2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
华中师大一附中2022—2023学年度上学期高一期末检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（）U M N P UA. B. ()M N P ⋂⋂()M N P ⋃⋂C.D.()()U M N P ⋂⋂ ()()UM N P ⋃⋂ 【答案】C 【解析】【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，求解即可.M N P 【详解】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，M N P 即.()()UM N P ⋂⋂ 故选：C.2. 若，均为实数，则“”是“”的（ ）a b 22a b >a b >A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】通过不等式的性质一一验证其充分性与必要性即可.【详解】若，则，则或，故充分性不成立；22a b >a b >a b >a b<-若，则，故必要性成立；a b>22a b >故“”是“”的必要不充分条件.22a b >a b >故选：B.3. 下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（ ）tan 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A. B. C. D. 5,012π⎛⎫⎪⎝⎭3,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据正切函数的性质即可求得对称中心.【详解】由已知，令()3,Z 42612k k x x k ππππ-=⇒=+∈当时，，ABD 均符合题意，0,1,2k =35,,121212x πππ=故选：C4. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震级数之间的关系式为.2022年9月18日14时44分在中E M lg 4.8 1.5E M =+国台湾花莲发生的6.9级地震所释放出来的能量是2020年12月30日8时35分在日本本州东海岸发生的5.1级地震的倍，则下列各数中最接近的值为（ ）m m A. 100 B. 310C. 500D. 1000【答案】C 【解析】【分析】根据地震释放出的能量与地震级数之间的关系式，将两次地震等级分别代E M lg 4.8 1.5E M =+入，利用对数运算法则可得两次能量的比值，近似计算可确定选项.E 【详解】设6.9级地震所释放出来的能量是，日本5.1级地震所释放出来的能量是，1E 2E 则，；1lg 4.8 1.5 6.9E =+⨯2lg 4.8 1.5 5.1E =+⨯可得，所以1122lg lg lg2.7E E E E -==()2.7 2.53121010,10E m E ==∈而，即.52.521010316==≈()316,1000m ∈故选：C5. 函数的部分图象形状大致是（ ）()21sin 1πxf x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先根据函数解析式可判断函数为偶函数，再利用特殊值的符号通过排除法即可得出结果.()f x 【详解】根据题意可知，定义域为，()2π11sin sin 1ππ1x xxf x x x -⎛⎫=-⋅=⋅ ⎪++⎝⎭x ∈R 而，()()π11ππ1sin()sin sin ()π1π1π1x x x x x x f x x x x f x ------=⋅-=⋅-=⋅=+++所以函数为偶函数，图像关于轴对称，可排除CD ；()f x y 根据图象可利用可排除B.()2221sin 201πf ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭>故选：A6. 若扇形的周长为定值，圆心角为，则当扇形的面积取得最大值时，该扇形的圆心角l ()02παα<<的值为（ ）αA. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式，将面积写成关于的表达式，再利用二次函数性质即可求得S l 结果.【详解】设扇形的半径为，弧长为，r L 因此，22L r r r l α+=+=扇形的面积，2111(2)222S Lr l r r r lr ==-=-+由二次函数性质可知，当时，扇形面积取到最大值；4lr =此时，.2lr α=2α=故选：B 7. 设，，，则（ ）3log 2a =6log 4b =135log 40c =A. B. C. D. c b a <<a b c<<b a c<<a c b<<【答案】D 【解析】【分析】利用换底公式将表示成分式形式，再利用加糖不等式和对数函数单调性即可判断出大小.,,a b c 【详解】由题意可知，，3lg 2log 2lg 3a ==，6lg 42lg 2lg 2lg 2lg 6lg 3lg 2lg 3lg 2log 4b =+=++==利用加糖不等式可知；(0,0)m m k m n k n n k +<<+a b <又13135131lg 2lg 5lg 40lg 5lg83lg 2lg 5lg 2lg 53log 401lg135lg 5lg 273lg 3lg 5lg 3lg 5lg 3lg 53c ++++======++++又因为，1358,lg 5lg 2<<同理根据加糖不等式，，即.1313lg 2lg 2lg 5lg 2lg 2lg 3lg 3lg 2lg 3lg 5++++<<a c b <<故选：D8. 定义在上的偶函数满足，且当时，R ()f x ()()22f x f x -=+[]0,2x ∈，若关于的方程至少有8个实数解，则实数的取值范()21,012sin 1,122x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩x ()ln x f x λ=λ围是（）A. B. 11,ln 6ln 5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,ln 6ln 5⎛⎤- ⎥⎝⎦C.D. 11,,ln 6ln 5⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11,00,ln 6ln 5⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】根据函数的周期性画出函数的图像，利用对称性判断轴两个函数图像交点个数列出不等式，解y 不等式即可得到范围.【详解】由已知满足， 且函数为偶函数，()f x ()()22f x f x -=+()f x 所以，()()()()2222f x f x f x f x +=-=--=-⎡⎤⎣⎦令，()2(4)t x f t f t =-⇒+=所以函数是周期为的周期函数.()f x 4又因为与函数都是偶函数，由对称性可知()f x ln xλ由于关于的方程至少有8个实数解，x ()ln x f x λ=故当时，与至少有个交点.0x >()y f x =ln y x λ=4函数与图像如图所示.()y fx =ln y x λ=由图可知：当时，只需，解得0λ>ln 51λ≤10ln 5λ<≤当时，只需，解得0λ<ln 61λ≥-1ln 6λ-≤<当时，显然符合题意.0λ=综上所述：.11,ln 6ln 5λ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9. 若，则下列说法中正确的是（ ）()*0,1,N n a b a n n =>>∈A. 当为奇数时，的次方根为 B. 当为奇数时，的次方根为n b n a n a n b C. 当为偶数时，的次方根为 D. 当为偶数时，的次方根为n a n b ±n b n a±【答案】AD 【解析】【分析】根据，讨论为奇数和偶数两种情况，求出的次方根即可判断得()*0,1,N n a b a n n =>>∈n b n 出结果.【详解】当为奇数时，可知的次方根只有一个，为，n b n a 当为偶数时，由于，所以的次方根有两个，为;n ()n na ab ±==b n a ±所以只有AD 正确.故选：AD10. 已知，则下列不等式正确的是（）1m n >>A.B.22n nm m +<+11m n m n +>+C. D.3322+>m n m n 11+>+m n n m【答案】BD 【解析】【分析】通过对选项利用不等式性质进行拆解，在通过已知条件反证一一推导即可.【详解】对于选项A ：，1m n >> ，22m n ∴>，22mn m mn n ∴+>+，()()22m n n m ∴+>+都大于零,m n ，22n nm m +∴>+故选项A 错误；对于选项B ：，1m n >> ，且，1mn >∴1m n ->，()mn m n m n∴->-，22m n mn m n ∴->-，22m n n mn m ∴+>+，11m n m n +>+∴故选项B 正确；对于选项C ：当，时，3m =2n =，33227835236m n m n +=+=<=故选项C 错误；对于选项D ：，1m n >> ，110n m ∴>>，11m n n m +>+∴故选项D 正确.故选：BD11. 已知，，则下列结论正确的是（ ）()0,θπ∈7sin cos 5θθ-=A.B.C.D. ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4cos 5θ=-3tan 4θ=-2tan 121tan 25θθ=-+【答案】AD 【解析】【分析】由已知得，，确定的范围判断A ，求解与值判断B 与C ，把sin 0θ>cos 0θ<θcos θtan θ代入，化简判断D.tan θ2tan 1tan θθ+【详解】对于A ：由，，两边平方得：，()0,πθ∈7sin cos 5θθ-=4912sin cos 25θθ-=则,得，，则,故A 正确；242sin cos 025θθ=-<sin 0θ>cos 0θ<π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对于B 、C 、D ：∵，则，π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴，(πsin cos 4θθθ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭又，1sin cos 5θθ+====±当时，联立，解得，，1sin cos 5θθ+=1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4sin 5θ=3cos 5θ=-∴，；sin 4tan cos 3θθθ==-24tan 123161tan 2519θθ-==-++当时，联立，解得，，1sin cos 5θθ+=-1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3sin 5θ=4cos 5θ=-∴，.sin 3tan cos 4θθθ==-23tan 12491tan 25116θθ-==-++故B 、C 错误，D 正确.故选：AD.12. 设函数是定义在上的减函数，并且同时满足下列两个条件：①对，都()f x ()0,∞+(),0,x y ∀∈+∞有；②；则下列结论正确的是（）()()x f f x f y y⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21f =-A.()10f =B. 不等式的解集为()()21f x f x +-<01x x ⎧⎪<<+⎨⎪⎩C.()42f =-D. 使关于的不等式有解的所有正数的集合为x ()()22f kx f x +-<k 14k k ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【答案】ACD 【解析】【分析】利用赋值法判断选项A ，C ，根据函数的单调性化简不等式，求其解，即可判断B ，根据函数的单调性化简不等式，根据不等式有解列不等式求的范围判断D ．k 【详解】因为对，都有，(),0,x y ∀∈+∞()()x f f x f y y⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，即，则，故选项A 正确；1x y ==(1)(1)(1)f f f =-(1)0f =令，则，又，所以，故选项C 正确；4,2x y ==(2)(4)(2)f f f =-()21f =-()42f =-令，则，所以，12,2x y ==()()1422f f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以，，可化为，()()21f x f x +-<(0,2)x ∈()()122f x f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭故，所以()()()1122f x f f f x ⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭()122f x f x ⎛⎫< ⎪-⎝⎭因为函数在上单调递减，所以，且，()f x ()0+∞，122x x >-02x <<解得：，所以的取值范围为，故选项B错误；11x <<+x 11x x ⎧⎪-<<+⎨⎪⎩不等式可化为，()()22f kx f x +-<()()11222f kx f f f x ⎛⎫⎛⎫-<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，所以且，，()1242f kx f x ⎛⎫< ⎪-⎝⎭1242kx x >-02x <<0k >得，此不等式有解，等价于，14(2)k x x >-min 14(2)k x x ⎡⎤>⎢⎥-⎣⎦在的范围内，由基本不等式，当且仅当，即时等号成02x <<22(2)12x x x x +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭2x x =-1x =立，，，故即为所求范围，故选项D 正确，4(2)4x x -≤114(2)4x x ≥-14k >故选：ACD ．【点睛】问题解决的关键在于通过赋值法求函数值，利用已知关系及函数单调性化简不等式.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.第16题第一小问2分，第二小问3分.13. 函数的单调递增区间是______.()()213log 65f x x x =-+-【答案】##(3,5)[3,5)【解析】【分析】由对数函数的真数大于零可得的定义域，根据复合函数单调性同增异减原则，即求()f x 的单调递减区间即可.265u x x =-+-【详解】由有意义可得，所以，故函数()()213log 65f x x x =-+-2650x x -+->15x <<的定义域为，()()213log 65f x x x =-+-()1,5令， ，265u x x =-+-15x <<又根据二次函数的图象与性质可知，函数在区间上单调递增，265u x x =-+-(1,3]在区间上单调递减，[3,5)又由函数为单调递减函数，13log y u=根据复合函数同增异减可得，函数的单调递增区间为.()f x [3,5)故答案为：.[3,5)14.______.())21lg122log 392lg 5lg 2·lg 5014-⎛⎫++-+-=⎪⎝⎭【答案】133【解析】【分析】通过指对运算一步一步运算即可得出答案.【详解】())21lg122log 392lg 5lg 2·lg 5014-⎛⎫++-+- ⎪⎝⎭()())102243lg 5lg 2·lg 5lg1019⎛⎫=+++-+⎪⎝⎭()()223lg 5lg 2·lg 5113=+++-+()210lg 5lg 2·lg 5lg 23=+++()10lg 5·lg 5lg 2lg 23=+++()10lg 5·lg10lg 23=++10lg 5lg 23=++1013=+133=故答案为：.13315. 在中，为它的三个内角，且满足，，则ABC ,,A B C 3sin 4cos 6A B +=3cos 4sin 1A B +=______.C =【答案】##π630【解析】【分析】将题目中的两个式子平方后相加，可得，再利用诱导公式和三角函数单调性即可1sin()2A B +=求得结果.【详解】由题意可知，将两边同时平方得3sin 4cos 63cos 4sin 1A B A B +=⎧⎨+=⎩将两式相加得22229sin 16cos 24sin cos 369cos 16sin 24cos sin 1A B A B A B A B ⎧++=⎨++=⎩，即，所以24(sin cos cos sin )12A B A B +=1sin()2A B +=1sin 2C =可得或；π6C =5π6C =又因为，得，13cos 4sin 0A B -=>11cos 32A <<由余弦函数单调性可得，所以不合题意；π3A >5π6C =因此.π6C =故答案为：π616. 已知函数的图象是一个中心对称图形，它的对称中心为______；函数()1117122f x x x x =+++--的图象与函数图象的交点分别为，，，…，（为正整()f x ()132121x x g x -⋅+=+()11,x y ()22,x y (),m m x y m 数），则______.()()()()112233m m x y x y x y x y ++++++++= 【答案】 ①.②. 712⎛⎫ ⎪⎝⎭，92m 【解析】【分析】证明函数为奇函数，由此确定函数的对称中心，证明与的对称中()712f x +-()f x ()g x ()f x 心重合，结合对称性及加法的运算律求值.【详解】因为，所以，()1117122f x x x x =+++--()7111212f x x x x -=++--设，则函数的定义域为，()()71111211h x f x x x x =+-=+++-()h x ()()()(),11,00,11,-∞-⋃-⋃⋃+∞且，()()1111111111h x h x x x x x x x ⎛⎫-=++=-++=- ⎪-+----+⎝⎭所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，即函数的图象关于原点对称，()h x ()h x ()712f x +-所以函数的图象关于对称，()f x 712⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为，所以，()132121xx g x -⋅+=+()()17321752512212212x x xxg x +⋅+⋅-+-=-=++所以，()()()()()()521512771122221212xx x x g x g x ----⎡⎤-+-===-+-⎢⎥++⎣⎦所以函数为奇函数，故函数的图象关于对称，()712g x +-()g x 712⎛⎫ ⎪⎝⎭，又函数的图象与函数图象的交点分别为，，…，，()f x ()132121x x g x -⋅+=+()11,x y ()22,x y (),m m x y ，点不在函数图象上，所以为偶数，设，()712g =71,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x m 2m k =不妨设，则，122k x x x <<⋅⋅⋅<1222112k k k k x x x x x x -++=+=⋅⋅⋅=+=，1222117k k k k y y y y y y -++=+=⋅⋅⋅=+=所以，()()()1212121222112k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x k m+--+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=++++⋅⋅⋅++==同理，121212772k k k k m y y y y y y k +-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++==.()()()()()()11223312212292m m k k m x y x y x y x y x x x y y y ++++++++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=【点睛】本题解决的关键在于通过证明，为奇函数，确定其对称性，结合对称()712f x +-()712g x +-性求解问题.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集，集合，非空集合，其中.U =R 12324x A x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭{}232B x a x a =-≤≤+a ∈R （1）若，求；1a =()U A B ∩ （2）从下列三个条件中任选一个作为已知条件，求的取值范围.①；②a ()()UUUA B B ⋃= ；③的一个充分条件是.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个条件的解()U B A =∅x A ∈x B ∈答计分.【答案】（1）{}21x x -≤<（2）113a -≤<【解析】【分析】（1）将代入，求出集合，再求出集合，进一步求解即可；1a =B A （2）三个条件都说明，所以利用子集关系及非空集合列不等式计算即可.B A ⊆B 【小问1详解】当时，，或，又，1a ={}15B x x =≤≤{1U B x x =< }5x >{}25A x x =-≤<则.(){}21U A B x x ⋂=-≤< 【小问2详解】选择条件①：因为，所以，()()UUUA B B ⋃= ()()UUA B Í 即，又已知非空集合，BA ⊆{}232B x a x a =-≤≤+所以，23222325a aa a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩所以.113a -≤<选择条件②：因为，则，()U B A =∅B A ⊆又已知非空集合，{}232B x a x a =-≤≤+所以，23222325a aa a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩所以.113a -≤<选择条件③：的一个充分条件是，则，x A ∈x B ∈B A ⊆又已知非空集合，{}232B x a x a =-≤≤+所以，23222325a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩所以.113a -≤<18. 