四川省2013年初中数学联赛(初二组)决赛试卷(含解析)
2013-2014学年第二学期八年级竞赛数学试卷(含答案)人教新课标
ADCB2013学年第二学期八年级竞赛数学试卷学号___________ 姓名____________ 得分___________一、 细心选一选（每题3分，共36分） 1.下列计算正确的是（ ） A.B.C.D.2.要使二次根式有意义,则x 的取值范围是（ ）A ．x B.x C. D.x3.一位卖运动鞋的经销商到一所学校对200名学生的鞋号进行了抽样调查,经销商最感兴趣的是这组鞋号的（ ）A ．中位数 B.平均数 C.众数 D.方差 4.如果一个多边形的内角和为1800°则这是个（ ）边形A ．9 B.10 C.11 D.125.下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（ ） A ．5 B.4 C.2 D.86.若代数式x 2+5x +6与－x +1的值相等，则x 的值为（ ） **=－1，x2=－5B.x1=－6，x2=1**=－2，x2=－3D.x=－17.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）8.如果等边三角形的边长为6，那么连接各边中点所成的三角形的周长为（ ） ** B.9 C.12 D.18 9.用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）**－2x －99=0化为(x －1)2=100 B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25 **－7t －4=0化为 D.3y2－4y －2=0化为10.平行四边形的对角线分别为a和b ,一边长为12，则a和b的值可能是下面各组的数据中的（）A．8和4 B．10和14 C．18和20 D．10和3811. 如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（）A．70 B. 110 C. 140 D. 15012．设min{,}x y表示x,y两个数中的最小值，例如min{0,2}=0 ，min{12,8}8=，则关于函数min{2,2}y x x=+可表示为（）A．2(2)2(2)x xyx x<⎧=⎨+≥⎩B.2(2)2(2)x xyx x+<⎧=⎨≥⎩C.2y x= D.2y x=+二、填空题（每题3分，共24分）13.在直角坐标系中，点A(2，－3)关于原点对称的点的坐标是__________,关于x轴对称的点的坐标是_____________.14.已知x=－1是关于x的方程的一个根，则a=_____________15. 一组正整数2,3,4,x从小到大排列，已知这组数据的中位数和平均数相等，那么x的值是______________16.用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，应假设__________________________________17.函数与y=x－2图象的交点的横坐标分别为a，b，则的值为______18. 如图，▱ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为______________第18题图19题图第20题图19. 学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星，若想得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是36°），则在图③中应沿什么角度剪即∠ABC的度数为_____________20．如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A =60°．顺次连结菱形ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去…．则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是________;四边形A 2012B 2012C 2012D 2012的周长是________ 三、 解答题（共60分） 21.（8分）化简计算：(1)1691214⨯⨯ （2）182)12)(12(12⨯+-++22.（8分）解方程（1）x 2＋3x ＋1＝0 （2）（x －2）（x －5）=－223.（8分）已知：如图，在正方形ABCD 中，AE ⊥BF ，垂足为P ，AE 与CD 交于点E ，•BF •与AD 交于点F ，求证：AE =BF ．24.（8分）某校为了解学生“体育大课间”的锻炼效果，中考体育测试结束后，随机从学校720名考生中抽取部分学生的体育测试成绩绘制了条形统计图．试根据统计图提供的信息，回答下列问题：（1）共抽取了_____________名学生的体育测试成绩进行统计；（2）随机抽取的这部分学生中男生体育成绩的平均数是______，众数是______，女生体育成绩的中位数是___________（3）若将不低于27分的成绩评为优秀，估计这720名考生中，成绩为优秀的学生大约是多少？25.(8分)某百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六·一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1050元，那么每件童装应降价多少元？26.（8分） 如图，病人按规定的剂量服用某药物，测得服药后2小时，每毫升血液中含药量达到最大值为4毫克．已知服药后，2小时前每毫升血液中含药量y （毫克）与时间x （小时）成正比例；2小时后y 与x 成反比例．（1）当0≤x ≤2时；x ＞2时，分别求y 与x 的函数关系式？（2）如果每毫升血液中含药量不低于2毫克时治疗有效，则那么服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？27. （12分）将正方形ABCD 绕中心O 顺时针旋转角α得到正方形1111D C B A ，如图1所示. （1）当α=45o时(如图2)，若线段OA 与边11D A 的交点为E ，线段1OA 与AB 的交点为F ，可得下列结论成立 ①EOP ∆≌FOP ∆②1PA PA =，试选择一个证明.（2）当o o 900<<α时,第（1）小题中的结论1PA PA =还成立吗?