高一数苏教必修4教师用书：3.1.3 两角和与差的正切

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高一数学苏教版必修4(江苏专用)课件3.1.3 两角和与差的正切

tan20°+tan40° 1-tan20°tan40°
.
= 3,
问题导学
当堂检测
2.化简求值:
1+tan75° . 1-tan75°
解:原式=
tan45°+tan75° =tan(45° +75° )=1-tan45°tan75°
3.
问题导学
当堂检测
1.公式 T(α+β),T(α-β)是变形较多的两个公式,公式中有 tan α· tan β,tan α+tan β(或 tan α-tan β),tan(α+β)(或 tan(α-β)).三者知二可表示或求出第三个. 2.一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换,如 tan =1,tan = 3,
;
.
(2)2- 3
问题导学
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一、利用两角和与差的正切公式给角求值
活动与探究求 tan 15° 的值. 思路分析:联想到两角差的正切公式,15° =45° -30° ,或 15° =60° -45° , 利用特殊角 45° ,30° ,60° 的正切值进行求值. 解:tan 15° =tan(45° -30° )
预习交流 1
公式 T(α±β)中 α,β 的使用范围是什么? 提示:α,β∈R,且 α,β,α± β≠kπ+ (k∈Z),且 tan αtan β≠± 1.
π 2
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预习导引
2.两角和与差的正切公式的变形式公式变形:tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β), tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). 1-tan αtan β=

高中数学3.1.3 两角和与差的正切(一) 教案(苏教版必修4)

第 4 课时： 3.1.3 两角和与差的正切（一）【三维目标】：一、知识与技能1.能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，了解它们的内在联系，并从推导过程中体会到化归思想的作用；2.能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明；掌握公式的正、逆向及变形运用，选用恰当的公式解决问题；3.能将简单的几何问题化归为三角问题，培养学生的数学转换能力及分析问题的能力。

二、过程与方法1.借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点；（在教师的点拨、提示下，学生自行完成证明）2.揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.3.讲解例题，总结方法，巩固练习. 三、情感、态度与价值观1.通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；2.理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力；能将简单的几何问题化归为三角问题，培养学生的数学转换能力及分析问题的能力。

【教学重点与难点】：重点：()T αβ±公式的运用。

难点：()T αβ±公式的推导及运用，选用恰当的方法解决问题。

【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。

2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题复习两角和与差的正、余弦公式：()(),S C αβαβ±±公式。

二、研探新知 1．两角和的正切∵0)cos(≠+βα,)tan(βα+ =βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++当0cos cos ≠βα时, 分子分母同时除以βαcos cos 得：即：（()T αβ+） tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+2．两角差的正切以β-代β得：tan()αβ-tan tan()1tan tan()αβαβ+-=--tan tan 1tan tan αβαβ-=+即：（()T αβ-）【说明】：①()T αβ±公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；②()T αβ±公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+ ③注意公式的结构，尤其是符号三、质疑答辩，排难解惑，发展思维公式的正用：例1 求值：（1）11tan12π；（2）tan 285．解：（1）11tan 12πtan tan()1246πππ=-=--tantan461tan tan46ππππ-=-+12==-+；（2）tan 285tan(36075)tan75=-=-tan 45tan 3021tan 45tan 30+=-=--公式的逆用：例2（教材101P 例2）：求证：1tan151tan15+-3=。

