高二数学相互独立事件同时发生的概率教案

一、教学目标：1.了解相互独立事件的意义；

2.注意弄清事件“互斥”与“相互独立”是不同的两个概念；

3．会用相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算一些事件的概率。

二、教学重、难点：相互独立事件的意义；相互独立事件同时发生的概率乘法公式；

事件的相互独立性的判定。

三、教学过程：

（一）复习引入：

1．复习互斥事件的意义及其概率加法公式：

互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件．()()()P A B P A P B +=+

对立事件：必然有一个发生的互斥事件叫做对立事件．()1()1()P A A P A P A +=?=-

2．问题：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子

里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？

事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白

球。

提问1：问题1、2中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）

提问2：问题1、2中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？

（无影响）

（二）新课讲解：

1．相互独立事件的定义：

事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相

互独立事件。

例1．（步步高P127例1）

说明：若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立。

2．相互独立事件同时发生的概率：

问题1中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，

就是事件A ，B 同时发生，记作A B ?．

从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能

的结果。于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54?种等可能的结果。同时摸出白球

的结果有32?种。所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率

323()5410

P A B ??==?．另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =

，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4

P B =．显然()()()P A B P A P B ?=?．这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。一般地，

如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件

发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A ???=???L L ．

例2．（书P152例1）甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙

射中的概率为0.9，求：

（1）2人都射中目标的概率；

（2）2人中恰有1人射中目标的概率；

（3）2人至少有1人射中目标的概率；

变式：（4）2人至多有1人射中目标的概率？

解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A

与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，

（1）2人都射中的概率为：

()()()0.80.90.72P A B P A P B ?=?=?=，

∴2人都射中目标的概率是0.72．

（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B ?发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B ?发生）。根据题意，事件A B

?与A B ?互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，

所求的概率为：

()()

()()()()

P A B P A B P A P B P A P B ?+?=?+?

0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=?-+-?=+=

∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．

（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =?+?+?=+=．

（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ?=?=--=，

∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-?=-=．

（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，

故所求概率为： ()()()

()()()()()()P P A B P A B P A B P A P B P A P B P A P B =?+?+?=?+?+?

0.020.080.180.28=++=．

（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，

故所求概率为1()1()()10.720.28P P A B P A P B =-?=-?=-=．

例3．（步步高P127例2）

四、课堂练习：课本154页第1，2，3题。

五、课堂小结：

两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影

响。一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相

互独立事件是以它们能够同时发生为前提的。相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发

生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的.

六、作业：书P157习题11。3 3、4、5、6、7

相互独立事件同时发生的概率（2）

一、教学目标：

1．能正确分析复杂事件的构成；

2．能综合运用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率的乘法公式解决一些实

际问题。

二、教学重、难点：掌握求解较复杂事件概率的一般思路：正向思考和反向思考。正向思考

的一般步骤是：通过“分类”或“分步”将较复杂事件进行分解，转化为简单的互斥事

件的和事件或相互独立事件的积事件；反向思考就是转化为求它的对立事件的概率。

三、教学过程：

（一）复习：互斥事件、对立事件和相互对立事件的概念。

（二）新课讲解：

例1（书P153例2）在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能

够闭合，线路就能正常工作。假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，

计算在这段时间内线路正常工作的概率。

解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．

由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响。

根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能

闭合的概率是

[][][]

()()()()1()1()1()(10.7)(10.7)(10.7)0.027

P A B C P A P B P C P A P B P C ??=??=---=---= ∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是

1()10.0270.973P A B C -??=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．

变式1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内

此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常

工作的概率。（1()()0.9730.70.6811P A B C P D ??-???=?=??

）变式2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。

方法一：()()()()()

()()()()()()()()()()()()()()()0.847

P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C ??+??+??+??+??=??+??+??++??+??=

方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除C J 开且 A J 与B J 至少有1个开的情况。

[]21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --?=-?-=

例2 已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．

（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；

（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？

分析：因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1

门高炮击中敌机的概率。

解:（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，

A J

B J

C J

D J A J B J C J

那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ????．

∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，

∴敌机未被击中的概率为

12345()P A A A A A ????=12345()()()()()P A P A P A P A P A ????