如果成立，请证明;如果不成立，请说明理由.（3）在旋转过程中，记正方形1111D C B A 与AB 边相交于P ,Q 两点，探究POQ ∠的度数是否发生变化？如果变化，请描述它与α之间的关系;如果不变，请直接写出POQ ∠的度数.答题卷一．选择题 (本大题共12小题, 每小题3分, 共36分）APBQ1B C1C D1DO图1DC1B BPFEOA1C1D图21A 1A二．填空题（本大题有8小题, 每小题3分, 共24分）13. 、 14. . 15. . 16. . 17. . 18. . 19. . 20. . 三、解答题（共8道小题，共50分） 21、（本题满分6分）化简计算：(1)1691214⨯⨯ （2）182)12)(12(12⨯+-++22、（本题满分6分）解方程（1）x 2＋3x ＋1＝0 （2）（x －2）（x －5）=－2 23.(8分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案24.（8分）（1）共抽取了_____________名学生的体育测试成绩进行统计；（2）随机抽取的这部分学生中男生体育成绩的平均数是______，众数是______；女生体育成绩的中位数是___________（3）若将不低于27分的成绩评为优秀，估计这720名考生中，成绩为优秀的学生大约是多少？25.（8分）26.（8分）27.（12分）APBQ1B C1C D1DO图1DC1B BP FEOA 1C1D图21A 1A参考答案一．选择题 (本大题共12小题, 每小题3分, 共36分） 二．填空题（本大题有8小题, 每小题3分, 共24分）13. (－2，3) 、 (2，3) 14. －2或1 . 15. 5 . 16. 三个内角都小于60° . 17. －2 . 18. 3 . 19. 126°. 20. 20 、21.（1）286 （2）7+22.（1） (2)x =3,或x =423.解：在(ASA ) AE =BF24.(1)80 (2) 26.4 27 27 (3)25.解：设每件童装应降价X 元，则26 (1) .(2)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DACDCACBBCDA1A B1B C1CD1DOEFPQA 治疗疾病的有效时间是4小时。
2013年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷
2013年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷（考试时间：2013年3月8日下午4：00—6：00）班级：: 姓名： 成绩：一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、()︒---+1|3|4π的值是（ ）A 、4B 、5C 、8D 、9 2、若()()222-+=+-bx x a x x ，则=+b a （ ）A 、1-B 、0C 、1D 、23、如图，已知在ABC ∆中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，且AB OM //，AC ON //，若6=CB ，则OMN ∆的周长是（ ）A 、3B 、6C 、9D 、12 4、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧++≥+23131221x x x x 的解是（ ） A 、16≤-x B 、16 x - C 、16 x ≤- D 、16≤≤-x5、非负整数x ，y 满足1622=-y x ，则y 的全部可取值之和是（ ） A 、9 B 、5 C 、4 D 、36、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，M 点为CD 边上的中点，若M 点是A 点关于线段EF 的对称点，则EDAE等于（ ） A 、35 B 、53 C 、2 D 、21二、填空题（本题满分28分，每小题7分）MNO ACBFE M GDA CB1、已知0|3|22=++-+-y x x ，则_________22=+y x .2、已知31=+x x ，则_____________132=++x x x. 3、设⎩⎨⎧=++=++36542332z y x z y x ，则___________23=+-z y x .4、如图，在ABC ∆中，BC AC =，且︒=∠90ACB ，点D 是AC 上一点，BD AE ⊥，交BD 的延长线于点E ，且BD AE 21=，则_________=∠ABD . 三、（本大题满分20分）先化简后，再求值：244412222+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+-a a a a a a a a ，其中12-=a .四、(本大题满分25分)如图，已知直角梯形OABC的A点在x轴上，C点在y轴上，6=OB=OA，ABOC，10=PQ//交AC于D点，且︒ODQ，求D点的坐标。
2013年全国初中数学竞赛试题(附详细答案)
2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++．2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b a c x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC（第3题）【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC=，·DC DO DE OC =都是有理数，而AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC．连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）．（A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．（第3题答题）（第4题答题）（第4题）二、填空题6．设a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故222b a =-=，因此33(2)9b +==． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413． 