中考数学阅读理解(四)综合实践活动
2020年中考“综合与实践”专题命题分析
一、内容分析《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出，“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.它有别于学习具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授.它是教师问题引领、学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动.“综合与实践”是实现积累数学活动经验、培养学生应用意识和创新意识等目标的重要和有效的载体.教师要适当的开发出适合本地学生开展的结合实际情境的数学活动，创设层层深入的问题，给学生更多思考和操作的空间，鼓励学生大胆设计活动方案，提倡学生之间进行更多的合作交流，在活动中激发学生进行深度学习，提升数学思维，发展学生的数学学科核心素养，凸显问题性，注重综合性，落实实践性.2020年全国各地区中考“综合与实践”试题从不同的知识与能力角度，体现了《标准》中对此部分内容的学习要求与理念，充分地体现了对《标准》提出的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数学分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识十个关键词的重视，使“综合与实践”的实施成为提高教师自身和学生素质的有效过程.二、命题思路分析依据《标准》，“综合与实践”领域的考查主要关注问题、过程和综合三个层面.教师要创设出有利于提升学生数学思维的恰当问题.情境的设置可以从数学内部知识间的联系与综合、跨学科领域的整合、数学与现实生活的融合等方面去设计，让学生在思考和分析问题的活动过程中，充分利用已有的知识经验和生活经验来解决问题，进而积累丰富的数学活动经验.综观2020年全国各地区中考试卷，“综合与实践”内容的考查呈现形式为选择题、填空题和解答题，分值和题量基本保持稳定，且略有上升趋势.选择题和填空题的分值在4~6分之间；解答题和综合性问题的分值在10~18分之间.试题分值占全卷总分值的20%左右.在研究的109份2020年中考数学试卷中，发现“综合与实践”的相关试题背景丰富，有现实生活中几何图形的研究，有跨学科问题情境的设置，有数学操作问题的探究，呈现出数学问题生活化、热点化、操作化的特点，特别注重数学活动经验的积累和数学思想的渗透.以下将从数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个方面的数学学科核心素养出发，选取一些具有代表性的试题进行具体分析.2020年中考“综合与实践”专题命题分析祁慧渊收稿日期：2020-10-24作者简介：祁慧渊（1974—），女，中学高级教师，主要从事中学数学教学研究.摘要：综合与实践是指一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》的目标和内容要求，梳理2020年全国部分地区中考试卷中有关“综合与实践”内容的试题，从数学六大核心素养的角度对此类试题进行分析，总结“综合与实践”在这六方面体现出来的命题特点，并提供相关模拟试题.关键词：中考试题；综合与实践；命题分析；学科核心素养··411.数学抽象数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.数学抽象主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系；从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征.数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中.数学抽象是综合与实践的起点.数感有助于学生理解现实生活中数的意义，对运算结果的估计等方面的感悟；符号意识有助于理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律，知道使用符号进行运算和推理得到一般性结论，这些都是数学抽象的载体.例1（湖南·娄底卷）如图1，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（）.14292632038435a18bx …图1（A ）135（B ）153（C ）170（D ）189例2（黑龙江·齐齐哈尔卷）如图2，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x 轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点A 1()0，2变换到点A 2()6，0，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A 2变换到点A 3()6，0，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A 3变换到点A 4()10，42，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A 4变换到点A 5()10+122，0，得到等腰直角三角形⑤；……依此规律，则第2020个等腰直角三角形的面积是.【评析】例1和例2从数感和符号意识方面突出对学生数学抽象素养的考查，在探究中体会过程性.例1的设计简洁，通过方格中数的摆放位置来寻找数之间的关系，进而转换为字母间的规律，关注对学生使用符号意识的考查和数感中数量关系的感悟.例2是对等腰直角三角形性质应用的考查，要求学生思考图形中的顶点在翻转变换中的关系，进而发现规律，突出考查学生理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律.此类问题的设计既让学生在解题过程中体会图形顶点坐标的运动变化规律，又激发学生在思考过程中建立符号意识，进而要求教师在数学问题的创设上具有从知识立意转向关注数学学科核心素养立意的意识.2.逻辑推理《标准》中提出，推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中.推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则进行证明和计算.在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路、发现结论，演绎推理用于证明结论.2020年中考“综合与实践”试题更注重通过与生活中的情境结合、跨学科整合来解决具体的实际问题.例3（湖南·娄底卷）如图3，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L 1=L cos α，阻力臂L 2=l cos β，如果动力F 的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，杠杆向下运动时的动力变化情况是（）.图3（A ）越来越小（B ）不变（C ）越来越大（D ）无法确定例4（湖南·株洲卷）据《汉书·律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也.”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán ）其外，旁有庣（tiāo ）焉”.意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆.”··42问题：如图4，现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为.（结果用最简根式表示.）【评析】例3借助物理学中撬钉子的情境，利用杠杆原理进行数学的推理分析，动力×动力臂=阻力×阻力臂，当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值大于0，考查了利用锐角三角函数cos α的增减性来说明动力的变化.例4以古代的一种量器为背景命制，将圆与正方形组合，考查图形的推理与计算.此类试题意在让学生体会在不同的问题情境中运用直观的逻辑推理，并综合不同领域的跨学科知识，提升学生分析问题和解决问题的能力.例5（河南卷）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器.图5（1）是它的示意图，其中AB 与半圆O 的直径BC 在同一直线上，且AB 的长度与半圆的半径相等，DB 与AC 垂直于点B ，DB 足够长.使用方法如图5（2）所示，若要把∠MEN 三等分，只需适当放置三分角器，使DB 经过∠MEN 的顶点E ，点A 落在边EM 上，半圆O 与另一边EN 恰好相切，切点为F ，则EB ，EO 就把∠MEN 三等分了.为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”，试补充完整，并写出“证明”过程.已知：如图5（2），点A ，B ，O ，C 在同一直线上，EB ⊥AC ，垂足为点B ，.求证：.（2）（1）图5【评析】例5以数学知识中“利用尺规作图三等分一个任意角”的问题为情境，将数学中的难题转变为一种简易操作工具——三分角器来解决问题.要把∠MEN 三等分，只需适当放置三分角器，使DB 经过∠MEN 的顶点E ，点A 落在边EM 上，半圆O 与另一边EN 恰好相切，切点为F ，则EB ，EO 就把∠MEN 三等分了.在说明了所有的操作过程后，让学生自己填写已知和求证并完成证明过程，既考查了学生推理过程的严谨性、规范性、完整性，又关注了归纳与演绎的综合.此题注重把数学的学习看作是数学活动的学习，在探究过程中提出问题，综合应用所学的知识来分析和解决问题，在“做”的过程和“思考”的过程中积淀数学活动经验，有效考查了综合与实践的基本要素.3.数学建模《标准》中指出，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义.这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识.建立数学模型就是要培养学生在现实活动中，从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，进而建立模型得出结论，还要验证结果和改进模型，最终解决实际问题.综合与实践活动不仅提升了学生从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维能力，也培养了学生的应用意识和创新意识.数学建模是综合与实践的实施途径之一.例6（山东·青岛卷）某公司生产A 型活动板房成本是每个425元.图6（1）表示A 型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD =4m ，宽AB =3m ，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4m.（1）按如图6（1）所示的直角坐标系，抛物线可以用y =kx 2+m （k ≠0）表示.求该抛物线的函数表达式.（2）现将A 型活动板房改造为B 型活动板房.如图6（2），在抛物线与AD 之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN ，点G ，M 在AD 上，点N ，F 在抛物线上，窗户的成本为50元/m 2.