证明数列不等式之放缩技巧及缩放在数列中的应用大全

证明数列不等式之放缩技巧以及不等式缩放在数列中应用

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证明数列型不等式,其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧，充满思考性和挑战性。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩. 一、利用数列的单调性 例１．证明：当Z n n ∈≥,6时,

(2)

12

n

n n +<. 证法一:令)6(2)

2(≥+=n n n c n

n ，则0232)2(2)3)(1(1211<-=+-++=

-+++n n n n n n n n n n c c ， 所以当6n ≥时，1n n c c +<．因此当6n ≥时，6683

1.644

n c c ?≤==< 于是当6n ≥时，

2

(2)

1.2n n +< 证法二：可用数学归纳法证．(1)当ｎ = 6时，

66(62)483

12644

?+==<成立. （2）假设当(6)n k k =≥时不等式成立,即(2)

1.2

k

k k +< 则当n =k +１时,

1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)

1.222(2)(2)2k k k k k k k k k k k k k k

++++++++=?<<++ 由(1)、（２)所述,当ｎ≥６时，2

(1)

12

n n +<. 二、借助数列递推关系 例2．已知12-=n n a .证明:

()23

11112

3

n n N a a a *++++

<∈. 证明:n

n n n n a a 121121************?=-?=-<-=+++

, ∴3

2])21(1[321)21(...12111112122132<-?=?++?+<+++=

-+n n n a a a a a a S ． 例３. 已知函数f(ｘ)＝52168x

x

+-,设正项数列{}n a 满足1a =l,()1n n a f a +=.

(1) 试比较n a 与

5

4

的大小，并说明理由； (2) 设数列{}n b 满足n b =54-n a ，记S ｎ=1

n

i i b =∑.证明：当ｎ≥2时,Ｓn ＜14(2n

-１）.

分析：比较大小常用的办法是作差法,而求和式的不等式常用的办法是放缩法。 解：（1） 因为10,0,n n a a +>>所以1680,0 2.n n a a -><<

155

48()52553444168432(2)22n n n n n n n

a a a a a a a +--+-=-==?---,因为20,n a ->所以154n a +-与54n

a -同号,因为151044

a -=-<，250,4a -<350,4a -<…，5

0,4n a -<即5.4n a <

（２

）

当

2

n ≥时,1111531531

()422422n n n n n n b a a b a a ----=

-=??-=??--113125

224

n n b b --

<=，

所以3121

(12)

1111

4(21)422124

n n

n n n S b b b --??=+++<

++???+==- ?-??

．

例4. 已知不等式

],[log 2

1

131212n n >+++ 其中n 为不大于2的整数,][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数。设数列{}n a 的各项为正且满足1

11),0(--+≤

>=n n n a n na a b b a )

2≥n （.

证明:]

[log 222n b b

a n +<

， 5,4,3=n .

证明:由1

1--+≤

n n n a n na a 得:

n a a n n 1

111+≥-, n a a n n 1111≥-∴

- )2(≥n ， 111121-≥---n a a n n ,… ,2

1

1112≥-a a , 以上各式两边分别相加得:

2

1

111111++-+≥- n n a a n ， 2111111++-++≥∴

n n b a n ][log 21

12n b +>＝b

n b 2][log 22+, ∴ ]

[log 222n b b

a n +<

)3(≥n .

三、裂项放缩 例5.求证:

3

5

191411)12)(1(62<++++≤++n n n n

解析:因为??? ??+--=-=-<121121

2144

411

1

222

n n n n n ,所以

353211211215

1

31211

1

2

=

+

n

k

又1

111)1(14

313

21119

14

112

+=

+-=++

+?+?+>++++n n n n n n

当3≥n 时，)

12)(1(61++>

+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,

当2=n 时,

2191411)12)(1(6n

n n n ++++<++ ,所以综上有35

191411)12)(1(62<++++≤++n n n n ．

例６.已知21n n a =+，()12x f x -=，

求证:()()()121126

n n T b f b f b f n =++

+<

. 证明:由于()()()

()()()()11

111212111111222212121212121n n

n n n n n n n n b f n +-++++-+??=?=?=- ?

++++++??

()()()122231111111

1122121212122121n n n n T b f b f b f n +??????

??=++

+=-+-+

+- ? ? ???++++++????

????

1111111212212126

n +??=-

)(,数列{}n a 的首项)(,2

1

11n n a f a a ==

+． (1) 求证:n n a a >+1;(２) 求证：6n ≥时211

211

111

1<++++++

a a a .

证明：⑴ n n n a a a +=+2

1，∵2

11=

a ,∴n a a a ,,32都大于0,∴02

>n a ,∴n n a a >+1. （2）

n

n n n n n n a a a a a a a +-=+=+=

+11

1)1(1112

1

，∴11111+-=+n n n a a a .故 1

1113221211

211111*********+++-=-=-++-+-=++++++n n n n n a a a a a a a a a a a a ∵4321)21(22=+=a ,14

3

)43(23>+=a ,又∵n n a a n >≥+12，∴131>≥+a a n .

∴21211

<-

<+n a , ∴211

1111121<++++++<

n

a a a . 四、分类放缩

例8.当,3Z n n ∈≥，时，求证：2

1214131211n

n >-+???++++

证明:当21==n n ，时不等式显然成立.

）（）（）（n n n n 21

21212121212121212111214131211333322+???+++???++++++++>-+???++++

2

n >． 例9. 已知22[2(1)]3n n n a -=

--.证明：对任意整数4>m ，有8

711154<+++m a a a .

