2016年河南省郑州市高三第二次模拟考试理科数学试卷
河南省郑州市2016届高三第二次模拟考试 理科综合试题(word版)
2016年郑州市高中毕业年级第二次质量预测理科综合试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分。
考试时间150分钟，满分300分。
考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。
交卷时只交答题卡。
可能用到的相对原子质量：H－1 C－12 N－14 O－16 Na－23 Cl－35．5 Fe－56 Ni－59第Ⅰ卷一、选择题：本大题共13小题．每小题6分。
在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的。
1．据下图判断，有关叙述错误的是A．丙物质含有的元素为C、H、O、NB．乙物质为腺嘌呤核糖核苷酸，是RNA的基本组成单位之一C．酶1、酶2和酶3催化的反应均伴有大量的能量释放D．细胞的无氧呼吸只有第一阶段产生了ATP2．下列关于物质跨膜运输的叙述，错误．．的是A．主动运输需要载体蛋白和ATPB．胃蛋白酶需载体蛋白的协助才能进入消化道C．氧气以自由扩散的方式进入肺泡上皮细胞D．水盐调节过程中，肾小管上皮细胞对水的重吸收属于被动运输3．Tay－Sachs病是一种单基因隐性遗传病，患者的一种溶酶体酶完全没有活性，导致神经系统损坏，患者通常在4岁之前死亡。
在中欧某地区的人群中，该病发病率高达1／3600。
下列相关叙述正确的是A．Tay—Sachs病的致病基因通过杂合子在亲子代之间传递B．正常个体的溶酶体能合成部分水解酶C．该病杂合子不发病是因为显性基因抑制了隐性基因的表达D．在中欧该地区约60人中就有一个该病致病基因的携带者4．下图为某植物细胞一个DNA分子中a、b、c三个基因的分布状况，图中Ⅰ、Ⅱ为无遗传效应的序列。
有关叙述正确的是A．在每个植物细胞中，a、b、c基因都会表达出相应蛋白质B ．a 、b 互为非等位基因，在亲子代间传递时可自由组合C ．b 中碱基对若发生了增添、缺失或替换，则发生了基因突变，但性状不一定改变D ．基因在染色体上呈线性排列，基因的首、尾端存在起始密码子和终止密码子5．植物激素甲、乙、丙和生长素类似物NAA 的作用模式如右图所示，图中“＋”表示促进作用，“－”表示抑制作用。
2016届河南省郑州市高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2016届河南省郑州市高三第二次模拟考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}4-==x y x A ，{}0121≤-≤-=x x B ，则=B A C U （ ） A ．),4(+∞ B ．]21,0[ C ．]4,21( D ．]4,1( 【答案】B【解析】试题分析：所以。
【考点】本题主要考查集合的关系．2．命题“00≤∃x ，使得020≥x ”的否定是（ ）A ．0,02<≤∀x xB ．0,02≥≤∀x xC ．00>∃x ，020>xD ．00<∃x ，020≤x【答案】A.【解析】试题分析：根据特称命题的否定是全称命题可知选A ，故选A ． 【考点】本题主要考查特称命题的否定． 3．定义运算bc ad d c b a -=,,，则符合条件02,1,=-+ii iz 的复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，(1)12[(1)]222i i iz i i i zi -+--+⇒==--，∴1122z i =-+，故在第二象限，故选B ．【考点】本题主要考查复数的计算与复平面的概念．4．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A ．2014B ．2015C ．2016D ．2017 【答案】D.【解析】试题分析：分析程序框图可知，当i 为偶数时，2017S =，当i 为奇数时，2016S =，而程序在0i =时跳出循环，故输出2017S =，故选D ． 【考点】本题主要考查程序框图．5．曲线3)(3+-=x x x f 在点P 处的切线平行于直线12-=x y ，则P 点的坐标为（ ） A ．)3,1( B ．)3,1(- C ．)3,1(和)3,1(- D ．)3,1(- 【答案】C.【解析】试题分析：2'()31f x x =-，令'()2f x =，23121x x -=⇒=或1-，∴(1,3)P 或(1,3)-，经检验，点(1,3)，(1,3)-均不在直线21y x =-上，故选C ． 【考点】本题主要考查导数的运用．6．经过点)1,2(，且渐近线与圆1)2(22=-+y x 相切的双曲线的标准方程为（ ）A ．11131122=-y x B ．1222=-y x C ．11131122=-x y D ．13111122=-x y 【答案】A.【解析】试题分析：设双曲线的方程为221(0)mx ny mn +=<，其渐近线方程为y =， ∵渐近线方程与圆22(2)1x y +-=13m n =⇒=-①，又∵双曲线过点(2,1)，∴41m n +=②，联立①②，可得311111m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴双曲线的标准方程为22111113x y -=，故选A ． 【考点】本题主要考查双曲线的标准方程与直线与圆的位置关系． 7．将函数)22sin()(π-=x x f 的图象向右平移4π个单位后得到函数)(x g ，则)(x g 具有性质（ ）A ．最大值为1，图象关于直线2π=x 对称B ．在)4,0(π上单调递减，为奇函数C ．在)8,83(ππ-上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点)0,83(π对称 【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，()sin[2()]sin(2)sin 242g x x x x πππ=--=-=-， A ：最大值为1正确，而()02g π=，不关于直线2x π=对称，故A 错误；B ：当(0,)4x π∈时，2(0,)2x π∈，满足单调递减，显然()g x 也是奇函数，故B 正确；C ：当3(,)88x ππ∈-时，32(,)44x ππ∈-，不满足单调递增，也不满足偶函数，故C 错误；D ：周期22T ππ==，3()8g π=，故不关于点3(,0)8π对称，故选B ． 【考点】本题主要考查三角函数的图象变换与三角函数的性质．8．设数列{}n a 满足3,121==a a ，且11)1()1(2+-++-=n n n a n a n na ，则20a 的值是（ ） A ．514B ．524C ．534D ．544 【答案】D.【解析】试题分析：∵112(1)(1)n n n na n a n a -+=-++，∴数列{}n na 是以11a =为首项，2125a a -=为公差的等差数列，∴202024420151996455a a =+⋅=⇒==，故选D ． 【考点】本题主要考查数列的通项公式．9．如图是正三棱锥ABC V -的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C.【解析】试题分析：由三视图可知，正三棱锥的侧棱长为4，底面边长为h ==162S =⨯=，故选C ．【考点】本题主要考查空间几何体的三视图．10．已知定义在R 上的奇函数)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，当01<≤-x 时，)(log )(21x x f --=，则方程021)(=-x f 在)6,0(内的零点之和为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．16 【答案】C.【解析】试题分析：∵奇函数()f x 关于直线1x =对称，∴()(2)()f x f x f x =-=--， 即()(2)(4)f x f x f x =-+=+，∴()f x 是周期函数，其周期4T =，又∵当[1,0)x ∈-时，12()log ()f x x =--，故()f x 在(0,6)上的函数图象如下图所示，∴可知方程1()02f x -=在(0,6)的根共有4个，其和为123421012x x x x +++=+=，故选C ．【考点】本题主要考查函数与方程．11．对]2,0[,∈∈∀n R α，向量)sin 3,cos 32(αα-+=n n 的长度不超过6的概率为（ ） A ．105 B ．1052 C ．1053 D ．552 【答案】C. 【解析】试题分析：||c ===，∴要使||6c ≤对任意R α∈都成立，6≤成立即可，即25936n n ++≤⇒≤ 又∵[0,2]n ∈，∴05n ≤≤，故所求概率为0520=-A ． 【考点】本题主要考查平面向量的模长与几何概型．12．已知C B A ,,为ABC ∆的三个内角，向量m 满足26=，且)2c o s ,2s i n 2(CB C B -+=，若A 最大时，动点P成等差的最大值是（ ）A ．332 B ．322 C ．42 D ．423 【答案】A.【解析】试题分析：m ===， ∴222313cos2cos [0,1]cos 222424B C A A -=-∈⇒≤≤，又∵(0,)22A π∈，∴12cos 22262333A A A ππππ≤≤⇒≤≤⇒≤≤，故A 的最大值为23π，取到最大值时6B C π==，又∵||PB ，||BC ，||PC 成等差数列，∴2||||||BC PB PC =+ ，故P 点的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，如下图所示建立平面直角坐标系，不妨设2AB AC ==，∴22||a BC a ==⇒=c =3b ，∴椭圆的标准方程是221129x y +=，∴||P A =4==≤，当且仅当3y =-时，等号成立，∴max ||()||PA BC ==A ． 【考点】本题主要考查：1.三角恒等变换；2.椭圆的标准方程及其性质；3.函数最值．二、填空题13．已知{}n a 为等差数列，公差为1，且5a 是3a 与11a 的等比中项，n S 是{}n a 的前n 项和，则12S 的值为_____. 【答案】54.【解析】试题分析：由题意得，2253111111(4)(2)(10)1a a a a a a a =⇒+=++⇒=-，∴12121112(1)1542S ⋅=⋅-+⋅=，故填：54. 【考点】本题主要考查等差数列与等比数列的性质及其运算．14．已知正数y x ,满足0322=-+xy x ，则y x +2的最小值是_______. 【答案】3. 【解析】试题分析：由题意得，232x y x-=，∴223333122()3222x x x y x x x x x-++=+==+≥，当且仅当1x y ==时，等号成立，故填：3. 【考点】本题主要考查基本不等式求最值.15．已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥0242m y x y x x ，若目标函数y x z +=3的最大值为10，则z 的最小值为______. 【答案】5.【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的区域，作直线l ：30x y +=，平移l ，从而可知取到最大值时，310341x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，∴23105m m ⋅--=⇒=，∴当2x =，2251y =⋅-=-时，min 3215z =⋅-=，故填：5.【考点】本题主要考查线性规划．16．在正三棱锥ABC V -内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于______.【答案】【解析】试题分析：由题意，设侧棱长为a ，底面边长为b ，∴211132332V ABC V -==⨯⨯，化简可得4222363(48)b b a b -=-， ∴113232V ABCV -=⨯⨯==， 令2480b t -=>，3(48)()t f t t+=，∴23223(48)(48)2(48)(24)'()t t t t t f t t t +-++-==，故可知min ()(24)f t f =，即当22482472b b -=⇒=时，三棱锥体积取到最小值，此时高422236363(48)b b a b -==-，h === 【考点】本题主要考查球的性质与导数的运用．17．如图，在梯形ABCD 中，CD AB ∥，1===CB DC AD ， 120=∠BCD ，四边形BFED 为梯形，平面⊥BFED 平面ABCD ，1=BF .（1）求证：⊥AD 平面BFED ；（2）求点P 在线段EF 上运动，设平面PAB 与平面ADE 所成锐二面角为θ，试求θ的最小值.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】 试题分析：本题主要考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力. 第一问，在ABD ∆中，利用余弦定理可推出222AB AD BD =+，由勾股定理得AD BD ⊥，又由面面垂直的性质得DE DB ⊥，所以由线面垂直的判定定理得到结论；第二问，建立空间直角坐标系，先计算出平面PAB 和平面ADE 的法向量，再由夹角公式计算cos θ，最后利用配方法求最值. 试题解析：（1）在梯形中，∵∥，∴∴∴∴∵平面平面平面平面，∴∴又∴（2）由（1）可建立分别以直线为轴，轴，轴的，如图所示的空间直角坐标系，令（≤≤）,则∴设为平面的一个法向量，由得取则∵是平面的一个法向量,∴∵≤≤,∴当=时，有最大值．∴的最小值为【考点】本题主要考查：1.线面垂直的判定与性质；2.二面角的求解.三、解答题18．在A B C ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且满足)3s i n ()3s i n (22c o s 2c o s C C A C -+=-ππ.（1）求角A 的值；（2）若3=a 且a b ≥，求c b -2的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，先利用倍角公式和两角和与差的正弦公式将已知变形，可化简出，即可求出角A 的大小；第二问，利用正弦定理将b 和c 转化成角，利用两角和的正弦公式化简表达式，再由角B 的范围求值域.试题解析：（1）由已知得，化简得，故．（2）由正弦定理，得，故因为，所以，，所以．【考点】本题主要考查：1.正余弦定理解三角形；2.三角恒等变换.19．为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的把握认为以岁为分（2）若对年龄在)45,35[),15,5[的的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望. 参考数据：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=【答案】（1）没有把握；（2）分布列详见解析，45E ξ=. 【解析】试题分析：本题主要考查独立性检验、离散型随机变量的概率的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先根据题目中出现的数据填写列联表，再由2k 的公式计算，最后与表中的数据作比较判断出结论；第二问，先分析出ξ的所有可能取值，再分别计算出概率，列出分布列后，利用11n n E P P ξξξ=++ 计算数学期望. 试题解析： （Ⅰ）2乘2列联表＜所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异． （Ⅱ）所有可能取值有0, 1,2,3,所以的分布列是所以的期望值是考点: 本题主要考查：1.独立性检验；2.离散型随机变量的概率分布及其期望. 20．已知曲线C 的方程是)0,0(122>>=+n m ny mx ，且曲线C 过点)33,66(),22,42(B A 两点，O 为坐标原点. （1）求曲线C 的方程；（2）设),(),,(2211y x N y x M 是曲线C 上两点，且ON OM ⊥，求证：直线MN 恒与一个定圆相切.【答案】（1）2241y x +=；（2）证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、椭圆中的定值问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，由曲线C 过A,B 两点，知A,B 在曲线上，代入方程中，解方程组即可；第二问，数形结合得出点O 到直线MN 的距离为||||||OA OB d AB =，用坐标关系代换得到5d =，所以可得到直线恒与定圆相切.试题解析：（1）由题可得：解得所以曲线方程为．（2）由题得：原点到直线的距离由得：所以=所以直线恒与定圆相切。
2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷(理科)解析
