2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(十四)理科数学试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（十四）理 科 数 学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|ln 0}A x x =<，{|1}B x x =≤-，则RA B =（ ）A. {|11}x x -<<B. {|01}x x <<C. {|11}x x -≤<D. {|1}x x ≥【答案】B 【解析】 【分析】求解对数不等式，再求集合交集和补集即可容易求得.【详解】因为集合{}|0{|01}A x lnx x x =<=<<，故{}1R C B x x =-， 则RAB ={|01}x x <<.故选：B.【点睛】本题考查集合混合运算，涉及对数不等式的求解，属综合基础题.2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33a =，713a =，则9S =（ ） A. 36 B. 70C. 72D. 144【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列下标和性质，求得5a ；再用等差数列前n 项和性质，即可容易求得. 【详解】根据等差数列的下标和性质，即可求得3752a a a +=，解得58a =； 又95972S a ==. 故选：C.【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和的性质，属综合基础题.3.干支是天干(甲､乙､…､癸)和地支(子､丑､…､亥)的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法.如图是查找公历某年所对应干支的程序框图.例如公元1988年，即输入1988N =，执行该程序框图，运行相应的程序，输出5x =，从干支表中查出对应的干支为戊辰.我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年，则该年所对应的干支为（ ）A. 己巳B. 庚午C. 壬戌D. 癸亥【答案】A 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，即可求得输出结果，再结合表格，即可容易求得.【详解】模拟执行程序如下所示：429,1,366,2N i x i ====，不满足60x ≤， 306,3x i ==，不满足60x ≤， 246,4x i ==，不满足60x ≤， 186,5x i ==，不满足60x ≤， 126,6x i ==，不满足60x ≤， 66,7x i ==，不满足60x ≤， 6,8x i ==，满足60x ≤，输出6.对照已知表格，故可得该年所对应的干支是己巳. 故选：A.【点睛】本题考查由程序框图求输出结果，属基础题.4.()5112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是（ ） A. 50- B. 30- C. 50 D. 30【答案】D 【解析】 【分析】根据3x 的产生，结合二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果.【详解】对二项式()52x -，其通项公式()5152rrr r T C x -+=⋅-⋅，令1r =，可得4x 的系数为10-；令2r =，可得3x 的系数为40.则()5112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为104030-+=. 故选：D.【点睛】本题考查通过二项式的通项公式求指定项的系数，属基础题. 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 3πB. 9πC. 12πD. 36π【答案】A 【解析】 【分析】根据题意还原几何体，根据圆锥的体积计算公式，即可容易求得.【详解】根据三视图可知，该几何体是底面半径为3，高为4的四分之一圆锥.故其体积211343V r h ππ=⨯⨯⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及圆锥体积的求解，属综合基础题. 6.已知,02θπ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭3sin 2cos21θθ=+，则cos θ=（ ）A. 0B.12C.3 D. 03【答案】A 【解析】 【分析】利用倍角公式，化简求得3sin 2cos21θθ=+23cos sin cos θθθ=， 即)30cos sin cos θθθ-=，因为,02θπ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故可得0cos θ=，或3tan θ=（舍）.故0cos θ=. 故选：A.【点睛】本题考查正余弦的二倍角公式，涉及三角函数在每个象限的正负，属综合基础题.7.在复平面内O 为坐标原点，复数12),z i i z ==对应的点分别为1Z ，2Z ，则12Z OZ ∠的大小为（ ） A.512π B. 12πC.712π D.11π12【答案】B 【解析】 【分析】利用复数运算，化简复数12,z z ，再求得对应点的坐标，利用勾股定理即可判断.【详解】因为)11z i i ==-，故(1Z =-，12z =；因为212z i ===+，故212Z ⎫=⎪⎪⎝⎭.容易知12122,1,OZ OZ Z Z === 满足勾股定理，故可得122Z OZ π∠=.故选：B.【点睛】本题考查向量运算法则，复数模长的求解，复数对应点的坐标，属综合基础题. 8.函数()ln 0()f x ax x a R =-≥∈恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 1,a e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭B. [)0,a ∈+∞C. [)1,a ∈+∞D. (,]a e ∈-∞【答案】C 【解析】 【分析】利用导数研究恒成立问题对应参数的范围，再根据充分性的要求，选取结果. 