高一年级上册数学期末试题

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2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}11A x x =-<，{}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围（） A ．0a ≤ B ．2a ≥ C ．2a > D ．2a ≤【答案】B【分析】根据集合间的包含关系求参数的取值范围. 【详解】由11x -<解得111x -<-<即02x <<，所以{}02A x x =<<，因为A B ⊆，所以2a ≥，故选:B.2．命题“x +∀∈R ，都有x e +∈R ”的否定是（） A ．x +∃∈R ，使得x e +∉R B ．x +∃∉R ，使得x e +∉R C ．x +∃∈R ，使得x e +∈R D ．x +∃∉R ，使得x e +∈R【答案】A【分析】全称改存在，再否定结论即可.【详解】命题“x +∀∈R ，都有x e +∈R ”的否定是“x +∃∈R ，使得x e +∉R ”. 故选：A3．已知cos140m ︒=，则tan50︒等于（）AB C D 【答案】B【分析】利用诱导公式化简，求出sin50,cos50︒︒，然后利用同角三角函数的商数关系即可求得. 【详解】()cos140cos 9050sin500m ︒=︒+︒=-︒=<，则sin50m ︒=-，cos50∴︒sin 50tan 50cos50︒∴︒==︒.故选：B.4．已知函数()tan 4(,R)f x a x a b =+∈且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =（）A ．-5B ．-3C ．3D ．随,a b 的值而定【答案】C【分析】先推导()()8f x f x +-=，再根据3lg log 10lg lg 30+=求解即可【详解】由题意，()()()tan 4tan 48f x a x a x f x =+++-+=-，又3lg10lg log 10lg lg3lg lg3lg10lg3⎛⎫+=⋅== ⎪⎝⎭，故3(lg log 10)(lg lg3)8f f +=.又3(lg log 10)5f =，故(lg lg3)853f =-= 故选：C5．已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（）A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分函数()f x 在R 上的单调递减和单调递增求解.【详解】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数，所以函数()f x 在R 上不可能是增函数，综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B6．已知m 为正实数，且22tan 15sin m x x +≥对任意的实数ππ,2x x k k ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭Z 均成立，则m 的最小值为（） A ．1B ．4C ．8D ．9【答案】D 【分析】()22222max tan 1515sin tan sin sin ≥mx m x x x x+⇒≥-，后利用同角三角函数关系及基本不等式可得答案. 【详解】由22tan 15sin m x x +≥对任意的实数ππ,2x x k k ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭Z 均成立，可得()222max 15sin tan sin m x x x ≥-.()()()22422222221cos sin 15sin tan sin 151cos 151cos cos cos x xx x x x x xx--=--=--2211716179cos cos x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+≤-=，当且仅当22116cos cos x x=，即21cos 4x =时取等号.则9m ≥.故选：D7．设sin7a =，则（）A ．222log aa a <<B ．22log 2a a a <<C ．22log 2aa a << D ．22log 2aa a <<【答案】D【分析】分别判断出21142a <<2a <211log 2a -<<-，即可得到答案. 【详解】()sin7sin 72a π==-.因为7264πππ<-<，所以12a <<所以21142a <<；因为2x y =在R 1222a =<<因为2log y x =在()0,∞+上为增函数，且12a <<2221log log log 2a <<211log 2a -<<-；所以22log 2aa a <<.故选：D8．设函数()()()cos cos f x m x n x αβ=+++，其中m ，n ，α，β为已知实常数，x ∈R ，若()π002f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则（）A ．对任意实数x ，()0f x =B ．存在实数x ，()0f x ≠C ．对任意实数x ，()0f x >D ．存在实数x ，()0f x <【答案】A【分析】根据π(0)()02f f ==，可推出cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=-=-，整理化简后可得m n =或m n =-，分类讨论，结合三角函数诱导公式化简，即可判断答案.【详解】由题意知π(0)()02f f == ，即cos cos sin sin 0m n m n αβαβ+=--= ，即cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=-=- ，两式两边平方后可得 22m n =，故m n =或m n =-，若0m n =≠ ，则cos cos sin sin αβαβ=-=-，，故π2π,Z k k αβ=++∈，此时()cos(π2π)cos()cos()cos()0f x m x k m x m x m x ββββ=++++=-++=++ ，若0m n =-≠ ，则cos cos ,sin sin αβαβ== ，故2π,Z k k αβ=+∈ ，此时()cos(2π)cos()0f x m x k m x ββ=++-+= ，若0m n == 或0m n =-= ，则()0f x = ，故对任意实数x ，()0f x =，则A 正确，B,C,D 错误，故选：A【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据已知等式化简得到m 和n 之间的关系，然后分类讨论，化简即可解决问题.二、多选题9．下列三角函数值为负数．．的是（） A ．3tan 4π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．tan505︒C ．sin7.6πD ．sin186︒【答案】BCD【分析】根据诱导公式，逐个选项进行计算，即可判断答案. 【详解】对于A ，33tan tan (1)144ππ⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭，故A 为正数；对于B ，tan505tan(360)tan145tan350145+︒︒=︒=︒=-︒<，故B 为负数；对于C ，sin7.6π2sin(80.4)sin05πππ=-=-<，故C 为负数；对于D ，sin186sin(1806)sin 60︒=︒+︒=-︒<，故D 为负数；故选：BCD10．下列计算或化简结果正确的是（） A ．若1sin cos 2θθ⋅=，cos tan 2sin θθθ+= B ．若1tan 2x =，则2sin 2cos sin x x x =- C ．若25sin 5α=，则tan 2α= D ．若α为第二象限角，则22cos sin 21sin 1cos αααα+=-- 【答案】AB【分析】利用22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==，结合三角函数在各个象限的符号，逐项进行化简、求值即得.【详解】对于A 选项：1sin cos 2θθ=，cos sin cos 1tan 2sin cos sin sin cos θθθθθθθθθ∴+=+==，故A 正确；对于B 选项：1tan 2x =，则122sin 2tan 221cos sin 1tan 12x x x x x ⨯===---，故B 正确；对于C 选项：∵α范围不确定，∴tan α的符号不确定，故C 错误；对于D 选项：α为第二象限角， sin 0,cos 0αα∴><,22cos sin cos sin cos sin =0cos sin cos sin 1sin 1cos αααααααααααα∴++=-+=--,故D 错误. 故选：AB.11．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，下列四个结论中正确的有（）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD【解析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解；当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解；对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解，所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确；对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确；对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解，所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解，所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =；（2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.12．已知函数()()211x x f x x x =->-，()()2log 11xg x x x x =->-的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（） A ．1αβ+= B ．αββα=+C ．32αβ-<-D ．2αβ->-【答案】BD【分析】先说明,11xy x x =≠-的图象关于直线y x =对称，由题意可得2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=，化简可得αββα=+，判断B;写出αβ+的表达式，利用基本不等式可判断4αβ+>，判断A;利用零点存在定理判断出322α<<，写出αβ-的表达式，由此设函数13,(2)1()12x h x x x <<-=--，根据其单调性可判断C,D . 【详解】对于函数,11xy x x =≠- ，有,11y x y y =≠-，即函数,11xy x x =≠-的图象关于直线y x =对称，由题意函数()()211x x f x x x =->-，()()2log 11x g x x x x =->-的零点分别为α，β，可知α为(),21,1x xy y x x ==>-的图象的交点的横坐标， β为()2,log ,11xy y x x x ==>-的图象的交点的横坐标，如图示，可得2(,2),(,log )A B ααββ，且,A B 关于直线y x =对称，则2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=，故1)(0ααβ--=，即αββα=+，故B 正确；由题意可知1,10αα>∴-> ，所以11(111122241)11ααααβαααα+=-+=-+-++≥-⋅≥--，由于()22221220,2f α=-≠-∴-≠=，即4αβ+>，A 错误；因为32332232123220f ⎛⎫=- ⎪⎝=-->⎭，()22202221f =-=-<-，且()()21111x f x x x =-+>-为单调减函数，故()()211x x f x x x =->-在3(,2)2上存在唯一的零点，即322α<< ，故13,(2)1112αβαααααα-=-=--<<--，设13,(2)1()12x h x x x <<-=--，则该函数为单调递增函数，故3311()122322212()h h x >=--=->--，且1(2)211()02h h x =--=-<，故3202αβ-<-<-<，故C 错误，D 正确，故选：BD【点睛】关键点点睛：解答本题要注意到函数图象的特点，即对称性的应用，解答的关键在于根据题意推得2(,2),(,log )A B ααββ，且,A B 关于直线y x =对称，从而可得2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=，然后写出αβ+以及αβ-的表达式，问题可解.三、填空题13．已知()()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πf θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---.若π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_________. 【答案】13-【分析】利用三角函数的诱导公式化简()f θ，结果为cos θ，结合π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得π1cos()63θ-=，再利用诱导公式化简5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为πcos()6θ--，即得答案.【详解】由题意()()()()π3πsin cos tan π(cos )sin (tan )22cos tan πsin π(tan )(sin )f θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===-----，由π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得π1cos()63θ-=，故5π5πππ1cos cos[π()]cos()66663f θθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：13-14．若正数a ，b 满足24log log 8a b +=，48log log 2a b +=，则82log log a b +的值为__________. 【答案】523-【分析】根据对数的运算性质列出方程组求出22log 20log 24a b =⎧⎨=-⎩即可求解.【详解】因为24log log 8a b +=，所以221log log 82a b +=，又因为48log log 2a b +=，所以2211log log 223a b +=，联立22221log log 8211log log 223a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得22log 20log 24a b =⎧⎨=-⎩，所以8222152log log log log 33a b a b +=+=-，故答案为：523-. 15．已知实数,[0,2]a b ∈，且844a b +=，则22b a -的最大值是_______________．【答案】2【分析】由已知可得22b a-=，令2a x =，构造函数()[1,4]f x x =∈，根据函数的单调性，即可求出最大值. 【详解】解：由844a b +=，可知()()()()22844222222b a b a b a b a =-=-=+-，则82222b a b a -=+，且有2b =22b a ∴-=，令2a x =，[0,2]a ∈()[1,4]f x x =∈，可知()f x 在[1,4]上单调递减，max 8()(1)24f x f ∴====，即22b a -的最大值是2，故答案为：2.16．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=，其中0P ，k 是正的常数.如果在前5h 消除了10%的污染物，那么经过_______h 污染物减少50%（精确到1h ）？取lg 0.50.3=-，lg 0.90.045=- 【答案】33【分析】代入给定的公式即可求解. 【详解】由题知，当0=t 时，解得0P P =，当5t =时，()500110%ekP P P -=-=，解得：1ln 0.95k =-，所以500.9t P P =，当050%P P =时，则有：50000.950%0.5tP P P ==，即50.90.5t=，解得：0.9lg 0.50.35log 0.55533lg 0.90.45t -==⨯=⨯≈-. 故答案为：33.四、解答题17．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()21sin sin sin cos cos αβααβ+=.(1)解关于x 的不等式2tan cos tan 0x x βαβ-+<的解集（解集用α的三角值表示）； (2)求tan β的最大值.【答案】(1)1|sin sin x x αα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】(1)根据题意2sin cos tan 1sin ααβα=+，用α的三角函数值替换β的三角函数值，从而解一元二次不等式即可； (2)利用基本不等式求解. 【详解】（1）2sin cos tan 1sin ααβα=+，∴()22sin 1sin sin 0x x ααα-++<， ()()sin 1sin 0x x αα⋅--<，因为1sin sin αα<所以1sin sin x αα<<， ∴原不等式解集1|sin sin x x αα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）222sin cos tan tan 2sin cos 2tan 1αααβααα===++当且仅当22tan 1α=即tan α=时取得等号.18．中国最早用土和石片刻制成“土主”与“日暑”两种计时工具，成为世界上最早发明计时工具的国家之一.铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”，元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了min t 会与时针重合，一天内分针和时针重合n 次.(1)建立t 关于n 的函数关系；(2)求一天内分针和时针重合的次数n .【答案】(1)72011t n =. (2)22次. 【分析】（1）计算出分针以及时针的旋转的角速度，由题意列出等式，求得答案；（2）根据时针旋转一天所需的时间，结合（1）的结果，列出不等式，求得答案. 【详解】（1）设经过min t 分针就与时针重合，n 为两针一天内重合的次数.因为分针旋转的角速度为()2ππrad/min 6030=，时针旋转的角速度为()2ππrad/min 1260360=⨯，所以ππ2π30360t n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即72011t n =. （2）因为时针旋转一天所需的时间为24601440⨯=（min ），所以720144011n ≤，于是22≤n , 故时针与分针一天内只重合22次.19．在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，角α的终边OA 与单位圆的交点坐标为()1,02A m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ弧度．．后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y f θ=.(1)求函数()y f θ=的解析式，并求π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)若()f θ=()0,πθ∈，求4πtan 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)()7πsin 6f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，12(2) 【分析】（1）根据特殊值对应的特殊角及三角函数的定义，结合函数值的定义即可求解；（1）根据（1）的结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系及商数关系即可求解.【详解】（1）因为1sin 2α=-，且0m <，所以7π6α=，由此得()7πsin 6f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ππ7π5π1sin sin 33662f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由()f θ=知7ππsin sin 664θθ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 由于()0,πθ∈，得ππ7π,666θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，与此同时πsin 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以πcos 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭由平方关系解得：πcos 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππsin cos 4π36tan tan ππ33cos sin 36θθπθθθθ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=-=== ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．已知函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++（a 为常数）.(1)当1a =，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（参考数据：lg30.5=，lg50.7=） (2)若函数()f x 为偶函数，求()f x 在区间[]2,1--上的值域.【答案】(1)0.3 (2)999lg ,lg 11101⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)结合指数和对数运算公式计算；(2)根据偶函数的性质列方程求a ，判断函数的单调性，利用单调性求值域.【详解】（1）当1a =时，()lg 254x x f x -=-，此时1122119lg 254lg 2lg 2lg3lg510.70.3255f -⎛⎫-=-=-==-=-= ⎪⎝⎭（2）函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++的定义域为()(),00,∞-+∞，()110110lg 52lg 52lg lg 55x xx x x x x x f x a a ---+-=-++=+()lg 110lg5lg 110lg5x x x x a =--++- ()101101lg 52lg 52lg lg 22x x x x x x x xf x a a ---+=-++=+ ()lg 101lg2lg 110lg2x x x x a =--++-由偶函数的定义得恒有()()=f x f x -即：lg5lg5lg 2lg 2x x x x a a --=--也就是恒有()lg2lg5lg5lg2x x x xa -=-,所以1a =-当[]2,1x ∈--时，()()()1102lg 25lg 52lg lg 1101101x x x x x x x f x ---⎛⎫=--+==-+ ⎪++⎝⎭，因为函数101x y =+为[]2,1--上的增函数，所以()f x 在[]2,1--单调递减，∴[]2,1x ∈--，()999lg ,lg 11101f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()f x 在[]2,1--上值域999lg ,lg 11101⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21．武汉城市圈城际铁路，实现了武汉城市圈内半小时经济圈体系.据悉一辆城际列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额Y （元）与发车时间间隔t （分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当812t ≤≤时，单程营业额Y 与60412t t-+成正比；当58t ≤≤时，单程营业额会在8t =时的基础上减少，减少的数量为()2408t -.