高中数学解析几何常考题型整理归纳

高中数学解析几何常考题型整理归纳题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、 双曲线的渐近线是常考题型 .22【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆 （x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为 （22 A.x2－y2＝1A.9－13＝2C.x 3－y 2＝122（2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 722 （3）已知椭圆 x2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab22若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ .答案 （1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 122解析 （1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0），则 a 2＋ b 2＝ 4，①双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ，a由题意得 22b 2＝ 3，②a 2＋b 2联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1，2 所求双曲线的方程为 x 2－y3 ＝1，选 D.（2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM|＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26，所以 （|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26.) 22 B.x － y ＝1 B.13－9 ＝12 D.x 2－y 3＝11 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为(3)因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点 F 为p2，0 ，设椭圆另一焦点为 E.如图所示，将x＝p2代入抛物线方程得y＝±p，又因为PQ 经过焦点F，所以P 2p，p 且PF⊥OF.所以|PE|＝p2＋2p＋p2＝2p，|PF|＝p，|EF|＝p.故2a＝2p＋p，2c＝p，e＝22c a＝2－1.【类题通法】(1)在椭圆和双曲线中，椭圆和双曲线的定义把曲线上的点到两个焦点的距离联系在一起，可以把曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离，也可以结合三角形的知识，求出曲线上的点到两个焦点的距离.在抛物线中，利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题.(2)求解与圆锥曲线的几何性质有关的问题关键是建立圆锥曲线方程中各个系数之间的关系，或者求出圆锥曲线方程中的各个系数，再根据圆锥曲线的几何性质通过代数方法进行计算得出结果.22【变式训练】已知椭圆x4＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，以8下结论：①△ ABF2的周长为8；②原点到l的距离为1；③|AB|＝3.其中正确结论的个数为( )A.3B.2C.1D.0答案A解析①由椭圆的定义，得|AF1|＋|AF2|＝4，|BF1|＋|BF2|＝4，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|，所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，故①正确；②由条件，得F1(－2，0)，因为过F1且倾斜角为45°的直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y＝x＋2，则原点到l的距离d＝|22|＝1，故②正确；③设A(x1，解得 a 2＝ 8， b 2＝4.22 所以 C 的方程为 x 8＋y4 ＝1.（2）证明 设直线 l ： y ＝kx ＋b （k ≠0，b ≠0）， A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x M ，y M ）.22将 y ＝kx ＋b 代入x 8 ＋y 4 ＝ 1 得 （2k 2＋1）x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.x 1＋ x 2 － 2kb b2 ＝2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋ b ＝2k 2＋1.所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值 .类题通法】解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤 第一步 ：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值 第二步 ：探究一般情况 .探究一般情形下的目标结论 第三步 ：下结论，综合上面两种情况定结论y ＝x ＋ 2，2 y 1），B （x 2，y 2），由 x 2 y 2 得3x 2＋4 2x ＝0，解得 x 1＝ 0，x 2＝＋ ＝ 1，432，所以 |AB|＝ 1＋1·|x 1－x 2|8 83，故 ③正确 .故选A.题型二:圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、 面积、横 （纵）坐标等的定值问题 .x 2 y 22C ：x a 2＋y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 22，点（2， 2）在 C上.例 2】已知椭圆 （1）求 C 的方程；O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A ，B ，线段 AB 的中点为 M ，证明：直 （2）直线 l 不过原点线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值 . 