恒成立问题的一般解法
高考数学导数恒成立问题的解法及例题
高考数学导数恒成立问题的解法
对于恒成立问题，一般采取的方法有两种：一是利用函数的单调性，二是利用函数的最值。
1. 利用函数的单调性
如果函数f(x)在区间D上单调，可以根据函数的单调性来解决问题。
例如，不等式f(x) > 0在区间D上恒成立，那么只需要找到满足f(x)min > 0的x值即可。
2. 利用函数的最值
如果函数f(x)在区间D上不是单调的，那么可以转化为求函数的最值问题。
例如，不等式f(x) > 0在区间D上恒成立，可以转化为求f(x)的最小值，只要最小值大于0，那么不等式就恒成立。
例题：已知函数f(x) = x2 + ax + 4在区间[-1,2]上都不小于2，求a的取值范围。
解法：首先根据题意得到函数f(x) = x2 + ax + 4在区间[-1,2]上的最小值为2，然后根据二次函数的性质得到对称轴为x=-b/2a=-a/2。
我们需要分三种情况讨论：
1. 当-a/2≤-1时，即a≥2时，函数在[-1,2]上是增函数，只需要满足f(-1)=1-a+4≥2即可，解得a≤3，所以2≤a≤3；
2. 当-a/2≥2时，即a≤-4时，函数在[-1,2]上是减函数，只需要满足
f(2)=4+2a+4≥2即可，解得a≥-4，但是此时a没有合适的取值，故舍去；
3. 当-1<-a/2<2时，即-4<a<2时，函数在对称轴左侧是减函数，右侧是增函数，只需要满足f(-a/2)=(-a/2)2-a2/4+4≥2即可，解得-4<a≤-2。
综上可得a的取值范围为：[-4,-2]∪[2,3]。
10、恒成立问题的解法
函数 y1 的图像须位于函数 y2 图像的上方，则
由图可得 x (1, 0)
方法四、变更主元法： 先看一个例子：
例1、不等式 mx2 2x m 1 0 对于m 2,2 恒成立,求 x 的范围
表面看是求范围，但似乎和我们前面见到的范围题有所不 同，前面都是求系数的范围，而这里是求自变量的范围，都 不用仔细看就知道这是解一元二次不等式，（心中窃喜！） 可真的仔细一看又发现不对，若m没有限制我还能解，有了 限制还真没招！没解过这样的题，怎么办？ ——转化！ 转化成已解过的题，解过题的特征是求系数的范围，那我就 把x看成系数，m看成自变量——这就是变更主元！ 具体做法如下：
m 4 1 m 3 3 1 m3 或 m 7 5 3 1 2 m 1 2m m 或m , 2 4 4 2 2
练习：若x 2,2时，不等式 x2 ax 3 a 恒成立，求a的范围
令 f x x2 ax 3 a. 显然用性质（3）
1 f x 0对一切x R恒成立 a 0且 b2 4ac 0; 2 f x 0对一切x R恒成立 a 0且 b2 4ac 0;
b b m n 或 2a ; 3 f x 0 a 0 在x m, n 上恒成立 0或 2a f m 0 f n 0
即 a x 2 2 x 2 2 x 0 对任意 a 0, 都成立，
x2 2 x 于是 a 2 对任意 a 0, 都成立， x 2 x 2 2 x 2 x 0. 只需 0 2 x 2
注意：像例1）并不能用分离变量法，只是此题特殊， 不具有普遍性！
解题-恒成立问题的常见类型及一般解法-靳小平
“恒成立”问题的常见类型及一般解法陕西蓝田县城关中学 靳小平恒成立问题包容性强，涵盖初等数学的许多方面，渗透着换元、化归、构造函数，分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，体现着在变化中把握不变量的数学特征，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，故而在考试中被广泛采用．本文试图列举、归纳恒成立的常见基本类型并探索相应类型的解决办法．1．恒成立的常见表述形式：对于任意实数x D ∈,()0f x >恒成立； 对于任意实数x D ∈，都有()0f x >； 对于任意实数x D ∈，总有()0f x >；对于一切满足条件……的实数x ,都有()0f x >； 比较隐蔽的形式是可转化为恒成立的问题，例如已知函数2()3(6)f x x a a x b =-+-+，若()f x =0有一根小于1，另一根大于1，且6b >-，求实数a 的值；本例可转化为“对于任意实数6b >-，都有(1)0f >，求实数a 的值”而与此相对的是若()f x =0有一根小于1，另一根大于1，当6b >-，且b 为常数时，求实数a 的取值范围。
