同济大学数学系《工程数学—线性代数》第6版章节题库(向量组的线性相关性)【圣才出品】
同济大学数学系《工程数学—线性代数》第6版课后习题(向量组的线性相关性)【圣才出品】
于是
，从而有
6．设 a1，a2 线性无关，a1＋b，a2＋b 线性相关，求向量 b 用 a1，a2 线性表示的表示 式．
解：方法一 因 a1＋b，a2＋b 线性相关，所以存在不全为零的常数 k1，k2，使
因 a1，a2 线性无关，可知 k1＋k2≠0．不然，由式（4-1）得
（4-1）
这与 k1，k2 不全为零矛盾．于是，由式（4-2-1）得
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同济大学数学系《工程数学—线性代数》第 6 版课后习题 第 4 章 向量组的线性相关性
1．已知向量组
证明 B 组能由 A 组线性表示，但 A 组不能由 B 组线性表示．
证：因 B 组能由 A 组线性表示 R（A，B）＝R（A）
才能成立，则 a1，…，am 线性无关，b1，…，bm 亦线性无关． （4）若 a1，…，am 线性相关，b1，…，bm 亦线性相关，则有不全为零的数λ1，…，λ
m，使
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同时成立．
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答：（1）命题是错误的，如：取向量
3．判定下列向量组是线性相关还是线性无关：
． 解：记（1）、（2）中向量所构成的矩阵为 A．
4．问 a 取什么值时下列向量组线性相关？
解：记
，则
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于是当 a＝－1 或 a＝2 时 detA＝0，即 R（A）＜3，此时向量组 a1，a2，a3 线性相关．
A 组不能由 B 组线性表示 R（B，A）＞R（B）
于是，B 组能由 A 组线性表示并且 A 组不能由 B 组线性表示
同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第6版)-章节题库-第4章 向量组的线性相关性【圣才出品】
A．充分必要条件
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B．充分而非必要条件
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abb
A b a b a b2 a 2b 0
bba
解得 a＝b 或－2b。当 a＝b 时，r（A）＝1≠2，即 a＝－2b。
5．设向量组（Ⅰ）：α 1＝（a11，a12，a13），α 2＝（a21，a22，a23），α 3＝（a31，a32， a33），向量组（Ⅱ）：β1＝（a11，a12，a13，a14），β2＝（a21，a22，a23，a24），β3＝（a31， a32，a33，a34）
则正确的命题是（ ）。 A．（Ⅰ）相关⇒（Ⅱ）相关 B．（Ⅰ）无关⇒（Ⅱ）无关 C．（Ⅱ）无关⇒（Ⅰ）无关 D．（Ⅱ）相关⇒（Ⅰ）无关 【答案】B 【解析】AC 两项，由于这两个命题互为逆否命题，一个命题与它的逆否命题要正确就 全正确，要错误就全错误。按本题的要求仅有一个命题是正确的，所以可排除。其实亦可考 查下面的例子：α1＝（1，0，0），α2＝（0，1，0），α3＝（0，0，0）与 β1＝（1，0，0， 0），β2＝（0，1，0，0），β3＝（0，0，0，1），显然 r（α1，α2，α3）＝2，r（β1，β2， β3）＝3，即当 α1，α 2，α3 线性相关时，其延伸组 β1，β2，β3 可以线性无关。 D 项，如果 β1，β2，β3 线性相关，即有不全为 0 的 x1，x2，x3 使 x1β1＋x2β2＋x3β3＝
C．必要而非充分条件
D．既不充分也非必要条件 【答案】B
同济大学工程数学线性代数第六版答案(全)
第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)381141102---。
解381141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8-0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1)=-24+8+16-4=-4.(2)ba c a cbc b a ; 解ba c a cbc b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc=3abc -a 3-b 3-c 3.(3)222111c b a c b a 。
解222111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2=(a -b )(b -c )(c -a ).(4)yx y x x y x y y x y x +++.解 yx y x x y x y y x y x +++=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3=3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3=-2(x 3+y 3).2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:(1)1 2 3 4。
解逆序数为0(2)4 1 3 2。
解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32.(3)3 4 2 1。
解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.(4)2 4 1 3。
解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.(5)1 3 ⋅⋅⋅ (2n -1) 2 4 ⋅⋅⋅ (2n )。
解 逆序数为2)1(-n n : 3 2 (1个)5 2, 5 4(2个)7 2, 7 4, 7 6(3个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2)(n-1个)(6)1 3 ⋅⋅⋅(2n-1) (2n) (2n-2) ⋅⋅⋅ 2.解逆序数为n(n-1) :3 2(1个)5 2, 5 4 (2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2)(n-1个)4 2(1个)6 2, 6 4(2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n)2, (2n)4, (2n)6,⋅⋅⋅, (2n)(2n-2)(n-1个)3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.解含因子a11a23的项的一般形式为(-1)t a11a23a3r a4s,其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子a11a23的项分别是(-1)t a11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,(-1)t a11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.4.计算下列各行列式:(1)71100251020214214。