已知GM =2m ，求每个B 型图4··43活动板房的成本是多少？（每个B 型活动板房的成本=每个A 型活动板房的成本+一扇窗户FGMN 的成本.）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B 型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个.公司每月最多能生产160个B 型活动板房.不考虑其他因素，公司将销售单价n （元）定为多少时，每月销售B 型活动板房所获利润w （元）最大？最大利润是多少？（2）（1）图6例7（江苏·南京卷）如图7（1），要在一条笔直的路边l 上建一个燃气站，向l 同侧的A ，B 两个城镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图7（2），作出点A 关于l 的对称点A ′，线段A ′B 与直线l 的交点C 的位置即为所求，即在点C 处建燃气站，所得路线ACB 是最短的．为了证明点C 的位置即为所求，不妨在直线l 上另外任取一点C ′，连接AC ′，BC ′，证明AC +CB <AC′+C′B.试完成这个证明．（2）如果在A ，B 两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域.试分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．①生态保护区是正方形区域，位置如图7（3）所示；②生态保护区是圆形区域，位置如图7（4）所示．l（1）BAC A′C′l l图7（2）（3）（4）l【评析】例6考查学生在实际生活情境中体会变量之间的关系，根据题意建立函数模型来解决问题，考查了学生的数学应用意识.在这个综合实践活动中，学生进行了两次建模：第一次建模是把矩形窗户边框与墙抽象成数学图形，并建立关系，理解数学图形中的点的意义，建构二次函数模型；第二次建模是在第（2）小题中，求每月销售活动板房所获的最大利润，比对二次函数模型，找到顶点坐标，根据函数的增减性和不等式的范围确定最值.例7为模拟真实情境的综合实践活动，通过最短距离问题模型，再次提出生活情境问题，根据不同的方案设计，经过计算确定管道铺设方案，再现了数学探究活动的过程性、实践性和综合性.解决此类问题还是要引导学生多进行真实任务情境下的综合实践活动.4.直观想象直观想象主要是指利用图形进行描述和分析问题，感知事物的形态与变化，理解和解决数学问题.直观想象主要表现为：建立形与数的联系，借助空间形式认识事物的位置关系与形态变化及运动规律，构建数学问题的直观模型分析问题，把复杂的数学问题简单化、形象化，进而探索解决问题的思路.综合与实践重在实践和综合，教师要设置贴近学生的生活情境，充分发挥学生的直观想象、展现学生的思考过程，合作交流收获体会，激发学生创造潜能.例8（湖北·荆州卷）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步.已知此步道外形近似于如图8所示的Rt△ABC ，其中∠C =90°，AB 与BC 间另有步道DE 相连，D 地在AB 正中位置，E 地与C 地相距1km.若tan∠ABC =34，∠DEB =45°，小张某天沿A →C →E →B →D →A 路线跑一圈，则他跑了.ADBEC图8例9（山西卷）阅读与思考：下面是小宇同学的··44数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务.×年×月×日星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图9所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB ，现根据木板的情况，要过AB 上的一点C ，作出AB 的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？AB CD E30cm 50cm 40cm 图9BS Q N R MCA图10办法一：如图9，可利用一把有刻度的直尺在AB 上量出CD =30cm ，然后分别以D ，C 为圆心，以50cm 与40cm 为半径画圆弧，两弧相交于点E ，作直线CE ，则∠DCE 必为90°.办法二：如图10，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M ，N 两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M 与点C 重合，用铅笔在木板上将点N 对应的位置标记为点Q ，保持点N 不动，将木棒绕点N 旋转，使点M 落在AB上，在木板上将点M 对应的位置标记为点R.然后将RQ 延长，在延长线上截取线段QS =MN ，得到点S ，作直线SC ，则∠RCS =90°.我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……任务：（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是.（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS =90°.（3）①尺规作图：试在图11的木板上，过点C 作出AB 的垂线.（在木板上保留作图痕迹，不写作法.）图11②说明你的作法依据的数学定理或基本事实.（写出一个即可.）【评析】例8通过直观化表达健身运动路径，考查三角函数的概念，根据模型解释实际意义，需要学生运用几何直观促进理解.例9为真实情境的“综合与实践”活动，该活动利用不同方案解决在没有直角尺的情况下作直角的问题，先以阅读材料的方式给出两种具体的操作方法，然后让学生在理解此操作过程的同时写出数学依据，进而思考是否还有其他作出垂线的方法.例9让学生根据图形的特点，借助几何直观观察图形、分析问题、发现解题途径，有效开展综合实践活动，进一步培养学生解决问题的创新意识.5.数学运算《标准》中指出，运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确进行运算的能力.培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题.数学运算在综合实践活动中的应用最常见、最广泛，有助于学生理解运算对象、掌握运算法则、形成程序化思维.例10（四川·自贡卷）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式||x -2的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为||x +1=||x -()-1，所以||x +1的几何意义就是数轴上x 所对应的点与-1所对应的点之间的距离.（1）发现问题：代数式||x +1+||x -2的最小值是多少？（2）探究问题：如图12，点A ，B ，P 分别表示数-1，2，x ，AB =3.图12因为||x +1+||x -2的几何意义是线段PA 与PB 的长度之和，所以当点P 在线段AB 上时，PA +PB =3，当点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时，PA +PB >3.所以||x +1+||x -2的最小值是3.（3）解决问题：①||x -4+||x +2的最小值是；②如图13，利用上述思想方法解不等式||x +3+||x -1>4；图13③当a 为何值时，代数式||x +a +||x -3的最小值是2.【评析】例10以学生非常熟悉的两点之间的距离为情境，让学生去发现问题、分析问题、探究问题、解决问题，这是非常好的综合与实践的学习方式.这些问题要求学生在已经具备一定的数式运算能力的基··45础上，依据法则正确运算，体会运算的算理，转化为熟悉的运算方式，也考查了学生对数学运算法则使用的迁移能力，进一步体现了在学习过程中数学运算素养的重要性，为教学指明方向.6.数据分析数据分析是统计的核心.“综合与实践”在此方面的考查具体表现在数据的收集和整理，对数据信息的理解和处理，提取信息和解释结论.综观2020年中考试题，数据分析类综合试题呈现出情境生活化、热点化的特点，更加重视对统计量意义的理解和利用数据分析结果并进行方案的决策评估和预测.例11（山东·临沂卷）2020年是脱贫攻坚年.为实现全员脱贫目标，某村贫困户在当地政府支持帮助下，办起了养鸡场.经过一段时间精心饲养，总量为3000只的一批鸡可以出售.现从中随机抽取50只，得到它们质量的统计数据如表1和图14所示.质量/kg0.9≤x<1.11.1≤x<1.3 1.3≤x<1.5 1.5≤x<1.7 1.7≤x<1.9组中值1.01.21.41.61.8频数/只69a158表1/kg图14根据以上信息，解答下列问题.（1）表中a的值为，补全频数分布直方图；（2）这批鸡中质量不小于1.7kg的数量大约有多少？（3）这些贫困户的总收入达到54000元，就能实现全员脱贫目标.按15元/kg的价格售出这批鸡后，该村贫困户能否脱贫？【评析】数据分析素养主要体现在“统计与概率”中，其与实际生活联系紧密，能更好地体现综合与实践的考查意图.例11从学生熟悉的生活背景及社会关注的热点问题等方面进行数据分析和处理.对现实生活中的问题先做调查研究、收集数据，通过统计图或表格进行数据分析，做出判断.此类试题突出对抽样调查中分析数据的方法和解决问题能力方面的考查，更加注重对学生获取信息能力和分析决策能力的考查，真正体现出统计的作用.三、复习建议通过对2020年中考试卷中“综合与实践”部分试题的分析，发现这些试题充分体现了《标准》对此部分内容的引领作用.在教学过程中，教师要特别注意问题情境的设计、活动过程的探究和解决问题方法的综合，强化综合与实践活动中知识的整合、延伸与拓展，加强对学生思维能力、运算能力、探究能力和创新能力的培养.在复习教学中，教师要对以下几个方面予以关注：一是创设更贴近生活现实、数学现实和其他学科现实的情境，增强学生的应用意识；二是加强初中数学各部分内容之间的相互联系，体现数学学习的整体性与综合性；三是让学生在探究活动过程中感悟知识的生成和运用，提升解决问题的能力，增强创新意识的培养.针对以上情况，对2021年中考复习提出以下几点建议.1.夯实基础，提升能力在日常教学中，若学生的基础知识不过关，会体现在概念辨析不到位，基本运算算理不清楚，以及解题方法不适当等方面.因此，在教学中，教师一定要回归教材、落实基础，强化对基础知识和基本技能的训练，多研究典型题和易错题，多对比、多变式，引导学生自主建构知识体系，将基础知识的掌握落到实处.一是要让学生对所学的概念、公式、定理进行深度剖析与解读；二是让学生经历知识的生成与生长过程，对问题的解决方法进行归纳梳理；三是通过课堂··46内外综合与实践活动的开展，强化学生的“四基”及知识的融会贯通.2020年全国各地区中考“综合与实践”类试题中都创设了现实生活或跨学科的情境，解题时需要学生具备丰富的知识与问题间的链接能力，这就要求教师在教学中要注重揭示知识发生、发展的过程，使学生的思维得到高密度的训练，能力得到高层次的发展. 2.经历过程，提升思维如果把数学问题的解决看成是“目”，那么数学思维就是“纲”，纲举目张.在教学中，教师要重视引导学生理解知识的形成过程，在活动中让学生通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，经历自主学习、合作交流、探索研究的过程，创设一些能引发学生深度思考的过程性问题，并运用研究方法进行解题思路的迁移，开阔学生的思维视野，拓宽学生的观察角度，促使其自觉养成良好的数学思维品质.