数学苏教版必修4学案：第3章 3.1 3.1.3 两角和与差的正切

3．1.3 两角和与差的正切预习课本P114～117，思考并完成以下问题1．如何利用两角和与差的正、余弦公式来推导两角和(差)的正切公式？2．公式T ()α±β的应用条件是什么？3．公式T ()α±β的变形有哪些？[新知初探]1．两角和与差的正切公式名称公式简记符号使用条件两角和的正切tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan βT (α＋β) α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)两角差的正切tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βT (α－β) α，β，α－β≠k π＋π2(k ∈Z)角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题．2．公式的常见变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； tan α·tan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.[小试身手]1．已知tan α＝4，1tan β＝13，则tan(α＋β)＝________.★答案★：－7112.1＋tan 75°1－tan 75°＝________.★答案★：－ 33．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则C ＝________. ★答案★：π34．设tan α＝3，tan(β－α)＝－2，则tan β等于________． ★答案★：17化简求值问题[典例] (1)3－tan 15°1＋3tan 15°； (2)tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°. [解] (1)因为tan 60°＝3，所以原式＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°·tan 15°＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.(2)因为tan 30°＝tan(20°＋10°)＝tan 20°＋tan 10°1－tan 20°·tan 10°，所以tan 20°＋tan 10°＝tan 30°(1－tan 20°·tan 10°)．故原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°) ＝tan 10°tan 20°＋tan 60°tan 30°(1－tan 20°tan 10°) ＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1.(1)注意公式的变形应用，当化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．(2)当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan π4”，“3＝tan π3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．求下列各式的值：(1)tan 72°－tan 42°－33tan 72°tan 42°； (2)1－3tan 10°3＋tan 10°＋3－tan 200°1＋3tan 200°＋tan 20°tan 40°·tan 60°.解：(1)原式＝tan(72°－42°)(1＋tan 72°tan 42°)－33tan 72°tan 42°＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)－tan 30°·tan 72°tan 42°＝tan 30°＝33. (2)原式＝33－tan 10°1＋33tan 10°＋3－tan 20°1＋3tan 20°＋tan 20°tan 40°tan 60°＝tan 30°－tan 10°1＋tan 30°tan 10°＋tan 60°－tan 20°1＋tan 60°tan 20°＋tan 20°tan 40°tan 60°＝tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°tan 60°＝tan(20°＋40°)(1－tan 20°tan 40°)＋tan 20°tan 40°·tan 60°＝tan 60°＝ 3.条件求值问题[典例] 已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan(α－β)＝12，求tan β及tan(2α－β)的值． [解] 因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫352＝45，所以tan α＝sin αcos α＝3545＝34.所以tan β＝tan [α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan α·tan (α－β)＝34－121＋34×12＝211.tan(2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan α·tan (α－β)＝34＋121－34×12＝2.在求两角和与差的正切值时，若已知的是α，β的正、余弦的值，此时求α±β的正切的方法有两种：①是先求α±β的正、余弦而后应用商数关系；②是先求tan α，tan β，而后应用α±β的正切公式，若已知的是α，β的正切，则直接应用正切公式求解即可．已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan 2α，tan 2β，tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值．解：tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)] ＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝5＋31－5×3＝－47，tan 2β＝tan [(α＋β)－(α－β)] ＝tan (α＋β)－tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝5－31＋5×3＝18，tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝1＋tan 2α1－tan 2α＝1－471＋47＝311. 给值求角问题[典例] 已知tan α＝2，tan β＝－13，其中0<α<π2，π2<β<π.(1)求tan(α－β)； (2)求α＋β的值．[解] (1)因为tan α＝2，tan β＝－13，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2＋131－23＝7.(2)因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1，又因为0<α<π2，π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝5π4. [一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求tan(2α－β)的值．解：由典例知tan(α－β)＝7，tan α＝2，所以tan(2α－β)＝tan [(α－β)＋α]＝tan(α－β)＋tan α1－tan(α－β)tan α＝7＋21－7×2＝－913.2．[变设问]在本例条件下，求tan(2α＋β)的值．解：由典例知tan(α＋β)＝1，tan α＝2，所以tan(2α＋β)＝tan[(α＋β)＋α]＝tan(α＋β)＋tan α1－tan(α＋β)tan α＝1＋21－2＝－3.3．[变条件，变设问]若本例条件变为：tan α＝13，tan β＝17且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求2α＋β的值．解：因为tan α＝13，tan β＝17且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋171－13×17＝12>0，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α＋β∈(0，π)，所以tan(2α＋β)＝tan(α＋β)＋tan α1－tan(α＋β)tan α＝12＋131－12×13＝1，所以2α＋β＝π4.解决给值求角问题的步骤(1)根据题设条件求角的某一三角函数值；(2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．层级一学业水平达标1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)＝________.解析：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.★答案★：132.tan 51°－tan 6°1＋tan 51°tan 6°＝________.解析：原式＝tan(51°－6°)＝tan 45°＝1.★答案★：13．已知tan α＝2，tan(α－β)＝－35，则tan β＝________.解析：tan β＝tan []α－(α－β)＝tan α－tan (α－β)1＋tan α·tan (α－β)＝2＋351＋2×⎝⎛⎭⎫－35＝－13. ★答案★：－134．化简：tan (α＋β)－tan α－tan βtan αtan (α＋β)＝________.解析：因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，所以tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝tan α＋tan β，即tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan(α＋β)tan αtan β，所以原式＝tan β. ★答案★：tan β 5.tan 32°＋tan 88°1＋tan 32°tan 92°＝________.解析：tan 32°＋tan 88°1＋tan 32°tan 92°＝tan 32°＋tan 88°1－tan 32°tan 88°＝tan(32°＋88°)＝tan 120°＝－ 3.★答案★：－ 36．已知tan α＝12，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________.解析：法一：因为tan α＝12，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4·tan α＝1＋tan α1－tan α＝3，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝3－11＋3＝12. 法二：tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·tanπ4＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝tan α＝12. ★答案★：127．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan α·tan β＝________.解析：因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan (α＋β)＝24＝12，所以tan α·tan β＝1－12＝12.★答案★：128．在△ABC 中，若0<tan A ·tan B <1，则△ABC 一定是________三角形．解析：tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B，因为0<tan A tan B <1，所以tan A >0且tan B >0，tan C <0，所以C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．★答案★：钝角9．已知tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝2，tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝22，求： (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4；(2)tan(α＋β)．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π12＋α＋⎝⎛⎭⎫β－π3 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎫β－π31－tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝2＋221－2×22＝－ 2.(2)tan(α＋β)＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4tanπ4＝－2＋11－(－2)×1＝22－3.10．已知π2<α<π，－π2<β<0，且tan α＝－13，tan β＝－17，求2α＋β的值．解：因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－13＋⎝⎛⎭⎫－171－⎝⎛⎭⎫－13×⎝⎛⎭⎫－17＝－12<0，且α＋β∈(0，π)，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以2α＋β∈(π，2π)．又因为tan(2α＋β)＝tan [α＋(α＋β)]＝tan α＋tan (α＋β)1－tan α·tan (α＋β)＝－13＋⎝⎛⎭⎫－121－⎝⎛⎭⎫－13×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，所以2α＋β＝7π4. 层级二应试能力达标1.tan 20°tan (－50°)－1tan 20°－tan 50°＝________.解析：原式＝－tan 20°tan 50°＋1tan 20°－tan 50°＝1tan 50°－tan 20°1＋tan 20°tan 50°＝1tan (50°－20°)＝1tan 30°＝ 3.★答案★： 32．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322.★答案★：3223．tan 15°＋tan 105°＝________.解析：tan 15°＋tan 105°＝tan(60°－45°)＋tan(45°＋60°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＋tan 45°＋tan 60°1－tan 45°tan 60°＝－2 3.★答案★：－2 34．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________. 解析：因为tan 45°＝tan(20°＋25°)＝tan 20°＋tan 25°1－tan 20°tan 25°＝1，所以tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，所以(1＋tan α)·(1＋tan β)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.★答案★：25．△ABC 中，tan A ＝14，tan B ＝35，则C ＝________.解析：因为C＝π－(A＋B)，所以tan C＝－tan(A＋B)＝－14＋351－14×35＝－1.又因为0＜C ＜π，所以C＝3π4.★答案★：3π46．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为_________．解析：因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2，所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1，即tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1，即tan(α＋β)＝－1，所以α＋β＝kπ－π4，k ∈Z.当k＝1，α＋β取得最小正值3π4.★答案★：3π47．求值：(1)tan(－15°)；(2)tan 74°＋tan 76°1－tan 74°tan 76°；(3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.解：(1)因为tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝12－636＝2－3，所以tan(－15°)＝－tan 15°＝3－2.(2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－33.(3)因为tan 60°＝3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23° tan 37°，所以tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°，所以tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3.8.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，255.求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的值．解：由已知得cos α＝210，cos β＝255，又α，β是锐角．则sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55. 所以tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)tan(α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)tan β＝－3＋121＋3×12＝－1，又α，β是锐角，则0＜α＋2β＜3π2，所以α＋2β＝3π4.。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 3.1.3 两角和与差的正切》9