2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪（）A．（2，3] B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）2．（5分）已知（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．（5分）已知sin（x+）=，则cosx+cos（﹣x）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣B．2π﹣C． D．2π﹣25．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．34136．（5分）某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．148．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线bx+cy=0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9．（5分）据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为（）A．9h B．10h C．11h D．12h10．（5分）已知四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，则在下列命题中，正确的为（）A．OD⊥平面ABC B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°11．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a ＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（λ+）⊥，则λ的值为．14．（5分）在（x+y）（x+1）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则y的值是．15．（5分）三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AB=2，AC=4，∠BAC=30°．若三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．16．（5分）已知a n=，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2b，又sinA，sinC，sinB成等差数列．（Ⅰ）求cos（B+C）的值；（Ⅱ）若，求c的值．供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y=试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．参考公式：K2=AB=PC=1，AD=AS=2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点M （x0，4）到焦点F 的距离|MF|=x0．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）过F 的直线l 与E 相交于A，B 两点，AB 的垂直平分线l′与E相交于C，D 两点，若=0，求直线l的方程．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣a（x+1）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）若f'（0）=0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+，且A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，恒有g（x2）﹣g（x1）＞m（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围；（3）求证：1n+3n+…+（2n﹣1）n＜．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD 相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6，BC=4，求AE．[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+2y﹣6=0与Γ 的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷（理科）答案与解析一、选择题1．已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪（）A．（2，3] B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+4）＞0，解得：x＜﹣4或x＞2，即B=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），∵A=[﹣2，3]，∴A∪B=（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞），选B2．已知（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i解：（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i，可得==+1﹣3i==2﹣i，z=2+i，复数的虚部为：1．选A3．已知sin（x+）=，则cosx+cos（﹣x）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．解：cosx+cos（﹣x）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=sin（x+）=，选B4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣B．2π﹣C． D．2π﹣2解：由三视图可知该几何体为圆柱挖去一个四棱锥得到的，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面为正方形，边长为，棱锥的高为1，∴几何体的体积V=π×12×2﹣=2π﹣．选A5．在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．3413解：正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]=×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p==0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359=1359．选B6．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）==，P（B）=，∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）==．选C7．设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．14解：法1：作出不等式组对应的平面区域如图由图象知y≤10﹣2x，则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（）2=，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故xy的最大值为，法2：设z=xy，则y=为双曲线，要使z=xy最大，则z＞0，∵由图象可知当z=xy与2x+y=10相切时，z=xy取得最大值，∴2x+=10即2x2﹣10x+z=0，由判别式△=100﹣8z=0，得x==，即xy的最大值为，选A8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线bx+cy=0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．解：设P（m，n），由题意可得，∴m=，n=﹣，代入椭圆+=1，解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2=1，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=．选D9．据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为（）A．9h B．10h C．11h D．12h解：设码头为A，风暴中心开始位置为B，码头开始受风暴影响时风暴中心为C，码头结束风暴影响时风暴中心为D，则AB=400，AC=AD=300，∠B=45°，过A作AE⊥BD于E，则AE=ABsinB=200，∴CE==100，∴CD=2CE=200，∴码头受风暴影响时间为=10h．选B10．已知四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，则在下列命题中，正确的为（）A．OD⊥平面ABC B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°解：在A中：∵四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，∴=（﹣），=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，1），=，==0，∴OD⊥AB，OD⊥AC，又AB∩AC=A，∴OD⊥平面ABC，故A正确；在B中：∵=（0，1，0），=（﹣1，0，1），=（﹣），设平面ACD的法向量=（x，y，z），∴，取x=1，得=（1，﹣5，1），∵=﹣5≠0，∴直线OB∥平面ACD不成立，故B错误；在C中：∵=（0，1，0），=（﹣），∴cos＜＞===﹣，∴直线AD与OB所成的角不是45°，故C错误；在D中：=（0，1，0），=（1，0，0），=（﹣），设平面AOB的法向量=（a，b，c），则，∴=（0，0，1），设平面AOD的法向量=（x1，y1，z1），则，取y1=1，得=（0，1，﹣1），cos＜＞===﹣，∴二面角D﹣OB﹣A为135°，故D错误．选A11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵∠MF2N=60°，∴∠F1PF2=60°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，∴c=a，∴e==．选B12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3解：令f（x）=x（x﹣3）2=x3﹣6x2+9x，f′（x）=3x2﹣12x+9，令f′（x）=0得x=1或x=3．当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=4，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=0．作出函数f（x）的图象如图所示：∵直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2有三个交点，∴0＜t＜4．令g（x）=x（x﹣3）2﹣t=x3﹣6x2+9x﹣t，则a，b，c是g（x）的三个实根．∴abc=t，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）=18．由函数图象可知f（x）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，∴c﹣a的值先增大后减小，故c﹣a存在最大值，不存在最小值．故①，②正确，选C二、填空题13．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（λ+）⊥，则λ的值为．解：由题意可得λ+=（1+λ，2λ）∵（λ+）⊥，∴（λ+）•=0，代入数据可得3（1+λ）+4×2λ=0，解之可得λ=﹣14．在（x+y）（x+1）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则y的值是．解：∵（x+y）（x+1）4 =（x+y）（x4+4x3+6x2+4x+1）=x5+4x4+6x3+4x2+x+y•x4+4yx3+6yx2+4yx+y，∴展开式中x的奇数次幂项的系数之和为1+6+1+4y+4y=32，∴y=3，15．三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AB=2，AC=4，∠BAC=30°．若三棱锥P ﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．解：∵AB=2，AC=4，∠BAC=30°，∴BC==2，∴三角形ABC的外接圆直径AC=4，设球心为O，AC的中点为D，球的半径为R，则PD=2∴R2=（2﹣R）2+4，则有该三棱锥的外接球的半径R=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=18π．16．已知a n=，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51=．解：∵a n=，∴，，=6，，，，，，…∵a n=，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，∴b51=a101==5151．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2b，又sinA，sinC，sinB成等差数列．（Ⅰ）求cos（B+C）的值；（Ⅱ）若，求c的值．解：（Ⅰ）∵sinA，sinC，sinB成等差数列，∴sinA+sinB=2sinC，由正弦定理得a+b=2c，又a=2b，可得，∴，∵A+B+C=π，∴B+C=π﹣A，∴．（Ⅱ）由，得，∴，∴，解得．供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y=试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．参考公式：K2=K2=≈4.575．∵4.575＞3.841∴由95%的把握认为：“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”（Ⅱ）任选一天，设该天的经济损失为X元，则：P（X=0）=P（0≤x≤100）=P（X=400）=P（100＜x≤300）=，P（X=2000）=P（x＞300）=∴E（X）=0×+400×+2000×=560．∴该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望为30×E（X）=16800元．19．已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．证明：（1）取SD的中点F，连接PF，过F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，连接QC，∵AS⊥面ABCD，∴AS∥FQ，QF为SD的中点，∴Q为AD的中点，FQ=AS，PC=AS，∴FQ=PC，且FQ∥PC，∴CPFQ为平行四边形，∴PF∥CQ，又∵AQ∥∥EC，AQ=EC，∴四边形AECQ为平行四边形，∴AE∥CQ，又PF∥CQ，∴AE∥PF，∴PF⊂面SPD，AE⊄面SPD，∴AE∥面SPD．解：（2）分别以AB，AD，AS所在的直线为x，y，z轴，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（1，0，0），D（0，2，0），S（0，0，2），P（1，2，1），=（1，2，﹣1），=（1，0，﹣2），=（0，2，﹣2），设面BPS与面SPD的法向量分别为=（x，y，z），=（a，b，c），则，即，取z=2，得=（4，﹣1，2），，即，取c=1，得=（﹣1，1，1），两平面的法向量所成的角的余弦值为：cos＜＞===﹣．∵二面角B﹣PS﹣D为钝角，∴该二面角的余弦值为﹣．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点M （x0，4）到焦点F 的距离|MF|=x0．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）过F 的直线l 与E 相交于A，B 两点，AB 的垂直平分线l′与E相交于C，D 两点，若=0，求直线l的方程．解：（Ⅰ）抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|=x0．可得x0+=x0，又16=2px0，解得p=2，则E的方程为y2=4x；（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．可得AB的中点坐标为G（2m2+1，2m），弦长|AB|=•|y1﹣y2|=•=4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，可得直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与E相交于C，D两点，把l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，可得y3+y4=﹣，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段CD的中点H的坐标为（+2m2+3，﹣），即有|CD|=•|y3﹣y4|=•=，由•=0，故ACBD四点共圆等价于|AH|=|BH|=|CD|，即AB2+GH2=CD2，可得4（m2+1）2 +（2m+）2+（+2）2=（）2，化简可得m2﹣1=0，即m=±1，可得直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．21．