高考解答题专项训练4

高考解答题专项训练(四) 空间向量与立体几何

1．如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点．在五棱锥P -ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H .

(1)求证：AB ∥FG ；

(2)若P A ⊥底面ABCDE ，且P A ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长．

解：(1)证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE . 又因为AB ⊄平面PDE ， 所以AB ∥平面PDE .

因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ， 所以AB ∥FG .

(2)因为P A ⊥底面ABCDE ， 所以P A ⊥AB ，P A ⊥AE .

如图建立空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (2,1,0)，P (0,0,2)，F (0,1,1)，BC →

＝(1,1,0)．

设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则

⎩⎨⎧

n ·AB →＝0，

n ·AF →＝0，

即⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝0，

y ＋z ＝0. 令z ＝1，则y ＝－1.所以n ＝(0，－1,1)． 设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则 sin α＝|cos 〈n ，BC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BC →|n ||BC →|＝12.

因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π

6. 设点H 的坐标为(u ，v ，w )． 因为点H 在棱PC 上， 所以可设PH →＝λPC →

(0<λ<1)， 即(u ，v ，w －2)＝λ(2,1，－2)． 所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ. 因为n 是平面ABF 的法向量， 所以n ·AH →

＝0，

即(0，－1,1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0.

解得λ＝2

3，

所以点H 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

43，23，23.

所以PH ＝

⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫－432

＝2. 2．如图，在三棱台DEF -ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．

(1)求证：BD ∥平面FGH ；

(2)若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF ＝DE ，∠BAC ＝45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小．

解：(1)证法一：连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝O ，连接OH .

在三棱台DEF -ABC 中， AB ＝2DE ，G 为AC 的中点， 可得DF ∥GC ，DF ＝GC ， 所以四边形DFCG 为平行四边形． 则O 为CD 的中点， 又H 为BC 的中点， 所以OH ∥BD ，

又OH ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ，

所以BD∥平面FGH.

证法二：在三棱台DEF-ABC中，

由BC＝2EF，H为BC的中点，

可得BH∥EF，BH＝EF，

所以四边形BHFE为平行四边形，

可得BE∥HF.

在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.

又GH∩HF＝H，

所以平面FGH∥平面ABED.

因为BD⊂平面ABED，

所以BD∥平面FGH.

(2)设AB＝2，则CF＝1.

在三棱台DEF-ABC中，G为AC的中点，

由DF＝1

2AC＝GC，

可得四边形DGCF为平行四边形，

因此DG∥FC.

又FC⊥平面ABC，所以DG⊥平面ABC.

在△ABC中，由AB⊥BC，∠BAC＝45°，G是AC中点，所以AB＝BC，GB⊥GC，

因此GB，GC，GD两两垂直．

以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.

可得H ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

22，22，0，F (0，2，1)．

故GH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2

2，0，GF →＝(0，2，1)．

设n ＝(x ，y ，z )是平面FGH 的法向量，

则由⎩⎨⎧

n ·GH →＝0，

n ·GF →

＝0，

可得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋y ＝0，

2y ＋z ＝0.

可得平面FGH 的一个法向量n ＝(1，－1，2)． 因为GB →是平面ACFD 的一个法向量，GB →

＝(2，0,0)， 所以cos 〈GB →，n 〉＝GB →

·n |GB →|·|n |

＝222＝1

2.

所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.

3．(2019·湖北重点中学协作体联考)等边△ABC 的边长为3，点D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且满足AD DB ＝CE EA ＝1

2(如图①)，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使二面角A 1-DE -B 成直二面角，连接A 1B ，A 1C (如图②)．

(1)求证：A 1D ⊥平面BCED ；

(2)在线段

BC 上是否存在点P ，使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由．

解：(1)证明：题图①中，由已知可得： AE ＝2，AD ＝1，A ＝60°.

从而DE ＝12＋22－2×1×2×cos60°＝ 3. 故得AD 2＋DE 2＝AE 2， ∴AD ⊥DE ，BD ⊥DE .

∴题图②中，A 1D ⊥DE ，BD ⊥DE ， ∴∠A 1DB 为二面角A 1-DE -B 的平面角， 又二面角A 1-DE -B 为直二面角， ∴∠A 1DB ＝90°，即A 1D ⊥DB .

∵DE ∩DB ＝D 且DE ，DB ⊂平面BCED ， ∴A 1D ⊥平面BCED .

(2)存在．由(1)知ED ⊥DB ，A 1D ⊥平面BCED .

以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、DA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D -xyz ，如图，

过P 作PH ∥DE 交BD 于点H ， 设PB ＝2a (0≤2a ≤3)，

则BH ＝a ，PH ＝3a ，DH ＝2－a ，

易知A 1(0,0,1)，P (2－a ，3a,0)，E (0，3，0)， 所以P A 1→

＝(a －2，－3a,1)． 因为ED ⊥平面A 1BD ，

所以平面A 1BD 的一个法向量为DE →

＝(0，3，0)．