两角和与差的正切[学习目标]1能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式2能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明3熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．一复习引入两角和与差的正弦与余弦公式1.coα-β=2.coαβ=3.inαβ=4.inα-β=二知识点引入知识点一两角和与差的正切公式思考1你能从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正切值表示tanα＋β，tanα－β的公式吗？思考2在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？知识点二两角和与差的正切公式的变形1Tα＋β的变形：tan α＋tan β＝．tan α＋tan β＋tan αtan βtanα＋β＝．tan αtan β＝2Tα－β的变形：tan α－tan β＝．tan α－tan β－tan αtan βtanα－β＝tan αtan β＝．练习1直接写出下列式子的结果：1错误!＝；2tan 75°＝；题型一化简求值例1求下列各式的值．1错误!；2tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°变式11错误!＝2求值：tan 2021tan 40°＋错误!tan 2021an 40°反思与感悟公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β或tan α－tan β，tanα＋β或tanα－β，三者知二可表示或求出第三个．跟踪训练1求下列各式的值．1错误!；2tan 36°＋tan 84°－错误!tan 36°tan 84°题型二给值求值角例2若α，β均为钝角，且1－tan α1－tan β＝2，求α＋β反思与感悟此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值；②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解．跟踪训练2已知in α＝错误!，α为第二象限的角，且tanα＋β＝－错误!，则tan β的值为．1．若tan α＝3，tan β＝错误!，则tanα－β＝2．已知A＋B＝45°，则1＋tan A1＋tan B的值为．3．已知A，B都是锐角，且tan A＝错误!，in B＝错误!，则A＋B＝4．已知tan错误!＝错误!，tan错误!＝－错误!，则tan错误!＝1．公式Tα±β的结构特征和符号规律1公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α或tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．2符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．2．公式Tα±β应用时要注意的问题1公式的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α＋β或α－β的终边不能落在轴上，即不为π＋错误!∈Z．2公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan 错误!＝1，tan 错误!＝错误!，tan 错误!＝错误!等．特别要注意tan错误!＋α＝错误!，tan错误!－α＝错误!3公式的变形用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式Tα±β的意识，就不难想到解题思路．特别提醒：tan α＋tan β，tan α·tan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型．。