设函数f（x）=e x﹣a（x+1）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）若f'（0）=0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+，且A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，恒有g（x2）﹣g（x1）＞m（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围；（3）求证：1n+3n+…+（2n﹣1）n＜．解：（1）∵f（x）=e x﹣a（x+1），∴f′（x）=e x﹣a，∵f′（0）=1﹣a=0，∴a=1，∴f′（x）=e x﹣1，由f′（x）=e x﹣1＞0，得x＞0；由f′（x）=e x﹣1＜0，得x＜0，∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）．（2）由＞m，（x1＜x2）变形得：g（x2）﹣mx2＞g（x1）﹣mx1，令函数F（x）=g（x）﹣mx，则F（x）在R上单调递增，∴F′（x）=g′（x）﹣m≥0，即m≤g′（x）在R上恒成立，，故m≤3．∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．证明：（3）由（1）知e x≥x+1，取（i=1，3，…，2n﹣1）得，，即，累加得：．∴．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6，BC=4，求AE．（1）证明：在△ABE和△ACD中，∵AB=AC，∠ABE=∠ACD又∠BAE=∠EDC∵BD∥MN∴∠EDC=∠DCN∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD∴∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（2）解：∵∠EBC=∠BCM∠BCM=∠BDC∴∠EBC=∠BDC=∠BACBC=CD=4又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB∴BC=BE=4设AE=x，易证△ABE∽△DEC∴∴DE=又AE•EC=BE•ED EC=6﹣x∴4×∴x=即要求的AE的长是[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+2y﹣6=0与Γ 的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：（1）设点（x1，y1）为圆上的任意一点，在已知变换下变为T上点（x，y），根据题意，得，即，根据，得，即曲线T的方程为，所以，曲线T的参数方程为（t为参数）．（2）联立方程组，解得或，不妨设点P1（2，0），P2（0，3），则线段的中点坐标为（1，），所求直线的斜率k=，于是所求直线方程为：y﹣=（x﹣1），即4x﹣6y+5=0，将此化为极坐标方程，得到4ρcosθ﹣6ρsinθ+5=0．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．。
2016年河南省重点中学协作体高考数学二模(理)
2016年河南省重点中学协作体高考数学二模（理）一、选择题．在每小题所给的A、B、C及D四个选项中，只有一个选项最符合题意，每小题分值为5分，共60分．1．设复数z=（i为虚数单位），z的共轭复数为，则在复平面内i对应当点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】化简复数为a+bi的形式，即可得到复数i对应当点的坐标．【解答】解：复数z=====﹣1+i，i=1﹣i，在复平面内i对应当点的坐标为（1，﹣1）．故选C．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数对应的点的几何意义，基本知识的考查．2．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列为假命题的是（）A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n B．若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γC．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用空间中线线、线面、面面的位置关系求解．【解答】解：若m⊥α，n∥α，则由直线与平面垂直的性质得m⊥n，故A正确；若α∥β，β∥γ，m⊥α，则平面与平面平行的判定定理和直线与平面垂直的判定定理得m⊥γ，故B正确；若m⊥α，n⊥β，m∥n，则平面与平面平行的判定定理得α∥β，故C正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则loga+loga=（）A．1B．2C．3D．4【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数定义域和值域的关系，判断函数的单调性，结合对数的运算法则进行求解即可．【解答】解：当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a＞1，则当x=0时，y=1，即y==1，即a﹣1=1，则a=2，则loga+loga=loga（•）=log28=3，故选：C．【点评】本题主要考查对数的基本运算以及函数定义域和值域的应用，比较基础．4．下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣1=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2﹣1≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R均有x2+x+1≥0【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】直接写出命题的逆否命题判断A；求解一元二次方程判断B；由复合命题的真假判断方法判断C；写出特称命题的否定判断D．【解答】解：命题“若x2﹣1=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2﹣1≠0”，A正确；由x2﹣3x+2=0，解得：x=1或x=2，∴“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，B正确；当p、q一真一假时，命题p∧q为假命题，C错误；对于命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R均有x2+x+1≥0，正确．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了逆否命题、命题的否定的写法、考查充分必要条件的判定方法，是基础题．5．多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（单位：cm）（）A．28+4B．30+4C．30+4D．28+4【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣AB C．其中平面P AB⊥平面ABC，PB⊥AB，PB=AB=4，D为AB的中点，CD⊥AB，CD=4．即可得出．【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣AB C．其中平面P AB⊥平面ABC，PB⊥AB，PB=AB=4，D为AB的中点，CD⊥AB，CD=4．∴该多面体的表面积S=+++=28+4．故选：A．【点评】本题考查了三棱锥的三视图的表面积、勾股定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．若直线x﹣y=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a的值为（）A．﹣1或B．1或3C．﹣2或6D．0或4【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，由求解．【解答】解：∵圆（x﹣a）2+y2=4∴圆心为：（a，0），半径为：2圆心到直线的距离为：∵解得a=4，或a=0故选D．【点评】本题主要考查直与圆的位置关系及其方程的应用，是常考题型，属中档题．7．数列{an}的前n项和Sn，若Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，则a1的值为（）A．0B．1C．3D．5【考点】数列递推式．【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1（n≥2），可得S2﹣S1=22﹣1=3，又S2=3，代入解出即可得出．【解答】解：∵Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1（n≥2），∴S2﹣S1=22﹣1=3，又S2=3，∴S1=0，则a1=0．故选：A．【点评】本题考查了递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论．【解答】解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y．则所有事件集可表示为0≤x≤5，0≤y≤5．由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x﹣y|≤2．三个不等式联立，则该事件即为x﹣y=2和y﹣x=2在0≤x≤5，0≤y≤5的正方形中围起来的图形即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积52=25，阴影部分的面积25﹣2×（5﹣2）2=16，所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为．故选：C．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决本题的关键，比较基础．9．已知在△ABC中，S为△ABC的面积，若向量满足，则C=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】余弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题．【分析】利用平面向量平行的条件列出关系式，再利用三角形每句话公式表示出S，代入整理后利用余弦定理求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：∵=（4，a2+b2﹣c2），=（，S），且S=absinC，∥，∴4S=2absinC=（a2+b2﹣c2），∵cosC=，∴sinC=cosC，即tanC=，又C为三角形的内角，∴C=60°．故选C【点评】此题考查了余弦定理，平面向量共线（平行）的坐标表示，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．10．函数f（x）=cos的在下列哪个区间上单调递增（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（x+），由2kπ≤x+≤2kπ，k∈Z可解得函数f（x）在[﹣，]区间上单调递增，结合选项即可得解．【解答】解：∵f（x）=cos=sinx+=sin（x+），∴由2kπ≤x+≤2kπ，k∈Z可解得：2kπ﹣≤x≤2kπ，k∈Z∴当k=0时有函数f（x）在[﹣，]区间上单调递增，又⊂[﹣，]．故选：D．【点评】三角函本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．11．已知△ABC外接圆O的半径为1，且•=﹣．∠C=，从圆O内随机取一个点M，若点M取自△ABC内的概率恰为，则△ABC的形状为的形状为（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】根据向量的数量积求得∠AOB=，进而求得AB的长度，利用几何概型的概率公式求出三角形ABC的面积，利用三角形的面积公式即可求出三角形各边的长度即可得到结论．【解答】解：∵•=﹣，圆的半径为1，∴cos∠AOB=﹣又0＜∠AOB＜π，故∠AOB=，又△AOB为等腰三角形，故AB=，从圆O内随机取一个点，取自△ABC内的概率为，即=，∴S，设BC=a，AC=b．∵C=，∴，得ab=3，…①由AB2=a2+b2﹣2abcosC=3，得a2+b2﹣ab=3，a2+b2=6…②联立①②解得a=b=．∴△ABC为等边三角形．故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的应用，以及向量积的计算，利用余弦定理是解决本题的关键，本题综合性较强，有一定的难度．12．（5分）（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的求值．【分析】利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．二．填空题．每小题5分，共25分．13．在△ABC中，AB=3，AC=2，，则=\frac{3}{2}．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用余弦定理计算cosA，再利用向量的数量积公式，即可求得结论．【解答】解：∵△ABC中，AB=3，AC=2，，∴由余弦定理，可得=∴=3×2×=故答案为：【点评】本题考查余弦定理，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，正确运用余弦定理是关键．14．双曲线C：x2﹣y2=a2的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，，则双曲线C的方程为\frac{x^2}{4}﹣\frac{y^2}{4}=1．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=4，即可求得结论．【解答】解：∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴=4．∴抛物线的准线方程为x=﹣4．设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y＞0），则|AB|=|y﹣（﹣y）|=2y=4 ，∴y=2 ．将x=﹣4，y=2 代入双曲线C：x2﹣y2=a2，得（﹣4）2﹣（2 ）2=a2，∴a2=4∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=4，即．故答案为：．【点评】本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．15．已知x，y∈（0，+∞），，则的最小值为3．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由可得x+y=3；化简=•+•=++，从而利用基本不等式求最值．【解答】解：∵，∴x﹣3=﹣y；即x+y=3；故=•+•=++≥+2=+=3；（当且仅当=，即x=1，y=2时，等号成立）故答案为：3．【点评】本题考查了函数的性质的应用及基本不等式的应用，属于中档题．16．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D是AC上一点，E是BC上一点，若AB=BD，CE=EB，∠BDE=120°，CD=3，则BC=\sqrt{39}．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】经E点作EF⊥AC于F点，设AB=x，则由题意可求得BD，AD，AC，BC2，EF，ED，△EDB中，由余弦定理知：x2+4x2﹣2××4x2×（﹣）=BC2=x2+（3+x）2，整理可得：3x2﹣2x﹣3=9，可解得x，从而可求B C．【解答】解：如图，经E点作EF⊥AC于F点，设AB=x，则由题意可得，BD=2x，AD=x，AC=3+x，BC2=x2+（3+x）2，∵△CEF∽△ABC，∴==，即有EF=x，∵∠BDE=120°，AB=BD，∴∠EDF=30°，∴ED=2EF=x，∴△EDB中，由余弦定理知：BE2=DE2+BD2﹣2ED×BD×cos120°=x2+4x2﹣2××4x2×（﹣）=BC2=[x2+（3+x）2]，整理可得：3x2﹣2x﹣3=9，∴可解得：x=或﹣（舍去），∴BC2=x2+（3+x）2=39，可解得：BC=．故答案为：．【点评】本题主要考察了余弦定理的应用，属于基本知识的考查．17．数列{an}的前n项和为Sn，2Sn﹣nan=n（n∈N*），若S20=﹣360，则a2=﹣1．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知得Sn=，从而，解得a1=1，进而，由此得到{an}是等差数列，从而由已知条件利用等差数列的性质能求出a2．【解答】解：∵2Sn﹣nan=n（n∈N*），∴Sn=，∴，解得a1=1，∴，∴{an}是等差数列，∵S20=﹣360，∴S20==﹣360，解得a20+1=﹣36，即a20=﹣37，∴19d=a20﹣a1=﹣38，解得d=﹣2，∴a2=a1+d=1﹣2=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查数列的第二项的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．三、解答题：解答时必须写出必要的过程和文字解释．18．已知函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；正弦定理．【专题】计算题．