解析几何经典例题

解析几何经典例题

圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。

一、椭圆定义的深层运用

例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从

的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F

2

P的延长线于N，求M的轨迹方程。

图1

解析：易知故

在中，

则点M的轨迹方程为。

二、双曲线定义的深层运用

例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从

的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。

图2

解析：不妨设P点在双曲线的右支上，

延长F

1M交PF

2

的延长线于N，

则，

即

在

故点M的轨迹方程为

三、抛物线定义的深层运用

例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。

图3

解析：易知抛物线的准线l：，

作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M”

则

即M到直线的最短距离为2

故M到直线y＝－1的最短距离为。

评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，

求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。

四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用

例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）

图4

②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）

A. 圆

B. 椭圆

C. 双曲线

D. 抛物线

解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|，

而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ|

即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝

故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点

长轴长为2的椭圆。应选B。

②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。

五、椭圆与双曲线定义的综合运用

例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。

图5

解析：①由椭圆定义知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|， 即 故P 的轨迹为A （－7，0）、B （7，0）为焦点 实轴长为2的双曲线的一支，

其方程为；

②经讨论知，无论A 在双曲线的哪一支上

总有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14

故点Q 的轨迹为以A （－7，0）、B （7，0）为焦点

长轴长为28的椭圆，其方程为。

［练习］

1. 已知椭圆E 的离心率为e ，左、右焦点为F 1、F 2，抛物线C 以为焦点，

为其顶点，若P 为两曲线

的公共点，且

，则e ＝__________。

答案：

2. 已知⊙O ：，一动抛物线过A （－1，0）、B （1，0）两点，且以圆的切线为准线，求动抛物线的焦点F 的轨迹方程。

答案：

圆锥曲线中的方法与运算

1. (与名师对话第51练) 已知抛物线2

21y x =-,点(2,0)A , 问是否存在过点A 的直线

l ,

使抛物线上存在不同的两点关于直线l 对称,如果存在, 求出直线l 的斜率k 的取值范围; 如果不存在,请说明理由.

分析: 这是一个求变量(斜率k )的取值范围问题, 我们必须给出与变量(斜率k )相关的变量(根据题设寻找)的关系式(组), 显然,这个关系式(组)应由按题设揭示出的几何条件转换得到.

我们由题设揭示出的几何条件是: 抛物线上关于直线l 对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两个不同的交点,并且交点为端点的线段的中点在直线l 上. 相应得到一个不等式和一个等式组成的变量关系式(组). 解这个关于式组即可得变量k 的取值范围.

解: 设直线l 的方程为(2)y k x =-,若0k =,则结论显然成立,即0k =可取.若0k ≠,

则直线PQ 的方程为1

y x m k =-+, 由方程组21,21,

y x m k

y x ?

=-+???=-?

可得,2

2210y y kb +-+=

.

∵ 直线PQ 与抛物线有两个不同的交点,

∴ 2

44(21)0,k kb =--+> 即 2

120k kb -+>. 设线段PQ 的中点为G(00,x y ), 则12

02

y y y k +==-,

∴ 2

12

0(

)()2

y y x k km k k km k km +=-+=--+=+,

∵ 点G(00,x y )在直线l 上, ∴ k -=2

(2)k k km +-, 由 0k ≠可得, 2

1k m k

-=

,

∴ 2

12k k

-+2

1k k

-0>, 21k < (0k ≠) , ∴ 10k -<<或01k <<.

综上所述, 直线l 的斜率k 的取值范围为1-1k <<.

2. (与名师对话第51练)已知直线l 过点M (1,0),且与抛物线2

2x y =交于,A B 两点,

O 为原点,点 P 在y 轴的右侧且满足:1122

O P O A O B =+

.

（1）求点P 的轨迹C 的方程;

（2） 若曲线C 的切线的斜率为λ,满足:M B M A λ=

,点A 到y 轴的

距离为a ,求a 的取值范围.

分析：由1122

O P O A O B =

+

可知，点P 的轨迹C 就是弦AB 的中点的轨迹. 解(1) 显然直线l 的斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为: 1y k x =-（）,由方程组

2

12y k x x y =-??=?（），，

消去y 整理得2

220x kx k -+=,设1122(,),(,)A x y B x y , 122x x k +=,

∴ 12

2

p x x x k +=

=, 2

1p y k k k k =-=-（）, 消去k 得点P 的轨迹C 的轨迹方程为:

2

y x x =-.

