(文理通用)2019届高考数学大二轮复习 第1部分 专题6 解析几何 第2讲 圆锥曲线的概念与性质、
2019年高考数学大二轮复习专题六解析几何6.2椭圆、双曲线、抛物线课件
题型一
题型一 圆锥曲线的定义及标准方程
圆锥曲线的定义、标准方程
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义 标准方程
|PF1|＋|PF2|＝ 2a(2a>|F1F2|) ax22＋by22＝1(a>b>0)
||PF1|－|PF2||＝ 2a(0<2a<|F1F2|) ax22－by22＝1(a>0，b>0)
|PF|＝|PM|点 F 不在直 线 l 上，PM⊥l 于 M
又ac＝ ac22＝ 方程为x32－y92＝1.
a2＋a2 b2＝
1＋ba22＝2，所以 b2＝3a2，得 a2＝3.所以双曲线的
答案： (1)D (2)C
1．求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算” (1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方 程． (2)计算，即利用待定系数法求出方程中的 a2，b2 或 p.另外，当焦点位置无法 确定时，抛物线常设为 y2＝2ax 或 x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)， 双曲线常设为 mx2－ny2＝1(mn>0)． 2．[警示] 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误．
y2＝2px(p>0)
图 形
(1)(2018·惠州市第二次调研)设 F1，F2 为椭圆x92＋y52＝1 的两个焦点，点
P 在椭圆上，若线段 PF1 的中点在 y 轴上，则||PPFF12||的值为(
)
5 A.14
B．59
4 C.9
D．153
(2)(2018·天津卷)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，过右焦点且
2019届高考数学大二轮复习精品(文理通用)练习：第1部分专题6解析几何第3讲含解析
第一部分 专题六 第三讲A 组1．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( A )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线[解析] 设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧ λ1＝y ＋3x 10，λ2＝3y －x 10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x 10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹为直线．故选A ．2．过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为( B )A ．10B ．13C ．16D ．19[解析] 由题意可知，|PM |2－|PN |2＝(|PC 1|2－4)－(|PC 2|2－1)，因此|PM |2－|PN |2＝|PC 1|2－|PC 2|2－3＝(|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3＝2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|－3＝13. 故选B ．3．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，且|F 1F 2|＝2，若P 是该双曲线右支上的一点，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，则△PF 1F 2面积的最大值是( B )A ．1B ．43C ．53D ．2 [解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，设∠F 1PF 2＝θ，∴cos θ＝16a 2＋4a 2－42×4a ×2a＝5a 2－14a 2，∴S 2△PF 1F 2＝(12×4a ×2a ×sin θ)2 ＝16a 4(1－25a 4－10a 2＋116a 4) ＝169－9(a 2－59)2≤169， 当且仅当a 2＝59时，等号成立，故S △PF 1F 2的最大值是43. 故选B ．4．已知双曲线M 的焦点F 1，F 2在x 轴上，直线7x ＋3y ＝0是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且PF 1→·PF 2→＝0，如果抛物线y 2＝16x 的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么|PF 1→|·|PF 2→|＝( B )A ．21B ．14C ．7D ．0[解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵直线7x ＋3y ＝0是双曲线M 的一条渐近线，∴b a ＝73，① 又抛物线的准线为x ＝－4，∴c ＝4②又a 2＋b 2＝c 2.③∴由①②③得a ＝3.设点P 为双曲线右支上一点，∴由双曲线定义得|||PF 1|－|PF 2|＝6④又PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在Rt △PF 1F 2中|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝82⑤联立④⑤，解得|PF 1→|·|PF 2→|＝14.5．已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k 的值为( D )A ．13B ．23C ．23D ．223[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0，。