如此则不是恒成立问题，相当于对于满足条件(1)0f >，且常数6b >-时，求（与b 相依的）实数a 的取值范围．2．含单参数的恒成立问题的基本类型和一般解法2.1与函数定义域有关的简单恒成立问题与函数定义域有关的恒成立问题较为普遍，解题通法当是直接法解决，至关重要的是把握等价关系即充分必要条件．例1．（2007年高考重庆卷理科第13题)若函数()f x =R ，则a 的取值范围为 ．解析：依题意，222222022210,21,22,20,44010xax axax axax ax R x R x R x ax a x R a a a -------≥∈⇔≥∈⇔≥∈⇔--≥∈⇔∆=+≤⇔-≤≤故[]1,0a ∈-的取值范围是a例2．设函数22()c f x x ax a=++，其中a 为实数．(Ⅰ)若()f x 的定义域为R ,求a 的取值范围； (Ⅱ)当()f x 的定义域为R 时，求()f x 的单减区间． 解析：(Ⅰ)依题意220,4004x ax a x R a a a ++≠∈⇔∆=-<⇔<< 故(0,4)a a ∈的取值范围是 (Ⅱ)(略)例3．已知函数2lg(2)y ax ax =++（Ⅰ）若其定义域为R,则a 的取值范围是？（Ⅱ）若其值域为R,则a 的取值范围是？解析：（Ⅰ）函数定义域为R220020,00080000808a a ax ax x R a a a a a a a a >>⎧⎧⇔++>∈⇔=⇔=⇔⎨⎨∆<-<⎩⎩>⎧=⇔≤<⎨<<⎩或或或（Ⅱ）2200R 208080a a ax ax a a a >>⎧⎧⇔++>⇔⇔⇔≥⎨⎨∆≥-≥⎩⎩函数值域为在例3（Ⅱ）中函数值域为R ，即对任何有意义的x ，函数值恒为实数，其充要条件是220ax ax ++>（而不是大于某正数），即00a >⎧⎨∆≥⎩．2.2．与函数值域有关的较为复杂的恒成立问题这类恒成立问题的一般分为两类：可直接分离参数的：解法可概括为四步：第一步，分离参数；第二步，不等式一边函数化；第三步，求函数值域；第四步，确定参数范围，恒大取大，恒小取小（形象地说是“擒贼先擒王”）．第二类：不便于直接分离参数的，解法是：第一步，分离常数项；第二步，代数式一边函数化（构造函数）；第三步，求函数值域；第四步，确定参数范围，恒大取大，恒小取小.例4．设3()3x f x =，对任意实数t ，记232()3t g x t x t =-．（Ⅰ）求函数8()()y f x g x =-的单调区间；（Ⅱ）求证：①当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立；②有且仅有一个正实数0x ，使得800()()t g x g x ≥对任意正实数t 成立． 解析：（Ⅰ）略（Ⅱ）证明：①2332332'2311'3311''33min 20()()00330()02(),33(),()0-(0,)()0,();(,)()0()()(t x x f x g x t x t x t t x k x t x k x t x t k x x t k x x t x t x t k x k x x t k x k x k x k t >≥⇔>-+≥⇔>≥=-+=-===∈<∈+∞>∴=当时，对任意正实数成立，对任意正实数恒成立时，对任意正实数恒成立而令解得或（舍去）时为减函数时，为增函数132)033t t t =-+=证明：②2380023162()()4332164+033t g x g x t x t x t t t x x t t ≥⇔-≥-⇔--≤对任意正实数恒成立对任意正实数恒成立对任意正实数恒成立23216()=4+33h t t x x t --令3113333233333max 2333222()=(1),()=0333(0,)()0,()(,+)()0,()216116()()()4+4.33332161164+0403333116()433x xh t h t t x t tx x h t h t x x h t h t h t h x x x x x x x t x x t t x x x x x ϕ''-=-=''∈>∈∞<∴==--=-+∴--≤⇔-+≤=-+'解得时为增函数；时为减函数对任意正实数恒成立再令2min 3000023()4()=2-2(0,2)()0,()(2,+)()0,()()(2)116=2()4=0332164+033x x x x x x x x x x x x x x x x t x x t t ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-'==''∈<∈∞>∴=∴=-+--≤=解0得或（舍去）时为减函数；时为增函数=0存在唯一正实数使从而使对任意正实数恒成立小结：例4中反复用了构造函数解决问题的方法． 2.3.与自然数命题有关的恒成立问题这种类型的恒成立问题，往往是对任意自然数，或某个范围内的自然数，某种命题恒成立．由于自然数不满足实数的连续性，所以在解决问题的过程中还需谨慎对待．22722.09(21)9n n x x n x ≤+-≤+例5不等式对任意自然数均成立，解关于实数的不等式2222222272209(21)92722+(21)99(21)1721+11992+22+222272722+0=1999999n n n n n n n nn n x x n x x n x x n x x x x x x ≤+-≤⇔+≤+≤⇔++≤+≤⇔++≤+≤⇔+⇔==-解析：对任意自然数均成立对任意自然数均成立对任意自然数均成立或 小结：例5中21721+11992+22+222n n n nx x ≤+≤++恒成立需要求左式112+22n n +的最大值，求右式21+192+22n n+的最小值，而求这两个最值关系到122n n+的最值． 