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北京市中考数学模拟试卷(一)及答案

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备战2023年北京市中考数学全真模拟试卷一(含解析)

备战2023年北京市中考数学全真模拟试卷一(含解析)

黄金卷1（满分100分，考试用时120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列立体图形中，从正面看得到的图形是圆的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：从正面看选项A 中的图形是两个长方形， 从正面看选项B 中的图形是长方形， 从正面看选项C 中的图形是三角形， 从正面看选项D 中的图形是圆， 故选D2．2022年12月28日，第26届长春冰雪节开幕．长春市重点打造的世界级冰雪主题乐园-“长春冰雪新天地”流光溢彩，该园占地超1560000平方米．数字1560000用科学记数法可以表示为（ ） A ．51.5610⨯ B ．61.5610⨯C ．415610⨯D ．515.610⨯【答案】B【详解】解：61560000 1.5610=⨯， 故选：B ．3．如图，AB CD P ，若165∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．65︒B ．105︒C ．115︒D ．125︒【答案】C【详解】解：如图，AB CD ∥Q ，23180∴∠+∠=︒，1365∠=∠=︒Q ， 265180∴∠+︒=︒，218065115∴∠=︒−︒=︒，故选：C ．4．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ．a b <B ．0a b +<C ．0a b −>D ．0ab >【答案】A【详解】解：根据题意，得21a −<<−，23b <<， ∴12a <<，23b <<，∴a b <，0a b +>，0a b −<，0ab <， ∴选项A 正确，选项B 、C 、D 错误． 故选：A ．5．学校新开设了航模、彩绘两个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】B【详解】解：由题意，画树状图如图所示：由图可知，征征和舟舟选择社团共有4种等可能的结果，其中，征征和舟舟选到同一社团的有2种情况，则征征和舟舟选到同一社团的概率是2142P ==． 故选：B ．6．若关于x 的方程20x mx n ++=有两个相等的实数根，则方程21x mx n ++=−的根的情况是（ ） A ．只有一个实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．没有实数根【答案】D【详解】Q 20x mx n ++=有两个相等的实数根， 24=0m n ∴−，一元二次方程21x mx n ++=−，即2+10x mx n ++=，()222=4=4+1=44=04=40b ac m n m n ∆−−⨯−−−−<，使用方程21x mx n ++=−没有实数根． 故选：D ．7．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形，且对称轴条数最多的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】解：A .既是中心对称图形又是轴对称图形，有2条对称轴； B .既是中心对称图形又是轴对称图像，有2条对称轴； C .既是中心对称图形又是轴对称图形，有4条对称轴； D .不是中心对称图形，是轴对称图形，有3条对称轴 故选：C8．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y 与变量x 之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（ ）A ．圆的面积y 与它的半径x ；B ．正方形的周长y 与它的边长x ；C ．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y 与一边长x ；D ．小明从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y 与平均速度x ； 【答案】C【详解】解：A 、圆的面积y 与它的半径x 的关系式为2y x π=，变量y 与变量x 之间的函数关系不可以用如图所示的图像表示，故此选项不符合题意；B 、正方形的周长y 与它的边长x 的关系式为4y x =，变量y 与变量x 之间的函数关系不可以用如图所示的图像表示，故此选项不符合题意；C 、设铁丝的长度为a ，则矩形的面积22122a xy x x ax −=⋅=−+，变量y 与变量x 之间的函数关系可以用如图所示的图像表示，故此选项符合题意；D 、设路程为s ，则所用时间y 与平均速度x 的关系式为sy x=，变量y 与变量x 之间的函数关系不可以用如图所示的图像表示，故此选项不符合题意， 故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9x 的取值范围是___________． 【答案】2x ≤【详解】解：根据题意，得20x −≥， 解得2x ≤． 故答案为：2x ≤．10．把多项式22369a b ab b −+分解因式的结果是________． 【答案】2(3)b a b −【详解】解：22369a b ab b −+ ()2269b a ab b =−+2(3)b a b =−．故答案为：2(3)b a b −． 11．分式方程3122x xx x−+=−−的解是_____． 【答案】x 53=【详解】解：3122x xx x−+=−−， 去分母得：3﹣x ﹣x ＝x ﹣2， 解得：x 53=，经检验x 53=是分式方程的解．故答案为：x 53=．12．如图，平面直角坐标系中，若反比例函数()0ky k x=≠的图象过点A 和点B ，则a 的值为______．【答案】32##1.5【详解】解：依题意，将点()1,3A −代入ky x=，得出3k =−， ∴反比例数解析式为3y x =−，当2x =−时，32y =， 即32a =， 故答案为：32．13．为了落实“双减”政策，东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查，15名同学的作业时长统计如下表，则这组数据的众数是____________分钟．【答案】70【详解】解：由表可知： ∵6＞4＞2＞2＞1，∴这组数据的众数是70分钟．故答案为：70．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是________．【答案】5【详解】解：如图，过D作DE⊥AB于E，△DAE和△DAC中，AD平分∠BAC，则∠DAE=∠DAC，∠DEA=∠DCA=90°，DA=DA，∴△DAE≌△DAC（AAS），∴DE=DC=2，∴△ABD的面积=12×AB×DE=12×5×2=5，故答案为：5；15．如图，ABCD中，连接BD，E是BD上一点，连接AE并延长交CD于F，交BC延长线于点G，若2,3EF FG==，则AE=________．【详解】解：如图，过点E作EH AD∥，∴EFH AFD ∽V V ， ∴EH EF AD AF =，即22EH AD AE =+， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，AD BC =， ∴EH BC ∥， ∴DEH DBC ∽V V ， ∴EH DEBC BD=， ∵AD BC ∥，∴ADE GBE ∽V V， ∴AE AD DE EG BG BE==， ∴DE AEBD AG=， ∴AE EH AG BC =，即23AE EHAE AD=++， ∴2232AE AE AE =+++，解得：AE =，16．某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1元，送乙类件每件收入2元．累计工作1小时，只送甲类件，最多可送30件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；…，经整理形成统计表如表：（1）如果快递员一天工作8小时，且只送某一类件，那么他一天的最大收入为_____元；（2）如果快递员一天累计送x小时甲类件，y小时乙类件，且x+y＝8，x，y均为正整数，那么他一天的最大收入为_____元．【答案】160180【详解】解：(1)由统计表可知:如果该快递员一天工作8小时只送甲类件，则他的收入是1×145=145(元)如果该快递员一天工作8小时只送乙类件，则他的收入是2 × 80= 160 (元)∴他一天的最大收入是160元;(2)依题意可知：x和y均正整数，且x+y= 8①当x=1时，则y=7∴该快递员一天的收入是1 ×30+2×70=30+ 140= 170 (元)；②当x=2时，则y=6∴该快递员-天的收入是1×55+2×60=55+120=175(元)；③当x=3时，则y=5∴该快递员一天的收入是1× 80+2×50= 80+ 100= 180 (元)；④当x=4时，则y=4∴该快递员一天的收入是1×100+2×40= 100+80 = 180 (元)；⑤当x=5时，则y=3∴该快递员一天的收入是1×115+2×30=115十60 = 175 (元)；⑥当x=6时，则y=2∴该快递员一天的收入是1 × 125+ 2× 20= 125+40 = 165 (元)；⑦当x=7时，则y=1∴该快递员一天的收入是1×135+2×10=135+20= 155 (元)综上讨论可知：他一天的最大收入为180元.故填：160；180.三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17．（5分）计算：()20233tan 4512sin 60−+︒+−−︒．【答案】3【详解】解：()20233tan 4512sin 60−+︒+−−︒31122=+−−⨯3=18．（5分）解不等式组()815171062x x x x ⎧+>−⎪⎨−−≤⎪⎩．【答案】2523x −≤＜ 【详解】8(1)5171062x x x x +−⎧⎪⎨−−≤⎪⎩＞①②， 由①式得：253x ≥−； 由②式得：2x ≤； ∴不等式组的解集为：2523x −≤＜ 19．（5分）先化简，再求值：()()()212323x x x +−+−，其中x 满足23220320x x −−=． 【答案】23210x x −++，2022− 【详解】解：()()()212323x x x +−+−222149x x x =++−+ 23210x x =−++， ∵23220320x x −−=，∴2322032x x −=，即2322032x x −+=−， ∴当23220320x x −−=时， 原式2032102022=−+=−．20．（5分）（1）如图1，三角形ABC 中，试用平行线的知识证明180A B C ∠+∠+∠=︒；（2）如图2，将线段BC折断成BDC的形状，证明D A B C∠=∠+∠+∠．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）证明：如图，延长BC到D，过点C作CE∥BA，∵BA∥CE，∴∠B=∠1（两直线平行，同位角相等），∠A=∠2（两直线平行，内错角相等），又∵∠BCD=∠BCA+∠2+∠1=180°（平角的定义），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．（2）证明：连接AD并延长，如图1，∵∠2=∠1+∠B，∠4=∠3+∠C，∴∠2+∠4=∠1+∠B+∠3+∠C，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C．即∠D=∠A+∠B+∠C.∠=∠，21．（6分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE DF=，A D =．AB DC(1)求证：四边形BFCE 是平行四边形；(2)如果7AD =，2DC =，60EBD ∠=︒，那么当四边形BFCE 为菱形时BE 的长是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)3【详解】（1）证明：AB DC =Q ，AC DB ∴=，在AEC △和DFB △中，AC DB A D AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()SAS AEC DFB ∴V V ≌，BF EC ACE DBF ∴=∠=∠，， EC BF ∴∥，∴四边形BFCE 是平行四边形；（2）当四边形BFCE 是菱形时，BE CE =，722AD DC AB CD ====Q ，，， 7223BC ∴=−−=， 60EBD ∠=︒Q ，BE CE =， BEC ∴V 是等边三角形，3BE BC ∴==，∴当四边形BFCE 是菱形时，BE 的长是3．22．（5分）如图，已知直线，5y x =+与x 轴交于点A ，直线y kx b =+与x 轴交于点()10B ,，且与直线5y x =+交于第二象限点()C m n ，．若ABC V 的面积为12．(1)求点A 、点C 的坐标；(2)写出关于x 的不等式5x kx b +>+的解集． 【答案】(1)()5,0A −；点C 坐标为()1,4− (2)1x >−【详解】（1）解：在直线5y x =+中，令0y =，则50x += 解得：5x =−，()5,0A ∴−； ()1,0B Q ，()156AB ∴=−−=， ()C m n Q ，，11631222ABC C S AB y n n =⋅=⨯==V Q ． 4n ∴=，Q 点(),C m n 在直线AB 上，54m n ∴+==，1m ∴=−，∴点C 坐标为()1,4−；（2）解：由图象可知，不等式5x kx b +>+的解集为1x >−．23．（6分）某校举办了一次 “成语知识竞赛”，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组各10名学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如图所示．(1) =a _____，b =_____；(2)小军同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上”观察表格试分析判断，小军是哪个组的学生；(3)甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组，但乙组同学不同意他的说法，认为乙组的成绩要好于甲组．请你写出两条支持乙组同学观点的理由． 【答案】(1)6.8，7.5 (2)小军属于甲组学生(3)①乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高；②乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定【详解】（1）解：由题意，得()131657192101 6.810a =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； 把乙组成绩从低到高排在中间的两个数为7分，8分，故()7827.5b =+÷=． 故答案为：6.8，7.5；（2）∵甲组的中位数为6，乙组的中位数为7.5，而小军的成绩位于小组中上游 ∴小军属于甲组学生；（3）①乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高； ②乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定．24．（6分）如图，ABC V 是O e 的内接三角形，CD 是O e 的直径，AB CD ⊥于点E ，过点A 作O e 的切线交CD 的延长线于点F ，连接FB ．(1)求证：FB 是O e 的切线．(2)若AC =1tan 2ACD ∠=，求O e 的半径． 【答案】(1)见解析 (2)O e 的半径为5．【详解】（1）证明：连接OA OB 、，∵在O e 中，OA OB =，AB CD ⊥于点E ， ∴AOF BOF =∠，在OAF △和OBF V 中，OA OB AOF BOF OF OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS OAF OBF ≌△△． ∴OAF OBF ∠=∠．又∵AF 切O e 于点A ，OA 为O e 半径， ∴OA FA ⊥， ∴90OAF ∠=︒． ∴90OBF ∠=︒． ∴OB FB ⊥于点B ． ∴FB 是O e 的切线；（2）解：∵AB CD ⊥，1tan 2ACD ∠=， ∴1tan 2AE ACD CE ∠==， ∴2CE AE =，∵AC =∴222AE CE AC +=，即()(2222AE AE +=，∴4AE =，8CE =，设O e 的半径为r ，则OA OC r ==，8OE r =−， 在Rt AOE △中，222AE EO AO +=，即()22248r r +−=， 解得=5r ， ∴O e 的半径为5．25．（5分）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC 上的点P 处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里OA 表示起跳点A 到地面OB 的距离，OC 表示着陆坡BC 的高度，OB 表示着陆坡底端B 到点O 的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系：2116y x bx c =−++，已知70m OA =，60m OC =，落点P 的水平距离是40m ，竖直高度是30m ．(1)点A 的坐标是_____，点P 的坐标是_______； (2)求满足的函数关系2116y x bx c =−++； (3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC 竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离． 【答案】(1)()0,70A ，()40,30P ； (2)21370162y x x =−++； (3)18m【详解】（1）解：70m OA =Q ，落点P 的水平距离是40m ，竖直高度是30m ， ()0,70A ∴，()40,30P ；（2）解：把()0,70A ，()40,30P 代入2116y x bx c =−++ 得，270130404016c b c =⎧⎪⎨=−⨯++⎪⎩， 解得，3270b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 21370162y x x ∴=−++； （3）解：60m OC =Q ，∴设直线BC 的表达式为()600y kx k =+≠，把()40,30P 代入，得304060k =+，解得，34k =−，3604y x ∴=−+，设213,70162M m m m ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭到BC 竖直方向上的距离最大，作MN y ∥轴交抛物线和直线BC 于点M 、N ，∴3,604N m m ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，213370601624MN m m m ⎛⎫∴=−++−−+ ⎪⎝⎭21910164m m =−++ ()22213618181016m m =−−+−+ ()21811810164m =−−++ ()2112118164m =−−+ ()2118016m −−≤Q ， ∴当18m =时，MN 最大，即水平距离为18m 时，运动员与着陆坡BC 竖直方向上的距离达到最大．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,)m −，(4,)n −在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设抛物线的对称轴为x t =．(1)当2c =，m n =时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；(2)点()()00,1x m x ≠−在抛物线上．若m n c <<，求t 的取值范围及0x 的取值范围． 【答案】(1)抛物线与y 轴的交点坐标为：()0,2， 52x t ==−．(2)522t −<<−，0x 的取值范围043x −<<−．【详解】（1）解：∵2c =，∴抛物线为：22(0)y ax bx a =++>， ∴当0x =，则2y =，∴抛物线与y 轴的交点坐标为：()0,2，∵m n =，∴点(1,)m −，(4,)n −关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线14522x t −−===−． （2）∵m n c <<，∴164a b c a b c c −+<−+<， 解得45a b a <<，∴54a b a −<−<−， 而2>0a ， ∴5222b a −<−<−，即522t −<<−， ∵点(1,)m −，()()00,1x m x ≠−在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线012x x −=， ∴015222x −−<<−， 解得：043x −<<−， ∴0x 的取值范围043x −<<−．27．（7分）在Rt ABC V 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，P 是直线AC 上的一点，连接BP ，过点C 作CD BP ⊥，交直线BP 于点D ．(1)当点P 在线段AC 上时，如图①，求证：BD CD −=；(2)当点P 在直线AC 上移动时，位置如图②、图③所示，线段CD ，BD 与AD 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明． 【答案】(1)见解析(2)如图②CD BD −=，如图③CD BD += 【详解】（1）证明：如图1，在BD 上截取BE CD =，90BAC BDC ∠︒∠==Q ，90ABP APB ∴∠+∠=︒，90ACD DPC ∠+∠=︒．APB DPC ∠=∠Q ，ABP ACD ∴∠=∠．又AB AC =，(SAS)ABE ACD ∴V V ≌，AE AD ∴=，BAE CAD ∠=∠．90EAD EAP CAD EAP BAE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒．在Rt AED V 中，22222DE AE AD AD =+=，∴DE =∴BD CD BD BE ED −=−==；（2）解：如图2，CD BD −=． 在CD 上截取CE BD =，连接AE ，由（1）可知△≌△ADB AEC ， AE AD ∴=，BAD CAE ∠=∠，90EAD BAE BAD BAE CAE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，在Rt AED V 中，22222DE AE AD AD =+=，DE ∴=，CD BD CD CE DE ∴−=−==，CD BD ∴−=．如图3，CD BD +=．延长DC 至点E ，使得CE BD =，连接AE ，90BAC BDC ∠︒∠==Q ，180ABD ACD ∴∠+∠=︒，180ACD ACE ∠+∠=︒， ABD ACE ∴∠=∠，在ABD △和ACE △中，AB AC ABD ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (SAS)ADB AEC ∴V V ≌，AE AD ∴=，BAD CAE ∠=∠，90EAD CAE CAD BAD CAD ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，在Rt AED V 中，22222DE AE AD AD =+=，DE ∴=，CD BD CD CE DE ∴+=+==．28．（7分）在平面直角坐标系中，对点(),P a b 作如下变换：若a b ≥，作点P 关于y 轴的对称点；若a b <，作点P 关于x 轴的对称点，我们称这种变换为“YS 变换”．(1)点()1,0作“YS 变换”后的坐标为___________；点()3,4−作“YS 变换”后的坐标为___________；(2)已知点()1,2A m m ++，(),1B m ，()1,1C m +，其中01m <<，且点A ，B 作“YS 变换”后对应的点分为M ，N 两点，74MNC S =△，求m 的值． (3)已知点()1,5E ，()5,5F ，在EF 即所在直线上方作等腰直角三角形EFG ，若点1,2P a b ⎛⎫− ⎪⎝⎭，()1,Q a b −作“YS 变换”后对应的点分别为P '，Q '，其中a b <，若点G 在线段P Q ''上，求a 的取值范围． 【答案】(1)()1,0−，()3,4−− (2)12m =(3)322a ≤≤或1162a ≤≤或742a ≤≤【详解】（1）解：∵10> ∴作点关于y 轴轴的对称点∴点()1,0作“YS 变换”后的坐标为()1,0− ∵34−<∴作点关于x 轴轴的对称点∴点()3,4−作“YS 变换”后的坐标为()3,4−−； 故填：()1,0−，()3,4−−． （2）解：∵01m <<，∴()1,2A m m ++作YS -变换后的点为()1,2M m m +−−，(),1B m 作YS -变换后的点为(),1N m − ∴()173124MNC S m =+⨯=△ ∴12m =； （3）解：∵a b <，∴点1,2P a b ⎛⎫− ⎪⎝⎭作YS 变换后的点为1,2P a b ⎛⎫'−− ⎪⎝⎭，点()1,Q a b −作YS 变换后的点为()1,Q a b '−−， ∵在EF 上方作等腰直角三角形EFG V ∴()1,8G 或()5,8G 或()3,7G ， 分类讨论如下：①当()1,8G 在线段P Q ''上时，则11112a a −≤⎧⎪⎨−≥⎪⎩， ∴322a ≤≤， ②当()5,8G 在线段P Q ''上时，则15152a a −≤⎧⎪⎨−≥⎪⎩，∴1162a ≤≤，②当()3,7G ，在线段P Q ''上时，则13132a a −≤⎧⎪⎨−≥⎪⎩， ∴742a ≤≤ ∴322a ≤≤或1162a ≤≤或742a ≤≤．。