2019年高考数学(文)考试大纲解读：专题06 平面解析几何-含解析
（四）平面解析几何初步1.直线与方程（1）在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.（4）掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.（5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.3.空间直角坐标系（1）了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.（2）会推导空间两点间的距离公式.（十五）圆锥曲线与方程（1）了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.（3）了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质.（4）理解数形结合的思想.（5）了解圆锥曲线的简单应用.预计2019年的高考中，对平面解析几何部分的考查总体保持稳定，其考查情况的预测如下： 直线和圆的方程问题单独考查的几率很小，多作为条件和圆锥曲线结合起来进行命题；直线与圆的位置关系是命题的热点，需给予重视，试题多以选择题或填空题的形式命制，难度中等及偏下.样题4 （2018浙江）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，，所以，因为A ，B 在椭圆上，所以，，所以，所以224x +，与对应相减得234my +=，，当且仅当5m =时取最大值．【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.样题5 （2018新课标全国Ⅱ文科）双曲线A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．y = 【答案】A样题6 （2018新课标全国Ⅲ文科）已知双曲线则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2C ．2D ．【答案】D 【解析】，1ba∴=，所以双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=，所以点(4,0)到渐近线的距离，故选D ．考向三 直线与圆锥曲线样题7 （2017新课标全国II 文科）过抛物线2:4C y x =的焦点F ，C 于点M （M在x 轴的上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为A B ．C ．D ．【答案】C样题8 （2018新课标全国Ⅱ文科）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 【答案】（1）y =x –1；（2）或．【解析】（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得．，故．所以．由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩，因此所求圆的方程为或．样题9 （2017新课标全国Ⅰ文科）设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【解析】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则12x x ≠，2114x y =，2224x y =，x 1+x 2=4，于是直线AB 的斜率．【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，主要利用根与系数的关系：因为直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用根与系数的关系及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题、弦长问题，可用根与系数的关系直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．考向四 圆锥曲线的其他综合问题样题10 （2018新课标全国Ⅲ文科）已知斜率为k 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点．线段AB 的中点为．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且．证明：．【答案】（1）见解析；（2）见解析.（2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，， 则．由（1）及题设得，．又点P 在C 上，所以34m =， 从而3(1)2P -，，3||=2FP uu r ． 于是，同理2||=22xFB -uu r ，所以，故．样题11 设椭圆的右焦点为1F 1F 且与x 轴垂直的直线（1）求椭圆C 的方程；（2）若24y x =上存在两点M N 、，椭圆C 上存在两个点P Q 、满足： 1P Q F 、、三点共线，1M N F 、、三点共线且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值.（2）当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，此时；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为，联立24y x =，得，设,M N 的横坐标分别为,M N x x ，则，∴MN =，由PQ MN ⊥可得直线PQ 的方程为，联立椭圆C 的方程，消去y ，得，设,P Q 的横坐标分别为,P Q x x ，则P Q x x ∴，,令，则，综上，.。
