2010数学建模获奖论文 储油罐与罐容表标定

储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文通过采用机理分析和统计分析相结合的方法来研究储油罐变位后对罐容表的标定值的影响。

对于问题一，首先用体积微元法对椭圆柱体的无变位及纵向变位为01.4=α时的情形进行了积分求解并分别给出了罐容量与油位高度的函数式。

接着将计算得到的数据与实际测量数据进行对比分析，可知其误差较小，基本符合实际情况，进而给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。

对于问题二，首先利用题目所给的显示罐油量和显示高度的关系确定映射f ，使得俯视油液时，不同高度对应的油液面积等价为面积()h S 。

基于此，建立出面积等价俯视模型，再利用几何关系确立油液的等价垂直高度h 与显示高度0h 和变位参数βα和的关系，这样建立起罐容量1V 关于油位高度0h 和变位参数βα和的一般关系()βα,,01h g V =。

然后根据题目所给数据利用控制变量法分别求出变位参数βα和，其值分别为2.6°和8.1°。

进一步，代入变位参数βα和得到罐容量与油位高度0h 的关系式()7.38314.3040.99150.015(2190.302001+++-=h h h V ），再利用此模型给出油位高度每间隔10cm 的罐容表标定值。

最后代入附件2的数据得知此模型的误差均在5%以下，从而验证出模型的正确性与方法的可靠性。

关键词 微积分 面积俯视等价 储油罐变位 罐容表标定 体积微元法一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。

图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。

请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。

请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

二、模型的假设1.不考虑出进油管的厚度；2.储油罐的厚度均匀；3.罐体只发生纵向变位和横向变位，不考虑自身形变。

三、符号说明V：油罐的罐容量h：罐内油位高度h：体积积分的下限12h ：体积积分的上限α：纵向倾斜角度β：横向偏转角度L ：柱体的长度四、模型的建立与求解4.1对于问题一4.1.1模型的建立1.椭圆罐体无变位情形将椭圆球罐抽象成椭圆柱体，其底面为椭圆，并忽略它的厚度等因素。

如图1设椭圆柱体的长为L ，其底面的长半轴和短半轴分别为a 和b ，1L OB =，2L BC =，h BD =，l OA =，则椭圆柱体表面的方程为1)(2222=-+b b y a x （L x ≤≤0）图1 图2椭圆柱体无变位时（此时0=α），对于储油量与罐内油位高度之间的关系，可设储油量)(h V 表示为罐内油位高度h 的函数关系式。

如图2所示，在椭圆柱体中高为y 的地方取一个长方体的立体元，立体元的长为L ，宽为z 2，高为dy 。

根据积分的概念，该立体元体积为dy y S dV )(=，又因为 zL y S 2)(=，22)(b y b ba z --= dyb y b L ba zLdy dV 22)(22--==设积分的上下限分别为1h ，2h ，根据上述分析，得到 dy b y b L ba dV h V h h h h ⎰⎰--==212122)2)(（ (1) 其中01=h ，b h 22=再利用积分公式，求得罐容量)(h V 与罐内油位高度h 之间的函数关系式为]21)arcsin()2()[()(22b b b h b h b h b h L b a h V π+-+--= 其中，L 为椭圆柱体的长，a 和b 分别为其底面的长半轴和短半轴。

2.罐体纵向变位01.4=α情形如图3所示建立空间直角坐标系xyz o -，其中坐标原点O ，点C ，点E ，点G 分别为图中矩形轴截面的左下顶点，右下顶点，左上顶点和右上顶点，油浮子的位置记为点D ，油位探针与椭圆柱体下表面的交点记为点B ，水面与矩形轴截面左边的交点记为点A 。

图3椭圆柱体纵向变位时（此时0<α，α以x 轴为基准，顺时针旋转为负值， 逆时针旋转为正值）。

因为椭圆柱体不再是水平放置的，有一定的倾斜，所以不可能一次性给出)(h V 关于h 的积分式，必须分段积分，此时求得罐容量)(h V 与罐内油位高度h 之间的函数关系式也是分段函数。

根据油面所处的位置不同，我们把它分为三种情形考虑。

设油面的方程为l kx y +=(其中αtan =k )因为油面始终过点D ,将点D 的坐标),(1h L 代入油面方程，解出αtan 1L h l -=，即油面方程为ααtan tan 1L h x y -+= (2)（1）第一种情形考虑油面从过点B 一直变化到过点C 。

将点O 的坐标)0,0(和点C 的坐标)0,(L 分别代入(2)式，解出h 的两个临界值分别为c h 1和c h 2，h 介于两者之间，即c c h h h 21≤≤(其中01=c h ，αtan 22L h c -=)。