【精品】2020年北京市中考数学一模试卷及答案解析

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2020年北京市中考数学一模试卷一、单选题(共0分)1．(本题0分)某几何体从三个不同方向看到的形状图如图，则该几何体是( )A．圆锥B．圆柱C．球D．长方体2．(本题0分)据统计，今年“五一”小长假期间，我市约有26.8万人次游览了植物园和动物园，则数据26.8万用科学记数法表示正确的是（）A．268×103B．26.8×104C．2.68×105D．0.268×1063．(本题0分)如图所示，BE，CF是直线，OA，OD是射线，其中构成对顶角的是( )A．∠AOE与∠COD B．∠AOD与∠BODC．∠BOF与∠COE D．∠AOF与∠BOC4．(本题0分)下列轴对称图形中，对称轴最多的图形是（）A．B．C．D．5．(本题0分)将一个n边形变成（n+2）边形，内角和将（）A．减少180 B．增加180°C．减少360°D．增加360°6．(本题0分)数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为1cm，若在数轴上随意画一条长为2015cm的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数为（）A．2015 B．2014 C．2015或2014 D．2015或20167．(本题0分)规定：“上升数”是一个右边数位上的数字比左边数位上的数字大的自然数（如23，567，3467等）．一不透明的口袋中装有3个大小、形状完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，3，从袋中随机摸出1个小球（不放回），其上所标数字作为十位上的数字，再随机摸出1个小球，其上所标数字作为个位上的数字，则组成的两位数是上升数的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．23 8．(本题0分)有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）A ．正比例函数关系B ．一次函数关系C ．二次函数关系D ．反比例函数关系二、填空题(共0分)9．(本题0分)要使分式有意义，则x 的取值范围是 ．10．(本题0分)已知关于 x 的一元二次方程20x k -+= 有两个相等的实数根，则 k 的值为_____．11．(本题0分)若a 是一个含有根号的无理数，且3＜a ＜4．写出任意一个符合条件的值____． 12．(本题0分)对于两个实数,m n ，定义一种新运算，规定2m n m n =+☆，例如3523511=⨯+=☆，若2a b ☆且21b a =☆，则b a =__________．13．(本题0分)如图，平面直角坐标系xOy 中，有A 、B 、C 、D 四点，若有一直线l 经过点(-1,3)且与y 轴垂直，则l 也会经过的点是_____（填A 、B 、C 或D ）14．(本题0分)如图已知∠ABC=∠DEF，BE=FC,要证明△ABC≌△DEF,若以“ASA”为依据，还需要添加的条件__________.15．(本题0分)如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格交点，则ABC 的面积与ABD 的面积的大小关系为：ABC S ______ABD S （填“＞”，“＝”或“＜”）16．(本题0分)如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．三、解答题(共0分)17．(本题0分)计算：11()4523---︒18．(本题0分)解不等式组()324211122x x x x ⎧--≥⎪⎨-++≥⎪⎩①②． 19．(本题0分)不解方程组23532x y x y +=⎧⎨-=-⎩，求（2x+y)(2x-3y)+3x(2x+y)的值 20．(本题0分)等角转化；如图1，已知点A 是BC 外一点，连结AB 、AC ，求∠BAC +∠B +∠C 的度数．（1）阅读并补充下面的推理过程解：过点A 作ED ∥BC ，∴∠B ＝∠EAB ，∠C ＝ （ ）又∵∠EAB +∠BAC +∠DAC ＝180°∴∠B+∠BAC+∠C＝180°从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数（提示：过点C作CF∥AB）；（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝80°，点B在点A的左侧，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E，点E在两条平行线AB与CD之间，求∠BED的度数．21．(本题0分)如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OB，过点B作BE⊥AC于点E．（1）求证：ABCD是矩形；（2）若AD=cos∠，求AC的长．22．(本题0分)如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD=60°，点A的坐标为(－2，0)．(1)求线段AD所在直线的函数表达式．(2)动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度，按照A→D→C→B的顺序在菱形的边上匀速运动，设运动时间为t秒．求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切？23．(本题0分)如图，ABC 中，ACB 90∠=，D 为AB 上一点，以CD 为直径的O 交BC 于点，连接AE 交CD 于点，交O 于点F ，连接DF ，CAE ADF ∠∠=．()1判断AB 与O 的位置关系，并说明理由．()2若PF ：PC 1=：2，AF 5=，求CP 的长．24．(本题0分)在平面直角坐标系中，直线l 1：y=﹣12x+4分别与x 轴、y 轴交于点A 、点B ，且与直线l 2：y=x 于点C ．（1）如图①，求出B 、C 两点的坐标； （2）若D 是线段OC 上的点，且△BOD 的面积为4，求直线BD 的函数解析式．（3）如图②，在（2）的条件下，设P 是射线BD 上的点，在平面内是否存在点Q ，使以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．25．(本题0分)学校团委发起“爱心储蓄”活动，鼓励学生将自己的压岁钱存入银行，定期一年，到期后取回本金，而把利息捐给家庭贫困的儿童．学校共有学生1200人全部参加了此项活动，图1是该校各年级学生人数比例分布的扇形统计图，图2是该校学生人均存款情况的条形统计图．（1）求该学校的人均存款数；（2）若银行一年定期存款的年利率是2.25%，且每702元能提供给1位家庭贫困儿童一年的基本费用，那么该学校一年能够帮助多少位家庭贫困儿童？26．(本题0分)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2420y ax ax a a =-+≠的顶点为P ，且与y 轴交于点A ，与直线y a =-交于点B ，C （点B 在点C 的左侧）.（1）求抛物线()2420y ax ax a a =-+≠的顶点P 的坐标（用含a 的代数式表示）； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线与线段AC 围成的封闭区域（不含边界）为“W 区域”.①当2a =时，请直接写出“W 区域”内的整点个数；②当“W 区域”内恰有2个整点时，结合函数图象，直接写出a 的取值范围.27．(本题0分)如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(0，3)，以线段AB 为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，∠BAC ＝90°.若第二象限内有一点P 1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等．(1)求直线AB 的函数表达式．(2)求a 的值．(3)在x轴上是否存在一点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．28．(本题0分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x＝1，与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为1-4，求点P，Q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK 绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．。

2020年北京市东城区中考数学一模试题有答案精析

2020年北京市东城区中考数学一模试题有答案精析

2020年北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．数据显示，2020年全国新建、改扩建校舍约为51 660 000平方米，全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果．将数据51 660 000用科学记数法表示应为（）A．5.166×107B．5.166×108C．51.66×106D．0.5166×1082．下列运算中，正确的是（）A．x•x3=x3B．（x2）3=x5C．x6÷x2=x4D．（x﹣y）2=x2+y23．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是（）A． B． C． D．4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下表所示选手甲乙丙丁方差0.030 0.019 0.121 0.022则这四人中发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（）A．52°B．38°C．42°D．60°6．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED．若量出DE=58米，则A，B间的距离为（）A．29米B．58米C．60米D．116米7．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）A．（﹣4，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（2，﹣2）8．对式子2a2﹣4a﹣1进行配方变形，正确的是（）A．2（a+1）2﹣3 B．（a﹣1）2﹣C．2（a﹣1）2﹣1 D．2（a﹣1）2﹣39．为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．810．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt △ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：ab2﹣ac2=______．12．请你写出一个一次函数，满足条件：①经过第一、三、四象限；②与y轴的交点坐标为（0，﹣1）．此一次函数的解析式可以是______．13．已知一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是______边形．14．为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是______．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为______．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC．甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P 就是所求的点．丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．请你判断哪位同学的作法正确______；这位同学作图的依据是______．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1．18．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．19．已知x2﹣x﹣3=0，求代数式（x+1）2﹣x（2x+1）的值．20．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）．21．列方程或方程组解应用题：在“春节”前夕，某花店用13 000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6 000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？22．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．23．在平面直角坐标系xOy中，直线y=k1x+b与x轴交于点B，与y轴交于点C，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（3，1），连接OA．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）若S△AOB：S△BOC=1：2，求直线y=k1x+b的解析式．24．某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：阅读本数n（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9人数（名） 1 2 6 7 12 x 7 y 1请根据以上信息回答下列问题：（1）求出本次随机抽取的学生总人数；（2）分别求出统计表中的x，y的值；（3）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数．25．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．26．在课外活动中，我们要研究一种四边形﹣﹣筝形的性质．定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）．小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是______；（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；（3）如图2，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积．27．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围．28．如图，等边△ABC，其边长为1，D是BC中点，点E，F分别位于AB，AC边上，且∠EDF=120°．（1）直接写出DE与DF的数量关系；（2）若BE，DE，CF能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）（3）思考：AE+AF的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由．29．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为⊙C 的相邻点，直线l为⊙C关于点P的相邻线．（1）当⊙O的半径为1时，①分别判断在点D（，），E（0，﹣），F（4，0）中，是⊙O的相邻点有______；②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；③点P在直线y=﹣x+3上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．2020年北京市东城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．数据显示，2020年全国新建、改扩建校舍约为51 660 000平方米，全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果．将数据51 660 000用科学记数法表示应为（）A．5.166×107B．5.166×108C．51.66×106D．0.5166×108【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：51 660 000用科学记数法表示应为5.166×107，故选A．2．下列运算中，正确的是（）A．x•x3=x3B．（x2）3=x5C．x6÷x2=x4D．（x﹣y）2=x2+y2【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加；幂的乘方底数不变指数相乘；同底数幂的除法底数不变指数相减；差的平方等于平方和减积的二倍；可得答案．【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C正确；D、差的平方等于平方和减积的二倍，故D错误；故选：C．3．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是（）A． B． C． D．【考点】概率公式．【分析】根据有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，其中奇数有1，3，5，共3个，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵共有5个数字，奇数有3个，∴抽出的数字是奇数的概率是．故选C．4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下表所示选手甲乙丙丁方差0.030 0.019 0.121 0.022则这四人中发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差．【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布越稳定进行比较即可．【解答】解：∵0.019＜0.022＜0.030＜0.121，∴乙的方差最小，∴这四人中乙发挥最稳定，故选：B5．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（）A．52°B．38°C．42°D．60°【考点】平行线的性质．【分析】先求出∠3，再由平行线的性质可得∠1．【解答】解：如图：∠3=∠2=38°°（两直线平行同位角相等），∴∠1=90°﹣∠3=52°，故选A．6．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED．若量出DE=58米，则A，B间的距离为（）A．29米B．58米C．60米D．116米【考点】全等三角形的应用．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得答案．【解答】解：在△ABC和△DEC中，，△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE=58米，故选：B．7．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）A．（﹣4，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（2，﹣2）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移．【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．【解答】解：点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，2），即（2，2），则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，﹣2），故选D．8．对式子2a2﹣4a﹣1进行配方变形，正确的是（）A．2（a+1）2﹣3 B．（a﹣1）2﹣C．2（a﹣1）2﹣1 D．2（a﹣1）2﹣3【考点】配方法的应用．【分析】利用完全平方公式进行变形即可．【解答】解：2a2﹣4a﹣1，=2（a2﹣2a+1）﹣3，=2（a﹣1）2﹣3．故选：D．9．为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】一元一次不等式组的应用．【分析】设小张同学应该买的球拍的个数为x个，利用购买金额不超过200元得到20×1.5+25x≤200，然后解不等式后求出不等式的最大整数解即可．【解答】解：设小张同学应该买的球拍的个数为x个，根据题意得20×1.5+25x≤200，解得x≤6.8，所以x的最大整数值为6，所以小张同学应该买的球拍的个数是6个．故选B．10．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt △ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，若右图所示，由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，∴y=x+1．故选A．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：ab2﹣ac2=a（b+c）（b﹣c）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=a（b2﹣c2）=a（b+c）（b﹣c），故答案为：a（b+c）（b﹣c）12．请你写出一个一次函数，满足条件：①经过第一、三、四象限；②与y轴的交点坐标为（0，﹣1）．此一次函数的解析式可以是y=x﹣1（答案不唯一）．．【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】首先根据函数经过的象限确定比例系数的符号，然后根据其与y轴的交点确定答案即可．【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，∴设一次函数的解析式为y=x+b，∵经过点（0，﹣1），∴b=﹣1，∴解析式为y=x﹣1，故答案为：y=x﹣1（答案不唯一）．13．已知一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是五边形．【考点】多边形内角与外角．【分析】任何多边形的外角和是360°．用外角和除以每个外角的度数即可得到边数．【解答】解：360÷72=5．故这个多边形是五边形．故答案为：五．14．为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是70千米/时．【考点】众数；条形统计图．【分析】根据众数是出现次数最多的数直接写出答案即可；【解答】解：70千米/时是出现次数最多的，故众数是70千米/时，故答案为：70千米/时．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】设甲持钱为x，乙持钱为y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=50元，乙的钱+甲所有钱的=50元，据此可列方程组．【解答】解：设甲持钱为x，乙持钱为y，根据题意，可列方程组：，故答案为：．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC．甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P 就是所求的点．丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．请你判断哪位同学的作法正确丁同学；这位同学作图的依据是垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换．【考点】作图—复杂作图．【分析】分别利用线段垂直平分线的性质结合圆的性质分析得出答案．【解答】解：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点，可得：AP=BP，则PA+PC=BC．故答案为：丁；垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、负整数指数幂4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1=+2﹣﹣1﹣2=﹣1．18．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2（x﹣2）≤3（x﹣1），得：x≥﹣1，解不等式，得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3，不等式组的解集在数轴上的表示如下：19．已知x2﹣x﹣3=0，求代数式（x+1）2﹣x（2x+1）的值．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：原式=x2+2x+1﹣2x2﹣x=﹣x2+x+1，由x2﹣x﹣3=0，得到x2﹣x=3，则原式=﹣3+1=﹣2．20．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=70°，由角平分线的性质得到∠ABD=∠CBD=35°，根据平行线的性质得到∠E=∠EAB=35°，于是得到结论．【解答】解：∠EAC=75°，∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=35°，∵AE∥BD，∴∠E=∠EAB=35°，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=75°．21．列方程或方程组解应用题：在“春节”前夕，某花店用13 000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6 000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？【考点】分式方程的应用．【分析】可设第二批鲜花每盒的进价是x元，根据等量关系：第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，列出方程求解即可．【解答】解：设第二批鲜花每盒的进价是x元，依题意有=×，解得x=120，经检验：x=120是原方程的解，答：第二批鲜花每盒的进价是120元．22．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的性质；作图—基本作图．【分析】（1）由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得，AB=AF，∠BAE=∠FAE，根据平行四边形的性质可得∠FAE=∠AEB，然后证明AF=BE，进而可得四边形ABEF为平行四边形，再由AB=AF可得四边形ABEF为菱形；（2）根据菱形的性质可得AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，利用勾股定理计算出AO的长，进而可得AE的长．【解答】（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形；（2）解：∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，AO==4，∴AE=2AO=8．23．在平面直角坐标系xOy中，直线y=k1x+b与x轴交于点B，与y轴交于点C，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（3，1），连接OA．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）若S△AOB：S△BOC=1：2，求直线y=k1x+b的解析式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中，得出关于k2的一元一次方程，解方程即可得出结论；（2）分两种情况考虑：①直线y=k1x+b经过第一、三、四象限，由S△AOB：S△BOC=1：2结合三角形的面积公式得出点C的坐标，由待定系数法即可求出此时直线的函数解析式；②直线y=k1x+b经过第一、二、四象限，由S△AOB：S△BOC=1：2结合三角形的面积公式得出点C的坐标，由待定系数法即可求出此时直线的函数解析式．【解答】解：（1）将点A（3，1）代入到y=中，得1=，解得：k2=3．故反比例函数的解析式为y=．（2）符合题意有两种情况：①直线y=k1x+b经过第一、三、四象限，如图1所示．∵S△AOB：S△BOC=1：2，点A（3，1），∴点C的坐标为（0，﹣2）．则有，解得：．∴直线的解析式为y=x﹣2．②直线y=k1x+b经过第一、二、四象限，如图2所示．∵S△AOB：S△BOC=1：2，点A（3，1），∴点C的坐标为（0，2）．则有，解得：．∴直线的解析式为y=﹣x+2．24．某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：阅读本数n（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9人数（名） 1 2 6 7 12 x 7 y 1请根据以上信息回答下列问题：（1）求出本次随机抽取的学生总人数；（2）分别求出统计表中的x，y的值；（3）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数．【考点】扇形统计图；用样本估计总体．【分析】（1）根据题意当3≤n＜5时为“一般”可知一般档次人数为6+7，结合其所占百分比为26%，相除可得总人数；（2）由良好档次的百分比及总人数可得良好档次的人数，减去阅读本数为5、7的人数可得x的值，将总人数减去其余各项人数可得y的值；（3）根据样本中优秀档次所占百分比乘以九年级总人数可得．【解答】解：（1）由表知被调查学生中“一般”档次的有13人，所占比例是26%，故被调查的学生数是13÷26%=50（人）；（2）被调查的学生中“良好”档次的人数为50×60%=30（人），∴x=30﹣（12+7）=11（人），y=50﹣（1+2+6+7+12+11+7+1）=3（人）；（3）由样本数据可知：“优秀”档次所占的百分比为×100%=8%，∴估计九年级400名学生中优秀档次的人数为：400×8%=32（人）．25．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．【考点】切线的判定与性质．【分析】（1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似，利用相似三角形对应角相等得到∠OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，然后通过相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠OBP=∠E=90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB=3，DB=4，根据勾股定理得：PD==5，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=3，∴DC=PD﹣PC=5﹣3=2，在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=4﹣r，根据勾股定理得：（4﹣r）2=r2+22，解得：r=，∴OP==，∵∠E=∠PCO，∠CPO=∠CPO，∴△DEP∽△OBP，∴，∴DE=．26．在课外活动中，我们要研究一种四边形﹣﹣筝形的性质．定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）．小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是菱形；（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；（3）如图2，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据筝形的定义解答即可；（2）根据全等三角形的判定和性质证明；（3）连接AC，作CE⊥AB交AB的延长线于E，根据正弦的定义求出CE，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）∵菱形的四条边相等，∴菱形是筝形，故答案为：菱形；（2）筝形是轴对称图形；筝形的对角线互相垂直；筝形的一组对角相等．已知：四边形ABCD是筝形，求证：∠B=∠D，证明：如图1，连接AC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠B=∠D；（3）如图2，连接AC，作CE⊥AB交AB的延长线于E，∵∠ABC=120°，∴∠EBC=60°，又BC=2，∴CE=BC×sin∠EBC=，∴S△ABC=AB×CE=2，∵△ABC≌△ADC，∴筝形ABCD的面积=2S△ABC=4．27．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．。