已知函数.()2f x mx nx=-（1）若的解集为，求不等式的解集；()f x t≥{}21x x -≤≤20nxmx t ++≤（2）若，且，求的最小值.0m >0n >()10f >14m m n n ++-【答案】（1） {|12}x x -≤≤（2）6【解析】【分析】(1)根据题意可得：和方程的两根，利用韦达定理得出2-120(0)mx nx t m --=<，，将要解的不等式化简整理即可求解；n m =-2t m =(2)由可得，然后利用基本不等式即可求解.()10f >0m n ->【小问1详解】因为的解集为，()f x t≥{}21x x -≤≤所以和方程的两根，由韦达定理可知：，2-120(0)mx nx t m --=<12nm t m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩则有，，所以不等式可化为，n m =-2t m =20nx mx t ++≤220mx mx m -++≤因为，所以不等式可化为，解得：，0m <220x x --≤12x -≤≤所以不等式的解集为.20nx mx t ++≤{|12}x x -≤≤【小问2详解】因为，也即，又因为，，()10f >0m n ->0m >0n >所以，1414()6m m n n m n n m n n ++=-+++≥=--（当且仅当和同时成立时取等，也即时取等）1m n m n -=-4n n =3,2m n ==所以的最小值为.14m m n n ++-619. 已知函数（其中，）的最小正周期为，当时，取()()sin 2f x x ωϕ=+0ω>ϕπ<23π4xπ=()f x 到最大值.（1）求函数的单调递增区间；()f x （2）当时，若函数在区间上的值域为，求实数，的值.0a >()()g x af x b =+,363ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,3a b 【答案】（1）， 22,12343k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z （2），43a =53b =【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合三角函数的周期公式，求出，再结合当时，取到最大值，ω4x π=()f x 推出的解析式，再结合三角函数的单调性即可得出答案；()f x （2）结合（1）的结论，的取值范围，得出的范围，即可得出的值域，根据已知条件列出方x ()f x ()g x 程组求解即可得出答案.【小问1详解】函数（其中，）的最小正周期为，()()sin 2f x x ωϕ=+0ω>ϕπ<23π，则，3223πωπ∴==()()sin 3f x x ϕ=+又当时，取到最大值，4x π=()f x ，，3242k ππϕπ∴⨯+=+k ∈Z解得，，24k πϕπ=-k ∈Z ，，则，ϕπ< 4πϕ∴=-()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，，232242k x k πππππ-+≤-≤+k ∈Z 解得，，2212343k x k ππππ-+≤≤+k ∈Z 故函数的单调递增区间为，；()f x 22,12343k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 【小问2详解】，，,363x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 33,464x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 3,142x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()12a b g x a b∴-+≤≤+函数在区间上的值域为， ()()g x af x b =+,363ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,3，解得，.1123a b a b ⎧-+=⎪∴⎨⎪+=⎩43a =53b =20. 两社区和相距2km ，现计划在两社区外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一A B ABAB A B 点建造口袋公园（如图所示），其对社区的噪音影响度与所选地点到社区的距离有关.口袋公园对社区C 的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为0.01；对社区的噪音影响A A B 度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为，对社区和社区的总噪音影响度为B K A B 对社区和社区的噪音影响度之和.记点到社区的距离为，建在处的口袋公园对社区和社A B C A km x C A 区的总噪音影响度为.统计调查表明：当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪B yAB A B 音影响度为0.05.（1）将表示成的函数；y x （2）判断半圆弧上是否存在一点，使得建在此处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小？AB A B 若存在，求出该点到社区的距离；若不存在，说明理由.A 【答案】（1）22119(02)1004y x x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭<<（2）存在，当该点到社区的距离时，袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小.A 1x =A B 【解析】【分析】（1）利用勾股定理即可得出，再根据反比例函数定义和已知条件可解得，224BC x =-0.09K =即可写出关于的函数；（2）利用整体代换和基本不等式确定的最小值，验证等号成立时的取值是y x y x 否符合题意，即可判断得出结论并确定位置.【小问1详解】由为直径可得，所以AB ACBC ⊥224BC x =-由题意可知，220.01(02)4Ky x x x =+-<<又当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪音影响度为0.05，AB A B 即时，，代入得，x =0.05y =0.09K =所以，220.010.09(02)4y x x x =+-<<即关于的函数为y x 22119(02)1004y x x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭<<【小问2详解】口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小，即的取值最小，A B y 由（1）知2222222211984211004100(4)25(4)x x y x x x x x x ++⎛⎫=+== ⎪---⎝⎭22242222211222122192542525119551222442x x x x x x x x ++=⨯=⨯=⨯-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++--+++- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭令，则可得2119,222x t ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭2192554y t t=⨯-+-，当且仅当时，等号成立；99555244t t t t ⎛⎫-+-=-++≤-+= ⎪⎝⎭32t =且，所以，9504t t -+->212119252522554y t t =⨯≥⨯=-+-即，此时，即，解得.min 125y =32t =21322x +=1x =因此，半圆弧上存在一点，且该点到社区的距离满足时，建在此处的口袋公园对社区和社AB A 1x =A 区的总噪音影响度最小.B 21. 已知函数（且）为奇函数.()412x f x a a =-+0a >1a ≠（1）求实数的值及函数的值域；a ()f x （2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围.()()()12x g x mmf x =+-(],2-∞m 【答案】（1），的值域为2a =()f x ()1,1-（2）2017⎤-⎥⎦【解析】【分析】（1）根据函数解析式可判断定义域，再根据奇函数性质利用可计算的值，将代入根()00f =a a 据指数型函数值域得求法即可求得函数的值域；（2）将函数在区间上有两个不同的()f x ()g x (],2-∞零点转化成方程在上有两个不相等的实数根，利用换元法根据二次函数根()20212x x m m +++=(],2-∞的分布情况即可求得实数的取值范围.m 【小问1详解】由题意可知，函数的定义域为，()f x x ∈R 由奇函数性质可知，，得；()044011022f a a a =-=-=++2a =所以，；()411222221x x f x =-=-⨯++又因为，所以()211,x+∈+∞()20,221x ∈+因此()()211,121x f x =-∈-+即函数的值域为.()f x ()1,1-【小问2详解】由得，，()()()12xg x m mf x =+-()()212121x x g x m m ⎛⎫=+- ⎪⎝+⎭-又函数在区间上有两个不同的零点，()g x (],2-∞即方程在区间上有两个不同的实数根；()0112122x x m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭-+(],2-∞整理得，()20212x x m m +++=令，由得，2xt =(],2x ∈-∞(]0,4∈t 即在上有两个不相等的实数根；()210m t t m +++=(]0,4∈t 所以，且或10m +≠14(1)0m m ∆=-+>1m -<1m -<时，需满足，解得1m -<()()22100014401042(1)m m m m m ⎧⎪+⨯++<⎪⎪+⨯++≤⎨⎪⎪<-<+⎪⎩0201798m m m ⎧⎪<⎪⎪≤-⎨⎪⎪<-⎪⎩2017m ≤-当时，需满足，该不等式组无解；1m -<()()22100014401042(1)m m m m m ⎧⎪+⨯++>⎪⎪+⨯++≥⎨⎪⎪<-<+⎪⎩综上可知，实数，m 2017m≤-即2017m ⎤∈-⎥⎦22. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定()y f x =D 的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”.x x D -∈()()1f x f x ⋅-=()y f x =（1）已知，，判断和是不是倒函数，并说明理由；()10xf x =()22xg x x -=+()y f x =()y g x =（2）若是定义在上的倒函数，当时，，方程是否有整数解？()f x R 0x ≤()413x f x x -=+()2023f x =并说明理由；（3）若是定义在上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上单调递增.记，()f x R R ()()()21f x F x f x ⎡⎤-⎣⎦=证明：是的充要条件.120x x +>()()120F x F x +>【答案】（1）函数为倒函数，函数不是倒函数，理由见解析；()f x ()g x （2）方程没有整数解，理由见解析；()2023f x =（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用“倒函数”的定义判断函数、，可得出结论；()f x ()g x （2）分析可知当时，，则方程若存在整数解，则，构造函数0x <()()0,1f x ∈()2023f x =0x 00x >，利用零点存在定理可得出结论；()()2023h x f x =-（3）推导出函数的奇偶性、单调性，再利用函数的单调性、奇偶性结合充分条件、必要条件()F x ()F x 的定义证明可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，对任意的，，()f x R x ∈R ()()10101x x f x f x -⋅-=⋅=所以，函数为倒函数，()f x 函数的定义域为，该函数的定义域不关于原点对称，()22xg x x -=+{}2x x ≠-故函数不是倒函数；()g x 【小问2详解】当时，则，由倒函数的定义可得，0x >0x -<()()413x f x x f x ==+-由满足倒函数的定义，()01f =当时，函数、均为增函数，故函数在上为增函数，0x >3x y =4y x =()f x ()0,∞+当时，，，，当时，，0x >31x >40x >()1f x >0x <()()()10,1f x f x =∈-若函数有整数解，则，()2023f x =0x ()00,x ∈+∞设，则函数在上单调递增，()()2023h x f x =-()h x ()0,∞+因为，，()5453520230h =+-<()6463620230h =+->故方程无整数解，()2023f x =【小问3详解】因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数，()y f x =R 0R 所以，，()()()()()()()211f x F x f x f x f x f x f x ⎡⎤-⎣⎦==-=--任取、且，则，所以，，，m n ∈R m n >m <n --()()f m f n >()()f n f m ->-所以，()()()()()()F m F n f m f m f n f n -=-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()()0f m f n f n f m =-+--->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦所以，函数为上的增函数，()F x R 因为，故函数为上的奇函数.()()()()F x f x f x F x -=--=-()F x R当时，即，则，所以，，120x x +>12x x >-()()()122F x F x F x >-=-()()120F x F x +>即“”“”；120x x +>⇒()()120F x F x +>若，则，所以，，即.()()120F x F x +>()()()122F x F x F x >-=-12x x >-120x x +>所以，“”“”.120x x +>⇐()()120F x F x +>因此，是的充要条件.120x x +>()()120F x F x +>【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。
2021-2022学年湖北省武汉市江岸区一年级上学期期末数学试卷
2021-2022学年湖北省武汉市江岸区一上期末数学试卷1. 口算计算．4+3= 7−6= 9−1= 8−0= 1+9= 5+4= 5+5= 0+1= 10−5= 3+3= 7+10= 12−10= 10−10= 8+2= 19−9= 7+8= 9+3= 5+7= 6+8= 8+3= 2. 看图填空看图写数．3. 填空10 增加一个是 ．2 个十是 ．16 里面有 个十和 个一．4. 填空在 3,20,9,0,12 中，最大的数是 , 最小的数是5. 填空被减数是 18，减数是 3，差是 ．两个加数都是 9，和是 ．6. 填空(1) 看图，长方体和正方体共有 个，球有 个．(2) 从右边数，第 个是圆柱，第 个也是圆柱．(3) 从左边数，排第 ，在它的 边．7.看图填空写出钟面上的时间．8.比大小在横线上填写“>”“<”或”=”．9−2810−37+04+44−4 76+06+410−63+599.填空看看填填．10.圈一圈数花几朵，圈出数来．11.画一画小红画了△△△△△△△．(1) 如果你比小红多画2个，你画的是这样：(2) 如果你比小红少画5个，你画的是这样：12.填空读一读，圈一圈，填一填．小明：我得了这么多，老师：得3个就可以换1个，小明得的可以换个．13.看图列式计算解决问题．▫○▫=▫（个）．14.看图列式计算▫○▫=▫（支）15.看图列式计算解决问题．▫○▫=▫（个）16.看图列式计算解决问题．5−▫○▫=▫（只）17.解决问题原来有多少个苹果？▫○▫=▫（个）．答：原来有▫个苹果．18.解决问题小白兔一共有多少根萝卜？▫○▫=▫（根）．答：小白兔一共有▫根萝卜．19.列式计算要来16个人，每人1把椅子，还需要多少把椅子？▫○▫=▫（把）答：还需要▫把椅子．答案1. 【答案】4+3=7 7−6=1 9−1=8 8−0=8 1+9=10 5+4=9 5+5=10 0+1=1 10−5=5 3+3=6 7+10=17 12−10=2 10−10=0 8+2=10 19−9=10 7+8=15 9+3=12 5+7=12 6+8=14 8+3=11 2. 【答案】8；20；15【解析】因为通过观察图片可知，图中一共有8只小鸡，所以横线上应填“8”；因为通过观察图片可知，每捆有10根木棒，有2捆，则一共有2×10=20根木棒，所以横线上应填“20”；因为通过观察图片可知，十位上有一个算珠，个位上有五个算珠，则这个数的十位是1，个位是5，所以横线上应填“15”．3. 【答案】11；20；1；6【解析】10增加1个：10+1=11,故值为11；2个十：2×10=10+10=20,故值为20；16里面的十和一的个数，16=10+6，10÷10=1，6÷1=6,故16里面有1个十和6个一．4. 【答案】20；0【解析】因为比较两个整数的大小，要看他们的数位，如果数位不同，那么数位多的数就大，如果数位相同，相同数位上的数大的那个数就大，所以这五个数按从小到大的顺序排列后为：0<3< 9<12<20,则最大的数是20,最小的数是0．5. 【答案】15；18【解析】被减数−减数=差，差是18−3=15；加数+加数=和，和是9+9=18．6. 【答案】(1) 4；1(2) 3；7(3) 6；左【解析】(1) 长方体2个，正方体2个，一共有2+2=4（个），球有1个．(2) 从右数，第3个是圆柱，第7个也是圆柱．(3) 从左数，球排第6，圆柱在它的左边．7. 【答案】7:00；10:00；4:00；11:00【解析】时针指向7，分针指向12，时间为：7:00；时针指向10，分针指向12，时间为：10:00；时针指向4，分针指向12，时间为：4:00；时针指向11，分针指向12，时间为：11:00．8. 【答案】<；=；>；>；>；<【解析】因为9−2=7，7<8，所以空中应填“<”；因为10−3=7，7+0=7，7=7，所以空中应填“=”；因为4+4=8，4−4=0，8>0，所以空中应填“>”；因为6+0=6，7>6，所以空中应填“>”；因为6+4=10，10−6=4，10>4，所以空中应填“>”；因为3+5=8，8<9，所以空中应填“<”．9. 【答案】【解析】9可以分成4和5，4可以分成3和1，5可以分成2和3，3可以分成2和1．10. 【答案】因为通过观察图片可知，图1中有7朵花，图2中有4朵花，图3有6朵花，所以依次在各图下方圈出即可．11. 【答案】(1) △△△△△△△△△(2) △△【解析】(1) 因为通过观察图片可知，小红一共画了7个三角形，如果比小红多画2个，则2+7=9,所以横线上需要画9个三角形．(2) 如果比小红少画5个，则7−5=2,所以横线上需要画2个三角形．12. 【答案】4【解析】从图中所画可以看出由笑脸13个，3个笑脸可以换一个赞所以可以换13÷3=4⋯1，所以可以换4个赞．13. 【答案】10+2=12．【解析】因为通过观察图片可知，图中左边有2个，右边的篮子中有10个，所以一共有10+2=12个．14. 【答案】10−4=6(支)【解析】因为通过观察图片可知，一共有10支笔，铅笔盒外有4支笔，所以盒里有10−4=6 (支）笔．15. 【答案】8+5=13（个）【解析】因为通过观察图片可知，图中左边有8个胡萝卜，右边有5个胡萝卜，所以一共有8+5=13个胡萝卜．16. 【答案】5−2+4=7（只）【解析】因为通过观察图片可知，枝上原有5只小鸟，飞走了2只后，又飞来了4只，所以现在枝上有5−2+4=7小鸟．17. 【答案】3+9=12；12【解析】吃的个数+还剩的个数=原有的个数，原来有3+9=12（个）苹果．18. 【答案】8+8=16（根）【解析】因为通过观察图片可知，图中筐外有8根萝卜，筐里的萝卜和筐外的萝卜同样多，则筐里也有8根萝卜，所以小白兔一共有8+8=16根萝卜．19. 【答案】16−5=11（把）【解析】因为通过观察图片可知，要来16个人，每人1把椅子，则需要16把椅子，图中一共有5把椅子，所以还需要16−5=11把椅子．。
湖北省武汉市江夏区2022-2023学年高一年级(上)数学期末模拟测试(含答案及详解)
武汉市江夏区2022-2023学年高一年级（上）数学期末模拟测试一、单项选择题（（本题共8个小题，每小题5分，共（40分。
下列各题，每小题只有一个选项符合题意。