【详解】若()ln 0()f x ax x a R =-≥∈恒成立，等价于lnxa x≥恒成立.令()lnx h x x =，故可得()21lnx h x x -'=， 故()h x 在区间()0,e 单调递增，在区间(),e +∞单调递减； 故()()1max h x h e e==. 故要满足()0f x ≥恒成立，只需1a e≥即可. 则()0f x ≥恒成立的一个充分不必要条件是集合1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的非真子集.故选：C .【点睛】本题考查命题的充分不必要条件的判断，涉及利用导数研究恒成立问题，属综合中档题. 9.已知O 为坐标原点，AB 是:C 22(3)(4)1x y -+-=的直径.若点Q 满足2OQ =，则QA QB ⋅的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 15【答案】C 【解析】 【分析】求得点Q 的轨迹方程，利用向量运算，将问题转化为求圆外一定点到圆上一动点之间距离的最小值，则问题得解.【详解】因为点Q 满足2OQ =，故Q 点是圆224x y +=上的一个动点；故QA QB ⋅()()()2QC CA QC CB QC QC CA CB CA CB =+⋅+=+⋅++⋅21QC =-.又因为C 点坐标为()3,4是圆224x y +=外一点，而Q 为该圆上任意一点.故23min QC==.故21QC -得最小值为8，即QA QB ⋅的最小值为8. 故选：C .【点睛】本题考查圆的轨迹方程的求解，圆外一点到圆上任意一点距离的最值，向量的数量积运算，属综合中档题.10.方程()222(1)(3)x x x x y e e ----=+的曲线有下列说法： ①该曲线关于2x =对称；②该曲线关于点(2,1)-对称； ③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数. 其中正确的是（ ） A. ②③ B. ①④ C. ②④ D. ①③【答案】D 【解析】 【分析】根据曲线的表达式，结合选项，研究其对称性，函数图像，则容易进行判断.【详解】因为曲线方程为()222(1)(3)x xx x y e e ----=+，而220x x e e --+>恒成立，故等价于()()()22213x xx x y f x ee----==+.①因为()()()()21122xxx x f x f x e e-+-+==-+，故该曲线关于2x =对称；②要该曲线关于()2,1-对称，则需满足()()2212f x f x ++-=-，而由①中所求，显然()()22f x f x ++-不是常数，故该曲线不关于()2,1-对称； ③当0x <时，()()2130x x -->，且220x x e e --+>，则()0f x >恒成立， 故该曲线不经过第三象限；④容易知()()()21,10,30f f f =-==，此外该曲线上没有其它横纵坐标都是整数的点. 事实上，本题可以利用导数和函数对称性可知，函数图像如下所示：，则容易知该曲线的各种性质. 故选：D.【点睛】本题考查函数的对称性、函数图像的研究，属综合中档题11.如图，四边形ABCD 为正方形，四边形EFBD 为矩形，且平面ABCD 与平面EFBD 互相垂直.若多面体ABCDEF 的体积为163，则该多面体外接球表面积的最小值为（ ）A. 16πB. 12πC. 8πD. 6π【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设出正方形边长和矩形的高，根据体积公式，求得,a b 等量关系；再找到球心，求得半径，利用导数求函数的最小值，则问题得解.【详解】根据题意，连接,AC BD 交于M 点，过M 作MN //DE 交EF 于N 点，交BE 于O ，连接OC .因为四边形ABCD 是正方形，故可得AC BD ⊥，又因为平面ABCD ⊥平面EFBD ，且交线为BD ，又AC ⊂平面ABCD ，故AC ⊥平面EFBD ， 不妨设,CD a DE b ==， 故可得多面体ABCDEF 的体积211222333EFBD V S AC ab a a b =⨯==； 则221633a b =，解得28b a=； 又容易知多面体外接球的球心在四边形ABCD 外心的垂线上，且为MN 的中点O ，设外接球半径为R ，则222222221211224R OC OM MC b a a b ⎛⎫⎛⎫==+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 将28b a =代入可得2241162R a a=+，不妨令2,(0)a t t =>，则221162y R t t ==+，则31322y t=-'，容易知y '是关于t 的单调增函数，且当4t =时，0y '=，故可得221162y R t t==+在()0,4上单调递减，在()4,+∞单调递减.故211643216min min y R ==⨯+=. 则外接球表面积的最小值2412min min S R ππ==.故选：B.【点睛】本题考查棱锥体积的计算、面面垂直的性质、外接球表面积的计算、利用导数求函数的最值，属压轴题.12.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点.P 为曲线C 右支上的点，点M 在12F PF ∠外角平分线上，且20F M PM ⋅=.若2OF M △恰为顶角为120的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A. 23 B.433C. 2D.3【答案】D 【解析】 【分析】延长2F M 交1F P 的延长线于点Q ，根据几何关系，求得P 点坐标，代入双曲线方程可得,a c 齐次式，则问题得解.