2.4.与函数图像有关的恒成立问题这种类型的恒成立问题，其基本特点是数形的深刻结合，离开函数图像的“形”的特征，运算会变得复杂而困难．相反地，利用数形结合的原理则可简单直观的解决问题．1201,(),(1,1)(),2x a a f x x a x f x a >≠=-∈-<例6：已知且当时，均有则实数的取值范围是1111.0,[2,),.[,1)(1,4],.[,1)(1,2],.(0,][4,2422A B C D ⎛⎤+∞+∞ ⎥⎝⎦解析：()()()()()2,,f xg x x g x x x ϕϕ=-=令其图像如图1所示， 由指数函数的性质可得2(1)2110110112,(1,1)11112(1)(1)(1)(1)(1)1222211212a a a a x x a x g g a a a a ϕϕ-><<><<⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪-<∈-⇔⇔⎨⎨⎨⎨---<-<--<-<⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩⇔<<<<或或或 小结：借助函数图像，通过数形结合把问题转化为对区间一端函数值的比较，从而达到简化问题的目的．2.5. 与几何（立体几何或解析几何）图形有关的恒成立问题这类问题主要体现在对于一个（或若干个）参量在其取值范围内的任意值，某些几何图形要素例如点、线或面具备某种确定不变的几何性质或数量特征．解决问题的关键是寻找满足题意的充分必要条件．例7：如图2，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD,SD=2a ．点E 是SD 上的点，且DE=a λ，（0<λ<2）(I)求证：对任意的(0,2],AC BE λ∈⊥都有图1(II)设二面角C-AE-D 的大小为θ，直线BE 与平面ABCD 所成的角为ϕ，若t a n t a n 1,θϕ⋅=求λ的值．解析：(I)证明：对任意的(0,2],AC BE λ∈⊥都有⇔ 对任意(0,2],0AC BE λ∈⋅= )(+DE =AB BC BD λ⇔∈+⋅对任意（0,2],()0C (+D S =C +CD S =C +CD S =A B D A B D A A B D A λλλλλλ⇔∈⋅⇔∈⋅⋅∈⋅⋅对任意（0,2],)0对任意（0,2]，0而依题意，对任意（0,2]，0显然成立. (II)（解略）3. 其他类型的恒成立问题及特殊解法3.1利用不等式性质解决恒成立问题利用基本不等式可以很简洁明快的解决某些恒成立问题． 例8．设22110,2()x a a x a x <<+≥-恒成立，求的取值范围 22min 222222211.()110,22()1112802()()2()282,0 2.x x a x x a x x a x ax a x x a x x a x x a x a a a +-<<+≥⇔≥-<<+≥≥==+---∴≥<≤解析：令f()=恒成立f()而时，.（时等号成立）解得1()()9,ax y x y a x y++≥例9：已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ）S ABCD图2A ．2B ．4C ．6D ．8min 2211()()(),()()9,()91()()1()()993244a af x x y x y x y x y x yf x a x y x y a x y a x y a =++++≥⇔≥++≥∴++≥⇔≥⇔≥⇔⇔≥∴解析：令对任意正实数恒成立而（1（1（1的最小值为小结：利用基本不等式，解决恒成立问题可以化解分离参数的麻烦，但关键是把握恒成立的本质——寻求充分必要条件． 3.2. 利用主、辅元转换法解决恒成立问题．这种方法尤其适合参变量次数为一次的恒成立问题，通过将表达式中主、辅元转换，可以达到把复杂紊乱的问题简化为简单直观问题的效果． 例10：若不等式221(3)x m x ->-对满足11m -≤≤的所有m 都成立，求x 的范围．解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将原不等式化为：2(3)(21)0m x x ---<，； 令2()(3)(21)f m m x x =---，则11m -≤≤时，0)(<m f 恒成立⇔(1)0(1)0f f -<⎧⎨<⎩⇔221(3)(21)01(3)(21)0x x x x ⎧-⋅---<⎪⎨⋅---<⎪⎩， 所以x的范围是11)x ∈．小结：主副元互换可以实现对问题的有效转化，应用这种方法的过程中关键还是把握恒成立的本质．4. 含双参数的恒成立问题4.1. 