2019年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷——文科数学(附参考答案)

2019年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷 文科数学本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 若复数z 满足i1iz z -=，其中i 是虚数单位，则z = A ．11i 22+ B ．11i 22-C ．11i 22-+D ．11i 22-- 2． 已知集合[2)A =+∞， ，{|1}B x x a =≤≤，A B ≠∅I ，则实数a 的取值范围是A ．(2)+∞，B ．[2)+∞，C ．(12)，D ．(12]，3． 已知函数31()23f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线的倾斜角是 A ．6π B ．4π C ．23π D ．34π4． 已知a R ∈，则“1a <”是“11a>”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5． 某中学数学竞赛培训班共有10人，分为两个小组，在一次模拟测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲乙两组同学成绩的平均数相同，则甲乙两组同学成绩的中位数之差为 A ．2B ．4C ．6D ．86． 已知两条不同的直线a b ， 和一个平面α，则使得“//a b ”成立的一个必要条件是A ．//a α且//b α B ．//a α且b α⊂ C ．a α⊥且b α⊥D ．a b ， 与α所成角相同7． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．4+B ．4+C ．8+D ．8+正视图侧视图俯视图8． 执行如图所示的程序框图，若输出i 的值为7，则框图中①处可以填入A ．7S ≥B ．21S ≥C ．28S ≥D ．36S ≥9． 已知等腰梯形ABCD 中，2AB DC =u u u r u u u r，E F ， 分别为AD BC ， 的中点，G 为EF 的中点，若记AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则AG =u u u rA ．3384a b +r rB ．3182a b +r rC ．1324a b +r rD ．1348a b +r r10．函数()cos()f x A x ωϕ=+(00(0))A ωϕ>>∈-π， ， ， 的部分图象如图所示，要得到函数sin y A x ω=的图象，只需将函数()f x 的图象A ．向左平移12πB ．向左平移6πC ．向右平移12πD ．向右平移6π11．设抛物线2:8C y x =的焦点为F ，经过点(10)A -， 且斜率为(0)k k >的直线l 与抛物线C 交于M N ，两点，若AMF ∆的面积等于AFN ∆面积的2倍，则k 的值为 A ．12B ．43C ．32D ．212．已知存在正实数x y ， 满足2222()(ln ln )0ax x y y x +--=，则实数a 的取值范围是A ．(0]-∞，B ．[01]，C ．[0)+∞，D ．[1)+∞， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边上有一点(12)P -， ，则sin2α= ．14．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若26424S S S ，， 成等差数列，52a =，则1a = ． 15．在圆221x y +=上任取一点，则该点到直线20x ++=的距离不小于32的概率为 ． 16．已知函数2()log f x x =，a b >且1223b ≤≤，()()f a f b k ==，设k 值改变时点()a b ，的轨迹为C ， 若点M N ， 为曲线C 上的两点，O 为坐标原点，则MON ∆面积的最大值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）已知锐角ABC ∆中，角A B C ， ， 所对的边分别为a b c ， ，，sin cos (sin )0A C B B -=． （1）求角C ； （2）若b c ==AB 边上的高长．18．（12分）中国国际智能产业博览会（智博会）每年在重庆市举办一届，每年参加服务的志愿者分“嘉宾”、“法医”等若干小组．2018年底，来自重庆大学、西南大学、重庆医科大学、西南政法大学的500名学生在重庆科技馆多功能厅参加了“志愿者培训”，如图是四所大学参加培训人数的不完整条形统计图，现用分层抽样的方法从中抽出20人作为2019年中国国际智博会服务的志愿者．（1）分别求出从重庆大学、西南大学、重庆医科大学、西南政法大学抽出的志愿者人数； （2）若“嘉宾”小组的2名志愿者只能从重庆医科大学或西南政法大学抽出，求这2人分别来自不同大学的概率（结果用分数表示）．19．（12分）如图，P 为正方形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，E F ， 分别为BC CD ， 的中点．（1）求证：PF DE ⊥；（2）若3PA AB ==，求点C 到平面PDE 的距离．PBE CFDA20．（12分）已知点(10)F ， ，直线:1l x =-，P 为直角坐标平面上的动点，过动点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且满足()0QF PQ PF ⋅+=u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线m 与（1）中的轨迹C 相切于点00()N x y ，0(0)y >，且m 与圆心为M 的圆22(3)16x y -+= 相交于A B ， 两点，当AMB ∆的面积最大时，求点N 的坐标．21．（12分）已知函数()ln (2)f x x x a x =+-，1x >，其中a R ∈. （1）求()f x 的单调区间；（2）若存在0(1)x ∈+∞，，使得不等式0()1f x a<-成立，求正整数a 的最小值．