数学必修4教学设计：3.1.3两角和与差的正切含解析精品

教学设计3．1.3两角和与差的正切整体设计教学分析由于学生有了推导两角和与差的正弦、余弦公式的学习经历，因此，教学中应该让学生独立地推导两角和与差的正切公式．对于公式的成立条件，可以让学生推导出公式观察、比较、分析，以便在掌握公式结构的基础上加以讨论．对于公式的结构特点的分析、归纳、总结，可以结合教科书中“思考”引导学生去发现，并结合例题的解答帮助学生更好地掌握这些特点，同时体会这些特点在解题中的作用．三维目标1．会由两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．2．能用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及三角恒等式证明．3．通过推导两角和与差的正切公式以及运用公式解决具体问题，使学生从中体会化归思想的作用．4．通过对例题解题思路的探求，使学生学会用分析的方法寻求解题思路．重点难点教学重点：两角和与差的正切公式的推导及运用．教学难点：运用公式解决简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明过程中解题思路的探求．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(复习导入)前面我们推出了公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α＋β)、S(α－β)后自然想到两角和与差的正切，即有没有tan(α－β)，tan(α＋β)的公式呢？由此导入新课．思路2.(问题导入)我们现在很容易由两角和与差的正弦、余弦公式求出sin15°和cos15°，再由同角三角函数关系求出tan15°，那么能不能直接由tan45°和tan30°求出tan15°呢？推进新课新知探究1．推导两角和与差的正切公式．2．用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及三角恒等式的证明．教师引导学生回顾并写出两角和与差的正弦、余弦公式及同角三角函数关系式．点拨学生推出tan(α－β)，tan(α＋β)．学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到．但学生很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来．当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ.如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0时，分子分母同除以cosαcosβ，得 tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，根据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，则有tan(α－β)＝tanα＋tan (－β)1－tanαtan (－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.由此推得两角和与差的正切公式，简记为T (α－β)、T (α＋β)．让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于π2＋kπ(k ∈Z )，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆．至此，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得：C (α＋β)、S (α＋β)、T (α＋β)叫和角公式；S (α－β)、C (α－β)、T (α－β)叫差角公式．并由学生综合分析以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图．可让学生自己画出这六个框图．通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美．对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T (α±β)处理某些相关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(π2－β)，因为tan π2的值不存在，所以改用诱导公式tan(π2－β)＝sin (π2－β)cos (π2－β)＝cosβsinβ来处理等．应用示例例1课本本节例1.例2课本本节例2. tan(α±β)(1例3课本本节例3.知能训练课本本节练习1、2、3、4.课堂小结由于学生有了推导两角和与差的正弦、余弦公式的学习经历，因此，教学中应该让学生独立地推导两角和与差的正切公式．对于公式的成立条件，可以让学生推导出公式观察、比较、分析，以便在掌握公式结构的基础上加以讨论．对于公式的结构特点的分析、归纳、总结，可以结合教科书中“思考”引导学生去发现，并结合例1和例2的解答帮助学生更好地掌握这些特点，同时体会这些特点在解题中的作用．本小节共两课时，本节课为第1课时，主要是推导公式、讨论探究公式的成立条件，并完成课本例1、例2、例3.例3是一道具有几何背景的简单问题，在该题的教学中，要注意让学生体会已知一个角的三角函数值，确定角的方法．设计感想本节课从内容上来看，难度较小，但两角和与差的正切公式有其成立的条件．这点教材中未做特别说明，是学生易出错的地方．在教学中，应注意引导学生对公式的结构特征仔细观察，清楚公式变形的本质属性，解题时灵活选用．同时注意鼓励学生进行一题多解，一题多变，并从中体会重要的数学思想方法，这才是本节教学的核心问题，而不是一些特殊的变换技巧．备课资料一、对两角和与差的正切公式的理解1．两角和的正切公式是根据同角三角函数的关系式sinαcosα＝tanα及正、余弦的和角公式导出的，因为公式S (α＋β)与C (α＋β)具有一般性，因此公式T (α＋β)也具有一般性，在公式T (α＋β)中以－β代β便可得到公式T (α－β)．2．两公式只有当tanα，tanβ或tan(α±β)都存在，即α≠kπ＋π2，β≠kπ＋π2，α±β≠kπ＋π2(k ∈Z )时才成立，这是由任意角的正切函数的定义域所决定的．3．当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不都存在时，不能使用T (α±β)来处理某些相关问题，但可改用诱导公式或其他方法，如化简tan(π2＋β)，因为tan π2的值不存在，不能利用公式T (α＋β)，所以要改用诱导公式来解，则tan(π2＋β)＝sin (π2＋β)cos (π2＋β)＝cosβ－sinβ＝－1tanβ.二、备用习题1．如果tan(α＋β)＝25，co t(α＋π4)＝4，则tan(β－π4)为( )A.16B.1318 C.322 D.13222．已知tan(α－β2)＝12，tan(β－α2)＝－13，则tan α＋β2的值等于________．3．已知tan(α＋π4)＝－940，则tanα＝________，tan(α－π4)＝________.4．已知tanα，tanβ是方程x 2＋(4m ＋1)x ＋2m ＝0的两个根，且m ≠－12，求sin (α＋β)cos (α－β).5．已知α、β都是锐角，cosα＝45，tan(α－β)＝－13，求cosβ的值．参考答案： 1．C 2.173．－940 409 解析：∵tan(α＋π4)＝－940，∴1＋tanα1－tanα＝－940.解得tanα＝－4931，tan(α－π4)＝tanα－11＋tanα＝409.4．解：由题意tanα＋tanβ＝－(4m ＋1)，tanαtanβ＝2m ， ∴sin (α＋β)cos (α－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ＝tanα＋tanβ1＋tanαtanβ＝－4m ＋12m ＋1.5．解：由题意tanα＝34，∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tan (α－β)1＋tanαtan (α－β)＝34＋131＋34×(－13)＝139.