有相关联系的双参数问题22().(,),.()()()0()()f x x bx c b c R x R f x f x x f x x c '=++∈∈≤I ≥≤+例11.已知函数对任意的恒有证明：当时，（II ）22,()()()b c f c f b M c b -≤-若对满足题设条件的任意，不等式M 恒成立，求的最小值.解析：（I ）略（II ）.b I ≥由（）得，c2222222()()2.f c f b c b b c b c bc b M c b c b b c --+-+>≥==--+当时，有 21,11,2.11()2(11)1b c b t t c b c tg x t t+=<<=-++=--<<+令则-令函数223()(,),23()()()[,)2g x c b f c f b M c b M ∈-∞>-≤-⇔∈+∞因此当时，恒成立22.()()().c b f c f b M c b M R =I ±-≤-⇔∈当时，由（）得，b=2,c=2此时恒成立22,3()()()[,).2b c f c f b M c b M -≤-⇔∈+∞综合以上两种情况，对满足题设条件的任意，不等式恒成立 即M 最小值为32． 小结：例11是含双参数的恒成立问题，在解题过程中，.b I ≥由（）得，c 所以所含双参数之间存在相关联系，故而后续的步骤中,bt c=令并借助,b c 的关系，推得11t -<<,继而构造新函数1()21g x t=-+(11)t -<<以解决问题．4.2. 两参数之间没有相关联系的恒成立问题例12．已知函数432()2f x x ax x b =+++（x R ∈），其中R b a ∈,． （Ⅰ）当103a =-时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的[2,2]a ∈-，不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立，求b 的取值范围．解析：（Ⅰ）（略） （Ⅱ）（略）（Ⅲ）解：由条件[2,2]a ∈-，可知29640a ∆=-<，从而24340x ax ++>恒成立． 当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．因此函数()f x 在[1,1]-上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者．为使对任意的[2,2]a ∈-，不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立⇔111))1((f f ≤-≤⎧⎨⎩，即22b a b a ≤--≤-+⎧⎨⎩，在[2,2]a ∈-上恒成立．所以4b ≤-，因此满足条件的b 的取值范围是(,4]-∞-．小结：例12中两个参数,a b 一开始没有相互的联系，按照题意获得22b a b a≤--≤-+⎧⎨⎩这组关系，基于此关系最终解决恒成立问题． 5. 含双变量的恒成立问题此类问题一般解法应该是先将一变量“固定”看成常数，对另一变量进行恒成立的讨论，结果是关于前一变量的关系式，然后再对这一关系式进行恒成立的讨论，即可获得此类恒成立问题的解．特殊的解法是运用数形结合处理双变量的关系．2281,R 20.x y x xy a x a ∈+-+≥例13.已知对一切，不等式恒成立.求实数的取值范围222222max8120,R 812812x xy a x y x a x xy x a x xy x +-+≥∈⇔≤+-+⎧⇔≤+-⎨⎩解：不等式对一切恒成立.222222221222818122229()(29,(,),(,:9:2(0) 6.x xy x xy y y x x x y xM x N y M C xy xN C x y y MN a +--++--=-+-=+=≤≤而采用数形结合如图3所示，设则点在曲线上，点在曲线显然以上所述的恒成立问题仅是笔者在教学过程中积累的一些常见类型。
不等式恒成立、存在性问题的解题方法
不等式恒成立、存在性问题的解题方法一、常见不等式恒成立问题解法1、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
解析：我们可以用变换主元的方法，将m 看作主变元，即将原不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x 所以x 的范围是231,271(++-∈x 。
2、利用一元二次函数判别式对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。
（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）01≠-m 时，只需⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(012m m m ，所以，)9,1[∈m 。
