数据分布特征的描述
数据分布特征描述
数据分布特征描述数据分布特征描述是数据分析中的重要内容，通过对数据的分布特征描述，可以更好地理解数据的规律和特点。
数据的分布特征描述通常包括数据频数分布、数据均值、数据方差、数据偏度和数据峰度等指标。
下面将从这几个方面对数据分布特征进行描述。
数据频数分布是描述数据在不同取值范围内出现的频数。
通过数据频数分布可以直观地看出数据的分布规律，包括集中趋势和离散程度等。
通常可以通过直方图或饼图来展示数据频数分布，以便更好地理解数据的集中程度和变异程度。
数据均值是描述数据的集中趋势的指标，代表数据的平均水平。
均值可以帮助理解数据的集中程度，如果数据均值较大，则说明数据整体较高；反之，数据均值较小则说明数据整体较低。
数据均值是数据分布特征描述中最基本的指标之一。
数据方差是描述数据的变异程度的指标，代表数据的离散程度。
方差越大，说明数据的分布越分散；方差越小，说明数据的分布越集中。
通过数据方差可以判断数据的变化幅度和波动情况，对数据分布的特征有着重要的参考价值。
数据偏度是描述数据分布偏斜程度的指标，用来衡量数据分布的不对称性。
正偏态表示数据分布呈右偏，负偏态表示数据分布呈左偏，而零偏态则表示数据分布对称。
数据偏度可以帮助理解数据的分布形态，了解数据的倾向性和集中程度。
数据峰度是描述数据分布峰态的指标，用来衡量数据分布的陡峭程度。
峰度较高表示数据分布较陡峭，峰度较低表示数据分布较平缓。
通过数据峰度可以了解数据的分布形状和尖峭程度，对数据分布特征的描述有很大的帮助。
综上所述，数据分布特征描述是数据分析中的重要内容，通过对数据的频数分布、均值、方差、偏度和峰度等指标的描述，可以更好地理解数据的规律和特点。
数据的分布特征描述对于数据分析和决策具有重要的意义，能够为数据挖掘和预测提供有力支持。
只有深入理解数据的分布特征，才能更好地利用数据资源，为实际应用提供有效的支持和指导。
数据分布特征的描述
该项活动中，每月都有数据统计及分析以用来进 行该项活动旳调整与实施。
如：有一组有关病人进入“救济”活动旳时间长 度旳数据：
67个样本：时间长度从1天到185天。
除了对该组数据进行频数方面旳描述和分析外， 下面旳统计措施在描述数据分布特征及分析方面也很 主要：
均值(mean)：35.7天; 中位数(median)：17天； 众数(Mode)：1天
X Me Mo 当分布右偏时（阐明存在极端大旳值）
X Me Mo
3、在偏斜度适度旳情况下，不论是左偏还是右偏，中位数
与算术平均数之差约等于众数与算术平均数之差旳1/3，即有如
下经验公式：
Me
X
1 3 (M O
X)
众数、中位数和均值旳应用场合
• 众数、中位数和均值都是对数据集中趋势旳测度，
1、均值由全部数据计算，包括了全部数据旳信息，具有良 好旳数学性质，当数据接近对称分布时，具有很好旳代表性； 但对于偏态分布，其代表性较差。
Graduates Monthly Graduates Monthly Graduates Monthly
Salary($)
Salary($)
Salary($)
1
2350
5
2255
9
2440
2
2450
6
2210
10
2852
3
2550
7
2390
11
2428
4
2380
8
2630
12
2380
未分组时旳算术平均值为：2440
一、均值（Mean）
均值就是一组数据旳平均值(average value)，用来测 度中心位置(central location)。
数据分布特征的描述
数据分布特征的描述原⽂链接：知识点：数据分布特征的描述1、变量集中趋势的测定变量在不同个体或不同时间条件下具体表现出来的数据是不同的，不过众多个体的数据常常会呈现出在⼀定范围内围绕某个中⼼⽽波动的分布特征。
