解析几何经典例题
高中解析几何典型题
高中解析几何典型题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一、直线和平面的关系题目题目1：设直线L经过平面α和β两个平面的交点A和B，问直线L在平面α和平面β之间的位置关系是怎样的？解析：直线L在平面α和平面β之间的位置关系有三种情况，分别是直线L既不垂直于平面α，也不垂直于平面β；直线L既垂直于平面α，也垂直于平面β；直线L既不垂直于平面α，但垂直于平面β。
具体位置可根据直线和平面的垂直关系来确定。
解析：点P在平面α和平面β之间的位置关系根据两个平面的相交线和点P所在位置的具体情况来确定。
如果直线L和点P的位置不同，点P在两个平面之间；如果直线L和点P的位置相同，点P在两个平面外部；如果直线L和点P的位置重合，点P在两个平面上。
题目3：已知平面α和平面β相交于直线m，直线n与直线m相交于点A，平面α和平面β的交线分别为l1和l2，求证：∠l1An=∠l2An。
解析：根据已知条件可得到∠l1An=∠mAn，∠l2An=∠mAn，即∠l1An=∠l2An。
解析：根据已知条件可得到∠A和∠B垂直于直线m，因此∠A和∠B所成的角度为90度。
通过以上的几个典型题目及其解析，我们不难看出解析几何题目的解题思路主要是根据已知条件，运用几何知识和性质来推导出结论。
在解析几何的学习过程中，学生应该注重培养逻辑思维能力和数学运算能力，多进行几何图形的分析和推理，提高解题的能力和速度。
在解析几何的学习过程中，还需要注意以下几点：1、熟练掌握基本几何知识和性质，包括直线、角、三角形、四边形等几何图形的性质和计算方法。
2、善于画图分析，对于解析几何题目一定要画出清晰准确的图形，以便更直观地理解题意和计算。
3、多练习典型题目，通过多做题目来积累经验，查漏补缺，加深对解析几何知识的理解。
4、注意总结归纳，将解析几何的各种题目和性质进行分类和总结，形成自己的知识体系。
高中解析几何是一个非常重要的学科，学生在学习过程中要认真对待，多加练习，提高理解能力和解题能力，从而取得更好的学习成绩。
解析几何经典例题及解析
解析几何经典例题及解析题目：已知三点A（1,2）、B（3,4）、C（4,5），判断是否共线。
解析：为了判断这三个点是否共线，我们可以算出它们的斜率是否相等。
斜率公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)。
我们先算出AB、AC两条线段的斜率，如果它们相等，则这三个点共线。
k_AB=(4-2)/(3-1)=1k_AC=(5-2)/(4-1)=1因为k_AB=k_AC，所以这三个点共线。
2. 点到直线距离问题：题目：已知直线L：2x-y+1=0，点P（3，4）到直线L的距离是多少？解析：点P到直线L的距离可以通过求点P到直线L的垂线的长度来计算。
我们先求出直线L的斜率k，因为与L垂直的直线的斜率为-k的倒数。
直线L的一般式表示为Ax+By+C=0，所以斜率k=-A/B。
将直线L的一般式转化为斜截式y=kx+b的形式，可以得到直线L的斜率为k=2/1=2。
所以与L垂直的直线的斜率为-1/2。
接下来我们求出与L垂直的直线的截距b。
因为点P在这条直线上，所以直线的表达式可以写为y=-1/2x+b，将点P代入这个方程组中可得b=5。
因此与点P到直线L的垂线的方程为y=-1/2x+5，求出点P到这条直线的垂足Q的坐标为（2，3）。
所以点P到直线L的距离为PQ的长度，即√((3-2)+(4-3))=1.41。
3. 直线交点问题：题目：已知直线L1：2x-y+1=0，直线L2：x+y-3=0，求出它们的交点。
解析：求出两条直线的交点，可以将两条直线的方程联立起来解方程组。
将L1的方程改写成x=(y-1)/2的形式，将其代入L2的方程中，得到：((y-1)/2)+y-3=0，即y=2，代入L1的方程中可以得到x=1。
因此两条直线的交点为(1,2)。
高中数学解析几何大题精选
解析几何大量精选1.在直角坐标系xOy中，点M到点F13,0，F23,0的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线l:y kx b与轨迹C交于不同的两点P和Q．⑴求轨迹C的方程；⑵当AP AQ0时，求k与b的关系，并证明直线l过定点．【解析】⑴2x421y．y⑵将y kx b代入曲线C的方程，整理得222(14k)x8kbx4b40，P因为直线l与曲线C交于不同的两点P和Q，A Ox所以22222264k b4(14k)(4b4)16(4k b1)0①Q且28kb4b4设P x1,y1，Q x2,y2，则12，x x x x212214k14k22b4k22y y(kx b)(kx b)k x x kb(x x)b，12121212214k②显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A2,0，所以A P x12,y1，AQ x22,y2．由AP AQ0，得(x2)(x2)y y0．1212将②、③代入上式，整理得2212k16kb5b0．所以(2k b)(6k5b)0，即b2k或6b k．经检验，都符合条件①5当b2k时，直线l的方程为y kx2k．显然，此时直线l经过定点2,0点．即直线l经过点A，与题意不符．当6b k时，直线l的方程为566y kx k k x．55显然，此时直线l经过定点65,0点，满足题意．综上，k与b的关系是6b k，且直线l经过定点565,02.已知椭圆C22x y:122a b(a b0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x y60相切．⑴求椭圆C的方程；⑵设P(4,0)，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；⑶在⑵的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求OM ON的取值范围．【解析】⑴22x y431．⑵由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y k(x4)．y k(x4),由x2y2得1.432222(4k3)x32k x64k120．①设点B(x1,y1)，E(x2,y2)，则A(x1,y1)．直线AE的方程为y y21y y(x x)22x x21．令y0，得x x2y(x x)221y y21．将y1k(x14)，y2k(x24)代入整理，得x 2x x4(x x)1212x x128．②2232k64k12由①得x xx x，1221224k34k3所以直线AE与x轴相交于定点Q(1，0)．代入②整理，得x1．⑶5 4,4．３.设椭圆22x yC:1(a b0)22a b的一个顶点与抛物线2C:x43y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率点．1e，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两2⑴求椭圆C的方程；⑵是否存在直线l，使得OM ON2．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解析】⑴22x y431．⑵由题意知，直线l与椭圆必有两个不同交点．①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②设存在直线l为y k(x1)(k0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)．