3、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变换使参数与主元分别位于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。
这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。
不等式的恒成立问题基本解法9种解法
不等式的恒成立问题基本解法9种解法不等式的恒成立问题基本解法：9种解法导语：在数学中，我们经常会遇到不等式的问题，而不等式的恒成立问题则更加耐人寻味。
不等式的恒成立问题是指对于某个特定的不等式，是否存在一组解使得不等式始终成立。
解决这种问题需要灵活运用数学知识和技巧。
本文将介绍不等式的恒成立问题的基本解法，共包括9种方法。
一、置换法。
这是最简单的一种方法，即将不等式中的变量互相置换，然后观察不等式是否成立。
如果成立，则不等式恒成立。
对于x^2 +y^2 ≥ 0这个不等式，我们可以将x和y置换一下，得到y^2 + x^2 ≥ 0。
由于平方数是非负数，所以不等式始终成立。
二、加法法则。
这种方法是通过在不等式的两边同时加上相同的数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时加上-3，得到2x + 3 - 3 ≥ x + 4 - 3，即2x ≥ x + 1。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
三、减法法则。
与加法法则相似，减法法则是通过在不等式的两边同时减去相同的数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时减去x，得到x + 3 ≥ 4。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
四、乘法法则。
这种方法是通过在不等式的两边同时乘以相同的正数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时乘以2，得到4x + 6 ≥ 2x + 8。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
五、除法法则。
与乘法法则相似，除法法则是通过在不等式的两边同时除以相同的正数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时除以2，得到x + 3/2 ≥ 1 + x/2。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
六、平方法则。
这种方法是通过平方运算来改变不等式的符号。
对于不等式x^2 ≥ 0，我们可以将x^2展开为(x + 0)^2，得到x^2 + 0 ≥ 0。
高三数学恒成立问题的一般解法
同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有
f ( m) 0 f ( n) 0
y
o y
m
n
x
o
m
n
x
例1。对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式 x2+px+1>p+2x恒成立的x的取值范围。
在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字 分析： 母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量， 则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0
1.一次函数型
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有 f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于
a 0 a 0 （ 1） 或（2） f ( n) 0 f ( m) 0
亦可合并定成
f ( m) 0 f ( n) 0
y
y1=(x-1)2 y2=logax
1
x o 2
∴1<a≤2.即a的取值范围（1,2】
小结
1.一次函数型 2.二次函数型
（ 1 ） .a f ( x)恒成立 a f min ( x) （2） .a f ( x)恒成立 a f max ( x)
4. 直接根据图象判断
3.变量分离型
例3.关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范围。
分析： 题目中出现了3x及9x，故可通过换元转化成二次函数型求解
解法1（利用韦达定理）
2 设3x=t,则t>0,由方程有解 则方程t +(4+a)t+4=0有正根。
不等式 恒成立问题
由题意得，对于 恒成立 对于 恒成立,令 ,设 ,则 ，
, , k的取值范围是k> .
