空间点、线、面之间的位置关系

空间点、线、面之间的位置关系【知识梳理】1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的___两点_____在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过__这个公共点___的一条直线．公理3：经过______不在同一条直线上______________的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过_____一条直线和这条直线外的一点_______________，有且只有一个平面． 推论2：经过___两条相交直线_____________，有且只有一个平面． 推论3：经过____两条平行直线____________，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内______________的直线是异面直线． (3)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的____________叫做异面直线a ，b 所成的角．②范围：____________.答案：(1)平行 相交 (2)不经过该点 (3)①锐角或直角 ②⎝⎛⎦⎤0，π2 3.同一条直线 4.相等 3．公理4平行于______同一条直线______的两条直线互相平行． 4．定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角___相等_____． 【自我检测】 1．若直线a 与b 是异面直线，直线b 与c 是异面直线，则直线a 与c 的位置关系是 平行、相交或异面． 2．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线____24____对． 3．三个不重合的平面可以把空间分成n 部分，则n 的可能取值为___4,6,7,8_____． 4．(2010·全国Ⅰ)直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成角的大小为__60°______．将直三棱柱ABC —A 1B 1C 1补成如图所示的几何体． 由已知易知：该几何体为正方体． 连结C 1D ，则C 1D ∥BA 1.∴异面直线BA 1与AC 1所成的角为∠AC 1D (或补角)， 在等边△AC 1D 中，∠AC 1D ＝60°. 5．下列命题：①空间不同三点确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； ⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形． 其中正确的命题是____④____(填序号). 【例题分析】例1、如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝2∶1，CG ∶GD ＝3∶1，过E 、F 、G 的平面交AD 于H ，连结EH .(1)求AH ∶HD ；(2)求证：EH 、FG 、BD 三线共点．(1)解 ∵AE EB ＝CFFB ＝2，∴EF ∥AC .∴EF ∥平面ACD .而EF ⊂平面EFGH ，且平面EFGH ∩平面ACD ＝GH ，∴EF ∥GH . 而EF ∥AC ，∴AC ∥GH . ∴AH HD ＝CGGD＝3，即AH ∶HD ＝3∶1. (2)证明 ∵EF ∥GH ，且EF AC ＝13，GH AC ＝14，∴EF ≠GH ，∴四边形EFGH 为梯形．令EH ∩FG ＝P ，则P ∈EH ，而EH ⊂平面ABD ，P ∈FG ，FG ⊂平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴P ∈BD .∴EH 、FG 、BD 三线共点．变式1如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且EH 与FG 相交于点O . 求证：B 、D 、O 三点共线．证明 ∵E ∈AB ，H ∈AD ，∴E ∈平面ABD ，H ∈平面ABD .∴EH ⊂平面ABD . ∵EH ∩FG ＝O ，∴O ∈平面ABD . 同理可证O ∈平面BCD ， ∴O ∈平面ABD ∩平面BCD ，即O ∈BD ，∴B 、D 、O 三点共线．例2、如图所示，直线a 、b 是异面直线，A 、B 两点在直线a 上，C 、D 两点在直线b 上．求证：BD 和AC 是异面直线．证明两直线为异面直线的方法：1．定义法(不易操作)．2．反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到． 3．判定定理．证明 假设BD 和AC 不是异面直线，则BD 和AC 共面，设它们共面于α. ∴A 、B 、C 、D ∈α，∴AB 、CD ⊂α，即a 、b ⊂α. 这与a 、b 是异面直线矛盾，故假设不成立． ∴BD 和AC 是异面直线．变式2 如图是正方体或四面体，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是___④____(填序号)．例3、(2009·全国Ⅰ)已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为____________34________________．解题导引 高考中对异面直线所成角的考查，一般出现在综合题的某一步，求异面直线所成角的一般步骤为：(1)平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点．(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． (4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0°<θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．如图，A 1D ⊥平面ABC ，且D 为BC 的中点，设三棱柱的各棱长为1，则AD ＝32，由A 1D ⊥平面ABC 知A 1D ＝12，Rt △A 1BD 中，易求A 1B ＝14＋14＝22. ∵CC 1∥AA 1，∴AB 与AA 1所成的角即为AB 与CC 1所成的角．在△A 1BA 中，由余弦定理可知cos ∠A 1AB ＝1＋1－122×1×1＝34.∴AB 与CC 1所成的角的余弦值为34.变式3 在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝132，AC ＝32，求AC 和BD 所成的角．如图所示，分别取AD 、CD 、AB 、BD 的中点E 、F 、G 、H ，连结EF 、FH 、HG 、GE 、GF .由三角形的中位线定理知，EF ∥AC ，且EF ＝34，GE ∥BD ，且GE ＝134.GE 和EF所成的锐角(或直角)就是AC 和BD 所成的角． 同理，GH ∥AD ，HF ∥BC .GH ＝12，HF ＝32，又AD ⊥BC ，∴∠GHF ＝90°，∴GF 2＝GH 2＋HF 2＝1.在△EFG 中，EG 2＋EF 2＝1＝GF 2， ∴∠GEF ＝90°，即AC 和BD 所成的角为90°.例4、如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，对角线AC 与BD 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60°. (1)求四棱锥的体积；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与P A 所成角的余弦值．多角度审题 对(1)只需求出高PO ，易得体积；对(2)可利用定义，过E 点作P A 的平行线，构造三角形再求解．解 (1)在四棱锥P —ABCD 中， ∵PO ⊥平面ABCD ，∴∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角，即∠PBO ＝60°，[2分] 在Rt △AOB 中，∵BO ＝AB ·sin 30°＝1，又PO ⊥OB ，∴PO ＝BO ·tan 60°＝3，∵底面菱形的面积S ＝2×12×2×2×32＝23，∴V P —ABCD ＝13×23×3＝2.