成立，解得log a x≥3或log a x≤﹣2，分0＜a＜1与a＞1讨论即可求得答案．【解答】解：（Ⅰ）当a＝2时，求f（2）＝（log22）2﹣log22﹣2＝﹣2；（Ⅱ）由（log a x）2﹣log a x﹣2＞0得：log a x＞2或log a x＜﹣1．当0＜a＜1时，解得0＜x＜a2，或x＞．当a＞1时，解得x＞a2或0＜x＜；即当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜a2，或x＞}．当a＞1时，原不等式的解集为{x|x＞a2或0＜x＜}；（Ⅲ）若∀x∈[2，4]，f（x）≥4恒成立，即∀x∈[2，4]，（log a x）2﹣log a x﹣2≥4恒成立，即（log a x）2﹣log a x﹣6≥0，解得log a x≥3或log a x≤﹣2，当0＜a＜1时，a3≥x max＝4（舍去）或≤x min＝2，解得≤a＜1；当a＞1时，同理解得1＜a≤综上所述，实数a的取值范围为[，1）∪（1，]．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查指数、对数不等式的解法，突出考查分类讨论思想与分析解决问题的能力，属于难题．。
2019-2020学年人教A版山东省青岛市胶州市高一第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．已知扇形的圆心角为30°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A．πB．C．D．2．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示鱼的耗氧量的单位数．当一条鲑鱼的游速为m/s时，则它的耗氧量的单位数为（）A．900 B．1600 C．2700 D．81003．函数f（x）＝+lg（x+2）的定义域是（）A．（﹣2，）B．（﹣2，] C．（﹣2，+∞）D．（）4．角θ的终边上一点，则＝（）A．B．C．D．5．已知θ∈（0，π），则“”的必要不充分条件是（）A．B．C．D．6．函数f（x）＝lgx与g（x）＝cos x的图象的交点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．不确定7．函数f（x）＝cos2x+sin x（x∈R）的最大值为（）A．﹣1 B．C．1 D．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）＝f（x+4），且f（1）＝1，则f（2019）+f（2020）＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．下列函数是偶函数的是（）A．f（x）＝tan x B．f（x）＝sin x C．f（x）＝cos x D．f（x）＝lg|x| 10．已知a＝30.1，b＝log0.93，c＝sin（cos1），则下述正确的是（）A．a＞b B．a＞c C．b＞c D．b＞011．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣m恰有2个零点，则实数m可以是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．212．已知，且tanα，tanβ是方程x2﹣kx+2＝0的两不等实根，则下列结论正确的是（）A．tanα+tanβ＝﹣k B．tan（α+β）＝﹣kC．D．k+tanα≥4三、填空题13．若tanθ＝2，则＝．14．已知幂函数f（x）的图象经过点，则f（4）的值为．15．求值：sin220°（tan10°﹣）＝．16．已知函数，g（x）＝x2﹣2x，对任意的，总存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是．四、解答题17．已知集合A＝{y|y＝2x，﹣1≤x≤2}，集合B＝{x∈R|﹣1＜lnx≤2}，集合C＝{x∈R|x2﹣x﹣6≥0}．（1）求B∩C；（2）设全集U＝R，求（∁U A）∩C；（3）若，证明：a∈A∪B．18．已知函数f（x）＝1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，点A在直线y＝mx+n（mn ＞0）上．（1）求的最小值；（2）若a＝2，当x∈[2，4]时，求y＝[f（x）]2﹣2f（x）+3的值域．19．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在上的最小值．20．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）在R上的最大值为，f（0）＝1．（1）若点在f（x）的图象上，求函数f（x）图象的对称中心；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）在上为增函数，求ω的最大值．21．如图，长方形ABCD中，AB＝2，BC＝，点E，F，G分别在线段AB，BC，DA（含端点）上，E为AB中点，EF⊥EG，设∠AEG＝θ．（1）求角θ的取值范围；（2）求出△EFG周长l关于角θ的函数解析式f（θ），并求△EFG周长l的取值范围．22．设函数f（x）的定义域为I，对于区间D⊆I，若∃x1，x2∈D（x1＜x2）满足f（x1）+f （x2）＝1，则称区间D为函数f（x）的V区间．（1）证明：区间（0，2）是函数的V区间；（2）若区间[0，a]（a＞0）是函数的V区间，求实数a的取值范围；（3）已知函数在区间[0，+∞）上的图象连续不断，且在[0，+∞）上仅有2个零点，证明：区间[π，+∞）不是函数f（x）的V区间．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1．已知扇形的圆心角为30°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A．πB．C．D．【分析】根据弧长的公式l＝，代入直接求解即可．解：根据弧长的公式l＝，得l＝＝π．故选：A．2．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示鱼的耗氧量的单位数．当一条鲑鱼的游速为m/s时，则它的耗氧量的单位数为（）A．900 B．1600 C．2700 D．8100【分析】令v＝得，，解出Q即可．解：令v＝得，，∴，∴，∴Q＝2700，故选：C．3．函数f（x）＝+lg（x+2）的定义域是（）A．（﹣2，）B．（﹣2，] C．（﹣2，+∞）D．（）【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．解：由，解得﹣2＜x＜．∴函数f（x）＝+lg（x+2）的定义域是（﹣2，）．故选：A．4．角θ的终边上一点，则＝（）A．B．C．D．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得所给式子的值．解：角θ的终边上一点，则＝sinα＝＝，故选：A．5．已知θ∈（0，π），则“”的必要不充分条件是（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的特殊值和充分必要条件的定义即可判断．解：θ∈（0，π），则“”，则sinθ＝，若sinθ＝，则θ＝或θ＝，故“”的必要不充分条件是sinθ＝，故选：B．6．函数f（x）＝lgx与g（x）＝cos x的图象的交点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．不确定【分析】画出图象，根据函数的单调性值域即可得出．解：画出图象，lg1＝0，lg10＝1，cos x∈[﹣1，1]，可得f（x）＝lgx与g（x）＝cos x的图象的交点个数为3．故选：C．7．函数f（x）＝cos2x+sin x（x∈R）的最大值为（）A．﹣1 B．C．1 D．【分析】配方后得到关于sin x的二次函数，由x取任意实数，得到sin x∈[﹣1，1]，利用二次函数的性质即可求出函数的最大值．解：f（x）＝cos2x+sin x＝1﹣sin2x+sin x＝﹣sin2x+sin x+1＝﹣（sin x﹣）2+，∵x∈R，∴sin x∈[﹣1，1]，则sin x＝时函数的最大值为．故选：D．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）＝f（x+4），且f（1）＝1，则f（2019）+f（2020）＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】根据题意，由f（x）＝f（x+4）可得f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1），f（2020）＝f（505×4）＝f（0），结合奇函数的性质求出f（0）与f（1）的值，相加即可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），则f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1），f（2020）＝f（505×4）＝f（0），又由函数f（x）是定义在R上的奇函数且f（1）＝1，则f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，则f（2019）+f（2020）＝f（0）+f（﹣1）＝﹣1；二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．