工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题答案(全)
第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)；解=2⨯( 4）⨯3+0⨯（-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8-0⨯1⨯3-2⨯（-1）⨯8-1⨯(-4）⨯(-1）=-24+8+16 4=-4.(2）;解=acb+bac+cba bbb-aaa-ccc=3abc a3 b3 c3。
(3);解=bc2+ca2+ab2 ac2-ba2-cb2=（a-b)(b-c)(c a).(4）.解=x(x+y）y+yx（x+y)+(x+y）yx-y3 （x+y）3 x3=3xy（x+y）-y3 3x2y-x3-y3 x3=-2（x3+y3).2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：(1)1 2 3 4;解逆序数为0(2)4 1 3 2；解逆序数为4：41, 43, 42, 32.(3）3 4 2 1;解逆序数为5： 3 2，3 1，4 2, 4 1，2 1.(4)2 4 1 3；解逆序数为3： 2 1, 4 1，4 3.(5)1 3 ⋅⋅⋅ (2n-1）2 4 ⋅⋅⋅ (2n）；解逆序数为：3 2 （1个）5 2，5 4(2个）7 2，7 4, 7 6（3个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅（2n-1)2，（2n 1）4, (2n-1）6,⋅⋅⋅, (2n-1）(2n-2）（n 1个)(6)1 3 ⋅⋅⋅（2n-1）(2n）(2n 2）⋅⋅⋅ 2.解逆序数为n（n 1）:3 2(1个）5 2，5 4 (2个）⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n 1)2，（2n 1）4, (2n 1）6,⋅⋅⋅，（2n-1)（2n-2）(n 1个)4 2(1个）6 2，6 4（2个）⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n)2，（2n）4,（2n)6,⋅⋅⋅,（2n)(2n 2) （n-1个) 3。
写出四阶行列式中含有因子a11a23的项。
解含因子a11a23的项的一般形式为(-1）t a11a23a3r a4s,其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子a11a23的项分别是（-1）t a11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,（-1）t a11a23a34a42=（-1）2a11a23a34a42=a11a23a34a42.4。
(NEW)同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录
第1章 行列式
1.1 复习笔记
1.2 课后习题详解
1.3 考研真题详解
第2章 矩阵及其运算
2.1 复习笔记
2.2 课后习题详解
2.3 考研真题详解
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
3.1 复习笔记
3.2 课后习题详解
3.3 考研真题详解
第4章 向量组的线性相关性4.1 复习笔记
4.2 课后习题详解
4.3 考研真题详解
第5章 相似矩阵及二次型5.1 复习笔记
5.2 课后习题详解
5.3 考研真题详解
第6章 线性空间与线性变换6.1 复习笔记
6.2 课后习题详解
6.3 考研真题详解
第1章 行列式
1.1 复习笔记
一、二阶与三阶行列式
1二阶行列式
定义 将四个数，，，按一定位置，排成二行二列的数表：
则表达式就是数表的二阶行列式，并记作
2三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
记
该式称为数表所确定的三阶行列式．
二、全排列和对换
1全排列。
同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第6版)-考研真题精选(下)【圣才出品】
0 E B 0
0
0 1 0 1 0 0
则 r（E－B）＝1；
0 1 1 E C 0 0 0
0 0 0
则 r（E－C）＝1；
0 0 1 E D 0 0 0
0 0 0
则 r（E－D）＝1。只有 E－A 的秩与 E－X 相等，因此选 A。
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设 λ 为 A 的特征值，则 λ2＋λ＝0⇒λ＝0，λ＝－1.又 A 的秩为 3，则 A 的特征值为－1，－
1，－l，0。
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第 5 章 相似矩阵及二次型
一、选择题 1．设 A 是 3 阶实对称矩阵，E 是 3 阶单位矩阵。若 A2＋A＝2E，且|A|＝4，则二次型 xTAx 的规范型为（ ）。[数一 2019 研] A．y12＋y22＋y32 B．y12＋y22－y32 C．y12－y22－y32 D．－y12－y22－y32 【答案】C 【解析】规范型由正负惯性指数而定，因此计算 A 的特征值即可。由 A2＋A＝2E 可得 λ2＋λ－2＝0，所以 A 的特征值只能为 1 或－2。又因为|A|＝4 且 A 是 3 阶矩阵，所以 A 的特征值为 1，－2，－2。由 A 的特征值符号可得正惯性指数为 1，负惯性指数为 2，从而 二次型的规范型是 y12－y22－y32。故选 C。
C．2y12－y22－y32
D．2y12＋y22＋y32
【答案】A
【解析】解法 1 设二次型矩阵为 A，则
2 0 0
P1
AP
PT
AP
0
1
0
0 0 1
可见 e1，e2，e3 都是 A 的特征向量。特征值依次为 2，1，－1，于是－e3 也是 A 的特
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②用逆矩阵方法 因为｜A｜＝2≠0，所以 A 可逆，于是
，易求得
代入可得
16．设 A 为三阶矩阵，
，求
解：因为
，所以 A 可逆．于是由
． 及
对公式两端取行列式得
，得
17．设 解：由 因 左乘上式两边得
，AB＝A＋2B，求 B． ，它的行列式 de（t A－2E）＝2≠0，所以它是可逆矩阵．用
假设当 k＝n 时，式（2-1）成立，则当 k＝n＋1 时
根据数学归纳法可知式（2-1）成立；
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（2-1）
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7．（1）设 （2）设 解：（1）
，求 A50 和 A51； ，A＝abT，求 A100．
，则可得
（2） 由于 bTa＝－8，所以根据上式可知
是
有意义的，并且因为
所以 A 可逆，而且
.
