倒立摆校正装置的设计
倒立摆控制系统设计报告
控制系统综合设计倒立摆控制系统院（系、部）：组长：组员班级：指导教师：2014年1月2日星期四目录摘要----------------------------------------------------------------------------------3 引言----------------------------------------------------------------------------------3一、整体方案设计--------------------------------------------------------------31、需求-----------------------------------------------------------------------------32、目标-----------------------------------------------------------------------------33、概念设计----------------------------------------------------------------------34、整体开发方案设计---------------------------------------------------------35、评估----------------------------------------------------------------------------4二、系统设计--------------------------------------------------------------------4 （一）系统设计-----------------------------------------------------------------41、功能分析----------------------------------------------------------------------42、设计规和约束------------------------------------------------------------63、详细设计----------------------------------------------------------------------7 （二）机械系统设计-----------------------------------------------------------8三、理论分析---------------------------------------------------------------------91、控制系统建模----------------------------------------------------------------92、时域和频域分析------------------------------------------------------------133、设计PID或其他控制器---------------------------------------------------21四、元器件、设备选型--------------------------------------------------------30五、加工制作--------------------------------------------------------------------331、加工图纸---------------------------------------------------------------------382、材料选择----------------------------------------------------------------------383、加工方案----------------------------------------------------------------------38六、安装调试--------------------------------------------------------------------38七、经济性分析-----------------------------------------------------------------39八、结论---------------------------------------------------------------------------391、课程设计总结----------------------------------------------------------------392、感悟和体会-------------------------------------------------------------------393、致-----------------------------------------------------------------------------40九、参考文献----------------------------------------------------------------------40倒立摆控制系统设计摘要：在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。