教师也可以通过编拟一些贴近生活实际的数学应用问题，让学生在学习中经历更多真实情境问题的探究过程，在活动中不断进行思维碰撞，体会问题解决方法的多样性，从而引导学生充分体会数学与人类社会的密切联系，加强对数学的理解，用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界，进而形成学数学、用数学的意识和能力，切实提高学生的思维品质.3.加强阅读，提升素养“综合与实践”类试题中经常会呈现一些阅读材料，提供一些解决问题的知识或方法，需要学生在阅读的过程中获取信息和理解信息，还要应用所学到的思想或方法解答提出的新问题.因此，建议教师在日常教学中补充一些与教材内容相关的阅读材料，通过对教材的例、习题进行整合，挖掘一些综合与实践学习的素材，设计一些相关的综合与实践活动，并要求学生经历活动后尝试写出实践报告和活动反思，让学生经历数学问题设计与解决的探究过程，发现不同解决问题的途径，积累丰富的数学活动经验，进而提升学生的综合解题能力.通过让学生在综合与实践活动中将自主、合作、探究的学习方式融入数学学科核心素养的形成过程，把学生的学习兴趣作为发展数学学科核心素养的推动力，以激发教学创新.我们欣喜地看到，越来越多的教师在“综合与实践”领域的日常教学中进行更深层次的思考与创新，以提升学生的数学学科核心素养为培养目标，真正回归教育本源，实现对人的培养.四、模拟题欣赏1.定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b= ab+a+b，其中等式右边是通常的加法、乘法运算，例如，2⊕3=2×3+2+3=11.若y关于x的函数y=（kx+1）⊕（x-1）图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为.参考答案：0或-1.2.图15（1）为一张宽为6cm的平行四边形纸带ABCD，AB=10cm，小明用这张纸带对底面周长为10cm直三棱柱纸盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分）.小明通过操作后发现此类包贴问题可将直三棱柱的侧面展开进行分析.（1）如图15（2），若纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个直三棱柱纸盒的侧面全部包贴满.则纸带AD的长度为；（2）如图15（3），若AD=100cm，纸带在侧面缠绕多圈，正好将这个直三棱柱纸盒的侧面全部包贴满.则这个直三棱柱纸盒的高度是.A DB C（1）CDCA（B）（2）A BD C（3）图15参考答案：（1）25cm；（2）60cm.3.某市景区内有一座历史名人塑像，“综合与实践”小组的学生开展了测量这一塑像高度的活动．他们在该塑像底部所在的平地上选取一个测点，测量了塑像顶端的仰角，调高测倾器后二次测量了塑像顶端的仰角.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数及测倾器高度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如表2所示.··47。
2012年中考数学试题分类解析--实践与综合应用
Ａ地 产品件数， 件
运费， 元 ３
理 解、猜想和 归纳能力． 通过题 目给定的数的组成，观察 猜想其
中蕴含 的规律 ，一般思路是 先写 出数 式的基本 结构 ，然后横 比 或 者纵 比，找 出各个部 分 的特征 ，改写成相应 的格武 其 中第
Ｎ ０ １ — ２ ２ ０ １ ３
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｉ ｎ ｅ ｓ ｅ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ Ｅｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
２ ０ １ ３年
第 １ — ２期
摘 要 ：“ 实践 与 综 合 应 用 ” 是 指 数 学 与 外部 世 界 的联 系 、数 的生活经 验和 已有 的知识背 景出发 ，向他们提供充 实 的从 事数
《 全日 制义务教育数学课程标 准 （ 实验稿） 》（ 以下简称 《 标
学习数 学的最终 目的是帮 助我们更好 地解决生 活 中遇 到的 坤 ）设立 了 “ 实践 与综合 应用 ”的领 域． “ 实践 与综合应 用” 实际问题．随着课 改的不断深入 ，数学 中的实践应 用问题 ，是近 是 一类 以问题 为载体 ，学生主动参 与的学习活动 ，是 帮助学 生 它有别于传统的 、单一 的求解计 算问 积 累数学活动经验 的重要途径．它包含 ３方面的含 义 ：一是数学 年来中考的一个 热门考点 ． 各领域 内知识的综合 ． 如 ，代数综 合问题 ，或是几何综合 问题 ， 题 ，赋 予数 学问题 以实 际的意 义．如 ，节能减 排中的水 费 、电费 或是概率应用 的综合应用 问题等等．二是数学各领域 间知识 的综 问题 ，保护环境 、美化环境 为主题 的新农村建设问题等等． 使数
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关键 词 ：实践与综 合应 用；数学 生活化 ；数 形结合 ；试题 解析 ；命题 趋势
2024年安徽亳州中考数学试题及答案
2024年安徽亳州中考数学试题及答案注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4、考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．审核：魏敬德老师一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A ，B ，C ，D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1. ﹣5的绝对值是（ ）A. 5B. ﹣5C. 15- D. 152. 据统计，2023年我国新能源汽车产量超过944万辆，其中944万用科学记数法表示为（ ）A. 70.94410⨯B. 69.4410⨯C. 79.4410⨯D. 694.410⨯3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）A. B.C. D.4. 下列计算正确的是（ ）A. 356a a a +=B. 632a a a ÷=C. ()22a a -=a=5. 若扇形AOB 的半径为6，120AOB ∠=︒，则 AB 的长为（ ）A. 2πB. 3πC. 4πD. 6π6. 已知反比例函数()0ky k x =≠与一次函数2y x =-的图象的一个交点的横坐标为3，则k 的值为（）A. 3-B. 1-C. 1D. 37. 如图，在Rt ABC △中，2AC BC ==，点D 在AB 延长线上，且CD AB =，则BD 的长是（ ）C. 2-D. 8. 已知实数a ，b 满足10a b -+=，011a b <++<，则下列判断正确的是（ ）A 102a -<< B. 112b <<C. 2241a b -<+< D. 1420a b -<+<9. 在凸五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE =，F 是CD 中点．下列条件中，不能推出AF 与CD 一定垂直的是（ ）A. ABC AED∠=∠ B. BAF EAF ∠=∠C. BCF EDF ∠=∠ D. ABD AEC∠=∠10. 如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，2BC =，BD 是边AC 上的高．点E ，F 分别在边AB ，BC 上（不与端点重合），且DE DF ⊥．设AE x =，四边形DEBF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象为（ ）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11. 若代数式14-x 有意义，则实数x 的取值范围是_____．的.的12.，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为227．比较大______227（填“>”或“<”）．13. 不透明的袋中装有大小质地完全相同的4个球，其中1个黄球、1个白球和2个红球．从袋中任取2个球，恰为2个红球的概率是______．14. 如图，现有正方形纸片ABCD ，点E ，F 分别在边,AB BC 上，沿垂直于EF 的直线折叠得到折痕MN ，点B ，C 分别落在正方形所在平面内的点B '，C '处，然后还原．（1）若点N 在边CD 上，且BEF ∠=，则C NM '∠=______（用含α的式子表示）；（2）再沿垂直于MN 的直线折叠得到折痕GH ，点G ，H 分别在边,CD AD 上，点D 落在正方形所在平面内的点D ¢处，然后还原．若点D ¢在线段B C ''上，且四边形EFGH 是正方形，4AE =，8EB =，MN 与GH 的交点为P ，则PH 的长为______．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15. 解方程：223x x -=16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy ，格点（网格线的交点）A 、B ，C 、D 的坐标分别为()7,8，()2,8，()10,4，()5,4．（1）以点D 旋转中心，将ABC 旋转180︒得到111A B C △，画出111A B C △；（2）直接写出以B ，1C ，1B ，C为顶点的四边形的面积；为（3）在所给的网格图中确定一个格点E ，使得射线AE 平分BAC ∠，写出点E 的坐标．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17. 乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植A B ，两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：农作物品种每公顷所需人数每公顷所需投入资金（万元）A48B 39已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元．问A B ，这两种农作物的种植面积各多少公顷？18. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N 能否表示为22x y -（x y ，均为自然数）”的问题．（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n 为正整数）：N 奇数4的倍数22110=-22420=-22321=-22831=-22532=-221242=-22743=-221653=-22954=-222064=-表示结果LL 一般结论()22211n n n -=--4n =______按上表规律，完成下列问题：（ⅰ）24=（ ）2-（ ）2；（ⅱ）4n =______；（2）兴趣小组还猜测：像261014 ，，，，这些形如42n -（n 为正整数）的正整数N 不能表示为22x y -（x y ，均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：假设2242n x y -=-，其中x y ，均为自然数．