又∵cos 2β＝11＋tan 2β＝11＋16981＝81250，∴cosβ＝91050. (设计者：王光玲)第2课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回顾前面所学的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，从分析公式的推导过程入手，揭示它们的逻辑关系．思路2.(习题导入)①已知α＋β＝45°，求(1＋tanα)(1＋tanβ)的值．(答案：2) ②已知sinα＝－35，α是第四象限角，求tan(π4－α)的值．(答案：7)③求tan70°＋tan50°－3tan50°tan70°的值．(答案：－3) 学生练习，教师讲评中导入新课．推进新课新知探究本节为两角和与差的三角函数的最后一节内容，对两角和与差公式进一步熟练掌握．上节课我们学习了两角和与差的正切公式，请同学们默写这些公式，并思考这些公式的使用条件．我们上节课初步运用这些公式解决了一些有关三角函数的求值和化简问题，利用这些公式除了能进行三角函数式的求值、化简之外，我们还可以运用其解决一些三角函数式的证明问题，并能解决一些实际问题．这就是我们本节课所要学习的内容．应用示例例1课本本节例4.例2课本本节例5.例3求证：sin (α＋β)sin (α－β)sin 2αcos 2β＝1－tan 2βtan 2α.活动：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法．证法一：左边＝(sin αcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)sin 2αcos 2β＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝1－tan 2βtan 2α＝右边．∴原式成立．证法二：右边＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)sin 2αcos 2β＝sin (α＋β)sin (α－β)sin 2αcos 2β＝左边．∴原式成立．点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形，灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力．知能训练课本本节练习1、2、3、4.课堂小结我们在学习两角和与差的正切公式的时候，不仅要熟练掌握公式本身，更应该掌握公式的变形公式，尤其是在解决有关三角函数式的证明和化简问题时，更应该注意灵活运用公式的变形公式．作业课本习题3.1(3) 8、9、10.设计感想作为两角和与差公式的最后一节课，学生对两角和与差的正切(包括正弦、余弦)公式及其应用有了比较深刻的理解．对于本节来说，教学中可以更多地让学生自主学习，探究解决问题的来龙去脉，使学生更好地掌握用分析的方法寻求解题思路．特别是本节课本例4是一个优美的三角恒等式，可让学生课后继续探究它的对称美、简洁美、统一美、结构美等特征，让学生从中体会数学的美丽生动．备课资料备选习题1．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为( ) A ．－1 B ．－12C.57D.172．tan30°＋tan15°＋tan15°tan30°的值等于( )A.12B.22 C. 2 D ．1 3.tan55°－tan385°1－tan (－305°)tan (－25°)＝________.4．已知tan110°＝a ，则tan50°的值为________． 5．若tanx ＝1－tan20°1＋tan20°，则x ＝________.6．已知sinα＝－35，cosβ＝513，且α，β的终边在同一象限，求tan(α＋β)的值．7．若3sinx ＋3cosx ＝23sin(x ＋φ)且φ∈(0，π2)，求tan(φ＋π4)的值．8．在平面直角坐标系中，点P 在以原点O 为圆心、6为半径的圆上运动，线段OP 与以O 为圆心、2为半径的圆交于R 点，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，过R 作PM 的垂线，垂足为Q ，求∠POQ 的最大值．参考答案：1．D 2.D 3.33 4.a －31＋3a (或1－a 22a )5．25°＋k·180°(k ∈Z ) 6.6316.7．分析：如何求φ是本题的关键．解：∵3sinx ＋3cosx ＝23(32sinx ＋12cosx)＝23(sinxcos π6＋cosxsin π6)＝23sin(x ＋π6)， ∴23sin(x ＋φ)＝23sin(x ＋π6)．又∵φ∈(0，π2)，∴φ＝π6.∴tan(φ＋π4)＝1＋tanφ1－tanφ＝1＋331－33＝3＋33－3＝9＋3＋6332－3＝2＋ 3.8．解：本应考虑点P 在四个象限的情形，由于对称性，可不妨设点P 在第一象限，设∠xOP ＝α，∠xOQ ＝β，则∠POQ ＝α－β，Q(6cosα，2sinα)，tanβ＝2sinα6cosα＝13tanα.故tan ∠POQ ＝tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝tanα－13tanα1＋13tan 2α＝2tanα3＋tan 2α.设tan ∠POQ ＝y ，tanα＝t ，则y ＝2t 3＋t 2，即yt 2－2t ＋3y ＝0.由α是锐角，可知t ＞0，从而y ＝2t3＋t 2＞0.又Δ＝4－12y 2≥0，故0＜y ≤33，且当t ＝3时，y ＝33. 故y 的最大值，即tan ∠POQ 的最大值为33.所以∠POQ 的最大值为π6.附：(设计者：王光玲)3．1.3 两角和与差的正切第1课时作者：徐金花，江苏省铜山县棠张中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛二等奖．整体设计设计思想数学课程标准指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上．”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解与掌握基本的数学基础知识与技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动的经验．”苏霍姆林斯基曾经说过，学生心灵深处有一种根深蒂固的需要——希望自己是一个发现者、研究者、探究者．本节课根据新课标和新课程的教学理念，采用自主探究与合作交流的教学方法，让学生积极主动的参与学习，给予他们充分的时间和空间，进行探索、猜想和发现两角和与差的正切公式．对于例习题的处理是通过一题多解、一题多变等形式让教学成为师生对话、沟通、合作、共建的交往活动．教学内容分析本节内容在上两节正、余弦和、差角公式的基础上，利用同角三角函数关系推导出正切的和差角公式，并通过三个例题及变式题的处理(主要是公式的正用、逆用和变用)巩固所学知识．教学目标分析1．知识与技能：会由正、余弦的和、差角公式推导出正切的和差、角公式．能用正切的和、差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明． 2．过程与方法：学生利用正、余弦的和、差角公式自主探究正切的和、差角公式，并从推导的过程中感悟化归思想．3．情感与态度：通过对问题的自主探究和合作交流，体验团队合作的快乐，养成严谨、开放的思维习惯，感悟化归思想、数形结合思想、整体思想、方程思想，增强数学学习的信心．重点难点教学重点：正切公式的推导及用公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．教学难点：公式的灵活应用．教学准备实物投影仪多媒体教学过程情景创设(多媒体出示)回顾3.1.1节例2中求tan15°的过程，我们先分别求出sin15°和cos15°，再由同角三角函数关系求出tan15°，这个计算方法较烦琐，由15°＝45°－30°，我们猜想，能否由tan45°和tan30°直接求出tan15°呢？这就是我们这节课研究的课题——两角和与差的正切．(教师板书课题)学生活动：回顾求解过程、感受计算量．自主探究：(1)如何化未知角为已知角？(2)如何化未知函数名为已知函数名？(“切”化“弦”)学生活动学生就上面的问题展开讨论，讨论将涉及下面的问题：1．同角的三角函数有哪些关系？