第十二章 线性代数

12.2 矩阵运算
m1+m2：计算矩阵的和 ： m1-m2：计算矩阵的差 ： c m：矩阵的数乘 ： m1.m2：矩阵乘法 ： v1.v2：向量内积 ： Cross[v1,v2]：三维向量 与v2的叉积 ：三维向量v1与 的叉积
12.2 矩阵运算
例 5 矩阵运算 m1=Table[Random[Integer,{0,9}],{i,3},{j,3}] m2=Table[Random[Integer,{0,9}],{i,3},{j,3}] m1//MatrixForm m2//MatrixForm 5 m1 m1+m2//MatrixForm m1-m2//MatrixForm
例8 m1={{1,2,2},{2,3,3},{3,4,5}}; m2={{1,2,3,4},{5,6,7,8},{9,10,11,12}}; Inverse[m1]//MatrixForm Tr[m1] MatrixPower[m1,3]//MatrixForm Transpose[m2]//MatrixForm Tr[m2]
12.19 x={1,2,3,4,5}; x.x Outer[Times,x,x]//MatrixForm
12.3 矩阵的操作
在LinearAlgbra`MatrixManipulation`中包含了大 中包含了大 量矩阵操作命令 AppendColumns[矩阵 矩阵 通过将列合并在一 矩阵1,矩阵 矩阵 矩阵2]:通过将列合并在一 起组成一个新矩阵 AppendRows [矩阵 矩阵 通过将行合并在一起 矩阵1,矩阵 矩阵 矩阵2]:通过将行合并在一起 组成一个新矩阵 BlockMatrix[矩阵块 以分块的形式构成一个新矩 矩阵块]:以分块的形式构成一个新矩 矩阵块 阵
构造子矩阵
TakeRows[矩阵 ：由矩阵的前 行元素组成的子 矩阵,n]：由矩阵的前n行元素组成的子 矩阵 矩阵 TakeRows[矩阵 矩阵,{m,n}]：由矩阵的第 行到第 行 行到第n行 矩阵 ：由矩阵的第m行到第 构成的子矩阵 TakeColumns[矩阵 ： 矩阵,n]： 矩阵 TakeColumns[矩阵 矩阵,{m,m}]： 矩阵 ： TakeMatrix[矩阵 矩阵,{i1,j1},{i2,j2}]：由矩阵的介于 矩阵 ： (i1,j1)与(i2,j2)元素之间的元素组成的子矩阵 与 元素之间的元素组成的子矩阵 SubMatrix[矩阵 矩阵,{i,j},{m,n}]：从(i,j)元开始构造一 矩阵 ： 元开始构造一 个m*n阶子矩阵 阶子矩阵
习题解答
12.17 范德蒙行列式 m[n_]:=Table[x[i]^j,{j,0,n-1},{i,1,n}] m[2]//MatrixForm m[3]//MatrixForm Det[m[2]]//Factor Det[m[3]]//Factor Det[m[4]]//Factor Det[m[5]]//Factor
例9 m=Table[a[i,j],{i,1,3},{j,1,3}]; m//MatrixForm Minors[m]//MatrixForm
习题解答
12.8 计算向量的模（欧几里得范数） 计算向量的模（欧几里得范数） v=Table[2k-1,{k,1,8}] norm=Sqrt[v.v]
习题解答
12.3 矩阵的操作
例10 <<LinearAlgebra`MatrixMaipulation` m1={{a,b,c},{d,e,f},{g,h,i}}; m2={{aa,bb,cc},{dd,ee,ff},{gg,hh,ii}}; AppendColumns[m1,m2]//MatrixForm AppendRow[m1,m2]//MatrixForm BlockMatrix[{{m1,m2},{m2,m1}}]//MatrixForm
例7 v1={1,2,3}; v2={4,5,6}; m={{1,2,2},{2,3,3},{3,1,2}} m//MatrixForm m.v1 v1.m Outer[Times,v1,v2]//MatrixForm Outer[Times,v2,v1]//MatrixForm
内积与外积(点积与叉积)
矩阵的生成
Table[表达式 表达式,{i,m},{j,n}]：构造一个 阶矩阵， 表达式 ：构造一个m*n阶矩阵， 阶矩阵 其中的元素由表达式在(i,j)=(1,1),(1,2),...,(1,n);...; 其中的元素由表达式在 (m,1), (m,2),...,(m,n)时3的值组成 时 的值组成 Array[f,{m,n}]：构造一个 阶矩阵,其中的元素 ：构造一个m*n阶矩阵 其中的元素 阶矩阵 分别为f[1,1],f[1,2],...,f[1,n];...;f[m,1],f[m,2],...,f[m,n]。 分别为 。 f为二元函数 为二元函数 DiagonalMatrix[列表 ：生成一个对角矩阵，对角 列表]： 列表 生成一个对角矩阵， 线上的元素由给定列表中的元素构成 IdentityMatrix[n]：创建 阶单位阵 ：创建n阶单位阵
12.2 矩阵运算