分下列三种情形分析：①若x y ，均为偶数，设2x k =，2y m =，其中k m ，均为自然数，则()()()222222224x y k m k m -=-=-为4的倍数．而42n -不是4的倍数，矛盾．故x y ，不可能均为偶数．②若x y ，均为奇数，设21x k =+，21=+y m ，其中k m ，均为自然数，则()()22222121x y k m -=+-+=______为4的倍数．而42n -不是4的倍数，矛盾．故x y ，不可能均为奇数．③若x y ，一个是奇数一个是偶数，则22x y -为奇数．而42n -是偶数，矛盾．故x y ，不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确．阅读以上内容，请在情形②横线上填写所缺内容．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19. 科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B 处发出，经水面点E 折射到池底点A 处．已知BE 与水平线的夹角36.9α=︒，点B 到水面的距离 1.20BC =m ，点A 处水深为1.20m ，到池壁的水平距离 2.50m AD =，点B C D ，，在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为β，折射角为γ，求sin sin βγ的值（精确到0.1，参考数据：sin 36.90.60︒≈，cos36.90.80︒≈，tan 36.90.75︒≈）．20. 如图，O 是ABC 的外接圆，D 是直径AB 上一点，ACD ∠的平分线交AB 于点E ，交O 于另一点F ，FA FE =．的（1）求证：CD AB ⊥；（2）设FM AB ⊥，垂足为M ，若1OM OE ==，求AC 的长．六、（本题满分12分）21. 综合与实践【项目背景】无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x （单位：cm ）表示．将所收集的样本数据进行如下分组：组别A B C D Ex 3.5 4.5x ≤< 4.5 5.5x ≤< 5.5 6.5x ≤< 6.57.5x ≤<7.58.5x ≤≤整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下：任务1 求图1中a 的值．【数据分析与运用】任务2 A ，B ，C ，D ，E 五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数．任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）．①两园样本数据的中位数均在C 组；②两园样本数据的众数均在C 组；③两园样本数据的最大数与最小数的差相等．任务4 结合市场情况，将C ，D 两组的柑橘认定为一级，B 组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由．根据所给信息，请完成以上所有任务．七、（本题满分12分）22. 如图1，ABCD Y 的对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，且AM CN =．点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点．（1）求证：OE OF =；（2）连接BM 交AC 于点H ，连接HE ，HF ．（ⅰ）如图2，若HE AB ∥，求证：HF AD ∥；（ⅱ）如图3，若ABCD Y 为菱形，且2MD AM =，60EHF ∠=︒，求ACBD 的值．八、（本题满分14分）23. 已知抛物线2y x bx =-+（b 为常数）的顶点横坐标比抛物线22y x x =-+的顶点横坐标大1．（1）求b 的值；（2）点()11,A x y 在抛物线22y x x =-+上，点()11,B x t y h ++在抛物线2y x bx =-+上．（ⅰ）若3h t =，且10x ≥，0t >，求h 的值；（ⅱ）若11x t =-，求h 的最大值．数学试题注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4、考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．审核：魏敬德老师一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）【11题答案】x【答案】4【12题答案】【答案】>【13题答案】【答案】16【14题答案】【答案】 ①. 90α︒-##90α-+︒ ②. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）【15题答案】【答案】13x =，21x =-【16题答案】【答案】（1）见详解 （2）40（3）()6,6E (答案不唯一)四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）【17题答案】【答案】A 农作物的种植面积为3公顷，B 农作物的种植面积为4公顷．【18题答案】【答案】（1）（ⅰ）7，5；（ⅱ）()()2211n n +--； （2）()224k m k m -+-五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）【19题答案】【答案】43【20题答案】【答案】（1）见详解 （2）六、（本题满分12分）【21题答案】【答案】任务1：40；任务2：6；任务3：①；任务4：乙园的柑橘品质更优，理由见解析七、（本题满分12分）【22题答案】【答案】（1）见详解（2）（ⅰ）见详解，八、（本题满分14分）【23题答案】【答案】（1）4b（2）（ⅰ）3；（ⅱ）10 3。
2024年成都市中考数学真题试卷及答案
成都市2024中考数学卷A 卷(共100分)第1卷(选择题,共32分)一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分)1.-5的绝对值是( )A.5B.-5C.15D.-152.如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成,它的主视图是( )A. B. C. D. 3.下列计算正确的是( )A.()2233x x =B.336x y xy +=C.222()x y x y +=+D.()()2224x x x +-=- 4.在平面直角坐标系xOy 中,点(1,4)P -关于原点对称的点的坐标是( )A.()1,4--B.()1,4- C ()1,4 D.()1,4- 5.某镇组织开展“村BA ”、村超、村晚等群众文化赛事活动,其中参赛的六个村得分分别为:55,64,51,50,61,55,则这组数据的中位数是( )A.53B.55C.58D.646.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,则下列结论一定正确的是( )A.AB AD =B.AC BD ⊥C.AC BD =D.ACB ACD ∠=∠ 7.中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目:今有共买琎,人出半,盈四;人出少半,不足三.问人数,琎价各几何？其大意是:今有人合伙买琎石,每人出12钱,会多出4钱;每人出13钱,又差了3钱.问人数,琎价各是多少？设人数为x ,琎价为y ,则可列方程组为( ) A.14,2133y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ B.14,2133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ C.14,2133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ D.14,2133y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 8.如图,在▱ABCD 中,按以下步骤作图:(①以点B 为圆心,以适当长为半径作弧,分别交,BA BC 于点,M N ,②分别以M ,N 为圆心,以大于12MN 的长为半径作弧,两弧在ABC ∠内交于点O ;③作射线BO ,交AD 于点E ,交CD 延长线于点F .若3,2CD DE ==,下列结论错误的是( )A.ABE CBE ∠=∠B.5BC =C.DE DF =D.53BE EF =第II 卷(非选择题,共68分)二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)9.若m ,n 为实数,且()240m +=,则()2m n +的值为________.10.分式方程132x x=-的解是________. 11.如图,在扇形AOB 中,6,120,OA AOB ︒=∠=则AB 的长为______.12.盒中有x 枚黑棋和y 枚白棋,这些棋除颜色外无其他差别.从盒中随机取出一枚棋子,如果它是黑棋的概率是38,则x y 的值为___________. 13.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知(3,0)A ,(0,2)B ,过点B 作y 轴的垂线l ,P 为直线l 上一动点,连接,PO PA ,则PO PA +的最小值为________.三、解答题(本大题共5个小题,共48分)14.(本小题满分12分,每题6分)(1)计算:()02sin602024 2.π︒--+(2)解不等式组231,11.23xx x+≥-⎧⎪-⎨-<⎪⎩15.(本小题满分8分)2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题,秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念,以园艺为媒介,向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景.在主会场有多条游园线路,某单位准备组织全体员工前往参观,每位员工从其中四条线路(国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线)中选择一条.现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查,并根据调查结果绘制成如下统计图表.根据图表信息,解答下列问题:(1)本次调查的员工共有_____人,表中的x值为______.(2)在扇形统计图中,求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数.(3)若该单位共有2200人,请你根据调查结果,估计选择“园艺小清新线”的员工人数.16.(本小题满分8分)中国古代运用“土圭之法”判别四季,夏至时日影最短,冬至时日影最长,春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索,如图,在示意图中,产生日影的杆子AB 垂直于地面,AB 长8尺.