2019广东省高一上学期数学期末考试试题
2019学年广东省心学校高一上学期期末数学试卷【含答案及解析】
2019学年广东省心学校高一上学期期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合A ={3，5 ， 6，8}，集合B ={4，5， 7，8}，则A ∩ B等于（） A． {3，4，5，6，7，8}B． {5，8}C． {4，7}D ． {3，6}2. 下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）．A．，______________B ．，C．，______________D ．，3. 已知，则的值为（）A ．_________B ．—________C ．___________D ．—4. 下列四个函数中 , 与 y=x 表示同一函数的是（）A ． ______________B ． y= ________C ．D ． y=5. 已知函数是定义在R上的增函数，A （ 0，-1 ），B （ 3，1 ）是其图象上的两点，那么的解集的补集是（）A．[-1，2]B．（- ，-1）∪（2，+ ）C．（-1，2）D ．（ - ，-1 ）∪ [2，+ ）6. 三个数的大小关系为（）A．______________B ．C．____________________D ．7. 若平面向量与向量平行，且，则（）．A ．______________B ．______________C ．___________D ．或8. 函数的零点一定位于区间（）．A ．______________B ．______________C ．______________D ．9. 在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为（）．A ．______________B ．________________________C ．____________________ D ．10. 要得到的图象只需将 y=3sin2 x 的图象（）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位11. 设，则的值是（）A ． 1___________________________________B ． 2_________________________________C ．________________________D ．12. 已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增。
2019广东省高一上学期数学期末考试试题
2019⼴东省⾼⼀上学期数学期末考试试题⾼⼀级教学质量监测数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，全卷三⼤题22⼩题，满分150分，考试⽤时120分钟。
注意事项:1.答卷前,考⽣务必⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔将⾃已的姓名、考试科⽬、班级和考⽣号等信息填写在答题卡上，并⽤2B 铅笔将考号在答题卡相关的区域内涂⿊。
2.选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答题卡对应的答案符号涂⿊；如需改动,⽤橡⽪擦⼲净后,再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案⽆效。
4.考⽣必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡答卷交给监考⽼师。
第Ⅰ卷（选择题共60分）⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每题5分,共60分) 1. 设集合}10,8,6,4,2,0{=A ,}8,4{=B ,则B C A =（）A. }8,4{B. }6,2,0{C. }10,6,2,0{D. }10,8,6,4,2,0{2. 下列函数既是奇函数⼜是增函数的是（）A.12+=x y B. 1+=x yC.21x y = D. 3x y =3. 若单位向量b a ,的夹⾓为150°，则b a ?的值为（）A. 23B. 22 C. 21D. 23-4. 下列转化结果错误的是（）A.060化成弧度是3π B. π3-化成度是0600- C. 0150-化成弧度是π67-D.12π化成度是0155. 幂函数的图象经过点)33,3(，则)2(f 的值等于（） A. 4 B. 41 C.2D.22 6. 函数2lg )(-+=x x x f 的零点所在的区间是（）A.)1,0(B. )2,1(C. )3,2(D. )10,3(7. 已知→→→=--=AB CD C AB 2),3,1(),3,5(，则点D 的坐标为（）A.)9,11( B. )0,4( C. )3,9( D.)3,9(-8. 已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，12)(-=x x f ，则)2(-f 等于（）A. 3B.3-C. 43-D. 411-9. 已知ABC ?中，030,3,1===A b a ，则B 等于（）030 B. 0015030或 C. 006 D. 0012006或10. 将函数)62sin(2x y π+=的图象向右平移4π后，所得图象对应的函数为（） A. )4 2sin(2x y π+=B.)32sin(2x y π+=C. )42sin(2x y π-=D. )32sin(2x y π-=11. 已知α为第⼆象限⾓，33cos sin =+αα，则=α2cos （） A.35-B. 95-C.95 D.35 12. 函数≤>=1,1log )(2x x xx f x，则)1(+=x f y 的图象⼤致是（）A. B.C. D.第II 卷（共90分）⼆、填空题(本⼤题共4⼩题，每题5分,共20分) 13. 函数82-=x y 的定义域为．14. 已知扇形的圆⼼⾓32πα=，半径3=r ，则扇形的弧长l 为______ ． 15. 若⾓α的终边过点)2,1(-，则ααcos sin =______．16. 已知函数)(x f 是定义在]2,2[-上的增函数，且)()1(m f m f <-，则实数m 的取值范围______ ．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分） 17. 已知55sin ),2,0(=∈απα. （1）求)4sin(πα+的值；（2）求α2tan 的值．18. 已知向量),5(),2,2(k b a =-=.（1）若b a⊥，求实数的值；（2）若)2//()2(b a b a-+，求实数k 的值。
广东省实验2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析
广东省实验中学2019-2020学年(上)高一级模块一､四考试数学【高一上学期期末考试】 一､选择题:(每小题5分,共60分) 1.已知集合A ={x |x 2﹣x ≤0},{|22}x B x =≤,则A ∩B =( )A. 1{|1}2x x -≤≤ B. 1{|0}2x x ≤≤C. 1{|0}2x x -≤≤ D.1{|1}2x x ≤≤ 【★答案★】B 【解析】 【分析】先化简集合A ，集合B ，再利用交集的定义求解.【详解】因为集合A ={x |x 2﹣x ≤0}{}|01x x =≤≤ ，1{|22}{|}2=≤=≤x B x x x ，所以A ∩B =1{|0}2x x ≤≤.故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2.若a >b ，则 A. ln(a −b )>0 B. 3a <3b C. a 3−b 3>0 D. │a │>│b │【★答案★】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3xy =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．3.已知tan 3θ=，则()()3sin 2cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭等于（ ）A. 32-B.32C. 0D.23【★答案★】B 【解析】【详解】因为tan θ=3，∴()()3sin 2cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭=3cos 333.cos sin 1tan 132θθθθ---===--- 故选B ．4.如图，若OA a =，OB b =，OC c =，B 是线段AC 靠近点C 的一个四等分点，则下列等式成立的是（）A. 2136c b a =- B. 4133c b a =+ C. 4133c b a =- D. 2136c b a =+ 【★答案★】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算即可求出★答案★.【详解】13c OC OB BC OB AB ==+=+()141333OB OB OA OB OA =+-=-4133b a =-.故选C .【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5.函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象关于直线π3x =对称,它的最小正周期为π,则函数()f x 图象的一个对称中心是 （ ） A. ,012π⎛⎫-⎪⎝⎭B. π,13⎛⎫⎪⎝⎭C. 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭D. ,012π⎛⎫⎪⎝⎭【★答案★】D 【解析】 【分析】 由周期求出2ω=，再由图象关于直线3x π=对称，求得6πϕ=-，得到函数()26f x Asin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,6x k k π-=π∈Z 求得212k x ππ=+，从而得到图象的一个对称中心.【详解】由2ππω=，解得2ω=，可得()()2f x Asin x ϕ=+， 再由函数图象关于直线3x π=对称，故233f Asin A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=±⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故可取6πϕ=-， 故函数()26f x Asin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令2,6x k k π-=π∈Z ， 可得,212k x k Z ππ=+∈，故函数对称中心,0,212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 令0k =可得函数()f x 图象的对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程；由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.6.已知平面内一点P 及△ABC ,若PA PB PC BC ++=,则P 与△ABC 的位置关系是( ) A. P 在△ABC 外部 B. P 在线段AB 上 C. P 在线段AC 上 D. P 在线段BC 上【★答案★】B 【解析】 【分析】根据PA PB PC BC ++=，通过加减运算整理为2PA PB =-，再利用共线向量定理判断. 【详解】因为PA PB PC BC ++=， 所以PA PB PC PC PB ++=-， 所以2PA PB =-， 所以P 在线段AB 上. 故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的加减运算和共线向量定理，属于基础题. 7.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( ) A. y =x 2B. 1y lnx= C. y =2|x |D. y =cosx【★答案★】B 【解析】 【分析】A. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据2yx 的图象判断单调性.B. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据ln y x = 的图象判断单调性.C. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据2xy = 的图象判断单调性.D. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据cos y x =的图象判断单调性. 【详解】因为()22x x -=，所以2y x 是偶函数，又因为2y x 在（0，+∞)上单调递增，故A 错误. 因为11=-lnln x x ，所以1y ln x =是偶函数，又因为10,ln >==-x y ln x x，在(0，+∞)上单调递减，故B 正确.因为22x x -=，所以 2xy =是偶函数，又因为 0,22>==xx x y 在(0，+∞)上单调递增，故C 错误.因为()cos cos x x -=，所以cos y x =是偶函数，又因为cos y x =在 (0，+∞)上不单调，故D 错误. 故选;D【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性和基本函数的图象和性质，属于基础题.8.若510cos(),cos 2,510αβα-==并且,αβαβαβ+均为锐角，且〈，则的值为（ ） A.6πB.4π C.34π D.56π 【★答案★】C 【解析】∵α、β均为锐角且α＜β， ∴ 2π-＜α-β＜0， ∵cos （α-β）=55 ， ∴sin （α-β）=255-∵cos 2α=1010，α为锐角∴sin 2α=31010， ∴cos （α+β）=cos [2α-（α-β）]=cos 2αcos （α-β）+sin 2αsin （α-β） =22-， ∵α+β∈（0，π），∴α+β= 34π． 本题选择C 选项.9.下列给出的关系式中正确的是( ) A. ()()a b c a b c +⋅=+B. 若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥cC. a ∥b ⇒a 在b 上的投影为|a | D. (a b a b +)•(a b a b -)=0【★答案★】D 【解析】 【分析】A. 根据数量积的运算律判断.B. 取0b =判断.C. 根据a ∥b 时，夹角为0或180判断.D. 由数量积的运算判断.【详解】A. 由数量积的运算律得()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ，故A 错误. B. 当0b =时，不成立.故B 错误.C. 当a ∥b 时，夹角为0或180，所以a 在b 上的投影为±a 故C 错误.D. 由数量积的运算得(a b a b +)•(a b a b -)=220⎛⎫⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b a b ，故D 正确. 故选：D【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算律，投影及基本运算，属于基础题.10.幂函数y ax =，当a 取不同的正数时，在区间[]01，上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点()()A 10B 01，，，，连结AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y y abx x 、==的图像三等分，即有BM MN NA ==，那么1a b-=（ ）A. 0B. 1C.12D. 2【★答案★】A 【解析】 【分析】先根据题意结合图形分别确定M N 、的坐标，然后分别代入y y a bx x 、==中求得b a 、的值，最后再求出1a b-的值，即可得出★答案★． 【详解】因为BM MN NA ==，点()()A 10B 01，，，，所以1221M N 3333⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，分别代入y y abx x 、==中，213312log b log 33a ==， 所以2313111log 023log 3a b -=-=，故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数的性质以及指数与对数的转化，考查了数形结合思想，考查了对数的计算法则，考查了计算能力与推理能力，是基础题． 11.将函数()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭和直线g (x )=x ﹣1的所有交点从左到右依次记为A 1,A 2,A 3,A n …,若P 点坐标为(0,1),则12n PA PA PA +++=( )A. 52B. 32C. 2D. 0【★答案★】A 【解析】 【分析】在同一坐标系中作出()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭和g (x )=x ﹣1的图象，所有交点从左到右依次记为A 1，A 2，A 3， A 4，A 5，根据()31,0A 为()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭的一个对称点，得到15,A A 关于()31,0A 对称，24,A A 关于()31,0A 对称，再用中点坐标公式得到1234535+=+++PA PA PA PA PA PA 求解.【详解】在同一坐标系中作出()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭和g (x )=x ﹣1的图象，如图所示：所有交点从左到右依次记为A 1，A 2，A 3， A 4，A 5， 因为()31,0A 是()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭的一个对称点， 所以15,A A 关于()31,0A 对称，24,A A 关于()31,0A 对称， 所以1532432,2==++PA PA PA PA PA PA ， 所以1234535+=+++PA PA PA PA PA PA ， 因为()331,1,2=-=PA PA ，所以1252+++=n PA PA PA .故选：A【点睛】本题主要考查了函数的图象和平面向量的运算，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数()1,0,R x Q f x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数,其中R 为实数集,Q 为有理数集,以下命题正确的个数是( ) 下面给出关于狄利克雷函数f (x )的五个结论: ①对于任意的x ∈R ,都有f (f (x ))=1; ②函数f (x )偶函数; ③函数f (x )的值域是{0,1};④若T ≠0且T 为有理数,则f (x +T )=f (x )对任意的x ∈R 恒成立; ⑤在f (x )图象上存在不同的三个点A ,B ,C ,使得△ABC 为等边角形.A. 2B. 3C. 4D. 5【★答案★】D 【解析】 【分析】①分x Q ∈，R x C Q ∈两种情况从内到外，利用()1,0,R x Qf x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩求值判断.②分x Q ∈，R x C Q ∈两种情况，利用奇偶性定义判断.③当x Q ∈时，()1f x =；当R x C Q ∈时，()0f x =判断.④分x Q ∈，R x C Q ∈两种情况，利用周期函数的定义判断.⑤取12333,0,33x x x =-==，()33,0,0,1,,033A B C ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭判断. 【详解】①当x Q ∈时，()1f x =，则()()()11ff x f ==；当Rx C Q ∈时，()0f x =，则()()()01f f x f ==，所以对于任意的x ∈R ，都有f (f (x ))=1;故正确.②当x Q ∈时，x Q -∈，()()1f x f x -==；当R x C Q ∈时，R x C Q -∈，()()0f x f x -==，所以函数f (x )偶函数;故正确.③当x Q ∈时，()1f x =；当R x C Q ∈时，()0f x =，所以函数f (x )的值域是{0，1};故正确. ④当x Q ∈时，因为T ≠0且T 为有理数，所以+∈T x Q ，则f (x +T )=1=f (x )；当 R x C Q ∈时，因为T ≠0且T 为有理数，所以+∈R T x C Q ，则f (x +T )=0=f (x )，所以对任意的x ∈R 恒成立;故正确.⑤取12333,0,33x x x =-==，()33,0,0,1,,033A B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭构成以233为边长的等边三角形，故正确. 故选：D【点睛】本题主要考查了函数新定义问题和函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.二､填空题:(每小题5分,共20分)13.已知向量a =(﹣2,3),b =(x ,1),若a ⊥b ,则实数x 的值是_____. 【★答案★】32【解析】【分析】已知向量a =(﹣2，3)，b =(x ，1)，根据a ⊥b ，利用数量积的坐标运算求解. 【详解】已知向量a =(﹣2，3)，b =(x ，1)， 因为a ⊥b ， 所以230x -⨯+=解得32x =故★答案★为：32【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 14.计算102554(1)2100.25log log π-++++=_____.【★答案★】72【解析】 【分析】根据指数、对数的运算法则和性质求解. 【详解】102554(1)2100.25π-++++log log ，551211000.1254=+++log log ，511252=++log 171222=++=. 故★答案★为：72【点睛】本题主要考查了对数，指数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15.已知12,1(){32,1x x f x x x -≥=-< ，若不等式211cos sin 042f θλθ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭对任意的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则整数λ的最小值为______________． 【★答案★】1 【解析】因为函数()f x 为单调递增函数，且11()22f =-，所以不等式211cos sin 042f θλθ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭对任意的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，等价于211cos sin 42θλθ+-≥对任意的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，设sin ,[0,1]t t θ=∈ ，则2104t t λ--≤ ，当0t =时，R λ∈ ；当(0,1]t ∈ 时max 133(),444t t λλλ≥-=∴≥的最小值为1. 16.如图所示,矩形ABCD 的边AB =2,AD =1,以点C 为圆心,CB 为半径的圆与CD 交于点E ,若点P 是圆弧EB (含端点B ､E )上的一点,则PA PB ⋅的取值范围是_____.【★答案★】222,0⎡⎤-⎣⎦【解析】 【分析】以点C 为原点，以直线EC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， A (﹣2，﹣1)，B (0，﹣1)，设P (cos θ，sin θ)，()2,1PA cos sin θθ=----，(),1PB cos sin θθ=---，再利用数量积的坐标运算得222θθ⋅=++PA PB cos sin 2224πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin ，然后利用三角函数的性质求解. 