衡量数据集中趋势的指标有两类：⼀类是数值平均数，包括算数平均数、调和平均数、⼏何平均数；另⼀类是位置代表值，根据数据所处位置直接观察或根据与特定位置有关的部分数据来确定的代表值，主要有众数和中位数。
测定集中趋势指标的作⽤主要是：1）反映变量分布的集中趋势和⼀般⽔平；2）可⽤来⽐较同⼀现象在不同空间或不同阶段的发展⽔平；3）可⽤来分析现象之间的依存关系。
1）数值平均数a、算术平均数(arithmeticmean)，即均值(mean)：将⼀组数据的总和除以这组数据的项数所得的结果。
2）位置平均数a、众数(mode)是⼀组数据中出现频数最多、频率最⾼的变量值。
众数代表的是最常见的、最普遍的状况，是对现象集中趋势的度量。
众数既可度量定量变量（数值型数据）的集中趋势，也可⽤来测度定性变量（⾮数值型数据）的集中趋势。
b、中位数(median)是将数据从⼩到⼤排序后位置居中的数值，奇数取中间，偶数取中间两个数值的平均数。
总结：算术平均数是数值平均数，和中位数⼀样在任何⼀组数据中都存在且是唯⼀的。
算术平均数受数据中极端值的影响，⽽众数和中位数则不受极端值的影响。
算术平均和众数、中位数三者之间的数量关系取决于数据分布的偏斜（⾮对称）程度：对于呈现单峰分布特征的数据，如果分布是对称，则三者相等；如分布是左偏（负偏），数据中的极⼩值会使算术平均数偏向较⼩的⼀⽅，极⼩值⼤⼩不影响中位数，但其所占项数会影响数据的中间位置从⽽略使中位数偏⼩，众数则完全不受极⼩值⼤⼩和位置的影响，所以是众数⼤于中位数⼤于算术平均数；如果分布式右偏（正偏），则反之。
2、变量离散程度的测定数据的集中趋势和离散程度是数据分布最基本的两⼤特征。
集中趋势反映了数据聚集的中⼼所在，数据的离散程度说明数据之间差异程度的⼤⼩。
概率与数理统计第3章数据分布特征的描述
概率与数理统计第3章数据分布特征的描述概率与数理统计是一门关于随机现象的描述和分析的学科。
在实际问题中，我们经常需要对数据进行分析和描述，以便更好地理解数据的特征和规律。
第三章主要介绍了数据分布的特征描述，包括中心位置度量、离散程度度量和分布形状度量。
首先是中心位置度量，它用来描述数据集的平均水平。
一般来说，我们关心的是数据集的平均值和中位数。
平均值是数据的加权平均，它能够反映数据集的集中趋势。
平均值的计算公式是：```平均值=总和/观测数```中位数是按照数据的大小顺序排列后，处于中间位置的观测值。
中位数的计算方法是：```如果数据集的观测数为奇数，中位数为第(n+1)/2个观测值如果数据集的观测数为偶数，中位数为第n/2和(n/2+1)个观测值的平均值```其次是离散程度度量，它用来描述数据集的变异程度。
我们常用的度量指标有极差、方差和标准差。
极差是数据集中最大观测值与最小观测值之间的差距，它反映了数据的全局离散程度。
方差是每个观测值与数据集平均值的差的平方的平均值，它度量了数据的局部离散程度。
标准差是方差的平方根，它与方差具有相同的单位，能够更好地反映数据的离散程度。
最后是分布形状度量，它用来描述数据分布的偏度和峰度。
偏度是描述数据分布对称性的度量，正偏表示数据集的右尾较重，负偏表示数据集的左尾较重。
峰度是描述数据分布峰态的度量，正峰表示数据集的峰部较陡，负峰表示数据集的峰部较平。
偏度和峰度能够帮助我们了解数据分布的形态特征，从而判断数据集是否服从其中一种特定的分布。
在实际应用中，我们可以通过对数据集进行描述统计分析来了解数据的特征。
通过计算平均值、中位数、方差、标准差、偏度和峰度等指标，我们能够更好地理解数据的分布情况。
此外，我们还可以通过绘制直方图、箱线图、概率密度函数等图形来展示数据的分布特征，进一步加深对数据的认识。
总之，数据分布特征的描述是概率与数理统计中重要的内容之一、通过中心位置度量、离散程度度量和分布形状度量，我们能够充分了解数据的平均水平、变异程度和形态特征，为进一步的数据分析和决策提供有力的支持。
第3章统计学数据分布特征的描述