∵ 2

480k k ->, ∴ 0k <或2k >,

∵ 点P 在y 轴的右侧, ∴ 2x k =>,故点P 的轨迹C 为抛物线2

y x x =-上的一段弧. 分析: 点A 到y 轴的距离为a 就是点A 的横坐标的绝对值.因为曲线C 的切线的斜率为λ,所以

λ='21y x =-,由2x >知,3λ>,由此可知,我们必须建立点A 的横坐标的绝对值关于λ的关系.

解(2): 设1122(,),(,)A x y B x y ,

则由M B M A λ=

可知,22(,)(1,0)x y -=λ[11(,)(1,0)x y -],

∴211(1)x x λ-=-,21y y λ= ,

∴ 211x x λλ=-+, 2

2

21x x λ=, ∴ 2

2

11[(1)]x x λλλ--= ∵ 1λ≠,

∴ 2

11210x x λλλ-+-=,

方法(一

) 112x λ

=

=±

3λ>),

∴

11(3)a x λ==±

>,

∴ a

∈(1,1)3

-

(1,13

?+

.

方法(二) 2

11

(1)x λ

-=

, (3λ>),

∴ 1

103

λ

<

<

, 0<2

1(1)x -13

<

, ∴ 11x ≠

且1113

3

x -

<<+

∴ a

∈(13

-(1,13

?+

.

3. (与名师对话第51练) 已知抛物线的方程为2

2x py = (0)p >,过点M (0,)m 且倾斜角 为θ(0<θ<

2

π

)的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点,且2

12x x p =-.

（1）求m 的值;

（2）若点M 分AB

所成的比为λ,求λ关于θ的函数关系式.

分析: 要求m 的值,必须给出关于m 的方程. 解(1): 设过点M (0,)m 且倾斜角为θ(0<θ<

2

π

)的直线的方程为y kx m =+.

由方程组2

2y kx m x py =+??

=?，，

消去y 整理得2

220x pkx pm --=, 则122x x pm =-,

∵ 2

12x x p =-, ∴ 2pm -2

p =-, 2

p m =.

分析: 由2

p m =

可知过点M (0,)m 且倾斜角为θ(0<θ<

2

π

)的直线为2

p y kx =+

.先建立关于

k 的函数关系式,再转换为关于θ的函数关系式.

解(2): ∵ 关于θ的函数关系式,

∴ AM M B λ= , 1122(0,)(,)[(,)(0,)]22

p p

x y x y λ-=-,

1212,

(),22

x x p p y y λλ=-???-=-?? 由(1)可知2

12122,x x pk x x p +==-,

由方程组1212212

,

2,,x x x x pk x x p λ?=-?+=??=-?可消去12,,x x p 得,22

2(21)10k λλ-++=.

∵ 0<θ<

2

π

, ∴ 1λ<,

故2

212k k λ=+-

2

2

2

(1sin )2tan 12tan cos θθθ

θ

-+-=

=

1sin 1sin θθ

-+.

4. (与名师对话第51练)

已知方向向量为(1,v = 的直线l 过点(0,-2)和椭圆C:22221x y

a b

+=

(0)a b >>的焦点, 且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.

（1）求椭圆C 的方程;

（2）是否存在过点E(-2,0)的直线m 交椭圆C 于,M N ,满足:OM ON ?=

cot M O N ∠ 0(O ≠为原点)? 若存在,求出直线m 的方程;若不存在,请说明理由.

6．(与名师对话第52练20) 椭圆C 的方程为2

2

118

9

x

y

+

=，F 是它的左焦点，M

是椭圆C 上的一个动点，O 为坐标原点.

(1) 求O F M 的重心G 的轨迹方程;

(2) 若O F M 的重心G 对原点和点P(-2,0)的张角O G P ∠最大, 求点G 的坐标.

解(1): 设点)y ,x (G (y ≠0) , M(x 1,y 1)由题设可知

,F(-) 则1133

3

x y x y -=

=

，, ∴ 1333x x y =+=1，y ,

∴ O F M 的重心G 的轨迹方程为

2

2

112

x y ++=（）

(0y ≠).

(2) 由(1)可知, 原点和点P(-2,0)是椭圆

2

2

112

x y ++=（）

的两个焦点.下面证明当点M

与椭圆

2

2

112

x y ++=（）

的短轴的端点重合时张角O G P ∠最大.