下列函数是偶函数的是（）A．f（x）＝tan x B．f（x）＝sin x C．f（x）＝cos x D．f（x）＝lg|x| 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝tan x，是正切函数，是奇函数，不符合题意；对于B，f（x）＝sin x，是正弦函数，是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）＝cos x，是余弦函数，是偶函数，符合题意；对于D，f（x）＝lg|x|，其定义域为{x|x≠0}有f（﹣x）＝lg|﹣x|＝lg|x|＝f（x），是偶函数，符合题意；故选：CD．10．已知a＝30.1，b＝log0.93，c＝sin（cos1），则下述正确的是（）A．a＞b B．a＞c C．b＞c D．b＞0【分析】利用指数对数函数、三角函数的单调性即可得出．解：a＝30.1＞1，b＝log0.93＜0，c＝sin（cos1）∈（0，1），则：a＞c＞b．故选：AB．11．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣m恰有2个零点，则实数m可以是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】画出函数f（x）的图象，进而得出结论．解：画出函数f（x）的图象，x∈[1，+∞）时，f（x）＝﹣（x﹣2）2+1．若函数g（x）＝f（x）﹣m恰有2个零点，则实数m＝1，或m≤0．因此m可以为﹣1，0，1．12．已知，且tanα，tanβ是方程x2﹣kx+2＝0的两不等实根，则下列结论正确的是（）A．tanα+tanβ＝﹣k B．tan（α+β）＝﹣kC．D．k+tanα≥4【分析】由题意利用韦达定理，基本不等式，得出结论．解：∵已知，且tanα，tanβ是方程x2﹣kx+2＝0的两不等实根，∴tanα+tanβ＝k＞0，tanα•tanβ＝2，∴k＞2＝2，故选：BC．三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．若tanθ＝2，则＝．【分析】由已知可得，＝，代入即可求解．解：若tanθ＝2，则＝＝．故答案为：14．已知幂函数f（x）的图象经过点，则f（4）的值为 2 ．【分析】设幂函数f（x）＝x a，由f（x）过点（2，），知2a＝，由此能求出f （4）．解：设幂函数f（x）＝x a，∵f（x）过点（2，），∴2a＝，a＝∴f（4）＝＝2，故答案为：2．15．求值：sin220°（tan10°﹣）＝ 1 ．【分析】由已知结合同角基本关系及两角差的正弦公式，辅助角公式，二倍角公式对已知式子进行化简即可求解．解：：sin220°（tan10°﹣）＝﹣sin40°（），＝＝﹣sin40°×，＝＝＝1．故答案为：1．16．已知函数，g（x）＝x2﹣2x，对任意的，总存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是[0，1] ．【分析】先分别求出f（x）和g（x）的值域，再根据“任意”是“存在”的子集列式解得即可．解：当x∈[，2]时，f（x）＝log x+a为递减函数，∴f（x）∈[﹣1+a，2+a]；当x∈[﹣1，2]时，g（x）＝x2﹣2x∈[﹣1，3]，对任意的，总存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）＝g（x2）⇔[﹣1+a，2+a]⊆[﹣1，3]，∴，解得0≤a≤1，故答案为[0，1]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知集合A＝{y|y＝2x，﹣1≤x≤2}，集合B＝{x∈R|﹣1＜lnx≤2}，集合C＝{x∈R|x2﹣x﹣6≥0}．（1）求B∩C；（2）设全集U＝R，求（∁U A）∩C；（3）若，证明：a∈A∪B．【分析】（1）首先确定A、B，C，然后根据交集的定义求解即可；（2）先求出其补集，然后根据交集的定义求解即可；（3）先根据指数和对数的运算性质求出a即可求出结论解：因为集合A＝{y|y＝2x，﹣1≤x≤2}，集合B＝{x∈R|﹣1＜lnx≤2}，集合C＝{x∈R|x2﹣x﹣6≥0}．∴A＝[，4]；B＝（，e2），C＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）∴B∩C＝[3，e2）；（2）全集U＝R，∁U A＝（﹣∞，∪（4，+∞）；∴（∁U A）∩C═（﹣∞，﹣2]∪（4，+∞）；（3）∵＝lg0.05﹣7+9﹣lg＝lg0.1+2＝1；∴1∈A，1∈B；∴a∈A∪B．18．已知函数f（x）＝1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，点A在直线y＝mx+n（mn ＞0）上．（1）求的最小值；（2）若a＝2，当x∈[2，4]时，求y＝[f（x）]2﹣2f（x）+3的值域．【分析】（1）先求出函数f（x）过的定点A的坐标，代入直线方程，再利用基本不等式即可求出结果；（2）由x的范围，算出log2x的范围，即可求出y的值域．解：（1）∵log a1＝0，∴函数f（x）＝1+log a x的图象恒过点A的坐标为（1，1），∵点A（1，1）在直线y＝mx+n（mn＞0）上，∴m+n＝1，∵mn＞0，∴∴，当且仅当m＝n时，等号成立，∴的最小值为4；（2）当a＝2时，f（x）＝1+log2x，∴＝，∵2≤x≤4，∴1≤log2x≤2，∴3≤y≤6，∴y的值域为：[3，6]．19．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在上的最小值．【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的周期公式及单调性即可分别求解；（2）结合正弦函数的性质即可求解函数的值域，进而可求最小值．解：（1）＝＝2sin（2x+）+3，T＝π，令2x+，k∈Z，解可得，，即函数的单调递减区间为（），k∈Z，（2）由0≤x可得，2x+，所以﹣sin（2x+）≤1即函数的最小值2．20．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）在R上的最大值为，f（0）＝1．（1）若点在f（x）的图象上，求函数f（x）图象的对称中心；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）在上为增函数，求ω的最大值．【分析】（1）由题意，A＝，再由f（0）＝1，求得φ，结合点在f（x）的图象上求得ω，则函数解析式可求，进一步求得函数的对称中心坐标；（2）由题意求得函数g（x）的解析式，得到函数的增区间，再由y＝g（x）在上为增函数列关于ω的不等式组求解．解：（1）由题意，A＝，由f（0）＝φ＝1，得sinφ＝，∵0＜φ＜，∴φ＝，则f（x）＝．又，∴sin（）＝1．得＝，k∈Z．∴ω＝2+16k，k∈Z．∵0＜ω＜16，∴取k＝0，得ω＝2．∴f（x）＝．由，得x＝，k∈Z．∴函数f（x）图象的对称中心为（，0），k∈Z；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得函数y＝g（x）的图象，则g（x）＝sin（4x）．由，k∈Z，，k∈Z，取k＝0，得．由y＝g（x）在上为增函数，得，解得．∴ω的最大值为2．21．如图，长方形ABCD中，AB＝2，BC＝，点E，F，G分别在线段AB，BC，DA（含端点）上，E为AB中点，EF⊥EG，设∠AEG＝θ．（1）求角θ的取值范围；（2）求出△EFG周长l关于角θ的函数解析式f（θ），并求△EFG周长l的取值范围．【分析】（1）分析出何时最大何时最小即可求出其范围；（2）在三个直角三角形中分别求出三边长，再结合三角函数的取值范围即可求解解：（1）因为长方形ABCD中，AB＝2，BC＝，点E，F，G分别在线段AB，BC，DA（含端点）上，E为AB中点，EF⊥EG，设∠AEG＝θ．∴当点F在点C时，这时角θ最小，求得此时θ＝；当点G在D点时，这时角θ最大，求得此时θ＝．∴角θ的取值范围：[，]；（2）△EFG周长l＝EG+EF+FG＝++；∴f（θ）＝；θ∈[，]；设sinθ+cosθ＝t，则sinθ•cosθ＝；∴f（θ）＝＝由θ∈[，]；得≤θ+≤，得≤t≤，∴≤t﹣1≤﹣1，从而+1≤≤+1，当θ＝时，f（θ）min＝2（+1），当θ＝或时，f（θ）max＝2（+1），∴△EFG周长l的取值范围：[2（，2（+1）]22．设函数f（x）的定义域为I，对于区间D⊆I，若∃x1，x2∈D（x1＜x2）满足f（x1）+f （x2）＝1，则称区间D为函数f（x）的V区间．