(1)求当512t ≤≤时，单程营业额Y 关于发车间隔时间t 的函数表达式；(2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均120t 次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间[]8,12t ∈，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额R 最大？求出该最大值.【答案】(1)2151603,812406401100,58t t Y t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-≤≤⎩. (2)10t =时，max 22080R =,【分析】（1）由题意设当812t ≤≤时的函数表达式，由12t =时满载求得比例系数，进而求得当58t ≤≤时表达式，写为分段函数形式，即得答案；（2）由题意可得6012040412R t t t ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈，采用换元并结合二次函数性质,求得答案. 【详解】（1）当812t ≤≤时，设60412Y a t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，a 为比例系数，由12t =时满载可知55042200Y =⨯=，即6041212220012a ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则40a =，当8a =时，6040481214608Y ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，故当58t ≤≤时，()221460408406401100Y t t t -+=--=-, 故2151603,812406401100,58t t Y t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-≤≤⎩. （2）由题意可得6012040412R t t t⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈，化简得211192001531R t t ⎛⎫=-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈，令111,,812u u t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()2192001531R u u =-++，当312(15)10u =-=-，即10t =时，[]108,12∈符合题意，此时max 22080R =. 22．已知函数()32x a f x x =+，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，a 是常数. (1)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(2)设函数()()2log g x f x a x =-，试问，函数()g x 是否有零点，若有，求a 的取值范围；若没有，说明理由.【答案】(1)⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭(2)答案见解析【分析】（1）利用分离参数法解决函数恒成立问题，结合定义法证明函数的单调性及单调性与最值的关系即可求解；（2）根据已知条件及函数零点的定义，结合函数最值即可求解.【详解】（1）若()0f x ≥恒成立，即恒有32x a x ≥-⋅设()2x h x x =-⋅，任取121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且满足12x x <，由于1222x x <，由不等式性质可得121222x x x x -⋅>-⋅，即()()12h x h x >，所以函数()g x 在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以()max 12h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以3a ≥a ≥；所以a 的取值范围为⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭. （2）由题意可知232log 0x a a x x +-=，即232log 0x a x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数2x y =单调递增，23log y x x =-单调递减，所以231log ,72x x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当0a ≥时，232log 0x a x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭；当a<0时，2312log ,,22x y a x x x ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦单调递增，2312log 7,42x y a x a a x ⎛⎫⎤=+-∈+ ⎪⎥⎝⎭⎦，70a >或1402a +<即07a <<或8a <-时，()g x 没有零点；当8a -≤≤()g x 有一个零点.综上，a >8a <-时，()g x 没有零点；当8a -≤≤()g x 有一个零点.。

2022-2023学年天津市高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年天津市第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．若{}24xA x =<，{}12B x x =∈-<N ，则A B =（）A ．{}12x x -<<B ．{}0,1C ．{}1D ．{}13x x -<<【答案】B【分析】分别解指数不等式与绝对值不等式，列举法写出集合B ，再求交集可得结果. 【详解】∵242x x <⇒<，|1|213x x -<⇒-<< ∴{|2}A x x =<，{0,1,2}B = ∴{0,1}A B =. 故选：B.2．命题“x ∃∈R ，210x x ++<”的否定为（） A ．x ∃∈R ，210x x ++≥ B ．x R ∃∉，210x x ++≥ C ．x ∀∈R ，210x x ++≥ D ．x R ∀∉，210x x ++≥【答案】C【分析】将存在量词改为全程量词，结论中范围改为补集即可得解. 【详解】“x ∃∈R ，210x x ++<”的否定为“x ∀∈R ，210x x ++≥”，故选：C.3．已知3cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．35B ．45C ．35 D ．45-【答案】C【分析】利用诱导公式化简所求表达式，结合已知条件得出正确选项. 【详解】因为23sin sin cos cos 362665πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：C.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题4．已知在三角形ABC 中，1sin 3A =，则()cosBC +的值等于（）A B ．C ．D ．89【答案】C【分析】利用三角形内角和定理、诱导公式和同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】因为在三角形ABC 中，πA B C ++=，则πC B A +=-，所以()cos =cos(π)cos B C A A +-=-，又1sin 3A =，所以cos A ==所以()cos =B C +± 故选：C .5．若0.62a =，πlog 3b =，22πlog sin 3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A【分析】利用指数、对数的单调性，以及三角函数特殊值，即可得出结果. 【详解】解：0.60221a =>=， πππ0log 1log 3log π1=<<=，01b <<，2222log sin πlog log 103c ==<=，∴a b c >>，故选：A.6．要得到函数()sin(2)4f x x π=+的图象，可将函数()cos2g x x =的图象（）A ．向左平移4π个单位 B ．向左平移8π个单位 C ．向右平移4π个单位D ．向右平移8π个单位【答案】D【分析】先将cos2x 转化为sin[2()]4x π+，由此根据三角函数图像变换的知识判断出正确选项.【详解】()cos2sin(2)sin[2()]24g x x x x ππ==+=+，()sin[2()]8f x x π=+，因为()()848x x πππ+=+-，所以需要将()g x 的图象向右平移8π个单位. 故选：D【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.7．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，0πϕ≤<2，若对x ∀∈R ，()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则ϕ=（）A ．π6B ．5π6C ．7π6D ．11π6【答案】D【分析】根据题意可知，函数()()sin 2f x x ϕ=+在π3x =时取最大值，所以2ππ22π,Z 3k k ϕ⨯+=+∈，根据0πϕ≤<2即可求得ϕ的值.【详解】由函数()()sin 2f x x ϕ=+对x ∀∈R ，()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可知函数()()sin 2f x x ϕ=+在π3x =时取最大值，即ππsin 2133f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，2ππ22π,Z 3k k ϕ⨯+=+∈，即π2ππ2π2π,Z 236k k k ϕ=-+=-+∈ 又因为0πϕ≤<2，所以1k =时，π611ϕ= 故选：D 8．函数()sin 2cos x xf x x=-的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意的x ∈R ，2cos 0x ->，则函数()f x 的定义域为R ，()()()()sin sin 2cos 2cos x x x xf x f x x x---===---，则函数()f x 为偶函数，排除BC 选项，当02x π<<时，sin 0x >，则()sin 02cos x xf x x=>-，排除D 选项.故选：A.9．已知函数()()πsin 2cos 206f x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（） A ．411,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．411,36⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．513,36⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】先化简函数式，然后根据x 的范围求出π23x ω+的范围，()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，再利用正弦函数相关知识求ω的范围．【详解】πππ3π()sin(2)cos2sin 2cos cos2sin cos 2cos2)66623f x x x x x x x x ωωωωωωωω=++=++++，因为当[]0,πx ∈时，πππ2,2π333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又因为()f x 在[]0,π上有且仅有3个零点，所以π3π2π4π3ω+<，综上：43611ω<，故选：A10．已知函数()11,02lg ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在不相等的实数a ，b ，c ，d 满足()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围为（） A ．()0,+∞B ．812,10⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．612,10⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．810,10⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】将问题转化为y m =与|()|f x 图象的四个交点横坐标之和的范围，应用数形结合思想，结合对数函数的性质求目标式的范围.【详解】由题设，将问题转化为y m =与|()|f x 的图象有四个交点，1,221,20|()|2lg ,01lg ,1xx xx f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪+-<≤=⎨⎪-<≤⎪⎪>⎩，则在(,2]-∞-上递减且值域为[0,)+∞；在(2,0]-上递增且值域为(0,1]；在(0,1]上递减且值域为[0,)+∞，在(1,)+∞上递增且值域为(0,)+∞；|()|f x 的图象如下：所以01m <≤时，y m =与|()|f x 的图象有四个交点，不妨假设a b c d <<<，由图及函数性质知：142011010a b c d -≤<-<≤<≤<<≤，易知：4a b +=-，101(2,]10c d +∈，所以61(2,]10a b c d +++∈-. 故选：C二、填空题11．120318(π1)lg2lg52-⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭___________.【答案】4【分析】根据指数对数运算性质化简计算即可【详解】120318(π1)lg2lg52-⎛⎫+--++ ⎪⎝⎭()()()21313212lg 25--=+-+⨯4121=+-+ 4=故答案为：4.12．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm ，内弧线的长为20cm ，连接外弧与内弧的两端的线段均为18cm ，则该扇形的中心角的弧度数为____________．【答案】209【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为α的关系，可求得9cm OC =，进而可得该扇形的中心角的弧度数. 【详解】解：如图，依题意可得弧AB 的长为60cm ，弧CD 的长为20cm ，设扇形的中心角的弧度数为α 则,AB OA CD OC αα=⋅=⋅，则60320OA OC ==，即3OA OC =．因为18cm AC =，所以9cm OC =，所以该扇形的中心角的弧度数209CD OC α==．故答案为：209. 13．已知tan 2θ=，则2sin cos sin sin θθθθ++的值为______.【答案】2310【分析】进行切弦互化即可求值【详解】22222sin sin tan 4cos 1sin θθθθθ===-，∴24sin 5θ=，∴22sin cos 11423sin 1sin 1sin tan 2510θθθθθθ++=++=++=.故答案为：231014．函数()2sin cos f x x x =+在区间2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是______.【答案】14##0.25【分析】由题得()2cos cos 1f x x x =-++，转化为求函数()21g t t t =-++，12[]2t ∈-的最小值得解.【详解】解：()221cos cos cos cos 1f x x x x x =-+=-++，设π212cos ,[,π],[432t x x t =∈∴∈-，所以()21g t t t =-++，12[2t ∈-.二次函数抛物线的对称轴为112(1)2t =-=⨯-, 由于111112424g ⎛⎫-=--+= ⎪⎝⎭，212211124g +=-=>⎝⎭.所以函数的最小值是14.故答案为：1415．已知函数()()21ln 11f x x x=+-+，若实数a 满足()()313log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是______．【答案】1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据奇偶性定义可判断出()f x 为定义在R 上的偶函数，从而将所求不等式化为()()32log 21f a f ≤；根据复合函数单调性的判断以及单调性的性质可确定()f x 在[)0,∞+上单调递增，由偶函数性质可知()f x 在(],0-∞上单调递减，由此可得3log 1a ≤，解不等式即可求得结果. 【详解】()f x 的定义域为R ，()()()21ln 11f x x f x x-=+-=+， f x 为定义在R 上的偶函数，()()()()313333log log log log 2log f a f a f a f a f a ⎛⎫∴+=+-= ⎪⎝⎭；当0x ≥时，21y x =+单调递增，()2ln 1y x ∴=+在[)0,∞+上单调递增；又11y x=+在[)0,∞+上单调递减，f x 在[)0,∞+上单调递增，()f x 图象关于y 轴对称，f x 在(],0-∞上单调递减；则由()()32log 21f a f ≤得：3log 1a ≤，即31log 1a -≤≤，解得：133a ≤≤，即实数a 的取值范围为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16．已知关于x 函数()322253sin x tx x x tf x x t++++=+在[]2022,2022-上的最大值为M ，最小值N ，且2022+=M N ，则实数t 的值是______.【答案】1011【分析】先利用常数分离法化得函数3253sin ()x x x f x t x t ++=++，再构造函数()3253sin x x xg x x t++=+，判断得()g x 为奇函数，从而利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为()()233222253sin 53sin t x t x x x x tx x x t f x x t x t++++++++==++3253sin x x x t x t ++=++，[]2022,2022x -∈，令()3253sin x x xg x x t++=+，[]2022,2022x -∈，则()()f x g x t =+，因为()g x 定义域关于原点对称，()33225()3()sin()53sin ()()x x x x x xg x g x x t x t-+-+-----===--++，所以()g x 是在[]2022,2022-上的奇函数，故由奇函数的性质得()()max min 0g x g x +=，所以()()max min max min ()()2022M N f x f x g x t g x t +=+=+++=，所以22022t =，则1011t =. 故答案为：1011.【点睛】关键点睛：由于奇函数的图像关于原点对称，所以其最大值与最小值也关于原点对称，这一性质是解决本题的关键所在.三、解答题17．已知0,022ππαβ<<<<，且3cos ,cos()510ααβ=+=. (1)求sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求β的值.【答案】 (2)4πβ=.【分析】（1）由同角平方关系可得4sin 5α，再由二倍角正余弦公式有7cos 225α=-、24sin 225α=，最后利用和角正弦公式求值.（2）由题设可得sin()αβ+=，根据()βαβα=+-，结合差角余弦公式求出β对应三角函数值，由角的范围确定角的大小. 【详解】（1）由02πα<<，3cos 5α=，则4sin 5α，所以27cos 22cos 125αα=-=-，24sin 22sin cos 25ααα==，而17sin 22cos 2)425αααπ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭（2）由题设0αβ<+<π，而cos()αβ+=sin()10αβ+=，而cos cos[()]cos()cos 3sin (45)si 5n βαβααβααβα=+-=+++==又02βπ<<，则4πβ=.18．已知函数ππ())cos()sin(2π)(0)44f x x x x ωωωω=+⋅+-+>，且函数()f x 的最小正周期为π．(1)求函数()f x 的解析式； (2)若将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值，并指出此时x 的值．【答案】(1)()2sin(2)3f x x π=+(2)0x =时，最小值为 512x π=时，最大值为 2．【分析】（1）利用三角恒等变换可得π()2sin(2)3f x x ω=+，再由最小正周期可得解；（2）利用三角函数的图象变换可得π()2sin(2)3g x x =-，再利用整体法可得解.【详解】（1）∵函数ππ())cos()sin(2π)44f x x x x ωωω=+⋅+-+ππ)sin 22sin 22sin(2)23x x x x x ωωωωω=++=+=+的最小正周期为π，∴2ππ2ω=，解得1ω=，π()2sin(2)3f x x ∴=+. （2）将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数πππ()2sin 2()2sin(2)333g x x x ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦的图象，由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当233x ππ-=-，即当0x =时，函数()g x 取得最小值为当ππ232x -=，即当5π12x =时，函数()g x 取得最大值为 2．19．已知函数()2cos 2cos f x x x x =+. (1)求函数()f x 的周期和单调递减区间；(2)将()f x 的图象向右平移6π个单位，得到()g x 的图象，已知()02313g x =，0,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 值.【答案】(1)π，()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z(2)【分析】（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）首先根据三角函数的平移变换规则求出()g x 的解析式，根据()02313g x =，得到05sin 2613x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据同角三角函数的基本关系求出0cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，最后根据两角和的余弦公式计算可得；【详解】（1）解：∵()2cos 2cos f x x x x =+2cos 21x x =++122cos 212x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期22T ππ==，令()3222262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，解得()263k x k k ππππ+≤≤+∈Z . 故函数()y f x =的单调递减区间为()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）解：由题意可得()2sin 212sin 216666g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∵()002sin 2163231g x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，∴05sin 2613x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以052266x πππ≤-≤，则012cos 2613x π⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，因此0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦125113132=-⨯=. 20．已知函数2()1mx nf x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =．（1）求()f x 的解析式；（2）已知0a >，0b >，且128a b+=，若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，求实数t 的取值范围．【答案】（Ⅰ）22()1x f x x =+；（Ⅱ）(2⎤⎦．【解析】（1）根据题意分析可得()()0011f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解可得m 、n 的值，则可得出函数()f x 的解析式；（2）因为128a b +=，所以112282b b a a a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，展开利用基本不等式可得122b a +≥，则只需使1()2f t >，然后求解不等式即可解得实数t 的取值范围．【详解】解：（1）根据题意，函数2()1mx n f x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数，则(0)0f =，可得0n =，则2()1mx f x x =+，又由()11f =得，则12m =，可得2m =，则22()1x f x x =+．（2）因为0a >，0b >，且128a b+=，所以1121211222828282b b b a a a a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当22b a a b =，即14a =，12b =时，等号成立，若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，则1()2f t >，即22112t t >+，解得：22t <[]1,1t ∈-，所以实数t 的取值范围是(2⎤⎦．【点睛】本题主要考查根据函数奇偶性求解函数的解析式，考查基本不等式的运用，解答本题时注意以下几点：（1）当奇函数()f x 在0x =处有意义时，则有()00f =；（2）若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，只需使min ()2b f t a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，然后根据128a b +=，利用基本不等式求解2b a +的最小值．。