8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．（第7题答题）（第7题）9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-． 若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+， 所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y=23ax bx+-，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113y x=-+与y轴交于点D．求∠DBC-∠CBE．【解答】将0x=分别代入y=113x-+，23y ax bx=+-知，D(0，1)，C(0，3-)，所以B(3，0)，A(1-，0)．直线y=113x-+过点B．将点C(0，3-)的坐标代入y=(1)(3)a x x+-，得1a=．抛物线223y x x=--的顶点为E(1，4-)．于是由勾股定理得BC＝CE BE＝因为BC2＋CE2＝BE2，所以，△BCE为直角三角形，90BCE∠=︒．因此tan CBE∠=CECB=13．又tan∠DBO=13ODOB=，则∠DBO＝CBE∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC∠-∠=∠-∠=∠=︒．（第11题答题）（第11题）12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。
全国数学联赛初中数学试题及答案
2013年全国初中数学竞赛试题班级 姓名 成绩 供稿人：李锦扬一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）12．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--=（D ）2222(2)0c x b ac x a ---=3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8（第3题）（第4题）5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****L 的值为（ ）．（A ）607967（B ）1821967（C ）5463967 （D ）16389967二、填空题6．设33a =，b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ．7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．（第7题）三、解答题11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ． 求∠DBC -∠CBE ．12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．（第11题）13．设a ，b ，c 是素数，记x b c a y c a b z a b c =+-=+-=+-，，，当2,2z y ==时，a ，b ，c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论．14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．2013全国数学联赛试题参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）．（A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b acx x x x c+--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）． （A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数． 由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC=都是有（第3题）理数，而AC ＝·AD AB 不一定是有理数． 4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6（D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6． 5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****L 的值为（ ）．（A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=L ，则()20132012433m ****=*L 32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*L 3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题 6．设33a =，b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ．【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故32292b a =-=-，因此333(2)(9)9b +==． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，（第4题答题）（第4题）解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=．若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ． 求∠DBC -∠CBE ．【解答】将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ． 将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．…………5分抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC ＝32，CE ＝2，BE ＝25．因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．…………10分 因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠． …………15分所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形． 因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．…………5分（第11题答题）（第11题）△ABC 为钝角三（ii ）若角形．90A ∠>︒时，因为当()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。