（1）证明：区间（0，2）是函数的V区间；（2）若区间[0，a]（a＞0）是函数的V区间，求实数a的取值范围；（3）已知函数在区间[0，+∞）上的图象连续不断，且在[0，+∞）上仅有2个零点，证明：区间[π，+∞）不是函数f（x）的V区间．【分析】（1）由函数f（x）的V区间的定义，结合对数的运算性质，即可得证；（2）由函数f（x）的V区间的定义和指数函数的单调性，结合不等式的性质，可得所求范围；（3）运用函数的零点存在定理和函数f（x）的V区间的定义，证明函数f（x）在[0，π）上至少存在两个零点，即为f（x）在[π，+∞）上不存在零点，可得证明．解：（1）证明：设x1，x2∈（0，2）（x1＜x2），若f（x1）+f（x2）＝1，则+lgx1++lgx2＝1，所以lgx1+lgx2＝lg（x1x2）＝0，即x1x2＝1，取x1＝，x2＝，满足定义，所以区间（0，2）是函数f（x）＝+lgx的V区间；（2）因为区间[0，a]是函数f（x）＝（）x的V区间，所以∃x1，x2∈[0，a]（x1＜x2），使得（）+（）＝1，因为f（x）＝（）x在[0，a]上单调递减，所以（）＞（）a，（）≥（）a，（）+（）≥2•（）a＝（）a﹣1，所以（）a﹣1＜1，即a﹣1＞0，即a＞1，故所求实数a的取值范围为（1，+∞）；（3）证明：因为f（）＝＞0，f（π）＝﹣＜0，所以f（x）在（，π）上存在零点．又因为f（0）＝0，所以函数f（x）在[0，π）上至少存在两个零点．因为函数f（x）在[0，+∞）上仅有2个零点，所以f（x）在[π，+∞）上不存在零点，又因为f（π）＜0，所以∀x∈[π，+∞），f（x）＜0，所以∀x1，x2∈[π，+∞）（x1＜x2），f（x1）+f（x2）＜0，即因此不存在∀x1，x2∈[π，+∞）（x1＜x2），满足f（x1）+f（x2）＝1，所以区间[π，+∞），不是函数f（x）的V区间．。
2019-2020学年人教A版海南省临高中学高一第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．（1，2]2．已知a∈R，则“a＜2”是“a2＜2a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b4．已知α为第三象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限5．函数y＝a sin x+1的最大值是3，则它的最小值是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．与a有关6．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x+x﹣3，则f（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．要得到函数y＝cos（）的图象，只需将函数y＝sin的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．若0＜α＜＜β＜π，且cosβ＝﹣，sin（α+β）＝，则sinα的值是（）A．B．C．D．二.多项选择题9．已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．B∩A＝B D．A＝B＝C10．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x B．y＝x2C．D．11．下列函数，最小正周期为π的偶函数有（）A．y＝tan x B．y＝|sin x|C．y＝2cos x D．12．定义运算，设函数f（x）＝1⊕2﹣x，则下列命题正确的有（）A．f（x）的值域为[1，+∞）B．f（x）的值域为（0，1]C．不等式f（x+1）＜f（2x）成立的范围是（﹣∞，0）D．不等式f（x+1）＜f（2x）成立的范围是（0，+∞）三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝a2x﹣4+n（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P（m，2），则m+n＝．14．若cos（﹣α）＝，则sin（+α）＝15．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则+的最小值是．16．对函数y＝f（x）＝4sin（2x+）（x∈R）有下列命题：①函数y＝f（x）的表达式可改写为y＝4cos（2x﹣）②函数y＝f（x）是以2π为最小正周期的周期函数③函数y＝f（x）的图象关于点（﹣，0）对称④函数y＝f（x）的图象关于直线x＝﹣对称其中正确的命题是．四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知tan x＝2，（1）求的值．（2）求2sin2x﹣sin x cos x+cos2x的值．18．已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．19．已知函数．（Ⅰ）求证函数f（x）为奇函数；（Ⅱ）用定义证明：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．20．已知f（x）＝log a（1﹣x）（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）求使f（x）＞0成立的x的取值范围．21．已知函数y＝sin x+cos x，求：（1）函数y的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数y的单调递增区间．22．某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40]时，曲线是函数y＝log a（t﹣5）+83（a＞0，且a≠1）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．（1）试求p＝f（t）的函数关系式；（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．参考答案一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．（1，2]【分析】求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集．解：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，解得：1＜x＜4，即A＝（1，4），∵B＝（﹣∞，2]，∴A∩B＝（1，2]．故选：D．2．已知a∈R，则“a＜2”是“a2＜2a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】当a∈R时，由“a＜2”推导不出“a2＜2a”，“a2＜2a”⇒“0＜a＜2”，故“a ＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件．解：∵“0＜a＜2”⇒“a2＜2a”，“a＜0”⇒“a2＞2a”，“a＝0”⇒“a2＝2a”．“a2＜2a”⇒“0＜a＜2”，∴“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件．故选：B．3．设a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b【分析】考查函数y＝3x，y＝logπx，y＝log0.3x的单调性，借助于0和1，对a、b、c 比较大小．解：∵y＝3x是定义域上的增函数，∴a＝30.3＞30＝1，又∵y＝logπx是定义域上的增函数，∴0＝logπ1＜logπ3＜logππ＝1，又∵y＝log0.3x是定义域上的减函数，∴c＝log0.3e＜log0.31＝0，∴a＞b＞c；故选：A．4．已知α为第三象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限【分析】α为第三象限角，即k∈Z，表示出，然后再判断即可．解：因为α为第三象限角，即k∈Z，所以，k∈Z当k为奇数时它是第四象限，当k为偶数时它是第二象限的角．故选：D．5．函数y＝a sin x+1的最大值是3，则它的最小值是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．与a有关【分析】直接利用正弦函数的性质的应用求出结果．解：函数y＝a sin x+1的最大值是3，则当sin x＝1时，可以求出a＝2．所以当sin x＝﹣1时，函数的最小值为﹣2+1＝﹣1．故选：C．6．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x+x﹣3，则f（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先由函数f（x）是定义在R上的奇函数确定0是一个零点，再令x＞0时的函数f（x）的解析式等于0转化成两个函数，转化为判断两函数交点个数问题，最后根据奇函数的对称性确定答案．