我们选择哪个关系来研究本课题？2．问题1中涉及到的S(α＋β)和C(α＋β)公式，你能准确写出来吗？3．由问题1,2将tan(α±β)表示成α，β的“弦”的形式之后如何化成“切”的形式呢？小组讨论，合作交流．推荐两个小组代表板演推导两个公式的过程．数学建构两角和与差的正切公式：(教师板书)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβT(α＋β)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβT(α－β)思考：1.公式的结构特点及适用范围(符号特点；结构特点：要注意到tan(α±β)可以用tanα和tanβ的和(差)与积表示；适用范围是使公式的两边都有意义)．2．公式T(α－β)能否由T(α＋β)来推导呢？(利用化归思想，用－β代替β)(教师板书数学思想)3．由T(α＋β)公式，你能否将公式变形得到其他公式？(教师板书变形公式)变形1 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；变形2 tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtan (α＋β). (两个变形公式的适用范围也是使等式两边都有意义)学生活动：学生在书上划出公式，并观察公式的结构特点．思考：(1)求tan(π2＋α)可以用T (α＋β)公式展开吗？(2)T (α＋β)公式成立的具体条件是什么？自主探究：一中等生口述思路“整体代换”学生感悟化归思想．小组讨论，合作交流．学生记下变形公式(不作记忆要求，会变形应用)思考：两变形公式成立的具体条件是什么？数学应用(例题用多媒体出示、变式题用实物投影仪出示)例1(1)已知tanα＝12，求tan(α＋π4)； (2)已知tanα＝－12，tanβ＝－5，求tan(α＋β)．分析：直接应用公式，注意公式及运算的准确性．变式1：(教材例1)已知tanα，tanβ是方程x 2＋5x －6＝0的两根，求tan(α＋β)的值．分析：思路一：可以根据方程解出tanα，tanβ，再代入公式计算即可．思路二：通过计算tanα＋tanβ，ta nαtanβ的值来求tan(α＋β)．反思：思路二是利用整体思想方法来解题，较思路一简捷．变式题2(教材本节练习4)已知tan(α＋β)＝13，tanα＝－2，求tanβ的值．分析：思路一：利用“β＝(α＋β)－α”变换方法，代入T (α－β)公式求解即可．思路二：由13＝tan(α＋β)展开，将tanα＝－2代入，建立关于tanβ的方程．反思：思路一通过角的变换，化未知为已知，渗透了化归思想；思路二是建立方程，体现了方程的思想．(以上几题均是公式的正用)思考：公式及变形公式有什么作用？学生活动：一中等学生口述分析思路一，师板书．一优等生口述分析思路二并板书关键步骤．学生回顾韦达定理的内容并感悟整体思想方法．两中等生口述分析思路一、思路二．(师多媒体出示解答过程，强调规范书写，并给出评分标准)思考：两种思路体现的数学思想是什么？例2(教材例2)求证：1＋tan15°1－tan15°＝ 3. 分析：思路一：由1＝tan45°，等式左边的结构与tan(α＋β)相似，考虑逆用两角和的正切公式．思路二：本题也可由3联想到tan60°，进而联想到两角和的正切公式，找到证明途径(公式正用)．思路三：利用15°＝45°－30°，再代入T (α－β)公式求解．(化未知角为已知角再正用公式) 自主探究：(1)如何证明等式？(2)观察等式左、右两边的结构有何特点？一优等生分析口述思路一(师板书)，一中等生分析思路二(师及时表扬学生的巧妙联想)，一潜能生分析思路三(师肯定学生的转化方法)．变式题1.求证：cos15°＋sin15°cos15°－sin15°＝ 3. 分析：思路一：利用15°＝45°－30°，再代入S (α±β)和C (α±β)公式计算即可(此法较为烦琐)．思路二：“弦化切”处理之后即为例2，可证．思路三：逆用两角和与差的正、余弦公式化简可证．其中：cos15°－sin15°＝2(22cos15°－22sin15°) ＝2sin(45°－15°)＝22. cos15°＋sin15°＝2(22cos15°＋22sin15°) ＝2sin(45°＋15°)＝62. 思路四：由等式左边是正值，可证其平方为3，而平方后可逆用和、差角公式，令m ＝cos15°＋sin15°cos15°－sin15°，则m>0，从而m 2＝1＋2sin15°cos15°1－2sin15°cos15°＝1＋sin30°1－sin30°＝3212＝3，可证．思路五：构造向量，利用向量的内积定义及坐标表示来证明．令a ＝(1，－1)，b ＝(cos15°，sin15°)，则cos15°－sin15°＝(1，－1)·(cos15°，sin15°)＝2×1×cosθ，其中θ为a 与b 的夹角，且数形结合可知θ＝15°＋45°＝60°，从而cos15°－sin15°＝2cos60°＝22，同理可求 cos15°＋sin15°＝2cos30°＝62，从而可证．反思：本题是一题多解，开阔学生的思维，培养学生分析问题和解决问题的能力，渗透数学中的转化思想(思路二)和整体思想(思路四)和数形结合思想(思路五)．小组讨论，合作交流．不同解法的小组派代表展示证明方法．(前四种不同解法)(通过合作探究问题的过程，体验团队合作的快乐，体会公式的灵活应用、感悟化归、数形结合、整体、方程的数学思想．) (师启发思路五并多媒体出示解答过程，留时间让学生体会构造方法)变式题2.利用和(差)公式证明tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3.分析：利用和(差)角公式的变形公式1可得tan20°＋tan40°＝tan(20°＋40°)(1－tan20°tan40°)＝3(1－tan20°tan40°)．反思：本题是公式灵活应用的典例，更一般地，猜想：tanα＋tanβ＋tan(α＋β)tanαtanβ＝tan(α＋β)成立吗？讨论交流，一优等生分析口述(师板书)．思考：能否用公式T (α＋β)的变形2来证明呢？(课后完成猜想)例3(教材例3)如图，三个相同的正方形相接，求证：α＋β＝π4. 分析：由图可知tanα＝12且0<α<π2，tanβ＝13且0<β<π2，欲求α＋β的值，先求tan(α＋β)的值为1且0<α＋β<π，从而α＋β＝π4. 反思：这是一道具有几何背景的简单问题，从这里可以看出已知一个角的三角函数值求角的方法．思考：你能从图形中观察出α，β均小于π4，那你能从代数的角度说明α，β均小于π6吗？(利用函数的单调性求角的范围．如0<tanα＝12<33，则0<α<π6)思考1：求角“α＋β”的哪个函数值较好？思考2：由tan(α＋β)＝1能直接得到α＋β＝π4吗？为什么？变式题：已知A ，B 为锐角，且A ＋B ＝45°.(1)求证：(1＋tanA)(1＋tanB)＝2.(2)求值：(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)．自主探究(1)课外思考(2)回顾小结1．知识点：两角和与差的正切公式的推导；应用公式进行求值、化简及三角恒等式的证明(正用，逆用，变用)．2．数学思想：化归思想、整体思想、数形结合思想、方程思想．一中等生完成小结，学生笔记数学思想．作业教材习题3.1(3)必做题2,5,9；选做题7.教后记本节课根据新课标和新课程的教学理念，采用自主探究与合作交流的教学方法，让学生积极主动的参与学习，给予他们充分的时间和空间，进行探索、猜想和发现两角和与差的正切公式，培养学生自主探究能力和合作交流能力．在公式的结构特点方面，让学生观察归纳，培养学生的观察能力和归纳能力．在例题的处理和变式题的训练方面，完全让学生自主探究，合作讨论交流，体验团队合作的快乐，培养学生思维的严谨性和开阔性，以及分析问题、解决问题的能力，渗透了整体、化归、数形结合、方程等几种数学思想．不足之处：对于例2的变式题1的证法五是在教师启发引导下探究出来的，这说明学生的“向量”工具应用还不够好，学生的思维开阔性及整体思想、数形结合思想的应用方面还需进一步提高．而例2的变式题2的处理，学生变用公式的能力还有待进一步提高．对于例3的思考2同样反映了学生的数形结合能力有待进一步提高．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 3.1.3 两角和与差的正切》5