2022-2023学年湖北省襄阳市襄州第一高一年级上册学期期末考试数学试卷【含答案】

襄州第一高级中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学解析版一，单选题1.如图所示的时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为则4:30()0ααπ<≤( )α=A.B. C. D. 2π4π8π16π答案B 解：由图可知，. 故选B ．1284παπ=⨯=2.已知，若，则的化简结果是( )()f x =,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()sin sin f f x α--A. B. C. D.2tan α-2tan α2cos α-2cos α答案A .解：，若，()f x =,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则.()()cos cos sin sin 2tan 1sin 1sin f f x αααααα---==+=--+3.已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭(),0π-则的取值范围是（）A. B. C. D. 1710,63⎛⎤ ⎥⎝⎦1710,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭71,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭71,36⎛⎤ ⎥⎝⎦答案A 解：函数，当时,所以()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭(),0x π∈- ，因为在上恰有3条对称轴，3个对称中心，333x πππωπω-+<+<()f x (),0π-所以. 故选A.5171033263πππωπω-≤-+<-⇒<≤4.若函数的定义域为（）()f x =+()21f x -A.B. C. D. ()0,2[)(]2,00,2-⋃[]2,2-[]0,2答案C 解：由,解得，则()f x =+3010x x -≥⎧⎨+≥⎩13x -≤≤中，令 , 解得 , 则函数的定义域为()21f x -2113x -≤-≤22x -≤≤()21f x -,故选C.[]2,2-5.若函数在上有最小值（为常数）()(32log 1f x ax b x =++(),0-∞5-,a b 则函数在上（）()f x ()0,+∞A.有最大值4 B.有最大值7 C.有最大值5 D.有最小值5答案B 解：考虑函数,定义域为R,()(32log gx ax b x =++()(32log g x ax bx -=-+-，(()3322log log ax b ax b x g x =-+=--+=-所以是奇函数，()(32log g x ax b x=++函数在上有最小值-5，()(32log 1f x ax b x =+++(),0-∞则在上有最小值，()(32log g x ax b x =++(),0-∞根据奇函数的性质得：在上有最大值6，()(32log g x ax b x =++()0,+∞所以在上有最大值7.故选：B.()(32log 1f x ax b x =+++()0,+∞6.定义:正割，余割.已知为正实数，且1sec cos αα=1csc sin αα=m 对任意的实数均成立，则的最小值为22csc tan 15m x x ⋅+≥,2x x k k Z ππ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭m A.1 B.4C.8D.9答案D 解：由已知得，即．因为222sin 15sin cos m x x x +≥422sin 15sin cos x m x x ≥-，所以，则,2x k k Zππ≠+∈(]2cos 0,1x ∈()()224242222221cos sin 12cos cos 15sin 151cos 1515cos cos cos cos x x x x x x x x x x--+-=--=--422221cos 11515cos 21716cos 179cos cos x x x x x +⎛⎫=-+-=-+≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当时等号成立，故m≥9．故选：D ．21cos 4x =7.1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：、、（正割），1675年，sin tan sec 英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：、、（余割），但直到1748年，cos cot csc 经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，若1sec cos αα=1csc sin αα=，且，则( )()0,απ∈111sec csc 5αα+=tan α=A.B.A.B. C.或 D.不存在34-43-34-43-答案B 解：由，得，又,111sec csc 5αα+=1sin cos 5αα+=22sin cos 1αα+=，()0,απ∈联立解得（舍）或，∴．故选B ．3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩sin 4tan cos 3ααα==-8.已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是x 20x x m ++=()1,2m A.B. C. D. []6,2--()6,2--(][),62,-∞-⋃-+∞()(),62,-∞-⋃-+∞答案B 解：因为在上单调递增，且的图象是连续不断的，要使关于()f x ()1,2()f x 的方程在区间内有实根必有f （1）=1+1+m ＜0且f （2）x 20x x m ++=()1,2=4+2+m ＞0，解得-6＜m ＜-2．故选：B ．9.已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数．设()f x R ()1f x -()1f x -，则（）()21f -=()2f =A.-D.-B.1C.2D.-2答案A 解:因为为奇函数,所以=,所以的图象关于点(1,0)对()1f x -()1f x -()1f x --()f x 称. 因为为偶函数,所以f(-x-1)=f(x-1),即f(-1-x)=f(-1+x), 所以f(x)的图象()1f x -关于直线x=-1对称. 则有f(-2)=f(0)=-f(2)=1,即f(2)=-1. 故选A. 10.定义在上的函数满足，，且当R ()f x ()()4f x f x =-()()0f x f x +-=时，，则方程所有的根之和为（）[]0,2x ∈()3538f x x x =+()240f x x -+=A.44 B.40C.36D.32 答案A 解：因为，①所以的对称轴为x=2，因为()()4f x f x =-()f x ，②所以为奇函数，由②可得f （x ）=-f （-x ），由①可得-f （-()()0f x f x +-=()f x x ）=f （4-x ），令t=-x, 所以-f （t ）=f （4+t ），所以f （8+t ）=-f （4+t ）=-[-f （t ）]=f （t ），所以函数的周期为T=8，又当x∈[0，2]时,，作出()f x ()3538f x x x =+的函数图象如下：()f x方程所有的根为方的根，函数与函数()240f x x -+=()()142f x x =-()f x 都过点（4，0），且关于（4，0）对称，所以方程所有的()122y x =-()240f x x -+=根的和为5×8+4=44，故选：A ．根据题意可得f （x ）的对称轴为x=2，为奇函数，()f x 进而可得的周期，作出函数的图像，方程所有的根为方程()f x ()f x ()240f x x -+=的根，函数与函数都过点（4，0），且关于（4，0）()()142f x x =-()f x ()122y x =-对称，由对称性，即可得出答案．11.已知函数，则实数根的个数为( )ln ,0()1,0xx x f x e x -⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩()()22f x f x += A. B. C. D.答案A 解：作出f(x)的图象：若，则f(x)=-2或f(x)=1，由图象可知y=f(x)与y=-2没有交点，()()22f x f x +=y=f(x)与y=1有2个交点，故实数根的个数为2，故选A.()()22f x f x +=二，多选题12（多选）.已知正实数，满足，则（）,x y 450x y xy ++-=A. 的最大值为1 B. 的最小值为4xy 4x y +C. 的最小值为1 D.的最x y +()()2241x y +++小值为18答案AB 解：因为，，可得450x y xy ++-=4x y xy xy ++≥+，所以，解得，当且仅当250+-≤)510+≤01xy <≤时取等号，即的最大值为1，故A 正确；4x y =xy 因为，所以()211445444442x y x y xy x y x y x y +⎛⎫++==++⋅≤++ ⎪⎝⎭,解得, 当且仅当x=4y 时，取等号，即x+4y()()24164800x y x y +++-≥44x y +≥的最小值为4，故B 正确；由可解得，所以450x y xy ++-=941x y =-+，当且仅当取等号，即915511x y y y +=++-≥-=+911y y =++,故C 错误；,2,1y x ==-()()()()222299411211811x y y y y y ⎛⎫+++=++≥⋅+= ⎪++⎝⎭当且仅当，取等号，即故D 错误；故选：AB ．911y y =++2,1y x ==-13（多选）.下列命题正确的是( )A.第一象限的角都是锐角B.小于的角是锐角2πC. 是第三象限的角D.钝角是第二象限角2019o答案CD 解：A ．当α=390°时，位于第一象限，但α=390°不是锐角，故A 错误，B ．，但不是锐角，故B 错误， C.2019°=5×360°+219°，∵219°是第62ππα=-<α三象限角，∴2019°是第三象限的角，故C 正确， D ．因为钝角大于90°小于180°，即钝角是第二象限角，故D 正确.14（多选）.以下式子符号为正号的有（）A.B.()tan 485sin 447oo-5411sincos tan 456πππC.D.()tan188cos 55oo -2913costan 662sin3πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭答案ACD 解：A.因为是第二象限角，故tan485°<0，485360125o o o=+A,因为是第四象限角，故sin （－447°） <0，所以tan485°447720273o-=-+ sin （－447°）>0，故A 正确；B,因为是第三象限角，所以,因为是第二象限角，所以；因54π5sin 04π<45π4cos 05π<为是第四象限角所以，所以,故B 错误；116π11tan 06π<5sin 4π4cos 5π11tan 06π<C.因为是第三象限角，故，因为是第四象限角，故，188otan1880o>55o-()cos 550o ->故，故C 正确； D.因为是第二象限角，所以()tan1880cos 55oo>-295466πππ=+，因为是第四象限角，所以，因为是第29cos 06π<13266πππ-=--13tan 06π-<23π二象限角，所以，所以，故正确. 故选ACD.2sin03π>2913costan 6602sin3πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭>15.（多选）已知，，则（）()0,θπ∈1sin cos 5θθ+=A.B.C.D. ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3cos 5θ=-3tan 4θ=-7sin cos 5θθ-=答案：ABD解：∵,∴两边平方得：,，1sin cos 5θθ+=112sin cos 25θθ+⋅=12sin cos 25θθ∴=-与异号,又∵,∴θ∈，∴，∴sin θ∴cos θ()0,θπ∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭sin cos θθ>,∴，又∵，∴()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=7sin cos 5θθ-=1sin cos 5θθ+=,，故选ABD.4sin 5θ=3cos 5θ=-4tan 3θ=-16.在平面直角坐标系中，点，，xoy ()1cos ,sin P αα2cos ,sin 33P ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则下列说法正确的是（）3cos ,sin 66P ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A.线段与的长均为1 B.线段的长为11OP 3OP 23P PC.当时，点关于轴对称 D.当时，点关于轴对称3πα=12,PP y 1312πα=13,PP x 答案ACD解：由题意可得，同理可得，21OP ==31OP =故A 正确；由题意得，由勾股定理得，故B 错误；当23362P OP πππ∠=+=23P P =时，即，即，点3πα=1cos ,sin 33P ππ⎛⎫⎪⎝⎭112P ⎛ ⎝222cos ,sin 33P ππ⎛⎫⎪⎝⎭112P ⎛- ⎝关于轴对称，故C 正确；当时，，12,P P y 1312πα=31313cos ,sin 126126P ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，即3cos ,sin 1212P ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭11313cos ,sin 1212P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭1cos ,sin 1212P ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故点关于轴对称，故D 正确. 故选:ACD.13,P P x 17.函数的图象可能是（）()()af x x a R x =-∈A. B. C. D.答案ACD 解：①当a=0时,,选项A 符合；()f x x=当时0a ≠(),0,0a x x xf x a x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩②当a>0时，当x>0时，为对勾函数的一部分,()af x x x =+当x<0时,单调递减,选项B 不符合，选项D 符合，故D 有可能；()af x x x =-+③当a<0时,当x>0时单调递增, 当x<0时,()a f x x x =+()a a f x x x x x -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭其中（x ＜0）为对勾函数第三象限的一部分，()af x x x -=+则x ＜0时的图象位于第二象限, 选项C 符合；可知选项B 中图象不是()a f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭函数f(x)的图象.18（多选）.给出下列四个命题，其中正确的命题有（）A.函数的图象关于点对称tan y x =(),02k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B.函数是最小正周期为的周期函数sin y x=πC. 为第二象限的角，且，则.θcos tan θθ>sin cos θθ>D.函数的最小值为2cos sin y x x =+1-答案AD 解：对于A ：函数的图象关于点对称，故A 正确；tan y x =(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭对于B ：函数=，图象关于y 轴对称，不是周期函数，故B 错误；sin y x =sin ,0sin ,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩对于C ：由为第二象限的角,得,由,得,故tan sin θθ>cos tan θθ>sin cos θθ<C 错误;对于D ：函数当时，22215cos sin sin sin 1sin ,24y x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭sin 1x =-函数的最小值为-1，故D 正确．故选：AD ．19（多选）.一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍()f x [],a b [],ka kb k 跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”[],a b [],a b [],a b ()f x 下列结论正确的是( )A.若为的“跟随区间”，则[]1,b ()222f x x x =-+2b =B.函数存在“跟随区间”()11f x x =+C.若函数“跟随区间”，则()f x m =1,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦D.二次函数存在“3倍跟随区间”()212f x x x=-+答案AD 解：对于A ，若为的跟随区间，[]1,b ()222f x x x =-+因为在区间上单调递增, 故函数在区间的值域为()222f x x x =-+[]1,b ()f x []1,b .根据题意有，解得，因为，故21,22b b ⎡⎤-+⎣⎦222b b b -+=12b b ==或12b b >=或A 正确；对于B ，由题意，因为函数在区间上均单调递减，()11f x x =+()(),0,0,-∞+∞故若存在跟随区间，则或，()11f x x =+[],a b 0a b <<0a b <<则有，即，得，与或矛盾，1111a b b a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩11ab b ab a =+⎧⎨=+⎩a b =0a b <<0a b <<故函数不存在跟随区间，B 不正确；()11f x x =+对于C ，若函数存在跟随区间，因为为减函数，()f x m =-[],a b()f x m =故由跟随区间的定义可知 ,，b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨=-⎪⎩a b <即，()()()11a b a b a b-=+-+=-因为，易得，ab <1=01≤<≤所以，(1a m m =-=-即，同理可得，10am +-=10b m +-=转化为方程在区间上有两个不相等的实数根，20t t m --=[]0,1故，解得，故C 不正确；1400m m +>⎧⎨-≥⎩1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦对于D ，若存在“3倍跟随区间”, 则可设定义域为,值域为()212f x x x =-+[],a b, 当时,易得在区间上单调递增，[]3,3a b 1a b <≤()212f x x x =-+[],a b 此时易得a,b 为方程的两根，解得x=0或x=-4，2132x x x-+=故存在定义域[-4，0]，使得的值域为[-12,0]，故D 正确. 故选AD.()212f x x x=-+三，填空题20.已知，且，则____.答案：()1sin 533o α-=27090o o α-<<-()sin 37oα+=解：，又，所以()()()sin 37sin 9053cos 53o oo ααα⎡⎤+=--=-⎣⎦27090α-<<-,又，所以，所以14353323o α<-< ()1sin 5303o α-=>14353180o α<-< 为负值，所以。