解：∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）＝0，所以0是函数f（x）的一个零点，当x＞0时，令f（x）＝2x+x﹣3＝0，则2x＝﹣x+3，分别画出函数y＝2x，和y＝﹣x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f（x）有一个零点，又根据对称性知，当x＜0时函数f（x）也有一个零点．综上所述，f（x）的零点个数为3个，故选：C．7．要得到函数y＝cos（）的图象，只需将函数y＝sin的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数到的路线，即可得到选项．解：＝＝，只需将函数的图象，向左平移个单位长度得到函数＝的图象．故选：A．8．若0＜α＜＜β＜π，且cosβ＝﹣，sin（α+β）＝，则sinα的值是（）A．B．C．D．【分析】先根据已知条件分别求得sinβ和cos（α+β）的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．解：由0＜α＜＜β＜π，知＜α+β＜π且cosβ＝﹣，sin（α+β）＝，得sinβ＝，cos（α+β）＝﹣．∴sinα＝sin[（α+β）﹣β]＝sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ＝．故选：C．二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．B∩A＝B D．A＝B＝C【分析】可看出，“小于90°的角“和”第一象限的角“都包含”锐角“，从而可判断出选项B，C都正确；而小于90°的角里边有小于0°的角，而小于0°的角里边有第一象限角，从而可判断选项A错误，而选项D显然错误，从而可得出正确的选项．解：∵“小于90°的角”和“第一象限角”都包含“锐角”，∴B⊆C，B⊆A∴B∪C＝C，B∩A＝B；∵“小于90°的角“里边有”第一象限角”，从而B≠A∩C．故选：BC．10．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x B．y＝x2C．D．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x，是正比例函数，在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于B，y＝x2，是二次函数，在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于C，y＝，是反比例函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不符合题意；对于D，y＝（）x，是指数函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不符合题意；故选：AB．11．下列函数，最小正周期为π的偶函数有（）A．y＝tan x B．y＝|sin x|C．y＝2cos x D．【分析】由题意利用三角函数的周期性和奇偶性，得出结论．解：函数y＝tan x的最小正周期为π，且该函数为奇函数，故排除A；函数y＝|sin x|的最小正周期为π，且该函数为偶函数，故B满足条件；函数y＝2cos x的最小正周期为2π，且该函数为偶函数，故C不满足条件，故排除C；函数y＝sin（﹣2x）＝cos2x的最小正周期为＝π，且该函数为偶函数，故D 满足条件，故选：BD．12．定义运算，设函数f（x）＝1⊕2﹣x，则下列命题正确的有（）A．f（x）的值域为[1，+∞）B．f（x）的值域为（0，1]C．不等式f（x+1）＜f（2x）成立的范围是（﹣∞，0）D．不等式f（x+1）＜f（2x）成立的范围是（0，+∞）【分析】由题意知写出函数f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，结合图象判断选项中的命题是否正确即可．解：由题意知，函数f（x）＝1⊕2﹣x＝，画出函数f（x）的图象，如图所示；所以f（x）的值域是[1，+∞），选项A正确，B错误；由f（x）在（﹣∞，0）上是单调减函数，不等式f（x+1）＜f（2x）可化为，解得x＜﹣1；又x∈[﹣1，0）时，x+1≥0，f（x+1）＝1；2x＜0，f（2x）＞1，所以f（x+1）＜f（2x）；综上知，不等式f（x+1）＜f（2x）成立的范围是（﹣∞，0），所以C正确，D错误．故选：AC．三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝a2x﹣4+n（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P（m，2），则m+n＝ 3 ．【分析】令解析式中的指数2x﹣4＝0求出x的值，再代入解析式求出y的值，即得到定点的坐标，结合条件列出关于m，n的方程，解之即得．解：令2x﹣4＝0解得，x＝2，代入f（x）＝a2x﹣4+n得，y＝n+1，∴函数图象过定点（2，n+1），又函数f（x）＝a2x﹣4+n（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P（m，2），∴m＝2，n+1+2，∴n＝1，则m+n＝3故答案为：3．14．若cos（﹣α）＝，则sin（+α）＝【分析】由题意利用诱导公式，求得所给式子的值．解：cos（﹣α）＝，则sin（+α）＝cos[﹣（﹣α）]＝cos（﹣α）＝，故答案为：．15．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则+的最小值是 4 ．【分析】由对数的运算性质，lg2x+lg8y＝lg2x+lg23y＝（x+3y）lg2，结合题意可得，x+3y＝1；再利用1的代换结合基本不等式求解即可．解：lg2x+lg8y＝lg2x+lg23y＝（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y＝lg2，则x+3y＝1，进而由基本不等式的性质可得，＝（x+3y）（）＝2+≥2+2＝4，当且仅当x＝3y时取等号，故答案为：4．16．对函数y＝f（x）＝4sin（2x+）（x∈R）有下列命题：①函数y＝f（x）的表达式可改写为y＝4cos（2x﹣）②函数y＝f（x）是以2π为最小正周期的周期函数③函数y＝f（x）的图象关于点（﹣，0）对称④函数y＝f（x）的图象关于直线x＝﹣对称其中正确的命题是①③．【分析】利用诱导公式化简①，判断正误；求出周期判断②；求出函数的对称中心判定③；对称直线方程判断④的正误；即可得到解答．解：①f（x）＝4sin（2x+）＝4cos（﹣2x﹣）＝4cos（2x+﹣）＝4cos （2x﹣）②最小正周期T＝＝＝π，②不正确；③f（x）＝4sin（2x+）的对称点满足（x，0）2x+＝kπ，x＝（）k∈Z（﹣，0）满足条件④f（x）＝4sin（2x+）的对称直线满足2x+＝（k+）π；x＝（k+）x＝﹣不满足故答案为：①③四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知tan x＝2，（1）求的值．（2）求2sin2x﹣sin x cos x+cos2x的值．【分析】（1）表达式的分子、分母同除cos x，得到tan x的表达式，即可求出结果．（2）利用sin2x+cos2x＝1，在表达式的分母增加“1”，然后分子、分母同除cos2x，得到tan x的表达式，即可求出结果．解：（1）（2）＝18．已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．【分析】（1）（2）根据同角三角函数关系式，二倍角公式，诱导公式求值即可．解：（1）∵．∴cosα＝＝．那么：tanα＝＝．（2）由＝cos2α﹣sin2α+cosα＝＝．19．已知函数．（Ⅰ）求证函数f（x）为奇函数；（Ⅱ）用定义证明：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．【分析】（Ⅰ）利用奇函数的定义，考查f（﹣x）＝﹣f（x）在定义域内是否恒成立，若是则为奇函数，否则不是奇函数．（Ⅱ）利用增函数的定义，证明对于（1，+∞）内任意的x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）即可．解：（Ⅰ）证明：函数的定义域是（﹣∞．0）∪（0，+∞）由，可得，所以函数f（x）为奇函数．（Ⅱ）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则＝＝，由x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，可知x1＜x2，x1x2﹣1＞0，所以f（x1）＜f（x2）．即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数20．已知f（x）＝log a（1﹣x）（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）求使f（x）＞0成立的x的取值范围．