专题06平面解析几何-2019年高考数学(理)考试大纲解读Word版含解析
2019 年考试纲领解读6平面分析几何（四）平面分析几何初步1.直线与方程(1)在平面直角坐标系中 , 联合详细图形 , 确立直线地点的几何因素 .(2)理解直线的倾斜角和斜率的观点 , 掌握过两点的直线斜率的计算公式 .(3)能依据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直 .(4)掌握确立直线地点的几何因素 , 掌握直线方程的几种形式 ( 点斜式、两点式及一般式 ), 认识斜截式与一次函数的关系 .(5)能用解方程组的方法求两条订交直线的交点坐标 .(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式 , 会求两条平行直线间的距离 . 2. 圆与方程(1)掌握确立圆的几何因素 , 掌握圆的标准方程与一般方程 .(4)初步认识用代数方法办理几何问题的思想 . 3.空间直角坐标系(1)认识空间直角坐标系 , 会用空间直角坐标表示点的地点 .(2)会推导空间两点间的距离公式 .（十五）圆锥曲线与方程1.圆锥曲线(1)认识圆锥曲线的实质背景 , 认识圆锥曲线在刻画现实世界和解决实质问题中的作用 .(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.(3)认识双曲线的定义、几何图形和标准方程 , 知道它的简单几何性质 .(4)认识圆锥曲线的简单应用 .(5)理解数形联合的思想 .2.曲线与方程认识方程的曲线与曲线的方程的对应关系 .估计 2019 年的高考取，对平面分析几何部分的考察整体保持稳固，其考察情况的展望以下：直线和圆的方程问题独自考察的几率很小，多作为条件和圆锥曲线联合起来进行命题；直线与圆的地点关系是命题的热门，需赐予重视，试题多以选择题或填空题的形式命制，难度中等及偏下 .圆锥曲线为每年高考考察的热门，题目一般为“一小 ( 选择题或填空题）一大（解答题 ) ”或“两小一大”，小题多是考察圆锥曲线的标准方程和几何性质，解答题般作为压轴题出现，考察直线与圆锥曲线的地点关系、定点、定值、范围及探究性问题等，此中以对椭圆和抛物线的有关知识的考察为主，题目难度较大，考向一圆与方程样题 1（2018 新课标Ⅲ理）直线分别与 x 轴，y轴交于A，B两点，点 P 在圆上，则△ ABP 面积的取值范围是A． 2 ，6B． 4 ，8C．，D．2 2，2 3 2 3 2【答案】 A【分析】直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，,则AB 2 2 .点 P 在圆上，圆心为（2，0），则圆心到直线的距离.故点 P 到直线的距离d 2 的范围为，则2 ,3 2.故答案为 A.【名师点睛】此题主要考察直线与圆，考察了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题 . 先求出A，B两点坐标获得AB ，再计算圆心到直线的距离，获得点 P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可.样题 2 （2018江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，A为直线 l : y 2 x 上在第一象限内的点， B(5,0)，以 AB为直径的圆 C与直线 l 交于另一点 D．若AB CD0 ，则点A 的横坐标为________．【答案】 3【名师点睛】以向量为载体求有关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相联合的一类综合问题 . 经过向量的坐标运算，将问题转变为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这种问题的一般方法. 考向二圆锥曲线的简单几何性质样题 3 （2018 新课标全国Ⅱ理科） 已知 F 1，F2是椭圆的左、右焦点， A 是 C 的左极点，点 P 在过 A 且斜率为3的直线上， △ PF 1 F 2 为等腰三6角形， ，则 C 的离心率为A ． 2B ． 13 2C ．1D ．13 4【答案】 D【分析】因为△ PF 1F 2 为等腰三角形，，因此，由 AP 的斜率为36可得，因此，，由正弦定理得，因此，因此 a4c ， e1 ，应选 4D ．所以，则．进而综上，，故MA ，MB 的倾斜角互补，因此．．考向四曲线方程的求解样题9已知抛物线C ： y 22x的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1 ，l 2 分别交C于 A ，B两点，交C的准线于 P ，Q两点．（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR FQ；（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．【答案】（1）看法析；（2）看法析 .【分析】由题可知 F ( 1,0) ．设l1: y a，l2: y b ，则 ab0 ，2且 A( a2, a) ， B(b211, a) ， Q (．, b) ， P(, b) ，2222记过 A，B两点的直线为l，则直线l的方程为．（1）因为F在线段AB上，故1 ab0 ．记 AR的斜率为 k1， FQ 的斜率为k2，则，因此ARFQ ．（2）设l与x轴的交点为D(x1,0)，则，．由题设可得，因此 x10 (舍去)或 x1 1．设知足条件的 AB 的中点为 E( x, y) ．当 AB 与x轴不垂直时，由k AB k DE，可得，而 a b y ，因此．2当 AB 与x轴垂直时，E 与 D 重合，因此所求轨迹方程为 y2x 1．