射阳县高级中学2021年春学期高一数学教学案课题：两角和与差的正切编写：周海燕学习目标：1理解两角和差的正切公式的推导过程2利用两角和差的正切公式进行简单三角函数式的化简, 求值和恒等式的证明3注意两角和差的正切公式正、余弦公式的联系学习重点：正切公式的推导及运用公式进行简单的三角函数式的化简, 求值和恒等式的证明学习难点：公式的推导及简单应用学习过程：一问题情景求tan15°的值二建构数学1两角和的正切公式的推导 2两角差的正切公式三数学应用α, tanβ是方程62－51=0的两个根, 且0<α<2π, π<β<23π 1求tanαβ的值2求αβ的值变式练习1：已知0,0,απβπ<<<< tan α，tan β是方程256=0的两个根，求αβ变式练习2：已知tanα－β=21, tanβ=－71, 且α, β∈0 , π, 求2α－β的值例2求值: ︒-︒+15tan 115tan 1变式练习3：求tan 70tan503tan 70tan50+-的值。

例3如图: 三个相同的正方形相接, 求αβ的值α, tanβ是方程325－7=0的两根, 求下列各式的值 1tanαβ 2)cos()sin(βαβα-+3co 2 αβ三课堂练习（1）已知tan4πα=2 , 则212sin cos cos ααα+=____________（2）求tan17︒tan28︒tan17︒tan28︒的值四课堂小结五．作业布置（书后练习题）α。

高中数学苏教版必修4教案：第三章三角恒等变换第4课时两角和与差的正切

无论风雨历程，有我陪伴你左右，愿您前程无忧。

第4课时§3.1.3 两角和与差的正切
【教学目标】
一、知识与技能：
二、过程与方法
从实际的应用中体会数学与生活是相关的，不是完全脱离现实的，同时理解三角函数在描述周期性现象时的重要作用
三、情感态度价值观：
培养学生应用数学的能力，让学生体会到数学在实际生活中的应用，意识到只要认真观察思考，会发现数学来源于生活
教学重点难点：建立三角函数的模型
【教学过程】
一．复习回顾
二、例题分析：
三、课堂小结：
四、课后思考：
无论风雨历程，有我陪伴你左右，愿您前程无忧。

无论风雨历程，有我陪伴你左右，愿您前程无忧。

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2013高中新课程数学(苏教版必修四)3.1.3两角和与差的正切