2022-2023学年广东省深圳市(集团)高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省深圳市（集团）高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．命题：“，”的否定是（）0x ∀>2ln 20xx +>A ．，B ．，0x ∀>2ln 20xx +<0x ∀>2ln 20xx +≤C ．，D ．，0x ∃>2ln 20xx +≤0x ∃>2ln 20xx +<【答案】C【分析】根据含有一个量词的命题的否定形式，全称命题的否定是特称命题，可得答案.【详解】命题：“，”是全称命题，0x ∀>2ln 20xx +>它的否定是特称命题：，，0x ∃>2ln 20xx +≤故选：C2．已知集合，则（）{}121log ,,2,02x A y y x x B y y x ⎧⎫==>==<⎨⎬⎩⎭∣∣A B = A ．B ．102y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣{01}<<∣yy C ．D ．112yy ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣∅【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的单调性和值域求解.【详解】因为，所以，所以，12x >11221log log 12y x =<={}1A y y =<∣因为所以，且，0x <0221x y =<=20x>所以，{}1B y y =<<∣0所以.A B = {01}<<∣yy 故选:B.3．函数的图象大致是（）()()233ln x x f x x -=+A．B ．C．D．【答案】C【分析】由题可得函数为偶函数，再利用，即得.102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭【详解】∵，定义域为，()()233ln x x f x x -=+()(),00,∞-+∞ 又，()()()()()2233ln 33ln x x x x f x x x f x ---=+-==+∴函数为偶函数，故AD 错误；()()233ln x x f x x -=+又，故B 错误.211221133ln 220f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭<⎝故选：C.4．针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况，为捍卫国家主权和领土完整，维护中华民族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航台湾.已知海面上的大气压强是，大760mmHg 气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，P mmHg h m 760ehkP -=e 是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则当歼20战机巡航高度为，k 500m 700mmHg 1000m 歼战机的巡航高度为时，歼20战机所受的大气压强是歼16D 战机所受的大气压强的16D 1500m （）倍.A ．B ．C ．D ．0.670.921.091.5【答案】C【分析】根据题意分别列出指数等式即可求解.【详解】由题可知，，，10001760e k P -=15002760e kP -=则有，50012e kP P =又因为，所以，500700760e k-=500760e 1.09700k =≈故选:C.5．享有“数学王子”称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一，被称为“高斯函数”，[]y x =其中表示不超过的最大整数，例如：，设为函数[]R,x x ∈x ][][2.12,33, 1.52⎡⎤==-=-⎣⎦0x 的零点，则（）()lg 5f x x x =+-[]0x =A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】先根据零点存在定理确定出零点的位置，进而根据高斯函数的定义求得答案.【详解】因为函数在上单调递增，且，，()lg 5f x x x =+-()0,∞+()4lg 410f =-<()5lg 50f =>则存在唯一零点，使得，由高斯函数的定义可知，.()04,5x ∈()00f x =[]04x =故选：B.6．已知，则（）1sin 65πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．2325-2325725-725【答案】B【分析】利用换元法可得，结合诱导公式和二倍角的余弦公式计算即可.sin 2sin 262t ππα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】令，故，，6t πα=-1sin 5t =6tπα=-故.223sin 2sin 2cos 212sin 6225t t t ππα⎛⎫⎛⎫+=-==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B7．函数的部分图象如图所示.若，且()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭()12,0,2πx x ∈，则的值为（）()()12(0)f x f x a a ==<12x x +A ．B ．C ．D ．π32π34π38π3【答案】D【分析】根据函数的图象求出该函数的解析式，结合图象可知，点、()y f x =11ππ,66x f x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于直线对称，进而得出.22ππ,66x f x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π2x =12x x +【详解】由图象可知，，即，则，311ππ3π4632T =-=2πT =2π1T ω==此时，，()()2sin f x x ϕ=+由于，，，ππ2sin 233f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭||2ϕπ<ππ32ϕ+=所以，即.π6ϕ=()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且，12,(0,2π)x x ∈()()12(0)f x f x a a ==<由图像可知，，12323662x x +++=⨯=ππππ则.128π3x x +=故选：D.8．已知定义在上的偶函数满足，当时，单调递增，则R ()f x ()()2f x f x -=-+20x -≤≤()f x （）A ．()37π1tan 2023log 242f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()37π1tan log 2023242f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()317πlog 2023tan 224f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()317πlog tan 2023224f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【分析】由题意求出函数的周期，然后根据偶函数的性质判断出函数在[0,2]上的单调性，进而将自变量的取值转化到区间[0,2]上，利用放缩法判断出它们的大小关系，最后根据单调性求得答案.【详解】因为为偶函数，所以，()f x ()()f x f x -=又，所以，()(2)f x f x -=-+()(2)f x f x =-+所以，即是周期为4的函数，()()4f x f x =+()f x 则.(2023)(50641)(1)(1)f f f f =⨯-=-=因为，π7ππ4243<<所以，.7π1tan24<<()()3331log log 2log 22f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭30log 21<<因为为偶函数，且当时，单调递增，()f x 20x -≤≤()f x 所以当时，单调递减，故.02x ≤≤()f x 37π1tan (2023)log 242f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.二、多选题9．下列函数中是偶函数，且在上为增函数的有（）()0,∞+A ．B ．C ．D ．cos y x =3y x=24y x =+2log y x=【答案】CD【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【详解】解：对于A ，函数为偶函数，在上不单调，故A 错误；cos y x =()0,∞+对于B ，函数为奇函数，不正确；3y x =对于C ，是偶函数，且在上为增函数，正确；24y x =+()0,∞+对于D ，函数的定义域为，，函数为偶函数，当时，{|0}x x ≠()()22log log f x x x f x -=-==0x >为增函数，满足条件，2log y x=故选：CD ．10．(多选)要得到函数的图象，只要将函数的图象（）sin(23y x π=+sin y x =A ．每一点的横坐标扩大到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度23πB ．每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度126πC ．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)3π12D ．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)6π12【答案】BC【分析】分别分析先伸缩后平移和先平移后伸缩两种情况下图像的变换.【详解】（1）先伸缩后平移时：每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左12平移个单位长度，所以A 选项错误，B 选项正确．6π（2）先平移后伸缩时：向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵3π12坐标不变)，所以C 选项正确，D 选项错误．故选：BC.11．已知为锐角，角的终边上有一点，x 轴的正半轴和以坐标原点O 为圆心的θα()sin ,cos M θθ-单位圆的交点为N ，则（）A ．若，则()0,2a π∈2παθ=+B ．劣弧的长度为MN 2πθ+C ．劣弧所对的扇形的面积为是MN OMN 2αD ．sin sin 1αθ+>【答案】ABD【分析】根据题意，结合诱导公式化简整理，可判断A 的正误；根据弧长公式，可判断B 的正误；根据扇形面积公式，可判断C 的正误，根据同角三角函数的关系，可判断D 的正误，即可得答案.【详解】A ：()sin ,cos cos ,sin cos ,sin 2222ππππθθθθπθπθ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=---- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭，故，故A 正确；cos ,sin 22ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2παθ=+B ：劣弧的长度为，故B 正确；MN 1=22ππθθ⎛⎫+⨯+ ⎪⎝⎭C ：只有当时，扇形的面积为，故C 不正确；02απ<<OMN 1122S αα=⨯⨯=D ：，sin sin sin sin sin cos 2παθθθθθ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭∵为锐角，故．故D 正确.θ()222sin cos sin cos 2sin cos 1sin cos 1θθθθθθθθ+=++>⇒+>故选：ABD12．已知，则下列不等关系一定正确的是（）10a b >>>A ．B ．()log 2b ab <111a a +>+C ．D ．11a b b a->-3ln28b a ab>-【答案】ABD【分析】对，结合对数的运算性质和对数函数的单调性进行判断；A 对，根据基本不等式即可判断；B 对，取，代入计算即可判断.C 11,42b a ==对，原不等式等价于，进而构造函数，然后根据函数的单调性得D 32ln 32ln a ba b +>+2ln x y x =+到答案.【详解】对，因为，且，则，所以A log ()log log log 1b b b b ab a b a =+=+10a b >>>log log 1b b a b <=，故选项正确；log ()log 12b b ab a =+<A对，由题意，（此处等号不能成立），故选项正B 11111111a a a a +=++->-=++B 确；对，取，则，故选项错误；C 11,42b a ==1171174,22244a b b a -=-=--=-=-C 对，问题等价于，易知函数在上是D 33ln 3ln 222ln 32ln b a a b a b a b ->-⇔+>+2ln x y x =+()0,∞+增函数，而，则成立，故选项正确.30a b >>32ln 32ln a ba b +>+D 故选：.ABD 三、填空题13．__________.ln 224216log log e 39-+=【答案】1【分析】由对数换底公式以及对数恒等式、对数运算法则进行计算求得结果.【详解】.ln 224222221624231log log e log log 2log 2log 21213933342⎛⎫⎪-+=-+=⨯+=+=-+⎝=⎭故答案为：1.14．函数的图象恒过定点P ，P 在幂函数的图象上，则___________.()log 238a y x =-+()f x ()4f =【答案】64【分析】由题意可求得点，求出幂函数的解析式，从而求得.()2,8P ()f x ()4f 【详解】令，则，故点；2x =8y =()2,8P 设幂函数，()bf x x =则，28b=则；3b =故；()464f =故答案为：64.15__________.1cos80-=【答案】4-【分析】先用诱导公式转化，再对已知分式进行通分，分子化成一个三角函数，再cos8010sin =使用二倍角公式即可得到结果.【详解】.()sin sin sin 210301122041cos801010cos1sin s 22in 00--====-=故答案为：.4-四、双空题16．已知函数，则的最小正周期为__________，不等式的()()1cos cos 2f x x x =+()f x ()()12f f x >解集为__________.【答案】 2πR【分析】根据题意作出函数图象，根据函数图象即可求解.【详解】由题意可知：当时，函数；cos 0x ≥()cos f x x =当时，函数，作出函数图象，如图所示：cos 0x <()0f x=结合图形可知：函数的最小正周期为；()f x 2π令，所以，(),[0,1]f x t t =∈()()[]1cos cos cos cos1,12f t t t t =+=∈因为函数在上单调递减，所以，()f t π[0,3π1()cos1cos 32f t ≥>=则不等式的解集为，()()12f f x >R 故答案为：；.2πR 五、解答题17．已知．()()()πcos sin 2tan πf θθθθ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭=+(1)化简,并求的值;()f θπ3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)若,且,求的值．()0,πθ∈()1225f θ=-cos sin θθ-【答案】(1)()sin cos f θθθ=(2)75-【分析】(1)先根据诱导公对进行化简,再将代入进算出结果即可;()f θπ3(2)将代入可求,根据的正负及,可判断正负,从而判断θsin cos θθsin cos θθ()0,πθ∈sin ,cos θθ正负,对平方再开方,代入即可得所求.cos sin θθ-cos sin θθ-sin cos θθ【详解】（1）解:由题知()()()πcos sin 2tan πf θθθθ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭=+()sin sin tan θθθ-⋅-=,sin cos θθ=;πππsin cos 333f ⎛⎫∴=⋅=⎪⎝⎭（2）,,()1225f θ=-()0,πθ∈,且,12sin cos 25θθ∴=-sin 0,cos 0θθ><cos sin 0θθ∴-<cos sin θθ∴-===,75=-故.7cos sin 5θθ-=-18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，()A B A=R A B ⋂=∅A B A = 并求解下列问题：已知集合，若__________，求实数的取值范围.{}11123,14A x a x a B x x ⎧⎫=-≤≤+=<-⎨⎬-⎩⎭∣∣a 【答案】答案见解析【分析】根据所选的条件，①可以推出是的子集；②，两个集合没有()A B A=R A B R A B ⋂=∅公共元素；③可以推出.利用集合的交集、补集、并集的定义，对a 进行分类讨论，A B A = A B ⊆分别求解即可．【详解】解：由解得，所以，.1114x <--74x -<<()7,4B =-若选择①：，则是的子集，,()A B A=R A B R {}123A x a x a =-≤≤+∣，][(),74,B =-∞-⋃+∞R 当，即时，，满足题意；123a a ->+4a <-A =∅当时，或,解得，4a ≥-4237a a ≥-⎧⎨+≤-⎩414a a ≥-⎧⎨-≥⎩5a ≥综上可得，实数的取值范围是.a ()[),45,∞∞--⋃+若选择②：，A B ⋂=∅当时，即，即时，满足题意；A =∅123a a ->+4a <-当时，或，解得.4a ≥-4237a a ≥-⎧⎨+≤-⎩414a a ≥-⎧⎨-≥⎩5a ≥综上可知，实数的取值范围是.a ()[),45,∞∞--⋃+若选择③：，则，A B A = A B ⊆当，即时，，满足题意；123a a ->+4a <-A =∅当时，，解得；4a ≥-17234a a ->-⎧⎨+<⎩142a -≤<综上可知，实数的取值范围是.a 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭19．已知函数（且）.()()()log log a a f x x a a x =++-0a >1a ≠(1)判断函的奇偶性，并说明理由；()f x (2)若，且，求的取值范围.3a =()()1f x f x >-x 【答案】(1)偶函数，理由见解析(2)12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用奇偶性的定义直接判断；（2）先判断出函数在上的单调性，利用单调性解不等式即可.()f x [)0,3【详解】（1）函数的定义域为.()()()log log a a f x x a a x =++-(),a a -因为，所以，()()()log log a a f x x a a x -=-+++()()f x f x -=所以函数为偶函数.()f x （2）当时，定义域为，所以有：.①.3a =()()()log 3log 3a a f x x x =++-()3,3-33x -<<⋯⋯②.313x -<-<⋯⋯由①知函数为偶函数，所以可化为：.()f x ()()1f x f x >-()()1f x f x >-()()()()2333log 3log 3log 9f x x x x =++-=-因为为增函数，在上递减，3log y t =29t x =-[)0,3所以函数在上递减，所以.③.()f x [)0,31x x <-⋯由①②③解得：的取值范围为.x 12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭20．设函数（ω＞0），且图象的一个对称中心到最近2()sin cos f x x x x ωωω-()y f x =的对称轴的距离为．4π(1)求在上的单调区间；()f x [,0]2π-(2)若，且，求sin2x 0的值．03()5f x =0[0,]3x π∈【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为；[,212ππ--[,0]12π-.【分析】（1）化简得到，结合条件求出，再利用余弦函数的性质即得；()f x ()πcos 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ω（2）由题可得，，再利用差角公式即求.0π3cos 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭0π4sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】（1）∵()2sin cos f x x x x ωωω=-1cos 21sin 222x x ωω-=-，1π2sin 2cos 226x x x ωωω⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，π4又，所以，因此，0ω>2ππ424ω=⨯1ω=∴，()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，[,0]2x π∈-π5π2[,]666x π+∈-∴由，得，函数单调递增，52[,0]66x ππ+∈-[,]212x ππ∈--由，得，函数单调递减，2[0,]66x ππ+∈[,0]12x π∈-所以函数单调增区间为，单调减区间为.()f x [,]212ππ--[,0]12π-（2）∵，且， 03()5f x =0[0,]3x π∈∴，0π3cos 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又，0ππ5π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦∴，0π4sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴00001sin 2sin 22cos 266626x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.413525=-⨯=21．目前全球新冠疫情严重，核酸检测结果成为是否感染新型冠状病毒的重要依据，某核酸检测机构，为了快速及时地进行核酸检测，花费36万元购进核酸检测设备.若该设备预计从第1个月到第个月的检测费用和设备维护费用总计为万元，该设备每月检测收入为20万元.n ()*n ∈N ()25n n +(1)该设备投入使用后，从第几个月开始盈利？（即总收入减去成本及所有支出费用之差为正值）；(2)若该设备使用若干月后，处理方案有两种：①月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出；②盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.【答案】(1)第4个月开始盈利(2)方案①较为合算，理由见解析【分析】（1）求出利润表达式然后解不等式可得答案；（2）分别计算出两种方案的利润比较可得答案.【详解】（1）由题意得，即，()2203650n n n --+>215360n n -+<解得，∴.312n <<()*3n n >∈N ∴该设备从第4个月开始盈利.（2）该设备若干月后，处理方案有两种：①当月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出，.()22036536153n n n n n n --+⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭当且仅当时，取等号，月平均盈利达到最大，6n =∴方案①的利润为：（万元）.()2063636302038⨯--++=②当盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.，()222158120365153624y n n n n n n ⎛⎫=--+=-+-=--+ ⎪⎝⎭∴或时，盈利总额最大，7n =8n =∴方案②的利润为20+16=36（万元），∵38>36，∴方案①较为合算.22．已知函数，，与互为反函数．()2x f x =()245h x x x m =-+()x ϕ()f x (1)求的解析式；()x ϕ(2)若函数在区间内有最小值，求实数m 的取值范围；()()y h x ϕ=()32,2m m -+(3)若函数，关于方程有三个不同的实数解，求实()()401x g x x x ϕ⎛⎫=> ⎪+⎝⎭()()230g x a g x a ⎡⎤+++=⎣⎦数a 的取值范围．【答案】(1)()()2log 0x x x ϕ=>(2)44,53m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(3)73,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】（1）根据指数函数的反函数为同底数的对数函数，即得；（2）根据题意，利用对数函数和二次函数的性质及复合函数的单调性即可得到函数关于的不等m 式组，求解即得；（3）先利用对数函数和分式函数的单调性知识，结合复合函数的单调性得到函数g (x )的单调性和零点及图象，进而得到的图象，将方程有三个不同的实数解，()y g x =()()230g x a g x a ⎡⎤+++=⎣⎦转化为则有两个根，且一个在上，一个根为0；或有两个根，230t at a +++=()0,2230t at a +++=且一个在上，一个在上.进而利用二次方程根的分布思想分析讨论确定实数a 的取值范()0,2[)2,+∞围．【详解】（1）指数函数的反函数为同底数的对数函数，∴.()2x f x =()()2log 0x x x ϕ=>（2）函数在区间内有最小值，()()()22log 45y h x x x m ϕ==-+()32,2m m -+∴在内先减后增，且，()245h x x x m =-+()32,2m m -+()min 0h x >∴，∴．4032223(2)54045m m m h m m ⎧<<⎪-<<+⎧⎪⇒⎨⎨-=->⎩⎪>⎪⎩44,53m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）∵，∴，∴，0x >()4440,411x x x =-∈++()2g x <∵g (x )在时单调递增，且g =0,2441log x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭0x >13⎛⎫ ⎪⎝⎭∴的图象如下：()y g x =因为有三个不同的实数解，()()230g x a g x a +++=设，由的图象可得当或时对于一个确定的的值，对应一个的值，对()g x t =()y g x =0t =2t ≥t x 于的每一个确定的的值，对应两个不同的实数根.02t <<t x 则有两个根，且一个在上，一个根为0；230t at a +++=()0,2或有两个根，且一个在上，一个在上.230t at a +++=()0,2[)2,+∞①有两个根，且一个在上，一个根为0，230t at a +++=()0,2∴一个根为0，解得，此时，3a =-22330t at a t t +++=-=另一根，舍去；()30,2t =∉②有两个根，且一个在上，一个在上，230t at a +++=()0,2[)2,+∞令，()23k t t at a =+++（ⅰ）当一个根在上，一个在上，()0,2()2,+∞则∴∴.()()00,20.k k ⎧>⎪⎨<⎪⎩3,7,3a a >-⎧⎪⎨<-⎪⎩733a -<<-（ⅱ）当一个根在上，一个根为2，则，解得．()0,2()20k =73a =-此时的两根为，，满足题意．272033t t -+=()110,23t =∈22t =综上，a 的取值范围为．73,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦【点睛】本题关键难点在于（3）中，结合的图象，将已知方程有三个实数根的条件转化()y g x =为二次方程的根的分布问题（利用数形结合思想求解），易错点是有两个根，且一230t at a +++=个在上，一个在上的情况，要注意分两种情况讨论.()0,2[)2,+∞。