2023年北京市门头沟区中考数学一模试卷及答案解析

2023年北京市门头沟区中考数学一模试卷及答案解析

2023年北京市门头沟区中考数学一模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）如图，下列水平放置的几何体中，其侧面展开图是扇形的是（）A．B．C．D．2．（2分）据初步统计，截至2023年1月21日，《2023年春节联欢晚会》推出的竖屏看春晚累计观看规模约达179000000人，将数字179000000用科学记数法表示为（）A．179×106B．17.9×107C．1.79×108D．0.179×109 3．（2分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2分）如图，l1∥l2，等边△ABC的顶点B，C分别在l1，l2上，当∠1＝20°时，∠2的大小为（）A．35°B．40°C．45°D．50°5．（2分）方程的解为（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝﹣3D．6．（2分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，实数b满足条件a+b＞0，下列结论中正确的是（）A．b＜1B．b＞|a|C．ab＞0D．a﹣b＞07．（2分）如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，半径OD⊥BC于E，当∠BAC＝45°时，BE的长是（）A．B．C．D．8．（2分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是AB上一动点（点E与点A，B不重合），点F在BC延长线上，AE＝CF，以BE，BF为边作矩形BEGF．设AE的长为x，矩形BEGF的面积为y，则y与x满足的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）如果在实数范围内有意义，那么实数a的取值范围是．10．（2分）分解因式：3x2﹣6xy+3y2＝．11．（2分）如果一个多边形的内角和等于其外角和，那么这个多边形是边形．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点P（3，n），且在各自象限内，y的值随x值的增大而减小，写出一个符合题意的n的值．13．（2分）如果关于x的方程x2+4x+2m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．14．（2分）在一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地均相同的卡片，上面分别标有数字1，2，3，4．从中随机同时抽取两张卡片，那么抽取的两张卡片上的数字之和等于5的概率是．15．（2分）如图，在▱ABCD中，BE⊥AD于E，且交CD的延长线于F，当∠A＝60°，AB＝2，时，ED的长是．16．（2分）某校计划租用甲，乙，丙三种型号客车送师生去综合实践基地开展活动．每种型号客车的载客量及租金如下表所示：客车型号甲乙丙每辆客车载客量/人203040每辆客车的租金/元500600900其中租用甲型客车有优惠活动：租用三辆或三辆以上每辆客车的租金打8折．现有280名师生需要前往综合实践基地，要求每种型号的客车至少租1辆，且每辆车都坐满．（1）如果甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是2，4，3，那么租车的总费用为_____元；（2）如果租车的总费用最低，那么甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是．三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题5分，第27～28题每小题5分）17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组：19．（5分）已知m2﹣m﹣1＝0，求代数式（2m+1）（2m﹣1）+（m﹣2）2﹣m2的值．20．（5分）在证明“等腰三角形的两个底角相等”这个性质定理时，添加的辅助线AD有以下两种不同的叙述方法，请选择其中一种完成证明．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．求证：∠B＝∠C．法一证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D．法二证明：如图，取BC的中点D，连接AD．21．（5分）如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于E，DF⊥BC于F．（1）求证：四边形BEDF是矩形；（2）连接BD，如果tan∠BDE＝2，BF＝1，求AB的长．22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，0），且与函数y＝2x的图象交于点B（1，m）．（1）求m的值及一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．23．（6分）甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间近似满足函数关系y=a（x-h）2+k （a＜0）．比赛中，甲同学连续进行了两次发球．（1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的七组对应数据如下：水平距离x/m0123456竖直高度y/m1 2.4 3.44 4.24 3.4根据以上数据，回答下列问题：①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是m；②在水平距离5m处，放置一个高1.55m的球网，羽毛球（填“是”或“否”）可以过网；③求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系y ＝﹣0.1（x﹣5）2+3.3．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度2.4m 时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为d1，第二次接球的起跳点的水平距离为d2，则d1﹣d20（填“＞”“＜”或“＝”）．24．（6分）“双减”政策颁布后，某区为了解学生每天完成书面作业所需时长的情况，从甲，乙两所学校各随机抽取50名学生进行调查，获取他们每天完成书面作业所需时长（单位：分钟）的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．甲，乙两所学校学生每天完成书面作业所需时长的数据的精数分布直方图及扇形统计图如图（数据分成5组：15≤x＜30，30≤x＜45，45≤x＜60，60≤x＜75，75≤x≤90）；b．甲校学生每天完成书面作业所需时长的数据在45≤x＜60这一组的是：454650515152525355565959c．甲，乙两所学校学生每天完成书面作业所需时长的数据的平均数、中位数如下：平均数中位数甲校49m乙校5054根据以上信息，回答下列问题：（1）m＝；（2）乙校学生每天完成书面作业所需时长的数据的扇形统计图中表示45≤x＜60这组数据的扇形圆心角的度数是°；（3）小明每天完成书面作业所需时长为53分钟，在与他同校被调查的学生中，有一半以上的学生每天完成书面作业所需时长都超过了小明，那么小明是校学生（填“甲”或“乙”），理由是．（4）如果甲，乙两所学校各有200人，估计这两所学校每天完成书面作业所需时长低于60分钟的学生共有人．25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接AD并延长到C，使AC＝AB，连接BC交⊙O于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点F．（1）求证：OE∥AC；（2）如果AB＝10，AD＝6，求EF的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a≠0）．（1）求该抛物线的顶点坐标；（2）当抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a≠0）经过点（3，0）时：①求此时抛物线的表达式；②点M（n﹣2，y1），N（2n+3，y2）在抛物线上，且位于对称轴的两侧，当y1＞y2时，求n的取值范围．27．（7分）已知正方形ABCD和一动点E，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接BE，DF．（1）如图1，当点E在正方形ABCD内部时：①依题意补全图1；②求证：BE＝DF；（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，连接AF，取AF中点M，连接AE，DM，用等式表示线段AE与DM的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知图形G上的两点M，N（点M，N不重合）和另一点P，给出如下定义：连接PM，PN，如果PM⊥PN，则称点P为点M，N的“条件拐点”．（1）如图1，已知线段MN上的两点M（0，2），N（4，0）．①点P1（1，3），P2（2，﹣1），P3（4，2）中，点M，N的“条件拐点”是；②如果过点A（0，a）且平行于x轴的直线上存在点M，N的“条件拐点”，求a的取值范围；（2）如图2，已知点F（0，1），T（0，t），过点F作直线l⊥y轴，点M，N在直线l 上，且FM＝FN＝FT．如果直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”，直接写出t的取值范围．2023年北京市门头沟区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．【分析】根据几何体的展开图：三棱柱的侧面展开图是三个长方形；四棱柱的侧面展开图是四个长方形；圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形；可得答案．【解答】解：A、侧面展开图是四个长方形，故此选项不符合题意；B、侧面展开图是一个长方形，故此选项不符合题意；C、侧面展开图是三个长方形，故此选项不符合题意；D、侧面展开图是扇形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了几何体的展开图，记住常用几何体的侧面展开图是解题的关键．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：179000000＝1.79×108．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形；故A不符合题意；B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；故B不符合题意；C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故C不符合题意；D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．【分析】由平行线的性质得到∠3＝∠1＝20°，由等边三角形的性质得到∠ABC＝60°，即可求出∠2的度数．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝20°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠2＝∠ABC﹣∠3＝60°﹣20°＝40°．故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，关键是掌握平行线的性质，等边三角形的性质．5．【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：，2x+x+3＝0，解得：x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，x（x+3）≠0，∴x＝﹣1是原方程的根，故选：A．【点评】本题考查了解分式方程，一定要注解分式方程必须检验．6．【分析】利用有理数加法法则逐项判断即可．【解答】解：A、有图得﹣2＜a＜﹣1，若b＜1，则a+b＜0，∴不正确．B、若b＞|a|，则a、b异号，且|b|＞|a|，∴a+b＞0，∴正确．C、若ab＞0，则a、b同号，则a+b＜0，∴不正确．D、若a﹣b＞0，则a＞b，则a、b同号，则a+b＜0，∴不正确．故选：B．【点评】本题考查了有理数加法法则的应用，判断出b的正负及绝对值的大小是解题关键．7．【分析】连接OC，根据垂径定理和等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：连接OC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，∵OD⊥BC∴∠BOD＝45°，∠BEO＝90°，BE＝BC，∵OB＝OC＝2，∴BC＝2，∴BE＝，故选：A．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，正确地作出辅助线是解题的关键．8．【分析】根据题意表示出y与x之间的关系式即可．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，AE＝CF＝x，∴BE＝2﹣x，BF＝2+x，∴y＝BE•BF＝（2﹣x）（2+x）＝﹣x2+4，∴y与x满足的函数关系的图象是对称轴为y轴，开口向下的抛物线，且0＜x＜2，故选：C．【点评】本题考查动点问题的函数图象，理清题目中的关系，列出解析式是解决问题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．【解答】解：∵在实数范围内有意义，∴a﹣1≥0，∴a≥1．故答案是：a≥1．【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．10．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：3x2﹣6xy+3y2，＝3（x2﹣2xy+y2），＝3（x﹣y）2．故答案为：3（x﹣y）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．11．【分析】设多边形的边数为n，则根据多边形的内角和公式与多边形的外角和为360°，列方程解答．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，（n﹣2）•180°＝360°，n﹣2＝2，n＝4．故答案为：四．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是利用多边形的内角和公式并熟悉多边形的外角和为360°．12．【分析】根据反比例函数增减性可确定k的符号，再根据横坐标，即可确定n符号．【解答】解：∵在每一个象限内，y随x的增大而减小，∴k＞0，∵x＝3，∴n＞0，∴n＝2（答案不唯一）．故答案为：2（答案不唯一）．【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质与系数的关系是解题的关键．13．【分析】要使方程x2+4x+2m＝0有两个不相等的实数根，只需Δ＞0．即可得到关于m 的不等式，从而求得m的范围．【解答】解：∵方程x2+4x+2m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝16﹣8m＞0，即m＜2．故答案为：m＜2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，正确记忆根的判别式是解题关键．14．【分析】先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的卡片的数字之和等于5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：根据题意画树状图如图：共有12种情况，两次摸出的卡片的数字之和等于5的有4种，∴两次摸出的卡片的数字之和等于5的概率为，故答案为：．【点评】本题考查了列表法与树状图法，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．15．【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，∠C＝60°，进而得到∠EDF＝∠C＝60°，于是∠A＝∠EDF，再证明△ABE∽△DFE，得到，在Rt△AEB中，AE＝AB•cos A＝1，以此即可求解．【解答】解：∵四边ABCD为平行四边形，∠A＝60°，∴AD∥BC，∠C＝60°，∴∠EDF＝∠C＝60°，∴∠A＝∠EDF，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠DEF，∴△ABE∽△DFE，∴，即DE＝2AE，在Rt△AEB中，AB＝2，AE＝AB•cos A＝2×＝1，∴DE＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查平行四边的性质、相似三角形的性质、解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．