）1.（若集合{2,1,0,1},{0,1,2,3}A B =--=，则下列选项正确的是（（（（（） A.（A B B =B.（1,0,1{,2,}3A B =-C.（{0,1}AB =D.（A B A ⋃=2.（sin 45cos15cos 45sin15-=（（（（（）A.（2B.（2C.（12D.（2-3.（()sin 1080-︒=（（（（（） A.（12-B.（1C.（0D.（﹣14.（设函数()f x =22log ,2,, 2.x x x a x >⎧⎨-+≤⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（（（（（） A.（(-∞，1] B.（[1，+∞) C.（(-∞，5]D.（[5，+∞)5.（()00f =是()f x 为奇函数的（（（（（） A.（充分不必要条件 B.（必要不充分条件 C.（充分必要条件D.（既不充分也不必要条件 6.（设3log 42a =，则4a -=（（（（（） A.（116B.（19C.（18D.（167.（函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，将()y f x =的图象向右平移3π单位长度得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的解析式是（（（（（）A.（()sin2g x x =B.（()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C.（()sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D.（()2sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭8.（已知定义在[]3,3-上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，在[]0,3的函数图象如图所示，则不等式()cos 04x f x π⎛⎫⋅<⎪⎝⎭的解集为（（（（（）A.（()()0,12,3B.（()()2,12,3--C.（()()2,10,1--⋃D.（()()()2,10,12,3--二.多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.（已知集合P ，Q 是全集U 的两个非空子集，如果P Q Q ⋂=且P Q Q ⋃≠，那么下列说法中正确的有（（（（（） A.（P ∀∈，有x Q ∈ B.（P ∃∈，使得x Q ∉ C.（Q ∀∈，有x P ∈D.（Q ∃∈，使得x P ∉10.（已知α∈R，sin cos 2αα+=，那么tan α的可能值为（（（（（）A.（2+B.（2-C.（2D.（2-11.（下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（（（（（） A.（sin y x =B.（cos y x =C.（tan y x =D.（cos 2y x =12.（已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，当1x >时，()0f x <，且()()()f x y f x f y ⋅=+，且(2)1f =-，下列说法正确的是（（（（（）A.（()10f =B.（函数()f x 在(0,)+∞上单调递减C.（1111()()()()(2)(3)(2020)(2021)20212021202032f f f f f f f f +++++++++= D.（满足不等式1()(3)2f f x x--≥的x 的取值范围为[4,)+∞三.填空题(共4题，总计（16分)13.（不等式201x x -≥+的解集是___________. 14.（()sin 501︒+︒（的值__________. 15.（若函数22113x mx y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.16.（若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()f x f x π+=，当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()2sin f x x =，则13934f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________.四.解答题(共6题，总计74分)17.（设函数()lg(2)f x x m =-的定义域为集合A ，函数()g x =B .（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围; （2）若AB =∅，求实数m 的取值范围.18.（计算下列各式的值：（1）11241814⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）33252log 2log 36log 5log 4-+⨯.19.（已知函数()f x =()2g x x =-.（1）求方程()()f x g x =的解集； （2）定义：{},max ,,a a ba b b a b≥⎧=⎨<⎩.已知定义在[)0,∞+上的函数{}()max (),()h x f x g x =，求函数()h x 的解析式；（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数()h x 的简图，并根据图象写出函数()h x 的单调区间和最小值.20.（已知函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.21.（已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）的图象过点()9,2. （1）求a 的值.（2）若()()()22g x f x f x =-++. （i）求()g x 的定义域并判断其奇偶性； （ii）求()g x 的单调递增区间.22.（设函数()142221x x x f x +-+=-，0x >．（1）求函数()f x 的值域；（2）设函数()21g x x ax =-+，若对[]11,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，()()12f x g x =，求正实数a 的取值范围．武汉市江夏区2022-2023学年高一年级（上）数学期末模拟测试参考答案及解析一.单项选择题（ 1.【答案】：C 【解析】：由{}0,1A B =，故A 错，C 正确；由}1,0,12,,2,{3AB --=，故B，D 错；故选：C 2.【答案】：C【解析】：()1sin 45cos15cos 45sin15sin 4515sin 302-=-==. 故选：C 3.【答案】：C【解析】：()sin(1080)sin 33600sin 00-︒=⨯-︒+︒=︒=⎡⎤⎣⎦． 故选：C． 4.【答案】：B【解析】：x（>（2时，y（=（log 2x（>（1∴要使函数的值域为R ，则y（=（-x 2（+（a 在x（≤（2上的最大值a 大于等于1 即，a（≥（1 故选：B 5.【答案】：D【解析】：因为奇函数的定义域关于原点对称，()00f =时()y f x =的定义域不一定关于原点对称，所以()00f =不是()f x 为奇函数的充分条件； 如果()f x 为奇函数在0x =处有定义时有()00f =， 在0x =处没有定义时没有()00f =，所以()00f =不是()f x 为奇函数的必要条件；综上，()00f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件.故选：D. 6.【答案】：B【解析】：由3log 42a =可得3log 42a =，所以49a =，所以有149a-=， 故选：B. 7.【答案】：C【解析】：由图可知1A =；设周期为T ，则1741234T πππ=-=，所以T π=； 又2T ππω==，所以2ω=.由23k πϕπ⨯+=，k Z ∈，令0k =，得3πϕ=.所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；因为将()y f x =的图象向右平移3π单位长度得到函数()y g x =的图象， 所以()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：C. 8.【答案】：D【解析】：由函数()f x 在[]0,3的函数图象知：当0x >时， 当01x <<时，044x ππ<<，则()cos 0,04x f x π⎛⎫>< ⎪⎝⎭，所以()cos 04x f x π⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭； 当12x <<时，442x πππ<<，则()cos 0,04x f x π⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以()cos 04x f x π⎛⎫⋅>⎪⎝⎭； 当23x <<时，3244x πππ<<，则()cos 0,04x f x π⎛⎫<>⎪⎝⎭，所以()cos 04x f x π⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭； 又因为函数()f x 满足()()f x f x -=-， 所以函数()f x 是[]3,3-上的奇函数，所以不等式()cos 04x f x π⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭的解集为()()()2,10,12,3--，故选：D 二.（多选题（ 9.【答案】：BC【解析】：由于,P Q 是全集U 的非空子集，P Q Q ⋂=且P Q Q ⋃≠， 所以Q 是P 的真子集，所以P ∃∈，使得x Q ∉、Q ∀∈，有x P ∈，即BC 选项正确. 故选：BC 10.【答案】：BD【解析】：因为sin cos 2αα+=①，又sin 2α+cos 2α=1②，联立①②，解得4sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或，4sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为α∈R，所以tan 2α=-+2- 故选：BD 11.【答案】：CD【解析】：对于A ，sin y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上sin sin y x x ==单调递减，所以A 错误；对于B ，cos y x =最小正周期为2π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以B 错误； 对于C ，tan y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以C 正确； 对于D ，cos 2y x =最小正周期为22T ππ==，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以D 正确， 故选:CD .12.【答案】：ABD【解析】：对于A：令1x y ==，得(1)(1)(1)2(1)f f f f =+=，所以(1)0f =，故选项A 正确；对于B：令1y x =，得11()(1)0f x f x f f x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，则()()()2212111x f x f x f x f f x x ⎛⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为211x x >，所以21()0x f x <，所以21()()f x f x <，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，故选项B 正确； 对于C：1111()()()()(2)(3)(2020)(2021)2021202032f f f f f f f f +++++++++1111(2021)(2020)(3)(2)2021202032f f f f =⨯+⨯++⨯+⨯=(1)(1)(1)0f f f +++=故选项C 不正确；对于D：因为(2)1f =-，由1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得1()(2)12f f =-=，所以111()()()2422f f f =+=，所以不等式1()(3)2f f x x --≥等价于111()()()34f f f x x +≥-即11()()(3)4f f x x ≥-，因为()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以11(3)430x x x ⎧≤⎪-⎨⎪->⎩解得：4x ≥，所以原不等式的解集为[4,)+∞，故选项D 正确；故选：ABD 三.（填空题13.【答案】：（{|2x x ≥或}1x <-【解析】：因为201x x -≥+，所以()()21010x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得2x ≥或1x <-， 所以不等式201x x -≥+的解集是{|2x x ≥或}1x <-.故答案为：{|2x x ≥或}1x <-. 14.【答案】：（1【解析】：解：（()sin501sin50︒+︒=︒⨯()2sin50cos30sin10sin 30cos102sin50sin 402sin50cos50cos10cos10cos10︒︒︒+︒︒︒︒︒︒===︒︒︒()sin 10902sin50cos50sin100cos101cos10cos10cos10cos10︒+︒︒︒︒︒====︒︒︒︒.故答案为:1.15.【答案】：（1m ≤-【解析】：由复合函数的同增异减性质可得，221y x mx =+-在[1,1]-上严格单调递减， 二次函数开口向上，对称轴为x m =- 所以1m -≥，即1m ≤- 故答案为：1m ≤-16.【答案】：（【解析】：解：因为()()f x f x π+=， 所以函数()f x 是以π为一个周期的周期函数，所以92sin 444f f πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以1313333f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以13934f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为： 四.解答题 17【答案】：（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（（（（ （2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】：【小问1详解】 解：由题知{}2A x x m =>， 2901x x ⎧-≥⎨>⎩（，解得：13x <≤， {}13B x x =<≤若B A ⊆，则21m ≤，即12m ≤， ∴实数m 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【小问2详解】解：若A B =∅，则23m ≥，即32m ≥， ∴实数m 的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 18【答案】： （1）12-；（2）0. 【解析】：（1）11241814⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1211234341232⨯⨯⨯⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 112322=+-=-； （2）33252log 2log 36log 5log 4-+⨯3325log 4log 36log 52log 2=-+⨯34lg52lg 2log 36lg 2lg5=+⨯ 31log 29=+23log 32-=+ 220=-+=19【答案】：（1）{}1,4（（（（（2）2,01()42,4x x h x x x x -≤<⎧=≤≤->⎩（（（（（3）图象见解析，单调递减区间是[]0,1，单调递增区间是()1,+∞，最小值为1【解析】：()2,0124222,4x x x h x x x x x x -≤<⎧⎧≥-⎪⎪==≤≤⎨⎨-<-⎪⎪⎩->⎩.【小问3详解】函数()h x 的图象如图实线所示：函数()h x 的单调递减区间是[]0,1，单调递增区间是()1,+∞，其最小值为1.20【答案】： （1）2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（（（（（2）()min 1f x =-，()max2f x = 【解析】：【小问1详解】 令2223k x k ππππ-≤+≤，k Z ∈， 可得236k x k ππππ-≤≤-，k Z ∈ 故()f x 的单调递增区间为2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【小问2详解】（由（1）知当1k =时，()f x 在5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， 可得()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减， 而,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 从而()f x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， 故()min 13f x f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()max max ,12212f x f f f πππ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭. 21【答案】：（1）3a =； （2）（i）定义域为()2,2-，()g x 是偶函数；（ii）()2,0-.【解析】：（1）由条件知()9?log 92a f ==，即29a =，又0a >且1a ≠，所以3a =； （2）()()()()()3322 log 2log 2g x f x f x x x =-++=-++.（i）由2020x x ->⎧⎨+>⎩得22x -<<，故()g x 的定义域为()2,2-. 因为()()()()33log 2log 2g x x x g x -=++-=，故()g x 是偶函数；（ii）()()()()2222log 2log 2log 4g x x x x =-++=-，因为函数3log y u =单调递增，函数24u x =-在()2,0-上单调递增，故()g x 的单调递增区间为()2,0-.22【答案】：（1）[)2,+∞；（（（（ （2）50,6a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 【解析】：【小问1详解】∵()()21214221212121211x x x x xx x f x +-+-+===-+---，又0x >，210x ->， ∴()2f x ≥=，当且仅当12121x x -=-，即1x =时取等号， 所以()[)2,f x ∈+∞，即函数()f x 的值域为[)2,+∞． 【小问2详解】∵()12121x x f x =-+-， 设21x t =-，因为[]1,2x ∈，所以[]1,3t ∈，函数1y t t =+在[]1,3上单调递增，∴102,3y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()102,3f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 设[]1,2x ∈时，函数()g x 的值域为A ．由题意知102,3A ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦， ∵函数()21g x x ax =-+，函数()g x 图象的对称轴为02a x =>，当12a ≤，即02a <≤时，函数()g x 在[]1,2上递增， 则()()121023g g ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩，即22112102213a a ⎧-+≤⎪⎨-+≥⎪⎩， ∴506a <≤， 当122a <<时，即24a <<时，函数()g x 在[]1,2上的最大值为()1g ，()2g 中的较大者， 而()120g a =-<且()2521g a =-<，不合题意， 当22a >，即4a >时，函数()g x 在[]1,2上递减， 则()()101322g g ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，即22101132212a a ⎧-+≥⎪⎨⎪-+≤⎩，满足条件的a 不存在， 综上，50,6a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．。
2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一上学期期末质量检测生物学试题(Word版含答案)
武汉市江岸区2022-2023学年高一上学期期末质量检测生物试卷一、选择题：本题共20小题，每小题2分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.黏菌是一群类似霉菌的生物，在分类学上介于动物和真菌之间，形态各异，多营腐生生活，少数寄生在经济作物上，危害寄主，与颤蓝细菌一样没有叶绿体。
下列有关黏菌和颤蓝细菌的说法正确的是A.黏菌和颤蓝细菌均是异养生物B.虽然都没有叶绿体但是均能进行光合作用C.细胞结构均含有细胞壁、细胞膜和核糖体D.遗传物质均为DNA，主要分布于细胞核内2.富营养化水体中，绿藻等藻类植物是吸收磷元素的主要生物，下列说法错误的是A.磷是组成藻类细胞的大量元素B.磷是构成藻类细胞膜的必要元素C.藻类吸收的磷可用于合成呼吸酶D.藻类吸收的磷可用于染色体形成3.下图表示某油料植物种子萌发过程中的物质变化，下列叙述错误的是A.种子萌发过程中脂肪可能会转化为蔗糖和葡萄糖B.将种子匀浆与斐林试剂混合后就会出现砖红色沉淀C.脂肪、蔗糖和葡萄糖都由C、H、O三种元素组成D.葡萄糖氧化分解释放的能量大部分以热能形式散失4.胶原蛋白是细胞外基质的主要成分之一，其非必需氨基酸含量比蛋清蛋白高。
下列叙述错误的是A.构成胶原蛋白的氮元素主要存在于氨基中B.胶原蛋白的形成与内质网和高尔基体有关C.皮肤表面涂抹的胶原蛋白不能被直接吸收D.胶原蛋白的营养价值可能没有蛋清蛋白高5.下图表示磷脂分子构成的脂质体，它可以作为药物（图中表示）的运载体，将药物运送到特定的细胞发挥作用。