解得x＝ 2 2 ．
2
1 2 x － 2x＋ 2
2
＝0的两根．
因为tan＜tan，所以
tan＝1－
2 2 ，tan＝1＋． 2 2
2
苏教版高中数学教材必修4
第3章
三角恒等变换
苏教版高中数学教材必修4
第3章
三角恒等变换
3.1.3两角和与差的正切
数学理论
苏教版高中数学教材必修4
第3章
三角恒等变换
3.1.3两角和与差的正切
例题讲解
例1
求下列各式的值：
(1)tan75º ；
tan12＋ tan33 ( 2) ； 1－ tan12 tan33
tan(60＋ )－tan( 30＋ ) (3) ． 1＋tan(60＋ ) tan( 30＋ )
苏教版高中数学教材必修4 第3章三角恒等变换
3.1.3两角和与差的正切
2．已知tan＋tan＝2，tan(＋)＝4，且 tan＜tan，试求tan和tan．解：由tan＋tan＝2， tan(＋)＝4，得 1－tantan＝ 1 ，即tantan＝ 1 ．
所以tan，tan是方程
3.1.3两角和与差的正切
例题讲解例2 已知tan ，tan是方程x2＋5x－6＝0 的两根，求tan(＋)的值．
分析：本题既可以根据方程解出tan，tan，再代入公式计算，也可以不解方程，通过计算tan＋tan， tan tan的值来求tan(＋)．
点评：对于求tan(＋)而言tan和tan不是必要，根据公式 T(＋)只需知道tan＋tan和tan tan的值即可．
苏教版高中数学教材必修4 第3章三角恒等变换
3.1.3两角和与差的正切
课堂训练

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3.1.3 两角和与差的正切1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.(重点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.(难点)[基础·初探]教材整理两角和与差的正切公式阅读教材P114～P115的全部内容，完成下列问题.T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.1.tan 15°＝________；tan 75°＝________.【解析】tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45° tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝2－ 3.tan 75°＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋ 3.【★答案★】2－32＋ 32.设α，β为锐角，且tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的根，则tan(α＋β)＝________.【解析】 tan α＋tan β＝56，tan α·tan β＝16. tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝1.【★答案★】 1[小组合作型]条件求值问题已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan 2α，tan 2β，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4. 【导学号：48582136】【精彩点拨】 2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4可以用tan 2α表示出来.【自主解答】 tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝5＋31－5×3 ＝－47，tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)] ＝tan (α＋β)－tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝5－31＋5×3＝18，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝1＋tan 2α1－tan 2α＝1－471＋47＝311.求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来运算的繁杂.[再练一题]1.已知tan(α＋β)＝25，tan⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，求tan⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.【解】tan⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan(α＋β)－tan⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan(α＋β)tan⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322.给值求角已知tan α，tan β是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，求α＋β.【精彩点拨】利用根与系数的关系求tan α＋tan β及tan αtan β的值，进而求出tan(α＋β)的值，然后由α＋β的取值范围确定α＋β的值.【自主解答】因为tan α，tan β是方程x2＋33x＋4＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－33＜0，tan αtan β＝4＞0，所以tan α＜0，tan β＜0.又因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以－π＜α＋β＜0.又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，所以α＋β＝－2π3.1.给值求角的一般步骤：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.2.选取函数时，应遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好.[再练一题]2.已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________. 【解析】由于tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)·tan β＝12－171＋12×17＝13，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝12＋131－12×13＝1，而β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2α－β∈(－π，0)，故2α－β＝－3π4. 【★答案★】－3π4[探究共研型]T (α±β)公式的变形及应用(α±β)(1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝__________________________________________________. tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝________.tan αtan β＝_____________________________________________________. (2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝___________________________________________________. tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝________.tan αtan β＝_____________________________________________________. 【提示】 (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β) tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)(2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β) tan αtan β＝tan α－tan βtan (α－β)－1探究2 结合T (α±β)公式想一想下列式子如何化简？ (1)1－tan α1＋tan α＝________；(2)3＋tan α1－3tan α＝________. 【提示】 (1)1－tan α1＋tan α＝tan π4－tan α1＋tan π4tan α＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α (2)3＋tan α1－3tan α＝tan π3＋tan α1－tan π3tan α＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tanB ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状.【精彩点拨】充分结合T (α±β)的公式及变形求解. 【自主解答】 ∵3tan A ＋ 3 tan B ＝tan A tan B －1，∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－33，∴tan(A ＋B )＝－33.又∵0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝5π6，∴C＝π6，∵tan B＋tan C＋3tan B tan C ＝3，tan C＝3 3，∴tan B＋33＋tan B＝3，tan B＝33，∴B＝π6，∴A＝2π3，∴△ABC为等腰钝角三角形.1.公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β)).三者知二可表示或求出第三个.2.一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.[再练一题]3.求下列各式的值：(1)1－3tan 75°3＋tan 75°；(2)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.【解】(1)1－3tan 75°3＋tan 75°＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1.(2)∵tan(23°＋37°)＝tan 60°＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°＝3，∴tan 23°＋tan 37°＝3(1－tan 23°tan 37°)，∴原式＝3(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3.1.1－tan 15°1＋tan 15°＝________.【解析】原式＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝3 3.【★答案★】3 32.计算tan 51°－tan 6°1＋tan 51°tan 6°＝________.【解析】原式＝tan(51°－6°)＝tan 45°＝1. 【★答案★】 13.若tan α＝17，tan(α－β)＝－1，则tan β＝________.【解析】tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan(α－β)1＋tan αtan(α－β)＝17＋11－17＝43.【★答案★】4 34.若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________.【解析】tan 45°＝tan(20°＋25°)＝tan 20°＋tan 25°1－tan 20°tan 25°＝1，∴tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20° tan 25°，∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.【★答案★】 25.已知A，B，C为锐角三角形ABC的内角.求证：tan A＋tan B＋tan C＝tan A tanB tan C. 【导学号：48582137】【证明】∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.∴tan(A＋B)＝tan A＋tan B 1－tan A tan B＝－tan C.∴tan A＋tan B＝－tan C＋tan A tan B tan C.即tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C.。