10．已知线性变换
求从变量 x1，x2，x3 到变量 y1，y2，y3 的线性变换．
解：记
则线性变换的矩阵形式为 x＝Ay，
其中 A 是它的系数矩阵．因为
所以 A 是可逆矩阵，则从变量
x1，x2，x3 到变量 y1，y2，y3 的线性变换的矩阵形式可写成
又由于 于是
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即
11．设 J 是元素全为 1 的 n（≥2）阶方阵．证明 E－J 是可逆矩阵，且
这里 E 是与 J 同阶的单位矩阵． 证：因为
于是
所以，
是可逆矩阵，并且
12．设
（k 为正整数），证明
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同济大学数学系《工程数学—线性代数》第6版课后习题第1章行列式1．利用对角线法则计算下列三阶行列式：2．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1234；（2）4132；（3）3421；（4）2413；（5）13…（2n－1）24…（2n）；（6）13…（2n－1）（2n）（2n－2）…2．解：（1）此排列为标准排列，其逆序数为0；（2）此排列的首位元素4的逆序数为0，第2位元素1的逆序数为1，第3位元素3的逆序数为1，末位元素2的逆序数为2，故它的逆序数为0＋1＋1＋2＝4；（3）此排列的前两位元素的逆序数均为0，第3位元素2的逆序数为2；末位元素1的逆序数为3，故它的逆序数为0＋0＋2＋3＝5；（4）此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0，0，2，1，因此它的逆序数为0＋0＋2＋1＝3；（5）此排列中前n位元素的逆序数均为0．第n＋1位元素2与它前面的n－1个数构成逆序对，所以它的逆序数为n－1；同理可知，第n＋2位元素4的逆序数为n－2……末位元素2n的逆序数为0．因此该排列的逆序数为（6）此排列的前n＋1位元素的逆序数均为0；第n＋2位元素（2n－2）的逆序数为2；第n＋3位元素2n－4与它前面的2n－3，2n－1，2n，2n－2构成逆序对，所以它的逆序为4,……,末位元素2的逆序数为2（n－1），因此该排列的逆序数为3．写出四阶行列式中含有因子的项．解：根据行列式定义可知，此项必定还含有分别位于第3行和第4行的某两元素，而它们又分别位于第2列和第4列，即a32和a44或a34和a42．又因排列1324与1342的逆序数分别为1与2，所以此行列式中含有的项为与4．计算下列各行列式：解：（1）（2）；（3）（4）（5）（6）5．求解下列方程：其中a，b，c互不相等．因此方程的解为．（2）根据题意，方程左式为4阶范德蒙德行列式，则有因a，b，c互不相等，因此方程的解为6．证明：（2）将左式按第1列拆开可以得到因此有其中于是因此，（5）方法一按第1列展开得。
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量组（Ⅱ）： 1 (a11, a12 , a13 , a14 ) ， 2 (a21, a22 , a23 , a24 ) ， 3 (a31, a32 , a33 , a34 )
则正确的命题是（ ）．
出.D 项，经初等变换有
r1,1 2,2 3 r4,1 4,2 4,3 4 1,1 2,2 3 1,2,2 3 1,2,3 , 4,1 4,2 4,3 4 4,1,2,3 1,2,3,4 从而 r1,2,3 r1,2,3,4 ，因而4 可以由 1,2 ,3 线性表出.
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C．必要而非充分条件
D．既不充分也非必要条件
【答案a=8 时，行列式| α1 ， α2 ， α3 ， α4 |=0，向量组 α1 ， α2 ， α3 ， α4 线性相关，但 a=2 时仍有行列式| α1 ，α2 ，α3 ，α4 |=0．所以 a=8 是向量组 α1 ，α2 ，α3 ，α4 线性相关
即
a11 a12 a13 a14
x1 x1 x1 x1
a21x2 a22 x2 a23 x2 a24 x2
的充分而非必要条件．
4.