2021-2022学年山东省枣庄市第九中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年山东省枣庄市第九中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，，则（）{1,0,1,2}A =-{|lg(1)}B x y x ==+A B = A ．B ．C ．D ．{1,0,1,2}-{0,1,2}{1,2}{2}【答案】B【解析】求出函数的定义域确定集合，然后由交集定义计算．B 【详解】，∴.{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=>-{0,1,2}A B ⋂=故选：B ．2．命题“，”的否定是 [)x 0,∞∀∈+22x x 0-≥()A ．，B ．，[)x 0,∞∀∉+22x x 0-<[)x 0,∞∀∉+22x x 0-≥C ．，D ．，[)x 0,∞∃∈+22x x 0-<[)x 0,∞∃∈+22x x 0-≥【答案】C【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，据此可得命题“，”的否定是，，[)0,x ∞∀∈+220x x -≥[)0,x ∃∈+∞220x x -<故选C ．【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题.3．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（）．A ．B ．C ．D ．tan y x =3xy =y =3y x=【答案】D【分析】根据函数的解析式直接判断函数的奇偶性和单调性即可．【详解】对A: 它是奇函数，它在区间上递增，但在定义域上不是tan y x =(,)()22k k k Z ππππ-+∈单调函数;对B: 是非奇非偶函数；3xy =对C: y =对D:是奇函数，在定义域内是增函数．3y x =4．设则“且”是“”的,,x y R ∈2x ≥2y ≥224x y +≥A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【详解】试题分析：若x≥2且y≥2，则x 2≥4，y 2≥4，所以x 2+y 2≥8，即x 2+y 2≥4；若x 2+y 2≥4，则如（-2，-2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x 2+y 2≥4”的充分而不必要条件．故选A ．【解析】本题考查充分、必要、冲要条件．点评：本题也可以利用几何意义来做：“”表示为以原点为圆心，2为半径的圆外的点，224x y +≥包括圆周上的点，“且”表示横坐标和纵坐标都不小于2的点．显然，后者是前者的一部分，2x ≥2y ≥所以选A ．这种做法比分析中的做法更形象、更直观．5．若，，，则（）202112020a ⎛⎫= ⎪⎝⎭120202021b =20201log 2021c =A ．B ．C ．D ．a b c >>a c b >>c a b >>b a c>>【答案】D【分析】根据对数函数、指数函数的单调性比较大小即可.【详解】由函数，，的单调性可知，12020x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭2021xy =2020log y x =20211012020a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，，故.1202020211b =>20201log 02021c =<b a c >>故选：D6．函数在区间的图象大致是（）sin cos xxy x+=[]2,2ππ-A ．B ．C ．D ．【解析】判断函数非奇非偶函数，排除选项A 、B ，在计算时的函数值可排除选项D ，进而x π=-可得正确选项.【详解】因为，且，()sin cos x xf x x-+-=()()f x f x -≠-()()f x f x -≠所以既不是奇函数也不是偶函数，排除选项A 、B ，sin cos x xy x+=因为，排除选项D ，()()()sin cos 10f πππππ-+---==<-故选：C【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ､直角边AB ､AC ，已知以直角边AC ､AB 为直径的半圆的面积之比为，记，则的值为（）14ABC θ∠=sin 2cos cos sin θθθθ-+A ．-1B ．-2C ．0D ．1【答案】A【分析】由圆的面积公式及半圆面积比可得，即有，将目标式由弦化切求值即可.12AC AB =1tan 2θ=【详解】以直角边AC ，AB 为直径的半圆的面积分别为：，()221228AC AC ππ⋅⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭，()221228AB AB ππ⋅⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭由面积之比为，得：，即，14()()2214AC AB =12AC AB =在中，，则，Rt ABC 1tan tan 2AC ABC AB θ=∠==12sin 2cos tan 2211cos sin 1tan 12θθθθθθ---===-+++故选：A.8．已知函数是定义在上的偶函数，且当时， ()f x (,0)(0,)-∞+∞ 0x >()()()22,0414,42x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程解的个数为（）()1f x =A ．B ．C ．D ．46810【答案】D【分析】当时，作出函数的图象，把方程解的个数，转化为函数与0x >()f x ()1f x =()y f x =的图象交点的个数，结合图象和函数的奇偶性，得到图象交点的个数，即可求解.1y =【详解】由题意，函数当时，，0x >()()()22,0414,42x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩作出函数的图象，如图所示，()f x 又由方程解的个数，即为函数与的图象交点的个数，()1f x =()y f x =1y =当时，结合图象，两函数与的图象有5个交点，0x >()y f x =1y =又由函数为偶函数，图象关于轴对称，()y f x =y 所以当时，结合图象，两函数与的图象也有5个交点，0x <()y f x =1y =综上可得，函数与的图象有10个交点，()y f x =1y =即方程解的个数为10.()1f x =故选：D.二、多选题9．设、、为实数且，则下列不等式一定成立的是（）a b c a b >A ．B ．11a b >ln ln a b>C ．D ．()20221a b ->()()2211a c b c +>+【答案】CD【分析】取，可判断A 选项；利用对数函数的基本性质可判断B 选项；利用指数函数0a b >>的单调性可判断C 选项；利用不等式的基本性质可判断D 选项.【详解】对于A ，若，则，所以A 错误；0a b >>11a b <对于B ，函数的定义域为，而、不一定是正数，所以B 错误；ln y x =()0,∞+a b 对于C ，因为，所以，所以C 正确；0a b ->()20221a b ->对于D ，因为，所以，所以D 正确.210c +>()()2211a c b c +>+故选：CD10．设函数的图象为曲线，则下列结论中正确的是（）π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭E A ．是曲线的一个对称中心π(,0)12-E B ．若，且，则的最小值为12x x ≠12()()0f x f x ==12||x x -2πC ．将曲线向右平移个单位长度，与曲线重合sin 2y x =π3E D ．将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，与曲线重合πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12E 【答案】BD【分析】由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论.sin()y A x ωϕ=+【详解】函数的图象为曲线，π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭E 令，求得，为最小值，故的图象关于直线对称，故A 错误；12x π=-()1f x =-()f x 12x π=-若，且，则的最小值为，故B 正确；12x x ≠12()()0f x f x ==12||x x -122222T ππ=⨯=将曲线向右平移个单位长度，可得的图象，故C 错误；sin 2y x =π32sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得的图象，πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与曲线E 重合，故D 正确，故选：BD.11．已知函数，关于函数的结论正确的是（）()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩()f x A ．B ．的值域为()13f =()f x (),4-∞C ．的解集为D ．若，则()1f x <()1,1-()3f x =x 【答案】BD【分析】将代入可知A 错误；分别在和的情况下，结合一次函数和1x =()2f x x =1x ≤-12x -<<二次函数的值域求法可知B 正确；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和1x ≤-12x -<<方程求得CD 正误.【详解】对于A ，，A 错误；()2111f ==对于B ，当时，；当时，；1x ≤-()2121f x x =+≤-+=12x -<<()[)20,4f x x =∈的值域为，B 正确；()f x \(),4-∞对于C ，当时，，解得：；1x ≤-()21f x x =+<-3x <-当时，，解得：；12x -<<()21f x x =<11x -<<的解集为，C 错误；()1f x ∴<()(),31,1-∞-- 对于D ，当时，，解得：（舍）；1x ≤-()23f x x =+=1x =当时，，解得：12x -<<()23f x x ==x =x =的解为D 正确.()3f x ∴=x =故选：BD.12．已知函数，且，则（）()221xf x a =-+()113f =A ．1a =B ．为非奇非偶函数()f x C ．函数的值域为()f x ()1,1-D ．不等式的解集为()()23130f x f x -+-<4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ACD 【分析】由求得可判断A ；利用奇偶性定义可判断B ；由的范围可得的范围，()113f =a x 2121-++x可判断C ；利用的单调性可判断D.()f x 【详解】，求得，A 正确；()211213f a =-=+1a =时，，1a =()22112121x x x f x -=-=++∵，∴为奇函数，B 不正确；()()21122112x x x x f x f x -----===-++x R ∈()f x ∵，∴，∴，，20x >211x+>10121x <<+22021x --<<+∴，C 正确；211121x --<+<+，因为是上单调递增函数，是上单调递减函数，()2121x f x =-+21xy =+R 221x y =+R 所以是上单调递增函数，()2121xf x =-+R ∴，()()()()()2231303133f x f x f x f x f x -+-<⇒-<--=-∴，∴，∴解集为，D 正确.2313x x -<-2340x x +-<4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：ACD.三、填空题13．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为___________.π24π3【答案】π6【分析】由扇形的圆心角与面积求得半径再利用弧长公式即可求弧长.【详解】设扇形的半径为r ，由扇形的面积公式得：，解得，该扇形的弧长为2π1π3224r =⨯4r =.ππ4246⨯=故答案为：.π614．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么＝________.12x -【分析】从外向里一层一层的求出对数的真数，求出x 的值【详解】∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴23＝x ，∴()113222x --==＝【点睛】利用对数式与指数式的相互转化从外向里求出真数，属于基础题．15．已知（，为常实数），若，则())2021log sin 8f x a x b x =--a a ()54f -=___________.()5f =【答案】20-【分析】由得出，进而得出.()()16f x f x -+=-()()5516f f -+=-()5f【详解】，()()2021log sin 8f x a x b x ⎫-=----⎪⎭，())2021log sin 8f x a x b x -=-++-∴，∴，()()16f x f x -+=-()()5516f f -+=-∵，∴.()54f -=()520f =-故答案为：20-四、双空题16．已知正实数满足，则当__________时，的最小值是,x y 22412x y xy +=+x =121x y xy ++__________．【答案】 612【解析】利用基本不等式可知，当且仅当“”时取等号.而运用基本不等式12xy ≤122y x ==121x y xy ++后，结合二次函数的性质可知恰在时取得最小值，由此得解.122y x ==【详解】解：由题意可知：，即，当且仅当“”224124x y xy xy+=+≥=12xy ≤122y x ==时取等号，，当且仅2121112x yxy xy xy++≥=+=-∴226≥-=当“”时取等号.122y x ==故答案为：，6.12【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了配方法及二次函数的图像及性质，属于基础题.五、解答题17．已知集合，，，全集{A x y =={}260B x x x =--<{}C x x a =<U =R(1)求，；A B ⋃()U A B⋂ (2)若，求实数的取值范围．A C ⋂≠∅a 【答案】(1)；(]2,8A B =- ()()2,2U A B =- (2)()2,+∞【分析】（1）根据偶次根式被开方数大于等于零，进而解一元二次不等式分别求得集合，由并,A B 集、补集和交集的定义可得结果；（2）由可得的范围，取补集即可得到时的范围.A C ⋂=∅a A C ⋂≠∅a 【详解】（1）由得：，即；210160x x -+-≥28x ≤≤[]2,8A =由得：，即，；260x x --<23x -<<()2,3B =-(]2,8A B ∴=- ，.()(),28,U A =-∞+∞ ()()2,2U A B ∴=-（2）由题意知：；(),C a =-∞若，则，时，的取值范围为.A C ⋂=∅2a ≤A C ∴≠∅ a ()2,+∞18．已知函数（且）.()()()log 2log 2a a x x f x =+--0a >1a ≠(1)判断的奇偶性并予以证明；()f x (2)若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集.20x ax c -+≤10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x c >【答案】(1)奇函数，证明见解析(2){}20x x -<<【分析】（1）先求定义域，再由奇偶性定义证明即可；（2）根据解集得出，，再利用对数函数的单调性解不等式即可.12a =0c =【详解】（1）要使有意义，必须且，()f x 20x +>20x ->解得，所以的定义域为.22x -<<()f x ()2,2-是奇函数.()f x 证明如下：的定义域为，关于原点对称，()f x ()2,2-∵，()()()()()()log 2log 2log 2log 2a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=-⎡⎤⎣⎦∴为奇函数.()f x （2）由不等式的解集为，20x ax c -+≤10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴得，，10,210,2c a ⎧⨯=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩12a =0c =∴，得，()()()1122log 2log 20f x x x =+-->()()1122log 2log 2x x +>-∵为减函数，12log y x =∴20,20,22,x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩解得：，所以解集为.20x -<<{}20x x -<<19．已知.3sin cos αα=(1)若为锐角，求的值；αcos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)求的值.tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(2)7【分析】（1）由已知结合同角三角函数的平方关系可解得，然后由余弦的两角和可得；sin ,cos αα（2）由已知可得，由二倍角公式可得，最后由正切的两角和可得.tan αtan 2α【详解】（1）由，为锐角223sin cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩α解得sin αcos α=∴cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos cos sin sin 33ππαα=-12==（2）由3sin cos αα=得1tan 3α=则22122tan α33tan2α1tan α4113⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭31πtan2α14tan 2α7341tan2α14++⎛⎫∴+=== ⎪-⎝⎭-20．目前全球新冠疫情严重，核酸检测结果成为是否感染新型冠状病毒的重要依据，某核酸检测机构，为了快速及时地进行核酸检测，花费36万元购进核酸检测设备.若该设备预计从第1个月到第个月的检测费用和设备维护费用总计为万元，该设备每月检测收入为20万元.n ()*n ∈N ()25n n +(1)该设备投入使用后，从第几个月开始盈利？（即总收入减去成本及所有支出费用之差为正值）；(2)若该设备使用若干月后，处理方案有两种：①月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出；②盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.【答案】(1)第4个月开始盈利(2)方案①较为合算，理由见解析【分析】（1）求出利润表达式然后解不等式可得答案；（2）分别计算出两种方案的利润比较可得答案.【详解】（1）由题意得，即，()2203650n n n --+>215360n n -+<解得，∴.312n <<()*3n n >∈N ∴该设备从第4个月开始盈利.（2）该设备若干月后，处理方案有两种：①当月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出，.()22036536153n n n n n n --+⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭当且仅当时，取等号，月平均盈利达到最大，6n =∴方案①的利润为：（万元）.()2063636302038⨯--++=②当盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.，()222158120365153624y n n n n n n ⎛⎫=--+=-+-=--+ ⎪⎝⎭∴或时，盈利总额最大，7n =8n =∴方案②的利润为20+16=36（万元），∵38>36，∴方案①较为合算.21．已知函数的图像向右平移个单位长度得到的图像， ()()2sin 0,22x f x ωϕωπϕ=≥<⎛⎫+ ⎪⎝⎭6π()g x 图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是.()g x ()f x 2π（1）求在上的增区间;()f x []0,π（2）若在上有两解，求实数的取值范围.()230f x m -=+0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦m【答案】（1）；（2）.70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12⎛ ⎝【解析】（1）由的相邻两条对称轴的距离是，可得函数的周期，从而得出的值，由平移()f x 2πω得出的解析式，根据图像关于原点对称，可求出的值，从而可求单调增区间,得出()g x ()g x ϕ()f x 答案.（2）令则，则，根据有两解，即23t x π=+4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[2s n 2]i t ∈()230f x m -=+有两解，从而可得答案.2sin 32t m =-【详解】解:由的相邻两条对称轴的距离是，则，()f x 2π22T ππω==1,ω∴=()()2sin 2f x x ϕ∴=+()2sin 2sin 2326x g x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎛⎫==-+ ⎪⎝⎥⎝⎣⎦⎭⎭函数的图像关于原点对称，， ()g x 3k πϕπ-+= ,2πϕ< 所以3πϕ=()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭（1）由， 222232k x k πππππ-≤+≤+Z k ∈得，51212k x k ππππ-≤≤+Z k ∈令得0k =51212x ππ-≤≤得1k =7131212x ππ≤≤在增区间是()f x \[]0,π70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦令，则()223t x π=+0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 4,33t ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦所以[2s n 2]i t ∈若有两解，即在上有两解，()230f x m -=+2sin 32t m =-4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由，即2sin y t =322m ≤-<123m <≤12m ∴<≤的取值范围是m ∴12⎛ ⎝【点睛】关键点睛：本题考查求正弦型函数的单调增区间和根据方程的解个数求参数的范围问题，解答本题的关键是设，由则所以若23t x π=+0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[2s n 2]i t ∈有两解，即在上有两解，然后数形结合求解，属于中档()230f x m -=+2sin 32t m =-4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦题.22．对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”．()f x ()f x ()f x （1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由；()|cos |f x x =（2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数的取值范围；2()log (sin )1f x x m =++[,]33ππ-m （3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由．22()4243x x f x m m +=-+- R【答案】（1）是“伪奇函数”，理由见解析；（2；（3）答案见解析.1m <≤【分析】（1）由“伪奇函数”的定义判断即可；（2）由题意可知，，22log (sin )1log (sin )10x m x m +++-++=即在有解，结合三角函数的性质即可求解；221sin 4m x -=[,]33ππ-（3）由题意可知，在上有解，2444(22)860x x x x m m --+-++-=R 令，则，从而在有解，22x x t -=+22,442x x t t -≥+=-224880t mt m -+-=[2,)+∞再分类讨论即可得出结果【详解】（1），()0()22f f ππ-==．((022f f ππ∴-+=是“伪奇函数”．()|cos |f x x ∴=（2）为“伪奇函数”，()f x ，()()0f x f x ∴+-=即，22log (sin )1log (sin )10x m x m +++-++=即在有解．221sin 4m x -=[,]33ππ-，sin [x ∈ ．2211sin [,1]44m x ∴=+∈又在恒成立，sin 0m x +> [,33ππ-max (sin )m x ∴>-=．1m <≤（3）当为定义域上的“伪奇函数”时，22()4243x x f x m m +=-+- R 则在上有解，()()f x f x -=-R 可化为在上有解，2444(22)860x x x x m m --+-++-=R 令，则，22x x t -=+22,442x x t t -≥+=-从而在有解，224880t mt m -+-=[2,)+∞即可保证为“伪奇函数”，()f x 令，22()488F t t mt m =-+-则当时，在有解，①(2)0F ≤224880t mt m -+-=[2,)+∞即，22210m m --≤m ≤≤当时，在有解等价于②(2)0F >224880t mt m -+-=[2,)+∞22164(88)0,22,(2)0,m m m F ⎧∆=--≥⎪>⎨⎪>⎩m <时，为定义域上的“伪奇函数”，否则不是．m ≤≤22()4243x x f x m m +=-+- R。