【分析】（1）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；（2）通过讨论a的范围，结合对数函数的性质求出x的范围即可．解：（1）由题意得：1﹣x＞0，解得：x＜1，故函数的定义域是（﹣∞，1）；（2）0＜a＜1时，0＜1﹣x＜1，解得：0＜x＜1，a＞1时，1﹣x＞1，解得：x＜0．21．已知函数y＝sin x+cos x，求：（1）函数y的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数y的单调递增区间．【分析】（1）利用辅助角公式将转化为：y＝2sin（x+），从而可求函数y的最大值，最小值及最小正周期；（2）由2kπ﹣≤x+≤2kπ+（k∈Z）即可求得函数y的单调递增区间．解：（1）∵＝2sin（x+），∴y max＝2，y min＝﹣2，其最小正周期T＝＝4π；（2）由2kπ﹣≤x+≤2kπ+（k∈Z）得：4kπ﹣≤x≤4kπ+（k∈Z），∴函数y的单调递增区间为[4kπ﹣，4kπ+]（k∈Z）．22．某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40]时，曲线是函数y＝log a（t﹣5）+83（a＞0，且a≠1）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．（1）试求p＝f（t）的函数关系式；（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求函数第一段的解析式，代入特殊点求函数第二段的解析式即可；（2）分段求出效果最佳的t的范围，验证即可．解：（1）当t∈（0，14]时，设p＝f（t）＝c（t﹣12）2+82（c＜0），将点（14，81）代入得c＝﹣，∴当t∈（0，14]时，p＝f（t）＝﹣（t﹣12）2+82；当t∈（14，40]时，将点（14，81）代入y＝log a（t﹣5）+83，得a＝，所以p＝f（t）＝；（2）当t∈（0，14]时，﹣（t﹣12）2+82≥80，解得12﹣2≤t≤12+2，所以t∈[12﹣2，14]，当t∈（14，40]时，log（t﹣5）+83≥80，解得5＜t≤32，所以t∈（14，32]，综上t∈[12﹣2，32]时学生听课效果最佳，此时，所以，教师能够合理安排时间讲完题目．。
2019-2020学年北京市昌平区高一(上)期末数学试卷及答案
2019-2020学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则（）A．A∪B＝U B．A∩B＝{1，2}C．∁U A＝{3，4，5}D．∁U B＝{4，5，6} 2．（5分）已知二次不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．3．（5分）下列各式正确的是（）A．π2•π3＝π6B．C．lg2+lg5＝1D．4．（5分）已知向量＝（2，﹣1），＝（﹣1，3），则|﹣|＝（）A．1B．C．D．55．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．D．log2a＜log2b6．（5分）为了丰富学生的寒假生活，某学校为了学生推荐了《论语》、《红楼梦》、《乡土中国》和《巴黎圣母院》4部名著．小明准备从中任意选择2部进行阅读，那么选择的2部名著中包括外国名著的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）＝mx2+x+1有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f（x）的图象如图所示，则下列关系正确的是（）A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3）B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2）C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2）D．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）9．（5分）设，是非零向量，则“，共线”是“|+|＝||+||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）“里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量．里氏震级M地震释放的能量E（单位：焦耳）之间的关系为：.1988年云南澜沧发生地震为里氏7.6级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级．若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为E1，E2，则的值为（）A．10﹣0.6B．10﹣0.4C．100.4D．100.6二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，￢p为．12．（5分）已知幂函数f（x）＝xα（α为常数）的图象经过点（4，2），则f（x）＝．13．（5分）在某社区举行的“讲文明，树新风”答题竞赛中，根据甲、乙两组选手的成绩，绘制的茎叶图如图所示，甲组成绩的25%分位数为；设甲、乙两组成的方差分别为s甲2，s乙2，那么s甲2 s乙2．（填“＞”或“＜”或“＝”）14．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ＝．15．（5分）已知函数，则f（0）＝；能说明“方程f （x）﹣a＝0有两个实根”为真命题的实数a的一个值为．16．（5分）若函数f（x）满足下面三个条件：①f（x）在其定义域上图象不间断；②f（x）是偶函数；③f（x）恰有3个零点．请写出一个满足上述条件的函数f（x）＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）17．（14分）某校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从2000名高一学生中随机抽取100名学生，收集了他们周平均锻炼时间（单位：小时），将数据按照[3，5），[5，7）[7，9），[9，11），[11，13]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数；（Ⅲ）假设同组中的每个数据可用该区间的中点值代替，试估计高一年级全体学生周平均锻炼时间的平均数落在哪一个区间．（只需写出结论）18．（14分）如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设＝．（Ⅰ）试用基底{，}，表示；（Ⅱ）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．19．（14分）为了解甲、乙两名运动员的射击成绩，从两人近一年的射击成绩中各随机抽取一个容量为20的样本，经过处理，得到两人击中环数的频数如图所示．（Ⅰ）试估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率；（Ⅱ）从上述两个样本中各随机抽取一次，求甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率．20．（14分）为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为（m为常数）．已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为0.5x（单位：万元）．记F（x）为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和．（Ⅰ）写出F（x）的解析式；（Ⅱ）当x为多少平方米时，F（x）取得最小值？最小值是多少万元？21．（14分）对于任意的有限集合P，Q定义：①；②P*Q＝{x|f p（x）•f Q（x）＝1}；③card（P）表示集合P的元素个数．已知集合A＝{x|x＝k，k∈N*，1≤k≤2020}，B＝{x|x＝2k，k∈N*，1≤k≤2020}．（Ⅰ）求f A（2019），f B（2019）的值；（Ⅱ）求card（A*B）的值；（Ⅲ）对于任意的有限集合M，设n＝card（M*A）+card（M*B），求n的最小值．2019-2020学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则（）A．A∪B＝U B．A∩B＝{1，2}C．∁U A＝{3，4，5}D．∁U B＝{4，5，6}【分析】直接根据交并补的定义即可求出．【解答】解：集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则A∪B＝{0，1，2，3}，A∩B＝{1，2}，∁U A＝{3，4，5，6}，∁U B＝{0，4，5，6}，故选：B．【点评】本题考查了集合的交并补的运算，属于基础题．2．