图4如图4所示，我们在椭圆柱体满足c c h h h 21≤≤部分中高为y 的地方取一个 长方体的立体元，小立体元的长为'L ，宽为z 2，高为dy 。

小立体元的长即为小立体元与油面交线的横坐标2x 和小立体元与椭圆柱体左端面交线的横坐标1x 之差。

其中01=x ,点),2h x （满足油面方程，代入(2)式解出12cot )(L h y x +-=α，那么αcot )('12l y x x L -=-=(其中αtan 1L h l -=）根据积分概念，该小立体元的体积为dy y S dV )(=，又'2)(zL y S =，22)(b y b ba z --= dyb y b l y ba dy zL dV 22)(cot )2'2---==α（ 设积分的上下限分别为1h ，2h ，则01=h ，l h =2， dyb y b l y ba dV h V h h h h ⎰⎰---==212122)(cot )2)(α（ （3）根据上述分析，可得到罐容量)(h V 与罐内油位高度h 之间的函数关系式απαcot 21)]arcsin 222)(()2(31[cot 2)(2232ab b b l b l bl b l l b l bl b a h V +-+---+--=（2）第二种情形考虑油面从过点C 一直变化到过点E 。

将点C 的坐标)0,(L 和点E 的坐标)2,0(b 分别代入(1)式，解出h 的两个临界值分别为c h 2和c h 3，h 介于两者之间，即c c h h h 32≤≤(其中αtan 22L h c -=，αtan 213L b h c +=)。

图5如图5所示，我们在椭圆柱体中把满足c c h h h 32≤≤部分分为1V 和2V 两部分，1V 和2V 的分界面过油面与椭圆柱体右端面的交线且垂直于图中的矩形截面。

其中① 1V 部分可以根据公式(1)求解，即 dy b y b L ba dV h V h h h h ⎰⎰--==2121221)2)(（ 又01=h ，αtan 22L h h +=得]21)arcsin()2()[()(2222221b b b h b h b h b h L b a h V π+-+--= ② 2V 部分可以根据公式(3)求解，即dy b y b l y ba dV h V h h h h ⎰⎰---==2121222)(cot )2)(α（ 又αtan 21L h h +=，l h =2得)]arcsin 222)(()2(31[cot 2)]arcsin 222)(()2(31[cot 2)(12211113211222222232222bb h b h bh b h h b h bh b a b b h b h bh b h h b h bh b a h V -+---+----+---+--=αα ③ 综合①和②，得到总罐容量)(h V 与油位高度h 关系式为)]arcsin 222)(()2(31[cot 2)]arcsin 222)(()2(31[cot 221)arcsin()2()[()()()(122111132112222222322222222221b b h b h bh b h h b h bh b a b b h b h bh b h h b h bh b a b b b h b h b h b h L b a h V h V h V -+---+----+---+--++-+--=+=ααπ （4） （3）第三种情形考虑油面从过点E 一直变化到过点F 。

将点E 的坐标)2,0(b 和点F 的坐标)2,(1b L 分别代入(2)式，解出h 的两个临界值分别为c h 3和c h 4，h 介于两者之间，即c c h h h 43≤≤(其中αtan 213L b h c +=，b h c 24=)。

图6如图6所示，我们在椭圆柱体中把满足c c h h h 43≤≤部分分为'1V 和'2V 两部分，'1V 和'2V 的分界面过点E 且垂直于图中的矩形截面。

其中① '1V 部分可以根据公式(1)求解，即 dy b y b L b a dV h V h h h h ⎰⎰--==2121221)2)('（ 又01=h ，αtan 22L h h +=得]21)arcsin()2()[()('2222221b b b h b h b h b h L b a h V π+-+--= ② '2V 部分可以根据公式(3)求解，即dy b y b l y b a dV h V h h h h ⎰⎰---==2121222)(cot )2)('α（ 又αtan 21L h h +=，b h 22=得)]arcsin 222)(()2(31[cot 2)]arcsin 222)(()2(31[cot 2)('12211113211222222232222bb h b h bh b h h b h bh b a b b h b h bh b h h b h bh b a h V -+---+----+---+--=αα ③ 综合①和②，得到总罐容量)('h V 与油位高度h 关系式为)]arcsin 222)(()2(31[cot 2)]arcsin 222)(()2(31[cot 221)arcsin()2()[()(')(')('122111132112222222322222222221b b h b h bh b h h b h bh b a bb h b h bh b h h b h bh b a b b b h b h b h b h L b a h V h V h V -+---+----+---+--++-+--=+=ααπ （5）4.1.2问题一模型的求解利用matlab 编程，代入附件1实验数据中的各高度得到储油罐中的理论油量，并在该图中绘出实验数据的散点图，进行对照。