22x y1由，得43y k(x1)2222(34k)x8k x4k120，28kx x12234k ，24k12x x12234k，2OM ON x1x2y1y2x1x2k[x1x2(x1x2)1]2224k128k5k12222(1k)k k222234k34k34k，所以k2，故直线l的方程为y2(x1)或y2(x1)．本题直线l的方程也可设为my x1，此时m一定存在，不能讨论，且计算时数据更简单．４.如图，椭圆2 2x yC1 : 2 2 1 a b 0a b的离心率为32，x 轴被曲线 2C2 : y x b 截得的线段长等于C的长半轴长．1⑴求C1 ，C2 的方程；⑵设C与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C2 相交于点A，B ，直线2MA ，MB分别与C相交与 D ，E ．1①证明：MD⊥ME ；②记△MAB ，△MDE 的面积分别是S1 ，S2 ．问是否存在直线l ，使得S1S21732?请说明理由．【解析】⑴2x42 1 2 1y ，y x ．y⑵①由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y kx ．A由y kx得2 1y x2 1 0x kx ，E DOx设A xy Bx yx x ，，，，则，是上述方程的两1 21122个实根，于是x1 x2 k ，x1 x2 1．BM又点M 的坐标为0， 1 ，所以k kMA MB2y 1 y 1kx 1 kx 1 k x x k x x 11 2 1 2 1 21 2x x x x x x1 2 1 2 1 21 ，故MA MB ，即MD⊥ME ．②设直线KM 的斜率为k1 ，则直线的方程为y k1x 1，由y k x12y x11，解得xy1或x k12y k1 1，则点A的坐标为 2k1 ，k1 1 ．又直线MB的斜率为1k1，同理可得点 B 的坐标为1 1，．12k k1 1于是21 1 1 1 1 k2 1S | MA | |MB | 1 k |k| 1 | |1 1 1 22 2 k k 2 |k |1 1 1．由y k x112 2x 4y 4 0得 2 21 4k x 8k x 0，1 1解得xy1或xy8k121 4k124k 1121 4k1，则点 D 的坐标为28k 4k 11 1，；2 21 4k 1 4k1 1又直线MB的斜率为1k1，同理可得点 E 的坐标28k 4 k1 1，．2 24 k 4 k1 1于是232 1 k | k |11 1S |MD | |ME |2 2 22 1 4k 4 k1 1．因此2 2S (1 4k )(4 k ) 1 41 1 1 24k 172 1 2S 64k 64 k2 1 1，由题意知，141724k171264k321解得2k14或12k．14又由点A，B的坐标可知，21k12k1k k11k1k11k1，所以3k．2故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为3y x和23y x．2５.在直角坐标系xOy中，点M到点F13,0，F23,0的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线l:y kx b与轨迹C交于不同的两点P和Q．⑴求轨迹C的方程；⑵当AP AQ0时，求k与b的关系，并证明直线l过定点．2x21【解析】⑴y．4⑵将y kx b代入曲线C的方程，整理得222(14k)x8kbx4b40，y P因为直线l与曲线C交于不同的两点P和Q，OA x所以22222264k b4(14k)(4b4)16(4k b1)0①Q28kb4b4设P x1,y1，Q x2,y2，则12x xx x，212214k14k22b4k22且y y(kx b)(kx b)k x x kb(x x)b，12121212214k显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A2,0，②所以A P x12,y1，AQ x22,y2．由AP AQ0，得(x2)(x2)y y0．1212将②、③代入上式，整理得2212k16kb5b0．所以(2k b)(6k5b)0，即b2k或6b k．经检验，都符合条件①5当b2k时，直线l的方程为y kx2k．显然，此时直线l经过定点2,0点．即直线l经过点A，与题意不符．当6b k时，直线l的方程为566y kx k k x．55显然，此时直线l经过定点65,0点，满足题意．综上，k与b的关系是6b k，且直线l经过定点565,0．。
解析几何 典型例题
解析几何典型例题
题目：已知圆心为 $(0,0)$,半径为 $2$ 的圆，圆上一点 $A$ 的极角为$frac{pi}{4}$,求 $AB$ 的中点 $B$ 的坐标。
答案：
首先，我们可以利用圆的性质得到 $AB$ 的中点 $B$ 的坐标。
由于 $AB$ 的斜率为 $frac{AB}{AB^2-AC}=frac{3}{5}$,因此可以得到 $AB^2-AC=5AB$。
由于圆心为 $(0,0)$,半径为 $2$,因此可以得到 $AC=2$,代入上式得到 $AB^2=10$。
进一步代入极角为 $frac{pi}{4}$,得到 $AB=sqrt{10}$。
接下来，我们可以利用三角函数得到 $AB$ 的中点 $B$ 的坐标。
由于$angle BAC=frac{pi}{4}$,因此可以得到 $sin angle BAC =
frac{AB}{AC}=frac{sqrt{10}}{2}$。
因此，$AB$ 的中点 $B$ 的坐标为$(0,frac{1}{sqrt{2}}}sin angle BAC)$。
拓展：
在解决这道题时，我们利用了圆的性质和三角函数的知识，这些知识在解析几何中是非常重要的。
此外，这道题也展示了解析几何中的一种常见题型，即求圆上一点的特殊坐标。
在日常生活中，解析几何中的一些概念和公式也经常被用来解决各种问题，因此掌握解析几何的知识是非常重要的。
解析几何典型例题含答案
1. 已知动点P 到点A （-2,0）与点B （2,0）的斜率之积为14-，点P 的轨迹为曲线C 。
(Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)若点Q 为曲线C 上的一点，直线AQ ，BQ 与直线x =4分别交于M 、N 两点，直线BM 与椭圆的交点为D 。
求证，A 、D 、N 三点共线。
解：（I ）设P 点坐标(,)x y ，则2AP y k x =+（2x ≠-），2BP yk x =-（2x ≠）， 由已知1224y y x x ⋅=-+-，化简得：2214x y +=.所求曲线C 的方程为2214x y +=（2x ≠±）。
（II ）由已知直线AQ 的斜率存在， 且不等于0，设方程为(2)y k x =+，由2244(2)x y y k x ⎧+=⎨=+⎩，消去y 得： 2222(14)161640k x k x k +++-=⋅⋅⋅（1）.因为2-，Q x 是方程（1）的两个根， 所以22164214Q k x k --⨯=+，得222814Q k x k -=+，又222284(2)(2)1414Q Q k ky k x k k k -=+=+=++，所以222284(,)1414k k Q k k -++。
当4x =，得6M y k =，即(4,6)M k 。
又直线BQ 的斜率为14k -，方程为1(2)4y x k =--，当4x =时，得12N y k =-，即1(4,)2N k-。
直线BM 的斜率为3k ，方程为3(2)y k x =-。