【详解】如图所示：以点C 为原点，以直线EC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则:A (﹣2，﹣1)，B (0，﹣1)，设P (cos θ，sin θ)，(32ππθ≤≤)， ∴()2,1PA cos sin θθ=----，(),1PB cos sin θθ=---，∴2222224PA PB cos sin sin πθθθ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭，∵32ππθ≤≤， ∴57444πππθ≤+≤， ∴2142sin πθ⎛⎫-≤+≤- ⎪⎝⎭， ∴2220PA PB -≤⋅≤，∴PA PB ⋅的取值范围是222,0⎡⎤-⎣⎦. 故★答案★为：222,0⎡⎤-⎣⎦【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三､解答题:(共70分)17.已知非零向量,a b 满足1a =,且()()34a b a b +⋅-=. (1)求b ;(2)当14a b ⋅=-时,求2a b +和向量a 与2a b +的夹角θ的值. 【★答案★】(1)12b =;(2)1，3πθ=.【解析】 【分析】(1) 根据()()34a b a b +⋅-=，得到2234a b -=，再将1a =代入求解.(2)利用求向量模的公式2222||44||+=+⋅+a b a a b b 求解2a b +;利用向量的夹角公式()22θ⋅+=+a a b cos a a b，求θ的值.【详解】(1)∵1a =，且()()34a b a b +⋅-=， ∴2234a b -=，则231||4b -=， ∴12b =; (2)222112||44||144144a b a a b b ⎛⎫+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，∴21a b +=;∴()2112221411122a a b a a b cos a a bθ⎛⎫+⨯- ⎪⋅++⋅⎝⎭====⨯+， ∵0≤θ≤π， ∴3πθ=.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积综合运算及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.已知函数()2214f x sin x cosx π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间; (2)求函数f (x )的最大值及取得最大值时x 的取值集合. 【★答案★】(1)最小正周期T =π, 单调递减区间为[8k ππ+,58k ππ+],(k ∈Z ).(2)最大值为2, x 的取值集合为:{x |x 8k ππ=+,k ∈Z }.【解析】 【分析】(1)将()2214f x sin x cosx π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用两角和与差的正弦公式转化为：()2f x =sin (2x 4π+)，再利用正弦函数的性质求解.(2)利用正弦函数的性质，当 2242x k πππ+=+，k ∈Z 时，函数f (x )取得最大值求解.【详解】(1)∵函数()2214f x sin x cosx π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭=22(sinxcos4π+cosxsin 4π)cosx ﹣1 =2sinxcosx +2cos 2x ﹣1 =sin 2x +cos 2x2=sin (2x 4π+)，∴函数f (x )的最小正周期T 22π==π， 由2π+2k 32242x k ππππ≤+≤+，k ∈Z ， 解得函数f (x )的单调递减区间为[8k ππ+，58k ππ+]，(k ∈Z ). (2)∵f (x )224sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴函数f (x )的最大值为2， 取得最大值时x 的取值集合满足:2242x k πππ+=+，k ∈Z .解得x 8k ππ=+，k ∈Z .∴函数f (x )取得最大值时x 的取值集合为:{x |x 8k ππ=+，k ∈Z }.【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.【★答案★】(1)()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+∈;(3)112m ≤<,,1223x x π+=. 【解析】 【分析】(1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭和函数()f x u v =⋅，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，()26πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x sin x ，再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π求解.(2)依据左加右减，将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后，得到函数()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴.(3)作出函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象，根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-=+∈，求对称轴.【详解】(1)()()2113322ωωωωωω=+-=+-f x sin x sin x cos x sin x sin xcos x ， 31222226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭sin x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π， ∴22T π=， ∴2(0)2ππωω=>， ∴ω=1，故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭; (2)依题意，()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2,2ππ=+∈x k k Z ，则,42ππ=+∈k x k Z ， ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ; (3)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的草图如下，依题意，函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，则112m ≤<， 令2,62x k k Z πππ-=+∈，则,32k x k Z ππ=+∈， ∴函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=，则1223x x π+=.【点睛】本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 20.已知幂函数221()(1)m f x m m x--=--在(0,)+∞上单调递增，又函数()22xxmg x =+. （1）求实数m 的值，并说明函数()g x 的单调性；（2）若不等式(13)(1)0g t g t -++≥恒成立，求实数t 的取值范围. 【★答案★】（1）见解析；（2）1t ≤ 【解析】 【分析】（1）由f （x ）是幂函数，得到m 2﹣m ﹣1＝1，再由f （x ）在（0，+∞）上单调递增，得到﹣2m ﹣1＞0，从而求出m ＝﹣1，进而g （x ）122xx=-，由此能求出函数g （x ）在R 上单调递增； （2）由g （﹣x ）＝2﹣x 12x --=-（122xx-）＝﹣g （x ），得到g （x ）是奇函数，从而不等式g （1﹣3t ）+g （1+t ）≥0可变为g （1﹣3t ）≥﹣g （1+t ）＝g （﹣1﹣t ），由此能求出实数t 的取值范围．【详解】（1）因为()f x 是幂函数，所以211m m --=，解得1m =-或2m =， 又因为()f x 在()0,+∞上单调递增，所以210m -->，即12m <-， 即1m =-，则()122xx g x =-， 因为2xy =与12xy =-均在R 上单调递增， 所以函数()g x 在R 上单调递增. （2）因为()()112222xx x x g x g x --⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝⎭， 所以()g x 是奇函数，所以不等式()()1310g t g t -++≥可变为()()()1311g t g t g t -≥-+=--， 由（1）知()g x 在R 上单调递增，所以131t t -≥--， 解得1t ≤.【点睛】本题考查实数值的求法，考查函数的单调性的判断，考查实数的取值范围的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.如图一块长方形区域ABCD ,AD =2(km ),AB =1(km ).在边AD 的中点O 处,有一个可转动的探照灯,其照射角∠EOF 始终为4π,设∠AOE =α,探照灯O 照射在长方形ABCD 内部区域的面积为S .(1)当0≤α2π<时,写出S 关于α的函数表达式; (2)若探照灯每9分钟旋转“一个来回”(OE 自OA 转到OC ,再回到OA ,称“一个来回”,忽略OE 在OA 及OC 反向旋转时所用时间),且转动的角速度大小一定,设AB 边上有一点G ,且∠AOG 6π=,求点G在“一个来回”中,被照到的时间.【★答案★】(1),S 11102244111()32424tan tan tan tan ππαααππαπαα⎧⎛⎫⎛⎫---≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫=⎨ ⎪⎪ ⎪+<<⎪⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩(2)2分钟 【解析】 【分析】(1) 根据AD =2，AB =1，0≤α2π<，确定点E ，F 的位置，分0≤α4π≤，4π<α2π<，两种情况，利用三角形面积公式求解.(2)先得到“一个来回”中，OE 共转了23342ππ⨯=，其中点G 被照到时，共转了263ππ⨯=，再利用角度关系求解. 【详解】如图所示：(1)过O 作OH ⊥BC ，H 为垂足. ①当0≤α4π≤时，E 边AB 上，F 在线段BH 上(如图①)，此时，AE =tan α，FH =tan (4π-α)， ∴S =S 正方形OABH ﹣S △OAE ﹣S △OHF =112-tan α12-tan (4π-α).②当4π<α2π<时，E 在线段BH 上，F 在线段CH 上(如图②)，此时，EH 1tan α=，FH 134tan πα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得EF 1134tan tan παα=+⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴S =S △OEF 12=(1134tan tan παα+⎛⎫- ⎪⎝⎭).综上所述，S 11102244111()32424tan tan tan tan ππαααππαπαα⎧⎛⎫⎛⎫---≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫=⎨ ⎪⎪ ⎪+<<⎪⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩ (2)在“一个来回”中，OE 共转了23342ππ⨯=， 其中点G 被照到时，共转了263ππ⨯=∴在“一个来回”中，点G 被照到的时间为9332ππ⨯=2(分钟).【点睛】本题主要考查了三角函数再平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.22.对数函数g （x ）=1og a x （a ＞0，a ≠1）和指数函数f （x ）=a x （a ＞0，a ≠1）互为反函数．