【详解】延长2F M 交1F P 的延长线于点Q ，连接OM ，过P 作12PH F F ⊥，如下所示：不妨设12,PF m PF n ==，因为2PM MF ⊥，且PM 为2F PQ ∠的角平分线，故可得2F PM QPM ≅，故可得2PQ PF n ==，且M 为2F Q 的中点； 因为2OF M 为顶角120︒的等腰三角形，故可得22OF F M c ==，由余弦定理可得OM ==， 在12F F Q 中，因为,O M 分别为122,F F F Q的中点，故12FQ OM ==； 根据双曲线定义可知：122PF PF a -=，即2m n a -=；又1212PF PF PF PQ OM m n +=+==+=；联立可得;m a n a ==-； 因为2OF M 为顶角120︒的等腰三角形故在直角三角形1PF H 中，1230PF H MOF ∠=∠=︒ 则11122PH PF m ==，由勾股定理可得1F H = 故可得P点坐标为1,22m c m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，即,22c a ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，代入双曲线方程可得：())()()2222222244c a c aaa c a ++-⨯-⨯=-，整理得：323250c a c +--=， 同除3a可得3250e e +--=，分解因式可得()240e e++=，解得e =e =（舍去负根），则e =故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线定义，属综合困难题.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.若抛物线经过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,2)，则该抛物线的标准方程为___________. 【答案】22x y =【解析】【分析】 由所过两点坐标即可设出抛物线方程，待定系数即可求得结果. 【详解】因为抛物线经过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,2)，即抛物线经过第一、二象限， 故设抛物线方程为22,(0)x py p =>，代入点()2,2，可得44p =，即1p =，则抛物线方程为：22x y =.故答案为：22x y =.【点睛】本题考查由抛物线上一点求抛物线方程，属基础题.14.记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，212n n n a a a ++=⋅.若11a =，37S =，则5a =___________.【答案】16【解析】【分析】 由等比数列的基本量，列出方程，求得首项和公比，则问题得解. 【详解】因为212n n n a a a ++=⋅，故可得数列{}n a 是等比数列， 设其公比为q ，则由11a =，37S =可得： 21117a a q a q ++=，解得3q =-（舍）或2q =；故可得45116a a q ==. 故答案为：16.【点睛】本题考查等比中项的应用，等比数列基本量的计算，属基础题.15.宁德市中学生篮球比赛中，如图为某球队8场比赛得分的茎叶图，其中有两个数字不慎被墨迹污染(分别用,m n 标注).目前得 知这组数据的平均值为58，则方差2S 最大时m n -的值为_________.【答案】8-【解析】【分析】根据平均数求得,m n 之间的关系，利用线性规划，即可容易求得最值. 【详解】由题可知()15853535556506064658m n =+++++++++， 解得8m n +=.故其方程()()2222222221553282678S m n ⎡⎤=++++-++++⎣⎦， 故要使得其最大，只需()()2282z m n =-++最大即可.又因为8,,,08,08m n m n Z m n +=∈≤≤≤≤，故用线性规划的思路，求目标函数()()2282z m n =-++的最大值.而目标函数表示点(),m n 到点()8,2-距离的平方，数形结合可知，当且仅当目标函数过点()0,8时取得最大值.即当0,8m n ==时，2S 取得最大值.此时8m n -=-.故答案为：8-.【点睛】本题平均数和方差的计算，涉及非线性目标函数最值的求解，属综合中档题.16.已知函数12,0,()2,0.1x x e x f x x x x +⎧⋅⎪=⎨>⎪+⎩ 若关于x 的不等式2()2()20f x af x a -++≤的解集非空，且为有限集，则实数a 的取值集合为___________. 【答案】{1,3}-【解析】【分析】利用导数，研究()f x 的性质和图像；利用换元法，结合二次不等式的解集，结合()f x 的函数图像，即可分类讨论求得.【详解】当0x ≤时，1x y xe+=，则()11x y e x +'=+，令0y '=，解得1x =-， 容易得1x y xe +=在区间(),1-∞-单调递减，在区间()1,0-单调递增，且在1x =-时，取得极小值，即1y =-；且0x ≤时，0y ≤；当0x >时，221x y x =+，则()()()22111x x y x -+-'=+，令0y '=，解得1x =， 容易得221x y x =+在区间()0,1单调递增，在区间()1,+∞单调递减， 且在1x =时，取得极大值，即1y =；且0x >时，0y >；故()f x 的模拟图像如下所示：综上所述：()f x 的值域为[]1,1-.令()f x t =，则2220t at a -++≤，其2448a a =--，对称轴为t a =： 当0<时，显然关于t 的二次不等式解集为空集，不满足题意； 当0=，即2a =或1a =-时，若2a =，显然关于t 的二次不等式的解集为2t =，又()2f x t ==，数形结合可知，此时关于x 的原不等式解集为空集，不满足题意；若1a =-，关于t 的二次不等式的解集为1t =-，又()1f x t ==-，数形结合可知，此时关于x 的原不等式解集为{}1-，满足题意；当0>，即1a <-或2a >时，令2220t at a -++=，解得22122,2x a a a x a a a =---=+--，显然12x x <，故此时关于t 的不等式的解集为[]12,x x ，数形结合可知，要满足题意，只需11x =或21x =-.即221a a a ---=，解得3a =，满足1a <-或2a >；或221a a a +--=-，解得1a =-，不满足1a <-或2a >，舍去；综上所述，要满足题意，则1a =-或3a =.故答案为：{}1,3-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质和图像，涉及二次不等式的求解，属压轴题. 