由22443(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，消去y 得：2222(136)14414440k x k x k +-+-=⋅⋅⋅（2）.因为2，D x 是方程（2）的两个根，所以 2214442136D k x k-⋅=+，得22722136D k x k -=+，又2123(2)136D Dky k x k =-=-+，即22272212(,)136136k k D k k --++。
数学 解析几何 经典例题 附带答案
数学解析几何经典例题~一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线x 22－y 21＝1的焦点坐标是( ) A ．(1,0)，(－1,0) B ．(0,1)，(0，－1)C ．(3，0)，(－3，0)D ．(0，3)，(0，－3)解析： c 2＝a 2＋b 2＝2＋1，∴c ＝ 3.∴焦点为(3，0)，(－3，0)，选C.答案： C2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线 x －ay ＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 当a ＝1时，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直成立；当直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直时，a ＝1.所以“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直”的充要条件．答案： C3．(2010·福建卷)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析： 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为r ＝12＋02＝1，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0，故选D.答案： D4．方程mx 2＋y 2＝1所表示的所有可能的曲线是( )A ．椭圆、双曲线、圆B ．椭圆、双曲线、抛物线C ．两条直线、椭圆、圆、双曲线D ．两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线解析： 当m ＝1时，方程为x 2＋y 2＝1，表示圆；当m <0时，方程为y 2－(－m )x 2＝1，表示双曲线；当m >0且m ≠1时，方程表示椭圆；当m ＝0时，方程表示两条直线．答案： C5．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是( ) A ．－x ＋2y －4＝0 B ．x ＋2y －4＝0C ．－x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y ＋4＝0解析： 由题意知所求直线与直线2x －y －2＝0垂直．又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)．故所求直线方程为y ＋2＝－12(x －0)， 即x ＋2y ＋4＝0.答案： D6．直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E 、F 两点，则△ECF 的面积为( )A.32B.34C ．2 5 D.355解析： 圆心(2，－3)到EF 的距离d ＝|2＋6－3|5＝ 5. 又|EF |＝29－5＝4，∴S △ECF ＝12×4×5＝2 5. 答案： C 7．若点P (2,0)到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C ．2 2D ．2 3解析： 由于双曲线渐近线方程为bx ±ay ＝0，故点P 到直线的距离d ＝2b a 2＋b2＝2⇒a ＝b ，即双曲线为等轴双曲线，故其离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 2.答案： A8．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝0解析： 由条件知M 点在圆内，故当劣弧最短时，l 应与圆心与M 点的连线垂直，设圆心为O ，则O (2,0)，∴k OM ＝2－01－2＝－2. ∴直线l 的斜率k ＝12， ∴l 的方程为y －2＝12(x －1)， 即x －2y ＋3＝0.答案： D9．已知a >b >0，e 1，e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2的值( )A ．大于0且小于1B ．大于1C ．小于0D ．等于0解析： 由题意，得e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a (a >b >0)， ∴e 1e 2＝a 4－b 4a 2＝1－b 4a4<1， ∴lg e 1＋lg e 2＝lg(e 1e 2)＝lga 4－b 4a 2<0. 答案： C10．已知A (－3,8)和B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|AM |＋|BM |为最短，那么点M 的坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C.⎝⎛⎭⎫225，0D.⎝⎛⎭⎫0，225 解析： 点B (2,2)关于x 轴的对称点为B ′(2，－2)，连接AB ′，易求得直线AB ′的方程为2x ＋y －2＝0，它与x 轴交点M (1,0)即为所求．答案： B11．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A.95B ．3 C.977 D.94解析： 设椭圆短轴的一个端点为M .由于a ＝4，b ＝3，∴c ＝7<b .∴∠F 1MF 2<90°，∴只能∠PF 1F 2＝90°或∠PF 2F 1＝90°.令x ＝±7得y 2＝9⎝⎛⎭⎫1－716＝9216， ∴|y |＝94. 即P 到x 轴的距离为94. 答案： D12．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝48，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝16xD ．y 2＝42x解析： 由AF →＝FB →及|AF →|＝|AC →|知在Rt △ACB 中，∠CBF ＝30°，|DF |＝p 2＋p 2＝p ， ∴AC ＝2p ，BC ＝23p ，BA →·BC →＝4p ·23p ·cos 30°＝48，∴p ＝2. 抛物线方程为y 2＝4x .答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 2－y 23＝1的右焦点重合，则p 的值为________． 解析： 双曲线x 2－y 23＝1的右焦点为(2,0)， 由题意，p 2＝2，∴p ＝4.答案： 414．两圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2和(x －2)2＋(y ＋2)2＝R 2相交于P 、Q 两点，若点P 坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为______．解析： ∵两圆的圆心分别为(－1,1)，(2，－2)，∴两圆连心线的方程为y ＝－x .∵两圆的连心线垂直平分公共弦，∴P (1,2)，Q 关于直线y ＝－x 对称，∴Q (－2，－1)．答案： (－2，－1)15．设M 是椭圆x 24＋y 23＝1上的动点，A 1和A 2分别是椭圆的左、右顶点，则MA 1→·MA 2→的最小值等于________．