考向五圆锥曲线的其余综合问题样题 10（2018 新课标全国Ⅲ理科）已知斜率为k的直线l与椭圆交于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为．（1）证明：k12；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且．证明：FA，FP，FB 成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）看法析；（2）看法析 .【分析】（1）设，则．两式相减，并由由题设知y1y2k 得．x1x2，于是 k3．由题设得 0 m3，故 k 1 ．4m22设该数列的公差为d，则．①将 m 3代入k3得k1，因此l的方程为y x7 ，44m4代入 C的方程，并整理得，故，代入①解得 | d |3 21，因此该数列的公差为 3 21 或 321 ．282828样题 11设椭圆的右焦点为 F1，离心率为2，过点 F1且与 x 2轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 2 .（1）求椭圆C的方程；（2）若y24x上存在两点M、N，椭圆C上存在两个点P、Q知足：P、Q、F1三点共线， M 、 N、 F1三点共线且 PQ MN ，求四边形 PMQN 的面积的最小值.【分析】（ 1）∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为 2 ，∴2b2，2a∵离心率为 2 ，∴ c 2，又 a2b2c2，解得．∴椭圆 C 的2a2方程为 x2y2 1 .2（2）当直线MN的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，此时；当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的方程为，联立 y24x ，得，设 M , N 的横坐标分别为x M , x N，则，∴ MN，由 PQ MN 可得直线 PQ 的方程为，联立椭圆C的方程，消去y ，得，设 P, Q 的横坐标分别为 x P , x Q，则x P x Q22k 2，2k 2∴，,令，则，综上，.。
推荐2019届高考数学大二轮复习课件第1部分 专题6 解析几何 第1讲
1．已知点 P(3,2)是点 Q(1,4)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为( A )
A．x－y＋1＝0
B．x－y＝0
C．x＋y＋1＝0
D．x＋y＝0
[解析] 由题意知直线 l 与直线 PQ 垂直，所以 kl＝－k1PQ＝－4－1 2＝1.又直线 l 1－3
经过 PQ 的中点(2,3)，所以直线 l 的方程为 y－3＝x－2，即 x－y＋1＝0.
C．12
D．14
[解析] 由两点间距离公式可得|AC|＝ 10，
直线 AC 的方程为 x－3y＋2＝0，
所以点
B
到直线
AC
的距离
d＝|m－3
m＋2|， 10
从而△ABC 的面积 S＝12|AC|d＝12|m－3 m＋2|
＝12|( m－32)2－14|
又 1<m<4，所以 1< m<2，所以当 m＝32，即 m＝94时，S 取得最大值．
部分
专题强化突破
专题六 解析几何
知识网络构建
第一讲 直线与圆
1
高考考点聚焦
2
核心知识整合
3
高考真题体验
4
命题热点突破
5
课后强化训练
高考考点聚焦
高考考点
考点解读
直线的方程
1.求直线的倾斜角、斜率及直线方程 2．根据两直线平行或垂直求参数的值
圆的方程
1.圆的几何性质的应用 2．求圆的方程
直线与圆的位置关系 1.利用位置关系解决参数问题 2．利用位置关系解决轨迹等综合问题
③两平行线的距离：若直线
l1，l2
的方程分别为 |C2－C1|
l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋
2019高考数学理科二轮复习第一篇微型专题讲义：专题6 解析几何 知识整合 Word版含解析
顶点
A1(a,0),A2(a,0)
渐近 线
y=±������x
������
A1(0,-a),A2(0,a) y=±������x
������
离心 率
e=������,e∈(1,+∞)
������
实虚 轴
线段 A1A2 叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫作 双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫作双曲线的实半轴长,b
判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,通常将直线 l 的方程
Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x,y)=0,消去
y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的方程,即
{������������
+ ������������ + ������(������,������)
叫作双曲线的虚半轴长
a,b,c 的
关系
c2=a2+b2
3.抛物线的标准方程是什么?几何性质有哪些?
y2=2px
y2=2px
x2=2py
(p>0) (p>0) (p>0)
x2=-2py (p>0)
p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离
顶 点
对 称 直线 y=0 轴
( ) 焦
点
F
p
2,0
F
( ) F
位 置
相离 外切 相交 内切 内含
关 系
几 何
d>R+ d=R+
Rr<d
d=R- d<R-
特r 征
r
r
2019高考数学理科二轮复习第一篇微型专题讲义专题6 解析几何 知识整合 Word版含解析
专题解析几何
一、直线和圆
.如何判断两条直线平行与垂直?