01单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计
课程设计任务书学生姓名： 专业班级： 指导教师： 工作单位：题 目: 单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计 初始条件：要求完成的主要任务:（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）（1） 研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置的线性 数学模型－传递函数（以u 为输入，θ为输出）；（2） 要求系统输出动态性能满足,5.1%,3.16%s t s ≤≤σ试设计串联超前校正装置。
（3） 用Matlab 对校正后的系统进行仿真分析，比较校正装置加在线性化前的模型上和线性化后的模型上的时域响应有何区别，并说明原因。
（4） 对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须进行原理分析，写清楚分析计算的过程及其比较分析的结果，并包含Matlab 源程序或Simulink 仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。
时间安排：指导教师签名：年月日系主任（或责任教师）签名：年月日武汉理工大学《╳╳╳╳╳╳》课程设计说明书附件5：课程设计说明书统一书写格式设计题目正文题序层次是文章结构的框架。
章条序码统一用阿拉伯数字表示，题序层次可以分为若干级，各级号码之间加一小圆点，末尾一级码的后面不加小圆点，层次分级一般不超过4级为宜，示例如下：╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳3。
倒立摆控制系统设计与优化研究
倒立摆控制系统设计与优化研究倒立摆是一种经典的控制系统研究对象，它通常由一个杆和一个连接在杆顶端的物体组成，通过控制杆的角度使物体保持在平衡位置。
倒立摆具有复杂的非线性动力学特性，因此，设计和优化倒立摆控制系统一直是控制理论和工程应用的重要课题之一。
在倒立摆控制系统的研究中，最基本的任务是实现摆杆的角度控制。
为了保持杆子的平衡，需要确定合适的力或扭矩来作用于摆杆上。
常见的方法是使用PID控制器，通过测量摆杆的角度和角速度，并根据误差信号来调整控制输入。
PID控制器的设计涉及到参数的选择和调整，以确保系统的稳定性和性能。
除了PID控制器，还有其他控制策略可用于倒立摆控制系统。
例如，模糊控制器通过模糊逻辑和规则来处理模糊输入和输出，可以适应非线性系统的动态特性。
神经网络控制器利用人工神经网络的强大学习和自适应能力来实现控制任务。
这些控制策略在倒立摆控制系统中都有不同程度的应用，其设计和优化技术也是控制领域的研究热点。
倒立摆控制系统的设计和优化涉及到多个方面的问题。
首先，需要选择合适的传感器来测量摆杆的角度和角速度。
常见的传感器包括陀螺仪、加速度计和光电编码器等。
选择合适的传感器需要考虑传感器的精度、响应速度和成本等因素。
其次，需要建立合适的数学模型来描述倒立摆的动力学行为。
这个模型通常是一个非线性微分方程，可以根据摆杆的几何结构和运动学约束来推导。
数学模型的准确性对于控制系统的设计和优化至关重要，因为它直接影响到控制策略和参数的选择。
控制系统的设计和优化还需要考虑实际工程应用中的一些限制和要求。
例如，摆杆的物理结构和质量分布对于系统的稳定性和控制性能有着重要影响。
此外，系统的鲁棒性和抗干扰特性也是设计和优化的重要考虑因素。
这些问题需要综合考虑，采用合适的建模和控制方法来解决。
最后，倒立摆控制系统的设计和优化还需要进行实验验证和性能评估。
通过搭建实际的倒立摆系统，可以收集实验数据并与理论模型进行比较。
简易旋转倒立摆及控制装置
简易旋转倒立摆及控制装置设计报告及总结摘要倒立摆系统机理的研究不仅具有重要的理论价值，而且具有重要的现实意义，是控制类中经久不衰的经典题型。
本题中，简易旋转倒立摆，在C8051F040单片机的基础上，使用ZGB42FM直流减速电机，BTN7971B电机驱动，可变电阻（角度传感器），机械摆杆等模块。
通过编写、烧入程序，调控硬件协调工作，使摆杆首先实现一定角度的转动，再完成圆周运动，以及保持竖直向上的倒立状态。
用以满足题目的基本要求,进而深一步探究倒立摆在保持运动姿态方面的发展与应用。
关键字：单片机，倒立摆，摆杆，可变电阻。
引言：本题整体上只由一个电机A 提供动力，电机直接控制旋转臂C 做往复旋转运动，而通过转轴D 连接在旋臂C 上的摆杆E 是非常灵活的。