解析： 设M (x 0，y 0)，则MA 1→＝(－2－x 0，－y 0)，MA 2→＝(2－x 0，－y 0)⇒MA 1→·MA 2→＝x 20＋y 20－4＝x 20＋⎝⎛⎭⎫3－34x 20－4＝14x 20－1， 显然当x 0＝0时，MA 1→·MA 2→取最小值为－1.答案： －116．已知双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点为F 1、F 2，P 是双曲线右支上一点，且PF 1的中点在y 轴上，则△PF 1F 2的面积为________．解析： 如图，设PF 1的中点为M ，则MO ∥PF 2，故∠PF 2F 1＝90°.∵a ＝4，b ＝3，c ＝5，∴|F 1F 2|＝10，|PF 1|＝8＋|PF 2|.由|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2得(8＋|PF 2|)2＝|PF 2|2＋100，∴|PF 2|＝94，S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|PF 2|＝454. 答案： 454三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)双曲线的两条渐近线方程为x ＋y ＝0和x －y ＝0，直线2x －y －3＝0与双曲线交于A ，B 两点，若|AB |＝5，求此双曲线的方程．解析： ∵双曲线渐近线为x ±y ＝0，∴双曲线为等轴双曲线．设双曲线方程为x 2－y 2＝m (m ≠0)，直线与双曲线的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x 2－y 2＝m ， 得3x 2－12x ＋m ＋9＝0，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝m ＋93. 又|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋[(2x 1－3)－(2x 2－3)]2＝(x 1－x 2)2＋4(x 1－x 2)2＝5(x 1－x 2)2＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]， ∴(5)2＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤42－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋93， 解得m ＝94. 故双曲线的方程为x 2－y 2＝94. 18．(12分)已知圆C 的方程为(x －m )2＋(y ＋m －4)2＝2.(1)求圆心C 的轨迹方程；(2)当|OC |最小时，求圆C 的一般方程(O 为坐标原点)．解析： (1)设C (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝4－m .消去m ，得y ＝4－x ，∴圆心C 的轨迹方程为x ＋y －4＝0.(2)当|OC |最小时，OC 与直线x ＋y －4＝0垂直，∴直线OC 的方程为x －y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＝0，得x ＝y ＝2. 即|OC |最小时，圆心的坐标为(2,2)，∴m ＝2.圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.其一般方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.19．(12分)(盐城市三星级高中20XX 届第一次联考)已知圆C 1的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆C 2的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且C 2的离心率为22，如果C 1、C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰好为C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程．解析： 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．A 、B 在椭圆上，∴b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2. ∴b 2(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＋a 2(y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝0.又线段AB 的中点是圆的圆心(2,1)，∴x 2＋x 1＝4，y 2＋y 1＝2，∴k AB ＝－b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－2b 2a 2， 椭圆的离心率为22，∴b 2a 2＝1－e 2＝12， k AB ＝－2b 2a2＝－1， 直线AB 的方程为y －1＝－1(x －2)，即x ＋y －3＝0.由(x －2)2＋(y －1)2＝203和x ＋y －3＝0得 A ⎝⎛⎭⎫2＋103，1－103. 代入椭圆方程得：a 2＝16，b 2＝8，∴椭圆方程为：x 216＋y 28＝1. 20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e . (1)若半焦距c ＝22，且23、e 、43成等比数列，求椭圆C 的方程； (2)在(1)的条件下，直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，P 是直线l 与椭圆C 的一个交点，且M P →＝λMN →，求λ的值；(3)若不考虑(1)，在(2)中，求证：λ＝1－e 2.【解析方法代码108001121】解析： (1)∵e 2＝23×43，∴e ＝223， ∴a ＝3，b ＝1，∴椭圆C 的方程为x 29＋y 2＝1. (2)设P (x ，y )，则⎩⎨⎧ y ＝223x ＋3x 29＋y 2＝1，解得P ⎝⎛⎭⎫－22，13. ∵M ⎝⎛⎭⎫－924，0，N (0,3)，M P →＝λMN →， ∴λ＝19. (3)证明：∵M 、N 的坐标分别为M ⎝⎛⎭⎫－a e ，0，N (0，a )， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ex ＋ax 2a 2＋y 2b 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－cy ＝b 2a (其中c ＝a 2－b 2)，∴P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a . 由M P →＝λMN →得⎝⎛⎭⎫－c ＋a e ，b 2a ＝λ⎝⎛⎭⎫a e ，a ， ∴⎩⎨⎧ a e －c ＝λ·a eb 2a ＝λa ，∴ λ＝1－e 2. 21．(12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 是椭圆C 上的一点，且AF 2→·F 1F 2→＝0，坐标原点O 到直线AF 1的距离为13|OF 1|. (1)求椭圆C 的方程；(2)设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 的直线l 交x 轴于点P (－1，0)，交y 轴于点M ，若M Q →＝2QP →，求直线l 的方程．