下列有关叙述正确的是A.图a和图b中的药物都是水溶性的药物B.脂质体的形成是因为磷脂分子在结构上具有一定的流动性C.当脂质体与特定细胞接触时，图a的药物可利用细胞膜的功能特性进入细胞内D.若要让携带药物的脂质体与特定细胞起作用，可在脂质体膜上镶嵌某种蛋白质6.蛋白质分选是依靠蛋白质自身信号序列，从蛋白质合成部位转运到发挥功能部位的过程，可分为两条途径：一是在游离核糖体上完成肽链合成后转运至叶绿体及细胞核，或成为细胞质基质和细胞骨架的成分，称为翻译后转运；二是在游离核糖体上起始之后由信号肽引导边合成边转入内质网中，再经一系列加工运至溶酶体、细胞膜或分泌到细胞外，称为共翻译转运。
湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高一上学期10月联考数学试题含答案
武汉市部分重点中学2022——2023学年度上学期10月联考高一数学试卷命题学校：汉阳一中 命题教师：涂元 审题教师：尹青考试时间：2022年10月11日上午8:00——10：00 试卷满分：150分一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。
)1．设集合{}21,N A x x n n ==+∈，{}41,N B x x n n ==+∈，则A B =（ ） A ．{}41,N x x n n =+∈ B ．{}42,N x x n n =+∈C ．{}43,N x x n n =+∈D ．∅2．已知命题p ：200R x x ∃∈，+1>0，则p ⌝为（ ） A ．200R x x ∃∈，+1≤0 B ．200R x x ∃∈，+1>0C ．2R x x ∀∈，+1<0D ．2R x x ∀∈，+1≤03．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +≥>>B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b≤>>+D ．0,0)2a b a b +>>4．集合{1,2,4}A =，{}2B x x A =∈，将集合A ，B 分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．“23x <<”是“112x >-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．若0a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．b a a b a b ->- B ．11b b a a +>+ C ．11a b a b+>+ D ．22a b aa b b +>+ 7．下列函数中最小值为4的是（ ）A ．14y x x =+B ．当0x >时，2251x x y x ++=+C ．当32x <时，12123y x x =-+-D．y =8．已知函数2()(2)1f x ax a x =--+，()g x x =，若对于任意实数,()x f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数a 的取值范围是A ．0a ≤≤ B．44a -<<+ C ．04a ≤<- D．04a ≤<+二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年湖北省武汉外国语学校高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年湖北省武汉外国语学校高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知，则（ ）{}{}2|20,Z|3<213A x x x B x x =+-==∈--<A B = A ．B ．C ．D ．{}1{}1,2{}1,2-{}|12x x -<<【答案】A【分析】化简集合，然后用交集运算即可得到答案,A B 【详解】因为，{}{}2|202,1,A x x x =+-==-{}{}{}Z|3<213Z|1<20,1B x x x x =∈--<=∈-<=所以{}1A B ⋂=故选：A2．下列命题中不正确的是（ ）A ．对于任意的实数，二次函数的图象关于轴对称a 2y x a =+y B ．存在一个无理数，它的立方是无理数C ．存在整数、，使得x y 245x y +=D ．每个正方形都是平行四边形【答案】C【分析】利用二次函数的对称性可判断A 选项；利用特殊值法可判断B 选项；分析可知为24x y +偶数，可判断C 选项；利用正方形与平行四边形的关系可判断D 选项.【详解】对于A 选项，对于任意的实数，二次函数图象的对称轴为轴，A 对；a 2y x a =+y对于B 为无理数，B 对；对于C 选项，若、为整数，则、均为偶数，所以，也为偶数，x y 2x 4y 24x y +则不成立，C 错；245x y +=对于D 选项，每个正方形都是平行四边形，D 对.故选：C.3．化简的值为（ ）sin 347cos148sin 77cos58+A B ．C ．D 12【答案】D【分析】利用诱导公式结合两角和的正弦公式化简可得所求代数式的值.【详解】原式()()sin 27077cos 9058sin 77cos58=+++()()sin 58cos 77cos58sin 77sin 5877sin135sin 18045sin 45=+=+==-== 故选：D.4．已知直角三角形的面积等于，则该三角形的周长的最小值为（ ）.250cm cm A．B ．C ．D．10+20+40【答案】B【分析】设两条直角边长分别为、，利用勾股定理结合基本不等式可求得此三角形周长cm x 100cmx 的最小值.【详解】由直角三角形的面积等于可设两条直角边长分别为、，250cm cm x 100cm x 则该直角三角形的周长为，()10020cm x x ++≥=当且仅当时，即当时，等号成立.22100100000x x x x x ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪>⎪⎪⎩10x =故该三角形的周长的最小值为，20+cm 故选：B 5．已知函数的零点分别为，则的大小顺序为()()()3e ,ln ,x f x x g x x x h x x x=+=+=+,,a b c ,,a b c （ ）A ．B ．C ．D ．a b c >>c a b >>b c a >>b a c>>【答案】C【分析】先判断各函数的单调性再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案.【详解】解：因为函数都是增函数，3e ,ln ,,x y y x y x y x ====所以函数都是增函数，()()()3e ,ln ,x f x x g x x x h x x x=+=+=+又，()()1110,010e f f -=-<=>所以函数的零点在上，即，()f x ()1,0-()1,0a ∈-因为，()1110,11e e g g ⎛⎫=-+<= ⎪⎝⎭所以函数的零点在上，即，()g x 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,1e b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为，所以函数的零点为，即，()00h =()h x 00c =所以.b c a >>故选：C.6．在平面直角坐标系中，动点在单位圆上沿逆时针方向作匀速圆周运动，点运动的角速度为M M ，若点的初始位置为，则经过秒钟，动点所处的位置的坐标为（ ）πrad/s 6M 13⎛ ⎝3M A ．B ．C ．D．13⎫⎪⎪⎭13⎛- ⎝13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭1,3æççè--【答案】C【分析】计算出运动秒钟时动点转动的角，再利用诱导公式即可得解.3M 【详解】解：点运动的角速度为，M πrad/s 6则经过秒钟，转了，3ππ3=rad62⨯设点的初始位置坐标为，则M ()cos ,sin αα1cos ,sin 3αα==则经过秒钟，动点所处的位置的坐标为，3M ππcos ,sin 22αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，()sin,cos αα-所以经过秒钟，动点所处的位置的坐标为.3M 13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭故选：C.7．已知函数，当时，方程的根的个数是()()1,04ln ,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩1a >()()()2230f x a a f x a -++=（ ）A ．B ．5C ．4D ．36【答案】A 【分析】解方程得或，再依次解方程，确定满足条件的的()f x a=()2f x a =()f x a=()2f x a =x 个数即可.【详解】因为，所以，()()()2230f x a a f x a -++=()()()()20f x a f x a --=所以或，因为，所以，()f x a=()2f x a =1a >2a a >当时，若，则，所以，()f x a=0x >14x a x +=24410x ax -+=方程的判别式，方程的根为或24410x ax -+=216160a ∆=->0x =>，0x =>若，则，所以，0x <()ln x a-=e ax =-所以方程有3个根，同理可得有3个根，()f x a=()2f x a =故方程有6个根，()()()2230f x a a f x a -++=故选：A.8．已知函数在区间上单调递减，则正实数的取值范围是（ ）()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ωA ．B ．C ．D ．302ω<≤312ω≤≤413ω≤≤4332ω≤≤【答案】C【分析】利用整体代换法求出函数的递减区间，结合集合的包含关系列出不等式组，解之即可.()f x 【详解】由题意知，，0ω>令，322262k x k ππππωπ+≤+≤+解得，242,Z 33k k x k ππππωωωω+≤≤+∈又函数在区间上单调递减，()f x ()3ππ,所以，解得，233423k k πππωωπππωω⎧+≤⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩4612,Z3k k k ω+≤≤+∈当时，.0k =413ω≤≤故选：C.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．角终边在第二象限或第四象限的充要条件是θsin cos 0θθ⋅<B ．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于π3C ．经过小时，时针转了4120D ．若角和角的终边关于对称，则有αβy x =π2π,Z 2k k αβ+=+∈【答案】ABD【分析】对于A ，利用三角函数定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可；对于B ，转化求解弦所对的圆心角即可判断；对于C ，根据任意角的定义即可判断；对于D ，由角的终边得出两角的关系即可【详解】对于A ，因为角终边在第二象限或第四象限，此时终边上的点的横坐标和纵坐标θ(),x y 异号，故；sin cos 0θθ⋅=<因为，所以或，sin cos 0θθ⋅<sin 0cos 0θθ>⎧⎨<⎩sin 0cos 0θθ<⎧⎨>⎩故角终边上点坐标对应为：或即或，所以角终θ(),xy 00><00<>00y x >⎧⎨<⎩00y x <⎧⎨>⎩θ边在第二象限或第四象限，综上，角终边在第二象限或第四象限的充要条件是，故A 正确θsin cos 0θθ⋅<对于B ，圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形，所以弦所对的圆心角为，故B 正确；π3对于C ，钟表上的时针旋转一周是，其中每小时旋转，360︒-3603012︒︒-=-所以经过4小时应旋转，故C 错误；120︒-对于D ，角和角的终边关于直线对称，则，，故D 正确αβy x =ππ2(π)2π42k k αβ+=+=+Z k ∈故选：ABD10．给出下列四个结论，其中正确的是（ ）A ．函数的定义域为21log sin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭B ．函数是相同的函数()f x =()g x =C ．函数的定义域为，则函数的定义域为()2f x +[]0,2()2f x 2,2⎡⎤-⋃⎣⎦D ．函数()f x =2【答案】BC【分析】分别根据对数函数的性质，函数相等，抽象函数的定义域和函数的最值对四个选项逐项验证即可求解.【详解】对于，要使函数有意义，则有，A 21log sin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1sin 02x ->即，由正弦函数的图像可知：，1sin 2x >π5π2π2π,Z66k x k k +<<+∈所以函数的定义域为，故选项错误；21log sin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π5π(2π,2π)(Z)66k k k ++∈A对于，因为函数的定义域为，函数B ()f x =[1,1]-()g x =是，定义域相同，对应法则相同，所以值域也相同，所以函数[1,1]-()f x =是相同的函数，故选项正确；()g x =B 对于，因为函数的定义域为，所以，则，C ()2f x +[]0,202x ≤≤224x ≤+≤由或的定义域为，故224x ≤≤2x ≤≤2x -≤≤()2f x 2,2⎡⎤-⋃⎣⎦选项正确；C对于，因为函数D ()f x ===，则函数可化为，(2)t t =≥1(2)y t t t =+≥因为函数在上单调递增，所以，1y t t =+[2,)+∞15222y ≥+=也即函数，所以函数的最小值为，故选项错误，()52f x =≥()f x=52D 故选：.BC 11．设正数满足，则有（ ）,a b 1a b +=A ．14ab ≤B ．3314a b +≤C ．148b a b ⎛⎫⋅+≥+ ⎪⎝⎭D ．221124a b b a +≥++【答案】ACD【分析】对于A ，由基本不等式推论可判断选项；对于B ，利用分解因式结合A 分析可判断选项；对于C ，，利用基本不等式可判断选项；对于D ，141445411a b b a a b a b a b +⎛⎫⎛⎫⋅+=⋅-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式可判断选项.()()22221223496121212b a a b b a b a b a +-+-+=+=+-++++++【详解】对于A ，由基本不等式推论有，当且仅当取等号.故A 正确.()2144a b ab +≤=12a b ==对于B ，，由A 分析可知()()()23322313a b a b a b ab a b ab ab+=++-=+-=-，则，当且仅当取等号.故B 正确.1144ab ab ≤⇒-≥-331134a b ab +=-≥12a b ==对于C ，()141445454111a b b a a b ab a b a ba b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+=⋅-+=+-=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即54888b a a b =++≥+=+2245a b =.故C 正确.45，b a =-=-对于D ，()()()()22222211122349612121212b a b a a b b a b a b a b a --+-+-+=+=+=+-++++++++()()()42911491126136412412a b b a b a b a ⎡⎤++⎛⎫=++++-=++-⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎢⎥⎣⎦，1113644⎛ ≥+-= ⎝当且仅当，即时取等号.故D 正确.()()224291a b +=+3255，b a ==故选：ACD 12．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，时，()f x R ()1f x -()1f x +[]1,1x ∈-，则下列结论正确的是（ ）()πcos2f x x=A ．的周期为4B ．()f x 10132f ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．在上为单调递减函数D ．方程有且仅有四个不同的解()f x ()2,4()5log 0f x x +=【答案】BCD【分析】根据题意可知函数关于对称且关于对称，结合周期函数的定义即可判断()f x ()1,0-1x =A ，根据函数的对称性结合函数的解析式即可判断B ，判断出函数在上的单调性，再结合函[]2,0-数的对称性即可判断D ，作出函数与函数图象，结合图象即可判断D.()y f x =5log y x=-【详解】解：因为为奇函数，()1f x -所以，即，()()11f x f x --=--()()2f x f x -=--则函数关于对称，()f x ()1,0-又为偶函数，所以，()1f x +()()11f x f x -+=+即，即函数关于对称，()()2f x f x -=+()f x 1x =则，()()22f x f x +=--则有，则，()()4f x f x +=-()()8f x f x +=所以是以为周期的周期函数，故A 错误；()f x 8对于B ，，故B 正确；104422π122cos 3333332f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=-=--=--=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于C ，当时，，则函数在上递增，[]1,0x ∈-ππ,022x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x []1,0-又且函数关于对称，()10f -=()f x ()1,0-所以函数函数在上递增，()f x []2,0-又因函数关于对称，()f x 1x =所以在上为单调递减函数，故C 正确；()f x ()2,4对于D ，方程根的个数，()5log 0f x x +=即为函数与函数图象交点的个数，()y f x =5log y x =-如图，作出两函数的图象，由图可知，两函数的图象有4个交点，即方程有且仅有四个不同的解，故D 正确.()5log 0f x x +=故选：BCD.三、填空题13．函数的值域为_______________.()()2lg 43f x x x =-+-【答案】(],0-∞【分析】求出的取值范围，结合对数函数的基本性质可求得函数的值域.243x x -+-()f x 【详解】因为，对于函数，则有，()2243211x x x -+-=--+≤()f x 20431x x <-+-≤所以，.()()(]2lg 43,0f x x x =-+-∈-∞故答案为：.(],0-∞14．已知，，则____________.tan 3α=tan 1β=()()cos sin αβαβ+=-【答案】1-【分析】利用两角和的余弦公式、两角差的正弦公式以及弦化切可求得代数式的值.【详解】因为，，则，，tan 3α=tan 1β=cos 0α≠cos 0β≠所以，()()cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ-+-==---.1tan tan 1311tan tan 31αβαβ--⨯===---故答案为：.1-15．已知，，，则___________.,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1cos 7α=()11cos14αβ+=-sin β=【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正弦可求的值.sin β【详解】因为，，故，1cos 7α=0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin α=而，故，而，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,αβπ+∈()11cos 14αβ+=-故()sin αβ+=所以()()()sin sin sin cos cossin βαβααβααβα=+-=+-+111714=+=16．已知函数的最小值为4，则实数____________．()422x x f x a a=-+-=a 【答案】4【分析】根据指数函数的性质，结合与的大小，分四种情况讨论函数4x2x0,01,1,1a a a a ≤<<=>的单调性即可求解作答.()f x 【详解】当时，函数在R 上单调递增，无最小值，不符合题意；0a ≤()4223x xf x a =+⨯-当，有，则，01a <<a >422log log log a a =>22444223,log ()422,log log 4223,log x x x x x x a x a f x a a x aa x a⎧--⨯+≤⎪=-+⨯-<<⎨⎪+⨯-≥⎩显然函数在上单调递减，而，不符合题()f x 2(,log ]a -∞22log log 22(log )42231aa f a a a a =--⨯+=-+<意；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，1a =4223,0422,()30x x xxf x x x --⨯+≤+⨯->⎧=⎨⎩()f x (,0]-∞(0,)+∞，不符合题意；min ()0f x=当，有，则，1a >a <422log log log a a =<44224223,log ()422,log log 4223,log x x x x x x a x af x a a x aa x a⎧--⨯+≤⎪=-⨯+<<⎨⎪+⨯-≥⎩函数在上单调递减，在上单调递增，当时，()f x 4(,log ]a -∞2[log ,)a +∞42log log a x a <<，22)11(()x f x a -+-=函数在上单调递增，则在上单调递增，()f x 42(log ,log )a a ()f x4(log ,)a +∞因此，解得，符合要求，44log log min 4()(log )422324a af x f a a a ==--⨯+=-=4a =所以实数.4a =故答案为：4【点睛】思路点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．