2022-2023学年山东省青岛市青岛高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省青岛市青岛高一上学期期末数学试题一、单选题1．下列能正确表示集合和关系的是（）{}1,0,1M =-{}220N x x x =+=A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出集合N ，再求出即可得答案.M N ⋂【详解】解：，{}{}2202,0N x x x =+==-故，{}0M N = 故选：A 2．若，是第二象限的角，则的值等于（）4sin 5α=αtan αA ．B ．C ．D ．433443-34-【答案】C【分析】先求得，然后求得.cos αtan α【详解】由于，是第二象限的角，4sin 5α=α所以，3cos 5α==-所以.sin tan s 43co ααα==-故选：C3．半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】根据题中条件，由扇形的面积公式，可直接得出结果【详解】半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是（其中为扇形所22111121222S lr r α===⨯⨯=l 对应的弧长，为半径，为扇形所对应的圆心角）.r α故选：A.4．已知，，，则，，的大小关系是（）21log 2a =212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭122c =a b c A ．B ．b c a <<<<b a c C ．D ． a c b << a b c<<【答案】C【解析】根据对数函数与指数函数的性质，分别判断，，的范围，即可得出结果.a b c 【详解】因为，，，221log log 102a=<=221242b -⎛⎫=== ⎪⎝⎭12124c <==<所以. a c b <<故选：C.5．已知函数，满足对任意的实数都有成立，则实数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩12x x ≠1212()()0f x f x x x -<-的取值范围为（）a A ．B ．C ．D ．(),2∞-13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(],2∞-13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】本题先判断函数是定义在上的减函数，再运用分段函数的单调性求参数范围即可.R 【详解】因为函数满足对任意的，都有成立，()f x 12x x ≠()()12120f x f x x x -<-所以函数是定义在上的减函数，()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩R所以，解得，所以220112(2)2a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≥- ⎪⎪⎝⎭⎩2138a a <⎧⎪⎨≥⎪⎩13,8a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∈故选：B【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数范围，关键点是数形结合.6．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：，其中K 为最大确诊0.23(53)()=1e t I Kt --+病例数．当I ()=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）（ln19≈3）*t *t A ．60B ．63C ．66D ．69【答案】C【分析】将代入函数结合求得即可得解.t t *=()()0.23531t K I t e--=+()0.95I t K*=t *【详解】，所以，则，()()0.23531t KI t e --=+ ()()0.23530.951t K I t Ke**--==+()0.235319t e*-=所以，，解得.()0.2353ln193t *-=≈353660.23t *≈+≈故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.7．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（）2y ax bx =+(0)bay x x =>A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.【详解】对于A ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即2y ax bx =+0a >bx 02a =->0b a <幂函数为减函数，符合题意；(0)b ay x x =>对于B ，二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+a<0bx 02a =->0b a <为减函数，不符合题意；(0)b ay x x =>对于C ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+0a >12b x a =-=-2b a =为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；(0)bay x x =>对于D ，二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函2y ax bx =+a<0122b x a =->-01b a <<数为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；(0)bay x x =>故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.8．已知函数只有一个零点，不等式的解集为，则的2y x bx c =-++20x bx c m -++->()00,2x x +m 值为（）A ．B ．C ．D ．14-2-1-【答案】C【分析】根据函数只有一个零点可得，又不等式的2y x bx c =-++240b c ∆=+=20x bx c m -++->解集为，转化为一元二次方程的根问题，结合一元二次方程方程的根与系数的关系最终()00,2x x +可得，联合即可得的值.2444b c m +-=m 【详解】解：函数只有一个零点，则，2y x bx c =-++240b c ∆=+=不等式的解集为，即的解集为.20x bx c m -++->()00,2x x +20x bx c m --+<()00,2x x +设方程的两根为，则，且，20x bx c m --+=12,x x 1212,x x b x x c m +=⋅=-+212x x -=∴，则，整理得，.22212112()()44x x x x x x -=+-=24()4b c m --+=2444b c m +-=1m ∴=-故选：C.二、多选题9．已知幂函数的图象过点，则（）()2()22mf x m m x =--1(2,2A ．()3f x x =B ．()1f x x -=C ．函数在上为减函数()f x (,0)-∞D ．函数在上为增函数()f x (0,)+∞【答案】BC【分析】根据幂函数的定义以及图象过点可得，故选项A 错误、故选项B 正确.根1(2,2()1f x x -=据幂函数的单调性可判断C 正确、D 错误.()1f x x -=【详解】∵为幂函数，∴，即，()2()22mf x m m x =--2221m m --=2230m m --=∴或，3m =1m =-当时，，此时，函数图象不过点，故，故选项A 错误：3m =()3f x x =(2)8f =1(2,2()3f x x ≠当时，，此时，函数图象过点，故，故选项B 正确；1m =-()1f x x -=1(2)2f =1(2,2()1f x x -=因为幂函数在上为减函数，故选项C 正确；()1f x x -=(,0)-∞因为幂函数在上为减函数，故选项D 错误.()1f x x -=(0,)+∞故选：BC10．下列各式的值等于1的有（）A ．B ．()22sin cos x x-+5πsin 2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．D ．()cos 5π-()πcos 2sin 3παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+【答案】AD【分析】根据同角平方关系可判断A ，根据诱导公式可判断BCD.【详解】，选项A 正确；()2222sin cos sin cos 1x x x x -+=+=，选项B 错误；5π3π3πsin sin 4π+sin 1222⎛⎫⎛⎫-=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选项C 错误：()()cos 5πcos 6π+πcos π1-=-==-，选项D 正确，()πcos sin 21sin 3πsin αααα⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==-+-故选:AD11．定义在R 上的函数满足：对任意的，有，集合A()f x 12x x ≠()()()1212012f x f x f x x -<=-，}，若“”是“”的充分不必要条件，则集合B 可以是（）(){20x x f x =-x A ∈x B ∈A ．B ．{}|0x x <{}|1x x <C ．D ．{}|2x x <{}|3x x <【答案】CD【分析】可先判断出函数在R 上单调递减，结合图象即可得，再由“”是()f x {}|1A x x =<x A ∈“x ∈B ”的充分不必要条件，对应集合是集合的真子集即可求解.A B 【详解】依题意得，函数在R 上单调递减，且图象过点()f x ()1,2()()202x xf x f x ->⇔>在同一坐标系下画出函数与的图象，()y f x =2xy =由图易知不等式的解集为，即，()20x f x ->{}|1x x <{}|1A x x =<因为“”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集．x A ∈A B 可以取满足集合是集合的真子集．{}{}|2,|3B x x B x x =<=<A B 故选：CD.12．若函数对，，不等式成立，则称在()f x ()12,1,x x ∀∈+∞()12x x ≠()()1222121f x f x x x -<-()f x 上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（）()1,+∞A ．B ．()21f x x =-+()221f x x x =++C ．D ．()22log f x x x =-()22f x x x x=-+【答案】ACD【解析】令，题中条件转化为判断在上是减函数，再逐项构造函数，进2()()g x f x x =-()g x (1,)+∞行判断即可．【详解】若函数满足对，，当时，不等式恒成立，()f x 1x ∀2(1,)x ∈+∞12x x ≠122212()()1f x f x x x -<-则，2211221222121212()()()()10()()f x x f x x f x f x x x x x x x ⎡⎤⎣⎡⎤----⎣⎦⎦-=<--+令，因为，则，，且恒成立，2()()g x f x x =-122x x +>1212()()0g x g x x x -<-1x ∀2(1,)x ∈+∞12x x ≠在上是减函数，2()()g x f x x ∴=-(1,)+∞对于A 选项，，则，对称轴是，开口向下，所以()21f x x =-+22()()12g x f x x x x =--=-+=1x -在递减，故A 正确；()g x (1,)+∞对于B 选项，，则在上单调递增，故B 错；()221f x x x =++2()()21g x f x x x =-=+(1,)+∞对于C 选项，，则在上显然单调递减，故C 正确；()22log f x x x=-22()()log g x f x x x =--=(1,)+∞对于D 选项，，则，因为与在都是减函()22f x x x x =-+22()()g x f x x x x =-=-+y x =-2y x =(1,)+∞数，所以在递减，故D 正确；()g x (1,)+∞故选：ACD【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于将恒成立转化为新函数满足122212()()1f x f x x x -<-2()()g x f x x =-上恒成立，根据单调性的定义，判断新函数的单调性，即可求解.()()1212g x g x x x -<-三、填空题13．若sinα＜0 且tanα＞0，则α是第___________象限角．【答案】第三象限角【详解】试题分析：当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0 且tanα＞0，则α是第三象限角．【解析】三角函数值的象限符号.14．已知幂函数的图象经过点，则___________．()y f x =(2,4)(2)f -=【答案】4【分析】由幂函数图象所过点求出幂函数解析式，然后计算函数值．【详解】设，则，，即，()af x x =24a=2a =2()f x x =所以．(2)4f -=故答案为：415．十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，则log ba a Nb N =⇔=3log 6a =236b =______________.123ab a b ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭【答案】【解析】由题，分别化简的值代入即可.22log 362log 6b ==12,3ab a b +【详解】因为，所以，236b=22log 362log 6b ==所以，66321212log 3log 21log 62log 6a b +=+=+=3332ln 6ln3log 6ln 22ln 611log 2log 22log 62ln3ln 22233333332a b=====⨯==所以.1231aba b ⎛⎫+⨯=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：【点睛】本题考查对数的运算，熟练掌握换底公式、对数运算公式是解决问题的关键.16．设函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则()y f x =[]1,1-()f x []0,1(1)()f a f a -<实数的取值范围是_______．a 【答案】1[0,)2【详解】∵函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若()y f x =[]1,1-()f x []0,1，()()1f a f a -<∴，解得：，111111a a a a ⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪->⎩021112a a a ⎧⎪≤≤⎪-≤≤⎨⎪⎪<⎩10a 2≤<故答案为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题17．求值：(1)22log 33582lg 2lg 22+--(2)25π10π13πsincos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】(1)6(2)0【分析】(1)根据指数运算公式和对数运算公式求解即可；(2)根据诱导公式化简求值即可.【详解】（1）22log 33582lg 2lg 22+--()()2lo 23g 3322lg 5lg 22lg 2=+---223lg 5lg 22lg 2=+-+-7(lg 5lg 2)=-+71=-；6=（2）25π10π13πsincos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭πππsin 4πcos 3πtan 3π634⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππsin cos tan634=+-11122=+-．0=18．已知全集，集合，集合.U =R {}2120A x x x =--≤{}11B x m x m =-≤≤+(1)当时，求；4m =()U A B ⋃ (2)若，求实数的取值范围.()U B A ⊆ m 【答案】(1)或；{4x x ≤5}x >(2)或.4m <-5m >【分析】（1）确定集合A ，B ，求出集合B 的补集，根据集合的并集运算，即可求得答案.（2）求出集合A 的补集，根据，列出相应不等式，求得答案.()U B A ⊆ 【详解】（1）集合，{}{}212034A x x x x x =--≤=-≤≤当时，，则或，4m ={}35B x x =≤≤{3U B x x =< 5}x >故或；()U A B = {4x x ≤5}x >（2）由题意可知或，,{3U A x x =<- 4}x >{}11B x m x m =-≤≤+≠∅由，则或，U B A ⊆ 13m +<-14m ->解得或.4m <-5m >19．已知函数，()2f x x x =-（1）判断的奇偶性；()f x （2）用定义证明在上为减函数.()f x ()0,∞+【答案】(1)奇函数；(2)证明见解析.【详解】试题分析：(1)首先确定函数的定义域关于坐标原点对称，然后利用可说明是奇()()f x f x -=-()f x函数.(2)利用函数单调性的定义设设是上的任意两数，且，讨论12,x x ()0,+∞12x x <的符号即可证明函数在上为减函数.()()12f x f x -()f x()0,+∞试题解析：（1）函数的定义域为，()2f x x x =-{|0}x x ≠又()()22f x x x f x x x ⎛⎫-=+=--=- ⎪-⎝⎭∴是奇函数.()f x （2）证明：设是上的任意两数，且，12,x x ()0,+∞12x x <则 ()()12f x f x -=121222x x x x --+()()2121122x x x x x x -=+-()211221x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵且，120,0x x >>12x x <∴()2112210x x x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭即.()()12f x f x >∴在上为减函数.()f x ()0,+∞点睛：判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．20．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位xOy Ox αβ圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为，.3545（1）求的值；sin α（2）求.αβ+【答案】（1）；（2）.352π【解析】（1）由三角函数的定义即可求解；（2）由三角函数的定义分别求出、、的值，再计算的值即可出cos αsin βcos β()cos αβ+的值.αβ+【详解】（1）因为点的为角终边与单位圆的交点，且纵坐标为，P α35将代入，因为是锐角，，所以， 35y =221x y +=α0x >45x =43,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭由三角函数的定义可得：，3sin 5α=（2）由，是锐角，可得，3sin 5α=α4cos 5α=因为锐角的终边与单位圆相交于Q 点，且纵坐标为，β45将代入，因为是锐角，，可得， 45y =221x y +=β0x >35x =34,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，4sin 5β=3cos 5β=所以，()4334cos cos cos sin sin 05555αβαβαβ+=-=⨯-⨯=因为，，所以，02πα<<02βπ<<0αβ<+<π所以.2παβ+=21．设函数，若实数使得对任意恒成立，求()sin 1f x x x =+,,a b c ()()1af x bf x c +-=x ∈R 的值.cos b ca 【答案】1-【分析】整理得，，()1sin 12sin 12sin 123f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则可整理得，()()1af x bf x c +-=，据此，列出方程组，()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解方程组，可得答案.22cos 02sinc 010a b c b a b +=⎧⎪=⎨⎪--=⎩【详解】解：，()1sin 12sin 12sin 123f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()()2sin 12sin 1133af x bf x c a x b x c ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+-=++++-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦即，2sin 2sin 133a x b x c a bππ⎛⎫⎛⎫+++-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，2sin 2sin cos 2cos sin 1333a x b x c b x c a bπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为：，()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭依题意，对任意恒成立，()22cos sin 2sin cos 133a b c x b c x a b ππ⎛⎫⎛⎫++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∈R ，22cos 02sinc 010a b c b a b +=⎧⎪∴=⎨⎪--=⎩由得：，22cos 0a b c +=cos 1b ca =-故答案为：1-22．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使()y f x =1x 2x成立，则称该函数为“依赖函数”.()()121f x f x =（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；()sin g x x=（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；()12x f x -=[](),0m n m >mn （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，()()243h x x a a ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.t R ∈()()24h x t s t x ≥-+-+s 【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析；（2）；（3）最大值为.