故 x M ＝ 于是直线OM 的斜率 k OM ＝x yM M ＝－21k ， 即 k OM ·k ＝－ 12. ＝1，（1）解 由题意有 a a －b ＝ 22，【变式训练】 已知抛物线 C ：y 2＝2px(p>0)的焦点 F(1，0)，O 为坐标原点， A ，B 是抛物线 C 上异于 O 的两点 .(1)求抛物线 C 的方程；1(2)若直线 OA ，OB 的斜率之积为－ 21，求证：直线 AB 过 x 轴上一定点 .(1)解 因为抛物线 y 2＝2px(p>0)的焦点坐标为 (1，0)，所以 p 2＝1，所以 p ＝2.所以抛物线 C 的方程为y2＝4x.22①当直线 AB 的斜率不存在时， 设A t 4，t ，B t 4，－t .因为直线 OA ，OB 的斜率之积为－ 21， － t 1 2t 2 ＝－ 21，化简得 t 2＝ 32.4所以 A(8，t)，B(8，－t)，此时直线 AB 的方程为 x ＝8. y 2＝ 4x ，②当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y ＝ kx ＋b ，A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，联立得 化简得y ＝kx ＋ b ，2 ky 2－4y ＋4b ＝0.根据根与系数的关系得 y A y B ＝4b ，因为直线 OA ，OB 的斜率之积为－ 1，所以 yA ·yB ＝－1，即 x A x B ＋ k 2 x A x B2y 2 y 2 2y A y B ＝ 0.即y 4 ·y 4＋ 2y A y B ＝0，解得 y A y B ＝0(舍去 )或 y A y B ＝－ 32.4b所以 y A y B ＝ k ＝－ 32，即 b ＝－ 8k ，所以 y ＝ kx －8k ，即 y ＝ k(x － 8).综上所述，直线 AB 过定点(8，0). 题型三:圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类： 一是涉及距离、 面积的最值以及与之相关的一些问题； 二是 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题 .x 2 y 23【例 3】平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C ：x a 2＋y b 2＝1(a>b>0)的离心率是 23，抛物线 E ：x 2＝2y 的焦 点 F 是 C 的一个顶点 .(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限， E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点 A ，B ，线段 AB 的中点为 D.直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M.①求证：点 M 在定直线上；(2)证明所以 t t 2·S 1②直线 l 与 y 轴交于点 G ，记△ PFG 的面积为 S 1，△PDM 的面积为 S 2，求S1的最大值及取得最大值 S 2时点 P 的坐标 .（1）解 由题意知 a＝ 23，可得 a 2＝4b 2 ，a ＝因为抛物线 E 的焦点所以椭圆 C 的方程为（2）①证明 设 P m ，F 0，21 ，所以 b ＝21， a ＝1， x 2＋4y 2＝1. m 2 m2 （m>0），由 x 2＝ 2y ，可得 y ′＝x ，所以直线 l 的斜率为 m ，因此直线 l 的方程为2y －m 2 ＝m （x － m ）.2 即 y ＝mx －m 2 .设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， D（x 0，y 0）.22x ＋ 4y ＝1，联立方程 m 2得（4m 2＋1）x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由 Δ>0，得 0<m< 2＋ 5（或 0<m 2<2＋ 5）.（*）3 3 24m 2m m且 x 1＋ x 2＝ 2 ，因此 x 0＝ 2 ，将其代入 y ＝ mx － ，得 y 0＝ 4m ＋1 4m ＋ 1 222（4m 2＋1），因为x y 0＝－41m .1所以直线 OD 方程为 y ＝－1x ，联立方程 y ＝－ 1 x ，y ＝－4m x ，得点 M 的纵坐标 y M ＝－ 14，x ＝m ，1所以点 M 在定直线 y ＝－ 14上 . ②由①知直线 l 的方程为 y ＝ mx － m 2令 x ＝ 0，得 y ＝－ m 2 ，所以 G 0，2 m2，－ m 2， － 2 ，又 P m ，m 2 ， F 0，12 ， D 2m 32， 2＋1，－m22（4m 2＋ 1），m （2m 2＋1）2 S 1 2（4m 2＋1）（ m 2＋1）8（4m 2＋1） .所以S 2＝22S 1 （2t －1）（ t ＋1） 2t 2＋t －1 1 1 1 1设 t ＝ 2m2＋1，则S2＝ t 2 ＝ t 2 ＝－t 2＋t＋2，当 t ＝2， S 1 9即t ＝2时，S S21取到最大值 94， 此时 m ＝ 22，满足（*）式，所以 P 点坐标为 22，41 . 因此S S1的最大值为 94，此时点 P 的坐标为 22，14 .类题通法】 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法、或利用判别式构 造不等关系、利用隐含或已知的不等关系建立不等式等方法求最值、范围；二是几何法，从圆锥曲线 的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值 .【变式训练】 如图，设抛物线 y 2＝2px （p >0）的焦点为 F ，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于 |AF|－1. （1）求 p 的值；（2）若直线 AF 交抛物线于另一点 B ，过 B 与x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N ，AN 与 x 轴交于点 M ，求 M 的横坐标的取值范围 .解 （1）由题意可得，抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x ＝－1 的距离， 由抛物线的定义得 2p ＝1，即 p ＝2.