四、解答题17．已知集合.241|1,|212x A x B x a x a x -⎧⎫⎧⎫=≤=≤≤+⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭(1)求集合；R A (2)若，求实数的取值范围.A B B = a 【答案】(1)或{|1x x ≤}3x >(2)(1,2](4,)⋃+∞【分析】（1）解分式不等式求得集合，进而求得.A R A （2）根据是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.B a 【详解】（1），242431,10111x x x x x x ---≤-=≤---所以，解得，()()31010x x x ⎧--≤⎨-≠⎩13x <≤所以，或.{|13}A x x =<≤R A = {|1x x ≤}3x >（2）由题意，若，则，A B B = B A ⊆①时，满足，此时，解得；B =∅B A ⊆122a a >+4a >②时，，解得；B ≠∅12211232a a a a ⎧≤+⎪⎪>⎨⎪⎪+≤⎩12a <≤综上，的取值范围为.a (1,2](4,)a ∈⋃+∞18．已知函数.()15πcos(2)26f x x =-(1)求函数在区间上的单调递减区间；()f x []0,π(2)若.πcos 12α⎛⎫+=⎪⎝⎭()f α【答案】(1)单调递减区间是5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)16【分析】(1)根据余弦函数的单调区间，求出函数在整个定义域上的单调减区间，再与取交集[]0,π即可求解；(2) 令，则，利用二倍角的余弦可得，然后将所求式子利用诱导π12βα=+π12αβ=-1cos 23β=-公式化简即可求解.【详解】（1）15π15π()cos 2cos 22626f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，5π26t x =-[0,]x π∈因为的单调递减区间是，，1cos 2y t =[2π,2ππ]k k +Z k ∈由，，得，，5π2π22ππ6k x k ≤-≤+Z k ∈5π11πππ1212k x k +≤≤+Z k ∈即当，时，单调递减；5π11π[π+,π]1212x k k ∈+Z k ∈()f x 又，时[0,π]x ∈0k =[]5π11π5π11π[,]0,π,12121212⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 所以函数，的单调递减区间是.15π()cos 226f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[0,π]x ∈5π11π[,]1212（2）令，则,π12βα=+π12αβ=-因为，πcos()12α+=cos β=21cos 22cos 13ββ=-=-，15π15ππ111()cos(2)cos[2()]cos(π2)cos 2262612226f ααβββ=-=--=-=-=19．函数.()sin 2sin f x x x=+(1)请用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，再画图）()f x []0,2π(2)设，，当时，试研究函数的零点的情况.()()2mF x f x =-[]0,2πx ∈0m >()F x 【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）将表示为分段函数的形式，然后利用列表法画出的图象.()f x ()f x （2）由转化为与的公共点个数，对进行分类讨论，由此求()()20m F x f x =-=()y f x =2my =m 得零点的情况.()F x 【详解】（1），3sin ,0π()sin ,π2πx x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩按五个关键点列表：x 0π2π3π22πsin x0101-0()sin 2sin f x x x=+031描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：（2）因为，()()2mF x f x =-所以的零点个数等价于与图象交点的个数，()F x ()y f x =2my =设，，则2mt =0m >1t >当，即时，有2个零点；20log 3m <<13t <<()F x 当，即时，有1个零点；2log 3m =3t =()F x 当，即时，有0个零点.2log 3m >3t >()F x 20．已知函数为幂函数，且在上单调递增.()()()2122m f x m m x m -=--∈R ()f x ()0,∞+(1)求的值，并写出的解析式；m ()f x(2)令，，求的值域.()g x =1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x 【答案】(1)，3m =()2f x x =(2)11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性可得出关于实数的等式与不等式，求出的值，即可m m 得出函数的解析式；()f x （2）求出函数的解析式，在时，利用单调性求出函数的值域；当时，()g x 1,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x []0,1x ∈换元，利用二次函数的基本性质可求得函数的值域，综合可得结果.u ⎡=⎣()g x 【详解】（1）解：因为为幂函数，且在上单调递增，()()()2122m f x m m x m -=--∈R ()f x ()0,∞+则，解得，所以，.222110m m m ⎧--=⎨->⎩3m =()2f x x =（2）解：.()g x =1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦①当时，在上单调递减，1,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x x =-1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以，，此时；()()min01g x g ==-()max 1122g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()11,2g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦②当时，[]0,1x ∈()g x x =设，可得，u =u ⎡∈⎣212u x -=，此时，()22111111,1222y x u u u ⎡==--=--∈-⎣()1,1g x ⎡∈-⎣综上，的值域为.()g x 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21．已知函数.()223log 22a a f x x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()0,1a a >≠(1)当时，解不等式；2a =()2log 6f x <(2)，，求实数的取值范围.[]2,4x a a ∀∈()1f x ≤a 【答案】(1)或{|11x x -<<24}x <<(2)2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】(1)根据，先求出函数的定义域，在根据函数对数函数的单调性解不等式即可，最后2a =与函数定义域取交集即可求出结果；(2)由可得：，然后分别在和两种情况下，根据对()1f x ≤223log ()log 22a a a x ax a -+≤01a <<1a >数函数的单调性进而求解.【详解】（1）当时，，2a =22()log (32)f x x x =-+要使函数有意义，则有，解得：或，2320x x -+>2x >1x <所以定义域为.(,1)(2,)-∞⋃+∞因为，即，解得：，2()log 6f x <2326x x -+<14x -<<所以不等式解集为或.{|11x x -<<24}x <<（2）由题意，，，[2,4]x a a ∀∈223log ()1log 22a a a x ax a-+≤=①当时，则有，恒成立，01a <<[2,4]x a a ∀∈22322a x ax a-+≥设，对称轴为，在单调递增，223()22a g x x ax a =-+-324x a a=<()g x [2,4]a a 所以，得，所以.2min 3()(2)02g x g a a a ==-≥203a a ≤≥或2[,1)3a ∈②当时，则有，恒成立，1a >[2,4]x a a ∀∈22322a x ax a-+≤在单调递增，223()22a g x x ax a=-+-[2,4]a a 所以，得，舍去.2max 21()(4)02g x g a a a ==-≤2021a ≤≤综上，.2,13a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭22．已知函数是定义域上的奇函数，且满足.()21ax bf x x +=+R ()()91210f f +=(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；()f x ()0,1(2)已知、，且，若，证明：.1x ∀()20,x ∈+∞12x x <()()12f x f x =122x x +>【答案】(1)在上单调递增，证明见解析()f x ()0,1(2)证明见解析【分析】（1）利用奇函数的定义可求得的值，利用可求得的值，可得出函数b ()()91210f f +=a 的解析式，判断出函数在上单调递增，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；()f x ()f x ()0,1（2）由结合作差法可得出，再利用基本不等式可证得结论成立.()()12f x f x =121=x x 【详解】（1）解：因为函数是定义域上的奇函数，()21ax bf x x +=+R 则，即，解得，则，()()f x f x -=-()2211ax bax b x x -++=-+-+0b =()21ax f x x =+又，得，所以.()()129122510f f a a +=+=1a =()21x f x x =+函数在上单调递增，理由如下：()21xf x x =+()0,1、，且，即，1x ∀()20,1x ∈12x x <1201x x <<<所以，，，，，210x x ->1210x x -<2110x +>2210x +>则，()()()()()()()()()()221221211212122222221212121110111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==<++++++所以，则在上单调递增.()()12f x f x <()f x ()0,1（2）证明：由题意，，则有，()()12f x f x =()()()()()()21121222121011x x x x f x f x xx ---==++因为，所以，即，120x x <<1210x x -=121=x x所以，得证.122x x +>=。
2022-2023学年湖北省武汉市江汉区高一年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年湖北省武汉市江汉区高一上学期期中数学试题一、单选题1．若集合2{||31|2},{|0}1x A x x B x x -=-≥=≤-，则()R A B = ð（）A ．1[,2]3-B ．∅C ．1(,)(1,2]3-∞-⋃D ．1,1(1,2]3⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】解绝对值不等式求得集合A ，解分式不等式求得集合B ，求得集合A 的补集，然后求此补集和集合B 的并集，由此得出正确选项.【详解】由|31|2x -≥得312x -≤-或312x -≥，解得13x ≤-或1x ≥，故1,13R C A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由201x x -≤-得()()12010x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得12x <≤，所以()R C A B = 1,1(1,2]3⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭.故选D.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查集合补集、并集的计算，属于基础题.2．下列函数()f x ，()g x 表示的是相同函数的是A ．()2x f x =，2()log g x x=B ．()||f x x =，2()g x x =C ．()f x x =，2()xg x x=D ．()2lg f x x =，()lg(2)g x x =【答案】B【分析】根据相同函数的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】若函数相同，则定义域相同，对应关系一致；A 选项，函数()2x f x =的定义域为R ，2()log g x x =的定义域为()0,∞+，定义域不同，不是相同函数，故A 错；B 选项，函数()||f x x =与2()g x x =的定义域为R ，且2()g x x x ==，对应关系也相同，故B 正确；C 选项，函数()f x x =的定义域为R ，函数2()x g x x=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，定义域不同，不是相同函数，故C 错；D 选项，函数()2lg f x x =和()lg(2)g x x =的定义域均为()0,∞+，但对应关系不一致，故D 错；故选B【点睛】本题主要考查相同函数的判定，熟记概念即可，属于基础题型.3．已知:|1|1p m +<，:q 幂函数2(1)m y m m x =--在()0,∞+上单调递减，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】:11p m +<等价于20m -＜＜，∵幂函数()21my m m x =--在()0,+∞上单调递减，211m m ∴--=，且0m ＜，解得1m =-，∴p 是q 的的必要不充分条件，故选B 4．函数21()ln(4)1x f x x x +=---的定义域是（）A ．[)1,2-B ．(1,2)C ．(1,2)-D ．()()2,11,2--⋃-【答案】B【分析】根据根号下大于等于0，分母不为0以及对数的真数大于0，列出不等式组，解出即可.【详解】由题意可得，21040x x ->⎧⎨->⎩，解可得，12x <<，即函数的定义域为(1,2)．故选：B ．5．若不等式20ax bx c ++>的解集是()4,1-，则不等式()()2130b x a x c -+++>的解为（）A ．413,⎛-⎫ ⎪⎝⎭B ．(),3,41-∞+⎪∞⎛⎫⎝⎭C ．()1,4-D ．()()–21,∞-+∞ ，【答案】A【分析】根据不等式20ax bx c ++>的解集求出b 、a 和c 的关系，再化简不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>，从而求出所求不等式的解集．【详解】根据题意，若不等式20ax bx c ++>的解集是()4,1-，则4-与1是方程20ax bx c ++=的根，且a<0，则有()()4141b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得3b a =﹐4c a =-﹐且a<0；∴不等式()()2130b x a x c -+++>化为：()()231340x x -++-<，整理得2340x x +-<﹐即()()3410x x +-<﹐解可得413x -<<，即不等式()()2130b x a x c -+++>的解为4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭；故选：A.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，关键是掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系和根与系数的关系，属于中档题．6．函数2ln ||()x f x x=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．【答案】C【分析】选确定函数的奇偶性，排除两个选项，然后再利用特殊的函数值的正负排除一个选项，得正确结论．【详解】2ln ||()()x f x f x x-=-=-，则()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ，当1x =时，(1)0f =，当e x =时，2(e)0ef =>，故排除A ，故选：C ．7．函数3()lg 18=+-f x x x 的零点所在的区间为（）A ．()01，B ．()12，C ．()23，D ．()34，【答案】C【分析】根据零点存在性定理，验证函数()f x 在区间端点处的函数值符号即可.【详解】因为()f x 在(0,)+∞上单调递增，3(2)2lg 218lg 2100=+-=-<f ，3(3)3lg 3189lg 30=+-=+>f ，所以函数()f x 的零点所在的区间为()2,3.【点睛】函数零点个数的3种判断方法(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.8．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且在(,0)-∞单调递减，则三个数：()0.50.6a f =，()0.6log 0.5b f =，()0.60.5c f =之间的大小关系是（）A ．a c b <<B ．b<c<aC ．a b c<<D ．b a c<<【答案】D【解析】根据题意，得函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，又0.50.60.610.60.60.50>>>>，0.60.6log 0.5log 0.61>=，然后结合单调性判断．【详解】因为函数()f x 是R 上的奇函数，且在(,0)-∞单调递减，所以函数在(0,)+∞上单调递减，∵0.50.60.610.60.60.50>>>>，0.60.6log 0.5log 0.61>=，∴()()()0.50.60.6log 0.50.60.5f f f <<，即b a c <<．故选：D ．9．若20.5log (35)y x ax =++在(1,)-+∞上单调递减，则a 的取值范围是（）.A ．[6,8)B ．[6,8]C ．[6,)+∞D ．247[,)35【答案】B【分析】令f （x ）＝235x ax ++，由题意得f （x ）在(1,)-+∞上单调递增，且f （﹣1）0≥，由此能求出a 的取值范围．【详解】∵函数20.5log (35)y x ax =++在(1,)-+∞上单调递减，令f （x ）＝235x ax ++，∴f （x ）＝235x ax ++在(1,)-+∞上单调递增，且f （﹣1）0≥∴(1)350123f a a -=-+≥⎧⎪⎨--⎪⨯⎩ ，解得6≤a ≤8．故选B ．【点睛】本题考查实数值的求法，注意函数的单调性的合理运用，属于基础题．10．设0a b >>，则()221121025a ac c ab a a b ++-+-的最小值是（）A ．1B ．4C ．3D ．2【答案】B【分析】先把代数式()221121025a ac c ab a a b ++-+-整理成()()()2115a c ab a a b ab a a b -+++-+-，然后利用基本不等式可求出原式的最小值.【详解】()()()222221110112102255a ac c a ab ab ab a ac c ab a b a a a b =-++-+++++-+--Q ()()()()()2111150224a c ab a a b ab a a b ab a a b ab a a b =-+++-+≥+⋅+-⋅=--，当且仅当()511a cab a a b ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩时，即当2a =，22b =，25c =时，等号成立，因此，()221121025a ac c ab a a b ++-+-的最小值是4.故选B.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最小值，解题的关键就是要对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题.11．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且当01x ≤≤时，2()log ()f x x a =+，若对任意[0,1]x ∈，都有2211log 32f x tx ⎛⎫-++≥- ⎪⎝⎭，则实数t 的取值范围是（）A ．[]1,3B ．[]0,3C ．()1,3D ．