已知函数f （x ）=3x ，其反函数为y=g （x ）．（Ⅰ）若函数g （kx 2+2x+1）的定义域为R ，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若0＜x 1＜x 2且|g （x 1）|=|g （x 2）|，求4x 1+x 2的最小值；（Ⅲ）定义在I 上的函数F （x ），如果满足：对任意x ∈I ，总存在常数M ＞0，都有-M ≤F （x ）≤M 成立，则称函数F （x ）是I 上的有界函数，其中M 为函数F （x ）的上界．若函数h （x ）=()()1mf x 1mf x -+，当m ≠0时，探求函数h （x ）在x ∈[0，1]上是否存在上界M ，若存在，求出M 的取值范围，若不存在，请说明理由．【★答案★】（Ⅰ）k ＞1；（Ⅱ）4；（Ⅲ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）因为g （x ）=1og a x 与f （x ）=3x ，互为反函数，所以a=3，得g （kx 2+2x+1）= log 3（kx 2+2x+1）的定义域为R ，所以kx 2+2x+1＞0恒成立，可求解k 的范围；（Ⅱ）由|g （x 1）|=|g （x 2）|，得|log 3x 1|=|log 3x 2|，分析化简得x 1x 2=1，4x 1+x 2=4x 1+11x ，利用双勾函数求其最值；（Ⅲ）由h （x ）=xx1m 31m 3-⋅+⋅=－1+x 21m 3+⋅，分m ＞0和m ＜0分别求出h （x ）的取值范围，然后讨论其上下界.【详解】（Ⅰ）由题意得g （x ）=log 3x ，因为g （kx 2+2x+1）=log 3（kx 2+2x+1）的定义域为R ， 所以kx 2+2x+1＞0恒成立， 当k=0时不满足条件， 当k≠0时，若不等式恒成立， 则{k 044k 0>=-<，即{k 0k 1>>，解得k ＞1；（Ⅱ）由|g （x 1）|=|g （x 2）|，得|log 3x 1|=|log 3x 2|， 因为0＜x 1＜x 2，所以0＜x 1＜1＜x 2，且－log 3x 1=log 3x 2， 所以log 3x 1+log 3x 2=log 3x 1x 2=0， 所以x 1x 2=1， 所以则4x 1+x 2=4x 1+11x ，0＜x 1＜1， 因为函数y=4x+1x 在（0，12）上单调递减，在（12，1）上单调递增， 所以当x 1=12时，4x 1+x 2取得最小值为4． （Ⅲ）h （x ）=xx1m 31m 3-⋅+⋅=－1+x 21m 3+⋅，（m≠0）， （i ）当m ＞0，1+m3x ＞1，则h （x ）在[0，1]上单调递减， 所以13m 13m -+≤h（x ）≤1m1m-+，①若|1m 1m -+|≥|13m 13m -+|，即m∈（0，33]时，存在上界M ，M∈[|1m 1m -+|，+∞）， ②若|1m 1m -+|＜|13m 13m -+|，即m∈（33，+∞）时，存在上界M ，M∈[|13m 13m -+|，+∞）， （ii ）当m ＜0时， ①若－13＜m ＜0时，h （x ）在[0，1]上单调递增，h （x ）∈[1m 1m -+，13m 13m -+]，存在上界M ，M∈[13m 13m-+，+∞），②若m=－13时，h （x ）=－1+x 21133-⋅在[0，1]上单调递增，h （x ）∈[2，+∞），故不存在上界．③若－1＜m ＜－13时，h （x ）在[0，log 3（－1m ））上单调递增，h （x ）在（log 3（－1m），1]上单调递增，h （x ）∈（－∞，1m 1m -+]∪[13m 13m-+，+∞）故不存在上界， ④若m=－1，h （x ）=－1+x 213-在（0，1]上单调递增，h （x ）∈（－∞，－2]，故不存在上界 ⑤若m ＜－1，h （x ）在[0，1]上单调递增，h （x ）∈[1m 1m -+，13m 13m -+]，而13m 13m-+＜0，存在上界M ，M∈[|1m 1m-+|，+∞）； 综上所述，当m ＜－1时，存在上界M ，M∈[|1m 1m-+|，+∞）， 当－1≤m≤－13时，不存在上界， 当－13＜m ＜0时，存在上界M ，M∈[13m 13m -+，+∞）， 当m∈（0，33]时，存在上界M ，M∈[|1m 1m -+|，+∞）， 当m∈（33，+∞）时，存在上界M ，M∈[|13m 13m -+|，+∞）． 【点睛】本题考查了反函数的概念，对数函数的定义域，恒成立问题与分类讨论，综合性较强，属于难题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
广东省茂名市2019年高一上学期数学期末考试试卷C卷
广东省茂名市 2019 年高一上学期数学期末考试试卷 C 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） 椭圆 A . (0，3)或(0，－3)上一点 P 到两焦点的距离之积为 m，则 m 取最大值时 P 点坐标是（ ）B.或C . (5，0)或(－5，0)D.或2. （2 分） 命题“A.B.C.D.”的否定是（ ）3. （2 分） (2020 高一上·南开期末) 下列函数中为偶函数，且在A. B. C.上单调递增的是（ ）D.4. （2 分） (2020 高一上·南开期末) “”是“A . 充分不必要条件第 1 页 共 12 页”的（ ）B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 5. （2 分） (2020 高一上·南开期末) A. B.等于（ ）C.D. 6. （2 分） (2020 高一上·南开期末) 设 是（ ） A. B. C. D.，，，则 、 、 的大小顺序7. （2 分） (2020 高一上·南开期末) 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移 个单位长度C . 向左平移 个单位长度 D . 向右平移 个单位长度第 2 页 共 12 页8. （2 分） (2020 高一上·南开期末) 如图 是某条公共汽车线路收支差额 与乘客量 的图象（收支差 额 车票收入 支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图 变为图 与图 ，从而提出了扭 亏为盈的两种建议．下面有 种说法：⑴图 的建议是：减少支出，提高票价；（2）图 的建议是：减少支出，票价不变；（3）图 的建议是： 减少支出，提高票价；（4）图 的建议是：支出不变，提高票价；上面说法中正确的是（ ）A . （1）（3） B . （1）（4） C . （2）（4） D . （2）（3）9. （2 分） (2020 高一上·南开期末) 已知三个函数的零点依次为 、 、 ，则（），，A.B.C.D.10. （2 分） (2018 高一上·江苏月考) 若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数 为“孪生函数”．那么函数解析式为 y=2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（ ）A . 15 个B . 12 个C . 9个第 3 页 共 12 页D . 8个二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)11. （1 分） (2016 高一下·红桥期中) 甲乙两台机床同时生产一种零件，10 天中，两台机床每天出的次品数 分别是甲 0102203124乙 2311021101由此判断性能较好的一台是________．12. （1 分） (2019 高一上·台州月考) 函数的定义域为________；13. （1 分） (2016 高一上·泗阳期中) 已知函数 y=f（x）是定义在[﹣4，4]上的偶函数，且 f（x）=，则不等式（1﹣2x）g（log2x）＜0 的解集用区间表示为________ 14. （1 分） (2017·石嘴山模拟) 设向量 =（cosα，﹣1）， =（2，sinα），若 ⊥ ，则 tan（α ﹣ ）=________．15. （1 分） (2018 高三上·盐城期中) 在△ABC 中，AB＝2，AC＝1，A＝ ，则 AD＝________．，点 D 为 BC 上一点，若三、 解答题 (共 5 题；共 55 分)16. （10 分） (2017·绵阳模拟) 函数 p（x）=lnx+x﹣4，q（x）=axex（a∈R）．（Ⅰ）若 a=e，设 f（x）=p（x）﹣q（x），试证明 f′（x）存在唯一零点 x0∈（0， 大值；），并求 f（x）的最（Ⅱ）若关于 x 的不等式|p（x）|＞q（x）的解集中有且只有两个整数，求实数 a 的取值范围．17. （10 分） (2019 高一上·水富期中) 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元.设该公司的仪器月产量为 台，当月产量不超过 400 台时，总收益为量超过 400 台时，总收益为元.（注：总收益=总成本+利润）元，当月产第 4 页 共 12 页（1） 将利润表示为月产量 的函数；（2） 当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？18. （10 分） (2019·南通模拟) 如图 1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形，分别为和 ，上部是圆心为 的劣弧 ，．的长（1） 求图 1 中拱门最高点到地面的距离；（2） 现欲以 B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形所在的平面始终与地面垂直，如图 2、图 3、图 4 所示．设 与地面水平线 所成的角为 ．记拱门上的点到地面的最大距离为 ，试用 的函数表示，并求出 的最大值．19. （15 分） (2020 高一上·南开期末) 已知函数．（1） 求的最小正周期和对称中心；（2） 求的单调递减区间；（3） 当时，求函数的最小值及取得最小值时 的值．20. （10 分） (2020 高一上·南开期末) 已知二次函数的最小值为．，，（1） 求函数的解析式；（2） 设.（i）若在上是减函数，求实数 的取值范围；（ii）若在内恰有一个零点，求实数 的取值范围．第 5 页 共 12 页一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)11-1、 12-1、 13-1、 14-1、参考答案15-1、第 6 页 共 12 页三、 解答题 (共 5 题；共 55 分)第 7 页 共 12 页第 8 页 共 12 页17-1、 17-2、 18-1、第 9 页 共 12 页第 10 页 共 12 页19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、。
广东省深圳市宝安区2019年高一上学期期末考试数学试题(含答案)
点得
F
是
BC
的中点，所以���⃗⃗���⃗⃗���⃗���
=
1 2
���⃗⃗���⃗⃗����⃗���，
所以���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� = ���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� + ���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� = 1 ���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� − 1 ���⃗⃗���⃗⃗⃗���⃗���，
2
2
故选：D．
由题意点 E，F 分别是 DC，BC 的中点，求出���⃗⃗���⃗⃗���⃗���，���⃗⃗���⃗⃗���⃗���，然后求出向量���⃗⃗���⃗⃗���⃗���即得．
5. 若将函数������ = 2sin2������的图象向左平移1������2个单位长度，则平移后的图象的对称轴为( )
26
故选：B．
利用函数������ = ������sin(������������ + ������)(������ > 0, ������ > 0)的图象的变换及正弦函数的对称性可得答
案．已知函数������(������) = ������ + log2(������2 + ������)(������ > 0)的最小值为 8，则( )
2. 化简cos 15∘cos 45∘ − sin15∘sin 45∘的值为( )
A.
−1
2
B. √3 2
C.