()0,14112【解析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；（2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据的范()()1f m f n =2m n +=0n m >>01m <<m 围即可求出的取值范围；mn （3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求443a ≤≤4a >()f x 4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到a 2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭0∆≤，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭53239y x x =+4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦s 最大值.【详解】（1）对于函数的定义域内存在，则无解，()sin g x x=R 16x π=()22g x =故不是“依赖函数”.()sin g x x=（2）因为在上递增，故，即，，()12x f x -=[],m n ()() 1f m f n =11221m n --=2m n +=由，故，得，0n m >>20n m m =->>01m <<从而在上单调递增，故.()2mn m m =-()0,1m ∈()0,1mn ∈（3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；443a ≤≤()()2h x x a =-4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦2x ②若，故在上单调递减，4a >()()2h x x a =-4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦从而，解得(舍)或，()4413h h ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭1a =133a =从而存在.使得对任意的，有不等式都成立，4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t R ∈()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭即恒成立，2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭由，得.22261334039x x s x ⎡⎤⎛⎫∆=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2532926433s x x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭由，可得，4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦265324339s x x ⎛⎫+≤+⎪⎝⎭又在单调递减，故当时，，53239y x x =+4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦43x =max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭从而，解得，26145433s ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭4112s ≤综上，故实数的最大值为.s 4112【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；()a f x ≥()maxa f x ≥()a f x ≤()mina f x ≤② 数形结合( 图象在上方即可)；()y f x =()y g x =③ 讨论最值或恒成立.()min 0f x ≥()max 0f x ≤。

2022-2023学年广东省汕尾市高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省汕尾市高一上学期期末数学试题一、单选题1．命题“”的否定是（）2,10x R x x ∀∈-+>A ．B ．2,10x R x x ∃∈-+<2,10x R x x ∃∈-+≤C ．D ．2,10x R x x ∀∈-+<2,10x R x x ∀∈-+≤【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题【详解】命题“”的否定是“”.2,10x R x x ∀∈-+>2,10x R x x ∃∈-+≤故选：B 2．集合，集合，则（）{}3,2,1,0,1,2A =---{22}B xx =-<<∣A B = A ．B ．C ．D ．{}1,0,1-{}0,1,2{}0,1∅【答案】A【分析】根据交集运算法则即可得出结果.【详解】由题意可知，中的元素需满足且，A B ⋂x A ∈x B ∈所以.A B = {}1,0,1-故选：A 3．函数的零点所在区间（）()34x f x =-A ．B ．C ．D ．()1,0-()1,2()2,3()0,1【答案】B【分析】利用零点存在性定理进行判断．【详解】因为，且是增函数，()34xf x =-所以（1），（2），f 3410=-=-<f 23450=-=>，()()120f f <所以根据零点存在性定理可知，函数的零点在区间内，()34xf x =-(1,2)故选：B ．4．已知角的终边经过点，且，则α(,6)P m -4cos 5α=-m =A ．8B ．C ．4D ．8-4-【答案】B，即可求解，得到答案.45=-【详解】由题意，可得||r OP ===根据三角函数的定义，可得且，解得.4cos 5α==-0m <8m =-故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花.”请根据函数的概念判断：下列对应是集合到集合的函数的是（）{}1,2,4M =-{}1,2,4,16N =A ．B ．C ．D ．2x x →2x x →+2x x→2xx →【答案】C【分析】根据各选项中的函数，求出对应的函数的值域，结合可得出合适的选项.E E N ⊆【详解】对于A 选项，按照对应的，函数的值域为，A 选项错误；2x x →{}2,4,8E N=-⊄对于B 选项，按照对应的，函数的值域为，B 选项错误；2x x →+{}1,4,6E N=⊄对于C 选项，按照对应的，函数的值域为，C 选项正确；2x x →{}1,4,16E N=⊆对于D 选项，按照对应的，函数的值域为，D 选项错误.2xx →1,4,162E N ⎧⎫=⊄⎨⎬⎩⎭故选：C.6．已知，则函数的图像必定不经过（）01,1a b <<<-xy a b =+A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.【详解】因为，故的图象经过第一象限和第二象限，01a <<xy a =且当越来越大时，图象与轴无限接近.x x 因为，故的图象向下平移超过一个单位，故的图象不过第一象限.1b <-x y a =xy a b =+故选：A ．7．1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数.若，则的值约为（）25,lg20.3010x =≈x A ．B ．C ．D ．0.4310.430 2.323 2.322【答案】D【分析】利用指数与对数的互化，结合对数换底公式化简求值即可．【详解】，25,lg20.3010x=≈ 2lg 51lg 210.3010log 5 2.322lg 2lg 20.3010x --∴===≈≈故选：D8．若存在正实数，使得等式和不等式都成立，则实数的取值范围为,x y 141x y +=234y x m m+<-m （）A ．B ．C ．D ．41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭()4,1,3∞∞⎛⎫--⋃+⎪⎝⎭4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭()4,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】先根据基本不等式求得，再由存在性问题可得，运算求解即可.44y x +≥234m m ->【详解】∵为正实数，则，,xy 441442244y x x y x y y y x x ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立，44y xxy =48y x ==若存在正实数，使得不等式成立，则，解得或，,x y 234y x m m +<-234m m ->43m >1m <-故实数的取值范围为.m ()4,1,3∞∞⎛⎫--⋃+⎪⎝⎭故选：B.【点睛】结论点睛：，使得，等价于；x M ∃∈()f x a ≥()max f x a ⎡⎤≥⎣⎦，使得，等价于.x M ∃∈()f x a ≤()min f x a ⎡⎤≤⎣⎦二、多选题9．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（）()0,∞+A ．B ．12y x =2y x=C ．D ．lg y x=cos y x=【答案】BC【分析】A 选项，由定义域不关于原点对称，得到A 错误；D 选项，可举出单调递减区间，()0,πD 错误；BC 选项，根据函数奇偶性定义判断出为偶函数，且直接由解析式判断出在上的单()0,∞+调性.【详解】的定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，A 错误；12y x =[)0,∞+12y x =定义域为R ，且，故为偶函数，()2f x x =()()()22f x x x f x -=-==()2f x x =且开口向上，对称轴为轴，在上单调递增，B 正确；()2f x x =y ()0,∞+定义域为，且，故为偶函数，()lg g x x=()(),00,∞-+∞ ()()lg lg g x x x g x -=-==()lg g x x =又当时，单调递增，C 正确；0x >()lg g x x=在上单调递减，不满足在区间上单调递增，D 错误.cos y x =()0,π()0,∞+故选：BC10．已知函数，下列选项中正确的是（）()π2sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭A ．的最小正周期为B ．的最大值为2()f x π()f x C ．为奇函数D ．在上单调递减()f x ()f x 3π7π,88⎛⎫⎪⎝⎭【答案】AD【分析】利用正弦函数周期公式和三角函数值域可判断AB ；根据函数奇偶性定义可判断不是()f x 奇函数，可得C 错误；利用整体代换和正弦型三角函数单调性可得D 正确.【详解】根据周期公式可得的最小正周期为，所以A 正确；()f x 2ππ2T ==易知当时，有最大值为3，故B 错误；πsin 214x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x 根据函数解析式可得，所以不是奇函数，()ππ2sin 212sin 21()44f x x x f x ⎛⎫⎛⎫-=--+=-++≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 即C 错误；当时，，根据正弦函数单调性可知在上单调递减，所3π7π,88x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭322πππ,42x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭()f x 3π7π,88⎛⎫ ⎪⎝⎭以D 正确.故选：AD11．下列各式比较大小，正确的是（）A ．1.72.5＞1.73B ．24331()22->C ．1.70.3＞0.93.1D ．233423()()34>【答案】BC【分析】A 、B 选项利用指数函数的单调性进行比较；C 选项利用中间值1比大小；D 选项利用指数函数和幂函数的单调性比较．【详解】解：对于选项A ：∵函数y ＝1.7x 在R 上单调递增，且2.5＜3，∴1.72.5＜1.73，故选项A 错误，对于选项B ：＝，231()2232-∵函数y ＝2x 在R 上单调递增，且，2433->-∴＝，故选项B 正确，231()2243322-->对于选项C ：∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1，故选项C 正确，对于选项D ：∵函数y ＝在R 上单调递减，且，2()3x 3243>∴，233422()()33<又∵函数y ＝在（0，+∞）上单调递增，且，23x 2334<∴，223323()()34<∴＜，故选项D 错误，233422()()33<233()4故选：BC ．12．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，R ()f x x ∀∈R ；②，当时，；③.则下列选项成()()f x f x -=()12,0,x x ∀∈+∞12x x ≠()()12120f x f x x x -<-()10f -=立的是（）A ．()()34f f >B ．若，则或()()12f m f -<1m <-3m >C ．若，则()0xf x >()1,1x ∈-D ．，使得R m ∃∈()f x m≤【答案】ABD【分析】根据奇偶性、单调性定义易知偶函数在上单调递减，在上单调递()f x (0,)+∞(,0)-∞()f x 增，且，进而逐项分析各项的正误．()(1)10f f -==【详解】由①，，得为偶函数，R x ∀∈()()f x f x -=()f x ②，，当时，都有，所以在上单调递减，1x ∀2(0,)x ∈+∞12x x ≠1212()()f x f x x x -<-()f x (0,)+∞故,故A 正确；()()34f f >对于B ，由,可得或，解得或，故B 正确；()(1)2f m f -<12m ->12m -<-3m >1m <-对于C ，由，得，(1)0f -=()1=0f 若，则或，解得，故C 错误；()0xf x >()00f x x >⎧⎨>⎩()00f x x <⎧⎨<⎩()()011x ，，∈⋃-∞-对于D ，由为上的偶函数，在单调递减，在单调递增，()f x R (0,)+∞(,0)-∞又因为函数的图象是连续不断的，所以为的最大值，()f x (0)f ()f x ()()0f x f ≤所以，，使得，故D 正确．R x ∀∈R M ∃∈()f x M ≤故选：ABD三、填空题13．计算：__________.224log 6log 3+=【答案】3【分析】利用对数的性质计算即可．【详解】2222344log 6log log 6lo 38g 3⎛⎫== ⎪⎝⎭+=⨯故答案为：314．已知一扇形的弧长为，半径，则弧所对的圆心角为__________.2π32r =【答案】π3【分析】利用扇形的弧长公式计算即可．【详解】设弧所对的圆心角为，则，解得α2π23α=π3α=故答案为：π315．已知函数，则的单调递增区间为__________.()221,021,0x x f x x x x -+<⎧=⎨-++≥⎩()f x 【答案】()0,1【分析】利用分段函数的单调性求解即可．【详解】当时，单调递减；0x <()21f x x =-+当时，，在上单调递增，在单调递减；0x ≥()()222112f x x x x =-++=--+()0,1()1,+∞故答案为：()0,116．已知函数为定义在上的奇函数，则不等式()32f x x bx x=++[]21,3a a --的解集为__________.()()210f x f x b ++->【答案】1,23⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】根据奇函数性质可得定义域关于原点对称求出，，再利用函数单调性和奇偶性2a =-0b =即可求出不等式的解集.【详解】根据奇函数定义可知，可得，函数定义域为；2130a a -+-=2a =-[]5,5-又，可得，所以；()32()f x x bx x f x -=-+-=-0b =()3f x x x =+易知函数在上单调递增，()f x []5,5-所以不等式即为，()()210f x f x b ++->()()()21f x f x f x +>-=-根据函数单调性和奇偶性可得，解得.52155521x x x x -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+>-⎩123x -<≤故答案为：1,23⎛⎤- ⎥⎝⎦四、解答题17．已知，且为第三象限角.3sin 5α=-α(1)求和的值；cos αtan α(2)已知，求的值.()()()2sin πcos 2πππcos sin 22f ααααα+++=⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f α【答案】(1)，；4cos 5=-α3tan 4α=(2).()27f α=-【分析】（1）利用平方关系可得，再由同角三角函数之间的基本关系可22sin cos 1αα+=4cos 5=-α得；3tan 4α=（2）利用诱导公式将化简代入（1）中的值即可求得结果.()f α【详解】（1）由可得，，所以22sin cos 1αα+=22316cos 1525α⎛⎫=--= ⎪⎝⎭4cos 5α=±又为第三象限角，所以；α4cos 5=-α;sin 3tan cos 4ααα==所以，；4cos 5=-α3tan 4α=（2）利用诱导公式可得，()2sin cos 2tan 1sin cos tan 1f ααααααα-+-+==++将代入可得，3tan 4α=()3212tan 1243tan 1714f ααα-⨯+-+===-++即.()27f α=-18．已知集合，或.{}13A x x =-<<{1B x x m =<-}1x m ≥+(1)当时，求；0m =A B ⋂(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.x A ∈x B ∈m 【答案】(1){}13x x ≤<(2)[)(]4,2+∞-∞- 【分析】（1）求出或，从而求出交集；{1B x x =<-}1x ≥（2）根据题意得到是的真子集，从而得到不等式，求出实数的取值范围.A B m 【详解】（1）时，或，0m ={1B x x =<-}1x ≥故或={}{131A B x x x x ⋂=-<<⋂<-}1x ≥{}13x x ≤<（2）是的充分不必要条件，x A ∈x B ∈故是的真子集，A B 因为，故要满足是的真子集，11m m -<+A B 则或，13m -≥11m +≤-解得：或4m ≥2m ≤-故实数的取值范围是.m [)(]4,2+∞-∞- 19．已知函数，关于的不等式的解集为.()2f x x bx c =-++x ()0f x >{|12}x x <<(1)求不等式的解集；2210cx bx ++>(2)当在上单调时，求的取值范围.()()g x f x mx=+[]1,3x ∈m 【答案】(1)1(,1)4-(2)(,1][3,)-∞-+∞ 【分析】(1)根据二次不等式的解集可得出，的值，代入不等式即可得出结果.b c (2)根据二次函数图像性质，结合对称轴得出关于的不等式，解出即可.m 【详解】（1）的解集为，则1和2是的两个根，()20f x x bx c =-++>{|12}x x <<20x bx c -++=所以代入，解得，由，则，10420b c b c -++=⎧⎨-++=⎩32b c =⎧⎨=-⎩2210cx bx ++>24310x x -++>，即的解集为∴114x -<<2210cx bx ++>1(,1)4-（2）由，对称轴，()2232(3)2g x x x mx x m x =-+-+=-++-32m x +=因为在上单调，可得或，解出或，()g x []1,3x ∈312m +≤332m +≥1m ≤-3m ≥即的取值范围为m (,1][3,)-∞-+∞ 20．已知函数.()()()()()()()lg 1,lg 1,f x x g x x h x f x g x =+=-=+(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；()h x (2)若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.()lgky f x x =-()()1,00,-⋃+∞k 【答案】(1)偶函数，理由见解析(2)1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）首先判断函数定义域，再利用对数运算法则得出即可判断其为偶函数；()()2lg 1h x x =-（2）将函数在区间上有两个零点转化成函数图象有两个交点的问题，()lgky f x x =-()()1,00,-⋃+∞画出函数图象利用数形结合即可求得实数的取值范围.k 【详解】（1）函数为偶函数,理由如下：()h x 由题意可得函数的定义域为，函数的定义域为，()()lg 1f x x =+()1,-+∞()()lg 1g x x =-(),1-∞所以的定义域为，关于原点对称；()()()h x f x g x =+()1,1-易知，，所以函数()()()()2lg 1lg 1lg 1h x x x x =++-=-()()()()()22lg 1lg 1h x x x h x -=--=-=为偶函数.()h x （2）若函数在区间上有两个零点，()lgky f x x =-()()1,00,-⋃+∞等价于，即，()lg 1lgkx x +=()21k x x x x =+=+令，所以函数与有两个交点，()()21,00,,()F x x x x -∈⋃=++∞()F x y k =画出函数的图象如下：()()21,00,,()F x x x x -∈⋃=++∞由图可知，当夹在和之间时，函数与有两个交点，y k =14y =-0y =()F x y k =所以，104-<<k 即实数的取值范围为.k 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭21．2022年12月，某市突发病毒感染疫情，第1天､第2天､第3天感染该病毒的人数分别为.为了预测接下来感染该病毒的人数，根据前三天的数据，甲选择了模型52,54,58，乙选择了模型，其中和分别表示两个模型预测第()2f x ax bx c =++()x g x p q r =⋅+()f x ()g x 天感染该病毒的人数，都为常数.x ,,,,,a b c p q r (1)如果第4天､第5天､第6天感染该病毒的人数分别为，你认为选择哪个模型比较好？66,82,115请说明理由；(2)不考虑其他因素，推测从第几天开始，感染该病毒的人数将会超过2000.试用你认为比较好的模型解决上述问题.（参考数据：）10288.28=≈【答案】(1)乙选择的模型比较好，详见解析；()250x g x =+(2)第11天.【分析】(1)根据前三天的数据求出两个函数模型的解析式，再计算第4天､第5天､第6天的数据，与真实值比较得出结论；(2)由第一问结论列出不等式求解即可.【详解】（1）由题意把，，代入得：1x =23()2f x ax bx c =++，解得，，，则，所以5242549358a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1a =1b =-52c =()252f x x x =-+，，，()24445264f =-+=()25555272f =-+=()26665282f =-+=则，，，()4662f -=()58210f -=()611533f -=把，，代入得：1x =23()x g x p q r =⋅+，解得，，，则，所以23525458pq r pq r pq r +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩1p =2q =50c =()250x g x =+，，，()4425066g =+=()5525082g =+=()66250114g =+=则，，，因为，，更接近真实值，()4660g -=()5820g -=()61151g -=()4g ()5g ()6g 所以模型比较好；()250x g x =+（2）令，解得，由于()2502000x g x =+>2log 1950x >，所以，101121024195020482=<<=101122210log 2log 1950log 211=<<=所以从第11天开始，感染该病毒的人数将会超过2000.22．已知函数.()f x x =(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；()f x R λ(2)若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.()ln 0f x ≤2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦λ【答案】(1)；04λ≤≤(2).0λ≤【分析】（1）根据定义域，将问题转化为对任意的,恒成立，分类讨论结合利x ∈R 210x x λλ++≥用二次函数的性质即可求解，（2）由换元法将问题转化成对任意的恒成立，利用一元二次不等式的()()λ1110t t éù-++£ëû[]1,2t ∈解即可分类讨论求解.【详解】（1）的定义域为，则对任意的,恒成立，()f x R x ∈R 210x x λλ++≥当时，显然成立，故符合，=0λ10≥=0λ当时，即，20Δ40λλλ>⎧⎨=-≤⎩04λ<≤综上：；04λ≤≤（2）令，由于，则，则问题转化成：，ln t x =2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦[]1,2t ∈()0f t ≤t ≤两边平方整理得，进一步得，()2110t t λλ-++≤()()λ1110t t éù-++£ëû当时，即，此时的解为，此时，10λ->1λ>()()λ1110t t éù-++=ëû121100λ1t ,t =-<=-<-[]1,2t ∈不等式，故不符合，()()λ1110t t éù-++>ëû1λ>当时，即，此时不等式为，当，不等式不成立，故不符合，λ1=0-=1λ10t +≤[]1,2t ∈=1λ当时，即,此时的解为，10λ-<1λ<()()λ1110t t éù-++=ëû121100λ1t ,t =-<=->-故的解为或，故要对，恒成立，则满足()()λ1110t t éù-++£ëû{1x x <-11x λ⎫>-⎬-⎭[]1,2t ∈()0f t ≤，解得，11λ1-£-0λ≤综上，.0λ≤。