解：令 ， 所以原不等式可化为： ，
要使上式在 上恒成立，只须求出 在 上的最小值即可。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量实行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例4．对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。
1） 函数 图象恒在函数 图象上方；
2） 函数 图象恒在函数 图象下上方。
例5：已知 ，求实数a的取值范围。
解析：由 ，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由 得到a分别等于2和0.5，并作出函数 的图象，所以，要想使函数 在区间 中恒成立，只须 在区间 对应的图象在 在区间 对应图象的上面即可。当 才能保证，而 才能够，所以 。
3.设 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。
解：设 ，则当 时， 恒成立
当 时， 显然成立；
当 时，如图， 恒成立的充要条件为：
解得 。
综上可得实数 的取值范围为 。
4：在 ABC中，已知 恒成立，求实数m的范围。
解析：由
， ， 恒成立， ，即 恒成立，
5、若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的取值范围。
解：设 ，对满足 的 ， 恒成立，
解得：
6、若不等式 在 内恒成立，求实数 的取值范围。
解：由题意知： 在 内恒成立，
在同一坐标系内，分别作出函数 和
观察两函数图象，当 时，若 函数 的图象显然在函数 图象的下方，所以不成立；
求解有关恒成立、存在性问题的四种策略
求解有关恒成立、存在性问题的四种策略对于有关恒成立、存在性问题，一直是高考命题的热点，往往以全称命题或特称命题的形式出现，同时结合函数的单调性、极值、最值等知识进行考查，在高考中多以压轴题或压轴题中的压轴问的形式出现。
如何突破这一难关呢？关键是细心审题及恰当地转化。
现就如何求解恒成立、存在性问题中的参数问题加以分析。
方法1：分离参数法例1.设函数f(x)=lnx-ax,g（x）=ex-ax，其中a为实数。
若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数，且g(x)在(1,+∞)上有最小值，求a的取值范围。
解：因为f`(x)=-a,g`(x)=ex-a,由题意得f`（x）≤0对x∈(1,+∞)恒成立，即a≥对x∈(1,+∞)恒成立，所以a≥1。
因为g`(x)=ex-a在x∈(1,+∞)上是单调增函数，所以g`(x)>g`(1)=e-a。
又g(x)在(1,+∞)上有最小值，则必有e-a<0，即a>e。
综上，可知a的取值范围是(e,+∞)。
点评：求解问题的切入点不同，求解的难度就有差异。
在恒成立问题中有时需要取交集，有时需要取并集，本题解法需要取交集。
一般而言：在同一问题中，若是对自变量作分类讨论，其结果要取交集；若是对参数作分类讨论，其结果要取并集。
方法2：构造函数法例2.已知函数f(x)=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是()。
A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.［-2，1］D.[-2，0]解：当x≤0时,|f(x)|≥axx2－(2+a)x≥0，对x≤0恒成立。
记g(x)=x2－(2+a)x=（x-）2-。
当<0即a<－2时,g(x)的最小值为－，不可能满足条件。
当≥0即a≥－2时,g(x)的最小值为0，满足题意。
当x>0时,|f(x)|≥axln(1+x)－ax≥0a≤，对x>0恒成立。
令θ(x)=，则θ`(x)=。
设t=x+1,则t>1。
记L(t)=-lnt,则L`(t)=<0,所以L(t)在t∈(1,+∞)上为减函数。
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（一）分离参数法 （二）构造函数法
（三）更换主元法 （四）数形结合法
一、利用分离参数法解决恒成立问题
例1、已知不等式 ax2 -2x + 2a > x2对任 意的a∈(0，+∞)都成立，求实数x的取 值范围.