三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22､23题为选考题，考生根据要求做答.17.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，33AB =，3CD =，1cos 7BDC ∠=-，3C π∠=.（1）求sin DBC ∠；（2）求AD 的长.【答案】（133（2）7 【解析】【分析】（1）利用sin sin()DBC BDC C ∠=∠+∠，结合已知，即可容易求得；（2）在BDC ∆中，由正弦定理求得BD ；再在ABD ∆，由余弦定理求解AD . 【详解】（1）因为1cos 7BDC ∠=-，22sin cos 1BDC BDC ∠∠+=，所以43sin BDC =∠ 在BDC ∆中，,3=C DBC CBDC ππ∠∠+∠+∠=，所以sin sin()DBC BDC C ∠=∠+∠sin cos cos sin BDC C BDC C =∠⋅+∠⋅431133327=⋅-⋅= （2）在BDC ∆中，由正弦定理得sin sin CD BD DBC C=∠， 即333=，解得7BD = 因为2ABD DBC π∠+∠=，33sin DBC ∠=， 所以cos ABD ∠3314=， 在ABD ∆中，33AB =，根据余弦定理，2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠2233(33)7233749=+-⋅⋅⋅= 解得7AD = 【点睛】本小题主要考查正弦定理､余弦定理､三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想､函数与方程思想等.18.如图，在棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为平行四边形，4,DD CD '== 2AD =，3BAD π∠=，且D 在底面上的投影H 恰为CD 的中点.（1）过D H '作与BC 垂直的平面α，交棱BC 于点N ，试确定点N 的位置，并说明理由；（2）若点P 满足D P D C λ'''=，试求λ的值，使二面角P BH A --为34π.【答案】（1）点N 为棱BC 的中点，理由见解析（2）1【解析】【分析】（1）根据题意，取BC 中点为N ，只需HN BC ⊥即可，结合已知，即可容易说明；（2）以D 为原点，建立空间直角坐标系，用向量法求解二面角大小，从而求得λ的方程，解方程即可求得结果. 【详解】（1）当点N 为棱BC 的中点时，符合题目要求，下面给出证明.分别连结NH ，ND '.在HNC ∆中，222cos 33NH NC CH NC CH π=+-⋅⋅=所以222HC NC HN =+，因此2HNC π∠=，即NH BC ⊥，因为'D 在底面上的投影H 恰为CD 的中点，所以D H '⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以D H BC '⊥，又NH BC ⊥，D H NH H '=，,D H NH '⊂平面D HN '，所以BC ⊥平面D HN '，因此，点N 即为所求，平面D HN '即为α（2）证明：由题（1）知可得HN BC ⊥，//HN DB ，//AD BC ，所以AD BD ⊥分别以,DA DB 为,x y 轴的正方向，以过D 点垂直于平面ABCD 的方向为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -， 23HD '=(0,0,0)D ，(3,0)H -，(0,3,0)B ，(3,23)D '-，(2,23,0)C -，(3,33,23)C '-，所以 (2,23,0)(23,0)D P D C λλλλ'''==-=-易得平面AHB 的一个法向量为()0,0,1m = (1,3,0),3)HB HD '==，(2,23,23)HP HD D P λλ''=+=-设n =(,,)x y z 为平面PBH 的一个法向量，则：00n HB n HP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即得30223230x x y z λλ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩， 令3x =，得3,1,2)n λ=-，因为二面角P BH A --为34π， 所以3|cos ,||cos |4m n π<>=，即||2||2||||m n m n ⋅=-⋅， 222244λλ=+， 又因为二面角P BH A --的大小为钝角，故1λ=【点睛】本题主要考查空间直线与直线､直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力､推理论证能力､运算求解能力，考查化归与转化思想等.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>2，12,F F 分别为椭圆的左､右焦点，点P 为椭圆C 上的一动点，12PF F △面积的最大值为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，点()22,0A ，证明：直线PA 与直线QA 关于x 轴对称.【答案】（1）22142x y +=.（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据离心率和12PF F △面积的最大值为2，即可列出,,a b c 方程，即可求得结果；（2）设出直线2PF 的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理，只需求证PA QA k k =-，则问题得证.【详解】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，所以2c e a ==，即222c a =，又222a b c =+，所以b c =， 因为12MF F ∆面积的最大值为2，所以1222c b ⋅⋅=，即2c b ⋅=， 又因为b c =，所以b c ==24a =，故椭圆C 的方程为22142x y += （2）由（1）得2F ，当直线l 的斜率为0时，符合题意，当直线l 的斜率不为0时，设直线l的方程为x ty =+22142x y +=消去x 整理得：22(2)20t y ++-=，易得222)8(2)16160t t ∆=++=+>设1122(,),(,)P x y Q x y，则122122222y y t y y t ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 记直线,PA QA 的斜率分别为,PA QA k k ，则2244()0PA QA k k t t +++=---==所以PA QA k k =-，因此直线PA 与直线QA 关于x 轴对称.【点睛】本题主要考查直线椭圆､直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力､推理论证能力，考查函数与方程思想､化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，20.已知函数2()ln (1)2a f x x x a x =-+-(a R ∈). （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证： 3226(1ln )23501x x x x x-+--<-. 【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，对参数进行分类讨论，根据导数正负，即可判断函数单调性；（2）构造函数32()6(1ln )235h x x x x x =-+--，利用导数判断其单调性和最值，即可容易证明.【详解】（1）定义域为(0,)+∞， 21(1)1(1)(1)()(1)ax a x ax x f x ax a x x x---+-'=-+-=-=- 当0a ≥时，10ax +>，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)+∞；当0a <时，令()0f x '=，得1x =或1x a=-， 当1a =-时，2(1)()0x f x x-=≥'恒成立， 所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无减区间；所以函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭和(1,)+∞，单调递减区间为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当10a -<<时，11a->， 所以函数()f x 的单调递增区间为()0,1和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)+∞；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无减区间；当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(1,)+∞，单调递减区间为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当10a -<<时，函数()f x 的单调递增区间为()0,1和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）设32()6(1ln )235h x x x x x =-+--，22()666ln 666(ln )h x x x x x x x '=--+-=--+，由（1）可知，当2a =时，2()ln f x x x x =-+，且()f x 的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)+∞， 所以()h x '的单调递增区间为(1,)+∞，递减区间为(0,1)，故()(1)0h x h ''≥=，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增又(1)6(1ln1)2350h =-+--=，所以当01x <<时，()0h x <，1x >时，()0h x >；又当01x <<时，210x ->，1x >时，210x -<所以3226(1ln )23501x x x x x -+--<- 【点睛】本小题主要考查导数及其应用､不等式等基础知识，考查推理论证能力､运算求解能力､创新意识等，考查函数与方程思想､化归与转化思想､分类与整合思想､数形结合思想等.21.某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通(年卡).为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出(单位：百元)，并制成如下频率分布直方图：由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布2(,3.2)N μ，其中μ近似为样本平均数x (同一组数据用该组区间的中点值作代表).（1） 若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；（2） 现依次抽取n 个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件A 表示“连续3人的旅游消费支出超出μ”.若n P 表示A 的概率，1231(3,,4n n n n P aP P bP n a b ---=++≥为常数)，且0121P P P ===. （ⅰ）求3P ，4P 及a ，b ；（ⅱ）判断并证明数列{}n P 从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义.(参考数据：()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈，(33)0.9973)P X μσμσ-<<+≈【答案】（1）11.4万.（2）（ⅰ）378P =，41316P =，12a =，18=b .（ⅱ）数列{}n P 从第三项起单调递减，证明见解析，用概率统计知识解释其实际意义见解析【解析】【分析】（1）由直方图求得x 的平均数，结合正态分布的概率计算，即可容易求得旅游费用支出不低于1820元的概率，再乘以500即可；（2）（ⅰ）根据题意，即可容易求得34,P P ，再列出,a b 方程，即可求得；（ⅱ）根据递推公式计算1n n P P +-，即可判断数列的单调性；再结合实际问题，进行解释.【详解】（1）直方图可得()0.012540.0580.1375120.375160.12520411.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯= ∵11.8x μ==， 3.2σ=，218.2μσ+=∴旅游费用支出不低于1820元的概率为1(22)10.9544(2)0.022822P x P x μσμσμσ--<<+-≥+===， ∴5000.022811.4⨯=，估计2019年有11.4万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1820元.（2）（ⅰ）317188P =-=，4211311616P +=-=， 所以321043211,41,4P aP P bP P aP P bP ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩即71,841371,1684a b a b ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 解得1,21.8a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（ⅱ）数列{}n P 从第三项起单调递减123111(3)248n n n n P P P P n ---=++≥， 故1n n P P +-12123111111248248n n n n n n P P P P P P -----⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12311112488n n n n P P P P ---=---12312311111112248488n n n n n n P P P P P P ------⎛⎫=++--- ⎪⎝⎭ 3116n P -=- 又0n P >，所以31016n P --<， 即从第三项起数列{}n P 单调递减.由此，可知随着抽查人数n 的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出μ”的可能性会越来越小. （即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出μ这一事件)【点睛】本小题主要考查频率分布直方图､平均数､正态分布､随机事件的概率､数列及其性质等基础知识，考查运算求解能力､数据处理能力､应用意识，考查分类与整合思想､统计思想､化归与转化思想. 22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩.(α为参数)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 80ρθρθ+-=. （1）求A 的直角坐标和 l 的直角坐标方程； （2）把曲线1C 上各点的横坐标伸长为原来的22C ，B 为2C 上动点，求AB 中点P 到直线l 距离的最小值.【答案】（1）A 的直角坐标：()0,1，l 的直角坐标方程：280x y +-=.（2【解析】【分析】（1）根据极坐标和直角坐标的转化公式，即可容易求得结果；（2）设出B 点坐标的参数形式，将问题转化为求三角函数最值的问题，即可求得.【详解】（1）因为点A 的极坐标为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线l 的极坐标方程为cos 2sin 80ρθρθ+-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， 得点A 的直角坐标为()0,1，直线l 的直角坐标方程为280x y +-=.（2）设(,)B x y，则由条件知点(2x 在曲线1C 上，所以cos 2sin x θθ⎧=⎪⎪⎨=，即2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩， 又因为P 为AB中点，所以cos θ⎛ ⎝⎭P ， 则点P 到直线l72sin πθ⎛⎫-+ ⎪= 当sin 16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，72sin 6πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值5， 故AB 中点P 到直线l 距离.【点睛】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化､参数方程的应用，意在考查考生综合运用知识和运算求解能力.23.已知函数()1,f x x m x m N *=-++∈. 若存在实数x 使得()3f x <成立.（1）求m 的值；（2）若,0αβ>，()()411m αβ--=，求αβ+的最小值.【答案】（1）1.（2）94 【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得()f x 的最小值，再解绝对值不等式即可求得；（2）利用,αβ的等量关系，结合均值不等式即可求得最小值.【详解】（1）存在实数x 使得()3f x <成立等价于存在实数x 使得12-++<x m x 成立， 而111x m x x m x m -++≥---=+，当且仅当()()10x m x -+≤时取得.故存在实数x 使得()3f x <成立等价于13m +<，解得42m -<<，又因为*m N ∈，则1m =（2）由（1）得1m =，故()()4111αβ--=， 所以1141βα=+-， 由,0αβ>， 故14104141αβαα=+=>--， 所以14α>，1β>111559141441444αβαααα+=++=-++≥=--， 当且仅当33,42αβ==时取最小值94【点睛】本小题考查含绝对值､参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力､推理论证能力，考查化归与转化思想等.。