2013全国初中数学联赛四川决赛
2013年全国初中数学联赛决赛试卷一、选择题：1.若反比例函数y=kx的图像与直线y=4x−1的一个交点P的横坐标为1，则K=（）A、-3B、-1C、1D、32、方程x2−2012x+2013=0的所有实数之和是（）A、-2012B、0C、2012D、20133、已知正方形ABCD的边长为1，E、F分别为BC、CD上的点，且满足BE=CF，则△AEF面积的最小值是（）A、√28B、√38C、14D、384、已知实数a、b满足a−1+√（a−2)(b−2）2+b2+1=a，则a b的值为（）A、14B、12C、1D、25在四边形ABCD中，AB=BC=1，∠ABC=100°, ∠CDA=130°，则BD 的长为（）A、√22B、1C、√2D、√36、对于平面直角坐标系中的任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d(P1，P2)．若P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的一动点，我们把d(P0，Q)的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．则点M(1，1)到直线y=2x+5的直角距离是（）A、3B、72C、4 D、92二、填空题：1、若x是整数,且满足不等式组x−1>02x−1<4，则x=.2、已知D,E分别是等边△ABC的两边AB,AC上的点,且AD=CE,BE与CD交于点F,求∠BFC=.3、设实数x,y,z满足x2+y2+z2-xy-yz-zx=27,则|y-z|的最大值是.4、已知x1,x2,x3.....x14,x15取值为1或者-1,记S=x1x2+x2x3+...+x14x15+x15x1则S能取到的最小正整数是.三、解答题：1、抛物线y=x2+2x+m与x轴相交于点A(x1,0)、B(x2,0)两点,其中x1>x2,且x12+x22=10。
（1）求实数m的值；（2）设M(2,y0)为抛物线y=x2+2x+m上的一点，在抛物线的对称轴上找一点P,使得PA+PM的值最小，并求出P的坐标。
2013年四川初中数学联赛(初二组)决赛试卷及其解析
20XX年四川初中数学联赛（初二组）决赛试卷及其解析（考试时间：20XX年3月24日上午8:45—11:15）题号——一——二三四五合计得分评卷人复核人一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）1、设1Wx兰3，则|x-1-X-3的最大值与最小值的和（）（A）0 （B）1 （C） 2 （D）3解析：由条件1兰x兰3，可得x —1 — x —3 = 2x —4，当x = 1，得最小值-2,当x = 3，得最大值2,故选A1 12、设x = -..5，y是不超过x的最大整数，求---- =（）x —y(A)5-2 (B) 、、5 2 (C) . 5-1 (D) 15 1解析：易得y =2，代入代数式经分母有理化得 5 2，故选B.3、如图，已知在四边形ABCD 中，/ ACB=Z BAD=105，/ ABC" ADC=45，则/ CAD=（）（A）65°（B）70°（C）75°（D）80°解析：此题由三角形内角和及角的构成容易得，答案为 C.4、由1、2、4分别各用一次，组成一个三位数，这样的三位数中是的倍数的三位数共有（）（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D） 4 个解析：是4的倍数必然个位数不能是1,再将124、142、214、412试除以4,便可得答案为是（）(A) -丄 1(B)丄5(C)(D)711 11 7 5丄x = 7z - 3 3 7解析：由方程组解出'■ ，由x, y非负实数，可解得亠丄，y = 7 T1z 7 11丁s =3x • y -7z =3(7z -3) 7 -11z-7z =3z-2，取z 二—代入即可求得，答案为 A B5、已知：'3x + 2v + z = 5x,y,z为三个非负实数，且满足，设s = 3x，y-7z，则s的最大值2x+ y_3z =1B.116、如图，/DAP=Z PBC M CDP=90，AP=PB=4 AD=3 贝U BC 的长是( 3241 41 (A ) 32(B ) 16(C ) 士(D )332解析：延长DP 交CB 延长线于点E ,如图，由三角形全等可证 PE=DP,AD=BE ，由勾股定理可求 DP=5，故DE=10，再由EP50 5041，求得 EC= ，BC=EC-EB= -3= ，答案 C EC 3且 xy • 2x • y =13，则x • y 的最小值是解析：丁 x, y 为两个不同的非负整数，0空2x =13，故x 取o 〜6的整数，代入再求符合条件的x=0 x=2 x=4符合条件的整数解只有222 三组，故X + y 的最小值为5.y =13\y =3'l y =14、如图，已知ABCD 为正方形，△ AEP 为等腰直角三角形，/ EAP=90°，且D 、P 、E 点共线，若 EA=AP=1，PB= '-5，贝U DP= _________解析：连结 BE ，易证△ AEB ^^ APD ，故 PD=EB ，/ APD = Z AEB •/△ AEP 为等腰直角三角形，/ EAP=90°/•Z AEP=/ APE=45 /-Z APD=13 5° 故/ AEB=35°/•Z PEB=/ AEB-Z AEP=35° -45 ° =90°(B) 16 EB△ EBQ A EDC ，可得一ED B ___ 、填空题(本大题满分28分，每小题7分)3^_36x U a1、关于x 的不等式组3 6x a的解是1沁乞3，1x ^1则a 的值是3 - a _3 - a解析：解不等式组得1<x，故33, a - -1232、如果p 与8p 2 1都是质数，则解析：考虑到是初二竞赛，试值可求得P=33、设x, y 为两个不同的非负整数,B可求PE= 2 ，三、(本大题满分20分) 设实数k 满足0 :：: k <1，解关于x 的分式方程 空X —1 x - x xk二 x =1 -k1当k 时，x =1为增根，原方程无解21k 当0 ：：： k ：：： 1且k 时，原方程的解是x 二21 -k四、(本大题满分25分)已知一次函数y=kx ・b(k=0)的图像与x 轴的正半轴交于E 点，与y 轴的正半轴交于F 点, 与一次函数y=2x-1的图像相交于A (m,2)，且A 点为EF 的中点. (1) 求一次函数y 二kx ・b 的表达式；(2) 若一次函数y =2x-1的图像与x 轴相交于P 点，求三角形APE 的面积3 3解析：T 函数y=2x —1过点A (m,2)/. m=- A 点坐标(一 2) ..................................... 5分2 2’3•/ A (—,2)点为 EF 的中点./• E (3,0 ) F (0,4 )....................... 10 分2k 2kx x -11 (x -1)x x2 _x (k 1)(x-1) x(x-1)二 2kx -1=(k 1)(x_1) ••• (k -1)x--k ，又 丁 0 . k ::: 110分 15分20分、， 4一次函数解析式为y x 4 ............................................. 15分3T一次函数y =2x-1的图像与x轴相交于P点，1「•P(—,0) ............................... 20 分25如图：所以PE= ，PE边上的高为2，25 1 5...S 2 ................................... 25 分2 2 2五、（本大题满分25分）如图，已知AB=AC, / BAC K CDE=90 , DC=DE , F是BE的中点，求证：FA=FC fi FA!FD 解析：连结AF、DF,并延长AF至G使FG=AF,连结DG EGBF =EFI「/AFB —GFEFG =FAAFE^A GFE/• AB=GE,/ B=Z FEG ................................ 5 分•/ ABED为四边形，且/ BAC K CDE=90 ,/•Z B+K FED+K CAD K CDA=180 ,又vZ C+Z CAD K CDA=180Z C=Z B+Z FED=Z FEG+Z FED=Z GED................. 10 分又因为GE=AB=AC,CD=ED•/ △ACD^A GED .................................................. 15 分•/ AD=GD Z ADC=Z GDE而AF=GF•/ AF! DF ................................................ 20 分又vZ GDE Z GDC Z CDE=90Z ADC Z GDC=90 即Z ADG=90•/ DF=AF .................................................. 25 分。
初二数学联赛决赛试卷带答案
2013年初二数学联赛决赛试卷（带答案）2013年四川初中数学联赛（初二组）决赛试卷及其解析（考试时间：2013年3月24日上午8:45—11:15）题号一二三四五合计一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）1、设，则的最大值与最小值的和（）（A）0（B）1（C）2（D）3解析：由条件，可得，当，得最小值-2，当，得最大值2，故选A2、设，是不超过的最大整数，求=（）（A）（B）（C）（D）解析：易得，代入代数式经分母有理化得，故选B.3、如图，已知在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°，则∠CAD=（）（A）65°（B）70°（C）75°（D）80°解析：此题由三角形内角和及角的构成容易得，答案为C.4、由1、2、4分别各用一次，组成一个三位数，这样的三位数中是4的倍数的三位数共有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个解析：是4的倍数必然个位数不能是1，再将124、142、214、412试除以4，便可得答案为B.5、已知：为三个非负实数，且满足，设，则的最大值是（）（A）（B）（C）（D）解析：由方程组解出，由非负实数，可解得，∵，取代入即可求得，答案为A6、如图，∠DAP=∠PBC=∠CDP=90°，AP=PB=4，AD=3，则BC的长是（）（A）（B）16（C）（D）解析：延长DP交CB延长线于点E，如图，由三角形全等可证PE=DP,AD=BE，由勾股定理可求DP=5，故DE=10，再由△EBP∽△EDC，可得,求得EC=，BC=EC-EB=-3=，答案C二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、关于的不等式组的解是，则的值是解析：解不等式组得，故2、如果都是质数，则解析：考虑到是初二竞赛，试值可求得P=33、设为两个不同的非负整数，且，则的最小值是解析：∵为两个不同的非负整数，∴，故取0~6的整数，代入再求符合条件的，符合条件的整数解只有三组，故的最小值为5.4、如图，已知ABCD为正方形，△AEP为等腰直角三角形，∠EAP=90°，且D、P、E三点共线，若EA=AP=1，PB=，则DP=解析：连结BE，易证△AEB≌△APD，故PD=EB，∠APD=∠AEB。
对一道2013年全国初中数学竞赛题的剖析
Ｆ 分别是 ｃ ， 肋 的中点． 求证： Ｅ Ｆ ＞ ÷（ ｃ Ｄ一
二
因为 Ａ Ｃ：Ｂ Ｄ， 所以
。
ＰＭ ＝ ＰＮ ．
Ａ Ｊ Ｂ ） ．
丽
／Ｐ ＭＮ ＝／ＰＮ Ｍ。
证 明 取 Ａ Ｄ 中点 Ｇ， 联结Ｅ Ｇ， Ｆ Ｇ ．已知 Ｅ 是
故
／ ＿ Ａ Ｅ Ｍ＝ Ｎ Ｆ Ｂ ．
同理 ， 由 Ｆ， Ｇ分别 是 肋 和 Ａ Ｄ 的 中点得
１
Ｆ Ｇ＝
二
Ｂ ．
（ ２ ）
Ｇ Ａ ＃Ｍｃ ， 由 是／ Ｘ Ｂ Ｃ Ｇ的中位线知 Ｇ Ｂ ／ ／ Ｅ Ｆ ． 证法 ３ 如 图７ ， 延长 Ｃ Ｅ至 点 Ｇ， 使 Ｃ Ｅ＝Ｇ Ｅ，