16．【分析】（1）利用租车的总费用＝每辆甲型客车的租金×租用甲型客车的数量+每辆乙型客车的租金×租用乙型客车的数量+每辆丙型客车的租金×租用丙型客车的数量，即可求出结论；（2）利用人均费用＝每辆客车的租金÷每辆客车载客量，可求出三种型号客车的人均费用，结合每种型号的客车至少租1辆，可得出当租用丙型客车1辆，甲型客车不少于3辆时租车的总费用最低，设租用甲型客车a辆，乙型客车b辆，根据租用的三种型号客车可乘载280人，可得出关于a，b的二元一次方程，再结合a，b均为正整数且a≥3，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得：500×2+600×4+900×3＝1000+2400+2700＝6100（元），∴租车的总费用为6100元．故答案为：6100；（2）500÷20＝25（元/人），500×0.8÷20＝20（元/人），600÷30＝20（元/人），900÷40＝22.5（元/人），∵25＞22.5＞20，且每种型号的客车至少租1辆，∴当租用丙型客车1辆，甲型客车不少于3辆时租车的总费用最低．设租用甲型客车a辆，乙型客车b辆，根据题意得：20a+30b+40×1＝280，∴b＝8﹣a．又∵a，b均为正整数，且a≥3，∴或或，∴甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是：3、6、1或6、4、1或9、2、1．故答案为：3、6、1或6、4、1或9、2、1．【点评】本题考查了二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题5分，第27～28题每小题5分）17．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：＝2+2﹣4×+2＝2+2﹣2+2＝4．【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由4x﹣2＜2（x+1）得：x＜2，由＞x得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x＜2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【分析】先计算括号的同分母的减法运算，再把分子分母因式分解，则约分得到原式＝4m2+3m+3，接着利用已知条件得到m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：原式＝4m2﹣1+m2﹣4m+4﹣m2＝4m2﹣4m+3∵m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴原式＝4（m2﹣m）+3＝4+3＝7．【点评】本题考查了分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．20．【分析】方法一：作∠BAC的平分线交BC于点D，证△BAD≌△CAD（SAS），即可得出结论；方法二：取BC的中点D，连接AD，证△BAD≌△CAD（SSS），即可得出结论．【解答】方法一：证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D，则∠BAD＝∠CAD，在△BAD和△CAD中，，∴△BAD≌△CAD（SAS），∴∠B＝∠C；方法二：证明：如图，取BC的中点D，连接AD，则BD＝CD，在△BAD和△CAD中，，∴△BAD≌△CAD（SSS），∴∠B＝∠C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．21．【分析】（1）由BE⊥AD于E，DF⊥BC于F，得∠BED＝∠DFB＝90°，由菱形的性质得CB∥AD，则∠EBF＝∠AEB＝90°，即可根据“有三个角是直角的四边形是矩形”证明四边形BEDF是矩形；（2）由＝tan∠BDE＝2，DE＝BF＝1，得BE＝2，由AE2+BE2＝AB2，AE＝AD﹣1＝AB﹣1，得（AB﹣1）2+22＝AB2，则AB＝．【解答】（1）证明：∵BE⊥AD于E，DF⊥BC于F，∴∠BED＝∠DFB＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴CB∥AD，∴∠EBF＝∠AEB＝90°，∴四边形BEDF是矩形．（2）解：∵∠BED＝∠AEB＝90°，∴＝tan∠BDE＝2，AE2+BE2＝AB2，∵DE＝BF＝1，∴BE＝2DE＝2×1＝2，∴AE＝AD﹣1＝AB﹣1，∴（AB﹣1）2+22＝AB2，解得AB＝，∴AB的长为．【点评】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，证明∠BED ＝∠DFB＝∠EBF＝90°是解题的关键．22．【分析】（1）根据待定系数法求解；（2）根据数形结合，列式求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式为：y＝x+1；（2）如图：当x＝1时，y＝2，当y＝2时，﹣1+n＝2，解得：n＝3，所以当n≤3时，当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值．【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，数形结合思想是解题的关键．23．【分析】（1）①由表中数据直接可以得出结论；②由表中数据直接可以得出结论；③用待定系数法求函数解析式；（2）把y＝2.4分别代入（1）、（2）解析式求出d1和d2即可，【解答】解：（1）①由表格中数据知，当x＝3和x＝5时，y＝4，∴对称轴为x＝4，顶点坐标为（4，4.2），∴当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是4m，②∵当x＝5时，y＝4＞1.55，∴羽毛球是可以过网，故答案为：是；③∵h＝4，k＝4.2，∴y＝a（x﹣4）2+4.2，把x＝0，y＝1代入解析式得，a（0﹣4）2+4.2＝1，解得a＝﹣0.2，∴y＝﹣0.2（x﹣4）2+4.2；（2）在第一次接球中，当y＝2.4时，则﹣0.2（x﹣4）2+4.2＝2.4，解得x1＝1，x2＝7，∵接球时球越过球网，∴d1＝7；在第二次接球中，当y＝2.4时，则﹣0.1（x﹣5）2+3.3＝2.4，解得x1＝5，x2＝8，∵接球时球越过球网，∴d2＝8，∴d1﹣d2＝7﹣8＝﹣1＜0．故答案为：＜．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求出函数解析式．24．【分析】（1）根据统计图中的数据，可以得到第25个数和第26个数，然后计算出平均数，即这组数据的中位数；（2）用360°乘以45≤x＜60组所占的百分比，求出45≤x＜60组的扇形圆心角的度数即可；（3）根据中位数的定义即可得到结论；（4）根据题意列式计算即可．【解答】解：（1）由频数分布直方图和b中的信息可得，这50名学生服务时长的中位数是（51+51）÷2＝51（分钟），故m＝51；故答案为：51；（2）360°×（1﹣26%﹣4%﹣14%﹣26%）＝108°，答：扇形统计图中表示45≤x＜60这组数据的扇形圆心角的度数是108°，故答案为：108；（3）小明是乙校学生（填“甲”或“乙”），理由是：∵乙校的中位数为54，而小明每天完成书面作业所需时长为53分钟，有一半以上的学生每天完成书面作业所需时长都超过了小明，故∴小明是乙校学生，故答案为：乙，乙校的中位数为54，而小明每天完成书面作业所需时长为53分钟，有一半以上的学生每天完成书面作业所需时长都超过了小明；（4）甲校：200×＝132（人）乙校：200×（1﹣26%﹣4%）＝140（人），估计这两所学校每天完成书面作业所需时长低于60分钟的学生共有（132+140）＝272（人）．【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．【分析】（1）由等腰三角形的性质证出∠C＝∠OEB，由平行线的判定可得出结论；（2）由勾股定理求出BD＝8，由垂径定理求出BM＝4，得出sin∠OBM＝＝，证出∠OBM＝∠F，得出sin F＝，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵OB＝OC，∴∠OBE＝∠OEB，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠C＝∠OEB，∴OE∥AC；（2）解：连接BD，交OF于M，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝10，AD＝6，∴BD＝＝＝8，∵OE∥AC，AD⊥BD，∴OE⊥BD，∴BM＝DM＝BD＝4，∴OM＝＝＝3，∴sin∠OBM＝＝，∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF，∴∠OBF＝90°，∴∠BOF+∠F＝90°，∵∠OBM+∠BOM＝90°，∴∠OBM＝∠F，∴sin F＝，∴，∴OF＝，∴EF＝OF﹣OE＝﹣5＝．【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．26．【分析】（1）把（3，0）代入y＝ax2﹣2ax+a﹣4即可求得；把解析式化成顶点式即可；（2）①把a＝1代入解析式求解即可；②分两种情况讨论，列出不等式组可求解．【解答】解：（1）y＝ax2﹣2ax+a﹣4＝a（x﹣1）2﹣4，∴抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a≠0）的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a≠0）过（3，0），∴9a﹣6a+a﹣4＝0，解得a＝1；此时抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；②∵a＝1，∴抛物线开口向上，若点M在对称轴直线x＝1的左侧，点N在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意可得，∴﹣1＜n＜，若点N在对称轴直线x＝1的左侧，点M在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意可得：，不等式组无解，综上所述：﹣1＜n＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．27．【分析】（1）①按题中要求补全图形即可；②由旋转得CE＝CF，∠ECF＝90°，由正方形的性质得CB＝CD，∠BCD＝90°，则∠BCE＝∠DCF＝90°﹣∠DCE，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△BCE≌△DCF，则BE＝DF；（2）先证明△BCE≌△DCF，得BE＝DF，∠CBE＝∠CDF，再延长DM到点G，使GM ＝DM，连接AG，可证明△AGM≌△FDM，得AG＝DF，∠G＝∠MDF，所以BE＝AG，AG∥DF，可推导出∠DAG＝180°﹣∠ADF＝180°﹣（360°﹣90°﹣∠CDF）＝∠CDF ﹣90°，而∠ABE＝∠CBE﹣90°，所以∠ABE＝∠DAG，即可证明△ABE≌△DAG，则AE＝DG＝2DM．【解答】解：（1）①如图1，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接BE，DF.②证明：由旋转得CE＝CF，∠ECF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠DCF＝90°﹣∠DCE，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴BE＝DF．（2）AE＝2DM，证明：如图2，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接BE，DF，取AF 中点M，连接AE，DM，由旋转得CE＝CF，∠ECF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD＝AB＝DA，∠BCD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠BCE＝∠DCF＝90°﹣∠DCE，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴BE＝DF，∠CBE＝∠CDF，∴∠CBE﹣90°＝∠CDF﹣90°，延长DM到点G，使GM＝DM，连接AG，∵M是AF的中点，∴AM＝FM，在△AGM和△FDM中，，∴△AGM≌△FDM（SAS），∴AG＝DF，∠G＝∠MDF，∴BE＝AG，AG∥DF，∴∠DAG＝180°﹣∠ADF＝180°﹣（360°﹣90°﹣∠CDF）＝∠CDF﹣90°，∵∠ABE＝∠CBE﹣90°，∴∠ABE＝∠DAG，在△ABE和△DAG中，，∴△ABE≌△DAG（SAS），∴AE＝DG＝2DM．【点评】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线并且适当选择全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键．28．【分析】（1）①根据题中PM⊥PN，可得出：PM2+PN2＝MN2，再根据三个点给出的坐标分别求出PM2和PN2，分别验证PM2+PN2＝MN2是否成立，即可求出答案；②根据题意可知∠MPN＝90°和MN＝2，则可判断出点P在以MN的中点为圆心，以为半径的圆上，则根据过点A（0，a）且平行于x轴的直线上存在点M，N的“条件拐点”，可得出点B到此直线的距离d≤，根据中点求出点B的坐标，即可得出|a ﹣1|≤，解出不等式即可求出答案；（2）先计算直线l与坐标轴的交点坐标C（0，﹣t），D（t，0），根据FM＝FN＝FT确定点M，N，T在以F为圆心，以FT为半径的圆上，分情况讨论：当t≥1时，如图2；当0＜t＜1时，如图3；当﹣1＜t≤0时，如图4；当t≤﹣1时，如图5；分别根据点F 到直线l的距离小于等于FT列不等式可解答．【解答】解：（1）①∵M（0，2），N（4，0），∴MN2＝（0﹣4）2+（2﹣0）2＝20，当点P1（1，3）时，则P1M2＝（0﹣1）2+（2﹣3）2＝2，＝（1﹣4）2+（3﹣0）2＝18，∵2+18＝20，即P1M2+＝MN2，∴∠MPN＝90°，∴PM⊥PN，∴点P1是点M，N的“条件拐点”；当点P2（2，﹣1）时，则P2M2＝（2﹣0）2+（﹣1﹣2）2＝13，P2N2＝（2﹣4）2+（﹣1﹣0）2＝5，∴13+5＝18≠20，即P2M2+P2N2≠MN2，∴∠MPN≠90°，即PM与PN不垂直，∴点P2不是点M，N的“条件拐点”；当点P3（4，2）时，则P3M2＝（4﹣0）+（2﹣2）2＝16，P3N2＝（4﹣4）2+（2﹣0）2＝4，∵16+4＝20，即P3M2+P3N2＝MN2，∴∠MPN＝90°，∴PM⊥PN，∴点P3是点M，N的“条件拐点”；故答案为：点P1和点P3；②根据①可得：MN＝2，∵PM⊥PN，∴∠MPN＝90°，∴如图所示：点P在以MN的中点B为圆心，以为半径的圆上，∵过点A（0，a）且平行于x轴的直线上存在点M，N的“条件拐点”，∴如图所示，点B到此直线的距离d≤，∵点B是MN的中点，且M（0，2），N（4，0），∴点B的坐标为（2，1），∴|a﹣1|≤，解得：﹣+1≤a≤+1；（2）在直线y＝x﹣t中，当x＝0时，y＝﹣t，当y＝0时，x＝t，∴C（0，﹣t），D（t，0），∵FM＝FN＝FT，∴M，N，T在以点F为圆心，FT为半径的圆上，分三种情况：①当t≥1时，如图2，过点F作FG⊥l于G，则FC＝t+1，FT＝t﹣1，∵△FGC是等腰直角三角形，∴FG＝，∵直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”，∴FG≤FT，∴≤t﹣1，∴t≥3+2；②当0＜t＜1时，如图3，过点F作FG⊥l于G，则FC＝t+1，FT＝1﹣t，∵直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”，∴FG≤FT，∴≤1﹣t，∴t≤3﹣2；③当﹣1＜t≤0时，如图4，过点F作FG⊥l于G，则FC＝t+1，FT＝1﹣t，∵直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”，∴FG≤FT，∴≤1﹣t，∴t≤3﹣2；④当t≤﹣1时，如图5，过点F作FG⊥l于G，则FC＝﹣t﹣1，FT＝1﹣t，∵直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”，∴FG≤FT，∴≤1﹣t，∴t≤3+2；综上，t的取值为t≥3+2或t≥3﹣2．【点评】本题是一次函数的综合题，考查了新定义“条件拐点”的理解和运用，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，一次函数的性质等知识，正确的作出图形和分类讨论是解题的关键。