方法(一) 用椭圆的定义

设椭圆C 上的一个动点M 到椭圆的两个焦点的距离为1r 、2r ，则由椭圆的定义可知1r +2r =2

2.

在MOP ?中, 2

12

22212r r OP

r r OGP COS -+=

∠=

2

12

22124

r r r r -+=

2

12

12

21224)(r r r r r r --+

=

2

12

12

224)22(r r r r --=2

142r r +

-≥4

)

(4

22

21r r ++

- (当且仅当21r r =时,等于号成立)

=0

∴ 当21r r =,即点M 与短轴的端点重合时张角O G P ∠最大, 最大角为0

90,这时点M 的坐标为(-1,1)、（-1，-1）.

方法(二) 用椭圆的焦半径公式

将椭圆

2

2

112

x y ++=（）

平移到中心在原点的位置,这时椭圆的方程为

2

2

12

x

y +=,原张角

O G P ∠就是在点P 处的两条焦半径的夹角.设点P 的坐标为(00x y ，),

则

22

00124cos x x F P F +-∠=

））2

20002011[02]12122222x x x x =?∈--2，（） 当00x =时,12cos 0F PF ∠=, 当2

002]x ∈

（，时, 12cos 01]F PF ∠∈（，, 故12cos [01]F PF ∠∈，

, 12F PF ∠的最大值为0

90,这时相应点P 的坐标为(0,±1),在椭圆的原位置相应点P 的坐标为(-1,±1).

7. (与名师对话第52练21) 已知动点P 与双曲线

2

2

12

3

x

y

-

=的两个焦点

12F F ，的距

离之和为定值,且12cos F PF ∠的最小值为19

-.

(1) 求动点P 的轨迹方程;

(2) 若已知点D (0,3),点M N ，在动点P 的轨迹上,且DM DN λ=

,求实

数λ的取值范围;

(3) 若已知点D (1,1), 点M N ，在动点P 的轨迹上,且M D DN =

,求直线

M N 的方程.

分析: 由题设可知, 动点P 的轨迹是以双曲线

2

2

12

3

x

y

-

=的两个焦点12F F ，为其焦点

的椭圆,因此动点P 的轨迹方程可以用待定系数法求得. 解(1): 由题设可知, 动点P 的轨迹是以双曲线

2

2

12

3

x

y

-

=的两个焦点12F F ，为其焦点

的椭圆,设其方程为

222

2

1x y a

b

+

= (0a b >>).

可以证明(仿例6)当动点P 在椭圆的短轴的端点时12cos F PF ∠的值最小,这时

2

122

2

22010cos 12a F PF a

a

-∠=

=-

, ∴ 2

10119

a

-

=-

, 2

9a

=. ∴ 2

4b =,

∴ 动点P 的轨迹方程为

2

219

4

x

y

+

=.

分析: 由DM DN λ=

可知, 点,,D M N 共线, 直线MN 的变化可以用其斜率表示(直线的方程为

3,y kx =+这时要k 作讨论),也可以用t 表示(直线的方程为(3)x t y =-,这时不需要对t 作讨论).下面

用直线方程3y kx =+求解.

解法(一): 由DM DN λ=

可知, 点,,D M N 共线.

若直线MN 的斜率不存在,则155

λλ=

=或.

若直线MN 的斜率存在,设直线MN 的方程为3,y kx =+则由方程组22

3,

4936,

y kx x y =+??+=?可得, 2

2

(94)54450k x kx +++=,

设1122(,),(,)M x y N x y ,则12122

2

5445,94

94

k x x x x k k -+=

=

++.

又由DM DN λ=

可得, 12x x λ=,

∴ 122

2

5454,(1)94

(1)94

k k x x k k λλλ--==

++++, ∴

2

2

2

2

(54)(1)(94)

k k λλ=

++2

4594

k +

∴

2

(1)

λλ=

+2

2

2

59454(9)324

324

k k

k

+?

=

?+

.

∵ 2

2(54)445(94)0k k ?=-?+≥, ∴ 2

59

k

≥.

∴

2

5136

(1)

4

λλ<

≤

+, ∴

115,55

5

λλ<<≠

且,

综上所述,

155

λ≤≤.

分析：用点,M N 的坐标表示直线MN 的变化.

解法(二): 由DM DN λ=

可知, 点,,D M N 共线.