联结 Ｇ Ａ ， Ｇ Ｂ ． 由 Ｅ是 Ａ Ｄ 的 中点 ， 知
分析 ２ 由证 法 １联 结 Ｂ Ｄ， 取 肋 的 中点 Ｇ ，
Ｇ Ｂ ＃Ｍ Ｆ ，
从而 Ｇ Ｂ Ａ＝／Ｂ Ｎ Ｆ＝ Ｂ Ｇ Ａ ．
Ｇ Ａ＝ Ｆ Ｃ ＝ ／Ｇ ＝ ／ＢＮＦ．
则 可得 到菱形 ．
证法 ２ 如图 ５ ， 联结Ｂ Ｄ， Ａ ｃ ． 取 Ｄ， Ａ ｃ的中 Ｇ。 Ｈ。 联结 Ｅ Ｇ。 Ｅ Ｈ。 Ｆ Ｇ． Ｆ Ｈ． 因 为 Ｅ。 Ｆ分 Ａ Ｄ
同理
从 而
故
Ｆ Ｋ ／ ／ Ａ Ｂ， ＝
胀 ： — ：
，
的中点， 且Ｍ Ｆ ， Ｍ Ｅ分别是 Ａ Ａ Ｄ Ｃ ， △ Ａ Ｂ ｃ的 中位
线， 所以
Ｃ：脒 ，
ＭＦ ： － Ｄ． ＭＥ ： ＢＣ．
／Ｆ Ｅ Ｋ ＝ＬＥ Ｆ Ｋ ．
由Ｅ Ｋ ＃Ｄ Ｃ ， 得
Ａ Ｃ的中点， 则Ｅ Ｇ是 Ａ Ａ Ｃ Ｄ的中位线， 因此
2013年四川省初中数学联赛决赛(初二)
９ ０。 ， 且 Ｄ、 ｜ ｐ、 Ｅ＝ ｉ
网３
４ ． “ ｌ ｌ 、 ２ 、 ４分别各用 一次组 成一 个 ｉ位
点共 线． 若Ｅ Ａ＝Ｐ Ａ
：
数． 则是 ４的倍 数的 一位数共有 （
（ Ａ ） ｌ （ Ｂ） ２ （ Ｃ） ３
） 个．
１ ， Ｐ Ｂ＝ ， 则Ｄ 尸
．
一
又ｐ 、 ８ ｐ ＋ｌ 均为质数 ， 故Ｐ ＝ ３ ．
３ ． ５．
Ｙ ４ ５— ２
３． Ｃ．
由题设 知 （ ＋１ ） （ Ｙ＋ ２ ）＝１ ５ ． 贝 ０ （ ＋１ ， Ｙ＋ ２ ）
：
易知 ， ／Ｃ Ａ Ｄ： １ ０ ５ 。 一 （ １ ８ ０ 。 一 １ ０ ５ 。 一 ４ ５ 。 ） ＝ ７ ５ ｏ ．
一
、
选择 题 （ 每小题 ７分 ， 共４ ２分 ）
（ Ａ）
（ Ｂ） １ ６
（ ｃ）
（ Ｄ）
１ ． 设１ ≤ ≤３ ． 贝 ０ Ｉ 一１ Ｉ —Ｉ 一３ Ｉ 的最
大值 与最小值 的 和是 （
（ Ａ） ０ （ Ｂ ） １
） ．
（ Ｄ） ３
二、 填空题 （ 每小 题 ７分 ， 共２ ８分 ）
知 Ａ Ｃ Ｂ＝
＝
Ｄ
１ ０５。 ．
４ＢＣ ＝
Ａ Ｄ Ｃ ＝４ ５ Ｏ ． 则
Ｃ Ａ Ｄ＝（ ） ．
方形 ， △Ａ Ｅ Ｐ 为等腰
直角 角形 ， Ｅ Ａ Ｐ
＝
（ 、 ） ６ ５ 。 （ Ｂ ） ７ ０ 。 （ Ｃ） ７ ５ 。 （ Ｉ ） ） ８ ０ 。
＝ ３ （ ２ ４ ｋ ＋１ ６ ｋ＋ ３ ） ；
2013年全国初中数学联赛试题及答案
2013年全国初中数学联赛（四川决赛）解答一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、若反比例函数xk y =的图像与直线14-=x y 的一个交点P 的横坐标为1， 则=k （ ）A 、3-B 、1-C 、1D 、3解：由条件知)3,1(P ，于是13k =，即3=k ．故答案选D ． 2、方程22012||20130x x -+=的所有实数解之和是（ ）A 、2012-B 、0C 、2012D 、2013 解：若0x 是方程22012||20130x x -+=的实数解，则0x -也是该方程的实数解． 所以，该方程的所有实数解之和是0．故答案选B3、已知正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，且满足CF BE =． 则AEF ∆面积的最小值是（ ）A 、8BC 、14D 、38 解：设x BE =，则x DF CE -==1，x CF =，)1(21)1(21211x x x x S AEF -----=∆=83]43)21[(212≥+-x ，当21=x 时等号成立。
所以，AEF ∆面积的最小值是83．故答案选D ．4、已知实数,a b 满足2|1||1|a b a -+=，则b a 的值为（ ）A 、14B 、12C 、1D 、2 解：若2b =，则|1|5a a -+=，没有符合条件的实数a ；若2b ≠，则2(2)0b ->，则20a -≥，于是2|1||1|a b -+ 101a a ≥-++=，等号成立220,11a b -=+=，即2,0a b ==．所以1b a =． 故答案选C ．5、在四边形ABCD 中，1AB BC ==，100ABC ∠=，130CDA ∠=，则BD 的长为（ ）A B 、1 C D解：如图，延长AB 至E ，使得BE BC =， 则1502AEC BCE ABC ∠=∠=∠=， 于是180AEC ADC ∠+∠=，故,,,A E C D 四点共圆，且圆心为B ．所以，1BD BA ==．故答案选B ．6、对于平面直角坐标系中的任意两点),(111y x P ，),(222y x P ，我们称||||2121y y x x -+-叫做21,P P 两点的直角距离，记作),(21P P d ．若),(000y x P是一定点，),(y x Q 是直线b kx y +=上的动点，我们把),(0Q P d 的最小值叫做点0P 到直线b kx y +=的直角距离．则)1,1(M 到直线52+=x y 的直角距离是（ ）A 、3B 、72C 、4D 、92解：由条件知，设)1,1(M 到直线52+=x y 的直角距离是d ，则d 为|1||251|S x x =-++-的最小值．又|(2)||1||(2)|S x x x =--+-+-- 3|(2)|303x ≥+--≥+=，等号当且仅当2x =-处取得．所以S 的最小值为3. 即3d =．故答案选A ．二、填空题（本大题满分28分,每小题7分）1、若x 是整数，且满足不等式组10214x x ->⎧⎨-<⎩，则x = ．解：解不等式组10214x x ->⎧⎨-<⎩得512x <<．因此符合条件的整数2x =．故答案填2． 2、在等边ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足AD CE =，BE 与CD 相交于点F ，则BFC ∠的大小是 ．解：由条件知ADC ∆≌CEB ∆(SAS ),故ACD CBE ∠=∠,于是60EFC FBC FCB ECF FCB ∠=∠+∠=∠+∠=所以120BFC =.故答案填120．2013年初中数学联赛初三决赛解答 第3页；共5页3、实数,,x y z 满足22227x y z xy yz zx ++---=，则||y z -的最大值是 ． 解：法一：视原方程为关于x 的一元二次方程222()270x y z x y z yz -+++--=，其判别式222()4(27)0y z y z yz ∆=+-+--≥，即2()36y z -≤，故||6y z -≤． 