在夏至时,杆子AB 在太阳光线AC 照射下产生的日影为;BC 在冬至时,杆子AB 在太阳光线AD 照射下产生的日影为BD .已知73.4ACB ︒∠=,26.6ADB ︒∠=,求春分和秋分时日影长度.(结果精确到0.1尺;参考数据:sin 26.60.45︒≈,cos 26.60.89︒≈,tan 26.60.50︒≈,sin 73.40.96︒≈cos73.40.29︒≈,tan 73.4 3.35)︒≈17.(本小题满分10分)如图,在Rt ABC ∆中,90C ︒∠=,D 为斜边AB 上一点,以BD 为直径作O ,交AC 于,E F 两点,连接,,BE BF DF .(1)BC DF BF CE ⋅=⋅(2)若,A CBF ∠=∠tan BFC AF ∠==,求CF 的长和O 的直径.18.(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y x m =-+与直线2y x =相交于点(2,)A a ,与x 轴交于点,0()B b ,点C 在反比例函数0()k y k x=<图象上. (1)求,,a b m 的值(2)若,,,O A B C 为顶点的四边形为平行四边形,求点C 的坐标和k 的值(3)过A ,C 两点的直线与x 轴负半轴交于点D ,点E 与点D 关于y 轴对称.若有且只有一点C 使得ABD ∆与ABE ∆相似,求k 的值.B 卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)19.如图,ABC CDE ∆≅∆,若35,45D ACB ︒︒∠=∠=,则DCE ∠的度数为________.20.若m ,n 是一元二次方程2520x x -+=的两个实数根,则()22m n +-的值为________.21.在综合实践活动中,数学兴趣小组对1n ~这n 个自然数中,任取两数之和大于n 的取法种数k 进行了探究.发现:当2n =时,只有{1,2}一种取法,即1k =;当3n =时,有{1,3}和{2,3}两种取法,即2k =为;当4n =时,可得4k =;若6n =时,则k 的值为______.若24n =时,则k 的值为______.22,如图,在Rt ABC 中,90,C AD ︒∠=是ABC ∆的一条角平分线,E 为AD 中点,连接BE .若,2BE BC CD ==,则BD =______.23.在平面直角坐标系xoy 中,112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 是二次函数241y x x =-+-图象上三点.若1201,4x x <<>,则1y ________2y (填“>”或“<”);若对于11m x m <<+, 2312,23m x m m x m +<<++<<+,存在132y y y <<,则m 的取值范围是__________.二、解答题(本大题共3个小题,共30分)24.(本小题满分8分)推进中国式现代化,必须坚持不懈夯实农业基础,推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售,在水果收获的季节,该合作社用17500元从农户处购进A,B 两种水果共1500kg 进行销售,其中A 种水果收购单价10元/kg,B 种水果收购单价15元/kg.(1)求,A B 两种水果各购进多少千克.(2)已知A 水果运输和仓储过程中质量损失4%,若合作社计划A 种水果至少要获得20%的利润,不计其他费用,求A 种水果的最低销售单价.25.(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线()2:230L y ax ax a a =-->与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧),其顶点为C ,D 是抛物线第四象限上一点.(1)求线段AB 的长(2)当1a =时,若ACD ∆的面积与ABD ∆的面积相等,求tan ABD ∠的值:(3)延长CD =交x =轴于点E =,当AD DE =时,将ADB ∆沿DE 方向平移得到A EB ''∆.将抛物线L 平移得到抛物线L ',使得点A ',B '都落在抛物线L '上.试判断抛物线L '与L 是否交于某个定点.若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.26.(本小题满分12分)数学活动课上,同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置,固定一个顶点,然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转,来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC 和ADE 中,3AB AD ==,4BC DE ==,90ABC ADE ︒∠=∠=.[初步感知](1)如图1,连接,BD CE ,在纸片ADE 绕点A 旋转过程中,试探究BD CE的值. [深入探究](2)如图2,在纸片ADE 绕点A 旋转过程中,当点D 恰好落在ABC ∆的中线BM 的延长线上时,延长ED 交AC 于点F ,求CF 的长.[拓展延伸](3)在纸片ADE 绕点A 旋转过程中,试探究,,C D E 三点能否构成直角三角形.若能,直接写出所有直角三角形CDE 的面积;若不能,请说明理由.数学参考答案A 卷(共100分)第I 卷(选择题,共32分)一、选择题第II 卷(非选择题,共68分)二、填空题9.1 10.3x = 11.4π 12.35 13.5. 三、解答题14.(1)5;(2)29.x -≤<15.(1)160,40;(2)99o ;(3)385.16.春分和秋分时日影长度约为9.2尺.17.(1)略(2)CF =;O 的直径为18.(1)4a =,6m =,6b =(2)点C 的坐标为(4,4)-或(4,4),16;k -=-(3)1k =-.B卷(共50分)一、填空题19.100︒20.721.9;14423.1;12m>-<<.二、解答题24.(1)A种水果购进1000千克,B种水果购进500千克(2)A种水果的最低销售单价为12.5元/kg25.(1)4:AB=(2)10 tan3ABD∠=(3)抛物线L'与L=交于定点(3,0).26.(1)BDCE的值为35(2)7039 CF=(3)直角三角形CDE的面积分别为48 4,16,12,13.。
类比思想——解中考数学中的综合实践题
教学设计教学背景：中考数学中的综合实践题考查形式多样，综合性较强，入手简单，但要得满分较难，一般都与实际问题结合，且解决实际问题时一般会用到前面的结论，解题时要多结合前面的问题，大胆猜想。
此类题型是今后中考命题的方向，应引起重视。
教学目标：1、熟练应用全等三角形的性质与判定；正方形的性质；旋转的性质解题2、学会用类比思想解中考数学中的综合实践题教学方法：视频教学、例题讲解教学过程：一、展示例题通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．1）思路梳理：∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使 AB与AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线。
根据______，易证△AFG≌______，得EF=BE+DF．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系______时，仍有EF=BE+DF．（3）联想拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边 BC 上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．二、思路梳理三、类比引申：四、联想拓展：五、教学总结：本题综合考察了全等三角形、正方形、旋转的相关知识，综合性强，学生会感到难度较大。
解题时若是在熟练掌握基本知识的前提下，能抓住关键信息入手，并巧妙结合类比思想进一步突破会起到事半功倍的效果。
类比思想在初中数学中占有非常重要的地位，是解中考数学中的综合实践题时应用较为普遍的一种数学思想。
中考数学复习《综合实践题》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《综合实践题》经典题型及测试题（含答案）题型解读此类题考查形式多样，但都与实际问题结合，且解决实际问题时一般会用到前面的结论，解题时要多结合前面的问题，大胆猜想．综合性较强，入手简单，但要得满分较难，此类题型是今后中考命题的方向，应引起重视．1.如图①，△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D. (1)求证：BC AB ＝EFDE；(2)由(1)中的结论可知，等腰三角形ABC 中，当顶角∠A 的大小确定时，它的对边(即底边BC)与邻边(即腰AB 或AC)的比值也就确定，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)＝∠A的对边（底边）∠A的邻边（腰）＝BCAB .如T(60°)＝1.①理解巩固：T(90°)＝________，T (120°)＝________，若α是等腰三角形的顶角，则T(α)的取值范围是________；②学以致用：如图②，圆锥的母线长为9，底面直径PQ ＝8，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到0.1)．(参考数据：T(160°)≈1.97，T (80°)≈1.29，T (40°)≈0.68)2. (1)如图①，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，请你完成图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，并证明：BE＝CD；(2)如图②，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；(3)运用(1)，(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图③，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的长(结果保留根号)．3.问题：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图①证明上述结论．【类比引申】如图②，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足__________关系时，仍有EF＝BE＋FD.【探究应用】如图③，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC ＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且A E⊥AD，DF＝40(3－1)米，现要在E、F 之间修一条笔直的道路，求这条道路EF的长．(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)4.