【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得，f（x）=2cos（x+）+，由可得，cos（θ+）=，结合已知可求θ的值；（2）由（1）知由已知面积可得，从而有由余弦定理得可得a2+b2=再由正弦定理得可求．【解答】解：（1）==．（3分）由得（5分）于是（k∈Z）因为所以（7分）（2）因为C∈（0，π），由（1）知．（9分）因为△ABC的面积为，所以，于是．①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b．由余弦定理得，所以a2+b2=7．②由①②可得或于是．（12分）由正弦定理得，所以．（14分）【点评】（1）考查了二倍角公式的变形形式的应用，辅助角公式可以把函数化为一个角的三角函数，进而可以研究三角函数的性（2）考查了正弦定理及余弦定理及三角形的面积公式的综合运用．19．（8分）（2010•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（1），要证明PC⊥BC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易证明BC⊥平面PCD，从而得证；（2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D、E 到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求；方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥P﹣ACB与三棱锥A﹣PBC体积相等，而三棱锥P ﹣ACB体积易求，三棱锥A﹣PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求．【解答】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥B C．由∠BCD=90°，得CD⊥BC，又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PCD，所以BC⊥平面PC D．因为PC⊂平面PCD，故PC⊥B C．（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．（方法二）等体积法：连接A C．设点A到平面PBC的距离为h．因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1．由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积．因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥D C．又PD=DC=1，所以．由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积．由VA﹣PBC=VP﹣ABC，，得，故点A到平面PBC的距离等于．【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．20．（11分）（2016•河南校级二模）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲58 55 76 92 88乙65 82 87 85 95（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．【考点】离散型随机变量及其分布列；茎叶图；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据表格，十位数作为茎，个位数作为叶，可得茎叶图，通过平均数和方差可得结论；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，然后根据变量对应的事件和等可能事件的概率，写出分布列，算出期望即可．【解答】解：（Ⅰ）茎叶图如图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2．，，，随机变量X的分布列是：X0 1 2P【点评】本题主要考查茎叶图，等可能事件的概率，离散型随机变量的分布列及期望，是一个统计的综合题，但题目运算比较简单，没有易错点，是一个送分题目．21．已知椭圆Γ：（a＞b＞0）过点A（0，2），离心率为，过点A的直线l与椭圆交于另一点M．（I）求椭圆Γ的方程；（II）是否存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆Γ的右焦点F且与直线x﹣2y ﹣2=0相切？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】探究型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由点A（0，2）可得b值，由离心率为可得=，再由a2=b2+c2，联立方程组即可求得a，b值；（II）假设存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x﹣2y ﹣2=0相切，根据以AM为直径的圆C过点F可得∠AFM=90°，求出直线MF方程，联立直线MF方程与椭圆方程可得求得M坐标，利用直线与圆相切的条件d=r分情况验证圆与直线x﹣2y﹣2=0相切即可；【解答】解：（Ⅰ）依题意得，解得，所以所求的椭圆方程为；（Ⅱ）假设存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x﹣2y ﹣2=0相切，因为以AM为直径的圆C过点F，所以∠AFM=90°，即AF⊥AM，又=﹣1，所以直线MF的方程为y=x﹣2，由消去y，得3x2﹣8x=0，解得x=0或x=，所以M（0，﹣2）或M（，），（1）当M为（0，﹣2）时，以AM为直径的圆C为：x2+y2=4，则圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d==≠，所以圆C与直线x﹣2y﹣2=0不相切；（2）当M为（，）时，以AM为直径的圆心C为（），半径为r===，所以圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d==r，所以圆心C与直线x﹣2y﹣2=0相切，此时kAF=，所以直线l的方程为y=﹣+2，即x+2y﹣4=0，综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为x+2y﹣4=0．【点评】本题考直线与圆锥曲线的关系、椭圆方程的求解，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想，解决探究型问题，往往先假设存在，由此推理，若符合题意，则存在，否则不存在．22．已知函数f（x）=﹣x3+ax（a＞0）．（I）当a=1时，求过点P（﹣1，0）且曲线y=f（x）相切的直线方程；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，不等式恒成立，求a的取值集合．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（I）当a=1时，点P在曲线上，即为切点，切线斜率k=f′（﹣1），利用点斜式即可求得切线方程；（Ⅱ）不等式恒成立，等价于恒成立，且恒成立，分别分离出参数a后，转化为函数的最值解决即可；【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=）=﹣x3+x，f（﹣1）=1﹣1=0，即点P在曲线y=f（x）上，f′（x）=﹣3x2+1，切线斜率k=f′（﹣1）=﹣3+1=﹣2，所以与曲线y=f（x）相切的直线方程为：y=﹣2（x+1），即y=﹣2x﹣2；（Ⅱ），即，等价于恒成立，且恒成立，（1）当x=0时，，即0，显然成立，a∈R；当0＜x≤1时，a≥x2﹣+，而x2﹣+在（0，1]上递增，所以当x=1时，x2﹣+取得最大值1，所以a≥1，故恒成立时，a≥1；（2）当x=0时，，即0，显然成立，此时a∈R；当0＜x≤1时，a≤x2+，令h（x）=x2+，则h′（x）=2x﹣=，当0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）递减，当x≤1时，h′（x）＞0，h（x）递增，所以h（x）在（0，1]上的最小值为h（）=+=1，所以a≤1，故恒成立时，a≤1，综上所述，当x∈[0，1]时，不等式恒成立，a的取值集合{1}．【点评】本题考查利用导数求曲线上某点处的切线方程、求函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，恒成立问题往往转化为函数最值解决．选做题：从23题或24题任选一题，所做题目必须与所涂题目一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则每学科按所做的第一题给分．23．如图，圆O的直径为AB且BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、C D．（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC；（Ⅱ）若HE=4，求E D．【考点】弦切角；与圆有关的比例线段．【专题】转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）由BE为圆O的切线，BD为圆O的弦，根据弦切角定理得到一对角相等，再由AD为角平分线得到一对角相等，等量代换及圆周角定理即可得证；（Ⅱ）由AB为圆O的直径，利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再由第一问的结论∠DBE=∠DBH，求出ED的长即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵BE为圆0的切线，BD为圆0的弦，∴根据弦切角定理知∠DBE=∠DAB，由AD为∠DAB=∠DAC的平分线知∠DAB=∠DAC，又∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DAB，∴∠DBE=∠DBC；（Ⅱ）解：∵⊙O的直径AB，∴∠ADB=90°，又由（1）得∠DBE=∠DBH，∵HE=4，∴ED=2．【点评】此题考查了与圆有关的比例线段，圆周角定理，切线的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．24．设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【专题】计算题；压轴题；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）利用，推出关于a的绝对值不等式，结合a为整数直接求a的值．（Ⅱ）利用a的值化简函数f（x），利用绝对值三角不等式求出|x+1|+|x﹣2|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以且，解得，因为a∈N*，所以a的值为1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当（x+1）（x﹣2）≥0，即x≥2或x≤﹣1时取等号，所以函数f（x）的最小值为3．【点评】本题考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，转化与化归思想．。
2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B）A．（2，3]B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）2．（5分）已知（﹣1+3i）（2﹣i）＝4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z 的虚部为（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）已知sin（x+）＝，则cos x+cos（﹣x）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣B．2π﹣C．D．2π﹣25．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544．A．1193B．1359C．2718D．34136．（5分）某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12D．148．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线bx+cy＝0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9．（5分）据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h 的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为（）A．9h B．10h C．11h D．12h10．（5分）已知四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，则在下列命题中，正确的为（）A．OD⊥平面ABCB．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°11．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设直线y＝t与曲线C：y＝x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（1，0），＝（3，4），若λ为实数，（λ+）⊥，则λ的值为．14．（5分）在（x+y）（x+1）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则y的值是．15．（5分）三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，P A＝PC＝AB＝2，AC＝4，∠BAC ＝30°．若三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．16．（5分）已知a n＝，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2b，又sin A，sin C，sin B成等差数列．（Ⅰ）求cos（B+C）的值；（Ⅱ）若，求c的值．18．（12分）某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为y＝试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．参考公式：K2＝19．（12分）已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝PC＝1，AD＝AS＝2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．20．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|＝x0．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）过F的直线l与E相交于A，B两点，AB的垂直平分线l′与E相交于C，D两点，若＝0，求直线l的方程．21．（12分）设函数f（x）＝e x﹣a（x+1）（e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）若f'（0）＝0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x）+，且A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是曲线y＝g （x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，恒有g（x2）﹣g（x1）＞m（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围；（3）求证：1n+3n+…+（2n﹣1）n＜．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△ABC是内接于⊙O，AB＝AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB＝6，BC＝4，求AE．[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．将圆x2+y2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+2y﹣6＝0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|①当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B）A．（2，3]B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+4）＞0，解得：x＜﹣4或x＞2，即B＝（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），∵A＝[﹣2，3]，∴A∪B＝（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞），故选：B．2．