（2）由（1）得，抛物线方程为 y 2＝4x ，F （1， 0）， 可设 A （t 2，2t ），t ≠0，t ≠± 1.2 y ＝ 4x ，2因为 AF 不垂直于 y 轴，可设直线 AF ：x ＝sy ＋1（s ≠0），由 消去 x 得 y 2－4sy －4＝0.x ＝sy ＋ 1 12故 y 1y 2＝－ 4，所以 B t 2 ，－ t . 2t又直线 AB 的斜率为 22t ， t － 1所以 S 1＝ 12· |GF|·m ＝ （m 2＋1）m 4 23 1 1 2m 2＋ 1 2m 3＋ mS 2＝2· |PM|·|m －x 0|＝2×4 × 4m 2＋1＝ 2m 2＋1)2经检验， m <0 或 m > 2 满足题意 .综上，点 M 的横坐标的取值范围是 （－∞， 0）∪（2，＋∞ ）. 题型四 :圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面： （1）探索点是否存在； （2）探索曲线是否存在；（3）探 索命题是否成立 .涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题 .【例 4】已知椭圆 C ：9x 2＋y 2＝m 2（m >0），直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A ， B ，线段 AB 的中点为 M.（1）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；（2）若 l 过点 m 3，m ，延长线段 OM 与 C 交于点 P ，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由 .（1）证明 设直线 l ： y ＝kx ＋b （k ≠0，b ≠0）， A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x M ，y M ）.2 2 2 2 2 2 2x1＋x2 － kb将 y ＝kx ＋b 代入 9x 2＋y 2＝m 2 得（k 2＋9）x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故 x M ＝ 2 ＝k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝ 9bk 2＋9.于是直线 OM 的斜率 k OM ＝y ＝－9，即 k OM · k ＝－ 9.x Mk所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 .（2）解 四边形 OAPB 能为平行四边形 .因为直线 l 过点 m 3，m ，所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k >0，k ≠3.9由（1）得 OM 的方程为 y ＝－ 9k x. 设点 P 的横坐标为 x P ，故直线 FN 的斜率为－ t －12t从而得直线 FN ：y ＝－t －12 2t （ x － 1），直线 BN ：y ＝－设 M （m ， 0）， 由 A ，M ， 22t2t ＋t N 三点共线得2－2t m ＝2＋t 3，t －m 2 t ＋ 3 t －t 2－t t 2＋－ 1于是 m ＝ t 22－t 1，所以 m <0 或 m > 2.所以 N2 －t.92 2 y ＝－ k x ，2 k 2m 2由 k 得 x2P ＝ 9k 2＋ 81，2 2 2 9k ＋ 81 9x ＋y ＝ m将点 m 3，m 的坐标代入 l 的方程得 b ＝m （33－k ），因此 x M ＝k 3（（k k －2＋3）9）m .四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 x P ＝2x M . ±km k （k －3） m 于是 2 ＝2× 2 ，3 k 2＋9 3（k ＋ 9） 解得 k 1＝ 4－ 7， k 2＝4＋ 7.因为 k i >0，k i ≠3，i ＝1，2，所以当 l 的斜率为 4－ 7或 4＋ 7时，四边形 OAPB 为平行四边形 . 【类题通法】 （1）探索性问题通常采用 “肯定顺推法 ”，将不确定性问题明朗化 .其步骤为假设满足条件的元素 （点、直线、曲线或参数 ）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素 （点、直线、曲线或参数 ）存在；否则，元素 （点、直线、曲线或参数 ）不存在 .（2）反证 法与验证法也是求解探索性问题常用的方法 .【变式训练】 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 C （2，0）的直线与抛物线 y 2＝4x 相交于 A ，B 两点，设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.（1）求证： y 1y 2 为定值；（2）是否存在平行于 y 轴的定直线被以 AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在， 求出该直线方程 和弦长；如果不存在，说明理由 .（1）证明 法一 当直线 AB 垂直于 x 轴时， y 1＝2 2，y 2＝－ 2 2.因此 y 1y 2＝－ 8（定值 ）. 当直线 AB 不垂直于 x 轴时， 设直线 AB 的方程为 y ＝k （x －2），y ＝k （ x －2）， 2 由 2 得 ky 2－ 4y －8k ＝0.y ＝ 4x ，∴y 1y 2＝－8.因此有 y 1y 2＝－8 为定值.法二 设直线 AB 的方程为 my ＝x －2，my ＝x －2， 2 由 2 得 y 2－4my － 8＝0.y ＝ 4x ，即 x P ±km3 k 2＋ 9∴ y1 y2 ＝－8.因此有y1y2＝－8 为定值.（2）解设存在直线l ：x＝a 满足条件，则 AC 的中点 E x1＋2 2， y 21 ，|AC|＝ （x 1－ 2） 2＋y 12.因此以 AC 为直径的圆的半径r ＝21|AC|＝21 （x 1－2）2＋y 21＝12 x 21＋4，x 1＋2又点 E 到直线 x ＝ a 的距离 d ＝ x 2 － a 故所截弦长为＝ x 12＋4－（x 1＋2－ 2a ）2 ＝ － 4（1－a ）x 1＋8a －4a 2.当 1－a ＝0，即 a ＝1 时，弦长为定值 2，这时直线方程为 x ＝1.2a2＋ x1＋2222r2。