5(10.2)=-=5)54(。∴敌机未被击中的概率为5)5

4(．（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）

可得：敌机被击中的概率为1-n )5

4( ∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤ 两边取常用对数，得110.313lg 2

n ≥≈- ∵+∈N n ，∴11n = ∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机。

例3某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机

地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现

有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求

（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；

（2）甲、乙两人中至少有一人获二等奖的概率．

（1）P 1＝

29972910101000

?（）＝（2）法一：P 2＝222219119181181311010101010101010500

????（）＋（）＋＋＝法二：P 2＝11911913122101010101010500

?????＋－＝法三：P 2＝1－911991311010101010500???（＋）＝注：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法。采用这种方法在解决带有词语

“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便。

四、小结：掌握求解较复杂事件概率的一般思路：正向思考和逆向思考。

正向思考的一般步骤是：通过“分类”或“分步”将较复杂事件进行分解，转化为简单

的互斥事件的和事件或相互独立事件的积事件；逆向思考就是转化为求它的对立事件的

概率。

五、作业：

1．甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为15、13、14

，则此密码能译出的概率为（A ） ()A 35 ()B 25 ()C 5960 ()D 160 2．甲、乙两歼击机飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人

击中敌机的概率为（D ）

()A 0.9

()B 0.2 ()C 0.7 ()D 0.5 3．甲、乙两人独立地解决一道数学题，已知甲能解对的概率为m ，乙能解对的概率为n ，

那么这道数学题被得到正确解答的概率为（C ）

()A m n + ()B m n ?

()C 1(1)(1)m n --- ()D 1m n -?

4．有n 个相同的电子元件并联，每个电子元件能正常工作的概率为0.5，要使整个线路正

常工作的概率不小于0.95，n 至少为（C ）

()A 3 ()B 4 ()C 5 ()D 6

5．有甲、乙、丙3批罐头，每批100个，其中各有1个是不合格的，从三批罐头中各抽出

1个，则抽出的3个中至少有1个不合格的概率是0.0297．

6．如图，用A ，B ，C 三类不同的元件连接成两个系统1N ，2N ，当A ，B ，C 都正常

时，系统1N 正常，当A 正常工作，元件B ，C 至少有一个正常工作时，系统2N 正常工作．已

知元件A ，B ，C 正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，分别求系统1N ，2N 正常

工作的概率1P ，2P ．

()0.648C = 2)0.792ABC = 7方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；

方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否

及格相互之间没有影响.求：

(Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率；

(Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率.

解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B,C ，

则P (A )=0.5，P (B )＝0.6，P (C )=0.9.

(Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率

p 1=P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )

=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9

=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.

(Ⅱ) 应聘者用方案二考试通过的概率

p 2=31P (A ·B )+31P (B ·C )+ 31P (A ·C ) =31×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9)=3

1×1.29

()N （1N

独立重复试验

一、教学目标：1．理解独立重复试验的概念,明确它的实际意义；

2．引出n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率计算公式；

3．了解概率计算公式与二项式定理的内在联系。

二、教学重、难点：n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率计算公式的引出及独立

重复试验的判定。

三、教学过程：

（一）1．复习相互独立事件的概率乘法公式：()()()P A B P A P B ?=?