旋臂C 转动一定角度时，摆杆E 由于向心力会使摆杆E 继续向上旋转，以达到E 杆转动一个角度的效果。
相似，当C 的转动速度比较快，停下后，E 下端处的速度和向心力都比较大，能够使E 杆完成圆周运动。
为了使摆杆能够倒立，就要求摆杆转动到上半圆周面时，要通过单片机控制电机A 不断的调整使旋转臂C 转动多个角度，尽量的使摆杆E 与竖直面的角度变小，并能够受力平衡，这样就可以保持一段时间的倒立状态。
为达到角度的调整，就要测量出E 杆与竖直面间的角度差，经过单片机的控制，使电机A 做出相应的旋转动作，减小这个角度差。
1、方案设计与讨论： 1.1结构框图1.2方案论证： 1.21控制器模块本题，单片机只要接收来自传感器的信号，向电机驱动输入信号处理后计算出的高低电平即可。
方案一：用ATMEL 公司生产的AT89S52单片机，低功耗，高性能CMOS 8位处理器，使用广泛,算法较为简单，但是在执行复杂动作时，处理速度不够高。
方案二:用宏晶公司生产的STC89C52RC 单片机，STC 的单片机性能与ATMEL 的单片机相似，但是价格相对便宜。
缺点是易受潮湿影响，在调用子程序是频繁出错。
倒立摆控制器设计与仿真
摘要倒立摆系统是一个非线性自然不稳定系统, 是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
许多抽象的控制概念如控制系统的稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆系统直观的表现出来。
除教学用途外，倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性使得许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象。
本课题以固高倒立摆系统为研究对象，通过Simulink搭建非线性模型然后将其线性化，并与数学方法近似的线性模型进行了比较。
采用根轨迹法设计出确定参数下的使系统稳定的控制器，并将其应用于倒立摆实际控制中，在摆杆角度控制器方面获得了很好的的控制效果。
最后，在MATLAB/Simulink环境下分别观察了线性模型和非线性模型的仿真情况。
本文以直线一级倒立摆系统为核心，掌握了在倒立摆系统控制方面国内外的研究情况。
通过实现对倒立摆的稳定控制，进而掌握了控制系统设计的一些基本方法。
一、绪论（一）课题研究的背景及意义倒立摆的最初研究始于上世纪50年代，由美国麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器的原理设计而来，随着研究的深入和实际问题的推动而不断发展至今，已发展出了三级摆和四级摆。
这些研究成果具有重要的工程前景，在控制等领域中发挥了巨大的作用。
作为研究控制理论的一种非常典型的实验装置，倒立摆系统具有形象直观、结构简单、成本低廉、构件组成参数和形状易于改变的特点。
倒立摆是多种技术、多个领域的有机结合，包括机器人技术、控制理论技术、计算机控制技术等。
很多抽象的控制概念，如控制系统的稳定性、系统的可控性、系统收敛速度和抗干扰能力等，都可通过倒立摆系统直观形象的表现出来。
倒立摆控制系统本身又是一个多变量、高阶次、强耦合的非线性自然不稳定系统系统，在自动控制领域中，倒立摆仿真或者实物控制实验，已成为检验一种新的控制理论是否有效的试金石，同时也是产生一种新的控制方法所必须依据的基础实验平台。
自控倒立摆设计
倒立摆系统的控制器设计摘要倒立摆系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合。
以直线一级倒立摆进行涉设计。
首先，对直线一级倒立摆进行建立模型，根据建立的数学模型，对模型的性能指标分析，即开环响应的分析。
利用分析的结果，运用根轨迹法、频域法、PID控制器设计校正控制器，通过根轨迹，奈奎施特图，判断系统的稳定，选择合适的校正装置进行设计。
运用simulink 进行仿真修改。
一、倒立摆系统概述倒立摆的种类：悬挂式、直线、环形、平面倒立摆等。
一级、二级、三级、四级乃至多级倒立摆。
系统的组成：倒立摆系统由倒立摆本体，电控箱以及控制平台（包括运动控制卡和PC机）三大部分组成。
硬件框图如下图所示：工程背景：(1) 机器人的站立与行走类似双倒立摆系统。
(2) 在火箭等飞行器的飞行过程中为了保持其正确的姿态要不断进行实时控制。
(3) 通信卫星要保持其稳定的姿态使卫星天线一直指向地球使它的太阳能电池板一直指向太阳。
(4)为了提高侦察卫星中摄像机的摄像质量必须能自动地保持伺服云台的稳定消除震动。
(5) 多级火箭飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。
倒立摆系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合。
二、数学模型的建立系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。