第3章统计学数据分布特征的描述统计学是一门研究收集、分析和解释数据的学科。
在统计学中，数据分布特征的描述是指通过一系列统计量和图表来描述数据的集中趋势、离散程度和分布形态等特征。
数据的集中趋势描述了数据的平均水平或中心。
常用的统计量有平均值、中位数和众数。
平均值是将所有观测值相加然后除以观测值的总数，它能够反映数据的总体平均水平。
然而，当数据包含异常值时，平均值的计算结果可能会受到影响。
因此，中位数和众数在这种情况下被认为是更稳健的集中趋势度量。
中位数是将数据按大小排序，然后找出中间位置的观测值。
众数是数据中出现次数最多的观测值。
数据的离散程度描述了数据的变异程度或分散程度。
常用的统计量有方差、标准差和四分位差。
方差是观测值与均值之间差异的平方的平均值，它反映了数据的总体离散程度。
标准差是方差的平方根，用于衡量数据的波动性。
四分位差是数据的上四分位数和下四分位数之差，它描述了数据的中间50%的变异程度。
数据的分布形态描述了数据的形状和对称性。
常用的分布形态有正态分布、偏态分布和峰态分布。
正态分布是最常见的分布形态，其特点是对称、钟形曲线。
偏态分布是指数据分布不对称的情况，主要分为正偏态和负偏态。
正偏态分布意味着数据的尾部偏向右侧，负偏态分布则意味着数据的尾部偏向左侧。
峰态分布用于描述数据的峰值的尖锐程度，主要分为正态分布、高峰态和低峰态。
除了统计量，还可以使用图表来对数据分布特征进行描述。
常用的图表包括直方图、箱线图和散点图。
直方图是通过将数据分组并在坐标轴上绘制各组的频率或相对频率来展示数据的分布形态。
箱线图通过绘制数据的分位数和异常值来展示数据的中位数、四分位数和离群观测值。
散点图用于展示两个变量之间的关系，特别适用于发现变量之间的相关性和异常值。
综上所述，统计学中的数据分布特征描述是通过一系列统计量和图表来描述数据的集中趋势、离散程度和分布形态等特征。
这些描述能够帮助我们更好地理解数据，并对数据进行分析和解释。
数据分布特征的描述讲义
数据分布特征的描述讲义数据分布特征的描述是统计学中的一个重要概念，它提供了对数据集的整体性质和模式的理解。
在进行数据分析和统计推断时，了解数据的分布特征可以帮助我们进行更准确的推断和预测。
本讲义将介绍数据分布特征的几个主要方面，包括中心趋势、离散程度、偏斜度和峰度。
一、中心趋势中心趋势是描述数据集中心位置的一个指标。
常用的中心趋势测量指标有平均值、中位数和众数。
1. 平均值（Mean）：平均值是将数据集中所有数值相加后再除以总数的结果。
平均值对异常值和偏斜数据比较敏感，因此不适用于非正态分布的数据。
2. 中位数（Median）：中位数是将数据集按顺序排列后，处于中间位置的数值。
中位数对异常值和偏态数据的影响较小，适用于非正态分布的数据。
3. 众数（Mode）：众数是数据集中出现次数最多的数值。
众数在描述离散数据和非正态分布数据的中心趋势时较为常用。
二、离散程度离散程度是描述数据集中数据分散程度的一个指标。
常用的离散程度测量指标有范围、方差和标准差。
1. 范围（Range）：范围是数据集中最大值和最小值之间的差异。
范围对异常值敏感，仅仅描述了数据的最大和最小值，没有考虑其他数值的分布情况。
因此，在实际应用中较少使用。
2. 方差（Variance）：方差是每个数据点与平均值之差的平方和的均值。
方差衡量了数据集中数据分散的程度，数值越大，数据越分散。
3. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根。
标准差和方差的大小和正负方向相同，但标准差的量级更易于理解。
三、偏斜度偏斜度是描述数据分布形状对称性的一个指标。
正偏斜和负偏斜分别表示数据分布右偏和左偏。
常用的偏斜度测量指标有偏斜系数。
1. 偏斜系数（Skewness）：偏斜系数是数据分布的非对称性度量。
如果偏斜系数小于0，则分布为左偏；如果偏斜系数大于0，则分布为右偏；如果偏斜系数等于0，则分布为对称。
四、峰度峰度是描述数据分布形状尖峭程度的一个指标。
数据分布特征的描述讲解
数据分布特征的描述讲解数据分布特征描述是统计学中对一组数据进行概括和描述的过程。
我们通常使用中心趋势和离散程度来描述数据分布的特征。
中心趋势是指数据集中的一个值，代表数据的代表性，常用的中心趋势措施包括均值、中位数和众数。
离散程度则是指数据的变异程度，包括范围、方差、标准差和四分位距等。
首先，均值是一组数据的中心趋势的一个常用度量。
它是所有数据值的总和除以数据的个数。
均值具有很强的代表性，尤其对于正态分布的数据而言。
均值的计算公式为：mean = (x1 + x2 + ... + xn) / n。
其次，中位数是数据集中的一个特殊值，将数据按照大小排列后，处于中间位置的数即为中位数。
中位数不受极端值的影响，能够更好地反映数据的集中趋势。
对于偶数个数据，中位数为中间两个数的平均值；对于奇数个数据，中位数为中间一个数。
中位数的计算可以通过将数据按照大小排列，然后找到中间位置的数来得出。
此外，众数是数据集中出现频率最高的值，可以是一个或多个。
众数对于描述数据的集中趋势也具有一定的代表性。
众数的计算可以通过建立频数分布表，然后找到出现次数最多的数来得出。
除了中心趋势，离散程度也是描述数据分布特征的重要度量。
范围是测量数据分布范围的最简单方式，它是一组数据中的最大值减去最小值。
范围对于描述数据的离散程度有一定的指示作用，但它受极端值的影响较大，不能完全反映整体数据的变异程度。
方差是衡量数据分布离散程度的一种指标，它表示数据偏离均值的程度。
方差的计算公式为：variance = Σ(xi - mean)² / n，其中xi为每个数据值，mean为均值，n为数据个数。
方差越大，数据的离散程度也越大。
标准差是方差的正平方根，它具有和原始数据单位一致的度量标准，常用于度量数据的波动性。
标准差的计算公式为：standard deviation = √variance。
四分位距是一种度量数据分布离散程度的方法，它是数据按从小到大排列后，第25%分位数和第75%分位数之间的差值。
描述数据的分布特征
描述数据的分布特征
数据的分布特征是数据分析中的重要概念之一，它可以帮助我们更好
地了解数据的基本情况、趋势和规律。
在描述数据的分布特征时，我
们需要考虑下面几个方面：
1. 中心趋势：中心趋势是指数据分布的中心位置，通常用均值、中位
数和众数等指标来表示。
均值是所有数据的总和除以数据的数量，中
位数是所有数据按大小排序后处于中间位置的那个数，众数则是出现
次数最多的那个数。
2. 离散程度：离散程度是指数据分散程度的大小，通常用方差、标准
差和极差等指标来表示。
方差是每个数据与均值的差平方和除以数据
的数量，标准差是方差的平方根，极差则是最大值与最小值之间的差。
3. 偏态性：偏态性是指数据分布的偏斜程度，通常用偏度和峰度等指
标来表示。
偏度是一个数据分布的偏斜程度的大小，正偏态表示平均
值偏大，负偏态则表示平均值偏小，而零偏态则表示平均值与中位数
相等。
峰度则是数据分布的峰态程度的大小，正峰态表示分布中心比
较集中，而负峰态则表示分布中心比较分散。
总体来看，数据的分布特征可以用柱状图、折线图、散点图、箱线图
等多种图表来展示，从而更直观地了解数据分布的情况以及趋势变化。
在实际数据分析中，掌握数据的分布特征不仅有助于数据的初步了解，还能为后续挖掘数据的规律提供帮助。
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K
x
xi fi
i 1 K
fi
3060 76.5 40
i 1
权数（fi ，也称权重）
权数——指在计算总体平均数或综合水平的过程中对各个 数据起着权衡轻重作用的变量。
可以是绝对数形式，也可以是比重形式（如频率）表示。
x x f f
事实上比重权数更能够直接表明权数权衡轻重作用的实质
当权数完全相等（f1 =f2 =…= fn）时，加权算术平均数就
1、结构相对指标 计算各组总量占总体或样本总量的比重，用以
反映总体或样本结构状况的综合指标。
结构相对数
各组总量 总体（样本）总量
100 %
1、结构相对指标
①可以反映总体内部结构的特征。 ②通过不同时期相对数的变动，可以看 出事物的变化过程及其发展趋势。 ③结构相对数一般用百分数表示。 ④各组结构相对数之和等于100%或1。
算术平均数
变量值总和 变量值个数
注：平均指标和强度相对数的区别 分子和分母在经济内容上有从属关系，即分子数值是各 分母单位特征的总和，两者在总体范围上是一致的。
（一）简单算术平均数
把每项数据直接加总后除以它们的项数 通常用于对未分组的数据计算算术平均数 计算公式：
n
x
x1 x2 ... xn
相对数。相对数由两个互相联系的数值对比 求得。常用的相对数包括：结构相对数、动 态相对数、比较相对数、强度相对数、利用 程度相对数、计划完成相对数等。
平均数。平均数反映现象总体的一般水平或 分布的集中趋势。
第一节 总量指标和相对指标
一、总量指标 （一）总量指标的概念和作用 总量指标是反映现象在具体时间、地点、 条件下的总规模或总水平的统计指标。 总量指标也称为绝对指标或绝对数。
动态相对数
报告期水平 基期水平
100 %
正确运用相对指标的原则
1、注意两个对比指标的可比性 2、相对指标要和总量指标结合起来运用 结合运用的方法有两种： 一是计算分子与分母的绝对差额； 二是计算每增长1%的绝对值。
增长量=报告期水平-基期水平
增长量
基期水平
增长1%绝对值 （发展速度 1）100 100
比较相对指标
甲地某指标数值/乙地同一指标数值
计划完成程度指标 实际数/计划数
强度相对指标
某一指标数值/同期另一有联系的指标数值
动态相对指标
报告期水平/基期水平
数据分布的特征描述
数据分布的特征：
一、集中趋势:反映数据向其中心靠拢或聚集程度； 二、离散趋势；数据远离中心的趋势； 三、偏态和峰态；偏态是对数据分布对称性的度量；
强度相对数的两种表示方法： (1)一般用无名数表示。 (2)少数用百分数或千分数表示。 注：强度相对数不是平均数，不是同类指标数值 之比。
强度相对数
某一总量指标数值 另一有联系而性质不同 的总量指标数值
例：
表现社会服务能力的强度相对数是用服务单位数与人口比较。 表现现象普遍成都的强度相对数，如人口密度、公路网密度等。
第二节 平均指标
1.概念 也称平均指标或平均数 用来反映标志值的典型水平或标志值分布 的中心位置或集中趋势
2.作用 反映变量分布的集中趋势和一般水平。 可用来比较同一总体在不同空间的发展水平 可用来分析现象之间的依存关系 是统计推断中一个重要的统计量。
集中趋势
(central tendency)
相对指标的表现形式：有名数、无名数。 有名数是将对比的分子指标和分母指标的计量单位 结合起来使用。 无名数是一种抽象化的数值，一般分为系数、倍数、 成数、百分数、千分数等。
（二）相对指标的种类和计算方法
相对指标通常分为：结构相对指标、比例相对指 标、比较相对指标、计划完成相对指标、强度相对指 标和动态相对指标。
成了简单算术平均数。
变量数列的权数有两种形式： 一种是以绝对数表示，称次数或频数；
另一种是以比重表示，称频率。
X
X
•
f
f
用频率计算的公式和直接用次数计算的公式在内 容上是相等的，即
Xf f
X
•f
（三）算术平均数的数学性质
1、各个变量值与算术平均数的离差之和等于零。
(X X) 0 (X X )f 0
加权—为了体现各变量值轻重不同的影响作用，
对各个变量值赋予不尽相同的权数（fi ）.
[例]
表 某班级40名同学统计学原始成绩（单位：分）
简单算术平均数算式：
X 64 70 78 75 3089 77.23
40
40
表 40名同学统计学成绩汇总表（单位：分）
加权算术平均数算式：
55×2+65×8+75×16+85×10 +95×4=3060
比较相对数可以是两个总量指标对比，也可 以是相对指标或平均指标对比。
比较相对数
某条件下的某类指标数 值 另一条件下的同类指标 数值
100 %
4、计划完成相对数
是用一定时期内实际完成指标与计划指标的 比重，来反映计划完成程度的综合指标。
计划完成相对数
实际完成数 计划数
100 %
计划完成相对数
实际完成百分比 计划完成百分比
例：我国2001-2007年若干统计指标资料
指标
2001年 2002年 2003年 2004年 2005年 2006年 2007年
国内生产总值 （亿元）
年末总人口数 （万人）
109655 120333 135823 159878 183218 211924 249530 127627 128453 129227 129988 130756 131448 132129
总量指标在社会经济统计中的作用：
①可以反映社会经济和企业的基本情况，反 映一个国家的基本国情和国力，
②它是计算相对指标、平均指标等描述指标 的基础。
③是制定政策、编制计划、实行社会经济管 理的基本依据。
（二）总量指标的种类
1、总量指标按其反映的时间状况不同，分为时期 指标和时点指标。
•时期指标反映现象在某一时期发展过程的总数量； •时点指标则反映现象在某一时刻上的状况总量。
二、调和平均数
1.集中趋势的测度值之一； 2.算术平均数的另一种表现 形式； 3.易受极端值的影响； 4.有简单调和平均数和加权 调和平均数。
原来只是计算 时使用了倒数
二、调和平均数
调和平均数又称“倒数平均数”，它是各个变 量值倒数的算术平均数的倒数。
n
Xh
1 X
简单调和平均数和加权调和平均数
Xh
峰度是指数据分布的平峰或尖峰程度（形状）。
数据分布的特征
集中趋势(平均指标) (位置)
离散趋势(变异指标) (分散程度)
偏态和峰度 （形状）
数据分布的特征和测度
数据的特征和测度
集中趋势
众数 中位数 均数
离散程度 分布的形状
离散系数
方差和标准差
四分位差
偏态 峰度
第二节 平均指标
数据分布集中程度的描述指标
xi
i 1
x
n
n
n
x Xi代表变量， 代表算数平均数， n变量值个数，∑求和
表 3-1 男性 女性 22 22 22 22 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 30 30 30 30 50 30
解：采用简单算术平均法计算，即全体队员 的平均年龄为（单位：周岁）：
22 22 25 25 25 25 25 30 30 50 22 ... 30
人均国内生产总 值（元）
8622
9398
10542 12336 14053 16165 18934
第三产业占国内 生产总值比重%
40.5
41.5
41.2
40.4
40.1
40.0
40.1
相对指标的种类和计算方法
相对指标
计算方法
结构相对指标
总体中部分数值/全部数值
比例相对指标
总体中A部分数值/B部分数值
第四章 数据分布特征的描述
描述数据分布特征的指标主要有三大类：
一是描述数据分布集中趋势的指标； 二是描述数据分布离散程度的指标； 三是描述分布偏斜程度的指标。
统计指标的分类
总量指标（绝对数）—数量指标 相对指标（相对数）—质量指标 平均指标（平均数）—质量指标
绝对数。现象的规模、水平一般以绝对数形 式表现。
人均产量
某一主要工业品或农产品的全国产量 全国人口数（一般按年初年末人口平均数计算）
商业网点密度
某地零售商业机构数（正指标） 某地人口数（千人）
某地人口数（千人）（逆指标） 某地零售商业机构数
6、动态相对指标
概念：是不同时期同一指标数值之比，用以 反映现象在不同时期发展变化程度的综合指标。 动态相对数的计算结果用百分数或倍数表示。
例：我国规模以上工业增加值的轻重工业构成表
轻重工业
2006年 工业增加值/亿元
比重%
2007年 工业增加值/亿元
比重%
轻工业
24314
30.49
28277
29.90
重工业
55438
69.51
66304
70.10
合计
79752
100.00
94581
100.00
2、比例相对指标
比例相对数是总体或样本中不同部分加以 对比，用以反映总体或样本内部的比例关系和 协调关系的综合指标。
2、各个变量值与算术平均数的离差平方之和等于最小值。
( X X )2 最小值 ( X X )2 f 最小值
算术平均数有两点不足：
1、算术平均数易受极端变量值的影响， 使 X的代表性变小，而且受极大值的影响 大于受极小值的影响。