1 2
D. − √3 2
【答案】C
【解析】解：cos
15∘cos
45∘
−
sin15∘sin
45∘
=
cos(15∘
+
45∘)
=
广东省阳江市2019年高一上学期数学期末考试试卷(II)卷
广东省阳江市 2019 年高一上学期数学期末考试试卷（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 27 分)1. （2 分） 若 a 是函数 A . f(x0)=0的零点，若 0<x0<a，则 f(x0)的值满足（ ）B . f(x0)<0C . f(x0)>0D . f(x0)的符号不确定2. （2 分） 已知 f（x）是以 2 为周期的偶函数，当 x∈[0, 1]时，f（x）＝x，那么在区间[－1,3]内关于 x 的方程 f（x）＝kx＋k＋1（k∈R，k≠－1）的根的个数（ ）A . 不可能有 3 个B . 最少有 1 个，最多有 4 个C . 最少有 1 个，最多有 3 个D . 最少有 2 个，最多有 4 个3. （2 分） (2018 高一上·哈尔滨月考)是（ ）A . 第一象限角B . 第二象限角C . 第三象限角D . 第四象限角4. （2 分） 在单位圆中，面积为 1 的扇形所对的圆心角为（ ）弧度A.1B.2第 1 页 共 10 页C.3 D.45. （2 分） 已知 α 是第二象限角，则 是（ ） A . 第一象限角 B . 第二象限角 C . 第一或第二象限角 D . 第一或第三象限角6. （2 分）的值为（ ）A.B. C.3D. 7. （2 分），则的值为 （ ）A.B.C.D. 8. （2 分） 要得到函数的图象，可以将的图象（ ）A . 向左平移第 2 页 共 10 页B . 向右平移C . 向左平移D . 向右平移 9. （2 分） (2017·通化模拟) 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac， 则角 B 的值是（ ）A.B.C. 或D. 或 10. （2 分） 关于函数的四个结论：P1：最大值为 ；P2：把函数的图象向右平移 个单位后可得到函数的图象；P3：单调递增区间为[]， ；P4：图象的对称中心为(，．其中正确的结论有（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个11. （2 分） (2017 高一上·鞍山期末) 函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，第 3 页 共 10 页则 f（ ） =（ ）A.B.C. D.12. （5 分） 若函数 f（x）=cos2x+asinx 在区间（ ， ）是减函数，则 a 的取值范围是（ ）A . （2，4）B . （﹣∞，2]C . （﹣∞，4]D . [4，+∞）二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2020 高一上·武汉期末) 函数的最大值是________，最小值是________.14. （1 分） (2017·深圳模拟) 设当 x=α 时，函数 f（x）=3sinx+cosx 取得最大值，则 tan2α=________．15. （1 分） 已知函数 y=f（x）是 R 上的偶函数，对于任意 x∈R，都有 f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当 x1 ，x2∈[0，3]，且 x1≠x2 时，都有 ①f（3）=0；． 给出下列命题：②直线 x=﹣6 是函数 y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数 y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；第 4 页 共 10 页④函数 y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点． 其中所有正确命题的序号为________ 把所有正确命题的序号都填上）16. （1 分） (2019 高一上·阜阳月考) 已知 轴恰好有 2 个交点，则 的取值范围是________.三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)，函数，若的图像与17. （5 分） (2018 高一上·鹤岗月考) 已知角 的终边过点，且值.，求和的18. （10 分） (2017 高二下·徐州期末) 已知 α∈（ ，π），且 sin +cos = （1） 求 sinα 的值；（2） 求 cos（2α+ ）的值．19. （10 分） (2018 高一下·瓦房店期末) 在中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，，，且满足.（1） 求角 的大小；（2） 设函数，求函数的最小正周期和单调递增区间.20. （10 分） (2019 高三上·日喀则月考) 已知向量 .，，函数（1） 求的最大值与周期 ；（2） 求的单调递增区间.21. （5 分） 0＜a＜1，0＜b＜1 且 ab=ba ， 试比较 a 与 b 的大小．22. （10 分） (2018·长宁模拟) 已知函数．第 5 页 共 10 页（1） 求证：函数是偶函数；（2） 设，求关于 的函数（3） 若关于 的不等式在时的值域的表达式；在时恒成立，求实数 的取值范围．第 6 页 共 10 页一、 单选题 (共 12 题；共 27 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)参考答案13-1、 14-1、 15-1、第 7 页 共 10 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)17-1、18-1、 18-2、 19-1、第 8 页 共 10 页19-2、20-1、 20-2、21-1、 22-1、第 9 页 共 10 页22-2、 22-3、第 10 页 共 10 页。
广东省东莞市2019—2020学年高一上学期期末数学试题(教师版)
2019—2020学年度第一学期教学质量检查高一数学一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3}A =，{3,5}B =，则()U C A B =（ ）A. {1,2,4,5}B. {1,3,5}C. {2,4}D. {}1,5 【答案】C【解析】【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】由{1,3}A =，{3,5}B =，所以{}1,3,5A B =，又{1,2,3,4,5}U =，所以{}()2,4U C A B =，故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2.直线310l y -+=的倾斜角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】A【解析】【分析】首先求出直线的斜率k ，由tan k α=即可求解.【详解】3310x y -+=，13y x ∴=+，k ∴=，由tan k α==30α∴=，故选：A【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系以及常见角的正切值，属于基础题.3.下列函数中，与函数()1f x x =+(x ∈R )的值域不相同的是（ ）A. ()y x x R =∈B. 3()y x x R =∈C. ln (0)y x x =>D. ()x y e x R =∈ 【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义域求出函数()1f x x =+()x R ∈的值域，然后由幂函数、指数函数、对数函数再求出各选项函数的值域即可求解.【详解】函数()1f x x =+(x ∈R )的值域为R .对于A ，()y x x R =∈值域为R ；对于B ， 3()y x x R =∈值域为R ；对于C ，ln (0)y x x =>值域为R ；对于D ，()x y e x R =∈值域为()0,∞+； 故选：D【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数、幂函数的性质，属于基础题.4.已知lg 0.3a =，0.22b =，0.60.8c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a c b <<B. c b a <<C. b a c <<D. a b c <<【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性即可比较大小.详解】由lg 0.3lg10a =<=，0.20221b =>=，0.600.8.8100c <==<， a c b ∴<<，故选：A【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，需熟记指数函数、对数函数的性质，此题属于基础题.5.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 43π- B. 83π- C. 283π- D. 43π 【答案】C【解析】【分析】根据三视图分析出几何体的几何结构特征：正方体挖去一个圆锥，然后再由正方体与椎体的体积公式即可求解.【详解】由几何体的三视图可知：几何体是以2为边长为正方体挖去一个底边半径为1r =，高为2h =的圆锥， 所以32122833V r h ππ=-⋅=-故选：C.【点睛】本题主要考查几何体的三视图还原几何体的结构特征以及椎体的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.6.东莞某中学高一（1）班组织研学活动，分别是11月16日参观“大国重器”散裂中子源中心和11月17日参观科技强企华为松山湖总部，两个活动各有30个参加名额的限制. 为公平起见，老师组织全班50名学生进行网上报名，经过同学们激烈抢报，活动所有名额都被抢完，且有12名学生幸运地抢到了两个活动的参加名额，则有（ ）名学生遗憾地未能抢到任何一个活动的参加名额.A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【分析】由题意作出韦恩图即可求解.【详解】作出韦恩图如下：由图可知()501812182-++=故选：B【点睛】本题考查了韦恩图的应用，考查了集合的基本运算，属于基础题.7.已知直线1:20l ax y +=与直线2:(1)10l a x y a +-+-=垂直，则a =（ ）A. 2-或1B. 2-C. 1D. 23- 【答案】A【解析】【分析】根据直线方程的一般式，直线垂直：12120A A B B +=即可求解.【详解】由直线1:20l ax y +=与直线2:(1)10l a x y a +-+-=垂直，所以()120a a +-=，解得2a =-或1.故选：A【点睛】本题主要考查两直线垂直根据系数之间的关系求参数，需熟记公式，属于基础题.8.设,m n 表示不同的直线，,αβ表示不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若//m α，//n α，则//m nB. 若//m α，αβ⊥，则m β⊥C. 若//m α，m β⊂，则//αβD. 若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥ 【答案】D【解析】【分析】由线面平行的定义可判断A ；由线面平行的定义以及面面垂直的性质可判断B ；由面面平行的判定定理可判断C ；由面面垂直的判定定理可判断D.【详解】对于A ，若//m α，//n α，则,m n 平行、相交、异面均有可能，故A 不对；对于B ，若//m α，αβ⊥，则,m β可能垂直、平行，也可能m 在β面内，故B 不对；对于C ，若//m α，m β⊂，则,αβ平行、相交，故C 不对；对于D ，若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，由面面垂直的判定定理，则αβ⊥，故D 对；故选：D【点睛】本题主要考查线面、面面之间的位置关系，属于基础题.9.方程11201x e x ---=+的根所在区间为（ ） A. (01)，B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4) 【答案】B【解析】【分析】根据函数与方程以及零点存在性定理即可判断.【详解】令()1121x f x e x -=--+， 由()0111023001f e e-=--=-<+， ()111312022f e -=--=-<， ()2111222033f e e -=--=-->， ()()120f f ∴⋅<，且函数单调递增，()f x ∴零点所在的区间为(1,2)， 故方程11201x e x ---=+的根所在区间为(1,2). 