对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学等学科的知识和数学手段建立起系统内部变量、输入变量以及输出变量之间的数学关系。
直线一级倒立摆的模型以及相关数据参数如下：（图2-1 直线一级倒立摆模型）M 小车质量1.096 Kg m 摆杆质量0.109 Kgb 小车摩擦系数0.1N/m/sec l 摆杆转动轴心到质心长度0.25mI 摆杆惯量0.0034 kg·m2 F 加在小车上的力x 小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角受力分析：图2-2 小车及摆杆受力分析N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量 。
倒立摆的设计报告
摘要：倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。
由于倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为必备的控制理论教学实验设备。
学习自动控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常的直观、简便，在轻松的实验中对所学课程加深了理解。
本论文在自动控制原理校正的基本思想上，通过采用根轨迹校正法，频域法，分别对倒立摆系统进行校正，使之满足性能要求。
关键词：倒立摆，自动控制，根轨迹，频域法1、引言倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
最初研究开始于二十世纪50年代，麻省理工学院的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。
近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。
倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。
平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。
法控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，需要给系统设计控制器，目前典型的控制器设计理论有：PID 控制、根轨迹以及频率响应法、状态空间法、最优控制理论、模糊控制理论、神经网络控制、拟人智能控制、鲁棒控制方法、自适应控制，以及这些控制理论的相互结合组成更加强大的控制算。
实践项目4：简易旋转倒立摆及控制装置设计
实践项目4：简易旋转倒立摆及控制装置设计一系统方案论证根据设计要求，我们对系统方案进行了详细的比较论证，具体如下：1 执行电机选择方案一：选择步进电机。
步进电机易于与其他设备接口，运行过程中精度没有累计误差，而且步进电机是通过脉冲数来控制步数，所以定位比较精准，但反应速度却不是特别快。
方案二：选择直流电机。
直流电机虽然定位不及步进电机精准，但速度、加速度都很容易控制，且速度反应非常快。
综合考虑倒立摆的控制要求，我们认为对速度的控制及速度反应的快慢是关键因素，因此，选择直流电机作为执行电机，其驱动采用L298N实现。
2 传感器选择传感器作为检测系统的信息反馈通道，其性能好坏对于整个系统的稳定性具有重要的意义，本次设计中需要不断调整旋转臂的速度（或加速度）及摆杆的角度，所以应该选用能测量速度及角度的传感器。
（1）速度检测速度检测我们一致认为选择旋转编码器即可，当然，旋转编码器的种类很多，比较几类编码器的性能，我们选择了YZ40D系列的YZ40D-6S-2NA型旋转编码器，该类编码器属于增量式编码器，工作电压为5V，输出方式为集电极开路方式，最高转速可达5000rpm。
其分辨率高，体积小，便于安装调试，耐振动及耐冲击能力均比较好。
（2）角度检测设计最初，我们选用角芬兰VTI公司的单轴倾角传感器SCA60C-N1000060来实现，但在调试过程中，发现反应速度不够快，接线多，调试起来很不方便。
经讨论后，我们最后决定依然选择旋转编码器来检测角度，对比各方面性能，我们选择了上海隽立自动化设备有限公司的E6B2-C型旋转编码器，工作电压为5V，精度也比较高。
3 控制方案的选择（1）控制形式选择方案一：采用最简单的单闭环控制，检测摆杆摆动的角度，将信号送至单片机经相应算法得到PWM信号及方向信号送至电机驱动电路驱使电机运转并进行速度调节。
方案二：采用双闭环控制，一方面检测摆杆摆动的角度，一方面检测电机的速度，角度反馈用以调节摆杆的实际摆位，速度反馈用以调节旋转臂的加速度。