（5分）已知（﹣1+3i）（2﹣i）＝4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z 的虚部为（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【解答】解：（﹣1+3i）（2﹣i）＝4+3i，可得＝＝+1﹣3i＝＝2﹣i，z＝2+i，复数的虚部为：1．故选：A．3．（5分）已知sin（x+）＝，则cos x+cos（﹣x）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：cos x+cos（﹣x）＝cos x+cos x+sin x＝cos x+sin x＝sin（x+）＝，故选：B．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣B．2π﹣C．D．2π﹣2【解答】解：由三视图可知该几何体为圆柱挖去一个四棱锥得到的，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面为正方形，边长为，棱锥的高为1，∴几何体的体积V＝π×12×2﹣＝2π﹣．故选：A．5．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544．A．1193B．1359C．2718D．3413【解答】解：正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]＝×（0.9544﹣0.6826）＝0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p＝＝0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359＝1359．故选：B．6．（5分）某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）＝＝，P（B）＝，∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：p（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）＝＝．故选：C．7．（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12D．14【解答】解：法1：作出不等式组对应的平面区域如图由图象知y≤10﹣2x，则xy≤x（10﹣2x）＝2x（5﹣x））≤2（）2＝，当且仅当x＝，y＝5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故xy的最大值为，法2：设z＝xy，则y＝为双曲线，要使z＝xy最大，则z＞0，∵由图象可知当z＝xy与2x+y＝10相切时，z＝xy取得最大值，∴2x+＝10即2x2﹣10x+z＝0，由判别式△＝100﹣8z＝0，得x＝＝，即xy的最大值为，故选：A．8．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线bx+cy＝0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设P（m，n），由题意可得，∴m＝，n＝﹣，代入椭圆+＝1，解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2＝1，可得，4e6+e2﹣1＝0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1＝0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）＝0解得e＝．故选：D．9．（5分）据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h 的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为（）A．9h B．10h C．11h D．12h【解答】解：设码头为A，风暴中心开始位置为B，码头开始受风暴影响时风暴中心为C，码头结束风暴影响时风暴中心为D，则AB＝400，AC＝AD＝300，∠B＝45°，过A作AE⊥BD于E，则AE＝AB sin B＝200，∴CE＝＝100，∴CD＝2CE＝200，∴码头受风暴影响时间为＝10h．故选：B．10．（5分）已知四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，则在下列命题中，正确的为（）A．OD⊥平面ABCB．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°【解答】解：在A中：∵四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，∴＝（﹣），＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，0，1），＝，＝＝0，∴OD⊥AB，OD⊥AC，又AB∩AC＝A，∴OD⊥平面ABC，故A正确；在B中：∵＝（0，1，0），＝（﹣1，0，1），＝（﹣），设平面ACD的法向量＝（x，y，z），∴，取x＝1，得＝（1，﹣5，1），∵＝﹣5≠0，∴直线OB∥平面ACD不成立，故B错误；在C中：∵＝（0，1，0），＝（﹣），∴cos＜＞＝＝＝﹣，∴直线AD与OB所成的角不是45°，故C错误；在D中：＝（0，1，0），＝（1，0，0），＝（﹣），设平面AOB的法向量＝（a，b，c），则，∴＝（0，0，1），设平面AOD的法向量＝（x1，y1，z1），则，取y1＝1，得＝（0，1，﹣1），cos＜＞＝＝＝﹣，∴二面角D﹣OB﹣A为135°，故D错误．故选：A．11．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵∠MF2N＝60°，∴∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得4c2＝16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，∴c＝a，∴e＝＝．故选：B．12．（5分）设直线y＝t与曲线C：y＝x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：令f（x）＝x（x﹣3）2＝x3﹣6x2+9x，f′（x）＝3x2﹣12x+9，令f′（x）＝0得x＝1或x＝3．当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当x＝1时，f（x）取得极大值f（1）＝4，当x＝3时，f（x）取得极小值f（3）＝0．作出函数f（x）的图象如图所示：∵直线y＝t与曲线C：y＝x（x﹣3）2有三个交点，∴0＜t＜4．令g（x）＝x（x﹣3）2﹣t＝x3﹣6x2+9x﹣t，则a，b，c是g（x）的三个实根．∴abc＝t，a+b+c＝6，ab+bc+ac＝9，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝18．由函数图象可知f（x）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，∴c﹣a的值先增大后减小，故c﹣a存在最大值，不存在最小值．故①，②正确，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（1，0），＝（3，4），若λ为实数，（λ+）⊥，则λ的值为．【解答】解：由题意可得λ+＝（1+λ，2λ）∵（λ+）⊥，∴（λ+）•＝0，代入数据可得3（1+λ）+4×2λ＝0，解之可得λ＝﹣故答案为：．14．（5分）在（x+y）（x+1）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则y的值是3．【解答】解：∵（x+y）（x+1）4 ＝（x+y）（x4+4x3+6x2+4x+1）＝x5+4x4+6x3+4x2+x+y•x4+4yx3+6yx2+4yx+y，∴展开式中x的奇数次幂项的系数之和为1+6+1+4y+4y＝32，∴y＝3，故答案为：3．15．（5分）三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，P A＝PC＝AB＝2，AC＝4，∠BAC ＝30°．若三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为18π．【解答】解：∵AB＝2，AC＝4，∠BAC＝30°，∴BC＝＝2，∴三角形ABC的外接圆直径AC＝4，设球心为O，AC的中点为D，球的半径为R，则PD＝2∴R2＝（2﹣R）2+4，则有该三棱锥的外接球的半径R＝，∴该三棱锥的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×（）2＝18π．故答案为：18π．16．（5分）已知a n＝，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51＝5151．【解答】解：∵a n＝，∴，，＝6，，，，，，…∵a n＝，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，∴b51＝a101＝＝5151．故答案为：5151．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2b，又sin A，sin C，sin B成等差数列．（Ⅰ）求cos（B+C）的值；（Ⅱ）若，求c的值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵sin A，sin C，sin B成等差数列，∴sin A+sin B＝2sin C，（1分）由正弦定理得a+b＝2c，（3分）又a＝2b，可得，（4分）]∴，（6分）∵A+B+C＝π，∴B+C＝π﹣A，∴．（8分）（Ⅱ）由，得，（9分）∴，（10分）∴，解得．（12分）18．（12分）某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为y＝试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．参考公式：K2＝【解答】解：（Ⅰ）根据题设中的数据得到如下2×2列联表：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：K2＝≈4.575．∵4.575＞3.841∴由95%的把握认为：“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”（Ⅱ）任选一天，设该天的经济损失为X元，则：P（X＝0）＝P（0≤x≤100）＝P（X＝400）＝P（100＜x≤300）＝，P（X＝2000）＝P（x＞300）＝∴E（X）＝0×+400×+2000×＝560．∴该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望为30×E（X）＝16800元．19．（12分）已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝PC＝1，AD＝AS＝2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）取SD的中点F，连接PF，过F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，连接QC，∵AS⊥面ABCD，∴AS∥FQ，QF为SD的中点，∴Q为AD的中点，FQ＝AS，PC＝AS，∴FQ＝PC，且FQ∥PC，∴CPFQ为平行四边形，∴PF∥CQ，又∵AQ∥∥EC，AQ＝EC，∴四边形AECQ为平行四边形，∴AE∥CQ，又PF∥CQ，∴AE∥PF，∴PF⊂面SPD，AE⊄面SPD，∴AE∥面SPD．解：（2）分别以AB，AD，AS所在的直线为x，y，z轴，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（1，0，0），D（0，2，0），S（0，0，2），P（1，2，1），＝（1，2，﹣1），＝（1，0，﹣2），＝（0，2，﹣2），设面BPS与面SPD的法向量分别为＝（x，y，z），＝（a，b，c），则，即，取z＝2，得＝（4，﹣1，2），，即，取c＝1，得＝（﹣1，1，1），两平面的法向量所成的角的余弦值为：cos＜＞＝＝＝﹣．∵二面角B﹣PS﹣D为钝角，∴该二面角的余弦值为﹣．20．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|＝x0．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）过F的直线l与E相交于A，B两点，AB的垂直平分线l′与E相交于C，D两点，若＝0，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|＝x0．可得x0+＝x0，又16＝2px0，解得p＝2，则E的方程为y2＝4x；（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2＝4x的焦点F（1，0），设l的方程为x＝my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4＝0，显然判别式△＝16m2+16＞0，y1+y2＝4m，y1•y2＝﹣4．可得AB的中点坐标为G（2m2+1，2m），弦长|AB|＝•|y1﹣y2|＝•＝4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，可得直线l′的方程为x＝﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与E相交于C，D两点，把l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）＝0，可得y3+y4＝﹣，y3•y4＝﹣4（2m2+3）．故线段CD的中点H的坐标为（+2m2+3，﹣），即有|CD|＝•|y3﹣y4|＝•＝，由•＝0，故ACBD四点共圆等价于|AH|＝|BH|＝|CD|，即AB2+GH2＝CD2，可得4（m2+1）2 +（2m+）2+（+2）2＝（）2，化简可得m2﹣1＝0，即m＝±1，可得直线l的方程为x﹣y﹣1＝0，或x+y﹣1＝0．21．（12分）设函数f（x）＝e x﹣a（x+1）（e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）若f'（0）＝0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x）+，且A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是曲线y＝g （x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，恒有g（x2）﹣g（x1）＞m（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围；（3）求证：1n+3n+…+（2n﹣1）n＜．【解答】解：（1）∵f（x）＝e x﹣a（x+1），∴f′（x）＝e x﹣a，∵f′（0）＝1﹣a＝0，∴a＝1，∴f′（x）＝e x﹣1，由f′（x）＝e x﹣1＞0，得x＞0；由f′（x）＝e x﹣1＜0，得x＜0，∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）．…（6分）（2）由＞m，（x1＜x2）变形得：g（x2）﹣mx2＞g（x1）﹣mx1，令函数F（x）＝g（x）﹣mx，则F（x）在R上单调递增，∴F′（x）＝g′（x）﹣m≥0，即m≤g′（x）在R上恒成立，，故m≤3．∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．证明：（3）由（1）知e x≥x+1，取（i＝1，3，…，2n﹣1）得，，即，累加得：．∴．…（14分）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△ABC是内接于⊙O，AB＝AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB＝6，BC＝4，求AE．【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD中，∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACD又∠BAE＝∠EDC∵BD∥MN∴∠EDC＝∠DCN∵直线是圆的切线，∴∠DCN＝∠CAD∴∠BAE＝∠CAD∴△ABE≌△ACD（2）解：∵∠EBC＝∠BCM∠BCM＝∠BDC∴∠EBC＝∠BDC＝∠BACBC＝CD＝4又∠BEC＝∠BAC+∠ABE＝∠EBC+∠ABE＝∠ABC＝∠ACB∴BC＝BE＝4设AE＝x，易证△ABE∽△DEC∴∴DE＝又AE•EC＝BE•ED EC＝6﹣x∴4×∴x＝即要求的AE的长是[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．将圆x2+y2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+2y﹣6＝0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【解答】解：（1）设点（x1，y1）为圆上的任意一点，在已知变换下变为T上点（x，y），根据题意，得，即，根据，得，即曲线T的方程为，所以，曲线T的参数方程为（t为参数）．（2）联立方程组，解得或，不妨设点P1（2，0），P2（0，3），则线段的中点坐标为（1，），所求直线的斜率k＝，于是所求直线方程为：y﹣＝（x﹣1），即4x﹣6y+5＝0，将此化为极坐标方程，得到4ρcosθ﹣6ρsinθ+5＝0．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|①当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1＝﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．。