2．练习：某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他射击4次

（1）每一次都击中和每一次都不击中的概率分别是什么？

（2）第2次击中，对第3次不击中的概率有无影响？

（3）在4次射击中，其中任何两次之间击中与不击中的事件是相互独立的，还是

互斥的？

（4）4次射击中恰好击中3次的概率是多少？

（二）新课讲解：

1．独立重复试验的定义：

指在同样条件下进行的，，各次之间相互独立的一种试验。

2．独立重复试验的概率公式：

一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中

这个事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(．

说明：它是[](1)n

P P -+展开式的第1k +项。

3．例题分析：

例1 （书P156例3）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：

（1）5次预报中恰有4次准确的概率；

（2）5次预报中至少有4次准确的概率。

变式：（3）5次预报中恰．好．

第1次、第2次、第3次、第5次准确的概率；（4）5次预报中第1次、第2次、第3次、第5次准确的概率；

（5）5次预报中恰．好．

第4次准确的概率；（6）5次预报中至多有1次准确的概率。

解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件A ．预报5次相当于5次独立重复试验，根据n

次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确

的概率4454455(4)0.8(10.8)0.80.41P C -=??-=≈ 答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.

（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预

报都准确的概率的和，即

44545555

5555545(4)(5)(4)0.8(10.8)0.8(10.8)0.80.80.4100.3280.74

P P P P C C --=+==??-+??-=+≈+≈ 答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．

变式：（3）082.0)8.01(8.04=-?=P

（4）41.08.04

==P

（5）00128.02.08.04

=?=P （6）()()00672.08.02.02.010451555=?+=+=C P P P

例2 （步步高P128例3）某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14

，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）说明：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法。

例3 某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，

至少应射击几次？

解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n 次。记事件A ＝“射击一次，击中

目标”，则()0.25P A =．

∵射击n 次相当于n 次独立重复试验，∴事件A 至少发生1次的概率为

1(0)10.75n n P P =-=-．

由题意，令10.750.75n -≥，∴31()44n ≤，∴1

4 4.823lg 4

n ≥≈， ∴n 至少取5．答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次。

四、课堂练习：书P157 练习1、2

五、课堂小结：

1．独立重复试验要从三方面考虑。第一：每次试验是在同样条件下进行。第二：各次试验中的事件是相互独立的。第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生。

2．如果1次试验中某事件发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次

的概率为k n k k n n P P C k P --=)1()(。对于此式可以这么理解：由于1次试验中事件A 要

么发生，要么不发生，所以在n 次独立重复试验中A 恰好发生k 次，则在另外的n k -次中A 没有发生，即A 发生，由()P A P =，()1P A P =-。所以上面的公式恰为

n P P ])1[(+-展开式中的第1k +项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系。

六、作业：书P157习题11。3 8、9、10、11

独立重复试验（2）

一、教学目标：1．巩固相互独立事件以及独立重复试验的概念；

2．能应用相互独立事件的概率的乘法公式和n 次独立重复试验中某事件恰

好发生k 次的概率公式解决一些应用问题。

二、教学重、难点：事件的概率的简单综合应用。

三、教学过程：

（一）复习：

1．互斥事件有一个发生、对立事件、相互独立事件同时发生和独立重复试验的概率。

2．练习：

（1）从次品率为0.05的一批产品中任取4件，恰好2件次品的概率为

22240.05(10.05)C ??-．

（2）设3次独立重复试验中，事件A 发生的概率相等。若A 至少发生一次的概率为

1927，则事件A 发生的概率为13

．（3）将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现1k +次正面的概率，那么

k 的值为2．

（4）在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的

概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围为0.41p ≤<．

（二）新课讲解：

例1 十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？

解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直

到停9次。

∴从低层到顶层停不少于3次的概率

33644555499999934599901299999999991111111()()()()()()()2222222

11()()2()()22

1233(246)()2256

P C C C C C C C C C C C =+++??=+++=-++??=-=++L L 设从低层到顶层停k 次，则其概率为k 9999111C ()()()222

k k k C -=，

∴当4k =或5k =时，9k C 最大，即9

91()2

C 最大，答：从低层到顶层停不少于3次的概率为233256，停4次或5次概率最大．例2 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局

就算胜出并停止比赛）．

（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．

（2）按比赛规则甲获胜的概率．解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12

．记事件A =“甲打完3局才能取胜”，记事件B =“甲打完4局才能取胜”，

记事件C =“甲打完5局才能取胜”．

①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜。

∴甲打完3局取胜的概率为3331

1()()28

P A C ==． ②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负。 ∴甲打完4局才能取胜的概率为22