解析： (1)由题设知F 1(－a 2－2，0)，F 2(a 2－2，0)，由于AF 2→·F 1F 2→＝0，则有AF 2→⊥F 1F 2→，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2－2，±2a ， 故AF 1所在直线方程为y ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫x a a 2－2＋1a ， 所以坐标原点O 到直线AF 1的距离为a 2－2a 2－1(a >2)， 又|OF 1|＝a 2－2，所以a 2－2a 2－1＝13a 2－2，解得a ＝2(a >2)，所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则有M (0，k )，设Q (x 1，y 1)，由于M Q →＝2QP →，∴(x 1，y 1－k )＝2(－1－x 1，－y 1)，解得x 1＝－23，y 1＝k 3. 又Q 在椭圆C 上，得⎝⎛⎭⎫－2324＋⎝⎛⎭⎫k 322＝1， 解得k ＝±4，故直线l 的方程为y ＝4(x ＋1)或y ＝－4(x ＋1)，即4x －y ＋4＝0或4x ＋y ＋4＝0.22．(14分)已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1的一个焦点为F (0,22)，与两坐标轴正半轴分别交于A ，B 两点(如图)，向量A B →与向量m ＝(－1，2)共线．(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为k 的直线过点C (0,2)，且与椭圆交于P ，Q 两点，求△POC 与△QOC 面积之比的取值范围．【解析方法代码108001122】解析： (1)y 216＋x 28＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1<0，x 2>0.PQ 方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程并消去y ，得(2＋k 2)x 2＋4kx －12＝0，x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，① x 1x 2＝－122＋k 2.② 设S △QOC S △POC ＝|x 2||x 1|＝－x 2x 1＝λ，结合①②得 (1－λ)x 1＝－4k 2＋k 2，λx 21＝122＋k 2. 消去x 1得λ(1－λ)2＝34⎝⎛⎭⎫1＋2k 2>34，解不等式λ(1－λ)2>34，得13<λ<3. ∴△POC 与△QOC 面积之比的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，3.。
解析几何例题
解析几何例题解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形在坐标平面上的性质和变换规律。
通过解析几何的方法，我们可以更加直观地理解和推导几何图形的性质。
下面我们来分析一些典型的解析几何例题，以便更好地掌握这一知识点。
例题一：直线的方程已知直线L过点A(1,2)和点B(3,4)，求直线L的方程。
解析：设直线L的方程为y=ax+b，其中a为斜率，b为截距。
由于直线L 过点A和点B，代入相应的点坐标得到两个方程：2=a+b (1)4=3a+b (2)解这个方程组，可以求得a=1/2，b=3/2。
所以直线L的方程为y=x/2+3/2。
例题二：直线的垂直平分线已知直线L的方程为y=2x+1，求直线L的垂直平分线的方程。
解析：直线L的斜率为2，垂直平分线的斜率为-1/2（斜率互为倒数且符号相反），设垂直平分线的方程为y=ax+b。
由于垂直平分线过直线L的中点M，求中点M的坐标。
直线L上任意两点的横坐标和纵坐标分别求平均，得到中点M的坐标为：x=(1+3)/2=2，y=(2+4)/2=3。
代入直线L的方程，得到3=2*2+1=5，所以点M的坐标为(2,3)。
垂直平分线通过点M，代入点坐标得到方程：3=a*2+b，所以b=1-4a。
垂直平分线的方程为y=-1/2*x+1-2a。
例题三：圆的方程已知圆C的圆心为点O(2,3)，半径为r=4，求圆C的方程。
解析：圆C上任意一点P(x,y)到圆心O的距离等于半径r，可以得到方程：sqrt((x-2)^2+(y-3)^2)=4对上式进行平方处理得到：(x-2)^2+(y-3)^2=16所以圆C的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=16。
例题四：两条直线的交点已知直线L1的方程为y=2x+1，直线L2的方程为y-3=3(x-2)，求直线L1和L2的交点坐标。
解析：将直线L2的方程变形为y=3x-3+3=3x，得到y=3x。
将L1的方程和L2的方程联立，解这个方程组即可求出交点的坐标。
高中解析几何试题及答案
高中解析几何试题及答案1. 已知圆的方程为 \((x-2)^2+(y-3)^2=9\)，求该圆的圆心坐标和半径。
答案：圆心坐标为 \((2, 3)\)，半径为 \(3\)。
2. 求直线 \(2x + 3y - 6 = 0\) 关于点 \((1, 2)\) 对称的直线方程。
答案：对称直线的方程为 \(2x - 3y + 8 = 0\)。
3. 已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中\(a > b > 0\)）经过点 \((2, 3)\)，且离心率 \(e = \frac{c}{a}\) 为 \(\frac{1}{2}\)，求椭圆的长轴和短轴长度。
答案：根据离心率 \(e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\)，我们有 \(c =\frac{a}{2}\)。
由于椭圆经过点 \((2, 3)\)，代入椭圆方程得\(\frac{4}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1\)。
又因为 \(c^2 = a^2 -b^2\)，代入 \(c = \frac{a}{2}\) 得 \(\frac{a^2}{4} = a^2 -b^2\)，解得 \(b^2 = \frac{3}{4}a^2\)。
将 \(b^2\) 代入椭圆方程，解得 \(a^2 = 16\) 和 \(b^2 = 12\)。
因此，椭圆的长轴长度为\(2a = 32\)，短轴长度为 \(2b = 24\)。
4. 求抛物线 \(y^2 = 4px\)（\(p > 0\)）的焦点坐标。
答案：焦点坐标为 \((\frac{p}{2}, 0)\)。
5. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的一条渐近线方程为 \(y = \frac{b}{a}x\)，求双曲线的离心率。
答案：双曲线的离心率 \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)。
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解析几何经典例题圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。
这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。