河南省郑州市数学高考二模试卷(理科)
河南省郑州市数学高考二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知复数,则复数z的共轭复数为（）A . 1+iB . -1+iC . 1-iD . -1-i3. （2分）(2017·枣庄模拟) 已知命题“若x＞1，则2x＜3x”，则在它的逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 34. （2分）(2017·枣庄模拟) 已知函数f（x）=sinωx+ cosωx（x∈R），又f（α）=2，f（β）=2，且|α﹣β|的最小值是，则正数ω的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）(2017·枣庄模拟) 已知在平面直角坐标系xOy内的四点A（1，2），B（3，4），C（﹣2，2），D（﹣3，5），则向量在向量方向上的投影为（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·枣庄模拟) 如图是某班甲、乙两位同学在5次阶段性检测中的数学成绩（百分制）的茎叶图，甲、乙两位同学得分的中位数分别为x1 ， x2 ，得分的方差分别为y1 ， y2 ，则下列结论正确的是（）A . x1＜x2 ， y1＜y2B . x1＜x2 ， y1＞y2C . x1＞x2 ， y1＞y2D . x1＞x2 ， y1＜y27. （2分）(2017·枣庄模拟) 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为圆心且与直线mx﹣y﹣2m+1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（）A . x2+y2=5B . x2+y2=3C . x2+y2=9D . x2+y2=78. （2分）(2017·枣庄模拟) 某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A . 7B . 6C . 5D . 49. （2分）(2017·枣庄模拟) 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=f（x﹣2）；当0≤x≤1时，f（x）= ，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f等于（）A . ﹣1B . 0C . 1D . 210. （2分）(2017·枣庄模拟) 若函数y=f（x）的图象上存在不同两点M、N关于原点对称，则称点对[M，N]是函数y=f（x）的一对“和谐点对”（点对[M，N]与[N，M]看作同一对“和谐点对”）．已知函数f（x）=则此函数的“和谐点对”有（）A . 0对B . 1对C . 2对D . 4对二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2016高一下.中山期中) 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，003， (1000)打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法把编号分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0003，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0013，那么抽取的第40个号码________．12. （1分）(2016·中山模拟) 已知m=3 sinxdx，则二项式（a+2b﹣3c）m的展开式中ab2cm﹣3的系数为________．13. （1分）设a= 2cosxdx，则二项式（ax3﹣）6展开式中不含x3项的系数和是________．14. （1分） (2018高三上·西安模拟) 从集合中任选一个元素，则满足的概率为________．15. （1分）(2017·枣庄模拟) 已知min{{a，b}= f（x）=min{|x|，|x+t|}，函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称；若“∀x∈[1，+∞），ex＞2mex”是真命题（这里e是自然对数的底数），则当实数m＞0时，函数g（x）=f（x）﹣m零点的个数为________．三、解答题 (共6题；共60分)16. （10分） (2019高一上·大庆期中)（1）已知，，求的值；（2）已知 =2，求的值.17. （10分） (2020高一下·金华月考) 已知 .（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数在区间上的最大值和相应的x值.18. （10分）(2017·枣庄模拟) 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是等腰梯形，AD∥BC，BC=2AD，O为BD的中点．（1）求证：CD∥平面POA；（2）若PO⊥底面ABCD，CD⊥PB，AD=PO=2，求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．19. （10分）(2017·枣庄模拟) 某公司有A、B、C、D、E五辆汽车，其中A、B两辆汽车的车牌尾号均为1，C、D两辆汽车的车牌尾号均为2，E车的车牌尾号为6．已知在非限行日，每辆车可能出车或不出车，A、B、E三辆汽车每天出车的概率均为，C、D两辆汽车每天出车的概率均为，五辆汽车是否出车相互独立，该公司所在地区汽车限行规定如下：工作日星期一星期二星期三星期四星期五限行车牌尾号0和51和62和73和84和9例如，星期一禁止车牌尾号为0和5的车辆通行．（1）求该公司在星期一至少有2辆汽车出车的概率；（2）设X表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和，求X的分布列及数学期望．20. （10分）(2017·枣庄模拟) 已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，点A到x轴的距离等于|AF|﹣1．（1）求抛物线C的方程；（2）直线AF与C交于另一点B，抛物线C分别在点A，B处的切线交于点P，D为y轴正半轴上一点，直线AD与C交于另一点E，且有|FA|=|FD|，N是线段AE的靠近点A的四等分点．（i）证明点P在△NAB的外接圆上；（ii）△NAB的外接圆周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．21. （10分）(2017·枣庄模拟) 已知函数f（x）=ex﹣ax有极值1，这里e是自然对数的底数．（1）求实数a的值，并确定1是极大值还是极小值；（2）若当x∈[0，+∞）时，f（x）≥mxln（x+1）+1恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共60分)16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、。
2016年河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）答案与解析一、选择题1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1}B．{x|x≥﹣1}C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}解：由x2+x≥0，得x≤﹣1或x≥0，∴A={x|x2+x≥0}={x|x≤﹣1或x≥0}，由5x≥5，得x≥1，∴B={x|5x≥5}={x|x≥1}，∴A∩B={x|x≤﹣1或x≥0}∩{x|x≥1}={x|x≥1}．选C2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．选B3．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1|C．D．y=（2x+2﹣x）解：y=sinx是奇函数，但是，[﹣1，1]上单调增函数．y=﹣|x+1|不是奇函数，对于，因为f（﹣x）==﹣=﹣f（x），所以是奇函数，在[﹣1，1]上单调减函数，y=（2x+2﹣x）是偶函数，[﹣1，1]上单调递增．选C4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好解：对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系，∴命题A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴命题B错误；对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，∴命题C正确；对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，命题D正确．选B5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．6解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，∴由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3，∴顶层有3盏灯，选B6．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．2解：第一次执行循环体后，y=5，不满足输出条件，故x=5，再次执行循环体后，y=11，不满足输出条件，故x=11，再次执行循环体后，y=23，满足输出条件，故输出的y值为23，选A．7．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+解：将x=c代入双曲线的方程=1（a＞0，b＞0）得y=，即M（c，）．在△MF1F2中tan45°==1 即，解得e==+1．选C8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．9解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x≥1，y≥1，要使z=的最大，则x最小，y最大即可，由图象知当z=经过点A时，z取得最大值，由，得x=1，y=3，即A（1，3），则z=的最大值是z==9，选D9．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm3解：根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，直四棱锥底面是一个边长为1.5、4的矩形，高是3，由俯视图得三棱锥的底面是直角三角形，直角边为1、4，由正视图得高即四棱锥的侧棱为3，∴几何体的体积V=+1.5×4×3=20（cm 3）。
河南省郑州市高三数学第二次模拟考试试题 理(扫描版)
河南省郑州市2016届高三数学第二次模拟考试试题理（扫描版）2016年高中毕业年级第二次质量预测数学理科 参考答案一、选择题 BABDC ABDCC CA二、填空题 13.54, 14.3, 15.5, 16.三、解答题17．解：（1）由已知得222sin 2sin A C -=22312cos sin 44C C ⎛⎫-⎪⎝⎭，………2分化简得sin A =，故233A ππ=或．………………………………5分 （2）由正弦定理2sin sin sin b c a B C A===，得2sin ,2sin b B c C ==，…7分 故224sin 2sin 4sin 2sin()3b c B C B B π-=-=--=3sin B B).6π=-B ……………………………9分因为b a ≥，所以233B ππ≤<，662B πππ≤-<，………11分所以2)6b c B π-=-∈． ………12分18.解：(Ⅰ)2乘2列联表………………………………………………2分()()()()2250(311729) 6.27372911329711K ⨯⨯-⨯=≈++++＜6.635…………………4分所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.………………………………………………5分(Ⅱ)所有可能取值有0, 1,2,3, ………………………6分22842251062884(0),1045225C C P C C ζ==⋅=⨯=()211128824422225105104286161041,10451045225C C C C C P C C C C ζ==⨯+⨯=⨯+⨯=()1112282442222251051041661352,10451045225C C C C C P C C C C ζ==⨯+⨯=⨯+⨯=ξ124222510412(3),1045225C C P C C ζ==⋅=⨯=……………………10分所以的分布列是0 1 2 384225104225 35225 2225 所以的期望值是0.2252252255E ζ=+++=………………………12分19.解：(1)在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，1,AD DC CB ===o120,∠=BCD∴ 2.AB =∴2222cos60 3.oBD AB AD AB AD =+-⋅⋅=………………………2分 ∴222,AB AD BD =+∴.AD BD ⊥∵平面BFED ⊥平面,ABCD 平面BFED ⋂平面,ABCD BD =DE ⊂平面BEFD ，,DE DB ⊥ ∴,DE ABCD ⊥平面………………………4分∴,DE AD ⊥又,DE BD D ⋂= ∴.AD BFED ⊥平面………………………6分 (2)由(1)可建立分别以直线,,DA DB DE 为x 轴，y 轴，z 轴的，如图所示的空间直角坐标系，令EP λ= (0≤λ≤3),则()0,0,0,D ()1,0,0,A ()0,3,0,B ()0,,1,P λ∴(1,3,0),AB =-uu u r (0,3,1),BP λ=-u u r………………………8分 设1(,,)n x y z =u r为平面PAB 的一个法向量，由0,0,1⎧=⎪⎨=⎪⎩n AB n BP 1u r uu u r g u r uu r g 得30,(3)0,λ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩x y y z 取1,y =则1(3,1,3),n λ=-u r (10)分∵()20,1,0n =u u r是平面ADE 的一个法向量,∴()()122212cos .313134n n n n θλλ⋅===++-⨯-+u r u u r u r u u r ξP ξξ∵0≤λλcos θ有最大值12. ∴θ的最小值为3π………………………12分 20.解：（1）由题可得：111,82111,63⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩m n m n 解得4, 1.m n ==所以曲线C 方程为1422=+x y . ………………………4分（2）由题得：,142121=+x y ,142222=+x y 02121=+y y x x ………………………6分 原点O 到直线MN 的距离OA OB d AB⋅=== )(329)(31)(32)31)(31(22212221222122212221x x x x x x x x x x +-++-=+---=………………………8分 由02121=+y y x x 得：)41)(41(222122212221x x y y x x --==2221222116)(41x x x x ++-= 所以151)(15422212221-+=x x x xd =5=………………………11分 所以直线MN 恒与定圆5122=+y x 相切。