2023年北京市海淀区中考数学一模试卷及答案解析

2023年北京市海淀区中考数学一模试卷及答案解析

2023年北京市海淀区中考数学一模试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有4个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列几何体中，主视图为如图的是（）A．B．C．D．2．（2分）北京植物园从上世纪五十年代开始建设种子库，目前库中已有种子83000余份，总量位居世界第二位．将83000用科学记数法表示应为（）A．83×103B．8.3×104C．8.3×105D．0.83×105 3．（2分）在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（）A．B．C．D．4．（2分）不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．5．（2分）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．|m|＜|n|B．m+n＞0C．m﹣n＜0D．mn＞06．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．﹣1B．0C．1D．27．（2分）小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的90°刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为27°，那么被测物体表面的倾斜角α为（）A．63°B．36°C．27°D．18°8．（2分）图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）分解因式：a2b+4ab+4b＝．11．（2分）分式方程的解为．12．（2分）根据如表估计≈（精确到0.1）．x16.216.316.416.516.6x2262.44265.69268.96272.25275.56 13．（2分）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM．若AC＝4，BD＝8，则OM的长为．14．（2分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与正比例函数y＝mx的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，a），则点B的坐标为．15．（2分）如图，点M在正六边形的边EF上运动．若∠ABM＝x°，写出一个符合条件的x的值．16．（2分）某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示．尺寸数量（个）大中小款式A81525B01020烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品．某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品．（1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用次；（2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为元．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知2x2+x﹣1＝0，求代数式（2x+1）2﹣2（x﹣3）的值．20．（5分）下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°．求证：BC ＝AB ．方法一证明：如图，延长BC 到点D ，使得CD ＝BC ，连接AD ．方法二证明：如图，在线段AB 上取一点D ，使得BD ＝BC ，连接CD．21．（6分）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，过点B 作BE ∥AD 交CD 于点E ，点F 为AD 边上一点，AF ＝BE ，连接EF ．（1）求证：四边形ABEF 为矩形；（2）若AB ＝6，BC ＝3，CE ＝4，求ED 的长．22．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象过点（1，3），（2，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x ＞2时，对于x 的每一个值，一次函数y ＝mx 的值大于一次函数y ＝kx +b 的值，直接写出m 的取值范围．23．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE为⊙O的切线；（2）延长AB，ED交于点F．若BF＝2，，求AC的长．24．（6分）某小组对当地2022年3月至10月西红柿与黄瓜市场价格进行调研，经过整理、描述和分析得到了部分信息．a．西红柿与黄瓜市场价格的折线图：b．西红柿与黄瓜价格的众数和中位数：蔬菜价格众数中位数西红柿（元/千克）6m黄瓜（元/千克）n6根据以上信息，回答下列问题：（1）m＝，n＝；（2）在西红柿与黄瓜中，的价格相对更稳定；（3）如果这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，结合题中信息推测这两种蔬菜在_________月的产量相对更高．25．（5分）“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．（1）建立如图所示的平面直角坐标系．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：水平距离x/m00.41 1.42 2.4 2.8竖直高度y/m00.480.90.980.80.480根据上述数据，回答下列问题：①野兔本次跳跃的最远水平距离为m，最大竖直高度为m；②求满足条件的抛物线的解析式；（2）已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为3m，最大竖直高度为1m．若在野兔起跳点前方2m处有高为0.8m的篱笆，则野兔此次跳跃（填“能”或“不能”）跃过篱笆．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x0，m），B（x0+4，n）在抛物线y＝x2﹣2bx+1上．（1）当b＝5，x0＝3时，比较m与n的大小，并说明理由；（2）若对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1，求b的取值范围．27．（7分）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，AE，BF交于点G．（1）求∠AGF的度数；（2）在线段AG上截取MG＝BG，连接DM，∠AGF的角平分线交DM于点N．①依题意补全图形；②用等式表示线段MN与ND的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（m，n），我们称直线y＝mx+n为点P的关联直线．例如，点P（2，4）的关联直线为y＝2x+4．（1）已知点A（1，2）．①点A的关联直线为；②若⊙O与点A的关联直线相切，则⊙O的半径为；（2）已知点C（0，2），点D（d，0）．点M为直线CD上的动点．①当d＝2时，求点O到点M的关联直线的距离的最大值；②以T（﹣1，1）为圆心，3为半径作⊙T．在点M运动过程中，当点M的关联直线与⊙T交于E，F两点时，EF的最小值为4，请直接写出d的值．2023年北京市海淀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有4个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】找到从正面看所得到的图形，作出判断即可．【解答】解：A、该圆柱的主视图是矩形，故本选项符合题意；B、该圆锥主视图为等腰三角形，故本选项不符合题意；C、该三棱锥的主视图为三角形（三角形内部由一条纵向的实线），故本选项不符合题意；D、球的主视图是圆，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：83000＝8.3×104．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．3．【分析】连接甲乙，交MN于点P，点P就是所求的点，理由是连接甲、乙的所有线中，线段最短．【解答】解：根据线段的性质可知，点P即为所求作的位置．符合题意的画法是A．故选：A．【点评】本题考查应用与设计作图，利用两点之间线段最短是解决问题关键，学会将实际问题转化为数学知识．4．【分析】直接由概率公式求解即可．【解答】解：从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是＝，故选：D．【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．5．【分析】根据数轴上的点表示的数的大小关系、实数的乘法法则、绝对值的定义、不等式的性质解决此题．【解答】解：A．由图可知，﹣2＜n＜0＜m＜4，得|m|＜|n|，那么A错误．B．由图可知，﹣2＜n＜0＜m＜4，得m+n＞0，那么B正确．D．由图可知，﹣2＜n＜0＜m＜4，得m﹣n＞0，那么C错误．D．由图可知，﹣2＜n＜0＜m＜4，得mn＜0，那么D错误．故选：B．【点评】本题主要考查数轴上的点表示的数、实数的乘法、绝对值、不等式的性质，熟练掌握数轴上的点表示的数的大小关系、实数的乘法法则、绝对值的定义、不等式的性质是解决本题的关键．6．【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，即可得判别式Δ＝0，即可得方程4﹣4m＝0，解此方程即可求得答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＝0，∴m＝1．故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题难度不大，注意若一元二次方程有两个相等的实数根，则可得Δ＝0．7．【分析】由平行线的性质，垂直的定义得到∠PQO＝90°，∠ACP＝90°，由对顶角的性质得到∠APC＝∠OPQ，由三角形内角和定理即可得到∠BAC＝∠COD＝27°．【解答】解：∵MN∥AB，OD⊥MN，∴OD⊥AB，∴∠PQO＝90°，∵OC⊥AD，∴∠ACP＝90°，∵∠APC＝∠OPQ，∴∠BAC＝∠COD＝27°，∴被测物体表面的倾斜角α为27°．故选：C．【点评】本题考查垂直的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，关键是理解题意，应用以上知识点来解决问题．8．【分析】由图1可设y＝kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0），由图2可设z＝my（m为常数，m＞0），将y＝kx+b代入z＝my得z＝mkx+mb，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断．【解答】解：由图1可设y＝kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0），由图2可设z＝my（m 为常数，m＞0），将y＝kx+b代入z＝my得：z＝m（kx+b）＝mkx+mb，∴z与x的函数关系为一次函数关系，∵k＜0，b＞0，m＞0，∴mk＜0，mb＞0，∴z与x的函数图象过一、二、四象限．故选：C．【点评】本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，根据图象正确设出函数解析式，学会利用整体思想解决问题是解题关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．【解答】解：式子在实数范围内有意义，则x﹣5≥0，故实数x的取值范围是：x≥5．故答案为：x≥5．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．10．【分析】原式提取b，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝b（a2+4a+4）＝b（a+2）2，故答案为：b（a+2）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11．【分析】先去分母化为整式方程，解整式方程，检验即可．【解答】解：，方程两边都乘以x（x+3）约去分母得：x+3＝2x，解这个整式方程得x＝3，检验：当x＝3时，x（x+3）≠0，∴x＝3是原分式方程的解．故答案为：x＝3．【点评】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．12．【分析】根据表格可得268.96＜269＜272.25，从而可得16.4＜＜16.5，即可解答．【解答】解：∵268.96＜269＜272.25，∴16.4＜＜16.5，∴≈16.4，故答案为：16.4．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．13．【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝4，则∠AOB＝90°，所以AB＝＝2，由点M为AB的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得OM＝AB＝，于是得到问题的答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝8，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×4＝2，OB＝OD＝BD＝×8＝4，∴∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝2，∵点M为AB的中点，∴OM＝AB＝×2＝，故答案为：．【点评】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，根据勾股定理求出AB的长是解题的关键．14．【分析】把A（1，a）代，可得a＝2，可得A（1，2），再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标．【解答】解：把A（1，a）代，可得a＝2，∴A（1，2），∵点B与点A关于原点对称，∴B（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2）．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．15．【分析】由正多边形的性质和平行线的性质求得∠ABF＝30°，∠ABE＝60°可得x的取值范围30°≤x≤60°，即可得到答案．【解答】解：连接BF，BE，∵六边形ABCDEF是正六边形，AF∥BE，∴∠A＝∠ABC＝∠AFE＝＝120°，AB＝AF，∴∠ABF＝＝30°，∠ABE＝180°﹣∠A＝60°，∵点M在正六边形的边EF上运动，∠ABM＝x°，∴30°≤x≤60°，∴x＝50°．故答案为：50°（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了正多边形和圆，根据正多边形的性质和平行线的性质求得∠ABF ＝30°，∠ABE＝60°得到x的取值范围是解决问题的关键．16．【分析】（1）设烧制这批陶艺品需使用A款电热窑x次，由烧制大尺寸陶艺品只能使用A款电热窑及烧制的大尺寸陶艺品不少于10个，可得出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论；（2）当使用A款电热窑烧制2次时，可求出恰好还需使用B款电热窑烧制一次，求出该方案的成本，再求出使用A款电热窑烧制3次所需成本，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设烧制这批陶艺品需使用A款电热窑x次，根据题意得：8x≥10，解得：x≥，又∵x为正整数，∴x的最小值为2，∴A款电热窑至少使用2次．故答案为：2；（2）当使用A款电热窑烧制2次时，将第2次的5个大尺寸陶艺品位置替换成10个中尺寸陶艺品，1个大尺寸陶艺品位置替换成6个小尺寸陶艺品，∴还需烧制中尺寸陶艺品50﹣15×2﹣10＝10（个），小尺寸陶艺品76﹣25×2﹣6＝20（个），又∵B款电热窑一次可烧制10个中尺寸陶艺品，20个小尺寸陶艺品，∴还需使用B款电热窑烧制一次，∴此方案所需成本为55×2+25＝135（元）．当A款电热窑使用3次时，所需成本为55×3＝165（元）．∵165＞135，∴烧制这批陶艺品成本最低为135元．故答案为：135．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）根据各数量之间的关系，求出各烧制方案所需的成本．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：＝1+2+2﹣2×＝1+2+2﹣＝3+．【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①得：x＞3，解不等式②得：x＜5，则不等式组的解集为3＜x＜5．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【分析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式，化简（2x+1）2﹣2（x﹣3）＝4x2+2x+7，再根据2x2+x﹣1＝0，可得2x2+x＝1，整体代入求值即可．【解答】解：（2x+1）2﹣2（x﹣3）＝4x2+4x+1﹣2x+6＝4x2+2x+7，∵2x2+x﹣1＝0，∴2x2+x＝1，∴4x2+2x＝2（2x2+x）＝2，∴原式＝2+7＝9．【点评】本题考查了完全平方公式，代数式求值，涉及单项式乘多项式，合并同类项，熟练掌握整体代入法是解题的关键．20．【分析】若选择方法一：先根据直角三角形的两个锐角互余求出∠B＝60°，再利用平角定义求出∠ACD＝90°，从而可得∠ACD＝∠ACB＝90°，然后利用SAS证明△BCA ≌△DCA，从而可得AD＝AB，进而可得△ABD是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得AB＝BD，即可解答；若选择方法二：先根据直角三角形的两个锐角互余求出∠B＝60°，从而可得△BCD是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得BC＝BD＝DC，∠BCD＝60°，从而可得∠DCA＝∠A＝30°，进而可得DC＝DA，最后利用等量代换可得BC＝BD＝DA＝AB，即可解答．【解答】解：若选择方法一：如图：延长BC到点D，使得CD＝BC，连接AD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝60°，∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠ACB＝90°，∵AC＝AC，∴△BCA≌△DCA（SAS），∴AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∵BC＝CD＝BD，∴BC＝AB；若选择方法二：如图，在线段AB上取一点D，使得BD＝BC，连接CD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝BD＝DC，∠BCD＝60°，∴∠DCA＝∠ACB﹣∠BCD＝30°，∴∠DCA＝∠A＝30°，∴DC＝DA，∴BC＝BD＝DA＝AB，即BC＝AB．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．21．【分析】（1）根据平行四边形的判定和矩形的判定解答即可；（2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】（1）证明：∵BE∥AD，AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵∠A＝90°，∴平行四边形ABEF是矩形；（2）解：∵∠C＝90°，BC＝3，CE＝4，∴BE＝，∵四边形ABEF是矩形，∴∠BEF＝∠AFE＝90°，AB＝EF＝6，∴∠BEC+∠FED＝90°，∠EFD＝90°，∵∠CBE+∠BEC＝90°，∴∠CBE＝∠FED，∵∠EFD＝∠C＝90°，∴△BCE∽△EFD，∴，即，∴DE＝10．【点评】此题考查矩形的判定和性质，关键是根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．22．【分析】（1）待定系数法求解析式；（2）当x＝﹣2时，求出y＝2x+2的值，然后根据题意，得不等式，即可求出m的取值范围．【解答】解：（1）将点（1，3），（2，2）代入一次函数y＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式：y＝﹣x+4；（2）当x＝2时，y＝﹣x+4＝﹣2+4＝2，根据题意，可知当x＝2时，2m≥2，解得m≥1，∴m的取值范围是m≥1．【点评】本题考查了一次函数解析式与图象，熟练掌握待定系数法与函数图象是解题的关键．23．【分析】（1）连接OD，连接BC交OD于点F，证明DE∥BC，由垂径定理得出OD⊥CB，得出OD⊥DE，由切线的判定可得出答案；（2）连接BC，OD，根据锐角三角函数求出OB＝1，AB＝2，根据平行线的性质得出∠ABC＝∠AFE，根据锐角三角函数求解即可．【解答】（1）证明：连接OD，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AE，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∵点D是的中点，∴OD⊥CB，∴OD⊥DE，又∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图，连接BC，OD，由（1）知，OD⊥EF，BC∥EF，∵sin∠AFE＝，∴＝，∵BF＝2，OB＝OD，∴＝，∴OB＝1，∴AB＝2，∵BC∥EF，∴∠ABC＝∠AFE，∴sin∠ABC＝sin∠AFE，∴＝，∴AC＝．【点评】此题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、解直角三角形是解题的关键．24．【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得m、n的值；（2）根据方差的意义解答即可；（3）根据统计图解答即可．【解答】解：（1）把西红柿在当地2022年3月至10月的价格从小到大排列，排在中间的两个数分别是6和7，故中位数m＝＝6.5；黄瓜在当地2022年3月至10月的价格中，6元/千克出现了3次，出现的次数最多，故众数n＝6；故答案为：6.5；6；（2）由折线统计图可知，西红柿的价格在5元/千克至10元/千克徘徊，黄瓜的价格在3元/千克至10元/千克徘徊，所以在西红柿与黄瓜中，西红柿的价格相对更稳定．故答案为：西红柿；（3）由统计图可知，6月份两种蔬菜的价格最低，所以如果这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，结合题中信息推测这两种蔬菜在6月的产量相对更高．故答案为：6．【点评】本题考查了折线统计图、中位数、众数和方差，掌握相关统计量的意义是解决问题的关键．25．【分析】（1）①根据表中数据得出结论；②设出抛物线解析式的顶点式，用待定系数法求出函数解析式即可；（2）先根据兔子跳跃的最远水平距离为3m，最大竖直高度为1m，求出函数解析式，再把x＝2代入解析式求出y与0.8比较即可．【解答】解：（1）①由x＝0，y＝0和x＝2.8，y＝0可知，野兔本次跳跃的最远水平距离为2.8﹣0＝2.8（米），对称轴为直线x＝＝1.4，∴当x＝1.4时，y有最大值0.98，∴野兔本次跳跃的最大竖直高度为0.98米，故答案为：2.8，0.98；②设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.4）2+0.98，把x＝1，y＝0.9代入y＝a（x﹣1.4）2+0.98得，a（1﹣1.4）2+0.98＝0.9，解得a＝﹣0.5，∴抛物线的解析式为y＝﹣0.5（x﹣1.4）2+0.98；（2）设野兔在某次跳跃时抛物线的解析式为y＝mx2+nx，根据题意得：，解得，∴野兔在某次跳跃时抛物线的解析式为y＝﹣x2+x，当x＝2时，y＝﹣×22+×2＝﹣+＝，∵＞0.8，∴野兔此次跳跃能跃过篱笆．故答案为：能．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．26．【分析】（1）抛物线的解析式化成顶点式，即可求得对称轴，根据二次函数的性质即可判断；（2）求得抛物线与直线y＝1的交点，即可求得对称轴，由对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1得到，解得b﹣2＜x0＜2b﹣4，从而得到，解得4＜b＜5．【解答】解：（1）由题意可知A（3，m），B（7，n）在抛物线y＝x2﹣10x+1上，∵y＝x2﹣10x+1＝（x﹣5）2﹣24，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝5，∵A（3，m），B（7，n）到对称轴的距离相同，∴m＝n；（2）当y＝1时，则y＝x2﹣2bx+1＝1，解得x1＝0，x2＝2b，∴抛物线经过点（0，1），（2b，1），∴对称轴为直线x＝b，∵对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1，∴，解得b﹣2＜x0＜2b﹣4，∴，解得4＜b＜5．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．27．【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△BCF，可得∠BAE＝∠CBF，由余角的性质可得结论；（2）①由题意补全图形；②由“SAS”可证△ABG≌△ADH，可得DH＝BG，∠AHD＝∠AGB＝90°，由“AAS”可证△MNG≌△DNH，可得结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，又∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠BGE＝90°＝∠AGF；（2）①如图所示：②MN＝DN，理由如下：过点A作AH⊥AE，交EN的延长线于点H，∵AH⊥AE，∴∠EAH＝90°＝∠BAD，∴∠BAE＝∠DAH，∵GN平分∠AGF，∴∠AGN＝∠NGF＝45°，∴∠AGN＝∠AHG＝45°，∴AH＝AG，又∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADH（SAS），∴DH＝BG，∠AHD＝∠AGB＝90°，∴∠AHN＝∠DHN＝45°，又∵BG＝MG，∴MG＝HD，又∵∠DHN＝∠AGN＝45°，∠MNG＝∠DNH，∴△MNG≌△DNH（AAS），∴MN＝DN．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．28．【分析】（1）①根据点P的关联直线的定义可解答；②先根据切线的性质得：OB⊥GH，再根据直角三角形斜边中线的性质可得OB的长，即可得⊙O的半径的长；（2）①根据待定系数法可求得直线CD的解析式，设M（m，﹣m+2），表示点M的关联直线，确定这个关联直线经过定点N（1，2），可得结论；②同理确定CD的解析式，及点M关联直线的解析式和顶点坐标，根据两点的距离公式列方程可解答．【解答】解：（1）①∵点A（1，2），∴点A的关联直线为：y＝x+2；故答案为：y＝x+2；②如图1，设直线y＝x+2与⊙O相切的切点为B，连接OB，∴OB⊥GH，在y＝x+2中，当x＝0时，y＝2，∴OG＝2，当y＝0时，x+2＝0，∴x＝﹣2，∴OH＝2，∴△GOH是等腰直角三角形，∴GH＝＝2，∵OB⊥GH，∴BH＝BG，∴OB＝GH＝×＝，则⊙O的半径为；故答案为：；（2）①当d＝2时，D（2，0），设直线CD的解析式为：y＝kx+b，∵C（0，2），∴，解得：，∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+2，设点M的坐标为（m，﹣m+2），∴点M的关联直线为：y＝mx﹣m+2＝m（x﹣1）+2，∴点M的关联直线经过定点N（1，2），如图2，过点O作直线y＝﹣mx﹣m+2的垂线，垂足为H，连接ON，∴ON≥OH，∴当点H与点N重合时，OH最大，即点O到点M的关联直线的距离最大，∴点O到点M的关联直线的距离的最大值为：＝；②∵点C（0，2），点D（d，0），∴得直线CD的解析式为：y＝﹣+2，设点M的坐标为（n，﹣+2），∴点M的关联直线为：y＝nx﹣+2＝n（x﹣）+2，∴点M的关联直线经过定点（，2），如图3，过点T作TN⊥EF于N，连接TF，则EF＝2FN，要想使EF最小，因为TF＝3是定值，则TN为最大＝＝，由（2）①可知：当N与（，2）重合时，TN最大，∵T（﹣1，1），则：（﹣1﹣）2+（1﹣2）2＝（）2，解得：d＝2或﹣．【点评】本题是一次函数的综合题，考查一次函数的图象及性质，两点的距离公式，新定义：关联直线的理解和运用等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义，数形结合是解题的关键。