()两条直线平行
对于两条不重合的直线,其斜率分别为,则有⇔∥.特别地,当直线的斜率都不存在时与平行.
()两条直线垂直
若两条直线的斜率都存在,分别为,则·⇔⊥,当一条直线的斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直.
.如何判断直线与圆的位置关系?
设圆的半径为,圆心到直线的距离为.
方法
位置关系
几何法代数法
相交<Δ>
相切Δ
相离>Δ<
.如何判断圆与圆的位置关系?
设两个圆的半径分别为>,圆心距为,则两圆的位置关系可用下表来表示:
位
置关系相离外切相交内切内含
几
何特征>
<
<
<
代
数特征无实
数解
一组
实
数解
两组
实
数解
一组
实
数解
无实
数解
公
切
线
条
数
.如何求直线与圆相交得到的弦长?
()几何法,直线被圆截得的半弦长,弦心距和圆的半径构成直角三角形,即;
()代数法,联立直线方程和圆的方程,消元转化为关于或的一元二次方程,由根与系数的关系即可求得弦长·或··.
二、圆锥曲线
.椭圆的标准方程怎么求?几何性质有哪些?
标准
方程(>>) (>>)
图形
范围≤≤
≤≤
≤≤
≤≤。
2019高考数学大二轮复习专题8解析几何第2讲综合大题部分增分强化练理
第2讲 综合大题部分1．已知椭圆C ：x 2a＋y 2b＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2，长轴的长为4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点F 1的直线l 与椭圆C 交于E ，D 两点，试问：在x 轴上是否存在定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为椭圆C 的焦距为2，长轴的长为4， 所以2c ＝2,2a ＝4，解得c ＝1，a ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，M (m,0)．易知F 1(－1,0)，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝－8k 24k ＋3，x 1x 2＝4k 2－124k ＋3.又y 1y 2＝k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝k 2(4k 2－124k 2＋3－8k24k 2＋3＋1)＝－9k 24k 2＋3， 直线ME ，MD 的斜率k ME ＝y 1x 1－m，k MD ＝y 2x 2－m，则k ME ·k MD ＝y 1x 1－m ·y 2x 2－m＝y 1y 2x 1－mx 2－m＝y 1y 2x 1x 2－m x 1＋x 2＋m 2＝－9k 24k 2＋34k 2－124k 2＋3－m －8k 24k 2＋3＋m 2＝－9k24k 2＋34k 2－12＋8mk 2＋4m 2k 2＋3m24k 2＋3＝－9k2m 2＋8m ＋k 2＋3m 2－12.要使直线ME ，MD 的斜率之积为定值，需3m 2－12＝0， 解得m ＝±2. 当m ＝2时，k ME ·k MD ＝－9k 2m 2＋8m ＋k 2＝－9k 236k 2＝－14； 当m ＝－2时，k ME ·k MD ＝－9k2m 2＋8m ＋k 2＝－9k 24k 2＝－94. 当直线l 的斜率不存在时， 不妨设E (－1，32)，D (－1，－32)，此时，当m ＝2时，M (2,0)，k ME ·k MD ＝－14；当m ＝－2时，M (－2,0)，k ME ·k MD ＝－94.综上，在x 轴上存在两个定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值． 当定点M 的坐标为(2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－14；当定点M 的坐标为(－2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－94.2．(2018·高考浙江卷)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求 △PAB面积的取值范围．解析：(1)证明：设P (x 0，y 0)，A (14y 21，y 1)，B (14y 22，y 2)．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程(y ＋y 02)2＝4·14y 2＋x 02即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根． 所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴． (2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝2y 20－4x 0. 因此，△PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 20＋y 204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]，因此，△PAB 面积的取值范围是[62，15104]．3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，过右焦点F 且垂直于x 轴的弦长为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，求△MFN 的面积取最大值时m 的值．解析：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，2b2a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝x ＋m ，消去y ，得3x 2＋4mx ＋2m 2－4＝0， Δ＝16m 2－12(2m 2－4)＝－8m 2＋48>0， ∴|m |< 6.