（5分）已知二次不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先分解因式，解出不等式即可求解结论．【解答】解：因为x2﹣2x﹣3≤0⇒（x﹣3）（x+1）≤0⇒﹣1≤x≤3；故选：A．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了因式分解的应用问题，是基础题目．3．（5分）下列各式正确的是（）A．π2•π3＝π6B．C．lg2+lg5＝1D．【分析】由已知结合指数与对数的运算性质及对数的换底公式分别检验各选项即可．【解答】解：根据指数的运算性质可知，π2•π3＝π5，A错误；根据分数指数幂可知，＝，B错误；由对数的运算性质可得，lg2+lg5＝lg10＝1，C正确；由对数的换底公式可得，＝log36≠ln2，D错误．故选：C．【点评】本题主要考查指数与对数的运算性质，对数的换底公式的简单应用，属于基础试题．4．（5分）已知向量＝（2，﹣1），＝（﹣1，3），则|﹣|＝（）A．1B．C．D．5【分析】根据向量的坐标即可求出的坐标，进而求出的值．【解答】解：∵，∴．故选：D．【点评】本题考查了向量坐标的减法运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．D．log2a＜log2b【分析】直接利用不等式的性质求出结果．【解答】解：对于A，D：当a＜b＜0时，不等式不成立．对于B：a＝0或b＝0，关系式没有意义．故错误．对于C：由于b＜a，且y＝（）x为单调递减函数，则：（）b＜（）b，故C正确．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6．（5分）为了丰富学生的寒假生活，某学校为了学生推荐了《论语》、《红楼梦》、《乡土中国》和《巴黎圣母院》4部名著．小明准备从中任意选择2部进行阅读，那么选择的2部名著中包括外国名著的概率为（）A．B．C．D．【分析】小明准备从中任意选择2部进行阅读，基本事件总数n＝＝6，选择的2部名著中包括外国名著包含的基本事件个数m＝＝3，由此能求出选择的2部名著中包括外国名著的概率．【解答】解：某学校为了学生推荐了《论语》、《红楼梦》、《乡土中国》和《巴黎圣母院》4部名著．小明准备从中任意选择2部进行阅读，基本事件总数n＝＝6，选择的2部名著中包括外国名著包含的基本事件个数m＝＝3，∴选择的2部名著中包括外国名著的概率为P＝．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考査古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）已知函数f（x）＝mx2+x+1有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】条件转化为方程mx2+x+1＝0有两个不等根，结合根的判别式列出不等式即可【解答】解：函数有两个零点等价于关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有两个不等根，则，解得m＜且m≠0，即m∈（﹣∞，0）∪（0，），故选：B．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，涉及二次函数根的判别式，属于中档题．8．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f（x）的图象如图所示，则下列关系正确的是（）A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3）B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2）C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2）D．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）【分析】根据题意，由偶函数的性质可得f（﹣2）＝f（2），由函数的图象分析函数的单调性，可得f（1）＞f（2）＞f（3），综合可得答案．【解答】解：根据题意，y＝f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣2）＝f（2），又由函数图象可得：f（x）在（0，+∞）上为减函数，即有f（1）＞f（2）＞f（3），则有f（1）＞f（﹣2）＞f（3），故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意偶函数的性质，属于基础题．9．（5分）设，是非零向量，则“，共线”是“|+|＝||+||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“|+|＝||+||”⇒“，共线”，反之不成立，例如．【解答】解：“|+|＝||+||”⇒“，共线”，反之不成立，例如．∴，是非零向量，则“，共线”是“|+|＝||+||”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．（5分）“里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量．里氏震级M地震释放的能量E（单位：焦耳）之间的关系为：.1988年云南澜沧发生地震为里氏7.6级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级．若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为E1，E2，则的值为（）A．10﹣0.6B．10﹣0.4C．100.4D．100.6【分析】分别把云南澜沧发生地震的里氏等级与四川汶川发生的地震的里氏等级代入，然后利用对数的运算性质求解的值．【解答】解：∵云南澜沧发生地震为里氏7.6级，∴7.6＝，即；①∵四川汶川发生的地震为里氏8级，∴，即．②①﹣②得：，即，∴．故选：A．【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查对数的运算性质，是基础题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，￢p为∃x0∈R，x02+x0+1＜0．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，则￢p是：∃x0∈R，x02+x0+1＜0．故答案为：∃x0∈R，x02+x0+1＜0．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，注意量词的变化．12．（5分）已知幂函数f（x）＝xα（α为常数）的图象经过点（4，2），则f（x）＝（x ≥0）．【分析】把点的坐标代入幂函数解析式，求出α的值．【解答】解：幂函数f（x）＝xα的图象经过点（4，2），则4α＝2，解得α＝，所以f（x）＝（x≥0）．故答案为：（x≥0）．【点评】本题考查了幂函数的定义与解析式的求法问题，是基础题．13．（5分）在某社区举行的“讲文明，树新风”答题竞赛中，根据甲、乙两组选手的成绩，绘制的茎叶图如图所示，甲组成绩的25%分位数为70；设甲、乙两组成的方差分别为s甲2，s乙2，那么s甲2＞s乙2．（填“＞”或“＜”或“＝”）【分析】由茎叶图得甲组成绩从小到大排列，由25%×12＝3，得到甲组成绩的25%分位数为第3个数和第4个数的平均数，由茎叶图得甲组成绩相对分散，乙组成绩相对集中，从而s甲2＞s乙2．【解答】解：由茎叶图得甲组成绩从小到大为65，67，69，71，75，77，80，83，85，89，93，95，25%×12＝3，∴＝70，由茎叶图得甲组成绩相对分散，乙组成绩相对集中，∴s甲2＞s乙2．故答案为：70，＞．【点评】本题考查25%分位数的求法，考查方差的求法及应用，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ＝0．【分析】建坐标系，可得，，的坐标，由＝λ+μ可得关于λμ的方程组，解之相加可得．【解答】解：以向量，的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，可得＝（3，0），＝（0，4），可得＝（3，﹣4）∵＝λ+μ，∴，解之得λ＝1，μ＝﹣1，∴λ+μ＝0．故答案为：0．【点评】本题考查平面向量基本定理及其意义，建系是解决问题的关键，属中档题．15．（5分）已知函数，则f（0）＝1；能说明“方程f（x）﹣a＝0有两个实根”为真命题的实数a的一个值为1（答案不唯一）．【分析】直接把变量代入对应的解析式求出第一个空，结合图象求解第二个空．【解答】解：因为函数，则f（0）＝e0＝1；函数的大致图象为：故能说明“方程f（x）﹣a＝0有两个实根”为真命题的实数a的取值范围是（0，1]；故答案为：1，1（答案不唯一）．【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，以及数形结合思想的应用，属于基础题．16．（5分）若函数f（x）满足下面三个条件：①f（x）在其定义域上图象不间断；②f（x）是偶函数；③f（x）恰有3个零点．