故选：B【点睛】本题主要考查了零点存在性定理，需掌握定理的内容，属于基础题.10.小红去礼品店给大毛买了一盒生日礼物，礼盒是长、宽、高分别为20cm 、20cm 、5cm 的长方体.为美观起见，礼品店服务员用彩绳做了一个新颖的捆扎.如图所示，彩绳以A 为起点，现沿着AB BC CD DE EF FG GH HA →→→→→→→环绕礼盒进行捆扎，其中A 、B 、E 、F 分别为下底面各棱的中点，C D G H 、、、分别为上底面各棱上一点，则所用包装彩绳的最短长度为（ ）A. (40cm +B. (40cm +C. (40cm +D. (40cm +【答案】B【解析】【分析】 40AB EF +=，由图根据对称性FG GH HA BC CD DE ++=++，用绳最短即FG GH HA ++最小，且FG HA =，使2GH HA +最小即可，列出函数关系式，求导求最值即可.【详解】由图根据对称性FG GH HA BC CD DE ++=++，用绳最短即FG GH HA ++最小，且FG HA =，使2GH HA +最小如图，过H 作HO 垂直于点A 所在的边于点O ，长方体的长、宽、高为20cm 、20cm 、5cm设()010OA x x =<<，则())210GH HA f x x +===-，()()()1221225212f x x x -'=⋅⋅+⋅+-=令()0f x '=0=，解得5x =，令()0f x '>0>，解得5x > 令()0f x '<0<，解得5x <，故()f x 在()0,5单调递减，在()5,10单调递增，所以()()min 5f x f ===又40AB EF +=所以用绳最短为(40cm +故选：B【点睛】本题考查了导函数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最值，综合性比较强，属于中档题. 二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．11.函数()m f x x x=-（其中m R ∈）的图象不可能．．．是（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由(),0,0m x x m x f x x m x x x x ⎧->⎪⎪=-=⎨⎪--<⎪⎩，再分类讨论当0m >时，当0m =时，当0m <时，函数对应的单调性，再逐一判断即可得解.【详解】解：由(),0,0m x x m x f x x m x x x x ⎧->⎪⎪=-=⎨⎪--<⎪⎩， 则当0m >时，函数()f x 在()0,∞+为增函数，在(,-∞为减函数，在()为增函数，即选项D 满足题意；当0m =时，函数()f x 在()0,∞+为增函数，在(),0-∞为减函数，即选项A 满足题意；当0m <时，函数()f x 在(),0-∞为减函数，在(为减函数，在)+∞为增函数，即选项B 满足题意，即函数()m f x x x=-（其中m R ∈）的图像不可能是选项C ， 故选：C.【点睛】本题考查了分段函数的图像，重点考查了分段函数的单调性，属基础题.12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14AA AB ==，2BC =，M ，N 分别为棱11C D ，1CC 的中点，则下列说法正确的是（ ）A. A M N B 、、、四点共面B. 平面ADM ⊥平面11CDD CC. 直线BN 与1B M 所成角的为60D. //BN 平面ADM【答案】BC【解析】【分析】 根据AM 、BN 是异面直线可判断A ；根据面面垂直的判定定理可判断B ；取CD 的中点O，连接BO 、ON ，即可判断C ；根据线面平行的判定定理即可判断D.【详解】对于A ，由图显然AM 、BN 是异面直线，故A M N B 、、、四点不共面，故A 错误； 对于B ，由题意AD ⊥平面11CDD C ，故平面ADM ⊥平面11CDD C ，故B 正确；对于C ，取CD 的中点O ，连接BO 、ON ，可知三角形BON 为等边三角形，故C 正确；对于D ，//BN 平面11AA D D ，显然BN 与平面ADM 不平行，故D 错误；故选：BC【点睛】本题主要考查了线面、面面之间的位置关系，属于基础题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上．13.函数11y x =-的定义域是__________.（结果写成集合或区间） 【答案】{5x x ≤且}1x ≠【解析】【分析】 使函数表达式有意义即5010x x -≥⎧⎨-≠⎩，解不等式组即可.【详解】使函数11y x =-有意义，即5010x x -≥⎧⎨-≠⎩， 解得5x ≤且1x ≠，故函数的定义域为{5x x ≤且}1x ≠. 故答案为：{5x x ≤且}1x ≠ 【点睛】本题主要考查函数的定义域，属于基础题.14.已知直线1:10l x ay +-=与2:210l x y ++=平行，则1l 与2l 之间的距离为_______【解析】【分析】首先根据两条直线平行求出参数a ，再有两平行线间的距离公式即可求解.【详解】由直线1:10l x ay +-=与2:210l x y ++=平行， 则12a -=-，即12a =， 故直线11:102+-=l x y ，化为220x y +-=， 又2:210l x y ++=，故1l 与2l==【点睛】本题主要考查两条直线平行斜率的关系以及两平行线间的距离公式，属于基础题.15.我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，PA ⊥平面ABCD ，4PA =，AB =1AD =，则该“阳马”外接球的表面积为________.【答案】20π【解析】【分析】以4PA =，AB =1AD =为棱作长方体，长方体的对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积.【详解】由题意，以4PA =，AB =1AD =为棱作长方体，长方体的对角线即为外接球的直径， 设外接球的半径为R ，则R ==故2420S R ππ==.故答案：20π 【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积公式，属于中档题.16.已知点(0,0),(4,0),(0,4)O A B . 若从点(1,0)P 射出的光线经直线AB 反射后过点(2,0)Q -，则反射光线所在直线的方程为_____________；若从点(,0),(0,4)M m m ∈射出的光线经直线AB 反射，再经直线OB 反射后回到点M ，则光线所经过的路程是__________（结果用m 表示）.【答案】 (1). 220x y -+=【解析】【分析】首先求出点(1,0)P 关于直线AB 的对称点P '，由(2,0)Q -结合点斜式即可求解；求出点(,0),(0,4)M m m ∈关于y 轴对称点P ''，关于直线AB 对称点P '''， P P '''''即为光线经过的路程.【详解】设点(1,0)P 关于直线AB 的对称点为()00,P x y '，直线AB ：40x y +-=， 所以()00000111104022y x x y -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪+-=⎪⎩解得04x =，03y =，故()4,3P '，由(2,0)Q -P Q '∴：()()300242y x --=+--，即220x y -+=. 点(,0),(0,4)M m m ∈关于y 轴对称点(),0P m ''-，设关于直线AB 对称点()11,P x y '''， 由()111101104022y x m x m y -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪+-=⎪⎩解得14x =，14y m =-，故()4,4P m '''-. 故P P '''''==故答案为：220xy -+=【点睛】本题主要考查点斜式方程、中点坐标公式、两点间的距离公式，考查了学生的基本知识，属于基础题.四、解答题: 本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17.已知集合2{|log 1}A x x =≥，{|13}B x a x a =-≤≤+.（1）当1a =时，求A B ；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|24x x ≤≤ （2）3a ≥【解析】【分析】（1）首先求出集合A 、B ，然后再由集合的交运算即可求解.（2）根据A B A ⋃=得B A ⊆，再由集合的包含关系即可求解.【详解】解：（1）由题意可知，{}|2A x x =≥当{}1|04a B x x ==≤≤时，{}|24A B x x ∴=≤≤（2）A B A =Q UB A ∴⊆12a ∴-≥3a ∴≥【点睛】本题主要考查了集合的基本运算以及根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.18.已知ABC ∆的三个顶点是(0,3)A ，(2,1)B ，(1,)C m -.（1）求边AB 的垂直平分线方程；（2）若ABC ∆的面积为8，求实数m 的值.【答案】（1）10x y -+= （2）12m =或-4【解析】【分析】（1）求出线段AB 的中点坐标以及垂直平分线的斜率，由点斜式即可求出直线方程；（2）求出线段AB 的长度，再求出点C 到直线AB 的距离，由三角形的面积公式即可求解.【详解】解：（1）(0,3)(2,1)A B ，∴线段AB 的中点坐标为1,2（）记边AB 的垂直平分线为l ，则1AB l k k ⋅=-31102l k -∴⋅=--，得1l k = ∴线段AB 的垂直平分线l 的方程为21(1)y x -=⨯-，即10x y -+=.（2）AB ==直线:11(2)AB l y x -=-⨯-，即30x y +-=设点C 到直线l 的距离为d，则d==，11822S AB d ∴=⋅=⨯=， |4|8m ∴-=12m =∴或4-.【点睛】本题主要考查点斜式求直线方程、点到直线的距离公式，属于基础题.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1CC ⊥底面ABC ，AB AC =，D ，E ，F 分别为棱1AA ，1BB ，BC 的中点．（1）求证：1BC⊥AF ；（2）若2AB =，1BC CC ==D AEF -的体积；（3）判断直线CD 与平面AEF的位置关系，并说明理由.【答案】（1）证明见解析 （2）3 （3）//CD 平面AEF ，理由见解析 【解析】【分析】（1）首先证出AF BC ⊥，1CC AF ⊥，根据线面垂直的判定定理证出AF ⊥平面11BCC B ，再由线面垂直的定义即证.（2）证出AC 为三棱锥C ADE -的高，利用三棱锥的体积公式以及等体法即可求解.（3）利用线面平行的判定定理即可证出直线CD 与平面AEF 的位置关系.【详解】证明：（1）1CC ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，1CC AF ∴⊥，AB AC =，F 点为BC 的中点，AF BC ∴⊥又1CC BC C ⋂=，1,CC BC ⊂面11BCC BAF ∴⊥平面11BCC B 又1BC ⊂平面11BCC B1AF BC ∴⊥，即1BC AF ⊥（2）2,AB AC BC ===222AB AC BC +=，AB AC ∴⊥三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1CC ⊥底面ABC ，1AA ∴⊥平面ABCAC ⊂平面ABC ,1AA AC ∴⊥又1AA AB A AC ⋂=∴⊥平面11ABB A即AC 为三棱锥C ADE -的高111223D AEF F ADE C ADE ADE V V V S AC ---∆===⨯⨯111(2)22323=⨯⨯⨯= （3）//CD 平面AEF ，证明如下：连接,DE DB ，记DB 与AE 相交于点G ,连接FGD E 、分别为1AA 和1BB 的中点，故,//DA BE DA BE =∴四边形ABED 为平行四边形G ∴为BD 中点，又F 为BC 中点，∴//CD FGCD ⊄又平面AEF ，FG ⊂平面AEF ，//CD ∴平面AEF【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理、线面垂直的定义、等体法求点到面的距离以及线面平行的判定定理，考查了学生的推理能力，属于中档题.20.