当||6y z -=，且2y z x +=时等号成立．所以||y z -的最大值是6．故答案填6． 法二：因为22222327[()]()24y z x y z xy yz zx x y z +=++---=-+- 23()4y z ≥-，从而||6y z -≤．当||6y z -=，且2y z x +=时等号成立． 所以||y z -的最大值是6．故答案填6．4、已知1231415,,,,,x x x x x 取值为1或者为1-．记1223341415151S x x x x x x x x x x =+++++， 则S 能取到的最小正整数是 ．解：令1(1,2,,15)i i i y x x i +==，约定161x x =．则1i y =或者1-． 在1215,,,y y y 中，设有a 个取1，b 个取1-．则15a b +=．又因为2121512151(1)()1a b y y y x x x ⨯-===，所以b 为偶数． 又由S 为正整数，则1523S a b b =-=-≥，此时6b =．另一方面，在1215,,,x x x 中，2581x x x ===-，其余全取1有3S =．所以，S 能取到的最小正整数是3．故答案填3．三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）1、抛物线22y x x m =++与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x 两点，其中12x x >，且221210x x +=． （1）求实数m 的值；（2）设0(2,)M y 抛物线22y x x m =++上的一点，在该抛物线的对称轴上找一点P ，使得PA PM +的值最小，并求出P 的坐标．解：（1）由条件知122x x +=-，12x x m =．于是22212121210()242x x x x x x m =+=+-=-，解得3m =-．经验证3m =-满足条件．所以所求实数m 的值是3-． ……5分（2）由（1）知抛物线的方程为223y x x =+-，则对称轴l 的方程为1x =-，(1,0),(3,0)A B -． ……10分 显然A 关于对称轴l 的对称点为B ，所以当PA PM +的值最小时，P 为直线MB 与对称轴l 的交点．又2022235y =+⨯-=，即(2,5)M ． 设直线MB 的方程为y kx b =+，由条件知5203k b k b =+⎧⎨=-+⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩， 即直线MB 的方程为3y x =+． ……15分 令1x =-，得2y =，即(1,2)P -．所以，使得PA PM +的值最小的点P 的坐标为(1,2)-． ……20分2、如图，已知E 是正方形ABCD 的边AB 上一点，点A 关于DE 的对称点为F ，90BFC ∠=，求AB的值．解：延长EF 交BC 于M ，连DM 交CF 于G ，则Rt DFM ∆≌Rt DCM ∆(HL)． ……5分 于是FDM MDC ∠=∠,FM CM =，从而M 为BC 的中点． ……10分 又114522EDM EDF FDM ADF FDC ∠=∠+∠=∠+∠= ……15分 将MDC ∆以D 为旋转中心，按逆时针方向旋转90，得到HDA ∆，则MDE ∆≌HDA ∆,于是EM HE AE MC ==+.设正方形边长为1，AE x ，则由222EB BM EM知22211(1)()()22x x ……20分 解得13x．所以3AB AE=． ……25分2013年初中数学联赛初三决赛解答 第5页；共5页 3、在一个圆周上按顺时针方向放有n 个不同的正整数12,,,n a a a ，如果对于1,2,3,,10这10个正整数中的任意一个数b ，都能找到一个正整数i ，使得i a b =，或者1i i a a b ++=．约定11n a a +=．求正整数n 的最小值．解：由条件知，1212231,,,,,,,n n a a a a a a a a a +++这2n 个数应该包含1,2,3,,10这10个正整数．所以210n ≥，即5n ≥． ……5分 当5n =时，则1212231,,,,,,,n n a a a a a a a a a +++这10个数互不相等，取值于1~10． 不妨设11a =．显然2345,,,a a a a 中也包含2．下面按照从1~10这10个数从小到大的方式来表示：（1）当2345,,,a a a a 中不包含3，则不妨设22a =．若54a =，则436,7a a ==；或者346,7a a ==，矛盾．若44a =，则535,6a a ==；或者355,6a a ==，矛盾．若34a =，则45a =，57a =，矛盾．（2）当2345,,,a a a a 中包含3，则不妨设32a =．若23a =，则546,8a a ==；或者456,7a a ==，矛盾．若43a =，则24a =或者54a =，矛盾．若53a =，则245,8a a ==；或者435,6a a ==，矛盾．所以当5n =时，不存在符合条件的5个正整数125,,,a a a ． ……15分 当6n =时，构造：1234561,10,2,6,3,4a a a a a a ======，易验证这6个数符合条件． ……20分 综上所述，正整数n 的最小值为6． ……25分。
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2013年四川初中数学联赛（初二组）决赛试卷
（考试时间：2013年3月24日上午8:45—11:15）
一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）
1、设13x ≤≤
，则13x x ---的最大值与最小值的和 （
） （A ）0
（B ）1 （C ）2
（D ）3
解析：由条件13x ≤≤，可得1324x x x ---=-，当1x =，得最小值－2，当3x =，得最大值2，故选A
2、设x =y 是不超过x 的最大整数，求
1
x y
-= （ ） （A 2 （B 2 （C 1 （D 1 解析：易得2y =2，故选B .
3、如图，已知在四边形ABCD 中，∠ACB =∠BAD =105°，∠ABC =∠ADC =45°，则∠CAD =（ ）
（A ）65° （B ）70° （C ）75° （D ）80° 解析：此题由三角形内角和及角的构成容易得，答案为C .