请写出一个满足上述条件的函数f（x）＝（x2﹣1）|x|．【分析】由题意同时满足3个条件的函数可得为f（x）＝（x2﹣1）|x|．【解答】解：由题意可得满足条件的函数f（x）＝（x2﹣1）|x|．故答案为：f（x）＝（x2﹣1）|x|．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，及函数的奇偶性的性质，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）17．（14分）某校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从2000名高一学生中随机抽取100名学生，收集了他们周平均锻炼时间（单位：小时），将数据按照[3，5），[5，7）[7，9），[9，11），[11，13]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数；（Ⅲ）假设同组中的每个数据可用该区间的中点值代替，试估计高一年级全体学生周平均锻炼时间的平均数落在哪一个区间．（只需写出结论）【分析】（Ⅰ）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1，即为频率之和为1，解得a．（Ⅱ）先从抽取的100人中，算出周平均锻炼时间不低于7小时的人数所占比例，再估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数2000×60%＝1200．（Ⅲ）每条的中点横坐标乘以面积，全加一起．【解答】解：（Ⅰ）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1，所以（0.02+0.05+0.1+a+0.18）×2＝1，解得a＝0.15．（Ⅱ）抽取的100人中，周平均锻炼时间不低于7小时的人数所占比例为（a+0.1+0.05）×2＝0.6＝60%．因此估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数所占比例也为60%．估计所求人数为2000×60%＝1200．（Ⅲ）4×0.02×2+6×0.18×2+8×0.15×2+10×0.1×2+12×0.05×2＝7.92，所以估计高一年级全体学生周平均锻炼时间的平均数落在[7，9）内．【点评】本题考查频率分布直方图中频率，平均数的求法，属于基础题．18．（14分）如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设＝．（Ⅰ）试用基底{，}，表示；（Ⅱ）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．【分析】（Ⅰ）根据题意，由平面向量的线性运算法则即可用基底{，}，表示；（Ⅱ）考虑三点共线时，＝+（1﹣λ），经检验═+，∵，∴E，G，F三点共线．【解答】解：（Ⅰ）由题，＝+＝+＝+＝，＝+＝+＝﹣＝﹣．（Ⅱ）＝+＝+＝+，＝（）+（+）＝+，∵，∴E，G，F三点共线．【点评】本题考查平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．19．（14分）为了解甲、乙两名运动员的射击成绩，从两人近一年的射击成绩中各随机抽取一个容量为20的样本，经过处理，得到两人击中环数的频数如图所示．（Ⅰ）试估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率；（Ⅱ）从上述两个样本中各随机抽取一次，求甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率．【分析】（Ⅰ）由两人击中环数的频数折线图得甲2次击中7环，2次击中8环，10次击中9环，6次击中10环，由此能估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率．（Ⅱ）由两人击中环数的频数统计图得甲在20次射击有6次击中10环，乙在20次射击有8次击中10环，从上述两个样本中各随机抽取一次，利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率．【解答】解：（Ⅰ）由两人击中环数的折线图得：甲2次击中7环，2次击中8环，10次击中9环，6次击中10环，∴估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率p＝1﹣＝．（Ⅱ）由两人击中环数的频数统计图得：甲在20次射击有6次击中10环，乙在20次射击有8次击中10环，从上述两个样本中各随机抽取一次，基本事件总数n＝20×20＝400，甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环包含的基本事件个数m＝6×12+14×8＝184，∴甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率为：P＝＝．【点评】本题考查概率的求法，考査折线图、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．（14分）为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为（m为常数）．已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为0.5x（单位：万元）．记F（x）为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和．（Ⅰ）写出F（x）的解析式；（Ⅱ）当x为多少平方米时，F（x）取得最小值？最小值是多少万元？【分析】（Ⅰ）把x＝5，C（x）＝12代入C（x）＝，求得m值，可得C（x）的解析式，再由题意写出F（x）的解析式；（Ⅱ）分段求解（Ⅰ）中函数的最小值，取最小值得答案．【解答】解：（Ⅰ）当0≤x≤5时，C（x）＝，由题意，12＝，即m＝80．∴C（x）＝．则F（x）＝＝；（Ⅱ）当0≤x≤10时，F（x）＝160﹣7.5x（0≤x≤10），当x＝10时，F（x）min＝85；当x＞10时，F（x）＝＝40，当且仅当，即x＝40平方米时上式等号成立，故当x为40平方米时，F（x）取得最小值，最小值是40万元．【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题．21．（14分）对于任意的有限集合P，Q定义：①；②P*Q＝{x|f p（x）•f Q（x）＝1}；③card（P）表示集合P的元素个数．已知集合A＝{x|x＝k，k∈N*，1≤k≤2020}，B＝{x|x＝2k，k∈N*，1≤k≤2020}．（Ⅰ）求f A（2019），f B（2019）的值；（Ⅱ）求card（A*B）的值；（Ⅲ）对于任意的有限集合M，设n＝card（M*A）+card（M*B），求n的最小值．【分析】（Ⅰ）直接根据定义，写出f A（2019），f B（2019）．的值．（Ⅱ）card（A*B）＝{x|f A（x）•f B（x）＝1}，分两种情况当f A（x）＝2且f B（x）＝时，当f A（x）＝且f B（x）＝2时，x取值，即可得出答案．（Ⅲ）列举法写出A∪B，A∩B＝{2，4，6，…2020}，所以M中的元素a∈A∪B且a∉A ∩B，所以当集合M为A∪B的子集与集合A∩B的并集时，n的值最小．【解答】（Ⅰ）f A（2019）＝2，f B（2019）＝，（Ⅱ）card（A*B）＝{x|f A（x）•f B（x）＝1}当f A（x）＝2且f B（x）＝时，所以x∈A且x∉B，那么x取值为：1，3，5，…，2019，共有＝1010个，当f A（x）＝且f B（x）＝2时，所以x∉A且x∈B，那么x取值为：2022，2024，…4040，共有＝1010个，所以card（A*B）＝1010+1010＝2020个．（Ⅲ）A＝{1，2，3，4，…，2020}，B＝{2，4，6，…，2020，2022，…4040}，A∪B＝{1，2，3，…，2020，2022，…4040}，A∩B＝{2，4，6，…2020}共1010个元素所以M中的元素a∈A∪B且a∉A∩B，所以当集合M为A∪B的子集与集合A∩B的并集时，n＝card（M*A）+card（M*B）的值最小，最小值为1011．【点评】本题属于新定义题，结合集合的交集并集，即可分析出答案，属于中档题．。
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4、函数 f(x) = 2x + 3x 的零点所在的一个区间是( )
A. ( − 2, − 1)
B. (0,1) C. ( − 1,0) D. (1,2)
5、函数 f (x) sin( x π) 的最小正周期为（ ） 23
（A）
（B） 2
（C） 4
（D） 6
6、下列函数为奇函数，且在( − ∞,0)上单调递减的是( )
B. (1, 2)
C. (, 1) (2, )
D. (, 2) (1, )
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上.