()0,3【答案】B【解析】()f x 是周期为4的函数，且是奇函数，0在函数定义域内，故()00f =，得1a =，先得到[]1,3-一个周期内()f x 的解析式，求出该周期内使2()1log 3f x ≥-成立的x 的范围，从而推出212x tx -++的范围，再分t 的范围讨论即可.【详解】解：由题意，()f x 为周期为4的函数，且是奇函数0在函数定义域内，故()00f =，得1a =，所以当01x ≤≤时，2()log (1)=+f x x ，当[]1,0x ∈-时，[0,1]x -∈，此时2()()log (1)f x f x x =--=--+，又知道(2)()()f x f x f x +=-=-，所以()f x 以1x =为对称轴，且当[]1,1x ∈-时()f x 单调递增，当[]1,3x ∈时()f x 单调递减.当[1,3]x ∈-时，令2()1log 3f x =-，得12x =-，或52x =，所以在[]1,3-内当2()1log 3f x >-时，15,22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x 设21()2g x x tx =-++，若对于[]0,1x ∈都有2211log 32f x tx ⎛⎫-++≥- ⎪⎝⎭，所以15()4,4,22g x n n n Z⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦因为115(0),222g ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，所以15(),22g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦①当02t <时，()g x 在[]0,1上单调递减，故1115(),,2222g x t ⎡⎤⎡⎤∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得0t ≥，无解.②01t ≤≤时，1022t ≤≤，此时()g t 最大，()1g 最小，即2115()1,,4222t g x t ⎡⎤⎡⎤∈-+⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得[0,1]t ∈.③当12t <≤时，即1222t<≤，此时()0g 最小，()g t 最大，即2115()1,,4222t g x t ⎡⎤⎡⎤∈-+⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得(1,2]t ∈，④当2t >时，()g x 在[]0,1上单调递增，故1115(),,2222g x t ⎡⎤⎡⎤∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解得，(2,3]t ∈，综上[0.3]t ∈.故选：B.【点睛】本题考查了复合函数的值域、对称区间上函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值、函数的对称性、周期性、恒成立等知识.属于难题.12．已知函数()f x 满足：①对任意120x x ≤<，都有()()12120f x f x x x -<-；②函数()2y f x =+的图象关于点()2,0-对称.若实数a ，b 满足()()2222f a b f b a +≤---，则当1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，a a b +的取值范围为（）A ．11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]2,4【答案】B【分析】先根据函数()f x 满足的①②条件得函数()f x 在R 上单调递减，再根据单调性得2222a b b a +≥+，解不等式得()()20b a b a ---≤⎡⎤⎣⎦，再结合线性规划的知识解决即可.【详解】由对任意120x x ≤<，都有()()12120f x f x x x -<-，可得，()f x 在[)0,∞+上单调递减；由函数()2y f x =+的图象关于点()2,0-对称，得函数()y f x =的图象关于原点对称，可得函数()y f x =为奇函数；故()f x 在R 上单调递减.于是得()()2222f a b f b a +≤+，∴2222a b b a +≥+，∴22220b a a b -+-≤，∴()()20b a b a ---≤⎡⎤⎣⎦.则当1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令a x =，b y =，则问题等价于点(),x y 满足区域()()20112y x y x x ⎧⎡⎤---≤⎣⎦⎪⎨≤≤⎪⎩，如图阴影部分，由线性规划知识可知yx 为(),x y 与()0,0连线的斜率，由图可得[]1,3b y a x=∈，∴111,421a b a b a⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦+.故选B.【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性，线性规划等，考查学生分析问题与解决问题的能力，是难题.二、填空题13．已知p ：x >1或x <-3，q ：x >a (a 为实数)．若¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，则实数a 的取值范围是．【答案】1a ≥【分析】由充分不必要条件的概念转化为集合真子集的关系求解参数的取值范围即可.【详解】由已知得¬p ：-3≤x ≤1，¬q ：x ≤a ．设{}31A x x =-≤≤，{}B x x a =≤若¬p 是¬q 的充分不必要条件，则¬p ⇒¬q ，¬q ⇒¬p ，所以集合A 是集合B 的真子集.所以1a ≥．故答案为：1a ≥.14．已知实数,x y 满足3ln(23)ln(235)x y x y x y -≤+-+-+，则x y +=.【答案】167【详解】分析：先构造函数()ln 1f t t t =-+，根据函数单调性得()0f t ≤，结合条件得1t =，解得x,y ，即得结果.详解：令()ln 1f t t t =-+，因为1()101f t t t=-=∴='，所以当01t <<时()0,f t '>当1t >时()0,f t '<因此()(1)0f t f ≤=，即ln 1t t ≤-，所以ln(23)231,ln(235)2351x y x y x y x y +-≤+---+≤-+-因此ln(23)ln(235)23123513x y x y x y x y x y+-+-+≤+--+-+-=-因为()()3ln 23ln 235x y x y x y -≤+-+-+，所以4121623=1235=1,777x y x y x y x y +--+∴==∴+=，.点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如ln 1,x x ≥+21,1(0).x x e x e x x ≥+≥+≥15．设函数()224f x x =-+和函数()g x ax a =+，若对任意[)10,x ∈+∞，都有(]2,1x ∈-∞使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围为．【答案】(0,)+∞【分析】求出函数()f x 的值域A ，设()g x 的值域为B ，题意等价于A B ⊆，然后分类讨论确定()g x 的值域，再根据集合的包含关系得结论．【详解】()224f x x =-+是[0，)∞+上的递减函数，()f x 的值域为(-∞，0]，令(A =-∞，0]，令()g x ax a =+的值域为B ，因为对任意1[0x ∈，)∞+都有2(x ∈-∞，1]使得12()()f x g x =，则有A B ⊆，因为()g x ax a =+，当0a =时，()0g x =，不满足A B ⊆，当0a >时，()g x 在(-∞，1]上单调递增，(B =-∞，2]a ，故20a >，0a >，当0a <时，()g x 在(-∞，1]上单调递减，[2B a =，)∞+，不满足A B ⊆，综上所述0a >，故答案为：(0,)+∞16．函数()()10kx lg x x f x e ln +-⋅=-在定义域(,0)-∞内存在区间[a ，]b ，满足()f x 在[a ，]b 上的值域为[a ，]b ，则实数k 的取值范围是.【答案】3(1,)4--【分析】利用对数函数的一般性质对()f x 进行化简，然后根据给定区间的增减性及正负性先确定a ，b 的取值范围，再利用恒成立问题进行求解.【详解】()2()10()((,0))k x lg x xkf x nex x k xl x x +-=-=⋅+=+∈-⋅∞，由题意可知：0a b <<，则()f x 在区间[a ，]b 上是递减的，所以()f x 在区间[a ，]b 上的值域为[f (b )，f (a )]，所以()()f a b f b a =⎧⎨=⎩，所以22a k b b k a ⎧+=⎨+=⎩，所以22b a a b -=-，因为a b ¹，所以1a b +=-，因为a b <，所以11(1,),(,0)22a b ∈--∈-，因为1a b +=-，2a k b +=，所以222(1)(1)k b a b b b b =-=---=-++，因为1(,0)2b ∈-，所以3(1,)4k ∈--.故答案为：3(1,)4--.【点睛】本题考查了对数相关性质，不等式的相关内容，综合性较强，属于中档题.三、解答题17．按要求完成下列各题（1）求值71log 222log 2lg 5lg 473222---++-（2）已知13x x -+=，求1x x --.【答案】（1）2；（2）5±.【分析】（1）利用对数的运算律、指数的运算律、对数的恒等式以及根式的运算性质可得出结果；（2）在等式13x x -+=两边平方，可求出22x x -+的值，由此可计算出()21x x --，从而得出1x x --的值.【详解】（1）原式()()712222log 27log 22lg 52lg 2222117-=-+++-⨯⨯+()17221222=--++-=；（2）13x x -+= ，()12229x x xx --∴+=++=，则227x x -+=.()12225x x x x --∴-=+-=，因此，15x x --=±.【点睛】本题考查指数幂的化简与计算、对数的运算性质，熟悉指数与对数的运算律是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.18．已知全集为R ，设函数2()lg(2)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()3g x x =-的定义域为集合B ．（1）求A B ⋂和R B ð；（2）若集合{}40C x x p =+<，C A ⊆，求实数p 的取值范围.【答案】（1）[)(]3,12,3--⋃；(,)(33,)-∞-⋃∞；（2）[4,)+∞.【解析】（1）求出,A B 后可求A B ⋂和R B ð；（2）根据C A ⊆可得p 满足的不等式，其解即为实数p 的取值范围.【详解】（1）{}()()2|20,12,A x x x =-->=-∞-+∞ ，{}[]|303,3B x x =-≥=-.故[)(]3,12,3A B ⋂=--⋃，()()R ,33,B =-∞-⋃+∞ð.（2）因为C A ⊆，故14p -≤-即4p ≥.故实数p 的取值范围为[4,)+∞.【点睛】本题考查函数的定义域、集合的运算（交和补）、一元二次不等式的解、绝对值不等式的解以及集合的包含关系，依据集合的包含关系求参数的取值范围时，注意两个集合中的范围的端点是否可以重合，本题属于中档题.19．已知一元二次方程2210ax x ++=．(1)写出“方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根”的充要条件；(2)写出“方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明．【答案】(1)a<0(2)方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件可以是1a <，证明见解析【分析】（1）利用判别式及韦达定理即可得到不等式组Δ44010a a=->⎧⎪⎨<⎪⎩，解出即可；（2）首先由（1）知其充要条件为a<0，故可以选取1a <作为其必要不充分条件，再证明即可.【详解】（1）若方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根，则Δ44010a a=->⎧⎪⎨<⎪⎩，即10a a <⎧⎨<⎩，<0a ∴．∴方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充要条件是a<0．（2）方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件是1a <，证明：若方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根，则由（1）知其充要条件为0<a ，从而1a <，故必要性成立．若01a <<，则方程2210ax x ++=中，440a ∆=->，1210x x a⋅=>，∴方程2210ax x ++=有两个同号根，∴充分性不成立，故1a <是方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件．20．设定义在R 上的函数()f x 对于任意实数x y ，，都有()()()2f x y f x f y +=+-成立，且(1)1f =，当0x >时，()2f x <．（1）判断()f x 的单调性，并加以证明；（2）试问：当12x -≤≤时，()f x 是否有最值?如果有，求出最值；如果没有，说明理由；（3）解关于x 的不等式22()()(2)(2)f bx f b x f x f b -<-，其中22b >．【答案】（1）()f x 在R 上是减函数，证明见解析；（2）()f x 的最大值是3，最小值是0；（3）当2b >时，不等式的解集为2{|x x b<或}x b >，当2b <-时，不等式的解集为2{|}x b x b <<．【详解】（1）任意实数12x x ，，且12x x <，不妨设21x x m =+，利用差比较法，计算21()()0f x f x -<，所以函数为减函数；（2）()f x 在[1,2]-上单调递减，所以()f x 有最大值(1)f -，有最小值(2)f ．利用赋值法求出()(1)3,20f f -==；（3）化简不等式得22(2)(2)f bx b f b x x +<+，由于()f x 为减函数，所以2222bx b b x x +>+，()(2)0x b bx -->．由于22b >，2b >或2b <-，所以当2b >时，2b b >，不等式的解集为2{|x x b <或}x b >；当2b <-时，2b b <，不等式的解集为2{|}x b x b <<．试题解析：（1）()f x 在R 上是减函数，证明如下：对任意实数12x x ，，且12x x <，不妨设21x x m =+，其中0m >，则211111()()()()()()2()()20f x f x f x m f x f x f m f x f m -=+-=+--=-<，∴21()()f x f x <．故()f x 在R 上单调递减．（2）∵()f x 在[1,2]-上单调递减，∴=1x -时，()f x 有最大值(1)f -，2x =时，()f x 有最小值(2)f ．在()()()2+=+-f x y f x f y 中，令1y =，得(1)()(1)2()1f x f x f f x +=+-=-，故(2)(1)10f f =-=，(1)(0)1(1)2f f f =-=--，所以(1)3f -=．故当12x -≤≤时，()f x 的最大值是3，最小值是0．（3）由原不等式，得22()(2)()(2)f bx f b f b x f x +<+，由已知有22(2)2(2)2f bx b f b x x ++<++，即22(2)(2)f bx b f b x x +<+．∵()f x 在R 上单调递减，∴2222bx b b x x +>+，∴()(2)0x b bx -->．∵22b >，∴2b >或2b <-．当2b >时，2b b >，不等式的解集为2{|x x b<或}x b >；当2b <-时，2b b <，不等式的解集为2{|}x b x b<<．【方法点晴】本题主要考查抽象函数单调性的证明．证明出单调性后利用单调性求解最值和不等式．对于函数单调区间的求解，一般要根据函数的表达形式来选择合适的方法，对于基本初等函数单调区间的求解，可以在熟记基本初等函数的单调性的基础上进行求解；对于在基本初等函数的基础上进行变化的函数，则可以采用利用函数图象求出相应的单调区间来求得；复合函数的单调区间的求得宜采用复合函数法（同增异减）的方法来求得．抽象函数单调性利用定义法来求解．21．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为：292031600v y v v =++（v ＞0）．（1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【答案】（1）当v ＝40km /h 时，车流量最大，最大车流量约为92083千辆/时；（2）25＜v ＜64．【分析】（1）根据基本不等式性质可知2920920920160031600833v y v v v v ==≤++⎛⎫++ ⎪⎝⎭，进而求得y 的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．（2）解不等式29201031600v v v ++＞，即可求出v 的范围．【详解】（1）依题意知，2920920920160031600833v y v v v v ==≤++⎛⎫++ ⎪⎝⎭，当且仅当v 1600v =，即v ＝40时，上式等号成立，∴ymax 92083=（千辆/时）．∴当v ＝40km /h 时，车流量最大，最大车流量约为92083千辆/时．（2）由条件得29201031600v v v ++＞，整理得v 2﹣89v +1600＜0，即()()25640v v --<．解得25＜v ＜64．22．已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a ⎡⎤--+-=⎣⎦的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．（2）(]{}1,23,4 ．（3）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【详解】试题分析：（1）当5a =时，解对数不等式即可；（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a 的取值范围进行求解即可；（3）根据条件得到11f t f t -+≤（）（），恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.试题解析：（1）由21log 50x ＞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得151x +＞，解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．（2）由f （x ）﹣log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]＝0得log 2（1x+a ）﹣log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]＝0．即log 2（1x+a ）＝log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]，即1x+a ＝（a ﹣4）x +2a ﹣5＞0，①则（a ﹣4）x 2+（a ﹣5）x ﹣1＝0，即（x +1）[（a ﹣4）x ﹣1]＝0，②，当a ＝4时，方程②的解为x ＝﹣1，代入①，成立当a ＝3时，方程②的解为x ＝﹣1，代入①，成立当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x ＝﹣1或x 14a =-，若x ＝﹣1是方程①的解，则1x+a ＝a ﹣1＞0，即a ＞1，若x 14a =-是方程①的解，则1x +a ＝2a ﹣4＞0，即a ＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a ≤2．综上，若方程f （x ）﹣log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是1＜a ≤2，或a ＝3或a ＝4．（3）函数f （x ）在区间[t ，t +1]上单调递减，由题意得f （t ）﹣f （t +1）≤1，即log 2（1t +a ）﹣log 2（11t ++a ）≤1，即1t +a ≤2（11t ++a ），即a ()12111t t t t t -≥-=++设1﹣t ＝r ，则0≤r 12≤，()()()2111232t r r t t r r r r -==+---+，当r ＝0时，232r r r =-+0，当0＜r 12≤时，212323r r r r r=-++-，∵y ＝r 2r+在（0，2）上递减，∴r 219422r +≥+=，∴211229323332r r r r r =≤=-++--，∴实数a 的取值范围是a 23≥．【一题多解】（3）还可采用：当120x x ＜＜时，1211a a x x ++＞，221211log log a a x x ＞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,∞+上单调递减．则函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a ＞，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥．故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
2022-2023学年湖北省武汉市新洲区高一年级上册学期期末数学试题