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自动控制原理课程设计报告倒立摆系统的控制器设计指导教师：谢昭莉学生：冯莉学号： 20095099专业：自动化班级： 2009 级 3 班设计日期： 2011.12.12—2011.12.23重庆大学自动化学院2011年12月重庆大学本科学生课程设计任务书目录1倒立摆系统的研究背景和意义 (1)2小车倒立摆系统模型的假设 (1)3符号说明 (2)4模型的建立 (2)4.1牛顿力学法系统分析 (2)4.2拉氏变换后实际系统的模型 (6)5开环响应分析 (7)6根轨迹法设计超前校正装置函数 (9)6.1校正前倒立摆系统的闭环传递函数的析 (9)6.2系统稳定性分析 (9)6.3期望闭环极点的确定 (10)6.4 超前校正装置传递函数的设计 (11)6.4.1校正参数计算 (11)6.4.2控制器的确定 (13)6.4.3校正装置的改进 (13)6.4.4Simulink仿真 (15)7直线一级倒立摆频域法设计 (17)7.1系统频域响应分析 (17)7.2频域法控制器设计 (19)7.2.1控制器的选择 (19)7.2.2系统开环增益的计算 (19)7.2.3校正装置的频率分析 (20)7.2.4控制器转折频域和截止频域的求解 (22)7.2.5校正装置的确定 (22)7.2.6Simulink仿真 (24)8直线一级倒立摆的PID控制设计 (25)8.1PID简介 (25)8.2PID控制设计分析 (25)8.3PID控制器的参数测定 (26)9总结与体会 (29)9.1总结 (29)9.2体会 (29)10参考文献 (30)摘要倒立摆是一种典型的非线性，多变量，强耦合，不稳定系统，许多抽象的控制概念如系统的稳定性、可控性、系统的抗干扰能力等都可以通过倒立摆直观的反应出来；倒立摆的控制思想在实际中如实验、教学、科研中也得到广泛的应用；在火箭飞行姿态的控制、人工智能、机器人站立与行走等领域有广阔的开发和利用前景。
因此，对倒立摆系统的研究具有十分重要的理论和实践意义。
本文首先将直线倒立摆抽象为简单的模型以便于受力分析进行机理建模，然后通过牛顿力学原理进行分析，得出相应的模型，进行拉氏变化带入相应参数得出摆杆角度和小车位移、摆杆角度和小车加速度、摆杆角度和小车所受外界作用力、小车位移与小车所受外界作用力的传递函数，其中摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：02()0.02725()()0.01021250.26705s G s V s s Φ==- (1)即我们在本次设计中主要分析的系统的传递函数。
然后从时域角度着手，分析直线一级倒立摆的开环单位阶跃响应和单位脉冲响应，利用Matlab 中的Simulink 仿真工具进行仿真，得出结论该系统的开环响应是发散的。
最后分别利用根轨迹分析法，频域分析法和PID 控制法对倒立摆系统进行校正。
针对目标一：调整时间0.5(2%)s t s =误差带，最大超调量%10%≤p σ，选取参数利用根轨迹法进行校正，得出利用超前校正环节的传递函数为：135.1547( 5.0887)()135.1547c s G s s +=+ (2)针对目标二：系统的静态位置误差常数为10；相位裕量为 50︒；增益裕量等于或大于10 分贝。
通过频域法得出利用超前校正环节的传递函数为：1189.6(8.15)()99.01c s G s s +=+ (3)针对目标三： 调整时间误差带）%2(2s t s =，最大超调量，%15%≤p σ，设计或调整PID 控制器参数，得出调整后的传递函数为：150()21020c G s s s=++ (4)关键词：直线一级倒立摆 根轨迹分析 频域分析 PID控制1倒立摆系统的研究背景和意义倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。
倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案。
由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。
[1]平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。
倒立摆系统中最基本、经典的是平面直线一级倒立摆，它是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载一级摆体组件。
2 小车倒立摆系统模型的假设1、假设空气阻力为0；2、假设系统各部分连接处的摩擦力分布均匀；3、假设摆杆的质量分布均匀；4、皮带传动时没有弹性；3 符号说明1、M——小车质量 1.096kg2、m——摆杆质量0.109kg3、b——小车摩擦系数4、l——摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m5、I——摆杆惯量6、F——加在小车上的力7、x——小车位置8、φ——摆杆与垂直向上方向的夹角9、θ——摆杆与垂直向下方向的夹角4 模型的建立4.1牛顿力学法系统分析通过以上假设，将倒立摆抽象为如图所示的系统FMmxdx bdtl图4-1-1、直线一级倒立摆物理模型对系统进行受力分析，如图4-1-2小车和摆杆的受力图。
其中，N 和P 分别为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向是确定的，矢量方向定义如图2所示，规定水平向右为矢量正方向。
[2]mg22d I dtθ图4-1-2 直线一级倒立摆受力分析首先对小车水平方向所受的合力和对摆杆水平方向的受力进行分析，得到系统的第一个运动方程。