2016年河南省八市重点高中高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年河南省八市重点高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x|＞﹣1}，集合B＝{x|1＜3x＜9}，则（∁R A）∩B＝（）A．（0，1]B．[1，2）C．（1，2）D．（0，1）2．（5分）实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣i3．（5分）等比数列{a n}中，a2＝9，a5＝243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81B．81C．﹣81D．274．（5分）以下四个命题中①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线＝x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④概率值为零的事件是不可能事件．其中真命题个数是（）A．0B．1C．2D．35．（5分）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若﹣4+3＝0，则＝（）A．3B．4C．5D．66．（5分）由曲线y＝x2﹣2x与直线x+y＝0所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10B．11C．12D．138．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＞S7＞S5，则满足S n＜0的正整数n的最小值为（）A．12B．13C．14D．159．（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．2B．8C．D．10．（5分）设当x＝θ时，函数f（x）＝2cos x﹣3sin x取得最小值，则tanθ等于（）A．B．﹣C．﹣D．11．（5分）已知双曲线﹣＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±3x B．y＝±2x C．y＝±（+1）x D．y＝±（﹣1）x12．（5分）定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xe x]＝0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）＝x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣）B．（0，）C．（﹣，0）D．（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若函数f（x）＝奇函数，则a的值为．14．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值为．15．（5分）4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是．16．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n＝n22n，则数列{a n}的前n项和S n＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin A+sin B＝（cos A+cos B）sin C．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c＝1+，求△ABC面积的最大值．18．（12分）如图，P A⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP ＝2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．19．（12分）某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束．（Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．20．（12分）如图，F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|＝4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足＝2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA1B1B的面积．21．（12分）已知函数f（x）＝1﹣x+lnx（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x2＜x1是否存在实数m，使得﹣﹣x1lnx1+x2lnx2＞0恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{a n}满足＝，且a1＝，数列{a n}的前n项和为S n，试比较2与2n+1的大小并加以证明．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．（Ⅰ）若AB＝6，P A＝4，OP＝3，求⊙O的半径；（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA＝CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l 的极坐标方程为ρcos（+θ）＝6．（Ⅰ）求点P到直线l的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）＝|x+a|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a＝﹣时，解不等式：f（x）≤2a；（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．2016年河南省八市重点高中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x|＞﹣1}，集合B＝{x|1＜3x＜9}，则（∁R A）∩B＝（）A．（0，1]B．[1，2）C．（1，2）D．（0，1）【解答】解：由＞﹣1＝，得0＜x+1＜2，∴﹣1＜x＜1，则A＝{x|＞﹣1}＝（﹣1，1），∴∁R A＝（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），又B＝{x|1＜3x＜9}＝（0，2），∴（∁R A）∩B＝[1，2）．故选：B．2．（5分）实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣i【解答】解：＝＝为实数，∴＝0，解得a＝﹣2．∴实数＝﹣1的共轭复数为﹣1．故选：C．3．（5分）等比数列{a n}中，a2＝9，a5＝243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81B．81C．﹣81D．27【解答】解：设等比数列{a n}的公比q，∵a2＝9，a5＝243，∴243＝9×q3，解得q＝3．又a1•a7＝，∴a1与a7的等比中项为±a4＝±＝±9×32＝±81．故选：A．4．（5分）以下四个命题中①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线＝x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④概率值为零的事件是不可能事件．其中真命题个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为800÷40＝20；故①错误，②线性回归直线＝x+恒过样本点的中心（，）；正确，故②正确，③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（1，2）内取值的概率为0.5﹣0.1＝0.4，则在（2，3）内的概率为在（1，2）内取值的概率为0.4；故③正确，④不可能事件的概率为0，但概率值为零的事件是不可能事件不一定正确．比如在几何概型中，往圆形区域内随机扔石子扔到圆心的概率＝圆心的面积除以圆的面积圆心面积为零，因此扔到圆心的概率P＝0，但是扔到圆心也是可能发生的，不是不可能事件，故④错误，故选：C．5．（5分）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若﹣4+3＝0，则＝（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：＝＝；∴，∴，∴．故选：A．6．（5分）由曲线y＝x2﹣2x与直线x+y＝0所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，曲线y＝x2﹣2x与直线x+y＝0的交点坐标为（0，0），（1，﹣1）∴曲线y＝x2﹣2x与直线x+y＝0所围成的封闭图形的面积为＝（）＝故选：D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10B．11C．12D．13【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S＝++…+的值，∵S＝++…+＝＝1﹣≥⇒n≥11，∴跳出循环体的n值为11+1＝12，∴输出n＝12．故选：C．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＞S7＞S5，则满足S n＜0的正整数n的最小值为（）A．12B．13C．14D．15【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S6＞S7＞S5，∴a7＜0，a6+a7＞0，∴S12＝＝6（a6+a7）＞0，S13＝＝13a7＜0，∴则满足S n＜0的正整数n的最小值为13．故选：B．9．（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．2B．8C．D．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥A﹣CB1D1∴该四面体的体积V＝23﹣＝．故选：C．10．（5分）设当x＝θ时，函数f（x）＝2cos x﹣3sin x取得最小值，则tanθ等于（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：∵当x＝θ时，函数f（x）＝2cos x﹣3sin x＝（cos x﹣sin x）＝﹣（﹣cos x+sin x）＝﹣cos（x﹣θ）（其中，cosθ＝﹣，sinθ＝）取得最小值，则tanθ＝＝﹣，故选：C．11．（5分）已知双曲线﹣＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±3x B．y＝±2x C．y＝±（+1）x D．y＝±（﹣1）x【解答】解：∵过F1作圆x2+y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，∴|BF1|＝2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得∴x＝，y＝∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b＝（+1）a，∴双曲线的渐近线方程为y＝±（+1）x，故选：C．12．（5分）定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xe x]＝0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）＝x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣）B．（0，）C．（﹣，0）D．（）【解答】解：由题意，可知f（x）﹣xe x是定值，不妨令t＝f（x）﹣xe x，则f（x）＝xe x+t，又f（t）＝te t+t＝0，解得t＝0，所以有f（x）＝xe x，所以f′（x）＝（x+1）e x，令F（x）＝f（x）﹣f′（x）﹣x＝xe x﹣（x+1）e x﹣x＝﹣e x﹣x，可得F（﹣1）＝1﹣＞0，F（﹣）＝﹣＜0即F（x）的零点在区间（﹣1，﹣）内∴方程f（x）﹣f′（x）＝x的解所在的区间是（﹣1，﹣），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若函数f（x）＝奇函数，则a的值为﹣2．【解答】解：解1﹣x2＞0得，﹣1＜x＜1；∴|x﹣2|＝2﹣x；∴；∵f（x）为奇函数；∴f（﹣x）＝﹣f（x）；即；∴2+x+a＝﹣（2﹣x+a）；∴2+a＝﹣2﹣a；∴a＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值为．【解答】解：＝1+，做出平面区域如图：有图可知当过点（1，﹣1）的直线经过点C（4，0）时，斜率最小为，∴的最小值为1+＝．故答案为．15．（5分）4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是4+．【解答】解：由题意知，底面放三个球，上再落一个球．于是把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，∴小正四面体的中心到底面的距离是×＝，正四面体的中心到底面的距离是+1，所以可知正四面体的高的最小值为（+1）×4＝4+，故答案为：4+．16．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n＝n22n，则数列{a n}的前n项和S n＝（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．【解答】解：∵a n＝n22n，则数列{a n}的前n项和S n＝2+22×22+32×23+…+n2•2n，∴2S n＝22+22×23+…+（n﹣1）2•2n+n2•2n+1，∴﹣S n＝2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n﹣n2•2n+1，设数列{（2n﹣1）•2n}的前n项和为T n，则T n＝2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，2T n＝22+3×23+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）×2n+1，∴﹣T n＝2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）×2n+1＝﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1＝（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴T n＝（2n﹣3）•2n+1+6，∴﹣S n＝（2n﹣3）•2n+1+6﹣n2•2n+1＝（2n﹣3﹣n2）•2n+1+6，∴S n＝（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．故答案为：（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin A+sin B＝（cos A+cos B）sin C．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c＝1+，求△ABC面积的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，因为sin A+sin B＝（cos A+cos B）sin C，所以由正、余弦定理，得a+b＝c…（2分）化简整理得（a+b）（a2+b2）＝（a+b）c2因为a+b＞0，所以a2+b2＝c2…（4分）故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°…（6分）（Ⅱ）解：因为a+b+c＝1+，a2+b2＝c2，所以1+＝a+b+≥2+＝（2+）•当且仅当a＝b时，上式等号成立，所以≤．…（8分）故S△ABC＝ab≤×≤…（10分）即△ABC面积的最大值为…（12分）18．（12分）如图，P A⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP ＝2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．【解答】解：以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）（Ⅰ）∵AD⊥平面P AB，∴是平面P AB的一个法向量，＝（0，2，0）．∵＝（1，1，﹣2），＝（0，2，﹣2）．设平面PED的法向量为＝（x，y，z），则•＝0，•＝0，即，令y＝1，解得z＝1，x＝1．∴＝（1，1，1）是平面PCD的一个法向量，计算可得cos＜，＞＝＝，∴二面角A﹣PE﹣D的余弦值为；（Ⅱ）∵＝（﹣1，0，2），设＝λ＝（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又＝（0，﹣1，0），则＝+＝（﹣λ，﹣1，2λ），又＝（0，﹣2，2），∴cos＜，＞＝＝，设1+2λ＝t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞＝＝≤，当且仅当t＝，即λ＝时，|cos＜，＞|的最大值为．因为y＝cos x在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值，又∵BP＝＝，∴BQ＝BP＝19．（12分）某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束．（Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为，抓鸡3次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，则抓鸡3次就停止的事件发生的概率为P＝＝…（4分）（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）•＝，P（ξ＝1）＝••＝，P（ξ＝2）＝••＝，P（ξ＝3）＝•+•••+•••＝…（8分）随机变量ξ的分布列为…．（10分）随机变量ξ的均值为E（ξ）＝×0+×1+×2+×3＝…（12分）20．（12分）如图，F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|＝4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足＝2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA1B1B的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|＝4，长轴长为6，∴由题意知2a＝6，2c＝4，∴a＝3，c＝2，∵，∴b2＝5…（2分）∴椭圆方程为…（4分）（Ⅱ）设直线AF1的方程为y＝k（x+2），且交椭圆于A（x1，y1），A1（x2，y2）两点．