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－43，∴|MN |＝2|x 1－x 2|＝2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝2×－4m 32－m 2－3＝46－m 23. 又点F (2，0)到直线MN 的距离d ＝|2＋m |2，∴S △FMN ＝12|MN |·d＝23|2＋m |·6－m 2(|m |<6)． 令u (m )＝(6－m 2)(m ＋2)2(|m |<6)， 则u ′(m )＝－2(2m ＋32)(m ＋2)(m －2)， 令u ′(m )＝0，得m ＝－322或m ＝－2或m ＝2，当－6<m <－322时，u ′(m )>0；当－322<m <－2时，u ′(m )<0；当－2<m <2时，u ′(m )>0； 当2<m <6时，u ′(m )<0. 又u (－322)＝34，u (2)＝32，∴u (m )max ＝32，∴当m ＝2时，△MFN 的面积取得最大值，最大值为23×32＝83. 4．(2018·高考北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．解析：(1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0， 解得k <0或0<k <1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)． 从而k ≠－3.所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)． (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2.直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)． 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2. 同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1k －x 1＋x 2－1k －x 2＝1k －1·2x 1x 2－x 1＋x 2x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值．。
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F2_(_0_，__c_)__.
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程 ①抛物线 y2＝±2px(p>0)的焦点坐标为_(±__p2_，__0_) ，准线方程为_x＝__∓_p2___.
②抛物线 x2＝±2py(p>0)的焦点坐标为_(_0_，__±_p2_)_，准线方程为 y＝∓p2.
3．弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长
方法二(数形结合)：
画图草图，记 C 的递增的渐近线斜率为 k，倾斜角为 α，点 P(4,0)到 C 的渐近 线的距离为 d，则 k＝tanα＝ba(借助以角 α 为内角的直角三角形，α 对边为 b，邻边 为 a，由勾股定理求得斜边 c)，
A．5
B．6
C．7
D．8
[解析] 由题意知直线 MN 的方程为 y＝23(x＋2)，F(1,0)． 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，与抛物线方程联立有y＝23x＋2，
y2＝4x， 可得xy11＝ ＝12， 或xy22＝ ＝44， ， 所以 FM―→＝(0,2)，FN―→＝(3,4)， 所以 FM―→·FN―→＝0×3＋2×4＝8.
直线与圆锥曲线位置关系的判 1.位置关系的判定
断与证明问题
2．几何或代数关系式的证明
圆锥曲线中的最值(范围)及与弦 1.考查弦长问题
有关的问题
2．求直线的方程或圆锥曲线的方程
• 备考策略 • 本部分内容在备考时应注意以下几个方面： • (1)掌握求圆锥曲线标准方程、离心率的方法． • (2)会利用圆锥曲线的性质解决相关问题． • (3)掌握根据直线与圆锥曲线的位置关系求弦长或面积的方法． • (4)会解决直线与圆锥曲线相交产生的与弦有关的问题及最值问题． • 预测2019年命题热点为： • (1)根据圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程、离心率或离心率的范围． • (2)直线与圆锥曲线位置关系有关的计算、证明、最值、轨迹问题．
2．圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系 ①在椭圆中：__a_2＝__b_2_＋__c_2_；离心率为 e＝ac＝___1_－__ba_22_. ②在双曲线中__c2_＝__a_2_＋__b_2__；离心率为 e＝ac＝___1_＋__ba_22 _.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
核心知识整合
1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：_|P_F_1_|＋__|_P_F_2_|＝__2_a____(2a>|F1F2|)． (2)双曲线：_|_|P_F__1|_－__|P_F__2|_|＝__2_a_____(2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M(l 为抛物线的准线)．
B．y＝± 3x
C．y＝±
2 2x
D．y＝±
3 2x
[解析] 因为 e＝ac＝ 3，所以ac22＝a2＋a2b2＝3，即ba22＝2，ba＝± 2，所以渐近线
方程为 y＝± 2x.