2024年北京市中考真题数学试卷含答案解析

2024年北京市中考真题数学试卷含答案解析

2024年北京市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．【详解】解：A 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；B 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；C 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；D 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；故选：B ．2．如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，若58AOC ∠=︒，则EOB ∠的大小为（ ）A ．29︒B ．32︒C ．45︒D ．58︒【答案】B【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键．根据OE OC ⊥得到90COE ∠=︒，再由平角180AOB ∠=︒即可求解．【详解】解：∵OE OC ⊥，∴90COE ∠=︒，∵180AOC COE BOE ∠+∠+∠=︒，58AOC ∠=︒，∴180905832EOB ∠=︒-︒-=︒，故选：B ．3．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ．1b >-B ．2b >C ．0a b +>D ．0ab >4．若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（ ）A ．16-B ．4-C ．4D ．16【答案】C【分析】根据方程的根的判别式()22Δ44410b ac c =-=--⨯⨯=即可．本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】∵方程240x x c -+=，1,4,a b c c ==-=，∴()22Δ44410b ac c =-=--⨯⨯=，∴416c =，解得4c =．故选C ．5．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（　）A ．34B ．12C ．13D ．14共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有∴两次都取到白色小球的概率为故选：D ．6．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为17410⨯Flops （Flops 是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops ，则m 的值为（ ）A ．16810⨯B ．17210⨯C ．17510⨯D ．18210⨯【答案】D【分析】用移动小数点的方法确定a 值，根据整数位数减一原则确定n 值，最后写成10n a ⨯的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a ，运用整数位数减去1确定n 值是解题的关键．【详解】17184105210m =⨯⨯=⨯，故选D ．7．下面是“作一个角使其等于AOB ∠”的尺规作图方法.（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）作射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；以点C '为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D ¢；（3）过点D ¢作射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠.上述方法通过判定C O D COD '''△≌△得到A O B AOB '''∠=∠，其中判定C O D COD '''△≌△的依据是（ ）A ．三边分别相等的两个三角形全等B ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D ．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【答案】A【分析】根据基本作图中，同圆半径相等，判定三角形全等的依据是边边边原理，解答即可.本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是边边边原理是解题的关键.【详解】根据基本作图中，同圆半径相等，判定三角形全等的依据是边边边原理，故选A.8．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，O 为对角线的交点.将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90︒得到菱形A B C D ''''，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H .对八边形BFB GDHD E ''给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等。

北京市2021年中考数学一模试卷含答案解析

北京市2021年中考数学一模试卷含答案解析

中考数学一模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）风和日丽春光好，又是一年舞筝时．放风筝是我国人民非常喜爱的一项户外娱乐活动．下列风筝剪纸作品中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）下面四幅图中，用量角器测得∠AOB度数是40°的图是（）A．B．C．D．3．（2分）如图，数轴上每相邻两点距离表示1个单位，点A，B互为相反数，则点C表示的数可能是（）A．0 B．1 C．3 D．54．（2分）如图可以折叠成的几何体是（）A．三棱柱B．圆柱C．四棱柱D．圆锥5．（2分）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．例如3306用算筹表示就是，则2022用算筹可表示为（）A．B．C．D．6．（2分）一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，则该正多边形的边数是（）A．3 B．4 C．6 D．127．（2分）“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事．如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间t的关系（其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子）．下列叙述正确的是（）A．赛跑中，兔子共休息了50分钟B．乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟C．兔子比乌龟早到达终点10分钟D．乌龟追上兔子用了20分钟8．（2分）中小学时期是学生身心变化最为明显的时期，这个时期孩子们的身高变化呈现一定的趋势，7～15岁期间生子们会经历一个身高发育较迅速的阶段，我们把这个年龄阶段叫做生长速度峰值段，小明通过上网查阅《2021年某市儿童体格发育调查表》，了解某市男女生7～15岁身高平均值记录情况，并绘制了如下统计图，并得出以下结论：①10岁之前，同龄的女生的平均身高一般会略高于男生的平均身高；②10～12岁之间，女生达到生长速度峰值段，身高可能超过同龄男生；③7～15岁期间，男生的平均身高始终高于女生的平均身高；④13～15岁男生身高出现生长速度峰值段，男女生身高差距可能逐渐加大．以上结论正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．10．（2分）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，如图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图：估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为（结果精确到0.01）．11．（2分）计算：=．12．（2分）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是毫米．13．（2分）已知：a2+a=4，则代数式a（2a+1）﹣（a+2）（a﹣2）的值是．14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，CD=8，则BE=．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OCD可以看作是△ABO经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABO得到△OCD 的过程：．16．（2分）下面是“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图1，∠MON．求作：射线OP，使它平分∠MON．作法：如图2，（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；（2）连结AB；（3）分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点P；（4）作射线OP．所以，射线OP即为所求作的射线．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23题7分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27题7分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：（）﹣1﹣（π﹣）0+|1﹣|﹣2sin60°．18．（5分）解不等式组，并写出它的所有整数解．19．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连结DE，求证：DE∥AB．20．（5分）关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k为正整数时，求此时方程的根．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=的图象与直线y=x+1交于点A（1，a）．（1）求a，k的值；（2）连结OA，点P是函数y=上一点，且满足OP=OA，直接写出点P 的坐标（点A除外）．22．（5分）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）连接CF，若∠ABC=60°，AB=4，AF=2DF，求CF的长．23．（7分）为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．收集数据：随机抽取甲乙两所学校的20名学生的数学成绩进行分析：甲91897786713197937291 81928585958888904491乙84936669768777828588 90886788919668975988整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据分段学校30≤x≤3940≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲1100378乙分析数据：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：统计量学校平均数中位数众数方差甲81.858891268.43乙81.9586m115.25经统计，表格中m的值是．得出结论：a若甲学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为．b可以推断出学校学生的数学水平较高，理由为．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）24．（6分）如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连结BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．（1）求证：∠AEB=2∠C；（2）若AB=6，cosB=，求DE的长．25．（5分）如图，在△ABC中，∠C=60°，BC=3厘米，AC=4厘米，点P从点B 出发，沿B→C→A以每秒1厘米的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x 秒，B、P两点间的距离为y厘米．小新根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小新的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x（s）01234567y（cm）0 1.0 2.0 3.0 2.7 2.7m 3.6经测量m的值是（保留一位小数）．（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，在△ABC中画出点P所在的位置．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2bx﹣3的对称轴为直线x=2．（1）求b的值；（2）在y轴上有一动点P（0，m），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2．①当x2﹣x1=3时，结合函数图象，求出m的值；②把直线PB下方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0≤x≤5时，﹣4≤y≤4，求m的取值范围．27．（7分）在△ABC中，AB=AC，CD⊥BC于点C，交∠ABC的平分线于点D，AE 平分∠BAC交BD于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF．（1）补全图1；（2）如图1，当∠BAC=90°时，①求证：BE=DE；②写出判断DF与AB的位置关系的思路（不用写出证明过程）；（3）如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF，AE的关系．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，2），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O的半径为，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）风和日丽春光好，又是一年舞筝时．放风筝是我国人民非常喜爱的一项户外娱乐活动．下列风筝剪纸作品中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项错误．故选：B．2．（2分）下面四幅图中，用量角器测得∠AOB度数是40°的图是（）A．B．C．D．【解答】解：A、正确．∠AOB=40°；B、错误．点O，边OA的位置错误；C、错误．缺少字母A；D、错误．点O的位置错误；故选：A．3．（2分）如图，数轴上每相邻两点距离表示1个单位，点A，B互为相反数，则点C表示的数可能是（）A．0 B．1 C．3 D．5【解答】解：∵如图，数轴上每相邻两点距离表示1个单位，点A，B互为相反数，∴线段AB的中点为原点，即A、B对应的数分别为﹣2、2，则点C表示的数可能是3，故选：C．4．（2分）如图可以折叠成的几何体是（）A．三棱柱B．圆柱C．四棱柱D．圆锥【解答】解：两个三角形和三个矩形可围成一个三棱柱．故选：A．5．（2分）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．例如3306用算筹表示就是，则2022用算筹可表示为（）A．B．C．D．【解答】解：∵各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，∴2022用算筹可表示为故选：C．6．（2分）一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，则该正多边形的边数是（）A．3 B．4 C．6 D．12【解答】解：由题意，得外角+相邻的内角=180°且外角=相邻的内角，∴外角=90°，360÷90=4，正多边形是正方形，故选：B．7．（2分）“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事．如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间t的关系（其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子）．下列叙述正确的是（）A．赛跑中，兔子共休息了50分钟B．乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟C．兔子比乌龟早到达终点10分钟D．乌龟追上兔子用了20分钟【解答】解：由图象可得，赛跑中，兔子共休息了50﹣10=40分钟，故选项A错误，乌龟在这次比赛中的平均速度是500÷50=10米/分钟，故选项B错误，乌龟比兔子先到达60﹣50=10分钟，故选项C错误，乌龟追上兔子用了20分钟，故选项D正确，故选：D．8．（2分）中小学时期是学生身心变化最为明显的时期，这个时期孩子们的身高变化呈现一定的趋势，7～15岁期间生子们会经历一个身高发育较迅速的阶段，我们把这个年龄阶段叫做生长速度峰值段，小明通过上网查阅《2021年某市儿童体格发育调查表》，了解某市男女生7～15岁身高平均值记录情况，并绘制了如下统计图，并得出以下结论：①10岁之前，同龄的女生的平均身高一般会略高于男生的平均身高；②10～12岁之间，女生达到生长速度峰值段，身高可能超过同龄男生；③7～15岁期间，男生的平均身高始终高于女生的平均身高；④13～15岁男生身高出现生长速度峰值段，男女生身高差距可能逐渐加大．以上结论正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．③④【解答】解：①10岁之前，同龄的女生的平均身高与男生的平均身高基本相同，故该说法错误；②10～12岁之间，女生达到生长速度峰值段，身高可能超过同龄男生，故该说法正确；③7～15岁期间，男生的平均身高不一定高于女生的平均身高，如11岁的男生的平均身高低于女生的平均身高，故该说法错误；④13～15岁男生身高出现生长速度峰值段，男女生身高差距可能逐渐加大，故该说法正确．故选：C．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥2．【解答】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得x≥2；故答案为：x≥2．10．（2分）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，如图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图：估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.88（结果精确到0.01）．【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率∴这种幼树移植成活率的概率约为0.88．故答案为：0.88．11．（2分）计算：=2m+3n．【解答】解：=2m+3n．故答案为：2m+3n12．（2分）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是毫米．【解答】解：∵DE∥AB∴△CDE∽△CAB∴CD：CA=DE：AB∴20：60=DE：10∴DE=毫米∴小管口径DE的长是毫米．故答案为：13．（2分）已知：a2+a=4，则代数式a（2a+1）﹣（a+2）（a﹣2）的值是8．【解答】解：原式=2a2+a﹣（a2﹣4）=2a2+a﹣a2+4=a2+a+4，当a2+a=4时，原式=4+4=8，故答案为：8．14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，CD=8，则BE=2．【解答】解：连接OC，如图，∵弦CD⊥AB，∴CE=DE=CD=4，在Rt△OCE中，∵OC=5，CE=4，∴OE==3，∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2．故答案为2．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OCD可以看作是△ABO经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABO得到△OCD 的过程：将△ABO沿x轴向下翻折，在沿x轴向左平移2个单位长度得到△OCD．．【解答】解：将△ABO沿x轴向下翻折，在沿x轴向左平移2个单位长度得到△OCD，故答案为：将△ABO沿x轴向下翻折，在沿x轴向左平移2个单位长度得到△OCD．16．（2分）下面是“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图1，∠MON．求作：射线OP，使它平分∠MON．作法：如图2，（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；（2）连结AB；（3）分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点P；（4）作射线OP．所以，射线OP即为所求作的射线．请回答：该尺规作图的依据是等腰三角形三线合一．【解答】解：利用作图可得到OA=OB，PA=PB，利用等腰三角形的性质可判定OP平分∠AOB．故答案为：等腰三角形的三线合一．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23题7分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27题7分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：（）﹣1﹣（π﹣）0+|1﹣|﹣2sin60°．【解答】解：原式=3﹣1+﹣1﹣2×=1．18．（5分）解不等式组，并写出它的所有整数解．【解答】解：，解不等式①，得x≤2，解不等式②，得x＞﹣1，∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤2，∴适合原不等式组的整数解为0，1，2．19．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连结DE，求证：DE∥AB．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵EF垂直平分CD，∴ED=EC．∴∠EDC=∠C．∴∠EDC=∠B．∴DE∥AB．20．（5分）关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k为正整数时，求此时方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即22﹣4（k﹣1）＞0，∴k＜2；（2）∵k为正整数，∴k=1，此时方程为x2+2x=0，解得x1=0，x2=﹣2．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=的图象与直线y=x+1交于点A（1，a）．（1）求a，k的值；（2）连结OA，点P是函数y=上一点，且满足OP=OA，直接写出点P 的坐标（点A除外）．【解答】解：（1）∵直线y=x+1经过点A（1，a），∴a=1+1=2，∴A（1，2）．∵函数y=的图象经过点A（1，2），∴k=1×2=2；（2）设点P的坐标为（x，），∵OP=OA，∴x2+（）2=12+22，化简整理，得x4﹣5x2+4=0，解得x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2，经检验，x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2都是原方程的根，∵点P与点A不重合，∴点P的坐标为（﹣1，﹣2），（2，1），（﹣2，﹣1）．22．（5分）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）连接CF，若∠ABC=60°，AB=4，AF=2DF，求CF的长．【解答】（1）证明：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠AFB=∠CBF．∴∠ABF=∠AFB．∴AB=AF．∵AE⊥BF，∴∠BAO=∠FAE∵∠FAE=∠BEO∴∠BAO=∠BEO．∴AB=BE．∴AF=BE．∴四边形ABEF是平行四边形．∴□ABEF是菱形．（2）解：∵AD=BC，AF=BE，∴DF=CE．∵AF=2DF∴BE=2CE．∵AB=BE=4，∴CE=2．过点A作AG⊥BC于点G．∵∠ABC=60°，AB=BE，∴△ABE是等边三角形．∴BG=GE=2．∴AF=CG=4．∴四边形AGCF是平行四边形．∴□AGCF是矩形．∴AG=CF．在△ABG中，∠ABC=60°，AB=4，∴AG=．∴CF=．23．（7分）为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．收集数据：随机抽取甲乙两所学校的20名学生的数学成绩进行分析：甲91897786713197937291 81928585958888904491乙84936669768777828588 90886788919668975988整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据分段学校30≤x≤3940≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲1100378乙0014285分析数据：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：统计量学校平均数中位数众数方差甲81.858891268.43乙81.9586m115.25经统计，表格中m的值是88．得出结论：a若甲学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为300．b可以推断出甲学校学生的数学水平较高，理由为两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）【解答】解：整理、描述数据：分段学校30≤x≤3940≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲1100378乙0014285故答案为：0，0，1，4，2，8，5；分析数据：经统计，乙校的数据中88出现的次数最多，故表格中m的值是88．故答案为：88；得出结论：a若甲学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为400×=300（人）．故答案为：300；b （答案不唯一）可以推断出甲学校学生的数学水平较高，理由为两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．故答案为：甲，两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．24．（6分）如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连结BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．（1）求证：∠AEB=2∠C；（2）若AB=6，cosB=，求DE的长．【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的切线，∴∠BAC=90°．∵点E是BC边的中点，∴AE=EC．∴∠C=∠EAC，∵∠AEB=∠C+∠EAC，∴∠AEB=2∠C．（2）连结AD．∵AB为直径作⊙O，∴∠ABD=90°．∵AB=6，，∴BD=．在Rt△ABC中，AB=6，，∴BC=10．∵点E是BC边的中点，∴BE=5．∴．25．（5分）如图，在△ABC中，∠C=60°，BC=3厘米，AC=4厘米，点P从点B 出发，沿B→C→A以每秒1厘米的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，B、P两点间的距离为y厘米．小新根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小新的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x（s）01234567y（cm）0 1.0 2.0 3.0 2.7 2.7m 3.6经测量m的值是 3.0（保留一位小数）．（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，在△ABC中画出点P所在的位置．【解答】解：（1）经测量，当t=6时，BP=3.0．（当t=6时，CP=6﹣BC=3，∴BC=CP．∵∠C=60°，∴当t=6时，△BCP为等边三角形．）故答案为：3.0．（2）描点、连线，画出图象，如图1所示．（3）在曲线部分的最低点时，BP⊥AC，如图2所示．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2bx﹣3的对称轴为直线x=2．（1）求b的值；（2）在y轴上有一动点P（0，m），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2．①当x2﹣x1=3时，结合函数图象，求出m的值；②把直线PB下方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0≤x≤5时，﹣4≤y≤4，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+2bx﹣3的对称轴为直线x=2，∴﹣=2，即﹣=2∴b=2．（2）①∴抛物线的表达式为y=﹣x2+4x﹣3．∵A（x1，y），B（x2，y），∴直线AB平行x轴．∵x2﹣x1=3，∴AB=3．∵对称轴为x=2，∴A（，m）．∴当时，m=﹣（）2+4×﹣3=﹣．②当y=m=﹣4时，0≤x≤5时，﹣4≤y≤1；当y=m=﹣2时，0≤x≤5时，﹣2≤y≤4；∴m的取值范围为﹣4≤m≤﹣2．27．（7分）在△ABC中，AB=AC，CD⊥BC于点C，交∠ABC的平分线于点D，AE 平分∠BAC交BD于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF．（1）补全图1；（2）如图1，当∠BAC=90°时，①求证：BE=DE；②写出判断DF与AB的位置关系的思路（不用写出证明过程）；（3）如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF，AE的关系．【解答】解：（1）补全图如图1；（2）①延长AE，交BC于点H．∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AH⊥BC，BH=HC．∵CD⊥BC于，∴EH∥CD．∴BE=DE；②延长FE，交AB于点M．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵EF∥BC，∴∠AMF=∠AFM．∴AM=AF．∴ME=EF．∵∠MBE=∠FED，在△BEM和△DEF中，，∴△BEM≌△DEF．∴∠ABE=∠FDE．∴DF∥AB；（3）．证明：∵DF∥AB，∴∠EDF=∠ABD，∵EF∥BC，∴∠DEF=∠DBC，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∴∠EDF=∠DEF，∴DF=EF，∵tan=，∴．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，2），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O的半径为，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（2，0），B（0，2），∴OA=2，OB=2，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==4，∴∠ABO=30°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°，∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°，故答案为：60°；（2）如图2，∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．过点C作CE⊥DE于E．∴D（4，5）或（﹣2，5）．∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，∵⊙O的半径为，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1，∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5，∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，∵⊙O的半径为，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=OQ'=2，∴BD=3﹣2=1，∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5，∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述，m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．精品Word 可修改欢迎下载。