已知函数2()11x f x e =-+. （1）判断()f x 单调性，并说明理由；（2）判断()f x 的奇偶性，并用定义证明；（3）若不等式(2)(34)0x xf m f -+-<对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）增函数，理由见解析 （2）奇函数，证明见解析 （3）13(,)4+∞ 【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义即可得证.（2）首先判断定义域关于原点对称，利用函数奇偶性定义即可得证.（3）由(1)(2)以及分离参数法将不等式转化为423x x m >-++对任意x ∈R 恒成立，令()423x x g x =-++，求()g x 的最大值即可.【详解】解：（1）()f x 是定义域R 上的增函数.设任意的12x x R ∈，，且12x x <，则12122112222()()()1(1)11(1)(1)x x x x x x e e f x f x e e e e --=---=++++， 因为12x x <,所以120x x e e -<，又211010x x e e +>+>，，所以12())0(f x f x -<即12()()f x f x <，所以()f x 是定义域R 上的增函数.（2）()f x 是奇函数. 证明：因为21()111x x x e f x e e -=-=++，定义域R 关于原点对称 所以对任意x ∈R ，都有11()()11x xx x e e f x f x e e -----===-++ 所以()f x 是奇函数.（3）由（2）知()f x 为R 上的奇函数，所以不等式(2)(34)0x x f m f -+-<对任意x ∈R 恒成立，等价于(2)(34)(43)x x x f m f f -<--=-对任意x ∈R 恒成立.又由（1）知，()f x 在定义域R 上单调递增，得243x x m -<-对任意x ∈R 恒成立即423x x m >-++对任意x ∈R 恒成立.设()423x x g x =-++, 则2113()423(2)24x x x g x =-++=--+，故()g x 在R 上的最大值为134， 所以实数m 的取值范围为13(,)4+∞. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性、奇偶性以及利用函数的性质解不等式，综合性比较强，属于中档题.21.对于一个具有正南正北、正东正西方向规则布局的城镇街道，从一点到另一点的距离是在南北方向上行进的距离加上在东西方向上行进的距离，这种距离即“曼哈顿距离”，也叫“出租车距离”.对于平面直角坐标系中的点111(,)P x y 和222(,)P x y ，两点间的“曼哈顿距离”121212(,)||||d PP x x y y =-+-.（1）如图，若O 为坐标原点，A ，B 两点坐标分别为(2,3)和(4,1)，求(,)d O A ，(,)d O B ，(,)d A B ；（2）若点P 满足(,)5d O P =，试在图中画出点P 的轨迹，并求该轨迹所围成图形的面积；（3）已知函数4(),[1,2]f x x x =∈，试在()f x 图象上找一点M ，使得(,)d O M 最小，并求出此时点M 的坐标.【答案】（1）5,5,4 （2）图见解析，面积为50； （3）M (2,2)【解析】【分析】（1）由题中新定义121212(,)||||d P P x x y y =-+-即可求解（2）设P 点坐标为(,)x y ，由新定义可得||||5x y +=，即P 点的轨迹为正方形，从而可求得面积.（3）由新定义4(,)d O M x x=+，利用函数的单调性即可求出最小值，进而求出点M 的坐标. 【详解】解：（1）由题得(,)|02||03|5d O A =-+-=，(,)|04||01|5d O B =-+-=(,)|24||31|4d A B =-+-=（2）设P 点坐标为(,)x y ，因为点P 满足(,)5d O P =，则||||5x y +=，P 点的轨迹为如图所示正方形（说明：画出图形即可，不用说明理由） 该正方形所围成图形的面积1554502S =⨯⨯⨯=. （3）设点M 坐标为4(,)x x ，则由题4(,)||||d O M x x =+，因为[1,2]x ∈， ∴4(,)d O M x x =+设()g x =4x x+，任取12,[1,2]x x ∈，且12x x <， 则12121244()()()()g x g x x x x x -=+-+121244()()x x x x =-+- 2112124()()x x x x x x -=-+121212(4)()x x x x x x -=-， 12,[1,2]x x ∈，且12x x <，1212120,40,0x x x x x x ∴-<-<>，12()()0g x g x ∴->，()g x ∴在[1,2]上是减函数，∴当2x =，即点M 的坐标为(2,2)时，min ()(2)4g x g ==，即(,)d O M 最小为4.【点睛】本题是一道新定义题目，考查了函数的单调性求最值，属于基础题.22.已知函数()|1|33f x x x x =--+.（1）求函数()f x 的零点；（2）若关于x 的方程2()()0f x mf x n -+=(m n R ∈、)恰有5个不同的实数解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）3-，1，3 （2）(2,3)(3,8)m ∈-⋃【解析】【分析】（1）将函数去绝对值写成分段函数的形式，利用零点的定义解方程即可求解.（2）作出函数2223,(1)()13343,(1)x x x f x x x x x x x ⎧--+<=--+=⎨-+≥⎩的大致图象，令()t f x =，利用数形结合分析可得①当11t =-，2(1,4)t ∈-或当14t =，2(1,4)t ∈-，根据二次函数根的分布即可求解；或直接解方程，根据根的取值范围即可求出m 的取值范围.【详解】解：（1）由题得2223,(1)()13343,(1)x x x f x x x x x x x ⎧--+<=--+=⎨-+≥⎩①当1x <时，令()0f x =，得3x =-或1x =（舍）；②当1x ≥时，令()0f x =，得1x =或3x =，∴函数()f x 的零点是3-，1，3.（2）作出函数2223,(1)()13343,(1)x x x f x x x x x x x ⎧--+<=--+=⎨-+≥⎩的大致图象，如图：令()t f x =，若关于x 的方程2()()0f x mf x n -+=恰有5个不同的实数解解法一：则函数2()g t t mt n =-+的零点分布情况如下： ①当11t =-，2(1,4)t ∈-时，则(1)0(4)0142g g b a ⎧⎪-=⎪>⎨⎪⎪-<-<⎩，得101640142m n m n m ⎧⎪++=⎪-+>⎨⎪⎪-<<⎩，故(2,3)m ∈-；②当14t =，2(1,4)t ∈-时，则(4)0(1)0142g g b a ⎧⎪=⎪->⎨⎪⎪-<-<⎩，得164010142m n m n m ⎧⎪-+=⎪++>⎨⎪⎪-<<⎩，故(3,8)m ∈.综上所述，实数m 的取值范围为(2,3)(3,8)m ∈-⋃.解法二：则方程20t mt n -+=的根的情况如下：①当11t =-，2(1,4)t ∈-时，由11t =-得10m n ++=，则方程2(1)0t mt m --+=，即(1)(1)0t t m +--=，故21(1,4)t m =+∈-，所以(2,3)m ∈-；②当14t =，2(1,4)t ∈-时，由14t =得1640m n -+=，则方程24(4)0t mt m -+-=，即(4)(4)0t t m --+=，故24(1,4)t m =-∈-，所以(3,8)m ∈.综上所述，实数m 的取值范围为(2,3)(3,8)m ∈-⋃.【点睛】本题主要考查函数的零点定义，根据零点或方程根的个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.。
广东省佛山市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
广东省佛山市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知，，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用并集定义运算即可．【详解】4，，5，；．故选：D．【点睛】考查集合的列举法的表示，以及并集的运算，属于基础题.2.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求解即可．【详解】．故选：B．【点睛】本题考查三角函数化简求值，是基本知识的考查．3.下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是；；；．A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】【详解】根据题意，依次分析4个函数，对于，为奇函数，且在上为减函数，不符合题意；对于；为偶函数，不符合题意，对于，有，为奇函数，且，为增函数，符合题意，对于，有，为奇函数，且，为增函数，符合题意；则是奇函数且在区间上是增函数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4.方程的根所在的区间为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令函数，则方程的根即为函数的零点再根据函数零点的判定定理可得函数零点所在区间．【详解】令函数，则方程的根即为函数的零点，再由，且，可得函数在上有零点．故选：C．【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．5.函数的最大值为A. 2B.C.D. 1【答案】A【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式得：，由三角函数的有界性得：，可得解．【详解】，所以，故函数的最大值为2，故选：A．【点睛】本题考查了两角和差的正余弦公式及三角函数的有界性，属简单题．6.已知函数的最小值为则实数m的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用分段函数的表达式转化求解函数的最小值，求解m的范围即可．【详解】函数的最小值为．可知：时，由，解得，因为是增函数，所以只需，恒成立即可．，所以，可得．故选：B．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，属于基础题．7.已知函数的部分图象如图所示，则的值可以A. B. C. D. 【答案】A【解析】由函数图象经过点，代入解析式得的值．【详解】由函数图象经过点，且此点为五点作图中第3个点，故代入解析式得，，故，．故选：A．【点睛】本题给出正弦型三角函数的图象信息，确定其解析式，属于简单题．8.函数的大致图象为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性，排除选项，利用函数的导数，判断函数的单调性，推出结果即可．【详解】函数是奇函数，排除选项A,B，当时，函数的导数为：，可得函数的极值点并且，，函数是减函数，，，函数是增函数，所以函数的图象是C．故选：C．【点睛】本题考查函数的图象的判断，函数的单调性的应用，考查数形结合以及计算能力．9.若，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】对a，b，c通分即可得出，从而得出a，b，c的大小关系．【详解】又所以.所以故选：B．【点睛】本题考查对数的运算性质，分数指数幂的运算，对数函数的单调性．10.为了得到函数的图象，可以将的图象A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】由条件根据函数的图象变换规律，可得结论．【详解】由于：，故：将函数图象上所有的点向左平移个单位，可得：的图象．故选：A．【点睛】本题主要考查诱导公式、函数的图象变换规律，属于基础题．11.某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是参考数据：，，A. 2020B. 2021C. 2022D. 2023【答案】C【解析】【分析】设该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是第n年，则，进而得出．【详解】设该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份为n，则，则，取．故选：C．【点睛】本题考查了对数的运算性质、对数函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.