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数且0t ≠，[0)α∈π， ），曲线2C 的参数 方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）求2C 的普通方程及3C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线23C C ， 分别交于点A B ， ，求||AB 的最大值．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数()|1|||f x x x a =-++，a R ∈．（1）若不等式()6f x ≥的解集为(4][)b -∞-+∞U ， ， （4b >-），求a b ， 的值； （2）若()||f x a x ≥对任意x R ∈恒成立，求a 的取值范围．2019年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷 文科数学参考答案一、选择题1～6 DBDBCD 7～12 DCBCBC 9． 解析：1328AG AE EG AD AB =+=+u u u r u u u r u u u ru u ur u u u r 10．解析：由题意知：2A =，又因为(0)2cos 13f ϕϕπ==⇒=-， 又因为22()22333f ωωπππ=-⇒-=π⇒=，所以()2cos(2)2sin(2)2sin[2()]3612f x x x x πππ=-=+=+.11．解析：设直线1my x =+，联立抛物线方程28y x =有：28808M N y my y y -+=⇒=，142242(24)(2)23AMF AFN M N M N S S y y y y M N k ∆∆=⇒=⇒==⇒⇒=， ， ， ， . 12．解析：令0yt x=>，则2222()(ln ln )0ax x y y x +--=等价于22(1)ln a t t =-， 令2()(1)ln h t t t =-，当1t >时，210ln 0()0t t h t ->>⇒>，， 同理当01t <<时()0h t >，当1t =时()0h t =. 所以()0h t ≥.二、填空题 13．45-14．1215．13 16．72415．解析：圆心到直线的距离212d ==，则满足题意点所围成的弧度为23π，则概率21323P π==π.16．解析：22()log ()log f a a f b b ==-，，则()()1f a f b ab =⇒=. 设112212()()()M a b N a b b b >， ， ， . 21121221111122OMN S a b a b b b b b ∆=-=⋅-⋅，令124(1)3b t b =∈， ，则117224OMN S t t ∆=-≤.三、解答题17．（12分）解：（1）因为sin cos (sin )0sin()cos (sin )0A C B B B C C B B -=⇒+-=，所以cos (sin )0tan 3B C C C C π=⇒==.（6分） （2）由余弦定理有：22222cos 10c a b ab C a a =+-⇒--=⇒=由等面积法有：111sin 222S ab C ch h ==⇒=.（12分）18．（12分） 解：（1）由题意知：重庆大学、西南大学、重庆医科大学、西南政法大学志愿者分别为6842， ， ， 人.（4分）（2）设重庆医科大学的四名志愿者分别为a b c d ， ， ， ，西南政法大学的两名志愿者分别为e f ，. 则共有：ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 15种情况. 其中分别来自不同大学的共8种. 则概率815P =.（12分） 19．（12分）解：（1）在正方形ABCD 中，DE AE =，因为DA DC DF CE ADF DCE ==∠=∠， ， ，所以90ADF DCE CDE DAF DAF EDA ≅⇒∠=∠⇒∠+∠=︒V . 所以AF DE ⊥.又因为PA ABCD PA DE ⊥⇒⊥面，又因为PA AF A =I ，所以DE PAF ⊥面. 所以DE PF ⊥.（6分）（2）因为PA ABCD ⊥面，所以PA 为三棱锥P ECD -的高，设C h 为所求距离.在PED V中，922PD PE DE ===，，则222cos 22PD PE DE EPD PD PE +-∠==⋅⋅. 所以127sin 24DEP S PD PE EPD =⋅⋅∠=V . 由等体积法可得：11133P ECD C PDE ECD PDE C C V V S PA S h h --=⇒⋅=⋅⇒=V V . （12分）20．（12分）解：（1）设P ()x y ， ，则22()0404QF PQ PF x y y x ⋅+=⇒-+=⇒=u u u r u u u r u u u r.（4分）（2）由替换法则，设0000:22220m y y x x x y y x =+⇒-+=， 因为1sin 2AMB S MB MA AMB =⋅⋅∠V ，故90AMB ∠=︒时，面积最大， 此时圆心到直线m的距离为d =则有01(12)d x N ===⇒， .（12分）21．（12分）解：（1）()ln 3f x x a '=+-.①.3a ≤时：(1)+∞↑， ； ②.3a >时：33(1e )(e )a a --↓+∞↑，， ， .（5分）（2）即ln 21x x xa x +>-有解，令2ln 2ln 3()()1(1)x x x x x h x h x x x +--'=⇒=--， 令()ln 3g x x x =--，则()g x ↑，又因为(4)0(5)0g g <>， ，所以存在1(45)x ∈，，使得()g x 在11(0)()x x ↓+∞↑， ， ， ，且111()ln 30g x x x =--=. 所以211111()51x x a h x x a x ->==⇒-≥.（12分）22．（10分）解：（1）22222:(1)cos sin 1C x y θθ+-=+=，222223:4cos 4(2)4C x y x x y ρρθ=⇒+=⇒-+=.（5分）（2）1:C θα=，2:2sin C ρθ=，由图像可知：2sin 4cos )B A AB OB OA ρραααϕ=-=-=-=+≤.（10分）23．（10分）解：（1）(4)5463f a a -=+-=⇒=或5a =（经检验，舍），()1362f b b b b =-++=⇒=或4b =-（经检验，舍）. （5分）（2）①.当0a ≤时：恒成立；②.当0a >时：由图像知2()101a f a a a a a ⎧-=+⎪⇒<<⎨+⎪⎩≤≤综上所述，a <（10分）。