2022-2023学年四川省南充市西华师范大学附属中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年四川省南充市西华师范大学附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集，集合，，则（）{}1,2,3,4,5U ={}1,3A ={}3,5B =()U A B = A ．B ．C ．D ．{}1,2,4,5{}1,3,5{}2,4{}1,5【答案】C【解析】先根据并集的运算，求得，再结合补集的运算，即可求解.A B ⋃【详解】由题意，全集，，，{}1,2,3,4,5U ={}1,3A ={}3,5B =可得，所以.{1,3,5}A B = (){}2,4U C A B ⋃=故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念及运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.2．下列各组函数表示同一函数的是（）A ．B ．，()f x =()2g x =()1f x =()0g x x =C ．，D ．，(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩()g t t =()1f x x =+()211x g x x -=-【答案】C【分析】根据函数定义域与函数解析式是否相同，可得答案.【详解】对于A ，由函数，且函数的定义域为，()f x (),-∞+∞()2g x =[)0,∞+则不是同一函数，故A 错误；对于B ，由函数的定义域为，且函数的定义域为，则不是同一()1f x =(),-∞+∞()0g x x ={}0x x ≠函数，故B 错误；对于C ，由函数的定义域为，且的定义域为，则是(),0,0x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩(),-∞+∞()g t t =(),-∞+∞同一函数，故C 正确；对于D ，由函数的定义域为，且函数的定义域为，则不()1f x x =+(),-∞+∞()211x g x x -=-{}1x x ≠是同一函数，故D 错误.故选：C.3．若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则的取值范围是（）22103x x -+<x a >a A ．B ．C ．D ．1a ≥12a ≥12a ≤1a ≤【答案】C【分析】解不等式得，进而根据题意得集合是集合的真子集，22103x x -+<112x <<1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭(),+∞a 再根据集合关系求解即可.【详解】解：解不等式得，22103x x -+<112x <<因为命题“”是命题“”的充分不必要条件，22103x x -+<x a >所以集合是集合的真子集，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭(),+∞a 所以12a ≤故选：C4．已知，则a 、b 、c 的大小关系为（）1.42.25log 0.6,3,0.9a b c ===A ．B ．C ．D ．a b c <<a c b<<c<a<b b<c<a【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；【详解】解：因为，即，，即，，即55log 0.6log 10<=a<0 1.41333>=3b >202.100.90.9<<=，所以01c <<b c a>>故选：B 5．函数的零点所在区间是（）3ln y x x =-A ．B ．C ．D ．()3,4()2,3()1,2()0,1【答案】B【分析】根据解析式判断函数单调性，再应用零点存在性定理确定所在区间即可.【详解】由在上递减，3,ln y y xx ==-(0,)+∞所以在上递减，3ln y x x =-(0,)+∞又，，3(2)ln 202f =-=>e (3)1ln 3ln 03f =-=<所以零点所在区间为.()2,3故选：B6．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足，当时，，则()()3f x f x +=-(]0,1x ∈()2ln x f x x=+（）()2023f =A ．2B ．C ．－2D ．－1212【答案】A【分析】由题意可得函数的周期，从而得到，由解析式可得答案.(2023)(1)f f =【详解】解：依题意，，，()()3f x f x +=-()()()63f x f x f x +=-+=函数的周期为6，()f x 故，()(2023)(33761)1f f f =⨯+=又，则．()12ln12f =+=(2023)2f =故选：A ．7．若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足R ()f x [0,)+∞()30f =的的取值范围为（）()2(9)20x f x --≤x A ．B ．[3,1][3,5]-- (],1[3,5]-∞- C ．D ．[][-10]3,5 ，[13]--5]，（，∞ 【答案】A【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【详解】解：偶函数在上是增函数，()f x (0,)+∞函数在上为减函数，则，∴()f x (,0)-∞()()330f f -==则不等式等价为时，，此时，解得，()2(9)20x f x --≤290x ->(2)0f x - 33323x x x ⎧-⎨--⎩或 35x < 当时，，此时，解得，290x -<(2)0f x - 332323x x x -<<⎧⎨---⎩或 31x -<- 当时，显然满足题意，3x =±综上不等式的解为或，即的取值范围为.{|31x x -- 35}x x [3,1][3,5]--故选：A ．8．设正实数分别满足，则的大小关系为（）,,a b c 322log log 1a a b b c c ⋅=⋅=⋅=,,a b c A ．B ．a b c >>b c a >>C ．D ．c b a >>a c b>>【答案】B 【分析】作出的图像，利用图像和图像交点的横坐标比较大小即可.232,log ,log xy y x y x ===1y x =【详解】由已知可得，，，12aa =31logb b =21logc c =作出的图像如图所示：232,log ,log xy y x y x ===它们与交点的横坐标分别为，1y x =,,a b c 由图像可得，b c a >>故选：B二、多选题9．对于任意实数a ，b ，c ，d ，则下列命题正确的是（）A ．若ac 2>bc 2，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +d C ．若a >b ，c >d ，则ac >bd D ．若a >b ，则11a b >【答案】AB【分析】可由性质定理判断A 、B 对，可代入特例判断选项C 、D 错.【详解】解：若ac 2>bc 2，两边同乘以则a >b ，A 对，21c 由不等式同向可加性，若a >b ，c >d ，则a +c >b +d ，B 对，当令a =2，b =1，c =﹣1，d =﹣2，则ac =bd ，C 错，令a =﹣1，b =﹣2，则，D 错.11a b <故选：AB.10．若，且，则（）0,0a b >>1a b +=A ．B 2212a b +≥12≥C ．D ．14ab ≥114a b +≥【答案】ACD【分析】根据基本不等式逐一分析ABC ，即可判断ABC ，结合基本不等式即()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可判断D.【详解】解：因为，且，0,0a b >>1a b +=所以，所以，()()22222221a bab ab a b +≥++=+=2212a b +≥当且仅当时，取等号，故A 正确；12a b ==，当且仅当时，取等号，故B 错误；a b +≥1212a b ==，所以，当且仅当时，取等号，故C 正确；()21144ab a b ≤+=14ab ≥12a b ==，所以，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭114a b +≥当且仅当，即时，取等号，故D 正确.b aa b =12a b ==故选：ACD.11．下列说法中正确的是（）A ．命题“，”的否定是“，”R x ∃∈220x x -<R x ∀∈220xx -≥B ．函数且的图象经过定点()3x f x a x -=+(0a >)1a ≠()3,4A C ．幂函数在上单调递增，则m 的值为4()()223169mm f x m m x -+=-+()0,∞+D ．函数的单调递增区间是()()25log 23f x x x =--[)1,+∞【答案】ABC【分析】根据存在量词命题的否定的概念以及函数的性质即可求解.【详解】对于A ，根据存在量词命题的否定的概念，易知，A 正确；对于B ，由于指数函数必经过点，所以函数的图象必过点，故B 正x y a =()0,1()3x f x a x -=+()3,4确；对于C ，幂函数中，，解得或，()2231()69mm f x m m x -+=-+2691m m -+=2m =4m =当时，，在上是单调减函数，不满足题意，2m =2()f x x -=(0,)+∞当时,，在上是单调增函数，满足题意，4m =4()f x x =(0,)+∞所以的值是4.故C 正确；m 对于D ，函数的定义域为，又二次函数在()()25log 23f x x x =--()(),13,-∞-⋃+∞2=23y x x --上单调递增，根据复合函数单调性的判定方法，故函数在上[)1,+∞()()25log 23f x x x =--()3,+∞单调递增，故D 错误.故选：ABC12．设函数，若函数有四个零点分别为且()2ln ,04,0x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩()()g x f x m =-1234,,,x x x x ，则下列结论正确的是（）1234x x x x <<<A ．B ．C ．D ．04m ≤<124x x +=-341x x ⋅=434412,e e x x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】画出函数图象，数形结合进行求解.【详解】画出函数的图象，如图所示：()f x要想函数有四个零点，则，A 错误；()()g x f x m=-04m <<由于当时，对称轴为，所以，B 正确；0x ≤()24f x x x =--2x =-124x x +=-当时，，所以，所以，C 正确；0x >()ln f x x=34ln ln x x -=341x x ⋅=因为，所以，故，由于，所以，由对勾函数04m <<40ln 4x <<441e x <<341x x ⋅=34441x x x x +=+知：在上单调递增，故，D 正确.441y x x =+()41,e 434444112,e e x x x x ⎛⎫+=+∈+ ⎪⎝⎭故选：BCD三、填空题13．若幂函数的图像经过点，则__________．()y f x =49,316⎛⎫⎪⎝⎭()2f -=【答案】14【分析】设出幂函数，代入点计算函数表达式，将代入得到答案.2-【详解】设：，图像经过点，即()af x x =49,316⎛⎫ ⎪⎝⎭94()2163aa =⇒=-()21(2)4f x x f -=⇒-=故答案为14【点睛】本题考查了幂函数的计算，属于简单题.14．关于不等式对于任意恒成立，则的取值范围是__________．x 240kx kx -+≥R x ∈k 【答案】[]0,16【分析】首先根据和两种情况进行分类讨论，根据题目条件利用判别式即可求解参数的=0k 0k ≠k 取值范围.【详解】当时，得恒成立，故满足题意；=0k 40≥当时，若要满足对于任意恒成立，0k ≠240kx kx -+≥R x ∈只需满足，解得：.()2>0Δ=4×4×0k k k --≤⎧⎪⎨⎪⎩016k <≤综上所述得.[]0,16k ∈故答案为：[]0,1615．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2021年为3000万吨，2022年增长率约为50％.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从______年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨.（参考数据：，）lg20.3010≈lg30.4771≈【答案】2027【分析】年后产生的垃圾为，得到不等式，解得答案.n ()3000150%n⨯+()3000150%30000n⨯+>【详解】年后产生的垃圾为，故，n ()3000150%n⨯+()3000150%30000n⨯+>即，即，即，故，3102n⎛⎫> ⎪⎝⎭()lg 3lg 21n ->1 5.68lg 3lg 2n >≈-6n ≥故年开始快递业产生的包装垃圾超过30000万吨.2027故答案为：202716．已知函数，，若存在，任意，使得()29x f x x +=()2log g x x a =+[]13,4x ∈[]24,8x ∈，则实数的取值范围是___________.()()12f x g x ≥a 【答案】13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】将问题转化为在对应区间上，结合对勾函数、对数函数的性质求、max max ()()f x g x ≥()f x 的区间最值，即可求的范围.()g x a 【详解】若在上的最大值，在上的最大值，()f x [3,4]max ()f x ()g x [4,8]max ()g x 由题设，只需即可.max max ()()f x g x ≥在上，当且仅当时等号成立，[3,4]9()6f x x x =+≥=3x =由对勾函数的性质：在上递增，故.()f x [3,4]max 25()4f x =在上，单调递增，则，[4,8]()g x max ()3g x a =+所以，可得.2534a ≥+134a ≤故答案为：.13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦四、解答题17．计算下列各式的值：(1)；22300.7523(131638-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2).1lg163lg5lg5+-【答案】(1)7-(2)4【分析】(1)利用指数幂的运算性质即可求解；(2)利用对数的运算性质即可求解.【详解】（1）22300.7523(131638-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3991244=+--7=-（2）1lg163lg5lg5+-4lg 24lg 5=+4=18．（1）设全集，集合，，求U R ={}4A x x =≥{}15B x x =<<()U A B（2）若求函数的最小值.0,x >()()12x x y x++=【答案】（1）；（2）.{}5x x <min3y=【分析】（1）根据补集和并集的运算法则，即可求解.（2）根据基本不等式的定义，即可求解.【详解】解：（1）根据题意得，，={}U 4A x x =< ()U A B {}5x x <（2），则0x >232x x y x ++=23x x=++3≥3=（当且仅当即，故2x x=x =min 3y =+19．若函数满足()f x ()2121f x x x +=++(1)求函数的解析式；()f x (2)若函数，试判断的奇偶性，并证明.()()1g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()g x 【答案】(1)()2f x x =(2)偶函数，证明见解析【分析】（1）利用凑配法求得.()f x （2）根据函数奇偶性的定义证得的奇偶性.()g x 【详解】（1）由于，()()221211f x x x x +=++=+所以.()2f x x =（2），()()()22110g x f x f x x x x ⎛⎫=-=-≠ ⎪⎝⎭为偶函数，证明如下：()g x 的定义域为，()g x {}|0x x ≠且，()()()()222211g x x x g x x x -=--=-=-所以是偶函数.()g x 20．设函数 ()()()23,R f x ax a x b a b =-++∈(1)若不等式的解集为，求的值；()0f x <()1,3,a b (2)若，时，求不等式的解集．=3b 0a >()0f x >【答案】(1)1,=3a b =(2)答案见解析【分析】（1）不等式解集区间的端点是方程的解，运用韦达定理可得；（2）含参的一元二次不等式需要分情况进行解决.【详解】（1）函数，()()()23,R f x ax a x b a b =-++∈由不等式的解集为，得，()0f x <()1,30a >且1和3是方程的两根；则，()230ax a x b -++=3133=a a b a +⎧+=⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得1,=3a b =（2）时，不等式为，=3b ()2330ax a x -++>可化为，()()130x ax -->因为，所以不等式化为，0a >()31(0x x a -->当时，，解不等式得或；0<3a <31a >1x <3x a >当时，不等式为，解得；=3a ()210x ->1x ≠当时，，解不等式得或；>3a 31a <3x a <1x >综上：时，不等式的解集为；0<3a <()3,1,a -∞+∞ （）当时，不等式的解集为；=3a {}|1x x ≠当时，不等式的解集为．>3a ()3,1,a -∞+∞ （）21．已知是定义在上的奇函数，当时，．()f x R 0x ≥()21xf x =-（1）求；(3)(1)f f +-（2）求的解析式；()f x （3）若，，求区间.x A ∈()[7,3]f x ∈-A 【答案】（1）6；（2）；（3）.()()()210210x x x f x x -⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩[]3,2-【解析】（1）利用函数的奇偶性将化为，再代入解析式可解得结果；(1)f -(1)f -（2）利用函数的奇偶性可求得结果；（3）分类讨论的范围代入解析式可解得结果.x 【详解】（1）∵是奇函数()f x ∴。

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一、选择题(每小题5分，共60分)
1.已知a=2，集合A={x|x≤2}，则下列表示正确的是().
A.a∈A
B.a/∈A
C.{a｝∈A
D.a⊆A
2.集合S={a，b｝，含有元素a的S的子集共有().
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.已知集合M={x|x<3｝，N={x|log2x>1｝，则M∩N=().
A. B.{x|0
4.函数y=4-x的定义域是().
A.[4，+∞)
B.(4，+∞)
C.-∞，4]
D.(-∞，4)
5.国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离x(km)0
邮资y(元)5.006.007.008.00…
如果某人在南京要快递800g的包裹到距南京1200km的某地，那么他应付的邮资是().
A.5.00元
B.6.00元
C.7.00元
D.8.00元
6.幂函数y=x(是常数)的图象().
A.一定经过点(0，0)
B.一定经过点(1，-1)
C.一定经过点(-1，
D.一定经过点(1，1)
7.0.44，1与40.4的大小关系是().
A.0.44<40.4<1
B.0.44<1<40.4
C.1<0.44<40.4
D.l<40.4<0.44
8.在同一坐标系中，函数y=2-x与y=log2x的图象是().
A.B.C.D.
9.方程x3=x+1的根所在的区间是().
A.(0，1)
B.(1，2)
C.(2，3)
D.(3，4)
10.下列函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是().
A.y=-1x
B.y=x
C.y=x2
D.y=1-x
11.若函数f(x)=13-x-1+a是奇函数，则实数a的值为().
A.12
B.-12
C.2
D.-2
12.设集合A={0，1｝，B={2，3｝，定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，则集合A⊙B中的所有元素之和为().
A.0B.6C.12D.18
二、填空题(每小题5分，共30分)
13.集合S={1，2，3｝，集合T={2，3，4，5｝，则S∩T=.
14.已知集合U={x|-3≤x≤3｝，M={x|-1
15.如果f(x)=x2+1(x≤0)，-2x(x>0)，那么f(f(1))=.
16.若函数f(x)=ax3+bx+7，且f(5)=3，则f(-5)=__________.
17.已知2x+2-x=5，则4x+4-x的值是.
18.在下列从A到B的对应：(1)A=R，B=R，对应法则f：x→y=x2;(2)A=R，B=R，对应法则f：x→y=1x-3;(3)A=(0，+∞)，B={y|y≠0}，对应法则f：x→y=±x;(4)A=N*，B={-1，1}，对应法则f：x→y=(-1)x 其中是函数的有.(只填写序号)
三、解答题(共70分)
19.(本题满分10分)计算：2log32-log3329+log38-.
20.(本题满分10分)已知U=R，A={x|-1≤x≤3｝，B={x|x-a>0｝.
(1)若A B，求实数a的取值范围;
(2)若A∩B≠，求实数a的取值范围.
21.(本题满分12分)已知二次函数的图象如图所示.
(1)写出该函数的零点;
(2)写出该函数的解析式.
22.(本题满分12分)已知函数f(x)=lg(2+x)，g(x)=lg(2-x)，设h(x)=f(x)+g(x).
(1)求函数h(x)的定义域;
(2)判断函数h(x)的奇偶性，并说明理由.
23.(本题满分12分)销售甲、乙两种商品所得利润分别是P(万元)和Q(万元)，它们与投入资金t(万元)的关系有经验公式P=35t，Q=15t.今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x(万元).
求：(1)经营甲、乙两种商品的总利润y(万元)关于x的函数表达式;
(2)总利润y的值.
24.(本题满分14分)已知函数f(x)=1x2.
(1)判断f(x)在区间(0，+∞)的单调性，并用定义证明;
(2)写出函数f(x)=1x2的单调区间.
试卷答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.A
2.B
3.D
4.C
5.C
6.D
7.B
8.A
9.B10.D11.A12.D[
二、填空题(每小题5分，共30分)
13.{2，3｝14.[-3，-1]∪[1，3]15.516.1117.2318.(1)(4)
三、解答题(共70分)
19.解原式=log34-log3329+log38-3=log3(4×932×8)-3=log39-3=2-3=-1.
20.解(1)B={x|x-a>0｝={x|x>a｝.由A B，得a<-1，即a的取值范围是{a|a<-1｝;(2)由A∩B≠，则a<3，即a的取值范围是{a|a<3｝.
21.(1)函数的零点是-1，3;
(2)函数的解析式是y=x2-2x-3.
22.解(1)由2+x>0，2-x>0，得-2
(2)∵h(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=h(x)，∴h(x)是偶函数.
23.解(1)根据题意，得y=35x+15(3-x)，x∈[0，3].
(2)y=-15(x-32)2+2120.
∵32∈[0，3]，∴当x=32时，即x=94时，y值=2120.
答：总利润的值是2120万元.
24.解(1)f(x)在区间(0，+∞)为单调减函数.证明如下：
设0
因为00，x2-x1>0，x2+x1>0，即(x2-x1)(x2+x1)x12x22>0.
所以f(x1)-f(x2)>0，即所以f(x1)>f(x2)，f(x)在区间(0，+∞)为单调减函数.
(2)f(x)=1x2的单调减区间(0，+∞);f(x)=1x2的单调增区间(—∞，0).。