1.集合的含义及表示
集合的含义和表示
1.1集合的含义及表示内容分析：集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集课外知识补充，康托尔-集合创始人，由于集合导致的数学危机。
（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合记作Z,（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q,（5）实数集：全体实数的集合记作R注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}，所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x∈A|满足条件}含义：在集合A中满足条件的x的集合注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}3、文氏图，也叫作韦恩图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法（三）有限集与无限集1、有限集：含有有限个元素的集合2、无限集：含有无限个元素的集合3、空集：不含任何元素的集合记作Φ女神助教刘亚楠。
集合的含义及表示
日之前与我国建立外交关系的所有国家； （4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家； ） 年 月 日之前与我国建立外交关系的所有国家 （5）所有的正方形； ）所有的正方形； 的距离等于定长d的所有的点 （6）到直线 的距离等于定长 的所有的点； ）到直线l的距离等于定长 的所有的点； （7）方程 x ）
2
的所有实数根； + 3x − 2 = 0的所有实数根；
月入学的高一学生的全体． （8）新华中学 ）新华中学2004年9月入学的高一学生的全体． 年 月入学的高一学生的全体
上面的例（ ）到例（ ）也都能组成集合吗？ 上面的例（3）到例（8）也都能组成集合吗？ 它们的元素分别是什么？归纳总结这些例子， 它们的元素分别是什么？归纳总结这些例子，你能 说出它们的共同特征吗？ 说出它们的共同特征吗？
B = {x ∈ Z | 10 < x < 20}
大于10小于 的整数有 ，，17， ， 大于 小于20的整数有 ，12，13，14，15，16，， ，18， 小于 的整数有11， ， ， ， ， ，， 19，因此，用列举法表示为 ，因此，
B = { ,12,13,14,15,16,17,18,19} 11
x 2 − 2 = 0 的所有实数根组成的集合； 的所有实数根组成的集合； （1）方程 ）
小于20的所有整数组成的集合 （2）由大于 小于 的所有整数组成的集合； ）由大于10小于 的所有整数组成的集合；
解： 1）设方程 x 2 （ ）
2
− 2 = 0的实数根为 x ，并且满足条件
2
因，集合的含义是什么呢？ 那么，集合的含义是什么呢？我们再来看下面 的例子： 的例子：
以内的所有质数； （1）1～20以内的所有质数； ） ～ 以内的所有质数 年的13年内所发射的所有人造卫 （2）我国从 ）我国从1991～2003年的 年内所发射的所有人造卫 ～ 年的 星； 年生产的所有汽车； （3）金星汽车厂 ）金星汽车厂2003年生产的所有汽车； 年生产的所有汽车
人教版,数学,高一,必修一,集合的含义与表示
练 习
1. 下面的各组对象能否构成集合？ （1）小于2004的数； （2）和2004非常接近的数.
2.再看下列对象: （1） 2，4，6，8，10，12； （2）我校的篮球队员； （3）满足x－3＞2 的实数； （4）我国四大名著； （5）抛物线y=x2上的点．
2、元素与集合的关系
通常用大写的拉丁字母 A，B，C，…表示集合， 小写的拉丁字母 a,b,c,…表示集合中的元素. 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A， 记作 a∈A；如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a A.
作业
活页：提能演练一
第2课时 集合的表示
回顾复习
1．集合与元素的定义; 2．集合元素的特征性质： 确定性，互异性，无序性； 3．元素与集合的关系
4. 数集及有关符号；
集合的表示
“我国的直辖市”组成的集合表示为 {北京，天津，上海，重庆} 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }” 括起来表示集合的方法叫做列举法.
1.1.1 集合的含义与表示
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:
许多的人或物聚在一起。
康托尔（G.Cantor,1845～1918）.德 国数学家，集合论创始人，他于1895
年谈到“集合”一词.
在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言， 我们怎样理解数学中的“集合”？
通知 8月27日上午8时，高一年级的学生 在体育馆集合进行军训动员. 校长室
例1：已知A由： 2,(a 1) a
2
, a 3a 3
2
三元素构成且 1 A ，求实数a的值
变.已知集合A含有三个元素1、0、x， 若 x 2 A ，求实数x的值。
课程标准一、集合1.集合的含义及表示①通过实例,了解集
D．无数个
配 人
教
分析：首先搞清集合A中元素个数n，然后根据公式2n
B 版
)
求出子集个数．
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第一章 集合与常用逻辑用语
解析：边长为2的边是等腰三角形的底边时，30°的
《 走
向
角可以是三角形的底角，也可以是顶角．故这样的三角形
高 考
》
有两个．
高 考
边长为2的边是等腰三角形的腰长时，30°的角可以
总 复 习
·(
是三角形底角，也可以是顶角，故这样的三角形也有两
数 学
个．
配 人
教
故适合条件的三角形共有4个．所以子集个数为24＝
B 版
)
16个．选B.