设1122(,),(,)M x y N x y ,则

2

2

1

119

4

x y +

=,

2

2

2219

4

x y +

=.

∵ DM DN λ=

, ∴ 12x x λ= , 1233y y λλ=-+,

∴

22

2

2

2(33)

19

4

x y λλλ-++

=,

22

22

2

2

2

9

4

x y λλλ+

=.

∴

2

2(33)

4

y λλ-+-

22

2

2

14

y λλ=-,

2

23(233)(1)

14y λλλλ-+-=-,

∴ 1λ=或

23(233)

14

y λλλ-+=+, 213522,06y λλλ

--≤=

≤>解得155

λ≤≤.

8. 抛物线C 的方程为2

(0)y ax

a =<,过抛物线C 上一点00P x y （，） (00x ≠)作斜率

为12k k ，的两条直线分别交抛物线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点(P A B 、、三点各不相同),且满足

210k k λλλ+=≠≠（0且-1）.

(1) 求抛物线C 的焦点坐标和准线方程;

(2) 设直线A B 上一点M 满足:BM M A λ=

,证明线段PM 的中点在y 轴上;

(3)当1λ=时,若点P 的坐标为(1,-1),求PAB ∠为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围. 分析: 将a 看作常量.

解(1): 抛物线C 的方程为2

1

(0)x y a a =

<, 故抛物线C 的焦点坐标为(1

04a

，),准线方程为14y a

=-

.

分析: 从形式上看, 线段PM 的中点坐标与12k k λ、、相关,而实际上肯定横坐标可以消元为0.

解(2): 由题设可知,直线P A 的方程为:100y k x x y =-+（）,由方程组1

002

y k x x y y ax =-+??=?（），，

可得,2

11000ax k x k x y -+-=,即2

2

11000ax k x k x ax -+-=, ∴ 110k x x a

=

-, 同理 220k x x a

=

-,

∵ BM M A λ= , ∴ 21M M x x x x λ-=-（）

, 12

1M x x x λλ

+=+=12001k k x x a

a

λλ

-+-+（

）（）

∵ 210k k λλλ+=≠≠（0且-1）, ∴ M x =-0x ,

∴ 线段PM 的中点横坐标为0, 即线段PM 的中点在y 轴上. 分析:

解(3): 由题设和题(2)可知, 抛物线C 的方程为2

y x

=-, 111x k =-

+（）,又1λ=,故211x k =-,

∴ 2

1111A k k -++（（），-（））, 2

1111B k k --（，-（））

∴ 1124AB k k = （，）,2

11122AP k k k =++

（，）

, ∵ PAB ∠为钝角,

P A B 、、三点各不相同, ∴ 0,AP AB ?<

即有

1124k k ?（，）2

11122k k k ++（，）0<,112(2)k k ++2

1114(2)0k k k +<,111(2)(21)0k k k ++<

∴ 111202

k k <--

<<或,

∴ 2

11(1)y k =+, 111202

k k <--<<或,

∴ 111114

y y <--<<-

或.

9.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在X 轴上,

一条经过点

3-（，

且方向向量为2a =-

（的直线l

交椭圆C 于A,B 两点,交X 轴于M 点,又2AM MB =

.

(1) 求直线l 的方程;

(2) 求椭圆C 的长轴长的取值范围.

解(1): 直线l

的方程为32

y x =-

--（）.

分析: “直线l 与椭圆C 有两个不同的交点”可以转化为一个关于a b ，的不等式,

向量等式 2AM MB =

可以转化为一个关于a b ，的等式.

解(2):

由方程组222

2

2

2

32

,

y x b x a y a b ?

=-

--??

?+=?

（）

可得222

2222

405

b a y y b a b +-

+-=（

）.

设设1122(,),(,)A x y B x y ,

则222

12122

2

2

2

4

45

5b a b y y y y b a

b a

-+=

=

++，.

由2AM MB =

可知, 122y y = ,

∴

12

2

5

y b a

=

+

22

2

5

y b a =

+∴

2

2

22

32

545

b

b a =

+（）

222

2

2

45b a b b a

-+,

∴ 2

2

2

2

51409a a b a

-=>-（）

∵

2222222

4()4()()05b a b a b =-

-+-> , ∴ 22545a b +>,

∴ 2

2

2

225(1)0,9545,a a a a b ?->?-??+>? ∴ 222

22

225(1)

0,95(1)55,9a a a a a a a ?->??-?-?+>?-?