新洲一中2025届高一上学期阶段检测数学试卷考试时间：1月9日8：00-10：00命题人：卢有勇审题人：游敏一､单项选择题：每小题5分，共40分.在每小题给只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2,M yy x N y y x ====∣∣，则M N ⋂=（） A.B.C.D.[)0,∞+()(){}0,0,1,1{}0,1[]0,12.已知角α的终边经过点()12,5P -，则cos α=（） A.B.C.D.513513-12131213- 3.设,,a b c ∈R ，且a b <，则下列不等式一定成立的是（）A.B.ln ln a b <a b e e -->C.D.22ac bc <3355a b >4.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）A.3B.4C.6D.85.函数()22ln f x x x =-的零点所在的区间为（） A.B.C.D.()0,1()1,2()2,3()3,46.已知()2f x x a =-，若函数()f x 在区间(],2∞-上为减函数，则a 的取值范围是（）A.B.1a ≥1a >C.D.2a ≥2a >7.已知函数()212x f x -=，则下列说法正确的是（） A.()f x 的值域为(],2∞-B.()f x 在(],0∞-上为减函数C.()f x 的值域为(]0,2D.()f x 在[)0,∞+上为增函数8.已知函数()f x m =，若存在区间[],(1)a b b a >≥-，使得函数()f x 在[],a b 上的值域为[]2,2a b ，则实数m 的取值范围是（） A.B.178m >-102m <≤C.D.2m ≤-1728m -<≤- 二､多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知sin α=cos 0α>，则（） A.B.tan 0α<sin cos 0αα+<C.D.2tan 1α>α为第三象限角10.下列说法正确的是（）A.0,1x x >≠，则1lg lg y x x=+的最小值是2 B.0x ≥，则y =的最小值是52C.0x ≥，则1242x x y =+⋅的最小值是1 D.2214sin cos y x x=+的最小值为9 11.已知函数()()3log 1,11,13x x x f x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，下列结论正确的是（）A.若()1f a =，则4a =B.若()3f a ≥，则1a ≤-或28a ≥C.202120202020f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.若()()g x f x k =-有两个不同的零点，则13k ≥12.函数()()()cos 2,0sin ,0x a x f x x b x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩是奇函数，且()0,,0,2a b ππ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，则下列正确的是（） A.B.322a b π+=22a b π+= C.2ab a b +的最大值为18π D.2ab a b +的最大值为6π 三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数()212log 231y x x =-+的递增区间为__________.14.若函数()()2122m f x m m x -=--是幂函数，且()y f x =在()0,∞+上单调递增，则f =__________. 15.函数()2sin cos f x x x =+的最小值为__________. 16.已知函数()2023202322023x x f x x -=-++，则不等式()()264046x f f x +-<的解集为__________. 四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）（1）已知2340,9a a >=，求值：log 8232log 3a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）已知()tan 22πθ+=，求值：()()()sin cos cos sin 2ππθθπθπθ⎛⎫+⋅++-⋅--⎪⎝⎭. 18.（本小题满分12分） 设不等式724x x -≤-的解集为M ，记不等式()2log 3x a -≤的解集为N . （1）当0a =时，求集合M N ⋂；（2）若“x M ∈”是“x N ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 19.（本小题满分12分）已知函数()112x x e f x e =-+. （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()y f x =在R 上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意的t ∈R ，不等式()()2110f mt f mt ++->恒成立，求实数m 的取值范围. 20.（本小题满分12分）已知函数()()212log 23f x x ax =-+. （1）若函数()y f x =的定义域为R ，值域为(],1∞--，求实数a 的值；（2）若函数()y f x =在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，求实数a 的取值范围. 21.（本小题满分12分）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入60万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名()*x ∈N ，调整后研发人员的年人均投入增加4%x ，技术人员的年人均投入调整为26025x m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元. （1）要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x 最多为多少人？（2）若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数m 的最大值.22.（本小题满分12分）定义函数()()412x xa f x a a =-+⋅+，其中x 为自变量，a 为常数. （1）若函数()a f x 在区间[]0,2上的最小值为1-，求实数a 的值；（2）集合()(){}()()(){}320,22a a a A xf x f B x f x f x f =≥=+-=∣∣，且()A B ⋂≠∅R ，求实数a 的取值范围. 新洲一中2025届高一上学期阶段检测数学参考答案1.A2.D3.B4.C5.B6.A7.C8.D9.ABC10.BD11.BCD12.BC1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭2–1.(),2∞- 17.（1）由332322334220,,log log 3933a a a a ⎛⎫⎛⎫>=⇒=∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 82232log 8log log 232222333a ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故原式325=+= （2）()tan 22tan 2πθθ+=⇒=，()()()sin cos cos sin 2ππθθπθπθ⎛⎫+⋅++-⋅-- ⎪⎝⎭()()()sin sin cos sin θθθθ=-⋅-+-⋅222222sin sin cos tan tan 2sin sin cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθθ--=-===++ 18.解：（1）7112004444x x x x x x x ---≤⇒≤⇒≥⇒>---或1x ≤，{4M x x ∴=>∣或1}x ≤()(]2log 3,,8x a N a a -≤∴=+，当0a =时，(]0,8N =则集合(](]0,14,8M N ⋂=⋃（2）{4M xx =>∣或(]1},,8x N a a ≤=+， “x M ∈"是“x N ∈”的必要不充分条件，∴集合N 是集合M 的真子集， 则817a a +≤⇒≤-，或4a ≥7a ∴≤-或4a ≥19.（1）可知，()f x 的定义域为R ，由()112x x e f x e =-+，则()1111212x x x e f x e e ---=-=-++， 则()()1111111012121x x x x x e e f x f x e e e ++-=-+-=-=-=+++， ()()f x f x ∴-=-，故函数()y f x =的为奇函数.（2）结论：()f x 在R 上是增函数，下证明：()111111121221x x x x x e e f x e e e +-=-=-=-+++ 设12x x R ∈､且12x x <()()()()212121************x x x x x x e e f x f x e e e e -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 2112x x x x e e <>∴，()()2121011x x x x e e e e -∴>++，即()()21f x f x > ()f x ∴在R 上是增函数.（3）()f x 为奇函数且在R 上为增函数，不等式()()2110f mt f mt ++->化为()()211f mt f mt +>- 即220mt mt -+>对任意的t R ∈恒成立①0m =时，不等式化为20>恒成立，符合题意；①0m ≠时，有20Δ80m m m >⎧⎨=-<⎩即08m << 综上，m 的取值范围为08m ≤<20.记()22223()3g x x ax x a a =-+=-+-. （1）由函数12log y u =是减函数及函数()()212log 23f x x ax =-+的值域为(],1∞-- 可知2232x ax -+≥.由（1）知()g x 的值域为)23,a ∞⎡-+⎣， 2min ()3 2.1g x a a ∴=-=∴=±.（2）由题意得2112130a a ≥⎧⎨-⨯+≥⎩，解得12a ≤≤， ∴实数a 的取值范围是[]1,2.21.（1）依题意得()()1006014%10060x x -⋅⋅+≥⋅解得075x <≤，所以调整后的技术人员的人数最多75人（2）由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有： ()()21006014%6025x x x x m ⎛⎫-⋅⋅+≥⋅⋅- ⎪⎝⎭ 得10022112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭整理得100325x m x ≤++ 故有100325x m x ≤++10033725x x ++≥=当且仅当50x =时等号成立， 所以7m ≤，故正整数m 的最大值为722.解：（1）因为[]0,2x ∈，令[]21,4xt =∈， 则()()()21a g t f x t a t a ==-++.①若112a +≤，即1a ≤，则函数()y g t =在[]1,4上为增函数， ，矛盾；①若142a +≥，即7a ≥，则函数()y g t =在[]1,4上为减函数， ()min (4)1231g g t a ==-=-，解得133a =，矛盾 ①若1142a +<<，即17a <<，则函数()y g t =在11,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在1,42a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数， 2min11()122a a g t g +-⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3a =或1a =-（舍）；综上所述，3a =；（2）由已知()(){}{}()(){}304423021230x x x x a A x f x f x x =≥=-⋅+≥=--≥∣∣∣， 所以，()(){}{}()2212301230,log 3x x x U A x x =--<=<<=∣∣，由()()()222a a f x f x f +-=化简整理得()()224412226x x x x a a --+-+++=， 即()()()222221412220x x x x a a --+--+++=， 2(1,3x ∈，[)24)2224,52x x x x k -=+=+∈令， ()221412140(45)2k k k a k a a k k --∴-++-=⇒=≤<-， 令[)231222,3(23)k a λλλλλλ+-=-⇒∈⇒=≤<， 123,(23)a λλλ∴=-+≤<又()123h λλλ=-+在[)2,3递增，()[)1,2h λ∴∈-。
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2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}11A x x =-<，{}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围（ ） A ．0a ≤ B ．2a ≥ C ．2a > D ．2a ≤【答案】B【分析】根据集合间的包含关系求参数的取值范围. 【详解】由11x -<解得111x -<-<即02x <<， 所以{}02A x x =<<， 因为A B ⊆，所以2a ≥， 故选:B.2．命题“x +∀∈R ，都有x e +∈R ”的否定是（ ） A ．x +∃∈R ，使得x e +∉R B ．x +∃∉R ，使得x e +∉R C ．x +∃∈R ，使得x e +∈R D ．x +∃∉R ，使得x e +∈R【答案】A【分析】全称改存在，再否定结论即可.【详解】命题“x +∀∈R ，都有x e +∈R ”的否定是“x +∃∈R ，使得x e +∉R ”. 故选：A3．已知cos140m ︒=，则tan50︒等于（ ）AB C D 【答案】B【分析】利用诱导公式化简，求出sin50,cos50︒︒，然后利用同角三角函数的商数关系即可求得. 【详解】()cos140cos 9050sin500m ︒=︒+︒=-︒=<，则sin50m ︒=-，cos50∴︒sin 50tan 50cos50︒∴︒==︒.故选：B.4．已知函数()tan 4(,R)f x a x a b =+∈且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =（ ）A ．-5B ．-3C ．3D ．随,a b 的值而定【答案】C【分析】先推导()()8f x f x +-=，再根据3lg log 10lg lg 30+=求解即可【详解】由题意，()()()tan 4tan 48f x a x a x f x =+++-+=-，又3lg10lg log 10lg lg3lg lg3lg10lg3⎛⎫+=⋅== ⎪⎝⎭，故3(lg log 10)(lg lg3)8f f +=.又3(lg log 10)5f =，故(lg lg3)853f =-= 故选：C5．已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分函数()f x 在R 上的单调递减和单调递增求解.【详解】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数， 所以函数()f x 在R 上不可能是增函数， 综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B6．已知m 为正实数，且22tan 15sin m x x +≥对任意的实数ππ,2x x k k ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭Z 均成立，则m 的最小值为（ ） A ．1B ．4C ．8D ．9【答案】D 【分析】()22222max tan 1515sin tan sin sin ≥mx m x x x x+⇒≥-，后利用同角三角函数关系及基本不等式可得答案. 【详解】由22tan 15sin m x x +≥对任意的实数ππ,2x x k k ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭Z 均成立， 可得()222max 15sin tan sin m x x x ≥-.()()()22422222221cos sin 15sin tan sin 151cos 151cos cos cos x xx x x x x xx--=--=--2211716179cos cos x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+≤-=，当且仅当22116cos cos x x=，即21cos 4x =时取等号.则9m ≥.故选：D7．设sin7a =，则（ ）A ．222log aa a <<B ．22log 2a a a <<C ．22log 2aa a << D ．22log 2aa a <<【答案】D【分析】分别判断出21142a <<2a <211log 2a -<<-，即可得到答案. 【详解】()sin7sin 72a π==-.因为7264πππ<-<，所以12a <<所以21142a <<；因为2x y =在R 1222a =<<因为2log y x =在()0,∞+上为增函数，且12a <<2221log log log 2a <<211log 2a -<<-；所以22log 2aa a <<.故选：D8．设函数()()()cos cos f x m x n x αβ=+++，其中m ，n ，α，β为已知实常数，x ∈R ，若()π002f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．对任意实数x ，()0f x =B ．存在实数x ，()0f x ≠C ．对任意实数x ，()0f x >D ．存在实数x ，()0f x <【答案】A【分析】根据π(0)()02f f ==，可推出cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=-=-，整理化简后可得m n =或m n =-，分类讨论，结合三角函数诱导公式化简，即可判断答案.【详解】由题意知π(0)()02f f == ，即cos cos sin sin 0m n m n αβαβ+=--= ，即cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=-=- ，两式两边平方后可得 22m n =，故m n =或m n =-，若0m n =≠ ，则cos cos sin sin αβαβ=-=-， ，故π2π,Z k k αβ=++∈， 此时()cos(π2π)cos()cos()cos()0f x m x k m x m x m x ββββ=++++=-++=++ ， 若0m n =-≠ ，则cos cos ,sin sin αβαβ== ，故2π,Z k k αβ=+∈ ， 此时()cos(2π)cos()0f x m x k m x ββ=++-+= ，若0m n == 或0m n =-= ，则()0f x = ，故对任意实数x ，()0f x =， 则A 正确，B,C,D 错误， 故选：A【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据已知等式化简得到m 和n 之间的关系，然后分类讨论，化简即可解决问题.二、多选题9．下列三角函数值为负数．．的是（ ） A ．3tan 4π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．tan505︒C ．sin7.6πD ．sin186︒【答案】BCD【分析】根据诱导公式，逐个选项进行计算，即可判断答案. 【详解】对于A ，33tan tan (1)144ππ⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭，故A 为正数； 对于B ，tan505tan(360)tan145tan350145+︒︒=︒=︒=-︒<，故B 为负数； 对于C ，sin7.6π2sin(80.4)sin05πππ=-=-<，故C 为负数；对于D ，sin186sin(1806)sin 60︒=︒+︒=-︒<，故D 为负数； 故选：BCD10．下列计算或化简结果正确的是（ ） A ．若1sin cos 2θθ⋅=，cos tan 2sin θθθ+= B ．若1tan 2x =，则2sin 2cos sin x x x =- C ．若25sin 5α=，则tan 2α= D ．若α为第二象限角，则22cos sin 21sin 1cos αααα+=-- 【答案】AB【分析】利用22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==，结合三角函数在各个象限的符号，逐项进行化简、求值即得.【详解】对于A 选项：1sin cos 2θθ=，cos sin cos 1tan 2sin cos sin sin cos θθθθθθθθθ∴+=+==，故A 正确； 对于B 选项：1tan 2x =，则122sin 2tan 221cos sin 1tan 12x x x x x ⨯===---，故B 正确； 对于C 选项：∵α范围不确定，∴tan α的符号不确定，故C 错误； 对于D 选项：α为第二象限角， sin 0,cos 0αα∴><,22cos sin cos sin cos sin =0cos sin cos sin 1sin 1cos αααααααααααα∴++=-+=--,故D 错误. 故选：AB.11．