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第一章 集合与常用逻辑用语
点评：关于有限集的子集个数有如下结论：
(1)若A＝{a1，a2，…，an}，则A的子集个数为2n，其
《 走 向
考 总
复
·(
x∈A 且 x∈B.
习 数
(3)由所有 属于集合A或属于集合B
的元素所
学 配
人
组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B.若x∈A∪B，则 教
B
x∈A 或 x∈B.
)
版
(4) 若 已 知 全 集 U ， 集 合 A⊆U ， 则 ∁ UA ＝ {x|x∈U 且 x∉A}．
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第一章 集合与常用逻辑用语
考
形式出现．
总 复
习
·(
3．逻辑联结词、存在量词、全称量词，一般不会单独
数 学
命题，通常会在题目中间接考查，若单独命题，则是简单
集合的含义与表示
称这两个集合相等
湖南省长沙市一中卫星远程学校
练习1.下列指定的对象，能构成一个集合 ( B ) 的是 ①很小的数 ②不超过 30的非负实数 ③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点 ④的近似值 ⑤高一年级优秀的学生 ⑥所有无理数 ⑦大于2的整数 ⑧正三角形全体 A. ②③④⑥⑦⑧ C. ②③⑥⑦ B. ②③⑥⑦⑧ D. ②③⑤⑥⑦⑧
解：当a＝0时，x＝－1.
当a≠0时，＝16－4×4a＝0. a＝1. 此时x＝－2. ∴a＝1时这个元素为－2. ∴a＝0时这个元素为－1.
课堂练习
1.教科书5面练习第1、2题
2.教科书11面习题1.1第1、2题
课堂小结
1.集合的定义 2.集合元素的性质 3.集合与元素的关系 4.集合的表示 5.集合的分类
解：当a＝0时，x＝－1.
例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R} 只有一个元素，求a的值与这个元素.
解：当a＝0时，x＝－1.
当a≠0时，＝16－4×4a＝0. a＝1. 此时x＝－2.
例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R} 只有一个元素，求a的值与这个元素.
2.集合的表示:
集合常用大写字母A,B,C,…表示，元素常用 小写字母a,b,c,…表示.
3.集合与元素的关系:
如果a是集合A的元素，就说a属于集 合A，记作a∈A. 如果a不是集合A的元素，就说a不属 于集合A，记作aA.
例如：A表示方程x2＝1的解. 2A，1∈A.
4.常用数集及记法:
N：自然数集(含0)
-1 3
x | 0
x | x
x 2
集合的含义及表示方法
确定性
集合中的元素具有确定性，即每个元素是否属于某个集合是明确的。对于任意一 个元素，如果它属于某个集合，则它只属于该集合；如果不属于该集合，则它与 该集合没有关系。
确定性的性质使得集合可以准确地描述事物的分类和归属问题，是数学和计算机 科学中基本的概念之一。
集合的含义及表示方法
• 集合的基本概念 • 集合的运算 • 集合的性质 • 集合的应用
01
集合的基本概念
集合的定义
01 集合是由确定的、不同的元素所组成的总体 。
02
集合中的元素具有确定性，即每一个对象是 否属于某个集合是确定的。
03
集合中的元素具有互异性，即集合中不会有 重复的元素。
04
集合中的元素具有无序性，即集合中元素的 排列顺序不影响集合本身。
数据库系统
数据库系统是计算机科学中用来存储和管理大量数据的重要工具。集合理论在数据库设计 中起着重要的作用，例如关系数据库中的表可以看作是集合的表示。
在日常生活中的应用
分类问题
在生活中，我们经常需要对事物进行分类。集合可以用来表示不同的类别，帮助我们更好地组织 和理解事物。
决策制定
在决策制定过程中，我们经常需要考虑多个因素或条件。集合可以帮助我们表示这些因素或条件 ，并分析它们之间的关系，从而做出更好的决策。
03
补集
补集是指全集中不属于某个集合的元素组成的集合。
补集的表示方法是在一个集合后面加上"′"，例如：A′。
补集运算满足反演律，即A′=(全集−A)∪(全集−B)。
03
集合的性质
无序性
集合中的元素没有固定的顺序，即元素的位置不影响集合的性质。例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,2,1}是同一个集合，因为 元素的无序性，集合A和集合B具有相同的性质。
集合的含义与表示
集合的含义与表示目录集合的含义与表示 (1)知识点： (1)一、集合的三性：确定性、互异性、无序性 (3)①确定性 (3)②互异性 (4)二、集合的表示方法 (7)①元素与集合的关系 (7)②列举法 (8)③描述法 (10)三、区别点集与数集 (11)知识点：1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
2.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。
例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合.3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