对小车水平方向所受的合力进行分析，得到如下方程：22d x dx M F bNdtdt=--（4-1-1）对摆杆水平方向的受力进行分析，得到如下面方程：22(sin )dN mx l dtθ=+ （4-1-2）即：22222N = m+ mlcos ml()sin d x d d dtdtdtθθθθ-（4-1-3）把这个表达式代入式(4-1)中，得到系统的第一个运动方程：22222()cos ()sin d dx d d M m bmlml F dtdtdtdtθθθθθ+++-= （4-1-4）然后通过对摆杆垂直方向上的合力进行分析，得到系统的第二个运动方程。
对摆杆垂直方向上的合力进行分析，得到方程如下：22(cos )d P mg ml dtθ-= （4-1-5）222sin ()cos d d P mg mlml dtdtθθθθ-=-- （4-1-6）力矩平衡方程如下：22sin cos d Pl Nl Idtθθθ--= （4-1-7）此方程中力矩的方向，如图所示θπφ=+ , 则cos sin ,sin sin φθφφ=-=-，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去 P 和N ，得到第二个运动方程：22222()sin cos d d x I ml mgl mldtdtθθθ++=- （4-1-8）设θπφ=+（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即1φ<<，则可以进行近似认为2cos 1,sin ,()0d dtθθθφ=-=-=。
用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下[3]：2222222222()()()d d x I m l m gl m l dt dt d x dx d M m b m l udt dt dt φφφ⎧+-=⎪⎪⎨⎪++-=⎪⎩（4-1-9）假设初始条件为0，对式(3-9)进行拉普拉斯变换，得到：22222()()()()()()()()()I m l s s m gl s m lX s sM m X s s bX s s m l s s U s ⎧+Φ-Φ=⎪⎨++-Φ=⎪⎩ （4-1-10） 由于输出为角度φ ，求解方程组的第一个方程，可以得到：22()()()I ml g X s s ml s ⎡⎤+=-Φ⎢⎥⎣⎦ （4-1-11）222()()()s m lsX s I m l s m glΦ=+-（4-1-12）令v = x ，则有：22()()()s mlV s I ml s mglΦ=+- （4-1-13）把上式代入方程组的第二个运动方程，得到：22222()()()()()()()I ml g I ml g M m s s b s s ml s s U s ml s ml s ⎡⎤⎡⎤+++-Φ++Φ-Φ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（4-1-14）整理后得到传递函数：22432()()()()m lss qb I m l M m m glbm gl U s s s s sqqqΦ=+++--（4-1-15）其中222[()()]q M m I m l m l =++-。
4.2拉氏变换后实际系统的模型本系统采用以小车的加速度作为系统的输入，把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。
摆杆角度和小车位移的传递函数：22()0.02725()0.01021250.26705s sX s s Φ=-（4-2-1）摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：2()0.02725()0.01021250.26705s V s s Φ=-（4-2-2）摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：32() 2.35655()0.088316727.9169 2.30942s sU s s s s Φ=+--（4-2-3）5 开环响应分析当输入为小车加速度时，分析摆杆角度与小车位置的脉冲响应和阶跃响应。
由式（4-2-1）、（4-1-2）或者通过受力分析物理公式均可得到小车位移和小车加速度的传递函数：2()1()X s V s s（4-2-4）利用Matlab 中的Simulink 仿真工具进行仿真[4]，仿真系统的结构如图5-1图5-1 摆杆角度与小车位移的阶跃响应和脉冲响应仿真结构图摆杆角度的阶跃响应和脉冲响应分别如图5-2、图5-3所示。
图5-2、摆杆角度的阶跃响图5-3、摆杆角度的脉冲响应小车位置的阶跃响应、脉冲响应分别如图5-4、图5-5所示。
图5-4、小车位置的阶跃响图5-5、小车位置的脉冲响应从图5-2～图5-5可以看出，输入加速度时，摆杆角度及小车位移的阶跃响应和脉冲响应都是发散的。
倒立摆系统不稳定，需要进行校正。