[7分](2)取AB 的中点F ，连结EF ，DF ， ∵E 为PB 中点，∴EF ∥P A ，∴∠DEF 为异面直线DE 与P A 所成角(或其补角)．[9分] 在Rt △AOB 中， AO ＝AB ·cos 30°＝3，∴在Rt △POA 中，P A ＝6，∴EF ＝62. 在正三角形ABD 和正三角形PDB 中，DF ＝DE ＝3，由余弦定理得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝(3)2＋⎝⎛⎭⎫622－(3)22×3×62＝6432＝24.[12分]所以异面直线DE 与P A 所成角的余弦值为24.[14分] 【突破思维障碍】求两条异面直线所成的角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往将角的顶点取在其中的一条直线上．特别地，可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点．总之，顶点的选择要与已知量有关，以便于计算，具体步骤如下：(1)利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上；(2)证明作出的角即为所求角；(3)利用三角形来求解，异面直线所成角的范围是(0°，90°]． 【易错点剖析】1．求异面直线所成的角时，仅指明哪个角，而不进行证明． 2．忘记异面直线所成角的范围，余弦值回答为负值．【强化练习】 一、填空题1．和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是___异面或相交______． 2．给出下列命题：①若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么c 至多与a 、b 中的一条相交；②若直线a 与b 异面，直线b 与c 异面，则直线a 与c 异面；③一定存在平面α同时和异面直线a 、b 都平行．其中正确的命题为____③____(填序号)． ①错，c 可与a 、b 都相交；②错，因为a 、c 可能相交也可能平行；③正确，例如过异面直线a 、b 的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件3. 如图所示，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的大小为___60°___．将三角形折成三棱锥，如图所示，HG 与IJ 为一对异面直线，过D 分别作HG 与IJ 的平行线，因GH ∥DF ，IJ ∥AD ， 所以∠ADF 为所求，因此HG 与IJ 所成的角为60°.4．(2009·全国Ⅱ改编)已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成的角的余弦值为________．31010如图所示，连结A 1B ，则A 1B ∥C D 1，故异面直线BE 与CD 1所成的角即为BE 与A 1B 所成的角．设AB ＝a ，则A 1E ＝a ，A 1B ＝5a ，BE ＝2a .△A 1BE 中，由余弦定理得：cos ∠A 1BE ＝BE 2＋A 1B 2－A 1E 22BE ·A 1B ＝2a 2＋5a 2－a 22×2a ×5a＝31010.5．正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 为SA 的中点，则异面直线BE 和SC 所成的角为________．60°解析 设AC 与BD 的交点为O ，则OE ∥SC ，∴∠BEO (或其补角)即为异面直线BE 和SC 所成的角，EO ＝12SC ＝22，BO ＝12BD ＝62，在△SAB 中，cos A ＝12AB SA ＝322＝64在△ABE 中，cos A ＝AB 2＋AE 2－BE 22AB ·AE，∴BE ＝ 2.在△BEO 中，cos ∠BEO ＝BE 2＋EO 2－BO 22BE ·EO ＝12，∴∠BEO ＝60°.6．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD .则正确结论的序号是______．①③解析 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，易知AB ⊥EF ，AB ∥CM ，EF 与MN 异面，MN ⊥CD ，故①③正确．7．下面命题正确的是________(填序号)．② ①若直线a 、b 相交，b 、c 相交，则a 、c 相交； ②若a ∥b ，则a 、b 与c 所成的角相等； ③若a 、b 与c 所成的角相等，则a ∥b ； ④若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .8．在图中，G 、H 、M 、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有____________．(填上所有正确答案的序号) (2)(4)二、解答题9．如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 和AA 1的中点． 求证：(1)E ，C ，D 1，F 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．证明 (1)如图所示，连结CD 1，EF ，A 1B ， ∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点，∴EF ∥A 1B ，且EF ＝12A 1B ，(2分)又∵A1D 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1， ∴EF 与CD 1确定一个平面α， ∴E ，F ，C ，D 1∈α，即E ，C ，D 1，F 四点共面．(6分)(2)由(1)知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1，∴四边形CD 1FE 是梯形，∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，(8分) 则P ∈CE ⊂平面ABCD ， 且P ∈D 1F ⊂平面A 1ADD 1，∴P ∈平面ABCD 且P ∈平面A 1ADD 1.(10分) 又平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ，∴P ∈AD ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点．(14分)10．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、M 、N 分别为AD 、AB 、C 1D 1、B 1C 1的中点，求证：A 1P ∥CN ，A 1Q ∥CM ，且∠P A 1Q ＝∠MCN .证明 如图所示，在A 1B 1上取中点K ，易知四边形MKBC 为平行四边形．(3分) ∴CM ∥BK .又∵A 1K ∥BQ ，且A 1K ＝BQ ， ∴四边形A 1KBQ 为平行四边形， ∴A 1Q ∥BK ，(9分)由公理4有A 1Q ∥MC ，(10分) 同理可证A 1P ∥CN ，由于∠P A 1Q 与∠MCN 对应边分别平行，且方向相反．∴∠P A 1Q ＝∠MCN .(14分)11．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为AB 的中点．求异面直线BD 1与CE 所成的角的余弦值．解 延长DC 至G ，使CG ＝EB ，连结BG 、D 1G ，∵CG 綊EB ，∴四边形EBGC 是平行四边形． ∴BG ∥EC .∴∠D 1BG 就是异面直线BD 1与CE 所成的角．(6分) 在△D 1BG 中，D 1B ＝23， BG ＝5，D 1G ＝22＋32＝13.∴cos ∠D 1BG ＝D 1B 2＋BG 2－D 1G 22D 1B ·BG＝12＋5－132×23×5＝1515.∴异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值是1515.。