由题意知，即，△＞0，，①，，②…（6分）∵，∴y1＝﹣2y2③联立①②③消去y1y2，得．∴直线AF1的方程为…（8分）（Ⅲ）∵AA1B1B是平行四边形，∴…（10分）＝∴四边形AA1B1B的面积为．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝1﹣x+lnx（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x2＜x1是否存在实数m，使得﹣﹣x1lnx1+x2lnx2＞0恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{a n}满足＝，且a1＝，数列{a n}的前n项和为S n，试比较2与2n+1的大小并加以证明．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，因此，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∝）上单调递减．所以f（x）max＝f（1）＝0，即函数f（x）的最大值为0；（Ⅱ）若恒成立，则恒成立，设φ（x）＝mx2+xlnx，又0＜x2＜x1，则只需ϕ（x）在（0，+∞）上单调递减，故ϕ′（x）＝2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上成立，得：2m≤，记t（x）＝，则，于是可知t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故[t（x）]min＝t（1）＝﹣1，因此存在m≤，使恒成立；（Ⅲ）由＝＝•+得：＝，又，知，＝，即有a n＝．结论：＞2n+1．证明如下：因为a n∈（0，1），由（1）知x＞0时x﹣1＞lnx，则x＞﹣1时x＞ln（x+1）．所以a n＞ln（a n+1）＝＝ln（2n+1）﹣ln（2n﹣1+1）故S n＝a1+a2+…+a n＞[ln（21+1）﹣ln（20+1）]+[ln（22+1）﹣ln（21+1）]…[ln（2n+1）﹣ln（2n﹣1+1）]＝ln（2n+1）﹣ln（20+1）＝，即＞2n+1．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．（Ⅰ）若AB＝6，P A＝4，OP＝3，求⊙O的半径；（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA＝CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．【解答】解：（Ⅰ）连接OA，设OA＝r取AB中点F，连接OF，则OF⊥AB，∵，∴，∴．…（2分）又OP＝3，Rt△OFP中，OF2＝OP2﹣FP2＝9﹣2＝7，…（4分）Rt△OAF中，，…（6分）∴r＝5证明：（Ⅱ）∵CA＝CB，∴∠CAD＝∠B又∵∠B＝∠E，∴∠CAD＝∠E…（8分）∵∠ACE为公共角，∴△CAD∽△CEA…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l 的极坐标方程为ρcos（+θ）＝6．（Ⅰ）求点P到直线l的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）点的直角坐标为，即．由直线l，得．则l的直角坐标方程为：，点P到l的距离．（Ⅱ）可以判断，直线l与曲线C无公共点，设，则点Q到直线的距离为，∴当时，d max＝9．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）＝|x+a|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a＝﹣时，解不等式：f（x）≤2a；（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝时，不等式化为：，当x≤﹣1时，，得，所以x∈Φ．…（2分）当时，，得，所以成立．…（4分）当时，，得≤0，所以成立．综上，原不等式的解集为…（6分）（Ⅱ）∵|x+a|﹣|x+1|≤|（x+a）﹣（x+1）|＝|a﹣1|，∴f（x）＝|x+a|﹣|x+1|的最大值为|a﹣1|…（8分）由题意知：|a﹣1|≤2a，即﹣2a≤a﹣1≤2a，解得：a≥，所以实数a的最小值为…（10分）。
河南省郑州市2016届高三第二次模拟考试数学理科
河南省郑州市2016届高三第二次模拟考试数学（理科）本试卷分Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{A x y ==，{}1210B x x =-≤-≤，()R A B =（ ） A ．()4,+∞B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,42⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(]1,42．命题“00x ∃≤，使得20x ≥”的否定是（ ） A ．0x ∀≤，20x <B ．0x ∀≤，20x >C ．00x ∃>，20x ≥D ．00x ∃<，20x ≤ 3．定义运算,,a b ad bc c d=-，则符合条件,10,2z i i i+=-的复数z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．执行如图所示的程序框图，输出的T =（ ）A ．29B ．44C ．52D ．625．曲线()33f x x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-，则P 点的坐标为（ ） A ．()1,3B ．()1,3-C ．()1,3和()1,3-D ．()1,3-6．经过点()2,1，且渐近线与圆()2221x y +-=相切的双曲线的标准方程为（ ）A ．22111113x y -=B ．2212x y -=C ．22111113y x -=D ．221111113y x -= 7．将函数()sin 22f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ）A ．最大值为1，故选关于2x π=对称B ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，为奇函数C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称8．设数列{}n a 满足：11a =，23a =，且()()11211n n n na n a n a -+=-++，则20a 的值是（ ）A ．145B ．245C ．345D ．4459．如图是正三棱锥V ABC -的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．710．已知定义在R 上的奇函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，当10x -≤<时，()()12log f x x =--，则方程()102f x -=在()0,6内的零点之和为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．1611．对α∀∈R ，[]0,2n ∈，向量()23cos ,3sin n n αα=+-c 的长度不超过6的概率为（ ） A．10B．10C．10D．512．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，向量m满足2=m ，且,cos 22B C B C +-⎫=⎪⎭m ，若A 最大时，动点P 使得PA 、BC 、PC 成等差数列，则PA BC的最大值是（ ）A．3B．3C ．4D ．4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第24题为 选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知{}n a 为等差数列，公差为1，且5a 是3a 与11a 的等比中项，n S 是{}n a 的前n 项和，则12S 的值为 。
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2016年河南省郑州市高三第二次模拟考试理科数学试卷满分:班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________一、单选题（共12小题）1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．命题“，使得”的否定是（）A．B．C．，D．，3．定义运算，则符合条件的复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．B．C．D．5．曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A．B．C．和D．6．经过点，且渐近线与圆相切的双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．7．将函数的图象向右平移个单位后得到函数，则具有性质（）A．最大值为，图象关于直线对称B．在上单调递减，为奇函数C．在上单调递增，为偶函数D．周期为，图象关于点对称8．设数列满足，且，则的值是（）A．B．C．D．9．如图是正三棱锥的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是（）A．B．C．D．10．已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则方程在内的零点之和为（）A ．B．C．D．11．对，向量的长度不超过的概率为（）A．B．C．D．12．已知为的三个内角，向量满足，且，若最大时，动点使得、、成等差数列，则的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13.已知为等差数列，公差为，且是与的等比中项，是的前项和，则的值为_____．14.已知正数满足，则的最小值是_______．15.已知满足，若目标函数的最大值为，则的最小值为______．16.在正三棱锥内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为，则正三棱锥的体积最小时，其高等于______．三、解答题（共8小题）17.在中，角所对的边分别为，且满足．（1）求角的值；（2）若且，求的取值范围．18.为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了人，他们年龄大点频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的把握认为以岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在的的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的人不支持“生育二胎”人数为，求随机变量的分布列及数学期望．参考数据：19.如图，在梯形中，，，，四边形为梯形，平面平面，．（1）求证：平面；（2）求点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的最小值．20.已知曲线的方程是，且曲线过点两点，为坐标原点．（1）求曲线的方程；（2）设是曲线上两点，且，求证：直线恒与一个定圆相切．21.已知函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）若，则当时，函数的图像是否总在直线上方？请写出判断过程．22.如图，正方形边长为，以为圆心，为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点．（1）求证：为的中点；（2）求的值．23.平面直角坐标系中，曲线．直线经过点，且倾斜角为．以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）写出曲线的极坐标方程与直线的参数方程；（2）若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值．24.已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围．答案部分1.考点：集合的运算试题解析：所以。
答案：B2.考点：全称量词与存在性量词试题解析：因为特称命题的否定为全称命题，所以命题“，使得”的否定是：。
答案：A3.考点：复数乘除和乘方试题解析：由题知：所以所以所以对应点为（），位于第二象限。
答案：B4.考点：算法和程序框图试题解析：i=2015,s=2016,是，i=2014,s=2017;是，i=2013,s=2016;是，i=2012,s=2017; 是，i=2011,s=2016;是，…………根据规律可知：i为偶数时，s=2017,i为奇数时，s=2016．由题知，i=0时输出，所以输出的s值为2017．答案：D5.考点：导数的概念和几何意义试题解析：代入原函数知：点的坐标为和。
答案：C6.考点：双曲线试题解析：因为渐近线过原点，所以设又与圆相切，所以即渐近线为：所以排除B、C；又因为双曲线过点，所以双曲线的标准方程为：。
答案：A7.考点：三角函数图像变换试题解析：由题知：对A：最大值为1，图像关于直线对称，故A错；对B：时，2，所以单调递增，且为偶函数，故B正确；对C：因为函数为奇函数，故C错；对D：因为故图象关于点不对称，故D错误。
答案：B8.考点：数列的递推关系试题解析：由题知：故所以答案：D9.考点：空间几何体的三视图与直观图试题解析：由题知：正三棱锥的底面等边三角形的边长为正视图中的AB=过作则AH=2，所以所以侧视图的面积是：答案：C10.考点：函数图象零点与方程试题解析：因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x);所以当时，，得到：时，所以令得:又的图象关于直线对称，所以所以所以函数的周期为4。
所以令，得：故方程在内的零点之和为：12．答案：C11.考点：平面向量坐标运算试题解析：即即所以。
答案：C12.考点：椭圆两角和与差的三角函数平面向量坐标运算试题解析：由条件知：所以即，即所以当且仅当时，A最大为设BC=2c，因为、、成等差数列，所以PB+PC=4c=2a，所以P的轨迹为，以B、C为焦点的椭圆，椭圆方程为：由题知：A（），设P，时，PA最大，为。
所以的最大值是。
答案：A13.考点：等差数列试题解析：由题知：解得：所以答案：14.考点：均值定理的应用试题解析：因为，所以所以当且仅当时，等号成立。
即的最小值是3．答案：315.考点：线性规划试题解析：作可行域：A(2，4-m)，B（），C（2,2）。
由图知：目标函数线在点B处取得最大值，为答案：516.考点：利用导数求最值和极值柱，锥，台，球的结构特征试题解析：根据题意：设三棱锥的高PO=x，底面的AB边上的高CD=3OD=3y，设半球与平面PAB切于点E，所以所以三棱锥的体积为：对体积函数求导，得：令V’=0，得：唯一正解。
由该体积函数的几何意义知：是体积函数的极小值点，故正三棱锥的体积最小时，其高等于答案：17.考点：正弦定理恒等变换综合试题解析：（1）由已知得，化简得，故．（2）由正弦定理，得，故因为，所以，，所以．答案：见解析18.考点：随机变量的期望与方差随机变量的分布列统计案例试题解析： (Ⅰ)2乘2列联表＜所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异． (Ⅱ)所有可能取值有0,1,2,3,所以的分布列是所以的期望值是答案：见解析19.考点：空间的角利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题垂直试题解析： (1)在梯形中，∵∥，∴∴∴∴∵平面平面平面平面，∴∴又∴(2)由(1)可建立分别以直线为轴，轴，轴的，如图所示的空间直角坐标系，令 (≤≤),则∴设为平面的一个法向量，由得取则∵是平面的一个法向量,∴∵≤≤,∴当=时，有最大值．∴的最小值为答案：见解析20.考点：圆锥曲线综合椭圆试题解析：（1）由题可得：解得所以曲线方程为．（2）由题得：原点到直线的距离由得：所以=所以直线恒与定圆相切。
答案：见解析21.考点：导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性试题解析：（1）函数定义域为①②③综上所述，①②③（2）当时，由（1）知令．①当时，，所以函数图象在图象上方．②当时，函数单调递减，所以其最小值为，大值为，所以下面判断与的大小，即判断与的大小，其中，令，，令，则因所以，单调递增；所以，故存在使得所以在上单调递减，在单调递增所以所以时，即也即所以函数f(x)的图象总在直线上方．答案：见解析22.考点：圆相似三角形试题解析：（Ⅰ）由题可知是以为圆心，为半径作圆，而为正方形，∴为圆的切线依据切割线定理得∵圆以为直径，∴是圆的切线，同样依据切割线定理得故∴为的中点．（Ⅱ）连结，∵为圆的直径，∴由得又在中，由射影定理得答案：见解析23.考点：参数和普通方程互化简单曲线的极坐标方程试题解析： (1)即,．(2),答案：见解析24.考点：绝对值不等式试题解析：（1）当时，即，①当时，得，所以；②当时，得，即，所以；③当时，得，成立，所以．故不等式的解集为．（Ⅱ）因为＝由题意得，则，解得,故的取值范围是．答案：见解析。