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，下列四个结论中正确的有（ ）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD【解析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解； 当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解； 对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解， 所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确； 对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确； 对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解， 所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解， 所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =； （2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.12．已知函数()()211x x f x x x =->-，()()2log 11xg x x x x =->-的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（ ） A ．1αβ+= B ．αββα=+C ．32αβ-<-D ．2αβ->-【答案】BD【分析】先说明,11xy x x =≠-的图象关于直线y x =对称，由题意可得2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=，化简可得αββα=+，判断B;写出αβ+的表达式，利用基本不等式可判断4αβ+>，判断A;利用零点存在定理判断出322α<<，写出αβ-的表达式，由此设函数13,(2)1()12x h x x x <<-=--，根据其单调性可判断C,D . 【详解】对于函数,11xy x x =≠- ，有,11y x y y =≠-， 即函数,11xy x x =≠-的图象关于直线y x =对称， 由题意函数()()211x x f x x x =->-，()()2log 11x g x x x x =->-的零点分别为α，β， 可知α为(),21,1x xy y x x ==>-的图象的交点的横坐标， β为()2,log ,11xy y x x x ==>-的图象的交点的横坐标， 如图示，可得2(,2),(,log )A B ααββ，且,A B 关于直线y x =对称，则2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=， 故1)(0ααβ--=，即αββα=+，故B 正确； 由题意可知1,10αα>∴-> ， 所以11(111122241)11ααααβαααα+=-+=-+-++≥-⋅≥--， 由于()22221220,2f α=-≠-∴-≠=，即4αβ+>，A 错误； 因为32332232123220f ⎛⎫=- ⎪⎝=-->⎭，()22202221f =-=-<-， 且()()21111x f x x x =-+>-为单调减函数， 故()()211x x f x x x =->-在3(,2)2上存在唯一的零点 ，即322α<< ，故13,(2)1112αβαααααα-=-=--<<--， 设13,(2)1()12x h x x x <<-=--，则该函数为单调递增函数， 故3311()122322212()h h x >=--=->--，且1(2)211()02h h x =--=-<，故3202αβ-<-<-<， 故C 错误，D 正确， 故选：BD【点睛】关键点点睛：解答本题要注意到函数图象的特点，即对称性的应用，解答的关键在于根据题意推得2(,2),(,log )A B ααββ，且,A B 关于直线y x =对称，从而可得2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=，然后写出αβ+以及αβ-的表达式，问题可解.三、填空题13．已知()()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πf θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---.若π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_________. 【答案】13-【分析】利用三角函数的诱导公式化简()f θ，结果为cos θ，结合π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得π1cos()63θ-=，再利用诱导公式化简5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为πcos()6θ--，即得答案.【详解】由题意()()()()π3πsin cos tan π(cos )sin (tan )22cos tan πsin π(tan )(sin )f θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===-----， 由π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得π1cos()63θ-=，故5π5πππ1cos cos[π()]cos()66663f θθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：13-14．若正数a ，b 满足24log log 8a b +=，48log log 2a b +=，则82log log a b +的值为__________. 【答案】523-【分析】根据对数的运算性质列出方程组求出22log 20log 24a b =⎧⎨=-⎩即可求解.【详解】因为24log log 8a b +=，所以221log log 82a b +=，又因为48log log 2a b +=，所以2211log log 223a b +=，联立22221log log 8211log log 223a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得22log 20log 24a b =⎧⎨=-⎩，所以8222152log log log log 33a b a b +=+=-，故答案为：523-. 15．已知实数,[0,2]a b ∈，且844a b +=，则22b a -的最大值是_______________． 【答案】2【分析】由已知可得22b a-=，令2a x =，构造函数()[1,4]f x x =∈，根据函数的单调性，即可求出最大值. 【详解】解：由844a b +=，可知()()()()22844222222b a b a b a b a =-=-=+-， 则82222b a b a -=+，且有2b =22b a ∴-=，令2a x =，[0,2]a ∈()[1,4]f x x =∈，可知()f x 在[1,4]上单调递减，max 8()(1)24f x f ∴====，即22b a -的最大值是2， 故答案为：2.16．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=，其中0P ，k 是正的常数.如果在前5h 消除了10%的污染物，那么经过_______h 污染物减少50%（精确到1h ）？取lg 0.50.3=-，lg 0.90.045=- 【答案】33【分析】代入给定的公式即可求解. 【详解】由题知， 当0=t 时，解得0P P =，当5t =时，()500110%ekP P P -=-=，解得：1ln 0.95k =-， 所以500.9t P P =， 当050%P P =时，则有：50000.950%0.5tP P P ==， 即50.90.5t=，解得：0.9lg 0.50.35log 0.55533lg 0.90.45t -==⨯=⨯≈-. 故答案为：33.四、解答题17．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()21sin sin sin cos cos αβααβ+=.(1)解关于x 的不等式2tan cos tan 0x x βαβ-+<的解集（解集用α的三角值表示）； (2)求tan β的最大值.【答案】(1)1|sin sin x x αα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】(1)根据题意2sin cos tan 1sin ααβα=+，用α的三角函数值替换β的三角函数值，从而解一元二次不等式即可； (2)利用基本不等式求解. 【详解】（1）2sin cos tan 1sin ααβα=+，∴()22sin 1sin sin 0x x ααα-++<， ()()sin 1sin 0x x αα⋅--<，因为1sin sin αα<所以1sin sin x αα<<， ∴原不等式解集1|sin sin x x αα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）222sin cos tan tan 2sin cos 2tan 1αααβααα===++当且仅当22tan 1α=即tan α=时取得等号.18．中国最早用土和石片刻制成“土主”与“日暑”两种计时工具，成为世界上最早发明计时工具的国家之一.铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”，元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了min t 会与时针重合，一天内分针和时针重合n 次.(1)建立t 关于n 的函数关系；(2)求一天内分针和时针重合的次数n .【答案】(1)72011t n =. (2)22次. 【分析】（1）计算出分针以及时针的旋转的角速度，由题意列出等式，求得答案；（2）根据时针旋转一天所需的时间，结合（1）的结果，列出不等式，求得答案. 【详解】（1）设经过min t 分针就与时针重合，n 为两针一天内重合的次数.因为分针旋转的角速度为()2ππrad/min 6030=， 时针旋转的角速度为()2ππrad/min 1260360=⨯，所以ππ2π30360t n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即72011t n =. （2）因为时针旋转一天所需的时间为24601440⨯=（min ），所以720144011n ≤，于是22≤n , 故时针与分针一天内只重合22次.19．在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，角α的终边OA 与单位圆的交点坐标为()1,02A m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ弧度．．后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y f θ=.(1)求函数()y f θ=的解析式，并求π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)若()f θ=()0,πθ∈，求4πtan 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)()7πsin 6f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，12(2) 【分析】（1）根据特殊值对应的特殊角及三角函数的定义，结合函数值的定义即可求解；（1）根据（1）的结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系及商数关系即可求解.【详解】（1）因为1sin 2α=-，且0m <，所以7π6α=，由此得()7πsin 6f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ππ7π5π1sin sin 33662f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由()f θ=知7ππsin sin 664θθ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 由于()0,πθ∈，得ππ7π,666θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，与此同时πsin 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以πcos 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭由平方关系解得：πcos 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππsin cos 4π36tan tan ππ33cos sin 36θθπθθθθ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=-=== ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．已知函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++（a 为常数）.(1)当1a =，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（参考数据：lg30.5=，lg50.7=） (2)若函数()f x 为偶函数，求()f x 在区间[]2,1--上的值域.【答案】(1)0.3 (2)999lg ,lg 11101⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)结合指数和对数运算公式计算；(2)根据偶函数的性质列方程求a ，判断函数的单调性，利用单调性求值域.【详解】（1）当1a =时，()lg 254x x f x -=-，此时1122119lg 254lg 2lg 2lg3lg510.70.3255f -⎛⎫-=-=-==-=-= ⎪⎝⎭（2）函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++的定义域为()(),00,∞-+∞，()110110lg 52lg 52lg lg 55x xx x x x x x f x a a ---+-=-++=+()lg 110lg5lg 110lg5x x x x a =--++- ()101101lg 52lg 52lg lg 22x x x x x x x xf x a a ---+=-++=+ ()lg 101lg2lg 110lg2x x x x a =--++-由偶函数的定义得恒有()()=f x f x -即：lg5lg5lg 2lg 2x x x x a a --=--也就是恒有()lg2lg5lg5lg2x x x xa -=-,所以1a =-当[]2,1x ∈--时，()()()1102lg 25lg 52lg lg 1101101x x x x x x x f x ---⎛⎫=--+==-+ ⎪++⎝⎭， 因为函数101x y =+为[]2,1--上的增函数，所以()f x 在[]2,1--单调递减，∴[]2,1x ∈--，()999lg ,lg 11101f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()f x 在[]2,1--上值域999lg ,lg 11101⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21．武汉城市圈城际铁路，实现了武汉城市圈内半小时经济圈体系.据悉一辆城际列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额Y （元）与发车时间间隔t （分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当812t ≤≤时，单程营业额Y 与60412t t-+成正比；当58t ≤≤时，单程营业额会在8t =时的基础上减少，减少的数量为()2408t -.(1)求当512t ≤≤时，单程营业额Y 关于发车间隔时间t 的函数表达式；(2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均120t 次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间[]8,12t ∈，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额R 最大？求出该最大值.【答案】(1)2151603,812406401100,58t t Y t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-≤≤⎩. (2)10t =时，max 22080R =,【分析】（1）由题意设当812t ≤≤时的函数表达式，由12t =时满载求得比例系数，进而求得当58t ≤≤时表达式，写为分段函数形式，即得答案；（2）由题意可得6012040412R t t t ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈，采用换元并结合二次函数性质,求得答案. 【详解】（1）当812t ≤≤时，设60412Y a t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，a 为比例系数， 由12t =时满载可知55042200Y =⨯=， 即6041212220012a ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则40a =， 当8a =时，6040481214608Y ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭， 故当58t ≤≤时，()221460408406401100Y t t t -+=--=-, 故2151603,812406401100,58t t Y t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-≤≤⎩. （2）由题意可得6012040412R t t t⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈， 化简得211192001531R t t ⎛⎫=-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈， 令111,,812u u t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()2192001531R u u =-++， 当312(15)10u =-=-，即10t =时，[]108,12∈符合题意，此时max 22080R =. 22．已知函数()32x a f x x =+，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，a 是常数. (1)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(2)设函数()()2log g x f x a x =-，试问，函数()g x 是否有零点，若有，求a 的取值范围；若没有，说明理由.【答案】(1)⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭(2)答案见解析【分析】（1）利用分离参数法解决函数恒成立问题，结合定义法证明函数的单调性及单调性与最值的关系即可求解；（2）根据已知条件及函数零点的定义，结合函数最值即可求解.【详解】（1）若()0f x ≥恒成立，即恒有32x a x ≥-⋅设()2x h x x =-⋅，任取121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且满足12x x <，由于1222x x <，由不等式性质可得121222x x x x -⋅>-⋅，即()()12h x h x >， 所以函数()g x 在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以()max 12h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以3a ≥a ≥；所以a 的取值范围为⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭. （2）由题意可知232log 0x a a x x +-=，即232log 0x a x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数2x y =单调递增，23log y x x =-单调递减， 所以231log ,72x x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当0a ≥时，232log 0x a x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭； 当a<0时，2312log ,,22x y a x x x ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦单调递增，2312log 7,42x y a x a a x ⎛⎫⎤=+-∈+ ⎪⎥⎝⎭⎦，70a >或1402a +<即07a <<或8a <-时，()g x 没有零点；当8a -≤≤()g x 有一个零点.综上，a >8a <-时，()g x 没有零点；当8a -≤≤()g x 有一个零点.。