理解：数学兴趣小组在探究如何求tan 15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路： 思路一 如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点D ，使BD ＝BA ，连接AD.图① 设AC ＝1，则BD ＝BA ＝2，BC ＝ 3.tan D ＝tan 15°＝12＋3＝2－3（2＋3）（2－3）＝2－ 3. 思路二 利用科普书上的和．(．差．)．角正切公式．．．．．：tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 假设α＝60°，β＝45°代入差角正切公式：tan 15°＝tan (60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝3－11＋3＝2－ 3.思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 思路四 …请解决下列问题(上述思路仅供参考)． (1)类比：求出tan 75°的值；(2)应用：如图②，某电视塔建在一座小山上，山高BC 为30米，在地平面上有一点A ，则得A 、C 两点间距离为60米，从A 测得电视塔的视角(∠CAD)为45°，求这座电视塔CD 的高度；(3)拓展：如图③，直线y ＝12x －1与双曲线y ＝4x 交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，将直线AB 绕点C 旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P 的坐标；若不能，请说明理由．图②图③备用图5.【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“ ”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1.【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k ，再加上常数b”的运算，有什么规律？ 【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程：也可用图象描述：如图①，在x 轴上表示出x 1，先在直线y ＝kx ＋b 上确定点(x 1，y 1)，再在直线y ＝x 上确定纵坐标为y 1的点(x 2，y 1)，然后在x 轴上确定对应的数x 2，…，依次类推． 【解决问题】研究输入实数x 1时，随着运算次数n 的不断增加，运算结果x n 怎样变化． (1)若k ＝2，b ＝－4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究； (2)若k>1，又得到什么结论？请说明理由；(3)①若k ＝－23，b ＝2，已在x 轴上表示出x 1(如图②所示)，请在x 轴上表示x 2，x 3，x 4，并写出研究结论；②若输入实数x 1时，运算结果x n 互不相等，且越来越接近常数m ，直接写出k 的取值范围及m 的值(用含k ，b 的代数式表示)．6.问题提出(1)如图①，已知△ABC.请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2.是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决(3)如图③，有一矩形板材ABCD，AB＝3米，AD＝6米．现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG＝90°，EF＝FG＝5米，∠EHG＝45°.经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件．试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．1. (1)证明：∵AB＝AC，DE＝DF，∴ABDE＝ACDF，又∵∠A ＝∠D ，∴△ABC ∽△DEF ，∴BC EF ＝ABDE ，∴BC AB ＝EF DE. (2)解：①2，3，0<T (α)<2.【解法提示】①如解图①，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°， ∴设AB ＝AC ＝x ，由勾股定理得BC ＝2x ， ∴T(90°)＝BC AB ＝2x x＝2；第1题解图①第1题解图②如解图②，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝AC ， 过点A 作AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝60°，BD ＝12BC ，设AD ＝y ，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝60°， ∴BD ＝AD·tan 60°＝3y ，AB ＝2AD ＝2y ， ∴BC ＝2BD ＝23y ， ∴T(120°)＝23y2y＝3； ∵∠A<180°，当∠A ＝180°时，此时AB ＝AC ＝12BC 即T(A)＝BC AB ＝BC 12BC ＝2，∵要构成三角形，∴T(A)<2， ∵T(A)＞0，∴0<T (α)<2.第1题解图②如解图，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，∵圆锥的底面圆周长＝圆锥展开图扇形的弧长，即2πr ＝n πl180，∴rl＝n360，∵r＝4，l＝9，∴n＝160.∵T(80°)≈1.29，∴蚂蚁爬行的最短距离＝T(80°)×l≈1.29×9≈11.6.2. 解：(1)作图如解图①，第2题解图①证明：∵△ABD和△ACE为等边三角形，则AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，又∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE＝CD.(2)BE＝CD.理由如下：∵四边形ABFD和四边形ACGE为正方形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝90°，又∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE＝CD.(3)如解图②，以AB为边，作等腰直角三角形ABD，∠BAD＝90°，第2题解图②则AD＝AB＝100米，∠ABD＝45°，∴BD＝100 2 米，连接CD，则由(2)可得，BE＝CD，∵∠ABC＝45°，∴∠DBC＝90°，在Rt△DBC中，BC＝100米，BD＝100 2 米，由勾股定理得CD＝1002＋（1002）2＝100 3 米，则BE＝CD＝100 3 米．3. 【发现证明】证明：如解图①，将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADG，则AB与AD重合，第3题解图①∴∠BAE ＝∠DAG ，∠B ＝∠ADG ，BE ＝GD ， AE ＝AG ，∴∠GAF ＝∠DAF ＋∠GAD ＝∠BAE ＋∠DAF ＝45°， 在正方形ABCD 中，∠B ＝∠ADC ＝90°， ∴∠ADG ＋∠ADF ＝180°，即G 、D 、F 在一条直线上， ∵∠EAF ＝45°，在△EAF 和△GAF 中，AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ＝45°，AF ＝AF ， ∴△EAF ≌△GAF(SAS )， ∴EF ＝GF ，∴EF ＝FG ＝FD ＋DG ＝FD ＋BE. 【类比引申】∠EAF ＝12∠BAD.【解法提示】如解图②，延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ， ∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABC ＋∠ABM ＝180°， ∴∠D ＝∠ABM ， 在△ABM 和△ADF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABM ＝∠D BM ＝DF，第3题解图②∴△ABM ≌△ADF(SAS )，∴AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM ， ∵∠BAD ＝2∠EAF ， ∴∠DAF ＋∠BAE ＝∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠EAB ＋∠BAM ＝∠EAM ＝∠EAF ， 在△FAE 和△MAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AE ∠FAE ＝∠MAE AF ＝AM， ∴△FAE ≌△MAE(SAS )， ∴EF ＝EM ，又∵EM ＝BE ＋BM ＝BE ＋DF ， ∴EF ＝BE ＋DF.【探究应用】解：如解图③，连接AF ，延长BA 、CD 交于点O ， ∵∠BAD ＝150°，∠ADC ＝120°， ∴∠OAD ＝30°，∠ODA ＝60°， ∴△OAD 是直角三角形． ∵AD ＝80，∴AO ＝403，OD ＝40，∵OF ＝OD ＋DF ＝40＋40(3－1)＝403， ∴AO ＝OF ，第3题解图③∴∠OAF ＝45°， ∵∠OAD ＝30°， ∴∠DAF ＝15°， ∵∠EAD ＝90°，∴∠EAF ＝∠EAD －∠DAF ＝75°＝12∠BAD ，又∠B ＋∠ADC ＝180°，由(2)知EF ＝BE ＋DF.∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ＝150°－90°＝60°＝∠B ， ∴△ABE 为等边三角形， ∴BE ＝AB ＝80，∴EF ＝BE ＋DF ＝80＋40(3－1)≈109(米)． 4. 解：(1)如解图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点D ，使BD ＝BA ，连接AD.第4题解图①设AC ＝1，则BD ＝BA ＝2，BC ＝3，tan ∠DAC ＝tan 75°＝DC AC ＝BD ＋BC AC ＝2＋31＝2＋ 3.【一题多解】tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°·tan 30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝2＋ 3.第4题解图②(2)如解图②，在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝602－302＝303， sin ∠BAC ＝BC AC ＝3060＝12，即∠BAC ＝30°，∵∠DAC ＝45°，∴∠DAB ＝45°＋30°＝75°.在Rt △ABD 中，tan ∠DAB ＝DBAB ＝2＋3，∴DB ＝AB·tan ∠DAB ＝303·(2＋3)＝603＋90， ∴DC ＝DB －BC ＝603＋90－30＝ 603＋60.(米)答：这座电视塔CD 的高度为(603＋60)米.