一、椭圆定义的深层运用例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。
图1解析：易知故在中，则点M的轨迹方程为。
二、双曲线定义的深层运用例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。
图2解析：不妨设P点在双曲线的右支上，延长F1M交PF2的延长线于N，则，即在故点M的轨迹方程为三、抛物线定义的深层运用例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。
图3解析：易知抛物线的准线l：，作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M”则即M到直线的最短距离为2故M到直线y＝－1的最短距离为。
评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。
一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。
四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）图4②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|，而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ|即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点长轴长为2的椭圆。
应选B。
②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。
五、椭圆与双曲线定义的综合运用例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。
①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。
图5解析：①由椭圆定义知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|， 即 故P 的轨迹为A （－7，0）、B （7，0）为焦点 实轴长为2的双曲线的一支，其方程为；②经讨论知，无论A 在双曲线的哪一支上 总有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14故点Q 的轨迹为以A （－7，0）、B （7，0）为焦点长轴长为28的椭圆，其方程为。
［练习］1. 已知椭圆E 的离心率为e ，左、右焦点为F 1、F 2，抛物线C 以为焦点，为其顶点，若P 为两曲线的公共点，且，则e ＝__________。
答案：2. 已知⊙O ：，一动抛物线过A （－1，0）、B （1，0）两点，且以圆的切线为准线，求动抛物线的焦点F 的轨迹方程。
答案：圆锥曲线中的方法与运算1. (与名师对话第51练) 已知抛物线221y x =-,点(2,0)A , 问是否存在过点A 的直线l ,使抛物线上存在不同的两点关于直线l 对称,如果存在, 求出直线l 的斜率k 的取值范围; 如果不存在,请说明理由.分析: 这是一个求变量(斜率k )的取值范围问题, 我们必须给出与变量(斜率k )相关的变量(根据题设寻找)的关系式(组), 显然,这个关系式(组)应由按题设揭示出的几何条件转换得到.我们由题设揭示出的几何条件是: 抛物线上关于直线l 对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两个不同的交点,并且交点为端点的线段的中点在直线l 上. 相应得到一个不等式和一个等式组成的变量关系式(组). 解这个关于式组即可得变量k 的取值范围. 解: 设直线l 的方程为(2)y k x =-,若0k =,则结论显然成立,即0k =可取.若0k ≠,则直线PQ 的方程为1y x m k =-+, 由方程组21,21,y x m ky x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩可得,22210y y kb +-+=.∵ 直线PQ 与抛物线有两个不同的交点, ∴244(21)0,k kb =--+>即 2120k kb -+>.设线段PQ 的中点为G(00,x y ), 则1202y y y k +==-, ∴ 212()()2y y x k km k k km k km +=-+=--+=+, ∵ 点G(00,x y )在直线l 上, ∴ k -=2(2)k k km +-, 由 0k ≠可得,21k m k-=,∴ 212k k -+21k k-0>, 21k < (0k ≠) , ∴ 10k -<<或01k <<.综上所述, 直线l 的斜率k 的取值范围为1-1k <<.2. (与名师对话第51练)已知直线l 过点M (1,0),且与抛物线22x y =交于,A B 两点,O 为原点,点 P 在y 轴的右侧且满足:1122OP OA OB =+.（1）求点P 的轨迹C 的方程;（2） 若曲线C 的切线的斜率为λ,满足:MB MA λ=,点A 到y 轴的距离为a ,求a 的取值范围.分析：由1122OPOA OB =+可知，点P 的轨迹C 就是弦AB 的中点的轨迹. 解(1) 显然直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为:1y k x =-（）,由方程组212y k x x y =-⎧⎨=⎩（），，消去y 整理得2220x kx k -+=,设1122(,),(,)A x y B x y , 122x x k +=,∴122p x x x k +==,21p y k k k k =-=-（）, 消去k得点P 的轨迹C 的轨迹方程为:2y x x =-.∵ 2480kk ->, ∴ 0k <或2k >,∵ 点P 在y 轴的右侧, ∴ 2x k =>,故点P 的轨迹C 为抛物线2y x x =-上的一段弧.分析: 点A 到y 轴的距离为a 就是点A 的横坐标的绝对值.因为曲线C 的切线的斜率为λ,所以λ='21y x =-,由2x >知,3λ>,由此可知,我们必须建立点A 的横坐标的绝对值关于λ的关系.解(2): 设1122(,),(,)A x y B x y ,则由MB MA λ=可知,22(,)(1,0)x y -=λ[11(,)(1,0)x y -],∴211(1)x x λ-=-,21y y λ= ,∴ 211x x λλ=-+, 2221x x λ=, ∴ 2211[(1)]x x λλλ--=∵ 1λ≠,∴ 211210x x λλλ-+-=,方法(一) 11x ==±3λ>),∴11(3)ax λ==>,∴ a∈(13-(1,13⋃+. 方法(二)211(1)x λ-=, (3λ>),∴ 1103λ<<, 0<21(1)x -13<, ∴ 11x ≠且11133x -<<+ ∴ a∈(13-(1,13⋃+.3. (与名师对话第51练) 已知抛物线的方程为22x py = (0)p >,过点M (0,)m 且倾斜角为θ(0<θ<2π)的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点,且212x x p =-. （1）求m 的值; （2）若点M 分AB 所成的比为λ,求λ关于θ的函数关系式.分析: 要求m 的值,必须给出关于m 的方程. 解(1): 设过点M(0,)m 且倾斜角为θ(0<θ<2π)的直线的方程为y kx m =+. 由方程组22y kx m x py =+⎧⎨=⎩，，消去y 整理得2220x pkx pm --=, 则122x x pm =-,∵ 212x x p =-, ∴ 2pm -2p =-, 2p m =. 