例 5 矩阵运算 m1.m2//MatrixForm m1*m2//MatrixForm 例6 v1={1,2,3}; v2={4,5,6}; v1.v2 Cross[v1,v2]
12.2 矩阵运算
Mathematic对行向量和列向量不加区分 对行向量和列向量不加区分 如果v是 维向量 维向量， 是一个 是一个n*n阶矩阵，则v.m与 阶矩阵， 如果 是n维向量，m是一个 阶矩阵 与 m.v都是有定义的 都是有定义的 如果v1是一个 如果 是一个n*1阶矩阵，v2是一个 阶矩阵， 是一个1*n阶矩阵，虽 阶矩阵， 是一个 阶矩阵 是一个 阶矩阵 然按照矩阵的运算法则， 为一个n*n阶矩阵， 阶矩阵， 然按照矩阵的运算法则，v1.v2为一个 为一个 阶矩阵 但是Mathematica仍将该式作为内积来计算 但是 仍将该式作为内积来计算 要计算行向量与列向量按照矩阵乘法运算的结果， 要计算行向量与列向量按照矩阵乘法运算的结果， 使用命令Outer 使用命令 Outer[Times,v1,v2]：计算 与v2的外积 ：计算v1与 的外积
科学计算软件线性代数源自第十二章12.1 向量与矩阵
向量与矩阵在Mathematica中是用列表来表示的 中是用列表来表示的 向量与矩阵在 C语言的观点 语言的观点 向量(行向量 行向量)是一维数组 向量 行向量 是一维数组 矩阵是二维数组 列向量也是二维数组
向量的生成
Table[表达式 表达式,{i,n}]构造一个 维向量，其中的元素 构造一个n维向量 表达式 构造一个 维向量， 由表达式在i=1,2,...,n时的值组成 由表达式在 时的值组成 有通项表达式的有限数列 Array[f,n]构造一个 维向量，其中的元素分别为 构造一个n维向量， 构造一个 维向量 f[1], f[2],...,f[n]，f为一元函数 ， 为一元函数
矩阵形式的输出
矩阵以列表的形式定义， 矩阵以列表的形式定义，但是也可以用数学上习惯 的形式输出 MatrixForm[列表 ：在矩形方阵中显示出列表中的 列表]： 列表 元素。 元素。对于一维列表显示为列向量 例1 m={{1,1},{1,2}}; m//MatrixForm
矩阵形式数据的输入
通过菜单命令Input->Create Table/Matrix/Palette 通过菜单命令 也可以输入矩阵中的数据 界面类似于Word中公式编辑器中的矩阵模板 界面类似于 中公式编辑器中的矩阵模板
几何解释
在欧几里得空间中， 在欧几里得空间中，点积 可以直观地定义为
a ⋅ b = a b cos θ
这里 |x| 表示 x 的范数 长度）， ），θ （长度）， 表示两个向 量之间的角度
A • B = |A| |B| cos(θ). |A| cos(θ) 是 A 到 B的投影。
两个向量 a 和 b 的叉积写作 a × b （有时也被写成 a ∧ b， ， 混淆）。 避免和字母 x 混淆）。
习题解答
1 / 10 2 / 10 7 / 10 M = 3 / 10 3 / 10 4 / 10 12.14 令 5 / 10 4 / 10 1 / 10
lim M n 计算
n →∞
m={{1,2,7},{3,3,4},{5,4,1}}/10 Limit[MatrixPower[m,n],n->Infit]//MatrixForm
a × b = n a b sin θ
在这里 θ 表示 a 和 b 之间的 角度（ ° 角度（0° ≤ θ ≤ 180°），它 °），它 位于这两个矢量所定义的平面 上。而 n 是一个与 a 和 b 均 垂直的单位矢量。 垂直的单位矢量。
12.2 矩阵运算
Inverse[矩阵 ：计算矩阵的逆矩阵 矩阵]：计算矩阵的逆矩阵 矩阵 Det[矩阵 ：计算方阵的行列式 矩阵]： 矩阵 计算方阵的行列式 Transponse[矩阵 ：计算矩阵的转置 矩阵]： 矩阵 计算矩阵的转置 Tr[矩阵 ：计算矩阵的迹 矩阵]： 矩阵 MatrixPower[,n]：计算矩阵的 次方 ：计算矩阵的n次方 Minors[矩阵 ：给出 的所有 阶子式，返回结果 矩阵,k]：给出A的所有 阶子式， 的所有k阶子式 矩阵 为一个表
12.1 向量与矩阵
构造一个7*5的矩阵，其ij元的值为 的矩阵， 元的值为i+j 例3 构造一个 的矩阵 元的值为 matrix=Table[i+j,{i,5},{j,7}] f[i_,j_]=i+j; matrix=Array[f,{5,7}] matrix//MatrixForm
习题解答
12.5 构造一个 构造一个5*5上三角矩阵，其上三角元素都是 ， 上三角矩阵， 上三角矩阵 其上三角元素都是1， 主对角线下面的元素都是0 主对角线下面的元素都是 m=Table[If[i<=j,1,0],{i,5},{j,5}] 12.6 构造一个 构造一个7*7阶三对角阵，其主对角线上的元 阶三对角阵， 阶三对角阵 素为2，与主对角线相邻的元素为1，其它元素为0 素为 ，与主对角线相邻的元素为 ，其它元素为 m=Table[If[Abs[i-j]==1,1,If[i==j,2,0]],{i,1,7},{j,1,7}]; m//MatrixForm