高二数学相互独立事件同时发生的概率教案

高二数学相互独立事件同时发生的概率教案一、教学目标：1.了解相互独立事件的意义；2.注意弄清事件“互斥”与“相互独立”是不同的两个概念；3．会用相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算一些事件的概率。

二、教学重、难点：相互独立事件的意义；相互独立事件同时发生的概率乘法公式；事件的相互独立性的判定。

三、教学过程：（一）复习引入：1．复习互斥事件的意义及其概率加法公式：互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件．()()()P A B P A P B +=+对立事件：必然有一个发生的互斥事件叫做对立事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-2．问题：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球。

提问1：问题1、2中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）提问2：问题1、2中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响）（二）新课讲解：1．相互独立事件的定义：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

例1．（步步高P127例1）说明：若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立。

2．相互独立事件同时发生的概率：问题1中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果。

于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果。

同时摸出白球的结果有32⨯种。

所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

一般地，如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅L L ．例2．（书P152例1）甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；变式：（4）2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，（1）2人都射中的概率为：()()()0.80.90.72P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=，∴2人都射中目标的概率是0.72．（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B ⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B ⋅发生）。

根据题意，事件A B⋅与A B ⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：()()()()()()P A B P A B P A P B P A P B ⋅+⋅=⋅+⋅0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=⨯-+-⨯=+=∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况， 其概率为()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅=+=．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ⋅=⋅=--=，∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-⋅=-=．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，故所求概率为： ()()()()()()()()()P P A B P A B P A B P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅0.020.080.180.28=++=．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为1()1()()10.720.28P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=．例3．（步步高P127例2）四、课堂练习：课本154页第1，2，3题。

五、课堂小结：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。

一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的。

相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的.六、作业：书P157习题11。

3 3、4、5、6、7相互独立事件同时发生的概率（2）一、教学目标：1．能正确分析复杂事件的构成；2．能综合运用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率的乘法公式解决一些实际问题。

二、教学重、难点：掌握求解较复杂事件概率的一般思路：正向思考和反向思考。

正向思考的一般步骤是：通过“分类”或“分步”将较复杂事件进行分解，转化为简单的互斥事件的和事件或相互独立事件的积事件；反向思考就是转化为求它的对立事件的概率。

三、教学过程：（一）复习：互斥事件、对立事件和相互对立事件的概念。

（二）新课讲解：例1（书P153例2）在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作。

假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。

解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响。

根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是[][][]()()()()1()1()1()(10.7)(10.7)(10.7)0.027P A B C P A P B P C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅=---=---= ∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=． 答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。

（1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦） 变式2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。

方法一：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0.847P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅=方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除C J 开且 A J 与B J 至少有1个开的情况。

[]21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --⋅=-⨯-=例2 已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？分析：因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率。

解:（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，A JB JC JD J A J B J C J那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅5(10.2)=-=5)54(。

∴敌机未被击中的概率为5)54(． （2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得：敌机被击中的概率为1-n )54( ∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤ 两边取常用对数，得110.313lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ，∴11n = ∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机。

例3某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；（2）甲、乙两人中至少有一人获二等奖的概率．（1）P 1＝29972910101000⨯（）＝ （2）法一：P 2＝222219119181181311010101010101010500⨯⨯⨯⨯（）＋（）＋＋＝ 法二：P 2＝11911913122101010101010500⨯⨯⨯⨯⨯＋－＝ 法三：P 2＝1－911991311010101010500⨯⨯⨯（＋）＝ 注：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法。

采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便。

四、小结：掌握求解较复杂事件概率的一般思路：正向思考和逆向思考。

正向思考的一般步骤是：通过“分类”或“分步”将较复杂事件进行分解，转化为简单的互斥事件的和事件或相互独立事件的积事件；逆向思考就是转化为求它的对立事件的概率。

五、作业：1．甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为15、13、14，则此密码能译出的概率为 （A ） ()A 35 ()B 25 ()C 5960 ()D 160 2．甲、乙两歼击机飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为 （D ）()A 0.9()B 0.2 ()C 0.7 ()D 0.5 3．甲、乙两人独立地解决一道数学题，已知甲能解对的概率为m ，乙能解对的概率为n ，那么这道数学题被得到正确解答的概率为 （C ）()A m n + ()B m n ⋅()C 1(1)(1)m n --- ()D 1m n -⋅4．有n 个相同的电子元件并联，每个电子元件能正常工作的概率为0.5，要使整个线路正常工 作的概率不小于0.95，n 至少为 （C ）()A 3 ()B 4 ()C 5 ()D 65．有甲、乙、丙3批罐头，每批100个，其中各有1个是不合格的，从三批罐头中各抽出1个，则抽出的3个中至少有1个不合格的概率是0.0297．6．如图，用A ，B ，C 三类不同的元件连接成两个系统1N ，2N ，当A ，B ，C 都正常时，系统1N 正常，当A 正常工作，元件B ，C 至少有一个正常工作时，系统2N 正常工作．已知元件A ，B ，C 正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，分别求系统1N ，2N 正常工作的概率1P ，2P ．()0.648C = 2)0.792ABC = 7方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求：(Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率；(Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率.解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B,C ，则P (A )=0.5，P (B )＝0.6，P (C )=0.9.(Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率p 1=P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.(Ⅱ) 应聘者用方案二考试通过的概率p 2=31P (A ·B )+31P (B ·C )+ 31P (A ·C ) =31×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9)=31×1.292()N （1N独立重复试验一、教学目标：1．理解独立重复试验的概念,明确它的实际意义；2．引出n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率计算公式；3．了解概率计算公式与二项式定理的内在联系。