2．(2018·全国卷Ⅰ，8)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过点－2，0且斜率为
23的直线与 C 交于 M，N 两点，则 FM―→·FN―→＝( D )
1＋1k2 y1＋y22－4y1y2.
(2)抛物线焦点弦的几个常用结论 ＝__设_p4_2_A_B_，是y过1y2抛＝物__线_－_y_p2_2＝__2；px②(p弦>0长)焦|A点B|＝F 的x1＋弦x，2＋若p＝A(_x_1，s_i2_nyp_21α_)，__B(α(x为2，弦y2)A，B则的①倾x1斜x2
3．(文)(2018·全国卷Ⅲ，10)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，
则点4，0到 C 的渐近线的距离为( D )
A． 2
B．2
C．3 2 2
D．2 2
[解析] 方法一(直接法)：由已知，双曲线 C 的一条渐近线为 y＝bax，即 bx－ay ＝0，
所以点(4,0)到 C 的渐近线的距离为 d＝ |4bb2－＋0a|2＝4cb， 因为 a2＋b2＝c2，离心率 e＝ac＝ 2， 所以 e2＝ac22＝2，a2＝c22，c22＋b2＝c2，b2＝c22，bc22＝12，bc＝ 22，所以 d＝2 2.
2 角)；③|F1A|＋|F1B|＝__p_____；④以弦 AB 为直径的圆与准线__相__切___.
1．忽视定位条件：在圆锥曲线问题的研究中，应先定位，后定形，缺少了定 位往往会做无用功．定位条件是：焦点或准线，定形条件是：a，b，p.
2．搞清楚双曲线渐近线的斜率：在求双曲线的渐近线方程时，一定要注意双 曲线渐近线的斜率是±ba还是±ab.
3．忽略一元二次方程的判别式致误：对于以直线与圆锥曲线相交为前提的问 题，应用直线与曲线的方程求参数值或探究问题时，应注意判别式大于等于零这一 条件．
高考真题体验
1．(2018·全国卷Ⅱ，5)双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，则其渐近线
方程为( A )
A．y＝± 2x
①
双
曲
线
x2 a2
－
y2 b2
＝
1(a>0
，
b>0)
的
渐
近线方程来自为___y_＝__±_ba_x __
；
焦
点
坐
标
F1_(_－__c_,0_)___，F2__(_c_,0_)___. ②双曲线ay22－bx22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为_y_＝__±_ab_x__，焦点坐标 F1_(0_，__－__c_)_，
第一部分
专题强化突破
专题六 解析几何
第二讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题
1
高考考点聚焦
2
核心知识整合
3
高考真题体验
4
命题热点突破
5
课后强化训练
高考考点聚焦
高考考点
考点解读
圆锥曲线的定义、标准方程与 性质
1.求圆锥曲线的标准方程、离心率、双曲线 的渐近线方程 2．考查圆锥曲线的定义、性质
斜 率 为 k 的 直 线 与 圆 锥 曲 线 交 于 点 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) 时 ， |AB| ＝ ____1_＋__k_2_·_|x_1－__x_2_|____ ＝ 1＋k2 · x1＋x22－4x1x2 或 |AB| ＝ ____1_＋___1k__2|_y1_－__y_2_| _ ＝