分析:不等式左边很复杂，要设法对左边的项进行适当放缩，使之能够求和。 而左边=

23245

1113111

[]22121

2(1)m m

m a a a -+++

=+++

-+--，如果我们把上

式中的分母中的1±去掉，就可利用等比数列的前n 项公式求和,由于-1与1交错出现,容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩,尝试知：

3

2322

1

21121121+>++-，4

34321

21121121+

<-++，因此，可将1212-保留,再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对m 进行分类讨论，(1）当m 为偶数)4(>m 时，

m a a a 11154+++ )11()11(11654m m a a a a a +++++=- )2

1

2121(2321243-++++

11(4123214--?+=

m 8321+<87

= （2)当m 是奇数)4(>m 时，1+m 为偶数，

8

711111111165454<+++++<++++m m m a a a a a a a a . 所以对任意整数4>m ，有

m a a a 11154+++ 8

7

<。 五、利用函数单调性（导数)放缩

例10. 已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<, ()1n n a f a +=; 数列

{}n b 满足1111

,(1)22

n n b b n b +

=

≥+, *n N ∈．求证: （Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ)21;2

n n a a +<

(Ⅲ）若12a =则当n ≥2时，!n n b a n >?. 分析：第(1)问用数学归纳法证明；第（2)问利用函数的单调性;第(3）问进行放缩。

证明：(Ⅰ)先用数学归纳法证明01n a <<,*

n N ∈.

(1）当n=1时,由已知得结论成立;

(2）假设当ｎ=ｋ时,结论成立，即01k a <<.则当n=ｋ+1时, 因为0

x f x x x '=-

=>++,所以f(x)在(0，1）上是增函数. 又f(ｘ）在[]0,1上连续,所以ｆ(０)

故当n=k+1时,结论也成立． 即01n a <<对于一切正整数都成立.

又由01n a <<, 得()1ln 1ln(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+-=-+<,从而1n n a a +<. 综上可知10 1.n n a a +<<<

(Ⅱ）构造函数g （x)=22x -f(x ）＝

2

ln(1)2

x x x ++-, 0<ｘ<1， 由2

()01x g x x

'=

>+,知g(x ）在(0,１)上增函数． 又ｇ(x ）在[]0,1上连续,所以ｇ（x)>ｇ（０)＝0.

因为01n a <<,所以()0n g a >,即()22n n a f a ->0，从而2

1.2

n n a a +< (Ⅲ) 因为 1111,(1)22n n b b n b +=

≥+,所以0n b >,1n n

b

b +12n +≥ ,

所以1

2112

11

!2

n n n n n n b b b b b n b b b ---=

??≥? ————① 由(Ⅱ）21,2n n a a +<

知：12n n n a a a +<, 所以1n a a =31

212

12

12

2

2

n n n a a a a a a

a a a --?< ， 因为12

a =

， n ≥２, 10 1.n n a a +<<< 所以 n a 112

122

2

n a a a

a -

2n ————②

由①② 两式可知: !n n b a n >?. 例１1.求证:)(6

6

533

3

ln 4

4ln 3

3ln 2

2ln *N n n n n n

∈+-

<++++ . 证明：先构造函数有x

x

x x x 1

1ln 1ln -≤?-≤,从而

)3

1

3121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++

因为??? ??++++++??? ??++++++??? ??+=+++n n n n

311212

1

918171615141312131

3

12

1

653332327918

9936

365111n n n n n =???

? ??+?++??? ??+

+??? ??

++>---

所以6

65365133

3

ln 4

4ln 3

3ln 2

2ln +-=-

-<++++n n n n n

n

高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少,但理科却常常出现，且多是在压轴题

中出现。放缩法证明不等式有法可依，但具体到题,又常常没有定法，它综合性强,形式复杂,运算要求高,往往能考查考生思维的严密性,深刻性以及提取和处理信息的能力，较好地体现高考的甄别功能。本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法,以冀起到举一反三，抛砖引玉的作用。

一、 放缩后转化为等比数列。

例1. {}n b 满足：2

111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+

（1） 用数学归纳法证明:n b n ≥ （2） 1231111...3333n n T b b b b =++++++++，求证:1

2

n T < 解：(1)略

(2） 13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++ 又

n b n ≥

132(3)n n b b +∴+≥+ , *

n N ∈ 迭乘得：11

132(3)2n n n b b -++≥+≥

*111

,32

n n n N b +∴

≤∈+ 234111111111

(2222222)

n n n T ++∴≤

++++=-<

点评：把握“3n b +”这一特征对“2

1(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形,然后去

掉一个正项,这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味! 二、放缩后裂项迭加

例２.数列{}n a ，1

1

(1)n n a n

+=-，其前n 项和为n s 求证

:2n s <

解：211111

1...234212n s n n

=-+-++-

- 令1

2(21)

n b n n =

-，{}n b 的前n 项和为n T

当2n ≥时,1111

()2(22)41n b n n n n

≤

=---

2111111111111()()...()2123043445641n n s T n n

∴=≤

+++-+-++--

711042

n =

-< 点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手

法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变,从第四项开始放大，命题才得证,这就需要尝试和创新的精神。

例3.已知函数()(0)b

f x ax c a x

=+

+>的图象在(1,(1))f 处的切线方程为 1y x =-

（1)用a 表示出,b c

（2）若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围

(3)证明:1111...ln(1)232(1)

n n n n ++++>+++ 解：(1)(２)略

(３）由(II ）知:当)1(ln )(,2

1

≥≥≥

x x x f a 有时 令).1(ln )1

(21)(,21≥≥-==x x x

x x f a 有

且当.ln )1

(21,1x x x x >->时

令)],1

11()11[(21]11[211ln ,1+--+=+--<++=k k k k k k k k k x κ有

即.,,3,2,1),1

1

1(21ln )1ln(n k k k k k =++

<-+ 将上述n 个不等式依次相加得

,)

1(21)13121(21)1ln(++++++<

+n n n 整理得