2024年北京市东城区中考数学一模试卷及答案解析

2024年北京市东城区中考数学一模试卷及答案解析

2024年北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）在下列几何体中，俯视图是矩形的几何体是（）A．B．C．D．2．（2分）2024年2月29日，在国家统计局发布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》中，2023年全年完成造林面积400万公顷，其中人工造林面积133万公顷．将数字1330000用科学记数法表示应为（）A．1.33×107B．13.3×105C．1.33×106D．0.13×107 3．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0）为▱ABCD的顶点，则顶点D的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（2，2）C．（3，2）D．（2，3）4．（2分）若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（）A．|a|＜|b|B．a+1＜b+1C．a2＜b2D．a＞﹣b5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，2）在反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象上．下列各点中，在该反比例函数图象上的是（）A．（﹣2，0）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）6．（2分）如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E．在下列结论中，不一定成立的是（）A．AE＝BE B．∠CBD＝90°C．∠COB＝2∠D D．∠COB＝∠C 7．（2分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（）A．B．C．D．8．（2分）2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热+光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为48m2，则该正五边形的边长大约是（）（结果保留一位小数，参考数据：tan36°≈0.7，tan54°≈1.4，≈6.5，≈4.6）A．5.2m B．4.8m C．3.7m D．2.6m二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）因式分解：2xy2﹣18x＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．13．（2分）为了解某校初三年级500名学生每周在校的体育锻炼时间（单位：小时），随机抽取了50名学生进行调查，结果如表所示：锻炼时间x5≤x＜66≤x＜77≤x＜8x≥8学生人数1016195以此估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有____人．14．（2分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在AC上，DE⊥BC于点E，且DE＝DA，连接DB．若∠C＝20°，则∠DBE的度数为°．15．（2分）阅读材料：如图，已知直线l及直线l外一点P．按如下步骤作图：①在直线l上任取两点A，B，作射线AP，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AP于点C；②连接BC，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，交BC于点Q；③作直线PQ．回答问题：（1）由步骤②得到的直线MN是线段BC的；（2）若△CPQ与△CAB的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝．16．（2分）简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式．（1）四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如表：名称图形顶点数（V）面数（F）棱数（E）三棱锥446长方体8612五棱柱10715正八面体6812在简单多面体中，V，F，E之间的数量关系是；（2）数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划做一个如图所示的简单多面体作品．该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边．小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共个．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7.分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知2x﹣y﹣9＝0，求代数式的值．20．（5分）如图，四边形ABCD是菱形．延长BA到点E，使得AE＝AB，延长DA到点F，使得AF＝AD，连接BD，DE，EF，FB．（1）求证：四边形BDEF是矩形；（2）若∠ADC＝120°，EF＝2，求BF的长．21．（5分）每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼AB的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为BC的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设AB的长为x米，BC的长为y米．测量数据（精确到0.1米）如表所示：直杆高度直杆影长CD的长第一次 1.00.615.8第二次 1.00.720.1（1）由第一次测量数据列出关于x，y的方程是，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是；（2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得y＝10，则钟楼的高度约为____米．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象由函数的图象平移得到，且经过点A（3，2），与x轴交于点B．（1）求这个一次函数的解析式及点B的坐标；（2）当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．23．（6分）某校初三年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：cm），数据整理如下：a.1班1681711721741741761771792班168170171174176176178183b．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：班级平均数中位数众数1班173.8751741742班174.5m n 根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是班（填“1”或“2”）；（3）1班的6位首发选手的身高分别为171，172，174，174，176，177．如果2班已经选出5位首发选手，身高分别为171，174，176，176，178，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是cm．24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠EAC＝∠CAB，直线CD⊥AE于点D，交AB的延长线于点F．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）当，CD＝4时，求BF的长．25．（6分）小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，击球点P到球网AB的水平距离OB＝1.5m．小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35．第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组数据如下：水平距离x/m01234飞行高度y/m 1.1 1.6 1.92 1.9根据上述信息，回答下列问题：（1）直接写出击球点的高度；（2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足的函数关系式；（3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为d1，d2，则d1d2（填“＞”，“＜”或“＝”）．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+1（a ＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）若点（2，1）在该抛物线上，求t的值；（2）当t≤0时，对于x2＞2，都有y1＜y2，求x1的取值范围．27．（7分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E是BC边上的点，，连接AD．过点D作AD的垂线，过点E作BC的垂线，两垂线交于点F．连接AF交BC 于点G．（1）如图1，当点D与点B重合时，直接写出∠DAF与∠BAC之间的数量关系；（2）如图2，当点D与点B不重合（点D在点E的左侧）时，①补全图形；②∠DAF与∠BAC在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．（3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段BD，DG，CG之间的数量关系．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知线段PQ和直线l1，l2，线段PQ关于直线l1，l2的“垂点距离”定义如下：过点P作PM⊥于点M，过点Q作QN⊥l2于点N，连接MN，称MN的长为线段PQ关于直线l1和l2的“垂点距离”，记作d．（1）已知点P（2，1），Q（1，2），则线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d为；（2）如图1，线段PQ在直线y＝﹣x+3上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为；（3）如图2，已知点，⊙A的半径为1，直线与⊙A交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段PQ关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围．2024年北京市东城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】俯视图是分别从物体上面看所得到的图形，据此作答．【解答】解：A、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；B、长方体俯视图是矩形，故此选项符合题意；C、三棱锥俯视图是三角形（三角形内部有一点与三角形的三个顶点相连接），故此选项不合题意；D、圆柱俯视图是圆，故此选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：1330000＝1.33×106．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】根据平行四边形的对边相等，对边平行求解即可．【解答】解：如图，∵点A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0）为▱ABCD的顶点，∴AD＝BC＝3，AD∥BC，∴顶点D的坐标为（3，2），故选：C．【点评】此题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．4．【分析】根据图示，可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，据此逐项判断即可．【解答】解：根据图示，可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴1＜|a|＜2，0＜|b|＜1，∴|a|＞|b|，∴选项A不符合题意；∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴a＜b，∴a+1＜b+1，∴选项B符合题意；∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴1＜a2＜4，0＜b2＜1，∴a2＞b2，∴选项C不符合题意；∵0＜b＜1，∴﹣1＜﹣b＜0，∵﹣2＜a＜﹣1，∴a＜﹣b，∴选项D不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．5．【分析】根据反比例函数比例系数k＝xy（k≠0），依次判断各个选项即可．【解答】解：根据题意得，k＝xy＝1×2＝2，∴将A，B，C，D四个选项中点的坐标代入得到k＝6的点在反比例函数的图象上．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是运用xy＝k解决问题．6．【分析】根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可．【解答】解：∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴AE＝BE，∠CBD＝90°，∠COB＝2∠D，∠CBO＝∠C，故A、B、C不符合题意，D符合题意；故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．7．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的小球标号相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：1231（1，1）（1，2）（1，3）2（2，1）（2，2）（2，3）3（3，1）（3，2）（3，3）共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球标号相同的结果有3种，∴两次摸出的小球标号相同的概率为．故选：B．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．8．【分析】设正五边形的中心为O，连接OA，OB，过点O作OF⊥AB，垂足为F，根据正五边形的性质可得∠AOB＝72°，△AOB的面积＝m2，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：∠AOF＝36°，AB＝2AF，从而设OF＝x m，再在Rt△OAF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AB的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：如图：设正五边形的中心为O，连接OA，OB，过点O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠AOB＝＝72°，△AOB的面积＝正五边形的面积＝m2，∵OA＝OB，OF⊥AB，∴∠AOF＝∠AOB＝36°，AB＝2AF，设OF＝x m，在Rt△OAF中，AF＝OF•tan36°≈0.7x（m），∴AB＝2AF＝1.4x（m），∴AB•OF＝，•1.4x•x＝，解得：x≈3.71，∴AB＝1.4x≈5.2（m），∴该正五边形的边长大约是5.2m，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】根据被开方数不小于零的条件【解答】解：由题可知，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．10．【分析】提取公因式后再用平方差公式分解即可．【解答】解：2xy2﹣18x＝2x（y2﹣9）＝2x（y+3）（y﹣3）．故答案为：2x（y+3）（y﹣3）．【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法和提取公因式法是关键．11．【分析】方程两边都乘x（x﹣3）得出3（x﹣3）＝2x，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：，方程两边都乘x（x﹣3），得3（x﹣3）＝2x，3x﹣9＝2x，3x﹣2x＝9，x＝9，检验：当x＝9时，x（x﹣3）≠0，所以分式方程的解是x＝9．故答案为：x＝9．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．12．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，解得：m＜1．故答案为：m＜1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．13．【分析】总人数乘以样本中体育锻炼时间不低于7小时的人数所占比例即可．【解答】解：估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有500×＝240（人），故答案为：240．【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．14．【分析】由∠A＝90°，∠C＝20°，求得∠ABC＝70°，然后证明Rt△EBD≌Rt△ABD，推导出∠DBE＝∠DBA，或根据角平分线的性质证明BD平分∠ABC，求得∠DBE＝∠ABC＝35°，于是得到问题的答案．【解答】解法一：∵∠A＝90°，∠C＝20°，∴∠ABC＝90°﹣∠C＝70°，∵DE⊥BC于点E，∴∠BED＝90°，在Rt△EBD和Rt△ABD中，，∴Rt△EBD≌Rt△ABD（HL），∴∠DBE＝∠DBA＝∠ABC＝35°，故答案为：35．解法二：∵∠A＝90°，∠C＝20°，∴∠ABC＝90°﹣∠C＝70°，∵∠A＝90°，∴DA⊥BA，∵DE⊥BC，且DE＝DA，∴点D在∠ABC的平分线上，∴BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠DBA＝∠ABC＝35°，故答案为：35．【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，证明∠DBE＝∠DBA是解题的关键．15．【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图过程可知，步骤②得到的直线MN是线段BC 的垂直平分线．（2）由题意可得AP＝CP，CQ＝BQ，可证明△PCQ∽△ACB，根据相似三角形的性质可得答案．【解答】解：（1）由作图过程可知，步骤②得到的直线MN是线段BC的垂直平分线．故答案为：垂直平分线．（2）由作图过程可知，AP＝CP，∵MN是线段BC的垂直平分线，∴CQ＝BQ，∴，∵∠PCQ＝∠ACB，∴△PCQ∽△ACB，∴S1：S2＝＝．故答案为：．【点评】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键．16．【分析】（1）观察可得顶点数+面数﹣棱数＝2；（2）设正五边形x块，正三边形y块，则由上面的规律数可以看出，棱数E＝5x，而顶点数V＝×5x，有欧拉公式列出二元一次方程；再由足球表面中所有白皮的边数等于所有黑皮的边数；组成方程组解决问题．【解答】解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V+F﹣E＝2；故答案为：V+F﹣E＝2；（2）设正五边形x块，正三边形y块，由题意得，解得所以正五边形为12块，正三边形为20块．所以需要准备正三角形和正五边形的材料共32个．故答案为：32．【点评】本题考查等边三角形的性质，欧拉公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7.分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】利用二次根式的性质，特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值的性质计算即可．【解答】解：原式＝4﹣2×+1﹣2＝4﹣+1﹣2＝3﹣1．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．18．【分析】首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①，得：x＜4，解不等式②，得：x≥﹣2，∴原不等式组的解集为﹣2≤x＜4．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19．【分析】根据2x﹣y﹣9＝0，得2x﹣y＝9，化简约分即可求出答案．【解答】解：∵2x﹣y﹣9＝0，∴2x﹣y＝9，∴＝＝，当2x﹣y＝9时，原式＝＝．【点评】本题考查了分式的值，关键是求出2x﹣y＝9．20．【分析】（1）先证明四边形BDEF为平行四边形，再由菱形的性质得AB＝AD，则BE＝DF，然后由矩形的判定即可得出结论；（2）由矩形的性质得∠DBF＝90°，BD＝EF＝2，再由菱形的性质得∠ADB＝60°，AB ＝AD，进而证明△ABD是等边三角形，得AB＝AD＝BD＝2，则DF＝2AD＝4，然后由勾股定理求出BF的长即可．【解答】（1）证明：∵AE＝AB，AF＝AD，∴四边形BDEF为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∴AE＝AB＝AF＝AD，∴BE＝DF，∴平行四边形BDEF是矩形；（2）解：由（1）可知，AB＝AD，四边形BDEF是矩形，∴∠DBF＝90°，BD＝EF＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADB＝∠ADC＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝AD＝BD＝2，∴DF＝2AD＝4，∴BF＝＝＝2，即BF的长为2．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．21．【分析】（1）由同一时刻测量，可得＝，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于x、y的方程；（2）已经求得y＝10，将y＝10代入任一个方程，可求得x的值，即得钟楼的高度．【解答】解：（1）由同一时刻测量，可得＝，第一次测量：，化简得，y＝0.6x﹣15.8，第二次测量：＝，化简得，y＝0.7x﹣20.1，故答案为：y＝0.6x﹣15.8，y＝0.7x﹣20.1；（2）对于y＝0.6x﹣15.8，代入y＝10，得，0.6x﹣15.8＝10，解得：x＝43，∴钟楼AB＝43米，故答案为：43．【点评】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到＝是本题的关键．22．【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的图象由函数的图象平移得到，且经过点A（3，2），可得，即可解得一次函数的解析式为y＝x+1；从而求出B的坐标为（﹣3，0）；（2）当x＝﹣3时，y＝x+m＝﹣3+m，y＝x+1＝×（﹣3）+1＝0，根据当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝x+1的值，可得﹣3+m≥0，可解得答案．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象由函数的图象平移得到，且经过点A （3，2），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+1；在y＝x+1中，令y＝0得0＝x+1，解得x＝﹣3，∴B的坐标为（﹣3，0）；（2）当x＝﹣3时，y＝x+m＝﹣3+m，y＝x+1＝×（﹣3）+1＝0，∵当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝x+1的值，∴﹣3+m≥0，解得m≥3，∴m的取值范围是m≥3．【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是求出函数解析式和列出不等式﹣3+m≥0解决问题．23．【分析】（1）根据中位数和众数概念，即可作答；（2）根据方差的概念，即可作答；（3）先求出1班6位首发选手的平均身高，再求出2班第6位首发选手的身高取值范围；接着根据题意，从方差的概念入手，确定第六位选手的身高．【解答】解：（1）2班数据从小到大排列为168、170、171、174、176、176、178、183从中可以看出一共八个数，第四个数据为174、第五个数据为176，所以这组数据的中位数为：（174+176）÷2＝175，故m＝175；其中176出现的次数最多，所以这组数的众数为176，故n＝176；故答案为：175、176．（2）根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，反之亦然．1班的身高分布于168﹣179，2班的身高分布于168﹣183，从中可以看出，1班的数据较2班的数据波动较小，更加稳定，所以1班的选手身高比较整齐，故答案为：1．（3）（171+172+174+174+176+177）÷6＝174（厘米）设2班第六位选手的身高为x厘米，则（171+174+176+176+178+x）÷6≥174，x≥169，据此，第六位可选的人员身高为170、183，若为170时，2班的身高数据分布于170﹣178，若为183时，2班的身高数据分布于171﹣183，从中可以看出当身高为170时的数据波动更小，更加稳定，所以第六位选手的身高应该是170厘米，故答案为：170．【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．24．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，求得∠DAC＝∠ACO，根据平行线的性质得到OC⊥DF，根据切线的判定定理得到结论；（2）设OC＝x，则CF＝2x，AO＝OB＝x，根据勾股定理得到OF＝＝x，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∵∠EAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ACO，∵OC∥AD，∵CDAD，∴OC⊥DF，∵OC是⊙O的半径，∴直线CD为⊙O的切线；（2）解：∵，∴，设OC＝x，则CF＝2x，AO＝OB＝x，∴OF＝＝x，∵OC∥AD，∴△AFD∽△OFC，∴，∴，∴x＝2，∴BF＝OF﹣OB＝10﹣2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）令y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35中x＝0，求出y的值即可（或由表格信息直接得出）；（2）根据表格信息，设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式即可；（3）分别利用第一次练习和第二次练习时的抛物线解析式求出羽毛球落地点与球网的距离分别为d1，d2，再比较即可．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣0.2（0﹣2.5）2+2.35＝1.1，故击球点的高度为1.1m；（2）由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为（3，2），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+2，过点（4，1.9），∴1.9＝a（4﹣3）2+2，解得a＝﹣0.1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣0.1（x﹣3）2+2，（3）∵第一次练习时，当y＝0时，0＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35．解得x1＝+2.5，x2＝﹣+2.5＜0（舍去），∴d1＝+2.5﹣1.5＝+1，∵第二次练习时，当y＝0时，0＝﹣0.1（x﹣3）2+2．解得x1＝+3，x2＝﹣+3＜0（舍去），∴d2＝+3﹣1.5＝+1.5，∵+1＜+1.5，∴d1＜d2，故答案为：＜【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．26．【分析】（1）点（2，1）代入解析式求得b＝﹣2a，进一步即可求得t＝1；（2）根据二次函数的性质即可得到x1的取值范围．【解答】解：（1）∵点（2，1）在该抛物线∴4a+2b+1＝1，∴b＝﹣2a，∴t＝﹣＝1；（2）∵t≤0时，x2＞2，∴N（x2，y2）的对称点的横坐标x3＜﹣2，∵抛物线y＝ax2+bx+1（a＞0）开口向上，y1＜y2，∴﹣2≤x1≤2．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．27．【分析】（1）运用等腰三角形性质可得AE⊥BC，∠BAE＝∠BAC，再证明A、E、F 在同一条直线上，即可得出答案；（2）①按照题意作图即可；②过点A作AH⊥BC于点H，可证得△ADH≌△DFE（AAS），得出AD＝DF，即△ADF是等腰直角三角形，即可证得结论；（3）将△ACG绕点A顺时针旋转90°得到△ABG′，可证得∠DBG′＝90°，运用勾股定理可得BD2+BG′2＝DG′2，再证得△ADG′≌△ADG（SAS），即可得出答案．【解答】解：（1）当点D与点B重合时，∠DAF＝∠BAC，理由如下：如图1，∵点D与点B重合，点D，E是BC边上的点，且DE＝BC，∴E是BC的中点，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AE⊥BC，∠BAE＝∠BAC，∵EF⊥BC，∴∠AEB＝∠BEF＝90°，∴∠AEB+∠BEF＝180°，即A、E、F在同一条直线上，∴∠BAF＝∠BAC，即∠DAF＝∠BAC；（2）①补全图形如图2所示：②∠DAF＝∠BAC仍然成立，理由如下：如图3，过点A作AH⊥BC于点H，则∠AHD＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠AHD＝∠DEF，∵∠ADH+∠FDE＝∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠DAH＝∠FDE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AH⊥BC，∴AH＝BC，∵DE＝BC，∴AH＝DE，∴△ADH≌△DFE（AAS），∴AD＝DF，∵∠ADF＝90°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴∠DAF＝45°，∴∠DAF＝∠BAC；（3）BD2+CG2＝DG2，理由如下：如图4，将△ACG绕点A顺时针旋转90°得到△ABG′，则BG′＝CG，AG′＝AG，∠ABG′＝∠ACG，∠BAG′＝∠CAG，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACG＝45°，∴∠ABC+∠ABG′＝90°，即∠DBG′＝90°，∴BD2+BG′2＝DG′2，由（2）知∠DAF＝45°，即∠DAG＝45°，∴∠BAD+∠CAG＝45°，∴∠BAD+∠BAG′＝45°，即∠DAG′＝45°，∴∠DAG′＝∠DAG，在△ADG′和△ADG中，，∴△ADG′≌△ADG（SAS），∴DG′＝DG，∴BD2+CG2＝DG2．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．28．【分析】（1）根据定义得出点P到x轴的距离为：1，点Q到y轴的距离为：2，进而得出结果；（2）延长NQ，MP交于点A，得出四边形ANOM是矩形，AQ＝AP＝1，设Q（m，﹣m+3），则A（m+1，﹣m+3），从而得出OA＝＝，进而得出结果；（3）设直线y＝﹣x+b与x轴交于D，交直线y＝﹣于C，延长NQ，MP，交于点B，作直线AB，可得出△PBQ是等边三角形，可得出点B在过O点且与CD垂直的直线上运动，从而得出当点B越往上，MN越大，从而推出当MP和BN与⊙A相切时，MN最大，当直线l1且⊙A于下方时，MN最小；当PM和NQ与⊙A相切时，连接AP，设AB交ON于F交x轴于E，可求得AE＝，AF＝OF＝EF＝2，从而得出BF和BE的值，进而得出BM和BN的值，进一步得出结果；当直线y＝﹣与⊙A相切时，MN最小，同样的方法得出结果，进一步得出结果．【解答】解：（1）∵点P到x轴的距离为：1，点Q到y轴的距离为：2，∴线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d为：1+2＝3，故答案为：3；（2）如图1，延长NQ，MP交于点A，∵QN⊥y轴，PM⊥x轴，∴∠ANO＝∠AMO＝90°，∵∠MON＝90°，∴四边形ANOM是矩形，∴∠NAM＝90°，MN＝AO，∵线段PQ在直线y＝﹣x+3上运动，∴∠AQP＝∠APQ＝45°，∴AQ＝AP＝1，设Q（m，﹣m+3），则A（m+1，﹣m+3），∴OA＝＝，∴当m＝1时，OA＝2，最小∴MN的最小值为：2，故答案为：2；（3）如图2，1设直线y＝﹣x+b与x轴交于D，交直线y＝﹣于C，延长NQ，MP，交于点B，作直线AB，∴∠CDO＝∠OCD＝30°，∵QN⊥l2，PM⊥x轴，∴∠CNQ＝∠PMD＝90°，∴∠BQP＝∠CQN＝60°，∠BPQ＝∠MPD＝60°，∴△PBQ是等边三角形，∴∠QBP＝60°，AB⊥PQ，∠PBA＝30°，∴点B在过O点且与CD垂直的直线上运动，∴当点B越往上，MN越大，∴当MP和BN与⊙A相切时，MN最大，当直线l1且⊙A于下方时，MN最小，如图3，当PM和NQ与⊙A相切时，连接AP，设AB交ON于F交x轴于E，∴AP⊥BM，∴AB＝2AP＝2，∵∠AOE＝90°，∠OAE＝∠PBA＝30°，OA＝2，∴AE＝，∵∠FOE＝∠FEO＝60°，∴∠OFE＝60°，∴∠OAF＝∠AOF＝30°，∴AF＝OF＝EF＝2，∴BF＝AF+AB＝4，BE＝AE+AB＝6，∴BN＝BF•sin∠BFN＝4•sin60°＝2，BM＝BE•sin∠FEO＝6•sin60°＝3，∴MN2＝BN2+BM2﹣BN•BM＝（2）2+＝21，∴MN＝，如图4，当直线y＝﹣与⊙A相切时，MN最小，∵PF＝AF﹣AP＝2﹣1＝1，EQ＝AE﹣AQ＝4﹣1＝3，∴PN＝PF＝，QM＝EQ＝，∴MN2＝PN2+QM2﹣PN•QM＝，∴MN＝，∴．【点评】本题考查了新定义的阅读理解，圆的切线的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，转化题意。