分析: 由2p m =可知过点M (0,)m 且倾斜角为θ(0<θ<2π)的直线为2py kx =+.先建立关于k 的函数关系式,再转换为关于θ的函数关系式.解(2): ∵ 关于θ的函数关系式,∴ AM MB λ=, 1122(0,)(,)[(,)(0,)]22p p x y x y λ-=-, 1212,(),22x x p p y y λλ=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩由(1)可知212122,x x pk x x p +==-,由方程组1212212,2,,x x x x pk x x p λ⎧=-⎪+=⎨⎪=-⎩可消去12,,x x p 得,222(21)10k λλ-++=.∵ 0<θ<2π, ∴ 1λ<, 故222121k k k λ=+-+=2222(1sin )2tan 12tan tan 1cos θθθθθ-+-+==1sin 1sin θθ-+.4. (与名师对话第51练) 已知方向向量为(1,3)v=的直线l 过点(0,-2)和椭圆C:22221x y a b+= (0)a b >>的焦点, 且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.（1）求椭圆C 的方程;（2）是否存在过点E(-2,0)的直线m 交椭圆C 于,M N ,满足:OMON ⋅=463cot MON ∠ 0(O ≠为原点)? 若存在,求出直线m 的方程;若不存在,请说明理由.6．(与名师对话第52练20) 椭圆C 的方程为221189x y +=，F 是它的左焦点，M 是椭圆C 上的一个动点，O 为坐标原点.(1) 求OFM 的重心G 的轨迹方程;(2) 若OFM 的重心G 对原点和点P(-2,0)的张角OGP ∠最大, 求点G 的坐标.解(1): 设点)y ,x (G (y ≠0) , M(x 1,y 1)由题设可知,F(320-，)则11333x yxy -==，, ∴ 1333x x y =+=1，y , ∴OFM 的重心G 的轨迹方程为22112x y ++=（）(0y ≠). (2) 由(1)可知, 原点和点P(-2,0)是椭圆22112x y ++=（）的两个焦点.下面证明当点M 与椭圆22112x y ++=（）的短轴的端点重合时张角OGP ∠最大. 方法(一) 用椭圆的定义设椭圆C 上的一个动点M 到椭圆的两个焦点的距离为1r 、2r ，则由椭圆的定义可知1r +2r =22.在MOP ∆中,21222212r r OP r r OGP COS -+=∠=21222124r r r r -+=2121221224)(r r r r r r --+=21212224)22(r r r r --=2142r r +-≥4)(42221r r ++- (当且仅当21r r =时,等于号成立)=0∴ 当21r r =,即点M 与短轴的端点重合时张角OGP ∠最大, 最大角为090,这时点M 的坐标为(-1,1)、（-1，-1）.方法(二) 用椭圆的焦半径公式将椭圆22112x y ++=（）平移到中心在原点的位置,这时椭圆的方程为2212x y +=,原张角OGP∠就是在点P 处的两条焦半径的夹角.设点P 的坐标为(00x y ，),则22001200222422cos 2222222x x F PF x x ++--∠=+-（2）（）（）（）=220002011[02]12122222x x x x =⋅∈--2，（） 当00x =时,12cos 0F PF ∠=, 当2002]x ∈（，时, 12cos 01]F PF ∠∈（，, 故12cos [01]F PF ∠∈，, 12F PF ∠的最大值为090,这时相应点P 的坐标为(0,±1),在椭圆的原位置相应点P 的坐标为(-1,±1).7. (与名师对话第52练21) 已知动点P 与双曲线22123x y -=的两个焦点12F F ，的距离之和为定值,且12cos F PF ∠的最小值为19-. (1) 求动点P 的轨迹方程;(2) 若已知点D (0,3),点M N ，在动点P 的轨迹上,且DMDNλ=,求实数λ的取值范围;(3) 若已知点D (1,1), 点M N ，在动点P 的轨迹上,且MDDN =,求直线MN 的方程.分析: 由题设可知, 动点P 的轨迹是以双曲线22123x y -=的两个焦点12F F ，为其焦点 的椭圆,因此动点P 的轨迹方程可以用待定系数法求得.解(1): 由题设可知, 动点P 的轨迹是以双曲线22123x y -=的两个焦点12F F ，为其焦点 的椭圆,设其方程为22221x y a b+= (0a b >>).可以证明(仿例6)当动点P在椭圆的短轴的端点时12cos F PF ∠的值最小,这时2122222010cos 12a F PF a a -∠==-, ∴ 210119a -=-, 29a =. ∴ 24b =, ∴ 动点P 的轨迹方程为22194x y +=. 分析: 由DMDN λ=可知, 点,,D M N 共线, 直线MN 的变化可以用其斜率表示(直线的方程为3,y kx =+这时要k 作讨论),也可以用t 表示(直线的方程为(3)x t y =-,这时不需要对t 作讨论).下面用直线方程3y kx =+求解.解法(一): 由DMDNλ=可知, 点,,D M N 共线.若直线MN 的斜率不存在,则155λλ==或. 若直线MN 的斜率存在,设直线MN 的方程为3,y kx =+则由方程组223,4936,y kx x y =+⎧⎨+=⎩可得,22(94)54450k x kx +++=,设1122(,),(,)M x y N x y ,则1212225445,9494k x x x x k k -+==++. 又由DM DNλ=可得,12x x λ=,∴ 12225454,(1)94(1)94k k x x k k λλλ--==++++, ∴ 2222(54)(1)(94)k k λλ=++24594k +∴2(1)λλ=+22259454(9)324324k k k +⋅=⋅+. ∵ 22(54)445(94)0k k ∆=-⨯+≥, ∴ 259k ≥. ∴25136(1)4λλ<≤+, ∴ 115,555λλ<<≠且, 综上所述,155λ≤≤. 分析：用点,M N 的坐标表示直线MN 的变化. 解法(二): 由DMDN λ=可知, 点,,D M N 共线.设1122(,),(,)M x y N x y ,则2211194x y +=,2222194x y +=. ∵ DMDN λ=, ∴ 12x x λ= , 1233y y λλ=-+, ∴22222(33)194x y λλλ-++=, 222222294x y λλλ+=.∴ 22(33)4y λλ-+-222214y λλ=-, 223(233)(1)14y λλλλ-+-=-,∴ 1λ=或23(233)14y λλλ-+=+, 213522,06y λλλ--≤=≤>解得155λ≤≤.8. 抛物线C 的方程为2(0)y ax a =<,过抛物线C 上一点00P x y （，） (00x ≠)作斜率为12k k ，的两条直线分别交抛物线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点(P A B 、、三点各不相同),且满足210k k λλλ+=≠≠（0且-1）.(1) 求抛物线C 的焦点坐标和准线方程; (2) 设直线AB 上一点M 满足:BM MA λ=,证明线段PM 的中点在y 轴上;(3)当1λ=时,若点P 的坐标为(1,-1),求PAB ∠为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围.