已知函数，对于任意，都有，且在有且只有5个零点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得的图象关于点对称，可得，再根据在有且只有5个零点，则可得，结合所给的选项，求得的值．【详解】函数，对于任意，都有，故的图象关于点对称，，即，．在有且只有5个零点，则，求得，综上，结合所给的选项可得，，故选：A．【点睛】本题主要考查三角函数的图象的对称性和零点，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】要使得原函数有意义，则需满足，解出x的范围即可．【详解】要使原函数有意义，则：；；原函数的定义域为：．故答案为：．【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域．14.函数且的反函数过点，则______．【答案】3【解析】【分析】由函数，且的反函数的图象过点，可得：图象过点，即可得出．【详解】由函数，且的反函数的图象过点，可得：图象过点，，又，．故答案为：3．【点睛】本题考查了互为反函数的性质，属于基础题．15.已知，则______．【答案】【解析】【分析】由题意利用二倍角的正切公式求得的值，再利用两角和的正切公式求得的值．【详解】已知，，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式，两角和的正切公式的应用，属于基础题．16.设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由当时，，函数是奇函数，可得当时，，从而在R上是单调递增函数，且满足，再根据不等式在恒成立，可得在恒成立，即可得出答案．【详解】当时，，函数是奇函数当时，，在R上是单调递增函数，且满足，不等式在恒成立，在恒成立，即：在恒成立，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知，求和的值．求和【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用诱导公式求得的值．利用两角和差的三角公式求得和的值．【详解】，，，．；．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，两角和差的三角公式的应用，属于基础题．18.已知函数，．若是R上的偶函数，求a的值．判断的奇偶性，并证明．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】根据是R上的偶函数，即可得出，即得出从而求出；可看出为偶函数，根据偶函数的定义证明即可．【详解】是R上的偶函数；；；；；是偶函数，证明如下：的定义域为R，且；是偶函数．【点睛】考查偶函数的定义及判断方法，以及对数的运算性质．19.写出以下各式的值：______；______．结合的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．【答案】（1），，；（2）见解析.【解析】【分析】利用特殊角的三角函数进行计算当，，借助于和差角的三角函数公式进行证明即可．【详解】，，，当，，证明：，则，，，.【点睛】本题考查归纳推理，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.如图是半径为lm的水车截面图，在它的边缘圆周上有一动点P，按逆时针方向以角速度每秒绕圆心转动作圆周运动，已知点P的初始位置为，且，设点P的纵坐标y是转动时间单位：的函数记为．求，的值，并写出函数的解析式；选用恰当的方法作出函数，的简图；【答案】（1），；（2）见解析；（3）【解析】【分析】由题意分别计算和的值，写出的解析式；根据题意列表、描点、连线，作出函数在的简图即可；由函数的图象与性质得出、与的大小．【详解】由题意，，，函数，；根据题意列表如下；在直角坐标系中描点、连线，作出函数在的简图如图所示；由函数的图象与性质知【点睛】本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了函数图象与性质的应用问题，是中档题．21.已知函数，，，其中e为自然对数的底数，．试判断的单调性，并用定义证明；求证：方程没有实数根．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】根据函数的单调性的定义证明即可；根据函数的单调性求出，从而证明结论．【详解】在递增，设a，且，则，，，，，故，即，故在递增；证明：当时，的值域是，由，解得：，当时，，故，当时，，，又，故，综上，当时，，故方程没有实数根．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查转化思想，是一道常规题．22.设，或，，．从以下两个命题中任选一个进行证明：当时函数恰有一个零点；当时函数恰有一个零点；如图所示当时如，与的图象“好像”只有一个交点，但实际上这两个函数有两个交点，请证明：当时，与两个交点．若方程恰有4个实数根，请结合的研究，指出实数k的取值范围不用证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】由函数的零点及方程的根的关系得：当时，令，解得：，即函数恰有一个零点，且此零点为2，再用判别式判断函数的零点个数由二次方程区间根的问题得：，由韦达定理得：，，所以，．结合的研究，实数k的取值范围为：，得解【详解】当时，，令，解得：，即函数恰有一个零点，且此零点为2，证明：当时，，令，解得：，所以函数恰有一个零点，且此零点为，，所以，又，所以，所以方程，有两个不等实数根，记为，，由韦达定理得：，，所以，，即，，所以当时，与两个交点．结合的研究，实数k的取值范围为：，故答案为：．【点睛】本题考查了函数的零点及方程的根的关系、二次方程区间根的问题，属中档题．。
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C. - 3 4
9. 已知 ABC 中， a 1,b 3, A 30 0，则 B 等于（
D. - 11 4
）
A.
30 0
B. 30 0 或150 0 C. 600 D.
60 0 或120 0
10. 将函数 y
2sin(2x
) 的图象向右平移 后，所得图象对应的函数为（
6
4
）
A. y 2sin(2x ) 4
B. y 2sin(2x ) 3
C. y 2sin(2x ) 4
D. y 2sin(2x ) 3
11. 已知 为第二象限角， sin cos
3 ，则 cos 2 （ ）
3
A. 12. 函数 f (x)
5 3
2
1 log x , x 1，则 y 2x,x 1
B. 5 9
C. 5 9
f (x 1) 的图象大致是（ ）
元．经 测算 和市 场调查，若 该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年 总费用由两部
分组成：一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780 元，其中纯净水的销 售
价 x （元/桶）与年购买总量 y （桶）之间满足如图所示的关系． （1）求 x 与 y 的函数关系； （2）当 a 为 120 时，若该班每年需要纯净水 380 桶，请你根据提供的信息分析一下：
16. 已知函数 f (x) 是定义在 [ 2,2] 上的增函数，且 f (1 m) f (m ) ，则实数m 的取值范
围______ ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17. 已知 (0, ),sin
5.
2
5
（1）求 sin(
) 的值； 4
（2）求 tan 2 的值．
18. 已知向量a
10
B.
化成度是 600 0
3
D. 12 化成度是15 0
5. 幂函数的图象经过点 (3, 3 ) ，则 f (2) 的值等于（ ） 3
A. 4
1 B.
4
C. 2
D. 2 2
6. 函数 f (x) lg x x 2 的零点所在的区间是（ ）
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,10)
7. 已知 AB (5, 3),C ( 1,3), CD 2 AB ，则点 D 的坐标为（ ）
A.
(11,9)
B. (4,0)
C. (9,3)
D.
(9, 3)
8. 已知 y f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f (x) 2x 1，则 f ( 2) 等于
（）
A. 3
B. - 3
13、 [3, ) 14、 2 三、解 答题
15、 2 5
16、 ( 1 ,2] 2
17.解：（1）∵
(0, ),sin 2
5 cos
5
2 5 ……2′ 5
∴ sin(
) sin cos cos sin
5 2 2 5 2 3 10 ．……5′
4
4
4 5 2 5 2 10
（2）∵ tan
sin
1 ……7′∴ tan 2
2 tan
4 ．……10′
cos 2
1 tian 2 3
18. 解:（1）∵ a b ∴ a b 0 ……1′ 即 ( 2,2) (5,k) 0 ……3′
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应的答案符号涂黑；如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指
定 区域 内的 相应 位置 上；如 需改 动，先划掉原来的答案，然后再写 上新 的答 案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
高一级教 学质量监测
数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页，全卷三大题 22 小题，满分 150 分，考试用 时 120 分钟。
注 意事 项:1.答卷前 ,考 生务 必用 黑色 字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名 、考试 科目 、班级 和
考生号等信息填写在答题卡上，并用 2B 铅笔将考号在答题卡相关的区域内涂 黑。
A.
y x2 1
B. y x 1
3. 若单位向量 a,b 的夹角为 150°，则 a b的值 为（ ）
D. {0,2,4,6,8,10}
C. y
1
x2
D.
y
x3
A. 3 2
B. 2 2
4. 下列转化结果错误的是（ ）
A. 60 0 化成弧度是 3
7 C. 1500 化成弧度是
6
C. 1 2
D. 3 2
4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡答卷交给监考老师。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题，每题 5 分,共 60 分)
1.
设集合 A
{0,2,4,6,8,10} , B
{4,8}
,则
C
B
A
=（
）
A. {4,8}
B. {0,2,6}
C. {0,2,6,10}
2. 下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ）
20. ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ，已知 2cos C (a cos B b cos A) C .
（1）求 C ；
（2）若 c
7 ， ABC 的 面积为 3 3 ，求 ABC 的周长． 2
21. 某校高一（1）班共有学生 50 人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是 a
该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料相比，哪一种花钱更少？
22. 已知函数 f (x) x2 2ax 1 a ． 若 a 1，求函数 f (x) 的最大值； 若函数 f (x) 在区间 [0,1] 上的最大值是 2， 求实数 a的值
一、 选择题
数学 答案
1-5 CDDCD 6-10BDBDD 11-12 AB 二、 填空题
( 2,2), b
(5, 值；
（2）若 (a 2b) //(2a
b) ，求实数 k 的值。
19. 已知函数 f (x) Asin( x )(A 0, 0, （1）求函数 f (x) 的解析式；
) 的部分图象如图所示． 2
（2）求函数 f (x) 在区间 x [0, ] 上的最大值和最小值． 2
D. 5 3
A.
B.
C.
D.
第 II 卷（共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题，每题 5 分,共 20 分)
13. 函数 y 2x 8的定义域为 ．
14. 已知扇形的圆心角
2 ，半径 r 3 ，则扇形的弧长 l 为______ ． 3
15. 若角 的终边过点 (1, 2) ，则 sin cos =______．