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2009年北京市中考数学模拟试卷（一）班级: 姓名: 座号: 评分:一、 选择题（每小题2分，共20分） 1、︱－32︱的值是（ ）A 、－3B 、3C 、9D 、－9 2、下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A 、21B 、8C 、7D 、以上都不是 3、下列计算中，正确的是（ ）A 、X 3＋X 3=X 6B 、a 6÷a 2＝a 3C 、3a+5b=8abD 、(—ab)3＝－a 3b 3 4、1mm 为十亿分之一米，而个体中红细胞的直径约为0.0000077m ，那么人体中红细胞直径的纳米数用科学记数法表示为（ ）A 、7.7×103mmB 、7.7×102mmC 、7.7×104mmD 、以上都不对5、如图2，天平右盘中的每个砝码的质量为10g ，则物体M 的质量m(g)的取值范围，在数轴上可表示为（ ）6、如图3，将∠BAC 沿DE 向∠BAC 内折叠，使AD 与A ’D 重合，A ’E 与AE 重合，若∠A ＝300，则∠1+∠2＝（ ）A 、500B 、600C 、450D 、以上都不对 7、某校九（3）班的全体同学喜欢的球类运动用图4所示的统计图来表示，下面说法正确的是（ ） A 、从图中可以直接看出喜欢各种球类的具体人数； B 、从图中可以直接看出全班的总人数；C 、从图中可以直接看出全班同学初中三年来喜欢各种球类的变化情况；D 、从图中可以直接看出全班同学现在喜欢各种球类的人数的大小关系。

8、下列各式中，能表示y 是x 的函数关系式是（ ）A 、y=x x -+-12B 、y=x3C 、y=x x21- D 、y=x ±9、如图5，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，PA ＝8，OA ＝6，则tan ∠APO 的值为（ ）A 、43 B 、53 C 、54 D 、34 10、在同一直角坐标系中，函数y=kx+k ，与y=xk-（k 0≠）的图像大致为（ ）二、 填空题（每小题2分，共20分）11、（－3）2－（л-3.14）0＝ 。

12、函数y=11-+x x 的自变量X 的取值范围为 。

13、据《世界统计年鉴2000》记载1996年中国、美国、印度、澳大利亚四个 国家的人口分别为122389，26519，94561，1831万人，则以上四国人口之比 为 （精确到0.01）14、一个圆形花圃的面积为300лm 2，你估计它的半径为 （误差小于0.1m ） 15、小明背对小亮按小列四个步骤操作：（1）分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同； （2）从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；（3）从右边一堆拿出两张，放入中间一堆；（4）左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆，当小亮知道小明操作的步骤后，便准确地说出中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是 。

16、在正方形的截面中，最多可以截出 边形。

17、要作出一个图形的旋转图形，除了要知道原图形的位置外，还要知道 。

18、小明从前面的镜子里看到后面墙上挂钟的时间为2：30，则实际时间是 。

19、某同学在使用计算器求20个数的时候，错将88误输入为8，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为 。

20、一束光线从Y 轴上点A （0，1）出发，经过X 轴上的点C 反射后经过点B （3，3）,则光线从A 点到B 点经过的路程长为 。

三解答下列各题（有10小题，共80分） 21、（本小题满分5分）当a=3，b=2时，计算：⎪⎭⎫⎝⎛-÷-a b b a ab aa22的值；22、（本小题满分5分）已知：CD为一幢3米高的温室，其南面窗户的底框G距地面1米，CD在地面上留下的最大影长CF为2米，现欲在距C点7米的正南方A点处建一幢12米高的楼房AB（设A,C,F在同一水平线上）（1）、按比例较精确地作出高楼AB及它的最大影长AE；（2）、问若大楼AB建成后是否影响温室CD的采光，试说明理由。

23、（本小题满分6分）观察下面的点阵图，探究其中的规律。

摆第1个“小屋子”需要5个点，摆第2个“小屋子”需要个点，摆第3个“小屋子”需要个点？（1）、摆第10个这样的“小屋子”需要多少个点？图7（2）、写出摆第n个这样的“小屋子”需要的总点数，S与n的关系式。

24、（本小题满分6分）已知抛物线与x轴交于A（－1，0）和B（3，0）两点，且与y轴交于点C（0，3）。

（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴方程和顶点M 坐标；（3）求四边形ABMC 的面积。

25、（本题满分8分）同学：你去过黄山吗？在黄山的上山路上，有一些断断续续的台阶，如图8是其中的甲、乙段台阶路的示意图， 图8中的数字表示每一级台阶的高度(单位:cm).并且数d,e,e,c,c,d 的方差p,数据b,d,g,f,a,h 的方差q ，(10cm ＜a ＜b ＜c ＜d ＜e ＜f ＜g ＜h ＜20cm,且 p ＜q ），请你用所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差和极差）回答下列问题： （1）两段台阶路有哪些相同点和不同点？ （2）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议.26、（本小题满分8分）在平面直角坐标系中，圆心O 的坐标为（-3，4），以半径r 在坐标平面内作圆， （1）当r 时，圆O 与坐标轴有1个交点； （2）当r 时，圆O 与坐标轴有2个交点；ec c ed d 甲路段fh ag db乙路段图8（3）当r 时，圆O与坐标轴有3个交点；（4）当r 时，圆O与坐标轴有4个交点；27、（本小题满分10分）某地区为了加大“退耕还林”的力度，出台了一系列的激励措施：在“退耕还林”过程中，每一年的林地面积达到10亩且每年的林地面积在增加的农户，当年都可得生活补贴费2000元，且每超过10亩的部分还给予奖励每亩a元，在林间还有套种其他农作物，平均每亩还有b元的收入。

下表是某农户在头两年通过“退耕还林”每年获得的总收入情况：（注：年总收入＝生活补贴量+政府奖励量＋种农作物收入）（1）试根据以上提供的资料确定a、b的值。

（2）从2003年起，如果该农户每年新增林地的亩数比前一年按相同的增长率增长，那么2005年该农户获得的总收入达到多少元？28、（本小题满分10分）集市上有一个人在设摊“摸彩”，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小、形状、质量完全相同的白球20只，且每一个球上都写有号码（1－20号）和1只红球，规定：每次只摸一只球。

摸前交1元钱且在1——20内写一个号码，摸到红球奖5元，摸到号码数与你写的号码相同奖10元。

（1）你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由。

（2）若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？29、（本小题满分10分）20cm,已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h=15现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发。

在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离。

30、（本小题满分12分）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）。

动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。

其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。

过点N作NP⊥BC，交AC于P，连结MP。

已知动点运动了x秒。

PNM CBAOyx（1）P 点的坐标为（ ， ）；（用含x 的代数式表示） （2）试求 ⊿MPA 面积的最大值，并求此时x 的值。

（3）请你探索：当x 为何值时，⊿MPA 是一个等腰三角形？ 你发现了几种情况？写出你的研究成果。

2009年中考全真模拟试卷（一）答案：一、1、C ；2、C ；3、D ；4、A ；5、C ；6、B ；7、D ；8、B ；9、A ；10、B ； 二、11、8；2、1-≥x 且1≠x ；13、0.1:6.51:5.14:8.66；14、3.17或4.17；15、6；16、六；17、旋转中心和旋转角；18、9：30；19、4；20、5； 三、21、原式=ba b+；当2,3==b a 时，原式=324-； CE=122、如图，易算出AE=8米，由AC=7米，可得米，由比例可知：CH=1.5米>1米， 故影响采光。

23、11，17，59；S=6n-1；24、（1）y=—x 2+2x+3；（2）x=1，M （1，4），（3）9；25、（1）相同点：甲台阶与乙台阶的各阶高度参差不齐，不同点：甲台阶各阶高度的极差比乙台阶小；（2）甲台阶，因为甲台阶各阶高度的方差比乙台阶小；（3）使台阶的各阶高度的方差越小越好。

26、（1）r=3；（2）3＜r ＜4；（3）r=4或5；（4）r ＞4且r ≠5；27、（1）a=110，b=90；提示：可由⎩⎨⎧++=+=ba a2016200055601020003100解得；（2）从表中的信息可知：该农户每年新增林地亩数的增长率为30％，则2004年林地的亩数为26×（1+30％）=33.8亩，2005年林地的亩数为33.8×（1+30％）=43.94亩，故2005年的总收入为2000+43.94×110+33.8×90=8775.4元。

28、（1）P （摸到红球）= P （摸到同号球）=211；故没有利；（2）每次的平均收益为02142119)105(211<-=-+，故每次平均损失214元。

29、802cm ；提示：由r=20cm ，h=2015cm ，可得母线l=80cm ，而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为cm ππ40202=⨯，可求得圆锥侧面展开后的扇形的圆心角为900，故最短距离为802cm 。

30、（１）（6—x ,34x ）; (2)设⊿MPA 的面积为S ，在⊿MPA 中，MA=6—x ，MA 边上的高为34x ，其中，0≤x ≤6.∴S=21（6—x ）×34x=32(—x 2+6x) = — 32(x —3)2+6∴S 的最大值为6, 此时x =3. (3)延长ＮＰ交x 轴于Ｑ，则有ＰＱ⊥ＯＡ ①若ＭＰ＝ＰＡ ∵ＰＱ⊥ＭＡ ∴ＭＱ＝ＱＡ＝x. ∴3x=6, ∴x=2; ②若ＭＰ＝ＭＡ，则ＭＱ＝6—2x ，ＰＱ=34x ，ＰＭ＝ＭＡ＝6—x 在Ｒt ⊿ＰＭＱ 中，∵ＰＭ2＝ＭＱ2＋ＰＱ2 ∴(6—x) 2=(6—2x) 2+ (34x) 2∴x=43108 ③若ＰＡ＝ＡＭ，∵ＰＡ＝35x ，ＡＭ＝6—x ∴35x=6—x ∴x=49综上所述，x=2，或x=43108，或x=49。

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