113()()22216P B C =???=． ③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负。∴甲打完5局才能取胜的概率为

22241113()()()22216

P C C =???=．（2）事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则D A B C =++，又因为事件A 、B 、C

彼此互斥，故1331()()()()()816162P D P A B C P A P B P C =++=++=

++=．答：按比赛规则甲获胜的概率为12

．例3 一批玉米种子，其发芽率是0.8．

（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？

（lg 20.3010=）

（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．

解：记事件A ＝“种一粒种子，发芽”，则()0.8P A =，()10.80.2P A =-=，

（1）设每穴至少种n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．

∵每穴种n 粒相当于n 次独立重复试验，记事件B ＝“每穴至少有一粒发芽”，则00()(0)0.8(10.8)0.2n n n n P B P C ==-=．∴()1()10.2n

P B P B =-=-．由题意，令()98%P B >，所以0.20.02n

<，两边取常用对数得， lg0.2lg0.02n <．即(lg 21)lg 22n -<-，∴lg 22 1.6990 2.43lg 210.6990

n ->=≈-，且n N ∈，所以取3n ≥．

答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．

（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，

∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为2230.80.20.384P C =??==，

答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384．

四、课堂小结：

（1）求事件和的概率的方法是首先判断事件和中的每个事件之间是否两两互斥，如果互斥，求出每个事件的概率，最后利用互斥事件有一个发生的概率公式即可。如果不互斥必须通过其他途径变形求解。

（2）求事件积的概率的方法是首先判断积中的每个事件之间是否相互独立，如果它们是相互独立事件，求出每个事件的概率，最后利用相互独立事件同时发生的概率公式即可，特

别是独立重复试验恰好发生k 次的概率可用k n k k n k P P C k P --=)1()(求解。如果不是相互独

立事件，则将它们转化为相互独立事件的积与互斥事件的和的混合形式求解。

五、作业：补充。

1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行试验直至第n 次才取得(0)r r n ≤≤次成功的概率为（B ）

()A (1)r r n r n C p p -- ()B 11(1)r r n r n C p p ---- ()C (1)r n r p p --

()D 111(1)r r n r n C p p ----- 2．在数学选择题给出的4个答案中，恰有1个是正确的，某同学在做3道数学选择题时，随意地选定其中的正确答案，那么3道题都答对的概率是（C ） ()A 18 ()B 314 ()C 164 ()D 12

3．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是（A ） ()A [)0.4,1 ()B (]0,0.4 ()C (]0,0.6 ()D [)0.6,1

4．一次测量中出现正误差和负误差的概率都是

，在3次测量中，恰好出现2次正误差的概率是 223113228C ???= ???

；恰好出现2次负误差的概率是38． 5．有五条线段，长度分别为1，3，5，7，9（cm ），从中任取三条，它们能构成一个三角形的概率是0.3．

6．某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站率为90%，他在5天乘车中，此班次公共汽车恰好有4天准时到站的概率是0.32805．

7．某城市的发电厂有5台发电机组，每台发电机组在一个季度里停机维修率为

．已知两台以上机组停机维修，将造成城市缺电．计算：

⑴该城市在一个季度里停电的概率；

⑵该城市在一个季度里缺电的概率．提示：⑴()5

511541024

P ??== ???； ⑵()()()55513345512P P P ++= 8．将一枚均匀硬币抛掷5次．

⑴求第一次、第四次出现正面，而另外三次都出现反面的概率；

⑵求两次出现正面，三次出现反面的概率。提示： ⑴2311112232P ????== ? ?????； ⑵232251152216P C ????== ? ?????

。 9．某公司聘请6名信息员，假定每个信息员提供的正确信息的概率均为0.6，并按超过一半信息员提供的信息作为正确的决策，求公司能作出正确决策的概率。

提示：()()()6664560.54432P P P ++=