219a <<. ∵ 2

2

,b a < ∴ 22

2

2

2

51449a a b a a

-=<-（）, ∴ 224199a a <>或, ∴ 2

4119

a

<<

, 13

a <<

,

∴

223

a <<

,即椭圆C

的长轴长的取值范围为(2,

3

.

10.自点(0,1)A -向抛物线C:2

y x =作切线AB,切点为B ,且点B 在第一象限,再过线

段AB 的中点M 作直线l 与抛物线C 交于不同的两点E,F,直线AE,AF 分别交抛物线C 于P,Q 两点. (1) 求切线AB 的方程及切点B 的坐标;

(2) 证明()PQ AB R λλ=∈

.

解(1): 设切点B 的坐标为00(,)x y ,过点B

的切线的方程

为

2

0002()y x x x x =-+,

∵ 切线过点(0,1)A -, ∴ 2

00012()x x x -=-+, 01x =, ∵ 点B 在抛物线上, ∴ 01y =,

∴ 切线AB 的方程为21y x =-, 切点B 的坐标为(1,1). 分析: 即证明A B ∥PQ .

(2) 证明: 由(1)可知, 线段AB 的中点M 的坐标为1(

,0)2

,设直线l 的方程为

1()2

y k x =-

, 222

2

11223344(,),(,),(,),(,)E x x F x x P x x Q x x .

由方程组21(),2,

y k x y x ?

=-???=?

可得2

102x m x m -+

=, 故12121,2

x x m x x m +==

.

22

43434343(,)()(1,)PQ x x x x x x x x =--=-+

.

∵ A,E,P 三点共线, ∴

2

33

1x x +=

2

11

1x x +,131x x = , 同理241x x =,

∴ 21211111()(1,)PQ x x x x =-+ =12121212122()(1,)(1,2)x x x x x x x x x x m -+-=

由(1,2)A B = 可知, 122()

()x x P Q A B R m

λλ-==

∈ 其中. 11. 设双曲线

222

2

1(0,0)x y a b a

b

-

=>>的右顶点为A, P 为双曲线上异于点A 的一个动点, 从A 引双

曲线的渐近线的两条平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.

(1) 证明:无论P 点在什么位置,总有2

OP

OQ OR =?

(O 为坐标原点);

(2) 若以OP 为边长的正方形的面积等于双曲线的实,虚轴围成的矩形的面积,求双曲线的离心率的取值范围.

(1) 证明: 设直线OP 的方程为y kx =, 直线AR 的方程为()b y x a a

=

-, AQ 的方程为

()b y x a a

=-

-.

由方程组(),,

b y x a a

y kx ?=-?

??=?

得 (,)ab kab R ak b ak b ----, ∴ OR =(,)ab kab ak b ak b ----

,

同理O Q =(

,

)ab

kab

ak b ak b

++, ∴ O Q O R ? =

(,)ab

kab

ak b ak b ----?(,)

ab

kab

ak b ak b

----=

222

2

2

2

(1)a b k a k b

+-.

设(,)P m n ,

由方程组22

221,,

x y a b y kx ?-=???=?

得2m =22222a b b a k -,2

n =222

222

k a b b a k - ∴ 2OP =222222

(1)a b k b a k

+-. ∵ 直线OP 过原点, ∴ 2

2

2

0b a k ->, ∴ 2

OP

OQ OR =?

.

(2) 解: 由题设知,

222

2

2

2

(1)a b k b a k

+-=4ab , 2

2

2

40,4b ab k

ab a

-=

>+

又222

b k a

<

, ∴

2

2

44b ab ab a

-+22

b a

<, (恒成立))

解得4a b <, ∴

4

e >.

圆锥曲线的一个统一性质

———由一道高考题引发出的思考

题（2001年全国·理）：

设抛物线y 2=2px （p>0）的一个焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴。证明：直线AC 经过原点O 。 参考答案给出了如下的几何证法：

证明：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ， 过A 作AD ⊥l ，D 是垂足．则 AD ∥FE ∥BC ． 连结AC ，与EF 相交手点N ，则

|

||

|||||,|||||

||||

|||AB AF BC NF AB BF AC CN AD EN =

=

=

根据抛物线的几何性质，|AF |=|AD |，|BF |=|BC |

|,||

||

||||

||

|||||NF AB BC AF AB BF AD EN =?=

?=

∴

即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合， 所以直线AC 经过原点O ．