.
【答案】C
【解析】由 r( A) 1，知 r( A) 3 1 2 ，则 A 0 ，即
解得 a b 或 2b ．当 a b 时， r( A) 1 2 ，即 a 2b ． 5．设向量组（Ⅰ）： 1 (a11, a12 , a13 ) ， 2 (a21, a22 , a23 ) ， 3 (a31, a32 , a33 ) ，向
3．设1 (1, 2, 3,1)T ，2 (3, 4, 7, 1)T ，3 (2, 6, a, 6)T ，4 (0,1, 3, a)T ，那么 a=8 是 α1 ， α2 ， α3 ， α4 线性相关的（ ）．
A．充分必要条件
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B．充分而非必要条件
表出.C 项，由已知条件，有（Ⅰ）r1,2 r1,2,3 ，（Ⅱ）r2,3 r2,3,4 ， 若 r2,3 1，则必有 r1,2 r1,2 ,3 ，与条件（I）矛盾，故必有 r2,3 2 . 那么由（Ⅱ）知 r2,3,4 3 ，从而 r1,2,3,4 3 .因此1 可以由2 ,3,4 线性表
0）， β2 =（0，1，0，0）， β3 =（0，0，0，1），显然 r（ α1 ， α2 ， α3 ）=2，r（ β1 ， β2 ，
β3 ）=3，即当 α1 ， α2 ， α3 线性相关时，其延伸组 β1 ， β2 ， β3 可以线性无关．
D 项，如果 β1 ，β2 ，β3 线性相关，即有不全为 0 的 x1 ，x2 ，x3 使 x1 β1 + x2 β2 + x3 β3 =0，
向量组③中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是 α1 ，α2 ，α4 线性相 关，那么添加 α3 后，故向量组③必线性相关，排除 A 项．
2．已知 1,2 ,3,4 是 3 维非零向量，则下列命题中错误的是（ ）
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则下列结论正确的是（ ）． A．线性相关的向量组为①④；线性无关的向量组为②③ B．线性相关的向量组为③④；线性无关的向量组为①② C．线性相关的向量组为①②；线性无关的向量为③④ D．线性相关的向量组为①③④；线性无关的向量组为② 【答案】D 【解析】向量组①是四个三维向量，从而线性相关，排除 B 项． 由于（1，0，0），（0，2，0），（0，0，3）线性无关，添上两个分量就可得向量组②， 故向量组②线性无关，排除 C 项．
A．如果 4 不能由1,2 ,3 线性表出，则 1,2 ,3 线性相关 B．如果1,2 ,3 线性相关，2 ,3,4 线性相关，那么 1,2 ,4 也线性相关 C．如果3 不能由 1,2 线性表出，4 不能由 2 ,3 线性表出，则 1 可以由 2 ,3,4
线性表出
D ． 如 果 秩 r1,1 2,2 3 r4,1 4,2 4,3 4 ， 则 4 可 以 由
A．（Ⅰ）相关 （Ⅱ）相关
B．（Ⅰ）无关 （Ⅱ）无关
C．（Ⅱ）无关 （Ⅰ）无关
D．（Ⅱ）相关 （Ⅰ）无关
【答案】B
【解析】AC 两项，由于这两个命题互为逆否命题，一个命题与它的逆否命题要正确就
全正确，要错误就全错误．按本题的要求仅有一个命题是正确的，所以可排除．其实亦可考
查下面的例子： α1 =（1，0，0）， α2 =（0，1，0）， α3 =（0，0，0）与 β1 =（1，0，0，
1,2 ,3 线性表出
【答案】B
【 解 析 】 B 项 ， 例 如 1 1,0,0T ,2 0,1,0T ,3 0,2,0T ,4 0,0,1T ， 可 知
1,2 ,3 线性相关， 2 ,3,4 线性相关，但是 1,2 ,4 线性无关.A 项，如果 1,2 ,3 线 性无关，又因1,2 ,3,4 是 4 个 3 维向量，它们必线性相关，则 4 必可由 1,2 ,3 线性
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同济大学数学系《工程数学—线性代数》第 6 版章节题库 第 4 章 向量组的线性相关性
一、选择题. 1．现有四个向量组
① (1, 2,3)T , (3, 1,5)T , (0, 4, 2)T , (1,3, 0)T ； ② (a,1, b, 0, 0)T , (c, 0, d, 2, 0)T , (e, 0, f , 0,3)T ； ③ (a,1, 2,3)T , (b,1, 2,3)T , (c,3, 4,5)T , (d, 0, 0, 0)T ； ④ (1, 0,3,1)T , (1,3, 0, 2)T , (2,1, 7, 2)T , (4, 2,14,5)T ．