分析: 将a 看作常量. 解(1): 抛物线C 的方程为21(0)x y a a=<, 故抛物线C 的焦点坐标为(104a，),准线方程为14y a=-. 分析: 从形式上看, 线段PM 的中点坐标与12k k λ、、相关,而实际上肯定横坐标可以消元为0.解(2): 由题设可知,直线PA 的方程为:100y k x x y =-+（）,由方程组1002y k x x y y ax =-+⎧⎨=⎩（），，可得,211000axk x k x y -+-=,即2211000ax k x k x ax -+-=,∴ 110k x x a =-, 同理 220kx x a=-, ∵ BM MA λ=, ∴ 21M M x x x x λ-=-（）, 121M x x x λλ+=+=12001k kx x a a λλ-+-+（）（）∵ 210k k λλλ+=≠≠（0且-1）, ∴ M x =-0x ,∴ 线段PM 的中点横坐标为0, 即线段PM 的中点在y 轴上.分析:解(3): 由题设和题(2)可知, 抛物线C 的方程为2y x =-,111x k =-+（）,又1λ=,故211x k =-,∴21111A k k -++（（），-（））, 21111B k k --（，-（））∴1124AB k k =（，）,211122AP k k k =++（，）, ∵PAB∠为钝角,P A B、、三点各不相同, ∴0,AP AB ⋅<即有1124k k ⋅（，）211122k k k ++（，）0<,112(2)k k ++21114(2)0k k k +<,111(2)(21)0k k k ++<∴ 111202k k <--<<或, ∴ 211(1)y k =+, 111202k k <--<<或, ∴111114y y <--<<-或. 9.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在X 轴上,一条经过点3（，且方向向量为25a =-（，的直线l交椭圆C 于A,B 两点,交X 轴于M 点,又2AM MB =.(1) 求直线l 的方程;(2) 求椭圆C 的长轴长的取值范围. 解(1): 直线l的方程为3y x =--）分析: “直线l 与椭圆C 有两个不同的交点”可以转化为一个关于a b ，的不等式, 向量等式2AM MB =可以转化为一个关于a b ，的等式.解(2):由方程组222222535,2,y x b x a y a b ⎧=---⎪⎨⎪+=⎩（）可得222222244055b a y b y b a b +-+-=（）. 设设1122(,),(,)A x y B x y , 则222212122222454455b b a b y y y y b a b a -+==++，.由2AM MB =可知, 122y y = ,∴ 21224545b y b a -=+,22228545b y b a =+, ∴ 222232545b b a =+（）2222245b a b b a -+,∴ 222251409a a b a -=>-（）∵222222244()4()()055b b a b a b =--+->, ∴ 22545a b +>,∴ 222225(1)0,9545,a a a a b ⎧->⎪-⎨⎪+>⎩ ∴ 22222225(1)0,95(1)55,9a a a a a a a ⎧->⎪⎪-⎨-⎪+>⎪-⎩219a <<.∵ 22,b a < ∴ 2222251449a a b a a -=<-（）, ∴ 224199a a <>或, ∴ 24119a<<, 4113a <<,∴ 241223a <<,即椭圆C 的长轴长的取值范围为241(2,)3. 10.自点(0,1)A -向抛物线C:2y x =作切线AB,切点为B ,且点B 在第一象限,再过线段AB 的中点M 作直线l 与抛物线C 交于不同的两点E,F,直线AE,AF 分别交抛物线C 于P,Q 两点. (1) 求切线AB 的方程及切点B 的坐标; (2) 证明()PQAB R λλ=∈.解(1): 设切点B 的坐标为00(,)x y ,过点B 的切线的方程为20002()y x x x x =-+,∵ 切线过点(0,1)A -, ∴ 200012()x x x -=-+, 01x =,∵ 点B 在抛物线上, ∴ 01y =,∴ 切线AB 的方程为21y x =-, 切点B 的坐标为(1,1).分析: 即证明AB ∥PQ .(2) 证明: 由(1)可知, 线段AB 的中点M的坐标为1(,0)2,设直线l 的方程为1()2y k x =-, 222211223344(,),(,),(,),(,)E x x F x x P x x Q x x .由方程组21(),2,y k x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得2102x mx m -+=, 故12121,2x x m x x m +==.2243434343(,)()(1,)PQ x x x x x x x x =--=-+.∵ A,E,P 三点共线, ∴ 2331x x +=2111x x +,131x x = , 同理241x x =,∴ 21211111()(1,)PQx x x x =-+=12121212122()(1,)(1,2)x xx x x x x x x x m-+-= 由(1,2)AB =可知, 122()()x x PQ AB R mλλ-==∈其中.11. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A, P 为双曲线上异于点A 的一个动点, 从A 引双曲线的渐近线的两条平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.(1) 证明:无论P 点在什么位置,总有2OP OQ OR=⋅(O 为坐标原点);(2) 若以OP 为边长的正方形的面积等于双曲线的实,虚轴围成的矩形的面积,求双曲线的离心率的取值范围.(1) 证明: 设直线OP 的方程为y kx=, 直线AR 的方程为()by x a a=-, AQ 的方程为()by x a a=--.由方程组(),,b y x a ay kx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得 (,)ab kab R ak b ak b ----, ∴ OR =(,)ab kab ak b ak b ----,同理OQ =(,)ab kabak b ak b++,∴OQ OR⋅=(,)ab kab ak b ak b ----⋅(,)ab kab ak b ak b----=222222(1)a b k a k b +-.设(,)P m n ,由方程组22221,,x y a b y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩得2m =22222a b b a k -,2n =222222k a b b a k -∴ 2OP =222222(1)a b k b a k+-. ∵ 直线OP 过原点, ∴ 2220ba k ->, ∴ 2OP OQ OR=⋅.(2) 解: 由题设知,222222(1)a b k b a k +-=4ab , 22240,4b ab k ab a -=>+又222b k a<, ∴ 2244b ab ab a-+22b a <, (恒成立))解得4a b <, ∴e >圆锥曲线的一个统一性质———由一道高考题引发出的思考题（2001年全国·理）：设抛物线y 2=2px （p>0）的一个焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴。