广东惠州市高一数学《23变量间的相关关系(2)》学案
高中数学23变量间的相关关系一二全册精品教案新人教A版必修3教案
高中数学23变量间的相关关系一二全册精品教案新人教A版必修3教案教案名称：高中数学23变量间的相关关系一、二全册精品教案教材版本：新人教A版必修3教学目标：1.掌握变量之间的相关关系的概念；2.理解相关系数的含义和计算方法；3.能够应用相关关系解决实际问题；4.培养学生分析和解决问题的能力。
教学重点：1.相关系数的计算方法；2.相关关系的实际应用。
教学难点：1.相关系数的计算和解释；2.相关关系在实际问题中的应用。
教学准备：1.教师准备板书工具，包括黑板、彩色粉笔等；2.教师准备教学用具，如教学课件、实验仪器等。
教学过程：第一课时：1.导入（5分钟）教师通过引入相关关系在日常生活中的例子，引起学生的思考和兴趣，如“你有没有觉得吃得越多睡得越香？”、“你觉得天气越热人们购买冷饮的数量会有什么变化？”等。
2.引入（10分钟）教师通过示意图和简单的计算，引导学生理解变量之间的相关关系，并介绍相关系数的定义和计算方法。
3.基础知识讲解（25分钟）3.1相关系数的含义和计算方法：教师通过示例和公式解释相关系数的含义和计算方法，让学生掌握相关系数的计算公式。
3.2相关系数的性质和意义：教师讲解相关系数的性质和意义，引导学生理解相关系数与变量之间的线性关系程度的关系。
4.练习（10分钟）教师布置一些相关系数的计算练习题，让学生进行个人或小组练习。
第二课时：5.复习（5分钟）回顾上节课学习的内容，教师提问学生相关系数的计算方法及其含义，并解答学生疑惑。
6.拓展（15分钟）6.1相关系数的解读：教师通过实例和图表解释如何解读相关系数的大小和正负号。
6.2相关系数的应用：教师介绍相关系数在实际问题中的应用，如市场调研、经济预测等。
7.实验（20分钟）教师组织学生进行相关系数实验，通过观察和数据统计，让学生进一步理解相关系数的计算方法和含义。
8.总结归纳（10分钟）教师引导学生总结相关系数的计算方法、含义和应用，并与学生一起完成相关关系的概念思维导图。
高中数学2.3.1变量间的相关关系教案(2)(新人教B版必修3)
《变量间的相关关系》教学设计一、教材分析学生情况分析：学生已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，且掌握了一定的计算机基础，主要是电子表格的使用。
教材地位和作用：变量间的相关关系是高中新教材人教B版必修3第二章2.3节的内容, 本节课主要探讨如何利用线性回归思想对实际问题进行分析与预测。
为以后更好地研究选修2-3第三章3.2节回归分析思想的应用奠定基础。
结合教材特点及学情，特制定三维教学目标如下：二、教学目标1、知识与技能：利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想及2回归方程系数公式的推导过程，利用电子表格求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回归直线方程含义的理解2 、过程与方法：①通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法。
②通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力，引出利用计算机等现代化教学工具的必要性。
3、情感、态度与价值观：类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意识。
利用计算机让学生动手操作，合作交流激发学生的学习兴趣。
三、教学重点、难点重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系，了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程。
教学内容的难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解教学实施过程中的难点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。
四、教学媒体设计本节课涉及大量数据计算及分析，用传统方法很难突破，故我主要采用电子表格和几何画板，通过学生动手操作、教师动画演示、师生合作交流来突出重点、突破难点。
学生学习效果有明显提高。
五、教学设计（具体如下表）（一）、创设情境导入新课1、相关关系的理解师：我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。
生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？让学生举例，教师总结如：生：不是。
变量间的相关关系教案
变量间的相关关系教案一、教学目标1. 让学生理解变量间的相关关系的概念。
2. 让学生掌握如何判断两个变量之间的相关关系。
3. 让学生学会如何绘制相关系数图。
4. 让学生能够运用相关关系解决实际问题。
二、教学内容1. 变量间的相关关系定义。
2. 相关关系的判断方法。
3. 相关系数图的绘制。
4. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：变量间的相关关系概念，判断方法，相关系数图的绘制。
2. 教学难点：相关系数图的绘制，实际问题中的应用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解变量间的相关关系定义、判断方法和绘制相关系数图的步骤。
2. 案例分析法：分析实际问题，让学生学会运用相关关系解决问题。
3. 互动教学法：引导学生提问、讨论，提高学生的参与度。
五、教学过程1. 导入：通过一个实例引入变量间的相关关系概念。
2. 讲解：讲解变量间的相关关系定义、判断方法，并进行相关系数图的绘制演示。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生学会运用相关关系解决问题。
4. 练习：让学生独立完成相关系数图的绘制，并分析实际问题。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评价1. 评价方式：采用课堂表现、练习完成情况和课后作业三种方式进行评价。
2. 评价内容：（1）课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的情况。
（2）练习完成情况：检查学生练习题的完成质量，包括相关系数图的绘制和实际问题的分析。
（3）课后作业：评估学生作业的完成情况，巩固所学知识。
七、教学反思1. 反思内容：（1）教学内容：回顾本节课的教学内容，确认是否全面覆盖了变量间的相关关系概念、判断方法和实际应用。
（3）课堂互动：评估学生的参与程度，思考如何提高学生的积极性和主动性。
（4）作业布置：检查作业的难度和量，确保学生能够通过作业巩固所学知识。
八、拓展与延伸1. 相关研究：介绍变量间相关关系在学术研究中的应用，如心理学、经济学等领域。
2. 实际案例：分析更多实际问题，让学生了解相关关系在生活中的重要作用。
高中数学 第2章 2.3 变量间的相关关系 学案
§2.3 变量间的相关关系2.3.1 变量之间的相互关系 2.3.2 两个变量的线性相关【明目标、知重点】1．理解两个变量的相关关系的概念．2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系． 3．会求回归直线的方程． 【填要点、记疑点】 1．两个变量的线性相关(1)散点图：将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形．(2)正相关与负相关：①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2．回归直线的方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程．(3)回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^是回归方程的斜率，a ^是截距． 3．最小二乘法通过求Q ＝ i ＝1n(y i －bx i －a )2的最小值而得出回归直线的方法，即求出的回归直线使样本数据中的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． 【探要点、究所然】[情境导学] 在学校里，老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题．”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，显然，这种关系不能用我们熟悉的函数关系来描述，那么这究竟是一种什么关系？下面我们共同来研究. 探究点一 变量之间的相关关系思考1 当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被唯一确定，则这两个变量之间是怎样的关系？考察下列问题中两个变量之间是什么关系？为什么？ (1)商品销售收入与广告支出经费；(2)粮食产量与施肥量；(3)人体内的脂肪含量与年龄．答当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被唯一确定，这两个变量是一个函数关系．(1)、(2)、(3)都不是函数关系，因为当其中一个变量变化时，另一个变量的变化还受其它因素的影响．思考2“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？为什么？答不是函数关系．因为学生的成绩提高的原因是多个因素的共同结果，并不由老师这一个因素唯一确定．况且一个老师教几十个学生，也有成绩差的．小结思考1、思考2中两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系．思考3函数关系与相关关系之间的区别与联系是怎样的？答函数关系中的两个变量间是一种确定性关系；相关关系是一种非确定性关系．函数关系是一种因果关系而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定条件下可以互相转化．例1在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．解两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．反思与感悟如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的，由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系，从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么．跟踪训练1有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语．吸烟是否一定会引起健康问题？有人认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法对吗？解从已经掌握的知识来看，吸烟会损害身体的健康，但是除了吸烟之外，还有许多其他的随机因素影响身体健康，人体健康是很多因素共同作用的结果．我们可以找到长寿的吸烟者，也更容易发现由于吸烟而引发的患病者，所以吸烟不一定引起健康问题．但吸烟引起健康问题的可能性大．因此“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法是不对的．探究点二散点图问题在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：思考1答随着年龄的增加，人体中脂肪的百分比也有所增加．思考2以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？答思考3阅读教材85页，你能说出散点图的定义吗？答在平面直角坐标系中，表示两个变量的一组数据图形，称为散点图．思考4阅读教材86页上半页后，你能说出正相关是如何定义的吗？类比正相关的定义，你能给负相关下个定义吗？答在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．一个变量随另一个变量的变大而变小称为负相关，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．思考5你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗？答成正相关的如：商品销售收入与广告支出经费；作文水平与课外阅读量；粮食产量与施肥量．成负相关的如：在一定范围内汽车的重量和汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程．例2以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋面积的数据：解散点图如下：由上图可看出，销售价格与房屋面积这两个变量正相关．反思与感悟画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或过小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．跟踪训练2一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：(2)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？解(1)散点图如下：(2)加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系．探究点三回归直线思考1在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？答 这些点大致分布在一条直线附近．小结 回归直线的定义：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．思考2 在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画出回归直线？借助计算机怎样画出回归直线？答 不能用直尺准确画出回归直线．用计算机中Excel 可以方便地画出回归直线(见教材)．探究点四 回归方程问题 在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程，回归直线的方程称为回归方程．对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系，并根据回归方程对总体进行估计，那么如何求出回归直线的方程呢？思考1 回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？答 整体上最接近．选择能反映直线变化的两个点．思考2 对一组具有线性相关关系的样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，设其回归方程为y ^＝bx ＋a ，可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？答 可以用|y i －y ^i |或(y i －y ^i )2，其中y ^i ＝bx i ＋a .(如图)思考3 为了从整体上反映n 个样本数据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适？ 答 Q ＝∑i ＝1n(y i －y ^i )2＝(y 1－bx 1－a )2＋(y 2－bx 2－a )2＋…＋(y n －bx n －a )2.小结 根据有关数学原理分析，当b ^＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x 时，总体偏差Q ＝ i ＝1n(y i －y ^i )2为最小，这样就得到了回归方程，这种求回归方程，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．思考4 回归方程中，a ^，b ^的几何意义分别是什么？答 b ^是回归方程的斜率，a ^是截距．思考5 利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程y ^＝0.577x－0.448，由此我们可以根据一个人的年龄预测其体内脂肪含量的百分比的回归值．若某人37岁，则其体内脂肪含量的百分比约为多少？答 将x ＝37代入方程y ^＝0.577x －0.448， 得0.577×37－0.448＝20.901.所以其体内脂肪含量的百分比约为20.901%.例3 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律； (3)求回归方程；(4)如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数． 解 (1)散点图如图所示：(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出回归方程的系数．利用计算器容易求得回归方程y ^＝－2.352x ＋147.767.(4)当x ＝2时，y ^＝143.063.因此，某天的气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮． 反思与感悟 对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a ，b 的计算公式，算出a ，b .由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误，求线性回归方程的计算顺序：计算平均数x ，y ；计算x i 与y i 的积，求∑x i y i ；计算∑x 2i ；将结果代入公式求b ^；用a ^＝y －b ^x 求a ^；写出回归直线方程．思考6 气温为2℃时，小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吗？为什么？答 小卖部不一定能够卖出143杯左右热饮，原因如下：(1)回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存在误差，这种误差可以导致预测结果的偏差．(2)即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于x 的预报值，能够与实际值y 很接近．我们不能保证点(x ，y )落在回归直线上，甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近．跟踪训练3 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.系，说明理由；(2)如果具有线性相关关系，求出回归直线方程． 解 (1)在直角坐标系中画出数据的散点图，如下图．直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系． (2)计算相应的数据之和：∑i ＝18x i ＝1 031，∑i ＝18y i ＝71.6，∑i ＝18x 2i ＝137 835，∑i ＝18x i y i ＝9 611.7. 将它们代入公式计算得b ^≈0.077 4，a ^≈－1.024 9，所以，所求回归方程为y ^＝0.077 4x －1.024 9. 【当堂测、查疑缺】1．下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系( )A ．正方体的棱长和体积B ．圆半径和圆的面积C ．正n 边形的边数和内角度数之和D ．人的年龄和身高 答案 D解析A 、B 、C 都是函数关系，对于A ，V ＝a 3；对于B ，S ＝πr 2；对于C ，g (n )＝(n －2)π.而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高，∴选D.2．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可判定其体重必为58.79 kg 答案 D解析 当x ＝170时，y ^＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg. 3．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元答案 B解析 由题意可知x ＝3.5，y ＝42，则42＝9.4×3.5＋a ^，a ^＝9.1，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5，答案应选B.4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是 ( ) A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④答案 D解析 ①回归方程中x 的系数为正，不是负相关；④方程中的x 的系数为负，不是正相关，∴①④一定不正确． 【呈重点、现规律】1．判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关． 2．求回归直线方程时应注意的问题(1)知道x 与y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．(2)用公式计算a ^、b ^的值时，要先算出b ^，然后才能算出a ^.3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则x ＝x 0处的估计值为y ^0＝b ^x 0＋a ^.。
高一数学必修三导学案23变量间的相关关系(2)27
§2.3变量间的相关关系〔2〕【学习目标】：〔1〕利用散点图直观熟悉两个变量之间的线性关系。
〔2〕了解最小二乘法，会求线性回归方程。
【学习难点】：利用散点图直观熟悉两个变量之间的线性关系，求线性回归方程。
【学习难点】:会求线性回归方程。
【教学过程】：一、回忆预习案1、在争论两个变量之间是否存在某种关系时，必需从散点图入手。
对于散点图有以下结论：〔1〕假如全部的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系。
即变量之间有函数关系。
〔2〕假如全部的样本点都落在某一函数曲线四周，变量之间就相关关系。
〔3〕假如散点图中点的分布___________大致在一条直线四周，我们就称这两个变量之间具有__________关系，这条直线就叫做____________。
2、最小二乘法：的方法叫做最小二乘法。
3、一般设线性回归方程为ax b y ˆ+= ，其中b 和a 公式为 。
〔1〕其中b 为回归方程的 a为回归方程的 。
(2)____________肯定在回归直线上。
二、争论展现案 合作探究，争论展现例1、以下说法中正确的选项是〔 〕A 、任何两个变量都具有相关关系B 、人的学问与其年龄具有相关关系C 、散点图中的各点是分散的没有规律D 、依据散点图求得的回归直线方程都是有意义的例2 、变量y 与x 之间的回归方程〔 〕A 、表示y 与x 之间的函数关系B 、表示y 和x 之间的不确定关系C 、反映y 和x 之间真实关系的形式D 、反映y 与x 之间的真实关系到达最大限度的吻合 例3、假设用水量x 与某种产品的产量y 的回归直线方程是ˆy =2x ＋1250，假设用水量为50kg时，估计的某种产品的产量是〔 〕A 、1350 kgB 、大于 1350 kgC 、小于1350kgD 、以上都不对例4、线性回归方程ˆy=b ˆx ＋a ˆ必过〔 〕 A 、(0，0)点 B 、(x ，0)点 C 、(0，y )点 D 、(x ，y )点例5、下表供应了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x 吨与相应的生 产能耗y 〔吨标准煤〕的几组对比数据。
最新人教版高中数学必修三变量间的相关关系(2)优质教案
第2课时（一）导入新课思路1客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数学是“因”,物理是“果”,或者反过来说.事实上数学和物理成绩都是“果”,而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度.所以说,函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系.为表示这种相关关系,我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.思路2某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：气温/℃26 18 13 10 4 -1杯数20 24 34 38 50 64如果某天的气温是-5 ℃,你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？为解决这个问题我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.（二）推进新课、新知探究、提出问题（1）作散点图的步骤和方法？（2）正、负相关的概念？（3）什么是线性相关？（4）看人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？（5）什么叫做回归直线？（6）如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？它有什么样的思想？（7）利用计算机如何求回归直线的方程？（8）利用计算器如何求回归直线的方程？活动：学生回顾,再思考或讨论,教师及时提示指导.讨论结果：（1）建立相应的平面直角坐标系,将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图.（a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系）（2）如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（3）如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系.（4）大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加,呈正相关的趋势,我们可以从散点图上来进一步分析.（5）如下图：从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线(regression line).如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程),那么我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表.（6）从散点图上可以发现,人体的脂肪百分比和年龄的散点图,大致分布在通过散点图中心的一条直线.那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢?有的同学可能会想,我可以采用测量的方法,先画出一条直线,测量出各点与它的距离,然后移动直线,到达一个使距离的和最小的位置,测量出此时的斜率和截距,就可得到回归方程了.但是,这样做可靠吗?有的同学可能还会想,在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相同.同样地,这样做能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗?还有的同学会想,在散点图中多取几组点,确定出几条直线的方程,再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数,将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距.同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行?（学生讨论：1.选择能反映直线变化的两个点.2.在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同.3.多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距.）教师：分别分析各方法的可靠性.如下图：上面这些方法虽然有一定的道理,但总让人感到可靠性不强.实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的距离最小”.人们经过长期的实践与研究,已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====.)1(,)())((2121121x b y a x n x yx n yx x x y y x x b n i i ni ii n i i ni i i其中，b 是回归方程的斜率，a 是截距.推导公式①的计算比较复杂，这里不作推导.但是,我们可以解释一下得出它的原理. 假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )， 且所求回归方程是^y =bx+a,其中a 、b 是待定参数.当变量x 取x i (i=1,2,…,n)时可以得到^y =bx i +a(i=1,2,…,n), 它与实际收集到的y i 之间的偏差是y i -^y =y i -(bx i +a)(i=1,2,…,n).这样，用这n 个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.由于（y i -^y ）可正可负，为了避免相互抵消，可以考虑用∑=-ni i iy y1^||来代替，但由于它含有绝对值，运算不太方便，所以改用Q=(y 1-bx 1-a)2+(y 2-bx 2-a)2+…+(y n -bx n -a)2 ② 来刻画n 个点与回归直线在整体上的偏差.这样，问题就归结为:当a,b取什么值时Q最小，即总体偏差最小.经过数学上求最小值的运算，a,b的值由公式①给出.通过求②式的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法（method of least square）.（7）利用计算机求回归直线的方程.根据最小二乘法的思想和公式①，利用计算器或计算机，可以方便地求出回归方程.以Excel软件为例,用散点图来建立表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的线性回归方程,具体步骤如下：①在Excel中选定表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的散点图（如下图）,在菜单中选定“图表”中的“添加趋势线”选项,弹出“添加趋势线”对话框.②单击“类型”标签,选定“趋势预测/回归分析类型”中的“线性”选项,单击“确定”按钮,得到回归直线.③双击回归直线,弹出“趋势线格式”对话框.单击“选项”标签,选定“显示公式”,最后单击“确定”按钮,得到回归直线的回归方程^y=0.577x-0.448.（8）利用计算器求回归直线的方程.用计算器求这个回归方程的过程如下：所以回归方程为^y =0.577x-0.448.正像本节开头所说的，我们从人体脂肪含量与年龄这两个变量的一组随机样本数据中，找到了它们之间关系的一个规律，这个规律是由回归直线来反映的. 直线回归方程的应用:①描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系.②利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x ）代入回归方程对预报量（即因变量Y ）进行估计,即可得到个体Y 值的容许区间.③利用回归方程进行统计控制规定Y 值的变化,通过控制x 的范围来实现统计控制的目标.如已经得到了空气中NO 2的浓度和汽车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流量来控制空气中NO 2的浓度. （三）应用示例思路1例1 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表： 摄氏温度/℃ -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 热饮杯数15615013212813011610489937654（1）画出散点图；（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；（3）求回归方程；（4）如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数.解：（1）散点图如下图所示：（2）从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少.（3）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式①求出回归方程的系数. 利用计算器容易求得回归方程^y =-2.352x+147.767.(4)当x=2时，^y =143.063.因此，某天的气温为2 ℃时，这天大约可以卖出143杯热饮. 思考气温为2 ℃时，小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吗？为什么？ 这里的答案是小卖部不一定能够卖出143杯左右热饮，原因如下：1.线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差.2.即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于x 的预报值，能够与实际值y 很接近.我们不能保证点（x,y ）落在回归直线上，甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近，事实上，y=bx+a+e=^y +e.这里e 是随机变量，预报值^y 与实际值y 的接近程度由随机变量e 的标准差所决定.一些学生可能会提出问题：既然不一定能够卖出143杯左右热饮，那么为什么我们还以“这天大约可以卖出143杯热饮”作为结论呢？这是因为这个结论出现的可能性最大.具体地说，假如我们规定可以选择连续的3个非负整数作为可能的预测结果，则我们选择142，143和144能够保证预测成功（即实际卖出的杯数是这3个数之一）的概率最大.例2 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料. 机动车辆数x ／千台 95 110 112 120 129 135 150180 交通事故数y ／千件6.27.57.78.58.79.810.213(1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系,如果不具有线性相关关系,说明理由； (2)如果具有线性相关关系,求出线性回归方程.解：（1）在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系． (2)计算相应的数据之和：∑=81i ix=1 031，∑=81i iy=71.6,∑=812i ix=137 835，∑=81i ii yx =9 611.7.将它们代入公式计算得b≈0.077 4,a=-1.024 1, 所以,所求线性回归方程为=0.077 4x-1.024 1.思路2例1 给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据： 施化肥量x15202530354045水稻产量y 330 345 365 405 445 450455(1)画出上表的散点图; (2)求出回归直线的方程.解：(1)散点图如下图．(2)表中的数据进行具体计算,列成以下表格:i 1 2 3 4 5 6 7 x i 15 20 25 30 35 40 45 y i 330 345 365 405 445 450 455 x i y i4 9506 9009 12512 15015 57518 00020 47587175,1132725,7000,3.399,3071712712=====∑∑∑===i i i i ii iy x y x y x故可得到 b=230770003.39930787175⨯-⨯⨯-≈4.75, a=399.3-4.75×30≈257.从而得回归直线方程是^y =4.75x+257.例2 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验,测得数据如下：零件个数x （个） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间y （分）626875818995102108115122请判断y 与x 是否具有线性相关关系,如果y 与x 具有线性相关关系,求线性回归方程．解：在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系．由测得的数据表可知：∑===1012,7.91,55i ix y x =38 500,∑=1012i iy =87 777,∑=101i i i y x =55 950.b=2210121015510385007.915510559501010⨯-⨯⨯-=--∑∑==x xyx yx i ii ii≈0.668. a=x b y -=91.7-0.668×55≈54.96.因此,所求线性回归方程为^y =bx+a=0.668x+54.96. 例3 已知10条狗的血球体积及红血球数的测量值如下： 血球体积x(mL) 45 42 46 48 42 35 58 40 3950 红血球数y(百万)6.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72（1）画出上表的散点图； （2）求出回归直线的方程.解：（1）散点图如下.（2）101=x (45+42+46+48+42+35+58+40+39+50)=44.50, 101=y (6.53+6.30+9.52+7.50+6.99+5.90+9.49+6.20+6.55+8.72)=7.37. 设回归直线方程为^y =bx+a,则b=210121011010x xyx yx i ii ii --∑∑===0.175,a=x b y -=-0.418,所以所求回归直线的方程为^y =0.175x-0.148.点评：对一组数据进行线性回归分析时,应先画出其散点图,看其是否呈直线形,再依系数a,b 的计算公式,算出a,b ．由于计算量较大,所以在计算时应借助技术手段,认真细致,谨防计算中产生错误,求线性回归方程的步骤：计算平均数y x ,；计算x i 与y i 的积,求∑x i y i ；计算∑x i 2；将结果代入公式求b ；用a=x b y -求a ；写出回归直线方程． （四）知能训练1.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）A.角度和它的余弦值B.正方形边长和面积C.正ｎ边形的边数和它的内角和D.人的年龄和身高答案：Ｄ2．三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是（ ） A.^y =5.75-1.75x B.^y =1.75+5.75x C.^y =1.75-5.75x D.^y =5.75+1.75x答案：Ｄ3．已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y （万元）,有如下统计资料： 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y2．23．85．56．57．0设y 对x 呈线性相关关系．试求：（1）线性回归方程^y =bx+a 的回归系数a,b ； （2）估计使用年限为10年时,维修费用是多少？答案：（1）b=1.23,a=0.08；（2）12.38.4．我们考虑两个表示变量x 与y 之间的关系的模型,δ为误差项,模型如下： 模型1：y=6+4x ；模型2：y=6+4x+e ． （1）如果x=3,e=1,分别求两个模型中y 的值；（2）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型．解：（1）模型1：y=6+4x=6+4×3=18； 模型2：y=6+4x+e=6+4×3+1=19.（2）模型1中相同的x 值一定得到相同的y 值,所以是确定性模型；模型2中相同的x 值,因δ的不同,所得y 值不一定相同,且δ为误差项是随机的,所以模型2是随机性模型． 5．以下是收集到的新房屋销售价格y 与房屋大小x 的数据： 房屋大小x （m 2） 80 105 110 115135 销售价格y （万元）18.42221.624.829.2（1）画出数据的散点图；（2）用最小二乘法估计求线性回归方程.解：（1）散点图如下图.（2）n=5,∑=51i ix=545,x =109,∑=51i iy=116,y =23.2,∑=512i ix=60 952,∑=51i ii yx =12 952,b=2545609525116545129525-⨯⨯-⨯≈0.199,a=23.2-0.199×109≈1.509,所以,线性回归方程为y=0.199x+1.509． （五）拓展提升某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出（X i ）与公司所获得利润（Y i ）的统计资料如下表：科研费用支出（X i ）与利润（Y i ）统计表 单位：万元年份 科研费用支出利润 1998 1999 2000 2001 2002 2003 5 11 4 5 3 2 31 40 30 34 25 20 合计30180要求估计利润（Y i ）对科研费用支出（X i ）的线性回归模型.解：设线性回归模型直线方程为：i i X Y 1^0^^ββ+=,因为：630==∑nX x i=5,6180==∑nYY i=30, 根据资料列表计算如下表：年份X iY iX i Y iX i 2X i -XY i -Y(X i -X )2(X i -X )(Y i -Y)1998 1999 2000 2001 2002 2003 5 11 4 5 3 2 31 40 30 34 25 20 155 440 120 170 75 40 25 121 16 25 9 4 0 6 -1 0 -2 -3 1 10 0 4 -5 -10 0 36 1 0 4 9 0 60 0 0 10 30 合计301801 00020050100现求解参数β0、β1的估计值： 方法一：3006009001200540060003020061803010006)(2221^=--=-⨯⨯-⨯=--=∑∑∑∑i i ii i X X n Y Y X n β=2, x Y 1^0^ββ-==30-2×5=20.方法二：501005620030561000)(2221^=⨯-⨯⨯-=--=∑∑x n X Yx n Y X ii i β=2， x Y 1^0^ββ-==30-2×5=20.方法三：50100)())((21^=---=∑∑x X Y Y x X ii iβ=2，x Y 1^0^ββ-==30-2×5=20.所以利润（Y i ）对科研费用支出（X i ）的线性回归模型直线方程为：i Y ^=20+2X i . （六）课堂小结1．求线性回归方程的步骤： （1）计算平均数y x ,； (2)计算x i 与y i 的积，求∑x i y i ; (3)计算∑x i 2,∑y i 2，(4)将上述有关结果代入公式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====xb y a x n xyx n yx x x y y x x b ni ini ii ni i ni i i ,)())((1221121求b,a,写出回归直线方程．2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. （七）作业习题2.3A 组3、4,B 组1、2.。
变量间的相关关系教案
变量间的相关关系优秀教案一、教学目标：1. 让学生理解相关关系的概念，能够识别和描述两种变量之间的相关关系。
2. 学生能够运用相关系数来衡量两个变量之间的相关程度。
3. 学生能够运用图表和数学模型来分析变量之间的相关关系。
4. 培养学生的数据分析能力和问题解决能力。
二、教学内容：1. 相关关系的概念和类型。
2. 相关系数的计算和解读。
3. 散点图在分析相关关系中的应用。
4. 线性回归方程的构建和应用。
5. 实际案例分析，运用相关关系解决实际问题。
三、教学重点与难点：重点：相关关系的概念和类型，相关系数的计算和解读，散点图在分析相关关系中的应用。
难点：线性回归方程的构建和应用，实际案例分析。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实际案例来理解和应用相关关系。
2. 使用多媒体教学资源，如图表和数学软件，辅助学生直观地理解相关关系。
3. 组织小组讨论和合作活动，培养学生的团队合作能力和问题解决能力。
4. 提供充足的练习机会，让学生通过实践来巩固所学知识。
五、教学过程：1. 引入：通过一个简单的实际案例，引导学生思考两种变量之间的关系。
2. 讲解相关关系的概念和类型，解释相关系数的意义。
3. 演示如何通过散点图来分析两种变量之间的相关关系。
4. 讲解线性回归方程的构建过程，并演示如何应用线性回归方程来预测未知数据。
5. 提供实际案例分析，让学生运用相关关系来解决实际问题。
7. 布置作业，让学生通过练习来巩固所学知识。
六、教学评估与反馈：1. 通过课堂练习和作业，评估学生对相关关系概念的理解程度。
2. 通过小组讨论和案例分析，评估学生在实际问题中运用相关关系的能力。
3. 收集学生的疑问和困难，及时给予反馈和解答。
4. 鼓励学生提出自己的观点和思考，促进学生的主动学习。
七、拓展与深化：1. 介绍相关关系在社会科学、自然科学和工程科学中的应用。
2. 探讨非线性相关关系和多变量相关关系的研究方法。
高中数学《变量间的相关关系》导学案设计
2．3．1变量间的相关关系学案一、目标:明确事物间的相互关系，认识现实生活中的变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系。
二、教学过程预习检测1.什么叫散点图： 叫做散点图。
2.三种关系：①如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即 ②如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有 ③如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有 3.正、负相关的概念。
如果散点图中的点分布在从左下角到右上角的区域内，称为 如果散点图中的点分布在从左上角到右下角的区域内，称为 4.线性相关的概念： 教学实图：人体的脂肪百分比和年龄如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有 关系，这条直线叫做_ ，回归直线对应的方程叫回归直线方程,它的方程简称 。
设回归方程为a x b y +=，则有1122211()()()________________n ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a ====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=⎩∑∑∑∑ ，其中1ni i x x ==∑，1ni i y y ==∑，b 是回归方程的_______，a是_______。
线性回归方程过点（ ） 三、概念巩固：1.下列关系中，是带有随机性相关关系的是① 正方形的边长面积之间的关系；② 水稻产量与施肥量之间的关系③ 人的身高与年龄之间的关系④ 降雪量与交通事故的发生率之间的关系。
2.下列关系不属于相关关系的是 （ ） A 人的年龄和身高 B 球的表面积与体积。
C 家庭的收入与支出。
D 人的年龄与身体脂肪含量。
3.下列两个变量之间的关系，不是函数关系的是 （ ）。
A ，角度和它的余弦值。
B 正方形的边长和面积。
B ．正n 边形的边数和内角和。
D 人的年龄和身高。
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广东惠州市高一数学《23变量间的相关关系（2）》学案
【学习目标】
1 •能正确绘制散点图；
2 •会应用最小二乘法求回归方程，并理解回归直线的预报功能. 【重点难点】 1. 应用最小二乘法求回归方程； 2.比较深刻地体会回归直线的预报
功能.
【使用说明及学法指导】
1 .结合预习案阅读课本P 84 F 89及“优化训练” P 46巴9 ,再顺次完成其它部分.
2. 本课必须牢记的内容：散点图、正相关、负相关、回归直线、最小二乘法的有关概念.
预习案
一、知识梳理
1 .在散点图中，如果数据点大致分布在一条直线附近，就称两个变量具有 ___________ 关系.
这条直线叫做 ______________ ，它的方程叫做 ________________ . 对具有 ___________ 的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。
2 .最小二乘法： _______________________________________________________________________ .
b
3. 根据最小二乘法，回归方程 ? bx 召中的?, b?由下列公式给出：
a
二、问题导学
1. 对于课本所给公式②，你能明白数学符号的具体含义吗？
2. 获得实验数据后，我们首先应做什么事情？如果两变量具有什么关系时，我们才应用最小 二乘法？应用最小二乘法时，你有什么方法能保证运算的准确度? 、预习自测
1.变量y 与x 之间的回归方程（
A .表示y 与x 之间的函数关系
B . 表示y 与x 之间的不确定关系
C.反映y 与x 之间真实关系的形式 D . 反映y 与x 之间的真实关系达到最大限度的吻合
2.线性回归直线？ bx ?必过点（
)
A .
0,0
B .
x,0 C .
0,y D .x, y
3. _________________________________________________________________ 对于回归方程 ?
4.75x 257，当x 28时，y 的估计值是 ______________________________________ ;若x 增加一个 单位，则预计y 将 _____________ （填“增加”或“减小” ）
_______ 个单位。
4.
由上表可得回归方程？依a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A. 63. 6万元
B. 65. 5万元
C. 67. 7万元
D. 72. 0万元
探究案
例1、为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月号到5号每天打篮球时间x （单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：
小李这5天的平均投篮命中率为 ______________________ ;用线性回归分析的方法，预测小
李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 ___________________ .
例2、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生
产能耗照数据：
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程？ bX ?；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值：3X2 .5+4X 3+5X 4+6X4 .5=66.5 ）
课堂训练与检测
1•若用水量x与某种产品的产量y的回归直线方程是? 2x 1250，若用水量为50kg时，预计的某种产品的产量是（）
A. 1350 kg B .大于1350 kg C .小于1350kg D .以上都不对
2•某数学老师身高176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 170cm和182cm.因儿
子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为—cm 。
3. 某公司本年度前五个月的利润（单位：万元）如下
估计6月份的利润额为（）
A. 5
B. 5.5
C. 5.7
D. 6。