①列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}②描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}③语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4.集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝5.元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A∉（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集N*或N+；整数集Z；有理数集Q；实数集R.一、集合的三性：确定性、互异性、无序性①确定性1.下列各组对象能够构成集合的是( )A. 我国所有的老人B. 我们班的高个子C. 长命万岁的人D. 我国的小河流答案：C。
集合的含义及其表示
集合的含义及其表示1.1集合的含义及其表示一.课标解读 1.《普通高中数学课程标准》明确指出：“通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的”属于”关系；能选择自然语言.图形语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题感受集合语言的意义和作用.” 2.重点:集合的概念与表示方法.3.难点:运用集合的两种常用表示法---列举法与描述法,正确表示一些简单的集合. 二.要点扫描 1.集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）；构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。
集合的元素可以是我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或者一些抽象符号。
2.集合元素的特征由集合概念中的两个关键词“确定的”、“不同的”可以知道集合元素有两大特征性质：⑴确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。
设集合给定，若有一具体对象，则要么是的元素，要么不是的元素，二者必居其一，且只居其一。
⑵互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。
设集合给定，的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。
3.集合与元素之间的关系集合与元素之间只有“属于”或“不属于”。
例如：是集合的元素，记作，读作“ 属于”；不是集合的元素，记作，读作“ 不属于”。
4.集合的分类集合按照元素个数可以分为有限集和无限集。
特殊地，不含任何元素的集合叫做空集，记作。
5.集合的表示方法⑴列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。
⑵特征性质描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。
例如：集合可以用它的特征性质描述为{ }，这表示在集合中，属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于集合的元素都不具有性质。
除此之外，集合还常用韦恩图来表示，韦恩图是用封闭曲线内部的点来表示集合的方法（有时，也用小写字母分别定出集合中的某些元素），同学们在下节课中会接触到这个内容。
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3.数集 中 的取值范围是.
4.用“ ”或“ ”填空：
二、范例解读
例1判断下列对象能否构成一个集合，如果能，请采用适当的方法表示该集合；如不能，请说明理由。
(1)小于5的整数; (2)高一年级体重超过75kg的同学
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （82974588）双基演练
1.下列说法正确的是……………………………………………………………………………………( )
A.由单词“school”中的字母构成的集合含有6个元素
B. Q
C.集合 与集合 相等.
D.当 时,由所有 的数值组成的集合为无限集
(3)方程 的非负整数解; (4)与 非常接近的有理数 .
例2已知集合 为实数.
(1)若A是空集,求 的取值范围 ; (2)若A是单元素集,求 的值 ;
(3)若A中至多只有一个元素,求 的取值范围 .
三、归纳点拨
确定的对象才能构成集合,可依据元素的特点或个数的多少采用适当的形式来表示集合,集合中的元素具有互异性,即相同的对象只能作为集合中的一个元素,如由“good”中的字母构成的集合 ,而不是 ;集合中的元素具有无序性,如 与 表示同一个集合.
第 □ 讲
1.集合的含义及表示
5.已知 ,且集合 ,集合 ,若 ,求集合B中的所有元素.
6.已知集合 ,用列举法表示集合A.
7.设集合 .若 ,试判断 与A,B的关系.
8.已知集合 ,用列举法表示集合A.
第 页
四、测试反馈
1.一个集合每一个元素的平方均等于其本身,那么这个集合是………………………………………( )
2.下列表述中正确的是…………………………………………………………………………………..( )
3.如果集合 ,则实数 的取值范围是.
4.用列举法表示不等式组 的整数集合为.
第 页
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （82974588）△