4、由1、2、4分别各用一次，组成一个三位数，这样的三位数中是4的倍数的三位数共有 （ ） （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ） 4个
解析：是4的倍数必然个位数不能是1，再将124、142、214、412试除以4，便可得答案为B . 5、已知：,
,x y z 为三个非负实数，且满足325
231
x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩，设37s x y z =+-，则s 的最大值是（ ）
（A ）111
-
（B ）111 （C ） 57- （D ）75-
解析：由方程组解出73711x z y z
=-⎧⎨
=-⎩，由,x y 非负实数，可解得37
711z ≤≤，
∵373(73)711732s x y z z z z z =+-=-+--=-，取7
11
z =
代入即可求得，答案为A 6、如图，∠DAP =∠PBC =∠CDP =90°，AP =PB =4，AD =3，则BC 的长是（ ） （A ）
323 （B ）16 （C ）413 （D ）41
2
解析：延长DP 交CB 延长线于点E ，如图，由三角形全等可证PE =DP ,AD =BE ，由勾股定理可求DP =5，故DE =10，再由△EBP ∽△EDC ，可得
EB EP ED EC =,求得EC =503，BC =EC －EB =503－3=41
3
，答案C 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 1、关于x 的不等式组3361
x x a
x -≥+⎧⎨
≥⎩的解是13x ≤≤，则a 的值是
解析：解不等式组得313a x --≤≤
，故
33,123
a
a --=∴=- 2、如果281p p +与都是质数，则p = 解析：考虑到是初二竞赛，试值可求得P =3
3、设,x y 为两个不同的非负整数，且213xy x y ++=，则x y +的最小值是 解析：∵,x y 为两个不同的非负整数，∴0213x ≤<，故x 取0~6的整数，代入再求符合条件的y ，
符合条件的整数解只有024
,,1331
x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨
⎨⎨
===⎩⎩⎩三组，故x y +的最小值为5. 4、如图，已知ABCD 为正方形，△AEP 为等腰直角三角形，∠EAP =90°，且D 、P 、E 三点共线，若EA =AP =1，PB
DP =
解析：连结BE ，易证△AEB ≌△APD ，故PD =EB ，∠APD =∠AEB 。
∵△AEP 为等腰直角三角形，∠EAP =90°
∴∠AEP =∠APE =45° ∴∠APD =135° 故∠AEB =135°
∴∠PEB =∠AEB －∠AEP =135°－45°=90°
可求PE
再由勾股定理可求得BE
所以PD
三、（本大题满分20分）
设实数k 满足01k <<，解关于x 的分式方程
2211
1k k x x x x
+-=-- 解 ∵
22111k k x x x x +-=-- ∴221(1)(1)
(1)(1)
kx k x x x x x x x +--=--- ∴21(1)(1)kx k x -=+-…………………………………………………………5分 ∴(1)k x k -=- ，又∵01k << ∴1k
x k
=- …………………………………………………………10分 当1
2
k =
时，1x =为增根，原方程无解………………………………………15分 当01k <<且12k ≠时，原方程的解是1k
x k
=-…………………………………20分
四、（本大题满分25分）
已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图像与x 轴的正半轴交于E 点，与y 轴的正半轴交于F 点，与一次函数
21y x =-的图像相交于A (m ,2)，且A 点为EF 的中点.
（1）求一次函数y kx b =+的表达式；
（2）若一次函数21y x =-的图像与x 轴相交于P 点，求三角形APE 的面积。
解析：∵函数21y x =-过点A (m ,2) ∴32
m =
A 点坐标3
(,2)2……………………5分
∵ A 3(,2)2
点为EF 的中点. ∴E （3,0） F （0,4） ……………10分
∴ 一次函数解析式为4
43
y x =-
+ ……………………15分 ∵一次函数21y x =-的图像与x 轴相交于P 点， ∴ P 1(,0)2
………………………………20分
如图：所以PE =5
2
， PE 边上的高为2， ∴515
2222
S ∆=⨯⨯=…………………………………25分
五、（本大题满分25分）
如图，已知AB =AC ,∠BAC =∠CDE =90°，DC =DE ，F 是BE 的中点，求证：FA =FD 且FA ⊥FD 解析：连结AF 、DF ，并延长AF 至G ，使FG =AF , 连结DG 、EG
∵BF EF
AFB GFE FG FA =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AFB ≌△GFE
∴AB =GE ,∠B =∠FEG ……………………5分 ∵ABED 为四边形，且∠BAC =∠CDE =90°， ∴∠B +∠FED +∠CAD +∠CDA =180°， 又∵∠C +∠CAD +∠CDA =180°
分
∴ ∠C =∠B +∠FED =∠FEG +∠FED =∠GED ……………10又因为GE =AB =AC ,CD =ED
∴ △ACD ≌△GED …………………………………15分 ∴AD =GD ，∠ADC =∠GDE 而AF =GF
∴AF ⊥DF …………………………………20分 又∵∠GDE +∠GDC =∠CDE =90° ∴ ∠ADC +∠GDC =90° 即∠ADG =90° ∴DF =AF …………………………………25分。