第4题解图③(3)直线AB 能与双曲线相交， 点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)，理由如下：若直线AB 绕点C 逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P 1、P 2，如解图③，过点C 作CD ∥x 轴，过点P 1作P 1E ⊥CD 于点E ，过点A 作AF ⊥CD 于点F.解方程组⎩⎨⎧y ＝12x －1y ＝4x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－2， ∴点A(4，1)，点B(－2，－2)．对于y ＝12x －1，当x ＝0时，y ＝－1，则C(0，－1)，OC ＝1，∴CF ＝4，AF ＝1－(－1)＝2， ∴tan ∠ACF ＝AF CF ＝24＝12， ∴tan ∠P 1CE ＝tan (∠ACP 1＋∠ACF)＝tan (45°＋∠ACF)＝tan 45°＋tan ∠ACF 1－tan 45°·tan ∠ACF＝1＋121－12＝3，即P 1ECE ＝3.设点P 的坐标为(a ，b)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4b ＋1a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43b ＝3， ∴点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)；(ii )若直线AB 绕点C 顺时针旋转45°后，与x 轴相交于点G ，如解图④. 由(i )可知∠ACP ＝45°，P(43，3)，则CP ⊥CG .过点P 作PH ⊥y 轴于H ， 则∠GOC ＝∠CHP ＝90°，∠GCO ＝90°－∠HCP ＝∠CPH ，第4题解图④∴△GOC ∽△CHP ， ∴GO CH ＝OCHP. ∵CH ＝3－(－1)＝4，PH ＝43，OC ＝1，∴GO 4＝143＝34， ∴GO ＝3，G(－3，0)．设直线CG 的解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13b ＝－1，∴直线CG 的解析式为y ＝－13x －1.联立⎩⎨⎧y ＝－13x －1y ＝4x，消去y ，得4x ＝－13x －1，整理得x 2＋3x ＋12＝0，∵b 2－4ac ＝32－4×1×12＝－39<0， ∴方程没有实数根，∴直线绕点C 顺时针旋转45°，与双曲线无交点．(综上所述，直线AB 绕点C 逆时针旋转45°后，能与双曲线相交，交点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)．5. 解：(1)若k ＝2, b ＝－4，①x 1＝3时，x 2＝2×3－4＝2，x 3＝2×2－4＝0，x 4＝2×0－4＝－4，x 5＝2×(－4)－4＝－12； ②x 1＝4时，x 2＝2×4－4＝4，x 3＝2×4－4＝4，x 4＝2×4－4＝4，x 5＝2×4－4＝4； ③x 1＝5时，x 2＝2×5－4＝6，x 3＝2×6－4＝8，x 4＝2×8－4＝12，x 5＝2×12－4＝20， 由上面的特殊值可得，y ＝2x －4与y ＝x 交点的横坐标为4， 所以当输入的值x>4时，x n 的值会随着运算次数的增大而增大； 当输入的值x ＝4时，x n 的值不变；当输入的值x<4时，x n 的值会随着运算次数的增大而减小．(2)当k>1时，y ＝kx ＋b 与y ＝x 的交点坐标横坐标为x ＝－bk －1，所以当输入的值x>－bk －1时，x n 的值会随着运算次数的增大而增大；当输入的值x ＝－bk －1时，x n 的值不变；当输入的值x<－bk －1时，x n 的值会随着运算次数的增大而减小．理由如下：直线y ＝kx ＋b 与直线y ＝x 的交点坐标为(b 1－k ，b 1－k )，当x ＞b 1－k时，对于同一个x 的值，kx ＋b ＞x ，∴y 1＞x 1，∵y 1＝x 2，∴x 1＜x 2，同理x 2＜x 3＜…＜x n ，∴当x 1＞b1－k 时，随着运算次数n的增加，x n 越来越大，同理，当x 1＜b 1－k 时，随着运算次数n 的增加，x n 越来越小，当x ＝b1－k 时，随着运算次数n 的增加，x n 保持不变．(3)①画如解图，第5题解图结论：通过画图可得，x n 的值越来越靠近两个函数图象交点的横坐标即65；②|k|<1且k ≠0时，m ＝－bk －1.即－1＜k ＜1且k ≠0， 【解法提示】两个函数图象的交点的横坐标满足kx ＋b ＝x ，解得x ＝－bk －1，且k ≠0，由(1)得|k|＜1.6. (1)【思路分析】要作对称图形，先要考虑对称的性质，即对应点关于对称轴对称，只需作出点B 关于直线AC 的对称点D ，连接AD ，CD 即可．第6题解图①解：如解图①，△ADC 即为所求作三角形．【作法提示】(1)过点B 作直线AC 的垂线，垂足为点O ；(2)在垂线上截取OD ＝OB ，连接AD ，CD ，则△ADC 即为所要求作的三角形．(2)【思路分析】四边形EFGH 的周长＝EF ＋FG ＋GH ＋HE ，由题意可知AF 和AE 的长均为定值，利用勾股定理可求得EF 的长为定值，所以要求四边形周长的最小值，只需令FG ＋GH ＋HE 最小即可，利用作对称线段将所求线段和转化到三角形中进行求解，进而利用直角三角形三边关系求出线段和最小值．第6题解图②解：存在．理由如下：如解图②，作点E 关于CD 的对称点E′，作点F 关于BC 的对称点F′，连接E′F′，交BC 于点G ，交CD 于点H ，连接FG 、EH ，则F ′G ＝FG ，E ′H ＝EH ，所以此时四边形EFGH 的周长最小．这是因为：在BC 上任取一点G′，在CD 上任取一点H′，则FG′＋G′H′＋H′E ＝F′G′＋G′H′＋H ′E ′≥E ′F ′.由题意得：BF′＝BF ＝AF ＝2，DE ′＝DE ＝2，∠A ＝90°， ∴AF ′＝6，AE ′＝8.∴E ′F ′＝10，EF ＝2 5.∴四边形EFGH 周长的最小值为EF ＋FG ＋GH ＋HE ＝EF ＋E ′F ′＝25＋10.∴在BC、CD上分别存在满足条件的点G、H，使四边形EFGH的周长最小，最小值是25＋10.(3)【思路分析】要使四边形EFGH面积最大，因为E、F、G的位置确定，即△EFG的面积是固定的，只要求以EG为底边的△EGH最大面积即可，且∠EHG为45°，作△EFG关于EG的对称图形，以点F 的对称点O为圆心，作以EG为弦的圆，根据圆的基本性质，即EG的中垂线与圆的交点即为所求的点H′，然后再由对称的性质和勾股定理求解即可．解：能裁得．∵∠EFG＝∠A＝90°，∴∠2＋∠AFE＝∠1＋∠AFE＝90°，∴∠1＝∠2，∵EF＝FG＝5，∴△AEF≌△BFG(AAS)，∴AF＝BG，AE＝BF.设AF＝x，则AE＝BF＝3－x，∴x2＋(3－x)2＝(5)2解得x1＝1或x2＝2，∵AF＜BF，∴x2＝2舍去，∴AF＝BG＝1，AE＝BF＝2，∴DE＝4，CG＝5.如解图③，连接EG，作△EFG关于EG的对称图形△EOG，则四边形EFGO为正方形，∠EOG＝90°.以点O为圆心，OE长为半径作⊙O，则∠EHG＝45°的点H在⊙O上．连接FO，并延长交⊙O于点H，则点H在EG中垂线上．第6题解图③连接EH、GH，则∠EHG＝45°.此时，四边形EFGH就是想要裁得的四边形EFGH中面积最大的．连接CE，则CE＝CG＝DE2＋CD2＝5.∴点C在线段EG的中垂线上，连接HC，∴点F、O、H、C在一条直线上，又∵EG＝EF2＋FG2＝10，∴FO＝EG＝10.又∵CF＝BF2＋BC2＝210，∴OC＝10.又∵OH＝OE＝FG＝5，∴OH＜OC，∴点H 在矩形ABCD 的内部，∴可以在矩形板材ABCD 中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH 部件，这个部件的面积即S 四边形EFGH＝12EG·FH ＝12×10×(10＋5)＝(5＋522)m 2. ∴所裁得的四边形部件EFGH 是符合条件的面积最大的部件，这个部件的面积为(5＋522) m 2.难点突破本题的难点在于第(3)问点H 位置的确定，题中已知点E 、F 、G 的位置，即解决本题的实质是求以EG 为底边的△EGH 的面积最大时点H 的位置，由于∠EHG ＝45°，想到作直角△EFG 关于EG 的对称图形，则以点F 的对称点为圆心、EG 为弦的圆在矩形ABCD 内的点H 满足题意，根据圆的基本性质，则点H 为EG 的中垂线与所作圆的交点．。
2024年中考数学复习：综合与实践专项练习
综合与实践专项练习类型1 实践操作型试题1.(2022江苏宿迁)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点,点A、B、C、D、M 均为格点.【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P，并给出部分说理过程.请你补充完整．．．．．．：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC 和△CDE.在Rt△ABC中, tan∠BAC=BCAC =12,在Rt△CDE 中, ,所以tan∠BAC=tan∠DCE.所以∠BAC=∠DCE.因为∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°,所以∠ACP+∠BAC=90°.所以∠APC=90°,即AB⊥CD.【拓展应用】(1)图②是以格点O 为圆心，AB 为直径的圆，请你只用无刻度的直尺．．．．．．．．，在BM 上找出一点P,使PM=AM,写出作法,并给出证明;(2)图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺．．．．．．．．，在弦AB 上找出一点P，使AM²=AP⋅AB,写出作法，不用证明.2.(2022 黑龙江齐齐哈尔)综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学.数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣.转一转:如图①,在矩形ABCD 中,点E、F、G分别为边BC、AB、AD 的中点,连接EF、DF,H 为DF 的中点,连接GH.将△BEF绕点B 旋转,线段DF、GH 和CE 的位置和长度也随之变化.当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：(1)图②中,AB=BC,此时点E落在AB的延长线上，点F 落在线段BC上，连接AF，猜想GH 与CE 之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图③中,AB=2,BC=3,则GHCE =¯;(3)当AB=m,BC=n时, GHCE =¯;剪一剪、折一折：(4)在(2)的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC(如图④).点M、N分别在AC、BC上,连接MN,将△CMN沿MN 翻折,使点C 的对应点P 落在AB 的延长线上,若PM 平分∠APN,,则CM的长为.类型2 探究迁移型试题3.(2022 山东泰安)问题探究(1) 在△ABC 中,BD,CE 分别是∠ABC 与∠BCA的平分线.①若∠A=60°,AB=AC,如图1,试证明:BC=CD+BE;②将①中的条件“AB=AC”去掉,其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立?并说明理由；迁移运用(2)若四边形ABCD 是圆的内接四边形，且∠ACB=2∠ACD,∠CAD=2∠CAB,如图3,试探究线段AD,BC,AC 之间的等量关系，并证明.4.(2022 甘肃武威)已知正方形ABCD,E为对角线AC上一点.【建立模型】如图1,连接BE,DE.求证:BE=DE;【模型应用】如图2，F 是DE 延长线上一点，FB⊥BE,EF交AB 于点G,连接AF.(1)判断△FBG的形状并说明理由；(2)若G为AB 的中点,且AB=4,求AF的长;【模型迁移】如图3,F 是DE 延长线上一点,FB⊥BE,EF 交AB 于点G,BE=BF.求证:GE= (√2−1)DE.类型3 综合应用型试题5.(2022山东潍坊)为落实“双减”政策，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点(-1，-1)，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式.【观察发现】请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象；【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧.”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方.”你认同他们的说法吗?若不认同，请举例说明；【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y=ax²+bx+c的图象与系数a，b，c 的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法.请你探究这个方法，写出探究过程.6.(2022湖南湘潭)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E.(1)特例体验:如图①,若直线l∥BC,AB=AC =√2,,分别求出线段BD、CE 和DE 的长;(2)规律探究:(i)如图②，若直线l从图①状态开始绕点A 旋转α(0°<α<45°),请探究线段BD、CE和DE 的数量关系并说明理由；(ii)如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α(45°<α<90°),与线段BC相交于点H,请再探究线段BD、CE 和DE的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F,若CE=3,DE=1,求S△BFC-。
中考数学题型解法：综合与实践专题
中考数学题型解法：综合与实践专题综合与实践近几年在中考题中出现频率越来越高，新课标修订稿中将“双基”变成“四基”，“四基”中就有“基本的活动经验”；由此可见对学生综合与实践能力的培养已经放到非常重要的位置，个人认为在今后的中考试题中会逐步的加大综合与实践的题型，在这样的大背景下本人编写了这课时二轮复习材料，希望能够对大家有一定的启发.第一部分讲解部分一．专题诠释“综合与实践”是以一类问题为载体，学生主动参与的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验的重要途径，其具体目标是：⑴通过对有关问题的探讨，了解所学过的数与代数、图形与几何、统计与概率知识之间的关联；⑵初步获得发现问题和提出问题的经验；⑶结合实际背景，在给定目标下，设计解决问题的方案，进一步体验分析问题和解决问题的过程，发展相应的能力．“综合与实践”试题一般由问题情景、操作发现、提出问题、问题解决和应用拓展等部分构成，可以从不同角度综合考查学生基本活动技能和活动经验，以及学生在活动中形成数学思想和数学方法的能力、探究能力、创新能力和运用能力．二．解题策略和解法精讲“综合与实践”试题关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过类比和引申，合理进行思想方法的迁移．三．考点精讲考点1．探索应用型例1． (1)计算:如图①,直径为a的三等圆⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，切点分别为A、B、C，A的长(用含a的代数式表示).求O1⑵探索:若干个直径为a 的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n 层圆圈的高度n h 和(用含n 、a 的代数式表示).⑶应用:现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米.用这样的集装箱装运长为5米，底面直径(横截面的外圆直径)为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用⑵中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？(3≈1.73)【分析】(1)三个两两外切的圆的圆心构成一个边长为圆的直径的正三角形，因此可由勾股定理求解；（2）按如图10②所示的方案一的方式排放，n 层圆圈的高度n h 就是n 个圆的直径，按如图10③所示的方案二的方式排放，n 层圆圈的高度可由（1）证得来；（3）方案一：即按图10②的方式排放钢管，放置根数为每层排放31根，可放31层，则共放31×31＝941根钢管，而方案二：即：按图10③的方式排放钢管，第一层排放31根，第二层排放30根，设钢管的放置层数为n,可得)10.10.1 3.1n -⨯+≤解得35.68n ≤ 得可放35层，则共放31×18+30×17=1068根钢管．由此可得方案二装运钢管最多．【解】(1)∵⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3两两外切，∴O 1O 2=O 2O 3=O 1O 3=a ，又∵O 2A =O 3A ，∴O 1A ⊥O 2O 3，∴O 1A 2=2a ．⑵n h =n a ，=()a a n +-123， ⑶方案二：装运钢管最多．即：按图③的方式排放钢管，放置根数最多. 根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，设钢管的放置层数为n ,)10.10.1 3.1n -⨯+≤，解得35.68n ≤， ∵n 为正整数∴n =35，钢管放置的最多根数为：31×18+30×17=1068(根)．【评注】 图①是图②和图③的“单元”，(1)的计算问题是后继问题的原型； (2)中的方案一很容易找到一般的规律，方案二需要将问题(1)中找到的等边三角形的模型迁移过来，通过对/1h ，/2h ，/3h ，/4h 进行计算，得到一个猜想“圆圈的高度就是能形成的最大的等边三角形的高加上一个圆圈的直径”；然后再选择n大于4的情况验证我们结论的正确性，例如n=5，我们在右侧再添加一列对圆圈的高度不产生任何影响，(不妨问自己三个问题：①如何构造直角三角形?②直角三角形的斜边与n有着怎样的联系?③等边三角形的高与圆圈的高度有着怎样的联系?)；本题的探究过程真正体现“特殊→一般→特殊”的认知规律．问题(3)是在问题(2)基础上的进一步引申，既是对上述认识的运用，又是对问题的深入探索．考点2. 拓广应用型例2．问题再现现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形．．．．的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角.试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着____个正六边形的内角．问题提出如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：()82180903608x y-⨯+ =，整理得：238x y+=，我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为12xy=⎧⎨=⎩．结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．O验证2：结论2：．上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．问题拓广请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．猜想3：验证3：结论3：【分析】要使正多边形形成平面镶嵌，需满足的条件是在一个顶点周围围绕着的正多边形的内角恰好能拼成一个周角。
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中考数学阅读理解（四）综合实践活动实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm．王诗嬑观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度1:0.75
i=，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100 cm，则高圆柱的高度为多少cm？
解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，
由题意可得：90150 72x
=，
解得：120
x=，
经检验：120
x=是分式方程的解，
王诗嬑的的影子长为120cm；
（2）正确。
因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，
则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，
而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，
∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；
（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，CDE
∆为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，过点F作FG CE
⊥于点G，
由题意可得：100
BC=，100
CF=，
斜坡坡度1:0.75
i=，
∴140.753
DE FG CE CG ===， ∴设4FG m =，3CG m =，在CFG ∆中，222(4)(3)100m m +=， 解得：20m =，
60CG ∴=，80FG =，
160BG BC CG ∴=+=，
过点F 作FH AB ⊥于点H ，
同一时刻，90cm 矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm ， FG BE ⊥，AB BE ⊥，FH AB ⊥，
可知四边形HBGF 为矩形，
∴9072AH AH HF BG
==， 90901602007272AH BG ∴=
⨯=⨯=， 20080280AB AH BH AH FG ∴=+=+=+=，
故高圆柱的高度为280cm 。
【小结】
知识点：投影、成比例线段、立体几何初步知识、解分式方程等； 数学思想：转化的数学思想、建立数学模型的数学思想； 能力培养：解决实际问题的能力；
来源：原题来源于2020年四川省攀枝花市中考数学试卷。