13．已知向量 a (1,2) ，与向量 a 共线同向的单位向量的坐标是______．
14．如图，已知正方形 ABCD ．若 AD AB AC ，
如图，在长为 10 千米的河流 OC 的一侧有一条观光带，观光带的前一部分为曲线段 OAB ，设曲线段 OAB 为函数 y ax2 bx c(a 0), x [0,6] ，单位：千米)的图象， 且图象的最高点为 A(4,4) ；观光带的后一部分为线段 BC ． (1)求函数为曲线段 OABC 的函数 y f (x), x [0,10] 的解析式； (2)若计划在河流 OC 和观光带 OABC 之间新建一个如图所示的矩形绿化带 MNPQ ，绿 化带由线段 MQ，QP，PN 构成，其中点 P 在线段 BC 上．当 OM 长为多少时，绿化带的总 长度最长？
A. f (x) x2 B. f (x) x1 C. f (x) log2 x D. f (x) 3x
7、已知
a
=
log23−1，(
1 2
)b
=
5，c
=
log32，则
a，b，c
的大小关系为(
)
A. a < b < c B. b < a < c C. a < c < b D. c < b < a
8、设 D 为△ ABC 中 BC 边上的中点，且 O 为 AD 边上
靠近点 A 的三等分点，则( )
A.
BO
=−
5 6
AB
+
1 6
AC
B.
BO
=
1 6
AB
−
1 2
AC
1
C.
BO =
5 6
AB
−
1 6
AC
D.
BO
=−
1 6
AB
+
1 2
AC
9、已知函数 f (x) (2m 1)xm2 2m3 ，其中 m N ，若函数 f (x) 为幂函数且其在 (0,) 上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则 m n （ ）
8
D. 向右平移π个单位长度
4
11、已知 a, b 为单位向量，且 a b 2 ，那么向量 a, b 的夹角是（ ）
2
（A） 4
（B） 2
C） 3
（D） 4
12、如果二次函数 y x2 2mx (m 2) 有两个不同的零点，那么 m 的取值范围为
A. (2, 1)
如图，在四边形 OBCD 中， CD 2BO ， OA 2AD ， D 90 ，且 BO AD 1.
（Ⅰ）用 OA,OB 表示 CB ；
（Ⅱ）点 P 在线段 AB 上，且 AB 3AP ，求 cos PCB 的值.
21、（本小题满分 12 分）
其中 ，
R
，则
______．
15、已知 f (x) 是定义域为 R 的偶函数，当 x 0 时， f (x) x x ，则不等式 f (x) 2 0 的解集是 _________.
2
16、已知函数
f
(x)
(
1 2
)
x
,
x
0
2 f (x 1), x
高一第一学期期末数学测试卷
（必修 1，4）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1、已知集合 A {1, 2} ， B {x | 0 x 2} ，则 A B
()
（A） {1}ຫໍສະໝຸດ （B）{1, 2}（C）{0,1, 2}
(1)求函数 y f (x) 解析式；
(2)求 x [0, ] 时，函数 y f (x) 的值域； 2
(3)将函数
y
f
(x) 的图象向右平移
个单位长度，得到函数
y
g(x)
的图象，求函数
4
y g(x) 的单调递减区间．
20、 （本小题共 12 分）
3
A、 2 B、 3 C、 4 D、 5
10、已知函数 f (x) sin(x )(x R, 0) 的最小正周期为 ，为了得到函数 4
g(x) cosx 的图象，只要将 y g(x) 的图象( )
A. 向左平移π个单位长度
8
C. 向左平移π个单位长度
4
B. 向右平移π个单位长度
（D）{x 0 x 2}
2、已知向量 a (m, 6) ，b (1, 3) ，且 a b ，则 m
()
（A）18
（B） 2
（C） 18
（D） 2
3、下列函数中，既是奇函数又在 (0, ) 上是增函数的是
（）
（A） f (x) 2x （B） f (x) x3 （C） f (x) lg x （D） f (x) sin x
18、 （本小题共 12 分）
已知向量| a | 2,b ( 1 , 3 ) ，且 a 与 b 夹角为 2 ，
22
3
(1)求| a 2b | ；
(2)若 (a kb) (2b a) ，求实数 k 的值．
19、 （本小题共 12 分）
函数 f (x) Asin(x ) B 的一部分图象如图所示，其中 A 0, 0,| | ． 2
0
；若方程
f
(x)
3 2
x
a
有且只有一个实根，则实数
a 的取值范围是
。
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17、
（本小题共
10
分）计算：（1）
2 log 2
1 4
(
8
2
)3
lg
1
(
2 1)lg1 (1)：
27
100
（2）已知角 的终边经过点 P(3, m) ，且 cos 3 ，求 m 的值； 5