已知函数f(x)=ax -lnx . 若f(x)>1在 (1，+∞)上恒成立，求a的取值范围. 解题依据：
（1）a≥f(x)恒成立 （2）a≤f(x)恒成立
a [ f ( x)] max
a [ f ( x)] min
随堂练习 1、 解：依题意： f ( x) 1 在 (1,) 上恒成立
ln x 1 对一切 x (1,) 恒成立 a x ln x 1 ln x 设 g ( x) ，则 g ( x ) 2 x x 当 x (1,) 时， g ( x) 0 ， 即函数 g ( x) 在 (1,) 上单调递减 所以 g ( x) g (1) 1 ，则 a 1 ， 故 a 的取值范围为 [1,)
例2、设函数f(x)=tx2+2t2x+t -1(x∈R，t>0) （1）求f(x)的最小值h(t)； （2）若h(t)< -2t+m对于任意的t∈(0，2) 恒成立，求实数m的取值范围.
若不等式x2 -2mx+2m+1>0 对满足 0≤x≤1的所有实数x都成立，求m的取值 范围.
随堂练习 2 解：设 f ( x) x 2 2mx 2m 1 ， 依题意：当 0 x 1 时， f ( x) min 0 恒成立 (1) 当 m 0 时， f x 在[0,1]上是增函数， 因此 f (0) 是最小值，
对于一些含参数的不等式恒成立问题 ，如果能够将不等式进行同解变形，将 不等式中的变量和参数进行剥离，即使 变量和参数分别位于不等式的左、右两 边，则可将恒成立问题转化成函数的最 值问题求解。 注意：对这类题要注意看函数能否取得 最值，因为这直接关系到最后所求参数 的取值.
二、利用构造函数法解决恒成立问题x [0， 3]
m 0 1 由 解得， m 0 2 f (0) 2m 1 0
(2)当 0 m 1 时， f x 在 x m 时取得最小值
0 m 1 由 解得， 0 m 1 2 f ( m) m 2 m 1 0
（3）当 m 1 时， f x 在[0,1] 上是减函数， 因此 f (1) 是最小值
已知对任意实数x，不等式 ∣x+1∣≥kx 恒成立，求k的取值范围.
若把不等式进行合理的变形后，能非常容 易地作出不等号两边函数的图象，则可以通 过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题 、填空题这种方法更显方便、快捷。 解题依据：f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立等价 于f(x)的图象在g(x)的图象上方. 注意：利用函数图象解题时，思路是从边界 处（从相等处）开始形成的。
当不等式中出现参数时，我们往往 以自变量为主元，有时易致使解题思路 受阻，解题过程不畅。若将题中已知范 围的参数与自变量“主、客转化”，问 题就会变得简单。
四、利用数形结合法解决恒成立问题x [0， 3]
1 < 0在x∈(0， ) 3 内恒成立，求实数a的取值范围.
例4、若不等式3x2 -logax
三、利用更换主元法解决恒成立问题
例3、已知不等式 ax2 -2x + 2a > x2对任 意的a∈(0，+∞)都成立，求实数x的取 值范围.
对于0≤p≤4的一切实数，不等式 x2+px>4x+p -3 恒成立，求x的取值范围.
对于一次函数f(x)=kx+b，x∈[m，n]有：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f ( m) 0 f ( x) 0恒成立 f ( n) 0 f (m) 0 f ( x) 0恒成立 f ( n) 0
这节课我们学习了解决恒成立问题的一般 法。 这些方法是 分离参数法 、 构造函数法 、 更换主元法 、 数形结合法 。 • 一般地，解决不等式恒成立问题的思想方法 是：分类讨论、数形结合、参数分离、变换 主元等。
m 1 由 解得， m 1 f(1) 2 0
1 综上所述， m 的取值范围为 ( , ) 2
求解恒成立问题时，可依据不等式的特 征先构造出某个区间上的函数，再利用函数 的性质解题。
（1）形如f(x)>g(x)(x∈I)的恒成立问题，可 构造函数h(x)=f(x)-g(x)，则原不等式等价于 h(x)>0(x∈I)恒成立，继而可利用导数研究函 数h(x)的单调性、极值，便可求解； （2）若构造二次函数，可利用二次函数的 图象特征、判别式等求解。